Sebenta Alga

(1)

Sistemas de Equa¸

c˜

oes Lineares

e Matrizes

Os sistemas de equa¸c˜oes lineares tem uma grande aplica¸c˜ao a diferentes ´

areas, tais como à Economia, às Engenharias, à F´ısica, . . .. De facto, muitos problemas nestas áreas levam à necessidade de resolver sistemas de equa¸cões lineares com um determinado número de equa¸cões e incógnitas. Salienta-se que existem programas como o Mathematica e o MatLab que permitem re-solver eficazmente estes sistemas quando o número de equa¸cões e incógnitas ´

e bastante elevado. Por esta raz˜ao apresentaremos apenas exemplos de di-mens˜ao pequena.

1.1 Generalidades

Defini¸cão 1.1.1 Uma equa¸cão linear nas incógnitas x1, x2, . . . , xn é uma

equa¸c˜ao do tipo

a1x1+ a2x2+ . . . + anxn= b, (1.1)

onde a1, a2, . . . , an, b s˜ao n´umeros reais. E habitual designar-se b segundo´

membro ou termo independente da equa¸c˜ao (1.1) e a1, a2, . . . , an coeficientes

das incógnitas. Diz-se que o n-úplo (α1, α2, . . . , αn) é solu¸cão de (1.1) se

a1α1+ a2α2+ . . . + anαn = b.

A conjun¸cão de equa¸cões lineares do tipo (1.1) designa-se sistema de equa¸cões lineares.

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Defini¸cão 1.1.2 Um sistema constitu´ıdo por m equa¸cões lineares nas n incógnitas x1, x2, . . . , xn, pode representar-se da seguinte forma:

         a11x1+ a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2 + . . . + a2nxn = b2 .. . ... am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn = bm. (1.2)

A resolu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares consiste em determinar todas as suas solu¸cões (caso existam). Deste modo, um sistema de equa¸cões lineares diz-se:

1. Poss´ıvel quando tem solu¸c˜ao;

1.i Determinado quando a solu¸cão é única;

1.ii Indeterminado quando tem mais do que uma solu¸c˜ao;

Designa-se grau de indetermina¸cão do sistema ao número de incógnitas livres, isto é, incógnitas que podem tomar valores arbitrários.

2. Imposs´ıvel quando n˜ao tem solu¸c˜ao.

No caso do sistema de equa¸cões lineares (1.2) ser poss´ıvel, o n-úplo (α1, α2, . . . , αn) é solu¸cão do sistema se as substitui¸cões xi = αi; i = 1, 2, . . . , n,

transformam todas as equa¸cões do sistema em identidades verdadeiras. Defini¸cão 1.1.3 Dois sistemas de equa¸cões lineares com o mesmo número de equa¸cões e de incógnitas dizem-se equivalentes se o conjunto solu¸cão for igual.

Defini¸cão 1.1.4 Um sistema de equa¸cões lineares cujos termos independen-tes são todos nulos designa-se de sistema homogéneo. Este tipo de sistema será sempre poss´ıvel, pois possui sempre, pelo menos, a solu¸cão nula.

De modo a ilustrar a aplica¸cão do método de elimina¸cão de Gauss-Jordan na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares, introduzir-se-à alguma termi-nologia, nomeadamente, tabelas de dupla entrada designadas de matrizes.

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As matrizes denotam-se habitualmente por letras mai´usculas. Alguns exemplos de matrizes s˜ao:

A = 2 3 5 1 −3 6 , B =   1 4 0 −3 2 7  , C =   1 3 5 1 −3 6 5 8 3  

As matrizes consistem de linhas e colunas. Por exemplo, considerando a matriz A = 2 3 5 1 −3 6 , As linhas s˜ao 2 3 5 linha 1 , 1 −3 6 linha 2 , e as colunas s˜ao 2 1 coluna 1 , 3 −3 coluna 2 , 5 6 coluna 3 .

Defini¸cão 1.1.5 As matrizes consistem em tabelas de dupla entrada, em que a localiza¸cão de um elemento na matriz é descrita indicando a linha e a coluna na qual o elemento se encontra. Assim, o elemento que se encontra na linha i, coluna j da matriz A denota-se por aij. Deste modo podemos

visualizar uma matriz arbitr´aria m × n do seguinte modo:

A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . . . ... am1 am2 . . . amn      .

Cada uma das m filas horizontais de A designa-se por linha de A enquanto cada uma das n filas verticais se designa por coluna de A. Uma matriz com m linhas e n colunas de n´umeros reais diz-se uma matriz de ordem ou tipo m × n sobre R.

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O conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre R representa-se por Mm×n. A ordem de uma matriz ´e descrita especificando o n´umero de

linhas e de colunas da matriz. Por exemplo, uma matriz com duas linhas e três colunas diz-se uma matriz de ordem 2 × 3, o primeiro número indica o número de linhas e o segundo o número de colunas. Quando o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n), diz-se que a matriz é quadrada e escreve-se A ∈ Mn, caso contrário diz-se que a matriz é rectangular. No caso

da matriz ser quadrada, os elementos diagonais de A s˜ao a11, a22, . . . , ann. `A

sequˆencia ordenada constitu´ıda por estes elementos (a11, a22, . . . , ann)

chama-se diagonal principal de A. A chama-sequˆencia ordenada constitu´ıda pelos elementos (a1n, a2,n−1, . . .,an1) designa-se diagonal secund´aria.

Uma matriz composta por uma linha diz-se matriz linha e uma matriz composta por uma coluna diz-se matriz coluna. Por exemplo,

  2 1 3 1 −1 0   matriz 2×3 matriz rectangular ,      3 1 2 −3 0 1 2 1 −8      matriz3×3 matriz quadrada , h 5 3 1 i matriz 1×3 matriz linha      5 3 1      matriz3×1 matriz coluna

Continuar-se-á, agora, o tema inicial desta seçcão. Existem duas matri-zes associadas a um sistema de equa¸cões lineares: a matriz dos coeficientes constitu´ıda pelos coeficientes das variáveis do sistema e a matriz ampliada constitu´ıda pela matriz dos coeficientes, juntamente com os termos indepen-dentes. A matriz dos coeficientes denota-se habitualmente por A e a matriz ampliada por [A|B]. Por exemplo, a matriz dos coeficientes e a matriz am-pliada associada ao sistema de equa¸cões lineares seguinte é:

   x − y + 2z = 1 2x + 2z = 1 x − 3y + 5z = 3.   1 −1 2 2 0 2 1 −3 5  

matriz dos coeficientes   1 −1 2 1 2 0 2 1 1 −3 5 3   matriz ampliada , respectivamente.

As transforma¸cões designadas transforma¸cões elementares, aplicam-se ao sistema inicial de modo a obter um sistema mais simples e equivalente ao primeiro. Assim, dado um sistema de equa¸cões lineares, S, obtém-se um sistema equivalente a S, quando:

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1. Se troca a ordem das equa¸c˜oes;

2. Se multiplicam ambos os membros de uma dada equa¸c˜ao por uma cons-tante diferente de zero;

3. A uma equa¸c˜ao se soma uma outra, eventualmente multiplicada por uma constante arbitr´aria.

As transforma¸c˜oes anteriores podem representar-se simbolicamente do se-guinte modo:

1. Ei ↔ Ej;

2. Ei ← αEi, α 6= 0;

3. Ei ← Ei+ βEj.

A troca da ordem das inc´ognitas permite tamb´em obter sistemas equiva-lentes entre si.

Utilizam-se transforma¸cões análogas, designadas opera¸cões elementares, na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares recorrendo ao método matricial, nomedadamente

1. Troca entre si de duas linhas da matriz;

2. Multiplica¸cão de uma linha da matriz por um número diferente de zero; 3. Substitui¸cão de uma linha da matriz pela sua soma com um múltiplo

de outra,

e podem representar-se simbolicamente da forma seguinte: 1. Li ↔ Lj;

2. Li ← αLi, α 6= 0;

3. Li ← Li+ βLj.

Para cada uma das três opera¸cões elementares anteriores existem opera¸cões análogas correspondente às colunas, que se podem escrever simbolicamente do seguinte modo:

(6)

1. Ci ↔ Cj;

2. Ci ← αCi, α 6= 0;

3. Ci ← Ci+ βCj.

No método de elimina¸cão de Gauss-Jordan as transforma¸cões elementares são utilizadas para eliminar de um modo sistemático variáveis. O objectivo final deste método é o de se obter um sistema cujas solu¸cões são dadas de modo imediato. Ilustrar-se-à, no exemplo seguinte, o modo de funcionamento deste método quer através das equa¸cões quer recorrendo às matrizes. O leitor deverá observar no modo como as variáveis são eliminadas nas equa¸cões e como isto se processa em termos matriciais onde são colocados zeros em determinadas posi¸cões.

Exemplo. Resolva o sistema de equa¸c˜oes lineares    x − y + 2z = 1 2x + 2z = 1 x − 3y + 5z = 3.

Solu¸c˜ao. Pretende-se eliminar os coeficientes de x na 2a _{e 3}a _equa¸c˜_oes,

para tal substituem-se estas equa¸c˜oes pela sua soma com o produto de −2 e −1 vezes a 1a _equa¸c˜_{ao, respectivamente. No segundo passo para eliminar o}

coeficiente de y na 3a _equa¸c˜_{ao basta adicionar a esta equa¸c˜}_{ao a 2}a _equa¸c˜_ao.

Isto ´e,    x −y +2z = 1 2x +2z = 1 x −3y +5z = 3 ⇐⇒ E2←E2−2E1 E3←E3−E1    x −y +2z = 1 2y −2z = −1 −2y +3z = 2 ⇐⇒E3←E3+E2    x −y +2z = 1 2y −2z = −1 z = 1.

Para obter a solu¸cão do sistema prossegue-se utilizando a substitui¸cão inversa. Assim, o conjunto solu¸cão deste sistema é {(−1₂,1₂, 1)}, ou seja, é poss´ıvel e determinado.

No método matricial, à matriz ampliada associada ao sistema, [A|B], efectuam-se as mesmas sequências de opera¸cões elementares sobre linhas que

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se executaram anteriormente. Neste caso, [A|B] =   1 −1 2 | 1 2 0 2 | 1 1 −3 5 | 3   −→ L2←L2−2L1 L3←L3−L1   1 −1 2 | 1 0 2 −2 | −1 0 −2 3 | 2   −−−−−−−−−→ L3 ← L3+ L2   1 −1 2 | 1 0 2 −2 | −1 0 0 1 | 1  .

A ´ultima matriz representa o sistema    x −y +2z = 1 2y −2z = −1 z = 1,

que pode ser resolvido por substitui¸cão inversa dando origem ao mesmo con-junto solu¸cão já anteriormente obtido.

1.2 M´

etodo de elimina¸

c˜

ao de Gauss

Na se¸cão anterior, ilustrou-se o método de elimina¸cão de Gauss num sistema de equa¸cões lineares em que o número de equa¸cões e incógnitas era igual. De seguida, explica-se o funcionamento deste método no caso geral. Primeiro, introduz-se o conceito de matriz em escada de linha.

Defini¸c˜ao 1.2.1 Diz–se que uma matriz A de ordem Mm×n est´a em forma

de escada de linhas se satisfizer as condi¸c˜oes seguintes:

1. Se r < m e a linha r é nula, então a linha r + 1 também é nula; 2. Se s < m, a linha s é não nula e ast é a sua primeira entrada não nula

(designada “pivot”), ent˜ao para todo o j ∈ {1, . . . , t}, as+1j = 0.

Assim, uma matriz est´a em forma de escada de linhas se as entradas debaixo do “pivot” s˜ao iguais a zero.

Exemplo. A matriz A de ordem 5 × 6

A =       0 1 2 0 2 4 0 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 −1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      

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est´a em forma de escada de linhas. No entanto, a matriz B de ordem 4 × 6 B =     0 1 2 0 0 4 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 5 0 0 0 0 0 0    

n˜ao est´a em forma de escada de linhas.

O método de elimina¸cão de Gauss aplica-se à matriz ampliada de um dado sistema de equa¸cões lineares com o objectivo de a colocar na forma em escada de linhas. Assim, em cada passo do método identifica-se o “pivot” e eliminam-se os coeficientes dos termos correspondentes que se situam abaixo dele. Na prática usa-se uma variante do método de elimina¸cão de Gauss que se pode sintetizar no algoritmo seguinte:

Para i = 1, . . . , m

1. Seja t o menor elemento de {1, . . . , n}, tal que ait 6= 0 (ait ´e candidato

a “pivot” no passo corrente).

2. Seja r o menor elemento de {1, . . . , t − 1} tal que akr 6= 0, k ∈ {i +

1, . . . , m}.

i. Caso n˜ao exista este elemento ait ´e o “pivot”;

ii. Caso exista este elemento troca-se a k-ésima pela i-ésima equa¸cão e air é o “pivot”.

3. Seja l a coluna onde se situa o “pivot”. Para cada s ∈ {i + 1, . . . , m}, substitui-se a s-´esima equa¸c˜ao pela sua soma com o produto de −asl

ail

pela i-´esima equa¸c˜ao.

Após terminar o processo de elimina¸cão de Gauss, a resolu¸cão do sistema prossegue através da substitui¸cão inversa, isto é, substituindo da última para a primeira equa¸cão os valores entretanto determinados.

Observe-se, no entanto, que na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares não é poss´ıvel utilizar opera¸cões elementares sobre colunas, com excep¸cão da troca de colunas aplicada à matriz dos coeficientes.

No caso de uma matriz não estar na forma de escada de linhas, a elimi-na¸cão de Gauss permite obter a partir desta matriz, e efectuando um número

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finito de opera¸c˜oes elementares sobre linhas e/ou colunas, uma nova matriz na forma de escada de linhas.

Exemplo.Utilize o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss para encontrar uma ma-triz em escada de linha a partir da mama-triz A.

A =     0 0 0 0 0 0 9 6 −6 3 0 4 5 −3 −4 0 2 2 −2 −2     Solu¸c˜ao. A =     0 0 0 0 0 0 9 6 −6 3 0 4 5 −3 −4 0 2 2 −2 −2     →L1↔L5     0 2 2 −2 −2 0 9 6 −6 3 0 4 5 −3 −4 0 0 0 0 0     →_L₁_→1 2     0 1 1 −1 −1 0 9 6 −6 3 0 4 5 −3 −4 0 0 0 0 0     →L2→L2−9L1     0 1 1 −1 −1 0 0 −3 3 12 0 4 5 −3 −4 0 0 0 0 0     →L3→L3−4L1     0 1 1 −1 −1 0 0 −3 3 12 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0     →L2↔L3     0 1 1 −1 −1 0 0 1 1 0 0 0 −3 3 12 0 0 0 0 0     →L3→L3+3L2     0 1 1 −1 −1 0 0 1 1 0 0 0 0 6 12 0 0 0 0 0     .

Aplicando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss transformou-se a matriz A numa matriz em escada de linhas.

Exemplo. Resolva o sistema de equa¸cões lineares untilizando o método de elimina¸cão de Gauss:    x + 2y − z + 3w = 4 2x + 4y − 2z + 7w = 10 −x − 2y + z − 4w = −6.

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Solu¸cão. Aplicando o método de elimina¸cão de Gauss-Jordan, obtém-se [A|B] =   1 2 −1 3 | 4 2 4 −2 7 | 10 −1 −2 1 −4 | −6   −→ L2←L2−2L1 L3←L3+L1   1 2 −1 3 | 4 0 0 0 1 | 2 0 0 0 −1 | −2   −→ L1←L1−3L2 L3←L3+L2   1 2 −1 3 | 4 0 0 0 1 | 2 0 0 0 0 | 0  .

A ´ultima matriz representa o sistema

x + 2y − z = −2

w = 2

A primeira equa¸cão pode-se escrever da forma x = −2y + z − 2 e, portanto, a solu¸cão geral é x = −2y + z − 2 e w = 2. Este sistema é poss´ıvel e inde-terminado, por isso para se obterem solu¸cões particulares para este sistema podem obter-se atribuindo a y e z diversos valores.

1.3 Caracter´ıstica de uma matriz

Nesta se¸cão, apresenta-se a no¸cão de caracter´ıstica de uma matriz pois permite classificar um sistema de equa¸cões lineares sem o resolver previa-mente.

Defini¸cão 1.3.1 A caracter´ıstica de uma matriz A, car(A), de ordem m × n é igual ao número de “pivots” de uma matriz em forma de escada de linhas obtida a partir de A.

Sejam A, B, C matrizes de ordem m × n tais que B e C são matrizes em forma de escada de linhas que se obtêm de A efectuando um número finito de opera¸cões elementares. Então B e C têm a mesma caracter´ıstica..

Teorema 1 (Teorema de Rouché) Considere-se um sistema de equa¸cões li-neares com coeficientes e termos independentes reais, representado pela ma-triz ampliada [A|B]. Este sistema é poss´ıvel se e só se a caracter´ıstica da matriz simples do sistema, A, for igual à caracter´ıstica da matriz ampliada do sistema [A|B]

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Deste modo, um sistema diz-se

1. Poss´ıvel Determinado quando car(A) = car(A|B) = número de incógnitas; 2. Poss´ıvel Indeterminado quando car(A) = car(A|B) < número de incógnitas.

O grau de indetermina¸cão = número de incógnitas − car(A); 3. Imposs´ıvel quando car(A) < car(A|B).

Exemplo. Classifique o sistema seguinte para os diferentes valores reais de k.    3x + 4y + 2z = k 2x + 3y − z = 1 x + y + kz = 2. Solu¸c˜ao: A matriz ampliada deste sistema ´e

[A|B] =   3 4 2 | k 2 3 −1 | 1 1 1 k | 2   −→ L1 ↔ L3   1 1 k | 2 2 3 −1 | 1 3 4 2 | k   −→ L2←L2−2L1 L3←L3−3L1   1 1 k | 2 0 1 −1 − 2k | −3 0 1 2 − 3k | k − 6   −−−−−−−−−→ L3 ← L3− L2   1 1 k | 2 0 1 −1 − 2k | −3 0 0 3 − k | k − 3  . Se k = 3 obt´em-se   1 1 3 | 2 0 1 −7 | −3 0 0 0 | 0  .

Então, car(A) = car(A|B) = 2 < 3 =número de incógnitas e o grau de indetermina¸cão é igual ao número de incógnitas menos car(A) = 3 − 2 = 1. Logo, o sistema é poss´ıvel e indeterminado com grau de indetermina¸cão 1.

No caso de k ∈ R\{3}, car(A) = car(A|B) = 3 = número de incógnitas. Como tal, o sistema é poss´ıvel e determinado.

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1.4 Propriedades alg´

ebricas das matrizes

Defini¸c˜ao 1.4.1 Duas matrizes C = [cij] e D = [dij] dizem-se iguais quando

C e D s˜ao matrizes com a mesma ordem satisfazendo cij = dij, para cada

i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.

A defini¸c˜ao anterior aplica-se em particular a matrizes do tipo

u = [1 2 3] e v =   1 2 3  .

Apesar de u e v representarem o mesmo ponto em R3_{, n˜}_{ao se pode considerar}

que estas matrizes s˜ao iguais, uma vez que tˆem ordens diferentes.

Defini¸c˜ao 1.4.2 Sejam A, B ∈ Mm×n. A soma de A e B ´e a matriz A +

B ∈ Mm×n que se obt´em adicionando as entradas hom´ologas de A e B, i.e.,

A + B = [aij + bij] ∈ Mm×n. Exemplo.   1 −1 x 2 0 1 3 5 y  +   0 −2 1 3 1 1 3 4 1  =   1 −3 x + 1 5 1 2 6 9 y + 1  .

Defini¸c˜ao 1.4.3 Sejam α um escalar e A = [aij] ∈ Mm×n. Chama-se

pro-duto do escalar α pela matriz A, e denota-se por αA, `a matriz que se obt´em multiplicando todas as entradas de A por α, i.e, αA = [αaij].

A matriz −A é a matriz que se obtém de A multiplicando cada um dos elementos de A por −1. Assim, se A = [aij], então −A = [−aij]. Como tal,

pode-se definir subtraçcão de matrizes em termos da adi¸cãoe da multiplica¸cão escalar. Dadas duas matrizes A = [aij] e B = [bij] com a mesma ordem, a

diferen¸ca entre A e B ´e definida como sendo a matriz A − B = A + (−B). Deste modo,

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Defini¸c˜ao 1.4.4 Seja A = [aij] ∈ Mm×n e B = [bij] ∈ Mn×p. O produto

entre A e B, AB, ´e a matriz do tipo m × p cujo elemento (i, j) ´e ai1b1j +

ai2b2j+ · · · + ainbnj. Assim, AB = " _n X k=1 aikbkj # ∈ Mm×p.

Como se pode constatar pela defini¸cão, o produto da matriz A pela matriz B, AB, apenas está definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Neste caso, o número de linhas da matriz AB é igual ao número de linhas de A e o número de colunas é igual ao número de colunas de B. Exemplo. Sejam A =   3 0 1 1 −1 2 2 4 3   e B =   1 0 −1 3 2 −2  . Então AB =   3 × 1 + 0 × (−1) + 1 × 2 3 × 0 + 0 × 3 + 1 × (−2) 1 × 1 + (−1) × (−1) + 2 × 2 1 × 0 + (−1) × 3 + 2 × (−2) 2 × 1 + 4 × (−1) + 3 × 2 2 × 0 + 4 × 3 + 3 × (−2)   =   5 −2 6 −7 4 6  .

Considerem-se as matrizes A e B do exemplo anterior. A matriz AB tem ordem 3 × 2, enquanto a matriz BA tem ordem 2 × 3. Assim, pode concluir-se que o produto de matrizes não goza da propriedade comutativa. No entanto, embora o produto de matrizes não seja comutativo, há matrizes A, B ∈ Mn tais que AB = BA. Neste caso diz-se que A e B comutam.

Defini¸cão 1.4.5 A matriz nula é uma matriz em que todas as entradas são iguais a zero. Uma matriz diz-se triangular superior se todas as entradas abaixo da diagonal principal são nulas. Uma matriz diz-se triangular infe-rior se todas as entradas abaixo da diagonal principal são nulas. Uma matriz

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diagonal é uma matriz quadrada nos quais todos os elementos excepto a dia-gonal principal são iguais a zero. A matriz identidade é uma matriz diagonal, em que as entradas diagonais são todas iguais a zero.

Assim, A =      a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n .. . ... . .. ... 0 0 . . . ann     

matriz triangular superior

B =      a11 0 . . . 0 a21 a22 . . . 0 .. . ... . .. ... an1 an2 . . . ann      .

matriz triangular inferior

C =      a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . ann      . matriz diagonal e 0m×n =      0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 0      matriz nula In=      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1      matriz identidade

As matrizes nulas têm um papel na teoria das matrizes semelhante ao zero dos números reais, enquanto que as matrizes identidades têm um pape análogo ao número 1. Estes papeis encontram-se descritos no teorema se-guinte.

Teorema 2 Seja A ∈ Mm×n e 0m×n a matriz nula de ordem m × n. Seja

B ∈ Mnuma matriz quadrada n×n e sejam On e In a matriz nula e a matriz

identidade de ordem n × n. Ent˜ao 1. A + 0m×n = 0m×n = 0m×n+ A;

2. B0n= 0nB = 0n

3. BIn= InB = B.

Teorema 3 Sejam A, B e C matrizes e α e β escalares. Suponhamos que a ordem das matrizes ´e tal que as opera¸c˜oes seguintes podem ser realizadas.

De seguida, apresentam-se algumas propriedades para a adi¸c˜ao de matri-zes e para o produto escalar

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2. (A + B) + C = A + (B + C), (propriedade associativa);

3. A + 0m×n = 0m×n + A = A, (existˆencia de elemento neutro para a

adi¸c˜ao);

4. A + (−A) = (−A) + A = 0m×n, (existˆencia de elemento sim´etrico).

5. (αβ)A = α(βA), (propriedade associativa);

6. α(A + B) = αA + αB, (propriedade distributiva); 7. (α + β)A = αA + βA, (propriedade distributiva); 8. 1A = A, (elemento neutro).

9. A0 = 0 e 0A = 0, AIn = ImA = A, (elemento absorvente e elemento

neutro, respectivamente);

10. (AB)C = A(BC), (propriedade associativa);

11. A(B+C) = AB+AC, (A+B)C = AC+BC, (propriedade distributiva); 12. α(AB) = (αA)B = A(αB).

Considerem-se as matrizes A = 1 0 −1 0 , B = 0 0 1 0 , C = 1 0 2 2 e C0 = 1 0 1 2 . Ent˜ao, AB = 0 0 0 0 e AC = 1 0 −1 0 = AC0.

Assim, pode concluir-se que

13. AB = 0 n˜ao implica que A = 0 ou B = 0; 14. (AC = AC0 e A 6= 0) n˜ao implica que C = C0.

Defini¸c˜ao 1.4.6 Sejam A ∈ Mn e k ∈ N0. Define-se potˆencia de expoente

k de A da forma: Ak = ( In se k = 0 AA . . . A | {z }k vezes se k ∈ N.

(16)

Note-se que Ai+j _{= A}i_Aj _{e A}ij _{= (A}i₎j_{, para i, j ∈ N}

0. No entanto, como

o produto de matrizes não é comutativo, não se verifica (AB)i = AiBi_{, i ∈ N.} Com efeito, para as matrizes

A = 1 2 1 1 e B = 1 0 1 0 obt´em-se A2B2 = 3 4 2 3 1 0 1 0 = 7 0 5 0 e (AB)2 = 1 2 1 1 1 0 1 0 2 = 9 0 6 0 . e, para este exemplo, (AB)2 _{6= A}2_B2_.

1.5 Matrizes sim´

etricas

Defini¸c˜ao 1.5.1 Seja A = [aij] do tipo m × n. A matriz transposta de A ´e

a matriz AT = [aji] ∈ Mn×m.

Recorrendo à defini¸cão anterior, verifica-se que as colunas de AT são as linhas de A e as linhas são as colunas de A.

Teorema 4 Sejam A e B matrizes de tal forma que as somas e os produtos estejam bem definidos. Ent˜ao,

1. (AT)T = A;

2. (A + B)T = AT + BT; 3. (αA)T = α AT_{, para α ∈ R;} 4. (AB)T = BTAT;

5. (Ak₎T _{= (A}T₎k_.

Defini¸cão 1.5.2 Seja A uma matriz quadrada, tal que AT = A, então A diz-se simétrica. No caso de AT _{= −A a matriz A diz-se anti-sim´}_{etrica. Se}

A ´e uma matriz quadrada que satisfaz a condi¸c˜ao AAT _{= I}

n, ent˜ao diz-se

(17)

Se A é uma matriz simétrica, então os elementos situados em posi¸cões simétricas relativamente à diagonal principal são iguais. Se A é uma matriz anti-simétrica, então os elementos diagonais da matriz são iguais a zero e os elementos situados em posi¸cões simétricas relativamente à diagonal principal são simétricos. Exemplo. A transposta de A = 1 2 −1 0 3 4 ´ e AT =   1 0 2 3 −1 4  . A matriz B =   3 2 5 2 1 7 5 7 9   ´

e sim´etrica, isto ´e, B = BT _{e a matriz}

C =   0 2 5 −2 0 7 −5 −7 0   ´

e anti-sim´etrica, ou seja, C = −CT.

Introduz-se, de seguida, um n´umero que se associa a toda a matriz qua-drada designado de tra¸co da matriz .

Defini¸c˜ao 1.5.3 Seja A ∈ Mn. O tra¸co de A, denotado de Tr (A), ´e a soma

dos elementos da diagonal principal de A, isto ´e, Tr (A) = a11+ a22+ . . . + ann

Exemplo: Determine o tra¸co da matriz

A =   4 1 −2 2 −5 6 7 3 0  .

(18)

Solu¸c˜ao. Obt´em-se Tr (A) = 4 + (−5) + 0 = −1.

O tra¸co de matriz desempenha um papel muito importante na teoria das matrizes por causa das suas propriedades muito simples. Este conceito é utilizado em áreas tais como a mecânica estat´ıstica, na relatividade geral na mecânica quântica, uma vez que tem um significado f´ısico. No teorema seguinte apresentam-se alguns resultados sobre o tra¸co.

Teorema 5 Sejam A, C matrizes e c um escalar. Suponhamos que as ma-trizes tˆem ordem que permitem as opera¸c˜oes seguintes:

(a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B) (b) Tr (AB) = Tr (BA)

(c) Tr (cA) = cTr (A) (d) Tr (AT_{) = Tr (A)}

Demonstra¸cão. Prova-se apenas a al´ınea (a), as demonstra¸cão das restan-tes al´ıneas são deixadas a cargo do leitor. Como os elementos da diagonal principal de A + B são (a11+ b11), (a22+ b22), . . . , (a22+ b22), obtém-se

Tr (A + B) = (a11+ b11) + (a22+ b22) + . . . + (ann+ bnn)

= (a11+ a22+ . . . + ann) + (b11+ b22+ . . . + bnn)

= Tr (A) + Tr (B).

Para finalizar esta se¸cão, abordar-se-á o tema sobre matrizes com entradas complexas. Um número complexo é um número da forma z = a + b i. onde a, b são números reais e i =√−1. a designa-se parte real e b designa-se parte imaginária de z. O conjunto constitu´ıdo pelos números complexos denota-se por C

Descrevem-se de seguida, a regras da aritmética para números complexos. Sejam z1 = a + b i e z2 = c + d i números complexos. Então

1. z1 = z2 se e s´o se a = c e b = d;

(19)

3. z1 − z2 = (a − c) + (b − d) i

4.

z1z2 = (a + b i)(c + d i) = a(c + d i) + b i(c + d i)

= ac + ad i + bc i + bdi2

= ac + bdi2+ (ad + bc) i = (ac − bd) + (ad + bc) i

O conjugado de um n´umero complexo z = a + b i define-se e denota-se por z = a − b i.

Exemplo. Considere os n´umeros complexos z1 = 2 + 3 i e z2 = 1 − 2 i.

Calcule z1+ z2, z1z2 e z1.

Solu¸cão. Usando as defini¸cões anteriores, obtém-se

z1+ z2 = (2 + 3 i) + (1 − 2 i) = (2 + 1) + (3 − 2) i = 3 + i

z1z2 = (2 + 3 i)(1 − 2 i) = 2(1 − 2 i) + 3 i(1 − 2 i) = 2 − 4 i + 3 i − 6 i2 = 8 − i

z1 = 2 − 3 i

As opera¸c˜oes matriciais em matrizes com entradas complexas s˜ao exac-tamente iguais ao caso de matrizes com entradas reais,

Exemplo. Sejam A = 2 + i 3 − 2 i 4 5 i e B = 3 2 i 1 + i 2 + 3 i . Calcule A + B, 2A e AB.

Solu¸c˜ao. Obt´em-se

A + B = 2 + i 3 − 2 i 4 5 i + 3 2 i 1 + i 2 + 3 i = 2 + i + 3 3 − 2 i + 2 i 4 + 1 + i 5 i + 2 + 3 i = 5 + i 3 5 + i 2 + 8 2A = 2 2 + i 3 − 2 i 4 5 i = 4 + 2 i 6 − 4 i 8 10 i

(20)

AB = 2 + i 3 − 2 i 4 5 i 3 2 i 1 + i 2 + 3 i

= 3(2 + i) + (3 − 2 i)(1 + i) (2 + i)(2 i) + (3 − 2 i)(2 + 3 i) 4 × 3 + (5 i)(1 + i) 4(2 i) + (5 i)(2 + 3 i) = 11 + 4 i 10 + 9 i 7 + 5 i −15 + 8 i .

A conjugada da matriz A denota-se por A e obt´em-se de A fazendo a conjugada de cada uma das entradas de A. A matriz transconjugada de A escreve-se e define-se por A∗ = AT. Por exemplo, se A = 2 + 3 i 1 − 4 i

6 7 i , ent˜ao A = 2 − 3 i 1 + 4 i 6 −7 i e A∗ = AT = 2 − 3 i 6 1 + 4 i −7 i . Uma matriz quadrada diz-se herm´ıtica se A = A∗.

Por exemplo, a matriz C = 2 3 − 4 i 3 + 4 i −7 i é herm´ıtica. De facto, C = 2 3 + 4 i 3 − 4 i 6 e C∗ = CT = 2 3 − 4 i 3 + 4 i −7 i = C. As propriedades da transconjugada são semelhantes às propriedades da transposta, como se pode constatar no teorema que se segue.

Teorema 6 Sejam A, B matrizes com entradas complexas e seja z um n´umero complexo. Ent˜ao

(a) (A + B)∗ = A∗+ B∗;

(b) (z A)∗ = z A∗;

(c) (AB)∗ = B∗A∗

(21)

1.6 Inversa de uma matriz

Dado um escalar não nulo α, então para cada escalar β a equa¸cão αx = β tem uma única solu¸cão dada por x = α−1β. Será poss´ıvel efectuar um racioc´ınio semelhante no caso dos sistemas de equa¸cões lineares da forma AX = B, isto é, será poss´ıvel encontrar uma matriz “A−1” de modo que X = A−1B? A resposta a esta questão é afirmativa no caso da matriz A ser quadrada.

Defini¸cão 1.6.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A é invert´ıvel (ou regular ou não singular) se existir uma matriz quadrada B de ordem n, tal que AB = BA = In.

Note-se que existe apenas uma matriz quadrada B satisfazendo as igual-dades anteriores. A matriz B denomina-se inversa da matriz A e denota-se por A−1.

Teorema 7 Sejam A, B ∈ Mn invert´ıveis. Ent˜ao

1. AB é invert´ıvel e (AB)−1 = B−1A−1; 2. Ak _´_{e invert´ıvel e (A}k₎−1_{= A}−1 A−1. . . A−1 | {z } k vezes , k ∈ N; 3. AT _´_{e invert´ıvel e (A}T₎−1 _{= (A}−1₎T_; 4. A−1 é invert´ıvel e (A−1)−1 = A; 5. (αA)−1 = _α1A−1, α 6= 0; 6. I_n−1 = In. Demonstra¸cão:

1. Note-se que B−1A−1 é inversa de AB se e só se (AB)(B−1A−1) = (B−1A−1)(AB) = In. Dado que as matrizes A e B são invert´ıveis e que

o produto de matrizes ´e associativo, vem

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA−1 = AA−1 = In

e

(22)

2. Uma vez que (A−1)m_´_{e inversa de A}m _{se e s´}_{o se A}m_(A−1₎m _{= (A}−1₎m_Am ₌

In e que A ´e invert´ıvel e o produto de matrizes ´e associativo, tem-se

Am(A−1)m = (A . . . AAA) | {z } m vezes (A−1A−1A−1. . . A−1) | {z } m vezes = (A . . . AA) | {z } m−1 vezes (AA−1) (A−1A−1. . . A−1) | {z } m−1 vezes = (A . . . AA) | {z } m−1 vezes In(A−1A−1. . . A−1) | {z } m−1 vezes = (A . . . AA) | {z } m−1 vezes (A−1A−1. . . A−1) | {z } m−1 vezes = · · · = In.

3. Dado que (A−1)T _´_{e inversa de A}T _{se e s´}_{o se (A}−1₎T_AT _{= (A}T_A−1₎T _{= I} n

e que A ´e invert´ıvel e o produto de matrizes ´e associativo, tem-se (A−1)TAT = (A A−1)T = In

e

(ATA−1)T = (A−1A)T = In.

As demonstra¸cões de 4. e 5. são análogas às anteriores e deixam-se a cargo do leitor. A demonstra¸cão de 6. é imediata.

Defini¸cão 1.6.2 Uma matriz A é ortogonal se e só se a sua inversa coincidir com a sua transposta, i.e., A−1= AT.

Seja A ∈ Mn uma matriz invert´ıvel. A matriz inversa de A pode ser

determinada usando o algoritmo de Gauss-Jordan, que consiste nos seguintes passos:

1. Aplicar à matriz [A|In], de ordem n × 2n, o método de elimina¸cão de

Gauss descendente.

2. Quando a matriz estiver na forma de escada, se o número de linhas não nulas for menor que n, então a matriz A não é invert´ıvel. Caso contrário,

(23)

2.i come¸cando pela última linha e utilizando opera¸cões elementares, anulam-se os elementos que se encontram acima da diagonal prin-cipal da matriz à esquerda.

2.ii Depois de transformada a matriz `a esquerda na forma diagonal dividem-se todas as linhas pelos respectivos elementos diagonais da matriz `a esquerda.

No final deste processo obt´em-se a matriz [I|A−1].

A partir do m´etodo anterior, pode-se concluir que A ∈ Mn ´e invert´ıvel se

e s´o se a sua caracter´ıstica ´e igual a n.

Exemplo. Averig´ue se a seguinte matriz ´e invert´ıvel e em caso afirmativo determine a sua inversa.

A =   1 1 4 2 5 4 1 4 −2  .

Solu¸cão. Come¸ca-se por aplicar o método de elimina¸cão de Gauss descen-dente à matriz [A|I] =   1 1 4 | 1 0 0 2 5 4 | 0 1 0 1 4 −2 | 0 0 1  .

O primeiro passo consiste em adicionar à segunda e à terceira linhas de [A|I] a primeira linha multiplicada por −2 e −1, respectivamente. Na matriz obtida adiciona-se à terceira linha a segunda multiplicada por −1:

[A|I] =   1 1 4 | 1 0 0 2 5 4 | 0 1 0 1 4 −2 | 0 0 1   −→ L2←L2−2L1 L3←L3−L1   1 1 4 | 1 0 0 0 3 −4 | −2 1 0 0 3 −6 | −1 0 1   −→ L3 ← L3− L2   1 1 4 | 1 0 0 0 3 −4 | −2 1 0 0 0 −2 | 1 −1 1  .

Como se pode observar a matriz A é invert´ıvel, dado que o número de linhas não nulas da matriz em escada à esquerda é 3. Inicia-se, agora, a elimina¸cão de Gauss ascendente. Usa-se o elemento −2 que se encontra na posi¸cão (3, 3) para anular os restantes elementos da terceira coluna (adiciona-se à segunda e primeira linhas a terceira multiplicada por −2 e 2, respectivamente). Na

(24)

nova matriz obtida, adiciona-se `a primeira linha a segunda multiplicada por −1 3:   1 1 0 | 3 −2 2 0 3 0 | −4 3 −2 0 0 −2 | 1 −1 1   −→ L1 ← L1− 1₃L2   1 0 0 | 13 3 −3 8 3 0 3 0 | −4 3 −2 0 0 −2 | 1 −1 1  . Do lado esquerdo obteve-se uma matriz diagonal. Resta dividir a segunda linha por 3 e a terceira por −2:

[I|A−1] =   1 0 0 | 13₃ −3 8 3 0 1 0 | −4₃ 1 −2 3 0 0 1 | −1₂ 1₂ −1 2  . Conclu´ı-se que A ´e invert´ıvel e a sua inversa ´e

A−1 =   13 3 −3 8 3 −4 3 1 − 2 3 −1 2 1 2 − 1 2  .

Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares          a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2 .. . am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn = bm. . ´

E poss´ıvel escrever este sistema usando nota¸c˜ao matricial. De facto,      a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn .. . am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn.      =      b1 b2 .. . bm     

A matriz da esquerda pode ser escrita como o produto da matriz dos coefici-entes A e a matriz coluna das vari´aveis. Seja AB a matriz coluna dos termos independentes, isto ´e, A      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . . . ... am1 am2 . . . amn      X      x1 x2 .. . xn      = B      b1 b2 .. . bm     

(25)

Teorema 8 Se A ∈ Mn ´e invert´ıvel, ent˜ao verifica-se facilmente que a

solu¸c˜ao do sistema AX = B ´e dada por X = A−1B.

Demonstra¸c˜ao: A invertibilidade de A implica que AX = B seja equivalente a A−1(AX) = A−1B o que, conjuntamente com a associatividade do produto matricial, permite escrever a equa¸c˜ao anterior da forma InX = A−1B, ou

seja, X = A−1B. Exemplo. Seja    x + y + 4z = 1 2x + 5y + 4z = 1 x + 4y − 2z = 0.

Este sistema pode representar-se matricialmente como AX = B, onde

A =   1 1 4 2 5 4 1 4 −2  , X =   x y z   e B =   1 1 0  .

Pelo exerc´ıcio anterior tem-se

A−1 =   13 3 −3 8 3 −4 3 1 − 2 3 −1 2 1 2 − 1 2  . Logo, X = A−1B =   13 3 −3 8 3 −4 3 1 − 2 3 −1 2 1 2 − 1 2     1 1 0  =   4 3 −1 3 0  . Assim, o conjunto solu¸c˜ao do sistema ´e {(4 3, − 1 3, 0)}.

(26)

7236(&5(7

(27)

Determinantes e

Valores/Vectores Pr´

oprios

Como se constatou no Cap´ıtulo 1, nem sempre uma matriz quadrada ´e invert´ıvel. Recorde-se que

A ∈ Mn ´e invert´ıvel se e s´o se car(A) = n. (2.1)

Neste cap´ıtulo, mostra-se que ´e poss´ıvel associar a cada matriz A ∈ Mn

um n´umero, dependendo exclusivamente das entradas da matriz, que permite decidir acerca da invertibilidade de A. Este n´umero designa-se determinante de A e denota-se por det (A) ou |A|.

2.1 Determinantes - Defini¸

c˜

oes e

Proprieda-des

O caso 1 × 1 ´e trivial. De facto, uma matriz A = [a11] ∈ M1 ´e invert´ıvel

se e s´o se a116= 0, isto ´e, car(A) = 1.

Analise-se, agora, o caso 2 × 2. Considere-se a matriz A = a11 a12

a21 a22

e comece-se por supor que a11 6= 0. Assim,

A = a11 a12 a21 a22 _−→ L2 → L2− a_a21₁₁L1 a11 a12 0 a22− a_a21 11a12 = " _a 11 a12 0 a22a11− a21a12 a11 # , 27

(28)

o que, juntamente com (2.1), permite concluir que A é invert´ıvel se e só se a22a11− a21a126= 0. Se a11= 0, então A = 0 a12 a21 a22 −→ L2 ↔ L1 a₂₁ a22 0 a12

e A ´e invert´ıvel quando a21 6= 0 e a12 6= 0, isto ´e quando a21a12 6= 0. Deste

modo, construiu-se, a partir das entradas da matriz, o n´umero a22a11−a21a12,

que indica se a matriz A ´e ou n˜ao invert´ıvel.

Em termos pr´aticos, o determinante de uma matriz de ordem 2, A = [aij] ,

pode calcular-se utilizando uma regra, habitualmente designada Regra dos Produtos Cruzados, que consiste em subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária ao produto dos elementos da diagonal principal, isto é, Defini¸cão 2.1.1 O determinante de uma matriz 2 × 2 denota-se por |A| ou det (A) e é dado por

a11 a12 a21 a22 = a22a11− a21a12

Exemplo. Considere-se a matriz A = 1 2

3 4

∈ M2,

ent˜ao det (A) = 1 × 4 − 3 × 2 = −2.

No caso de A ∈ M3 mostra-se, de forma semelhante, que

A =   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   ´e invert´ıvel se e s´o se a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23− a31a22a13− a11a32a23− a21a12a33 6= 0.

Tal como no caso 2 × 2, o determinante de uma matriz de ordem 3 pode obter-se usando uma regra pr´atica designada Regra de Sarrus. A utiliza¸c˜ao desta regra pode resumir-se do seguinte modo:

(29)

1. Reproduzem-se as duas primeiras linhas, ap´os a terceira linha de A. 2. Considera-se a diagonal principal de A, (a11, a22, a33), e as sequˆencias

(a21, a32, a13) e (a31, a12, a23), bem como a diagonal secund´aria, (a31, a22, a13),

e as sequˆencias (a11, a32, a23) e (a21, a12, a33).

O determinante de A obtém-se multiplicando os elementos que constituem cada uma das sequências, somando, depois, as parcelas correspondentes à diagonal principal e às duas sequências que lhe estão associadas e subtraindo as parcelas relativas à diagonal secundária e às outras duas sequências que lhe correspondem.

Defini¸c˜ao 2.1.2 O determinante de uma matriz A ∈ M3 ´e dado por

|A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

= a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33.

Exemplo. Seja A =   1 2 3 4 5 6 1 1 −1  ∈ M3,

ent˜ao det (A) = 1 × 5 × (−1) + 4 × 1 × 3 + 1 × 2 × 6 − 1 × 5 × 3 − 1 × 1 × 6 − 4 × 2 × (−1) = 6.

Apresentam-se de seguida algumas propriedades imediatas associadas ao determinante de uma matriz 2 × 2:

1. Seja A = [aij] ∈ M2, ent˜ao det a11+ a 0 11 a12+ a012 a21 a22 = det a11 a12 a21 a22 + det a 0 11 a 0 12 a21 a22 .

Esta propriedade admite uma vers˜ao an´aloga no caso da soma ocorrer na segunda linha da matriz.

(30)

2. Seja A = [aij] ∈ M2 e α ∈ R, ent˜ao det α a11 α a12 a21 a22 = α det a11 a12 a21 a22 .

Esta propriedade ainda é válida no caso de α estar multiplicado pela segunda linha. 3. Seja A = [aij] ∈ M2, então det a11 a12 a21 a22 = −det a21 a22 a11 a12 . 4. det (I2) = 1.

As propriedades anteriores continuam a ser v´alidas para o caso de matrizes de ordem 3 e as demonstra¸c˜oes deixam-se a cargo do leitor.

Defini¸c˜ao 2.1.3 O determinante de uma matriz A ∈ Mn como sendo a

fun¸c˜ao

det : Mn → R

A ,→ det (A),

que a cada matriz quadrada A de ordem n faz corresponder um n´umero real, det (A), de tal modo que as seguintes condi¸c˜oes sejam satisfeitas:

P1. det (L1, . . . , Li+ L0i, . . . , Ln) = det (L1, . . . , Li, . . . , Ln)+det (L1, . . . , L0i, . . . , Ln) ;

P2. det (L1, . . . , αLi, . . . , Ln) = α det (L1, . . . , Li, . . . , Ln) ;

P3. det (L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) = −det (L1, . . . , Lj, . . . , Li, . . . , Ln) ;

P4. det (In) = 1,

onde Li representa a i−´esima linha da matriz A.

Da Propriedade 1 conclui-se que, em geral, dadas A, B ∈ Mn,

(31)

Exemplo. Considerem-se as matrizes de ordem 2 A = 1 0 0 0 e B = 0 0 0 −1 . Ent˜ao, A + B = 1 0 0 −1 e det (A + B) = −1.

Como det (A) = det (B) = 0, vem que det (A) + det (B) 6= det (A + B).

Teorema 9 O determinante de uma matriz com, pelo menos, duas linhas iguais ´e nulo.

O teorema anterior prova-se facilmente recorrendo à Propriedade 3. De facto, P3. permite concluir que trocando duas linhas iguais o sinal do de-terminante altera-se, mas, por outro lado, a matriz mantém-se igual e, como tal, o seu determinante também se mantém. Assim, det (A) = −det (A) e, por isso, o determinante é nulo.

O pr´oximo teorema generaliza o Teorema 9. Teorema 10 Seja A ∈ Mn. Ent˜ao, tem-se:

(a) Se existirem na matriz A ∈ Mn duas linhas m´ultiplas uma da outra,

ent˜ao det (A) = 0. Em particular, det (A) = 0 se A tiver uma linha nula.

(b) Se a j-´esima linha de A ∈ Mn se escrever da forma Lj = Σnk=1,k6=jαkLk,

sendo αk escalares, ent˜ao det (A) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Considere-se que Lk, k = 1, . . . , n, representam as linhas

de A e seja Lj = αLi, com α escalar. Aplicando a Propriedade 2 e o Teorema

9, vem

det (L1, . . . , Li, . . . , αLi, . . . , Ln) = α det (L1, . . . , Li, . . . , Li, . . . , Ln)

= α 0 = 0.

O caso particular de uma linha nula resulta de se considerar Lj = 0Li. Deste

(32)

Considere-se agora Lj = Σnk=1,k6=jαkLk. Ent˜ao, aplicando a Propriedade

1 e a al´ınea (a), obt´em-se:

det L1, . . . , Lk, . . . , n X k=1,k6=j αkLk, . . . , Ln ! = n X k=1,k6=j det (L1, . . . , Lk, . . . , αkLk, . . . , Ln) = n X k=1,k6=j 0 = 0,

obtendo-se assim a al´ınea (b).

A demonstra¸cão do teorema seguinte é trivial, uma vez que as proprieda-des decorrem imediatamente da defini¸cão de fun¸cão determinante.

Teorema 11 Seja A ∈ Mn. Ent˜ao, tem-se:

(a) O determinante n˜ao se altera se a uma linha de A for adicionado um m´ultiplo de outra linha de A.

(b) Multiplicando os elementos de n linhas de uma matriz A, pelos escalares n˜ao nulos α1, . . . , αn, obt´em-se uma matriz B, satisfazendo

det (B) = α1× · · · × αndet (A).

(c) O determinante de uma matriz ´e igual ao determinante da sua trans-posta, isto ´e, det (A) = det (AT).

(d) O determinante de uma matriz triangular A ´e o produto dos elementos da diagonal principal.

(e) Se B ∈ Mn, ent˜ao det (AB) = det (A)det (B).

Como consequência do Teorema 11 (c), as propriedades apresentadas em termos de linhas de uma matriz, também, são válidas em termos de colunas. Exemplo.

(33)

2. Considere-se A = (L1, L2, L3), onde Li, i = 1, 2, 3, representam as

linhas de A. Sabendo que det (A) = −2, calcule det (B), com B = (−2L1+ 4L2, 5L3, 3L2+ L3).

Solu¸c˜ao: 1. Considere-se A = (L1, . . . , Ln), onde Li, i = 1, . . . , n,

represen-tam as linhas de A. Ent˜ao,

det (2A) = det (2L1, 2L2, . . . , 2Ln) = 2det (L1, 2L2, . . . , 2Ln)

= 22det (L1, L2, . . . , 2Ln) = . . . = 2ndet (L1, L2, · · · , Ln)

= 2ndet (A).

2. Utilizando a Propriedade 1, tem-se

det (B) = det (−2L1+ 4L2, 5L3, 3L2+ L3)

= det (−2L1+ 4L2, 5L3, 3L2) + det (−2L1+ 4L2, 5L3, L3) .

O segundo determinante é nulo, visto que a segunda linha é múltipla da terceira. Utilizando novamente a Propriedade 1, obtém-se

det (B) = det (−2L1+ 4L2, 5L3, 3L2)

= det (−2L1, 5L3, 3L2) + det (4L2, 5L3, 3L2) .

Mais uma vez, o segundo determinante é nulo, dado que a primeira linha é múltipla da terceira. Logo, utilizando as Propriedades 2 e 3, tem-se

det (B) = −2 × 5 × 3 det (L1, L3, L2) = −30 (−det (L1, L2, L3)) .

Dado que det (A) = −2, conclui-se que det (B) = 30 det (A) = −60. ´

E sempre poss´ıvel utilizar o algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss para cal-cular o determinante de uma matriz A ∈ Mn, transformando-a numa matriz

triangular. No entanto, é necessário não esquecer que:

1. A troca de linhas (colunas), entre si, altera o sinal do determinante. 2. Multiplicando os elementos de uma linha (coluna) da matriz A por um

escalar, n˜ao nulo, α obt´em-se uma matriz B tal que det (B) = α det (A). 3. A soma de uma linha (coluna) com outra multiplicada por um escalar

(34)

Exemplo. 1 2 −1 1 −1 −1 2 −1 0 −1 0 1 −1 −2 2 −1 = L2→L2+L1 L4→L4+L1 1 2 −1 1 0 1 1 0 0 1 −1 2 0 0 1 0 = C3↔C4 − 1 2 1 −1 0 1 0 1 0 1 2 −1 0 0 0 1 = L3→L3−L2 − 1 2 1 −1 0 1 0 1 0 0 2 −2 0 0 0 1 = −(1 × 1 × 2 × 1) = −2.

Utilizando o procedimento descrito anteriormente, conclui-se, facilmente, que det (A) = 0 se e s´o se a caracter´ıstica da matriz A ∈ Mn ´e inferior a n.

Logo, det (A) 6= 0 se e s´o se a caracter´ıstica da matriz A ´e igual a n. Assim, pode dizer-se que:

Teorema 12 Seja A ∈ Mn. Então A ∈ Mné invert´ıvel se e só se det (A) 6=

0.

Se uma matriz A ∈ Mn ´e invert´ıvel ent˜ao A A−1 = In. Deste modo,

det (A A−1) = det (In)

que, pelo Teorema 11 (e), ainda se pode escrever, de forma equivalente, como det (A)det (A−1) = 1. Obt´em-se, assim, a propriedade seguinte

Teorema 13 Seja A ∈ Mn invert´ıvel . Ent˜ao

det (A−1) = 1 det (A).

Considere-se A ∈ Mn. Para cada n ∈ N existe uma ´unica fun¸c˜ao

determi-nante. De seguida apresenta-se uma fórmula, definida por recorrência, que permite escrever o determinante de uma matriz de ordem n como combina¸cão linear de determinantes de ordem n − 1. Primeiro introduzem-se os conceitos de menor e complemento algébrico de uma matriz.

(35)

Defini¸c˜ao 2.1.4 Seja Aij a submatriz de A = [aij] ∈ Mn obtida por

su-press˜ao da linha i e da coluna j. Chama-se menor e complemento alg´ebrico (co-factor) de ´ındices i e j de A a det(Aij) e (−1)i+jdet(Aij),

respectiva-mente. Exemplo.Considere-se A =   1 2 3 4 5 6 7 8 9  ∈ M3.

O menor de ´ındices 2 e 3 de A ´e det (A23) =

1 2 7 8 = −6 e o co-factor de ´ındices 2 e 3 de A ´e (−1)2+3det (A23) = 6.

Comece-se, agora, por analisar a f´ormula que permite calcular o determi-nante no caso de A = [aij] ∈ M3. Pela regra de Sarrus, obt´em-se

det (A) = a11a22a33+a13a21a32+a31a12a23−(a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33).

Agrupando as parcelas que contêm a11, as que contêm a12 e as que contêm

a13 pode escrever-se a express˜ao anterior na forma

det (A) = a11(a22a33− a23a32) − a12(a21a33− a23a31) + a13(a21a32− a22a31) ou seja, det (A) = a11 a22 a23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 .

Provou-se, assim, que para o caso 3×3 o determinante de A se obtém multipli-cando os elementos da primeira linha de A pelos respectivos complementos algébricos. Mostra-se, facilmente, que se em vez da primeira linha tivesse sido utilizada qualquer uma das outras linhas/colunas de A o resultado se-ria análogo. Esta fórmula pode ser generalizada para matrizes de ordem n obtendo-se o seguinte resultado, conhecido como Teorema de Laplace:

(36)

Teorema 14 Seja A = [aij] ∈ Mn. Então, o determinante de A é igual à

soma dos produtos dos elementos de uma linha/coluna arbitrária de A pelos respectivos complementos algébricos, isto é, fixando uma linha,

det(A) =

n

X

j=1

aij(−1)i+jdet(Aij), i = 1, . . . , n;

ou, fixando uma coluna, det(A) =

n

X

i=1

aij(−1)i+jdet(Aij), j = 1, . . . , n.

Esta fórmula é particularmente útil se uma das linhas ou das colunas da matriz tiver muitos zeros.

Exemplo. Efectuando o desenvolvimento de Laplace ao longo da 2a coluna da matriz A, obt´em-se

det (A) = 1 1 1 1 1 0 2 1 3 0 1 1 1 1 2 1 = 1 × (−1)1+2det (A12) + 0 × (−1)2+2det (A22) + + 0 × (−1)3+2det (A32) + 1 × (−1)4+2det (A42) = = − 1 2 1 3 1 1 1 2 1 + 1 1 1 1 2 1 3 1 1 = −2.

Na prática é habitual utilizar-se um método h´ıbrido para o cálculo de determinantes, que consiste em aplicar o algoritmo de elimina¸cão de Gauss a uma linha (coluna) que contiver mais zeros, efectuando depois o desenvol-vimento de Laplace ao longo dessa linha (coluna).

Exemplo. Considerando a opera¸c˜ao elementar que se segue e efectuando o desenvolvimento de Laplace ao longo da 2a _{coluna, obt´}_em-se

1 1 1 1 1 0 2 1 3 0 1 1 1 1 2 1 =L4→L4−L1 1 1 1 1 1 0 2 1 3 0 1 1 0 0 1 0 = 1 × (−1)1+2 1 2 1 3 1 1 0 1 0 = −2.

(37)

2.2 Algumas aplica¸

c˜

oes dos determinantes

Nesta seçcão, apresenta-se algumas aplica¸cões da teoria dos determinan-tes, nomeadamente ao cálculo da matriz inversa de uma matriz e à resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares.

Seja A = [aij] ∈ Mn uma matriz invert´ıvel. A matriz inversa de A pode

ser obtida utilizando a teoria dos determinantes. Para tal:

1. Constr´oi-se a matriz dos complementos alg´ebricos ou a matriz dos co-factores de A,

Cof(A) =(−1)i+jdet (Aij) ∈ Mn,

que se obt´em substituindo cada componente aij da matriz A pelo seu

complemento alg´ebrico;

2. Transpõe-se a matriz dos complementos algébricos, obtendo-se a matriz adjunta de A, Adj (A), isto é, Adj (A) = (Cof (A))T_;

3. A matriz inversa de A obt´em-se multiplicando a matriz adjunta de A por _{det (A)}1 , isto ´e,

A−1 = 1

det (A) × Adj (A). (2.2)

Exemplo.

1. Determine a inversa da matriz

A =   1 −1 0 −1 0 1 2 1 1  ∈ M3.

(38)

Solu¸cão: 1. Como det (A) = −4 6= 0, A é invert´ıvel e a matriz adjunta de A é dada por Adj(A) = (Cof(A))T =   (−1)2_{det (A} 11) (−1)3det (A12) (−1)4det (A13) (−1)3_{det (A} 21) (−1)4det (A22) (−1)5det (A23)

(−1)4det (A31) (−1)5det (A32) (−1)6det (A33)

  T =         (−1)2 0 1 1 1 (−1)3 −1 1 2 1 (−1)4 −1 0 2 1 (−1)3 −1 0 1 1 (−1)4 1 0 2 1 (−1)5 1 −1 2 1 (−1)4 −1 0 0 1 (−1)5 1 0 −1 1 (−1)6 1 −1 −1 0         T =   −1 3 −1 1 1 −3 −1 −1 −1   T =   −1 1 −1 3 1 −1 −1 −3 −1  . Assim, A−1 = 1

det (A)Adj(A) =   1 4 − 1 4 1 4 −3 4 − 1 4 1 4 1 4 3 4 1 4  .

2. Dado que A ´e invert´ıvel, verifica-se (2.2) e, como tal, Adj(A) = det (A).A−1. Assim, usando a igualdade anterior e a associatividade do pro-duto matricial, pode escrever-se

A.Adj (A) = A. det (A).A−1 = det (A). A.A−1_{= det (A).I.}

Analogamente,

Adj (A).A = det (A).A−1 .A = det (A). A−1.A = det (A).I.

A utiliza¸cão de (2.2) para o cálculo da inversa é por vezes útil para alguns tipos especiais de matrizes. No entanto, em geral, não é a melhor escolha como processo de cálculo da inversa de uma matriz, porque requer, por exem-plo, mais cálculos do que o método de Gauss-Jordan.

Tal como já foi referido anteriormente, o determinante de uma matriz A permite decidir se essa matriz é ou não invert´ıvel e, consequentemente, se o

(39)

sistema linear AX = B tem solu¸cão única. De seguida, apresenta-se uma fórmula para obter a solu¸cão de um sistema AX = B, no caso de A ∈ Mn ser

invert´ıvel. A um sistema nestas condi¸cões dá-se o nome de sistema de Cramer e a fórmula utilizada para obter a sua solu¸cão, habitualmente designada por Regra de Cramer, é apresentada de seguida.

Teorema 15 Sejam A ∈ Mn e X, B ∈ Mn×1. Se det (A) 6= 0, ent˜ao o

sistema AX = B tem uma ´unica solu¸c˜ao xi =

|A0 i|

|A|, i = 1, . . . , n;

sendo A0_i a matriz que se obt´em de A substituindo a i-´esima coluna de A pelo vector dos termos independentes B.

Demonstra¸cão: Como det (A) 6= 0 a solu¸cão do sistema AX = B é única e ´

e dada por

X = A−1B

= 1

|A|Adj(A)B o elemento xi de X ´e dado por

xi =

1

|A|[ linha i de Adj(A)] × B

= 1 |A|[C1iC2i. . . Cni]      b1 b2 .. . bn      = 1 |A|(b1C1i+ b2C2i+ . . . + bnCni).

A expressão em parentesis é a expansão do co-factor de |A0_i| em fun¸cão da coluna i. Assim, xi = |A0 i| |A|.

(40)

Exemplo. Considere-se o sistema definido por A =   1 1 1 1 2 1 1 2 3  , X =   x y z   e B =   2 1 3  .

Uma vez que det (A) = 2 6= 0, o sistema é de Cramer, sendo por isso poss´ıvel e determinado, isto é, tendo apenas uma solu¸cão. Assim, usando a regra de Cramer, obtém-se

x = 2 1 1 1 2 1 3 2 3 det (A) = 2, y = 1 2 1 1 1 1 1 3 3 det (A) = −1 e z = 1 1 2 1 2 1 1 2 3 det (A) = 1. Logo, o conjunto solu¸c˜ao do sistema ´e {(2, −1, 1)}.

Note-se que, como o cálculo de determinantes de matrizes de grandes dimensões é moroso, não se aconselha a utiliza¸cão da Regra de Cramer para resolver sistemas de Cramer com um grande número de incógnitas.

Defini¸cão 2.2.1 Considere-se a matriz A ∈ Mn. Um vector próprio de A é

um vector X ∈ Rn_{\{0}, tal que}

AX = λX, para algum escalar λ.

O escalar λ designa-se valor próprio de A e o vector X diz-se vector próprio associado ao valor próprio λ.

Note-se que, embora seja poss´ıvel que um valor próprio seja nulo, o vec-tor nulo nunca poderá ser vector próprio. Na verdade, A ter um valor próprio nulo significa que A não é invert´ıvel. Para mostrar a veracidade desta afirma¸cão basta notar que se 0 é valor próprio de A, então o sistema AX = 0 tem mais do que uma solu¸cão (não é um sistema de Cramer). Logo, det (A) = 0 e, como tal, A não é invert´ıvel. Deste modo, os valores próprios de A ∈ Mn são todos os escalares λ que são solu¸cão da equa¸cão

(41)

A esta equa¸cão dá-se o nome de equa¸cão caracter´ıstica de A e a det (A − λI) dá-se o nome de polinómio caracter´ıstico de A e representa-se por pA(λ).

Dado λ uma raiz da equa¸cão caracter´ıstica de A, designa-se de multiplici-dade algébrica do valor próprio λ a multiplicidade de λ como raiz da equa¸cão caracter´ıstica de A.

Note-se que, o coeficiente do termo de grau n do polin´omio caracter´ıstico de A ´e (−1)n _{e o termo independente ´}_{e det (A). Assim,}

pA(λ) = (−1)nλn+ an−1λn−1+ . . . + a1λ + det (A).

Para um dado valor próprio de A, λ, os vectores próprios de A associados a λ são os vectores que pertencem ao seguinte conjunto

VA(λ) = {X ∈ Rn\{0} : (A − λI)X = 0} .

Exemplo. Considere-se a matriz

A = 1 −2

0 1

∈ M2.

O escalar λ é valor próprio de A se e só se det (A − λI) = 0. Assim, 1 − λ −2 0 1 − λ = 0 ⇔ (1 − λ)2 = 0 ⇔ λ = 1.

Como tal, 1 é valor póprio de A com multiplicidade algébrica 2.

O conjunto dos vectores próprios de A associados ao valor próprio 1 é VA(1) =X = (x, y) ∈ R2\{(0, 0)} : (A − I)X = 0 . Como (A − I)X = 0 ⇔ 0 −2 0 0 x y = 0 0 ⇔ (y = 0 ∧ x ∈ R), vem que VA(1) = (x, y) ∈ R2\{(0, 0)} : y = 0 = {(x, 0) : x ∈ R\{0}} .

Observe-se que a cada valor próprio está associado mais do que um vector próprio, mas a cada vector próprio está associado um e um só valor próprio.

(42)

Teorema 16 Seja A ∈ Mn. Ent˜ao:

1. Se X é um vector próprio de A associado ao valor próprio λ, então αX, α 6= 0, também é vector próprio de A associado a λ.

2. As matrizes A e AT tˆem os mesmos valores pr´oprios.

3. Se A é triangular, então os seus valores próprios são os elementos da diagonal principal de A.

Demonstra¸cão: 1. Supondo que X é um vector próprio de A associado a λ, vem que

A(αX) = α(AX) = α(λX) = λ(αX), X 6= 0.

Logo, αX também é vector próprio de A associado ao valor próprio λ. 2. Aplicando o Teorema 11 (c), obtém-se

det (A − λI) = 0 ⇔ det ((A − λI)T) = 0, que ainda se pode escrever como

det (AT − λI) = 0.

Assim, as matrizes A e AT _tˆ_{em os mesmos valores pr´}_oprios.

3. Seja A = [aij] ∈ Mn triangular superior. O escalar λ ´e valor pr´oprio de A

se e s´o se det (A − λI) = 0. Assim,

det (A − λI) = 0 ⇐⇒ a11− λ a12 . . . a1n 0 a22− λ . . . a2n .. . ... . .. ... 0 0 . . . ann− λ = 0.

Aplicando o Teorema 11 (d), obt´em-se

det (A − λI) = 0 ⇐⇒ (a11− λ)(a22− λ) . . . (ann− λ) = 0,

que ainda ´e equivalente a

λ = a11∨ λ = a22∨ . . . ∨ λ = ann.

Como tal, os valores próprios de A são os elementos da sua diagonal principal. No caso de A triangular inferior a demonstra¸cão é análoga.

(43)

Espa¸

cos e Subespa¸

cos

Vectoriais

Denote-se por R3 o espa¸co tridimensional. Neste espa¸co ´e poss´ıvel cons-truir uma correspondˆencia entre pontos e vectores, desde que se considere um determinado ponto, O, como sendo a origem. Com efeito, a qualquer ponto P de R3 _{pode fazer-se corresponder o vector}_{OP , com origem em O e}→

extremidade em P . Neste conjunto, é poss´ıvel considerar as opera¸cões usuais de adi¸cão entre vectores e multiplica¸cão de um escalar real por um vector. Estas opera¸cões satisfazem as propriedades usuais de associatividade, co-mutatividade, distributividade, existência de oposto, etc. A no¸cão de espa¸co vectorial que se introduz neste cap´ıtulo generaliza este conceito e engloba, por exemplo, espa¸cos vectoriais n-dimensionais, entre outros.

3.1 Defini¸

c˜

ao e propriedades

Toda a fun¸cão f : A × A → A, onde A é um conjunto, não vazio, designa-se opera¸cão binária em A. Alguns exemplos de opera¸cões binárias são: a adi¸cão usual de dois números reais, visto que é uma opera¸cão que transforma o par de número reais (a, b) no número real a + b, a multiplica¸cão usual de dois números naturais, porque transforma o par de números naturais (a, b) no número natural ab, . . ..

Defini¸c˜_{ao 3.1.1 Seja K um conjunto no qual estejam definidas duas opera¸cões:} uma opera¸cão binária, designada por “adi¸cão” e uma opera¸cão “multiplica¸cão

(44)

escalar”, representadas pela simbologia usual. Diz-se que K, com essas opera¸c˜oes, constitui um corpo se se verificam as condi¸c˜oes seguintes:

(a) Propriedades da adi¸c˜ao:

(i) K ´e fechado para a adi¸c˜ao 1_;

(ii) Propriedade Comutativa: α + β = β + α, α, β ∈ K;

(iii) Propriedade Associativa: (α + β) + γ = α + (β + γ), α, β, γ ∈ K; (iv) Existˆencia de Elemento neutro: ∃0_K _{∈ K, tal que 0}_K + α = α,

α ∈ K;

(v) Existˆ_{encia de oposto: ∀α ∈ K, ∃ − α ∈ K, tal que α + (−α) = 0}_K;

(b) Propriedades da multiplica¸c˜ao:

(i) K ´e fechado para a multiplica¸c˜ao escalar 2; (ii) Propriedade Comutativa: α · β = β · α, α, β ∈ K;

(iii) Propriedade Associativa: (α · β) · γ = α · (β · γ), α, β, γ ∈ K; (iv) Existˆencia de Elemento neutro: ∃1_K _{∈ K, tal que 1}_K · α = α,

α ∈ K; (v) Existˆ

1_K;

(vi) Propriedade distributiva da multiplica¸c˜ao sobre a adi¸c˜ao (α + β) · γ = α · γ + β · γ

Entre os exemplos mais habituais de corpos contam-se o conjunto dos n´_{umeros reais, R, com as opera¸cões habituais; o conjunto dos números} raci-onais, Q, com as opera¸cões habituais; o conjunto dos números complexos, C, com as opera¸cões habituais3_.

1_{Este conceito ser´}_{a definido a seguir} 2_{Este conceito ser´}_{a definido a seguir}

3_{Os n´}_{umeros complexos apareceram como uma extens˜}_{ao dos n´}_{umeros reais, o seu}

con-junto representa-se por C e define-se como sendo C = {z = a + i b : a, b ∈ R e i2_{= −1}.}

Dados os números complexos z = a + b i e z0 = a0+ i b0 define-se a adi¸cão como sendo o complexo z + z0 = (a + a0) + i (b + b0) e a multiplica¸cão de um número complexo z = a + i b por outro número complexo α = α1+ i α2, como α · z = (α1a − α2b) + (α1b + α2a)i.

(45)

Defini¸c˜_{ao 3.1.2 Seja K o corpo dos números reais ou dos números} comple-xos. Um espa¸co vectorial é um conjunto V, não vazio, satisfazendo certas pro-priedades (descritas abaixo), e onde estão definidas duas opera¸cões: “adi¸cão” e “multiplica¸cão escalar”, representadas pela simbologia usual e definidas do modo seguinte: + : V × V −→ V (u, v) ,→ u + v (3.1) e · : K × V −→ V (α, v) ,→ α · v . (3.2)

Diz-se que V é fechado para a adi¸cão e fechado para a multiplica¸cão escalar se satisfizer (3.1) e (3.2), respectivamente. Assim, (V, +, ·) é um espa¸co vectorial sobre o corpo K se forem válidas as seguintes propriedades:

(a) Propriedades da adi¸c˜ao:

(i) V ´e fechado para a adi¸c˜ao;

(ii) Propriedade comutativa: u + v = v + u, u, v ∈ V ;

(iii) Propriedade associativa: (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w ∈ V ; (iv) Existˆencia de elemento neutro, ∃0V ∈ V , tal que u + 0V = u,

u ∈ V .

(v) Existˆencia de oposto: ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , tal que u + (−u) = 0V;

(b) Propriedades da multiplica¸c˜ao:

(i) V ´e fechado para a multiplica¸c˜ao escalar; (ii) α · (u + v) = α · u + α · v, α ∈ K e u, v ∈ V ; (iii) (α + β) · u = α · u + β · u; α, β ∈ K e u ∈ V ;

(iv) (α · β) · u = α · (β · u), α, β ∈ K e u ∈ V ;

(v) 1K · u = u, u ∈ V , onde 1K ´e o elemento neutro para a

multi-plica¸c˜_{ao em K.}

Os elementos de K são designados escalares e os elementos de V vecto-res. Se K = R ou K = C, então V diz-se um espa¸co vectorial real ou um espa¸co vectorial complexo, respectivamente. Quando as opera¸cões “adi¸cão”

(46)

e “multiplica¸c˜ao escalar” estiverem subentendidas, para simplificar a lingua-gem, dir-se-´_{a ”seja V um espa¸co vectorial sobre K“ em vez de ”seja V um} espa¸co vectorial definido por (V, +, ·)“.

Doravante, representa-se por 0V e 0 o elemento neutro para a adi¸c˜ao no

espa¸co vectorial V e o elemento neutro para a adi¸c˜_{ao em K, respectivamente.} As demonstra¸cões dos próximos exemplos deixam-se a cargo do leitor. Exemplo. 1. Seja n ∈ N. Mostra-se que (Kn, +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde Kn _{representa o conjunto dos n-´}_{uplos com elementos em K,}

i.e.,

Kn= {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn ∈ K}.

As opera¸c˜oes usuais s˜ao definidas por

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn)

e

α · (x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2. . . , αxn).

2. Seja n ∈ N. Mostra-se que (Rn[x], +, ·) ´e um espa¸co vectorial sobre

K, onde Rn[x] representa o conjunto dos polin´omios, na vari´avel x, com

coeficientes em K e que tˆem grau menor ou igual a n, i.e., Rn[x] = {anxn+ . . . + a1x + a0 : a0, a1, . . . , an∈ K}.

Neste caso, as opera¸c˜oes usuais s˜ao definidas por:

(anxn+. . .+a1x+a0)+(bnxn+. . .+b1x+b0) = (an+bn)xn+. . .+(a1+b1)x+(a0+b0)

e

α(anxn+ . . . + a1x + a0) = (αan)xn+ . . . + (αa1)x + (αa0).

3. Mostra-se que (R[x], +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde R[x] representa o conjunto dos polinómios de qualquer grau, na variável x, com co-eficientes em K. As opera¸cões usuais neste conjunto são idênticas às definidas no conjunto Rn[x].

4. Sejam m, n ∈ N. Prova-se que (Mm×n(K), +, ·) ´e um espa¸co vectorial

sobre K, onde Mm×n(K) representa o conjunto constitu´ıdo pelas matrizes

(47)

Dadas A = [aij], B = [bij] ∈ Mm×n e α ∈ K, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao

escalar s˜ao definidas por

A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij]

e

α · A = α[aij] = [αaij],

respectivamente.

4.1 Se m = 2 e n = 1, o conjunto M2×1(K) ´e definido do seguinte

modo: M2×1(K) = a b : a, b ∈ K .

Neste caso, a adi¸cão e a multiplica¸cão escalar são definidas por: A + B = a b + c d = a + c b + d e α · A = α a b = αa αb , respectivamente.

4.2 Se m = 1 e n = 2, o conjunto M1×2(K) ´e definido do seguinte

modo:

M1×2(K) = a b : a, b ∈ K ,

sendo a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao escalar definidas da seguinte forma: A + B = a b + c d = a + c b + d

e

α · A = α a b = αa αb , respectivamente.

Teorema 17 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K. Ent˜ao,} (a) 0 · u = 0V, u ∈ V ;

(b) α · 0V = 0V, α ∈ K;

(48)

(d) (α − β) · u = α · u − β · u, α, β ∈ K e u ∈ V ;

Demonstra¸c˜ao. A t´ıtulo exemplificativo, prova-se a al´ınea (a). Note-se que 0 · u + 0 · u + (−(0 · u)) = 0 · u + (−(0 · u)),

onde −(0 · u) é o oposto de 0 · u relativamente à opera¸cão adi¸cão de vectores. Visto que 0 · u + (−(0 · u)) = 0V, obtém-se 0 · u + 0V = 0V, donde resulta o

pretendido.

Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K. Doravante, para simplificar a nota¸c˜ao, escrever-se-´_{a α u, em vez de α · u, para α ∈ K e u ∈ V .}

Defini¸cão 3.1.3 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K. Diz-se que} V0 ⊆ V é um subespa¸co vectorial de V se e só se verifica as seguintes condi¸cões:

S1. V0 6= ∅;

S2. u + v ∈ V0, u, v ∈ V0;

S3. αu ∈ V0, α ∈ K e u ∈ V0.

Da defini¸cão anterior, conclui-se facilmente que V0 ⊆ V é um subespa¸co vectorial de V se e só se verifica as seguintes condi¸cões:

S4. V0 6= ∅;

S5. α u + β v ∈ V0, α, β ∈ K e u, v ∈ V0.

De facto, se V0 satisfaz S2 e S3, ent˜ao tamb´em satisfaz S5. Considere-se,

ent˜ao, u, v ∈ V0. Sabendo que V0 ´e fechado para o produto escalar (S2), vem

que α u, β v ∈ V0_{, para α, β ∈ K. Por outro lado, uma vez que V}0 ´e fechado para a adi¸c˜ao (S1), tem-se que α u + β v ∈ V0, como se queria demonstrar.

´

E curioso referir que se V ´_{e um espa¸co vectorial sobre um corpo K e V}0um subconjunto de V que é ainda espa¸co vectorial, considerando as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão escalar que definem V como espa¸co vectorial, então V0 é um subespa¸co vectorial de V . (Demonstra¸cão deixada a cargo do leitor). Os

(49)

subconjuntos de V , {0V} e V designam-se subespa¸cos triviais de V , enquanto

que todos os outros subespa¸cos designam-se subespa¸cos pr´oprios.

Exemplo. 1. Mostra-se que A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} ´e um subespa¸co vectorial real de R3_{. De facto:}

1. A 6= ∅, uma vez que (0, 0, 0) ∈ A, (0 + 0 + 0 = 0).

2. sejam u = (x, y, z) e v = (x0, y0, z0) elementos arbitr´arios de A e α, β ∈ R. Ent˜ao, α u + β v ∈ A, visto que

α u + β v = α (x, y, z) + β (x0, y0, z0)

= (α x + β x0, α y + β y0, α z + β z0) ∈ A. Como u, v ∈ A, vem que

x + y + z = 0 e x0+ y0+ z0 = 0. Logo,

α(x + y + z) = 0 e β(x0 + y0 + z0) = 0, para quaisquer α, β ∈ K. Assim,

(α x + β x0) + (α y + β y0) + (α z + β z0) = α(x + y + z) + β(x0+ y0+ z0) = 0.

2. Prova-se, agora, que S = a b c d : a + d = 0, a, b, c, d ∈ R ´

e um subespa¸co vectorial real de M3. De facto:

1. S 6= ∅, uma vez que 0 0 0 0 ∈ S, (a + d = 0 + 0 = 0). 2. sejam A = a b c d e B = a 0 _b0 c0 d0

elementos arbitr´_{arios de S e α, β ∈ R. Ent˜ao, α A + β B ∈ S, visto que} α A + β B = α a b c d + β a 0 _b0 c0 d0 = α a + β a 0 _{α b + β b}0 α c + β c0 α d + β d0 .