Espa¸ cos e Subespa¸ cos Vectoriais

Denote-se por R3 o espa¸co tridimensional. Neste espa¸co ´e poss´ıvel cons- truir uma correspondˆencia entre pontos e vectores, desde que se considere um determinado ponto, O, como sendo a origem. Com efeito, a qualquer ponto P de R3 _{pode fazer-se corresponder o vector}_{OP , com origem em O e}→

extremidade em P . Neste conjunto, é poss´ıvel considerar as opera¸cões usuais de adi¸cão entre vectores e multiplica¸cão de um escalar real por um vector. Estas opera¸cões satisfazem as propriedades usuais de associatividade, co- mutatividade, distributividade, existência de oposto, etc. A no¸cão de espa¸co vectorial que se introduz neste cap´ıtulo generaliza este conceito e engloba, por exemplo, espa¸cos vectoriais n-dimensionais, entre outros.

3.1 Defini¸c˜ao e propriedades

Toda a fun¸cão f : A × A → A, onde A é um conjunto, não vazio, designa- se opera¸cão binária em A. Alguns exemplos de opera¸cões binárias são: a adi¸cão usual de dois números reais, visto que é uma opera¸cão que transforma o par de número reais (a, b) no número real a + b, a multiplica¸cão usual de dois números naturais, porque transforma o par de números naturais (a, b) no número natural ab, . . ..

Defini¸c˜_{ao 3.1.1 Seja K um conjunto no qual estejam definidas duas opera¸cões:} uma opera¸cão binária, designada por “adi¸cão” e uma opera¸cão “multiplica¸cão

escalar”, representadas pela simbologia usual. Diz-se que K, com essas opera¸c˜oes, constitui um corpo se se verificam as condi¸c˜oes seguintes:

(a) Propriedades da adi¸c˜ao:

(i) K ´e fechado para a adi¸c˜ao 1_;

(ii) Propriedade Comutativa: α + β = β + α, α, β ∈ K;

(iii) Propriedade Associativa: (α + β) + γ = α + (β + γ), α, β, γ ∈ K; (iv) Existˆencia de Elemento neutro: ∃0_K _{∈ K, tal que 0}_K + α = α,

α ∈ K;

(v) Existˆ_{encia de oposto: ∀α ∈ K, ∃ − α ∈ K, tal que α + (−α) = 0}_K;

(b) Propriedades da multiplica¸c˜ao:

(i) K ´e fechado para a multiplica¸c˜ao escalar 2; (ii) Propriedade Comutativa: α · β = β · α, α, β ∈ K;

(iii) Propriedade Associativa: (α · β) · γ = α · (β · γ), α, β, γ ∈ K; (iv) Existˆencia de Elemento neutro: ∃1_K _{∈ K, tal que 1}_K · α = α,

α ∈ K; (v) Existˆ

1_K;

(vi) Propriedade distributiva da multiplica¸c˜ao sobre a adi¸c˜ao (α + β) · γ = α · γ + β · γ

Entre os exemplos mais habituais de corpos contam-se o conjunto dos n´_{umeros reais, R, com as opera¸cões habituais; o conjunto dos números raci-} onais, Q, com as opera¸cões habituais; o conjunto dos números complexos, C, com as opera¸cões habituais3_.

1_{Este conceito ser´}_{a definido a seguir} 2_{Este conceito ser´}_{a definido a seguir}

3_{Os n´}_{umeros complexos apareceram como uma extens˜}_{ao dos n´}_{umeros reais, o seu con-}

junto representa-se por C e define-se como sendo C = {z = a + i b : a, b ∈ R e i2_{= −1}.}

Dados os números complexos z = a + b i e z0 = a0+ i b0 define-se a adi¸cão como sendo o complexo z + z0 = (a + a0) + i (b + b0) e a multiplica¸cão de um número complexo z = a + i b por outro número complexo α = α1+ i α2, como α · z = (α1a − α2b) + (α1b + α2a)i.

Defini¸c˜_{ao 3.1.2 Seja K o corpo dos números reais ou dos números comple-} xos. Um espa¸co vectorial é um conjunto V, não vazio, satisfazendo certas propriedades (descritas abaixo), e onde estão definidas duas opera¸cões: “adi¸cão” e “multiplica¸cão escalar”, representadas pela simbologia usual e definidas do modo seguinte: + : V × V −→ V (u, v) ,→ u + v (3.1) e · : K × V −→ V (α, v) ,→ α · v . (3.2)

Diz-se que V é fechado para a adi¸cão e fechado para a multiplica¸cão escalar se satisfizer (3.1) e (3.2), respectivamente. Assim, (V, +, ·) é um espa¸co vectorial sobre o corpo K se forem válidas as seguintes propriedades:

(a) Propriedades da adi¸c˜ao:

(i) V ´e fechado para a adi¸c˜ao;

(ii) Propriedade comutativa: u + v = v + u, u, v ∈ V ;

(iii) Propriedade associativa: (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w ∈ V ; (iv) Existˆencia de elemento neutro, ∃0V ∈ V , tal que u + 0V = u,

u ∈ V .

(v) Existˆencia de oposto: ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , tal que u + (−u) = 0V;

(b) Propriedades da multiplica¸c˜ao:

(i) V ´e fechado para a multiplica¸c˜ao escalar; (ii) α · (u + v) = α · u + α · v, α ∈ K e u, v ∈ V ; (iii) (α + β) · u = α · u + β · u; α, β ∈ K e u ∈ V ;

(iv) (α · β) · u = α · (β · u), α, β ∈ K e u ∈ V ;

(v) 1K · u = u, u ∈ V , onde 1K ´e o elemento neutro para a multi-

plica¸c˜_{ao em K.}

Os elementos de K são designados escalares e os elementos de V vectores. Se K = R ou K = C, então V diz-se um espa¸co vectorial real ou um espa¸co vectorial complexo, respectivamente. Quando as opera¸cões “adi¸cão”

e “multiplica¸c˜ao escalar” estiverem subentendidas, para simplificar a lingua- gem, dir-se-´_{a ”seja V um espa¸co vectorial sobre K“ em vez de ”seja V um} espa¸co vectorial definido por (V, +, ·)“.

Doravante, representa-se por 0V e 0 o elemento neutro para a adi¸c˜ao no

espa¸co vectorial V e o elemento neutro para a adi¸c˜_{ao em K, respectivamente.} As demonstra¸cões dos próximos exemplos deixam-se a cargo do leitor. Exemplo. 1. Seja n ∈ N. Mostra-se que (Kn, +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde Kn _{representa o conjunto dos n-´}_{uplos com elementos em K,}

i.e.,

Kn= {(x1, x2, . . . , xn) : x1, x2, . . . , xn ∈ K}.

As opera¸c˜oes usuais s˜ao definidas por

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn)

α · (x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2. . . , αxn).

2. Seja n ∈ N. Mostra-se que (Rn[x], +, ·) ´e um espa¸co vectorial sobre

K, onde Rn[x] representa o conjunto dos polin´omios, na vari´avel x, com

coeficientes em K e que tˆem grau menor ou igual a n, i.e., Rn[x] = {anxn+ . . . + a1x + a0 : a0, a1, . . . , an∈ K}.

Neste caso, as opera¸c˜oes usuais s˜ao definidas por:

(anxn+. . .+a1x+a0)+(bnxn+. . .+b1x+b0) = (an+bn)xn+. . .+(a1+b1)x+(a0+b0)

α(anxn+ . . . + a1x + a0) = (αan)xn+ . . . + (αa1)x + (αa0).

3. Mostra-se que (R[x], +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde R[x] representa o conjunto dos polinómios de qualquer grau, na variável x, com coeficientes em K. As opera¸cões usuais neste conjunto são idênticas às definidas no conjunto Rn[x].

4. Sejam m, n ∈ N. Prova-se que (Mm×n(K), +, ·) ´e um espa¸co vectorial

sobre K, onde Mm×n(K) representa o conjunto constitu´ıdo pelas matrizes

Dadas A = [aij], B = [bij] ∈ Mm×n e α ∈ K, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao

escalar s˜ao definidas por

A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij]

α · A = α[aij] = [αaij],

respectivamente.

4.1 Se m = 2 e n = 1, o conjunto M2×1(K) ´e definido do seguinte

modo: M2×1(K) = a b : a, b ∈ K .

Neste caso, a adi¸cão e a multiplica¸cão escalar são definidas por: A + B = a b + c d = a + c b + d e α · A = α a b = αa αb , respectivamente.

4.2 Se m = 1 e n = 2, o conjunto M1×2(K) ´e definido do seguinte

modo:

M1×2(K) = a b : a, b ∈ K ,

sendo a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao escalar definidas da seguinte forma: A + B = a b + c d = a + c b + d

α · A = α a b = αa αb , respectivamente.

Teorema 17 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K. Ent˜ao,} (a) 0 · u = 0V, u ∈ V ;

(b) α · 0V = 0V, α ∈ K;

(d) (α − β) · u = α · u − β · u, α, β ∈ K e u ∈ V ;

Demonstra¸c˜ao. A t´ıtulo exemplificativo, prova-se a al´ınea (a). Note-se que 0 · u + 0 · u + (−(0 · u)) = 0 · u + (−(0 · u)),

onde −(0 · u) é o oposto de 0 · u relativamente à opera¸cão adi¸cão de vectores. Visto que 0 · u + (−(0 · u)) = 0V, obtém-se 0 · u + 0V = 0V, donde resulta o

pretendido.

Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K. Doravante, para simplificar a nota¸c˜ao, escrever-se-´_{a α u, em vez de α · u, para α ∈ K e u ∈ V .}

Defini¸cão 3.1.3 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K. Diz-se que} V0 ⊆ V é um subespa¸co vectorial de V se e só se verifica as seguintes condi¸cões:

S1. V0 6= ∅;

S2. u + v ∈ V0, u, v ∈ V0;

S3. αu ∈ V0, α ∈ K e u ∈ V0.

Da defini¸cão anterior, conclui-se facilmente que V0 ⊆ V é um subespa¸co vectorial de V se e só se verifica as seguintes condi¸cões:

S4. V0 6= ∅;

S5. α u + β v ∈ V0, α, β ∈ K e u, v ∈ V0.

De facto, se V0 satisfaz S2 e S3, ent˜ao tamb´em satisfaz S5. Considere-se,

ent˜ao, u, v ∈ V0. Sabendo que V0 ´e fechado para o produto escalar (S2), vem

que α u, β v ∈ V0_{, para α, β ∈ K. Por outro lado, uma vez que V}0 ´e fechado para a adi¸c˜ao (S1), tem-se que α u + β v ∈ V0, como se queria demonstrar.

E curioso referir que se V ´_{e um espa¸co vectorial sobre um corpo K e V}0um subconjunto de V que é ainda espa¸co vectorial, considerando as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão escalar que definem V como espa¸co vectorial, então V0 é um subespa¸co vectorial de V . (Demonstra¸cão deixada a cargo do leitor). Os

subconjuntos de V , {0V} e V designam-se subespa¸cos triviais de V , enquanto

que todos os outros subespa¸cos designam-se subespa¸cos pr´oprios.

Exemplo. 1. Mostra-se que A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} ´e um subespa¸co vectorial real de R3_{. De facto:}

1. A 6= ∅, uma vez que (0, 0, 0) ∈ A, (0 + 0 + 0 = 0).

2. sejam u = (x, y, z) e v = (x0, y0, z0) elementos arbitr´arios de A e α, β ∈ R. Ent˜ao, α u + β v ∈ A, visto que

α u + β v = α (x, y, z) + β (x0, y0, z0)

= (α x + β x0, α y + β y0, α z + β z0) ∈ A. Como u, v ∈ A, vem que

x + y + z = 0 e x0+ y0+ z0 = 0. Logo,

α(x + y + z) = 0 e β(x0 + y0 + z0) = 0, para quaisquer α, β ∈ K. Assim,

(α x + β x0) + (α y + β y0) + (α z + β z0) = α(x + y + z) + β(x0+ y0+ z0) = 0.

2. Prova-se, agora, que S = a b c d : a + d = 0, a, b, c, d ∈ R ´

e um subespa¸co vectorial real de M3. De facto:

1. S 6= ∅, uma vez que 0 0 0 0 ∈ S, (a + d = 0 + 0 = 0). 2. sejam A = a b c d e B = a 0 _b0 c0 d0

elementos arbitr´_{arios de S e α, β ∈ R. Ent˜ao, α A + β B ∈ S, visto que} α A + β B = α a b c d + β a 0 _b0 c0 d0 = α a + β a 0 _{α b + β b}0 α c + β c0 α d + β d0 .

Como A, B ∈ S, vem que

a + d = 0 e a0+ d0 = 0.

Logo,

α(a + d) = 0 e β(a0+ b0) = 0, para quaisquer α, β ∈ K. Assim,

(α a + β a0) + (α d + β d0) = α(a + d) + β(a0+ d0) = 0.

Por vezes torna-se fácil verificar que um dado conjunto, não vazio, não é um subespa¸co vectorial. Na verdade, se V0 é um subespa¸co vectorial de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K, então 0V ∈ V0. Efectivamente, seja

u ∈ V0. Pela defini¸c˜ao de subespa¸co vectorial (S2 e S3), tem-se

0V = u − u ∈ V0, u ∈ V0.

Deste modo, se 0V ∈ V/ 0, então V0 não é um subespa¸co vectorial de V . Note-

se, no entanto, que o rec´ıproco não é verdadeiro, isto é, 0V ∈ V0 não é

garantia de que V0 seja um subespa¸co vectorial de V .

Exemplo. 1. Seja A = {(x, y, z) ∈ R3 _{: x + y + z = 1}. Note-se que}

(0, 0, 0) /∈ A. Deste modo, pode-se concluir que A não é um subespa¸co vectorial de R3. De facto, (1, 0, 0) e (0, 1, 0) são dois elementos de A, mas

(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) /∈ A, uma vez que 1 + 1 + 0 = 2 6= 1.

2. _{Seja B = {(x, y) ∈ R}2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0}. Note-se que, apesar de (0, 0) ∈ B, B n˜ao ´_{e um subespa¸co vectorial real de R}2. Por exemplo, considere-se u = (1, 2) ∈ B e α = −2 ∈ R. Ent˜ao α u /∈ B, dado que α u = −2(1, 2) = (−2, −4) e −2 0 e −4 0.

Relembram-se, agora, os conceitos de interseçcão e reunião de conjuntos e introduz-se o conceito de soma de conjuntos, visto que serão usados ao longo deste cap´ıtulo.

Defini¸c˜ao 3.1.4 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K e sejam F e} G dois subespa¸cos vectoriais de V , ent˜ao

F ∩ G = {u ∈ V : u ∈ F ∧ u ∈ G} F ∪ G = {u ∈ V : u ∈ F ∨ u ∈ G}

F + G = {u ∈ V : ∃a ∈ F, ∃b ∈ G : u = a + b}.

Além disso, deixa-se a cargo do leitor a demonstra¸cão do resultado seguinte: Teorema 18 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K e sejam F e G} dois subespa¸cos vectoriais de V , então

1. F ∩ G é um subespa¸co vectorial de V , designado subespa¸co interseçcão. 2. F + G é um subespa¸co vectorial de V , designado subespa¸co soma. 3. F ∪ G é um subespa¸co vectorial se e só se F ⊆ G ou G ⊆ F .

Exemplo.Considere-se

F = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0} e _{G = {(x, y, z) ∈ R}3 : z = 0}.

Prova-se que F e G s˜_{ao subespa¸cos vectoriais de R}3_{. No entanto, F ∪ G n˜}_ao

e um subespa¸co vectorial de R3_{. Efectivamente, F * G e G * F , porque,}

por exemplo, (0, 1, 2) ∈ F , mas (0, 1, 2) /∈ G e (1, 2, 0) ∈ G, no entanto (1, 2, 0) /∈ F.

O conjunto

F ∪ G = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0 ∨ z = 0},

n˜ao ´_{e subespa¸co vectorial de R}3_{, porque, por exemplo (0, 1, 2), (1, 2, 0) ∈}

F ∪ G, contudo, (0, 1, 2) + (1, 2, 0) = (1, 3, 2) /∈ F ∪ G.

3.2 Dependˆencia/ independˆencia linear

Defini¸c˜ao 3.2.1 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K e considere-} se os elementos u1, u2, . . . , un ∈ V . Um elemento v ∈ V diz-se uma com-

bina¸c˜ao linear de u1, u2. . . , un se existirem escalares α1, α2, . . . , αn ∈ K, tal

que

Exemplo.O vector (1, 2) de R2 _´_{e combina¸c˜}_{ao linear dos vectores (1, −1) e}

(0, 1), dado que

(1, 2) = 1(1, −1) + 3(0, 1).

Defini¸c˜ao 3.2.2 Os elementos u1, u2, . . . , un ∈ V dizem-se linearmente in-

dependentes se a única combina¸cão linear nula de u1, u2. . . , un é a trivial-

mente nula, ou seja,

α1u1+ α2u2+ . . . + αnun= 0V ⇒ α1 = α2 = · · · = αn= 0.

Caso contr´ario, u1, u2. . . , un dizem-se linearmente dependentes, isto ´e, se

existem escalares αi, i = 1, 2, . . . , n, n˜ao todos nulos, tais que

α1u1+ α2u2+ . . . + αnun= 0V.

Exemplo. 1. Os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) de R3 _s˜_{ao linearmente}

independentes. Note-se que

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0) = (0, 0, 0)

se e s´o se

(α1+ α2+ α3, α1+ α2, α1) = (0, 0, 0).

Obt´em-se, assim, o seguinte sistema    α1+ α2+ α3 = 0 α1+ α2 = 0 α1 = 0

cuja solu¸cão é α1 = α2 = α3 = 0. Deste modo, conclui-se que os vectores são

linearmente independentes.

2. Os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1) de R3 _s˜_{ao linearmente depen-}

dentes, uma vez que

α1(1, 1, 1) + α2(1, 0, 2) + α3(0, −1, 1) = (0, 0, 0)

se e s´o se

de onde se obt´em o seguinte sistema    α1+ α2 = 0 α1− α3 = 0 α1+ 2α2 + α3 = 0 .

A matriz ampliada deste sistema ´e

[A|B] =   1 1 0 | 0 1 0 −1 | 0 1 2 1 | 0  −→L2←L2−L1 L3←L3−L1   1 1 0 | 0 0 −1 −1 | 0 0 1 1 | 0   −−−−−−−−−−→ L3← L3+ L2   1 1 0 | 0 0 −1 −1 | 0 0 0 0 | 0  .

Como car(A) = car(A|B) = 2 < 3 = número de incógnitas, o sistema é poss´ıvel e indeterminado. Deste modo, conclui-se que os vectores são linearmente dependentes, dado que o vector nulo não é o único vector que se pode escrever como uma combina¸cão linear de (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1).

Teorema 19 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K. Então os n elementos são linearmente dependentes se e só se for poss´ıvel escrever um dos elementos como combina¸cão linear dos restantes.

Demonstra¸c˜ao. (⇒) Se u1, . . . , un s˜ao linearmente dependentes, existem

escalares αi, i = 1, . . . , n, n˜ao todos nulos, tais que

α1u1+ . . . + αiui+ . . . + αnun = 0V.

Sem perda de generalidade, suponha-se que αi 6= 0. Assim,

αiui = −α1u1− . . . − αi−1ui−1− αi+1ui+1. . . − αnun⇔

⇔ ui = − α1 αi u1− . . . − αi−1 αi ui−1− αi+1 αi ui+1− . . . − αn αi un

e, como tal, ui escreve-se como combina¸c˜ao linear dos restantes elementos.

(⇐) Suponha-se, sem perda de generalidade, que o elemento ui se escreve

como combina¸cão linear dos restantes, então, existem escalares, não todos nulos α1, . . . , αi−1, αi+1, . . . , αn, tais que

isto ´e,

α1u1+ . . . + αi−1ui−1+ ui+ αi+1ui+1. . . + αnun= 0V,

e, por conseguinte, os elementos u1, . . . , un s˜ao linearmente dependentes.

Exemplo. (⇐) Considerem-se os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1) de R3_.

Como (0, −1, 1) se escreve como combina¸c˜ao linear de (1, 1, 1) e (1, 0, 2), dado que

(0, −1, 1) = (1, 0, 2) − (1, 1, 1),

conclui-se, pelo Teorema 19, que os três vectores são linearmente dependentes (como também se pode comprovar pelo exemplo anterior).

(⇒) Considerem-se, agora, os vectores (1, 1, 1), (−1, −1, −1) e (0, 0, 1). Apesar dos vectores serem linearmente dependentes (demonstra¸cão a cargo do leitor), o vector (0, 0, 1) não se pode escrever como combina¸cão linear de (1, 1, 1) e de (−1, −1, −1). Na verdade, se (0, 0, 1) = α1(1, 1, 1) + α2(−1, −1, −1), α1, α2 ∈ R, então o sistema    α1− α2 = 0 α1− α2 = 0 α1− α2 = 1

seria imposs´ıvel, dado que a primeira e a terceira condi¸cão não se podem verificar simultaneamente. Note-se, no entanto, que os vectores (1, 1, 1) e (−1, −1, −1) podem-se escrever como combina¸cão linear dos restantes, dado que

(1, 1, 1) = −1(−1, −1, −1) + 0(0, 0, 1) e

(−1, −1, −1) = −1(1, 1, 1) + 0(0, 0, 1).

Teorema 20 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K. Ent˜ao se uj = k ui, i 6= j, i, j ∈ {1, . . . , n} e k ∈ K, ent˜ao

os elementos u1, . . . , un s˜ao linearmente dependentes.

Demonstra¸c˜ao. Considere-se, em primeiro lugar, k = 0. Neste caso, uj =

0V, e, portanto, existe αj 6= 0, tal que

concluindo-se, assim, que os elementos u1, . . . , un s˜ao linearmente dependen-

tes.

Suponha-se, agora, que k 6= 0. Ent˜ao existe um escalar αj ∈ K, n˜ao nulo,

tal que

0u1+ . . . − k αjui+ k αjui+ . . . + 0un= 0V,

e, por conseguinte, os elementos s˜ao u1, . . . , uns˜ao linearmente dependentes.

Exemplo. 1. Os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 0, 0) de R3 _s˜_{ao linearmente}

dependentes, uma vez que

0(1, 1, 1) + 0(1, 0, 2) + 5(0, 0, 0) = (0, 0, 0),

e, por isso, existe uma combina¸cão linear nula de (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 0, 0) que não é a trivialmente nula.

2. Os vectores (1, 1, 1), (2, 2, 2), (0, 2, 1) de R3 _s˜_{ao linearmente dependen-}

tes, uma vez que

−2(1, 1, 1) + (2, 2, 2) + 0(0, 2, 1) = (0, 0, 0).

Teorema 21 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial

V sobre um corpo K. Se u1, . . . , un s˜ao linearmente independentes e se

u1, . . . , un, v s˜ao linearmente dependentes, para um dado v ∈ V , ent˜ao v

escreve-se como combina¸c˜ao linear de u1, . . . , un.

Demonstra¸cão. Considere-se, então, que u1, . . . , un são linearmente in-

dependentes e que u1, . . . , un, v s˜ao linearmente dependentes. Suponha-se,

agora, por redu¸cão ao absurdo, que v não se escreve como combina¸cão linear de u1, . . . , un. Deste modo, pelo Teorema 19, existe i = 1, . . . , n tal que

ui = α1u1+ . . . + αi−1ui−1+ αi+1ui+1+ . . . + αnun+ αn+1v,

isto ´e,

α1u1+ . . . + αi−1ui−1− ui+ αi+1ui+1+ . . . + αnun+ αn+1v = 0V.

Se αn+1 = 0, ent˜ao

e o i-ésimo escalar é αi = −1. Como tal, é poss´ıvel escrever 0V como uma

combina¸c˜ao linear n˜ao trivialmente nula de u1, . . . , un, o que contraria a

hip´otese destes elementos serem linearmente independentes. No caso de αn+16= 0, vem v = − α1 αn+1 u1 − . . . − αi−1 αn+1 ui−1+ 1 αn+1 ui− αi+1 αn+1 ui+1− . . . − αn αn+1 un

o que é um absurdo, pois está-se a supor que v não se escreve como combina¸cão linear de u1, . . . , un. Por conseguinte, v terá de ser combina¸cão linear

de u1, . . . , un.

Exemplo.Considerem-se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) de R3_{, que se}

sabe serem linearmente independentes e o vector (1, 3, 4) de R3_{. Verifica-}

se, facilmente, que o vector (1, 3, 4) é combina¸cão linear dos três vectores restantes. De facto, existem escalares α1, α2, α3 ∈ R, não todos nulos, tais

que

(1, 3, 4) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0).

Da igualdade anterior, obt´em-se o seguinte sistema    α1+ α2+ α3 = 1 α1+ α2 = 3 α1 = 4 .

A solu¸c˜ao deste sistema ´e α1 = 4, α2 = −1 e α3 = −2. Deste modo,

(1, 3, 4) = 4(1, 1, 1) − 1(1, 1, 0) − 2(1, 0, 0), isto é, (1, 3, 4) é combina¸cão linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 0).

Teorema 22 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K. Sejam u1, . . . , up elementos linearmente dependentes de

V . Então, os elementos que perten¸cam a qualquer subconjunto finito de V que contenha u1, . . . , up também são linearmente dependentes.

Demonstra¸cão. Sem perda de generalidade, considere-se o conjunto constitu´ıdo por u1, . . . , up, up+1, . . . , un. Como por hipótese u1, . . . , up são linear-

mente dependentes, existem escalares n˜ao todos nulos αi, i = 1, . . . , p, tais

que

A igualdade anterior pode escrever-se de forma equivalente do seguinte modo α1u1+ . . . + αpup + 0up+1+ . . . + 0un= 0V.

Assim, existe uma combina¸cão linear nula de u1, . . . , un que não é a trivial-

mente nula e, portanto, os elementos u1, . . . , ups˜ao linearmente dependentes.

Exemplo. Considere-se os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1) de R3, que se sabe serem linearmente dependentes. Mostra-se que os vectores

(1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1), (1, 2, 3) ainda s˜ao linearmente dependentes. De facto,

(0, −1, 1) = (1, 0, 2) − (1, 1, 1) + 0(1, 2, 3),

e, por isso, o vector (0, −1, 1) é combina¸cão linear dos restantes vectores. Então, pelo Teorema 19, conclui-se que os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1), (1, 2, 3) são linearmente dependentes.

Teorema 23 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K linearmente independentes. Ent˜ao quaisquer 1 < p < n elementos distintos escolhidos arbitrariamente entre eles ainda s˜ao linearmente independentes.

Demonstra¸c˜ao. Considere-se, sem perda de generalidade, que u1, u2, . . . , up

s˜ao elementos distintos escolhidos aleatoriamente de u1, u2, . . . , une suponha-

se que são linearmente dependentes. Então, pelo Teorema 19, existe um elemento que se escreve como combina¸cão linear dos restantes. Pode supor-se, sem perda de generalidade, que esse elemento é u1. Então, existem escalares

β2, . . . , βp ∈ K, n˜ao todos nulos, tais que

u1 = β2u2+ . . . + βpup.

Deste modo, tem-se que

u1− β2u2− . . . − βpup+ 0up+1+ . . . + 0un= 0V.

O que é um absurdo pois, por hipótese, u1, u2, . . . , un são linearmente inde-

pendentes. Assim, conclui-se que os elementos u1, u2, . . . , up s˜ao linearmente

Exemplo. Considere-se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) de R3_{, que se}

sabe serem linearmente independentes. Os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) ainda s˜ao linearmente independentes. De facto, da igualdade

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) = (0, 0, 0),

obt´em-se o sistema

   α1+ α2 = 0 α1+ α2 = 0 α1 = 0 , cuja solu¸c˜ao ´e α1 = α2 = 0.

Teorema 24 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K. Os elementos u1, . . . , un s˜ao linearmente independentes

se e só se qualquer combina¸cão linear de u1, . . . , un tem coeficientes únicos,

isto ´e,

α1u1+ . . . + αnun= β1u1+ . . . + βnun ⇒ αi = βi, i = 1, . . . , n

Demonstra¸c˜ao. (⇒) Suponha-se que u1, . . . , un s˜ao linearmente indepen-

dentes e que existe uma combina¸c˜ao linear de u1, . . . , un que n˜ao tem coefi-

cientes ´unicos. Seja u ∈ V , tal que existem escalares αi 6= βi, i = 1, . . . , n,

tais que

α1u1+ . . . + αnun = u

β1u1. . . + βnun = u.

Das igualdades anteriores, vem

α1u1+ . . . + αnun= β1u1+ . . . + βnun,

o que ´e equivalente,

(α1− β1)u1+ . . . + (αn− βn)un = 0V.

Uma vez que u1, . . . , un s˜ao linearmente independentes, conclui-se que αi =

βi, i = 1, . . . , n, o que ´e um absurdo, pois partiu-se do pressuposto que estes

(⇐) Demonstra-se, agora, o contra-rec´ıproco. Suponha-se que u1, . . . , un

são linearmente dependentes. Então existem escalares αi, i = 1, . . . , n, não

todos nulos, tais que

α1u1+ . . . + αnun= 0V.

No entanto, ´e imediato que

0u1+ . . . + 0un= 0V,

logo existem duas formas distintas de escrever 0V como combina¸c˜ao linear

de u1, . . . , un.

De seguida, mostra-se que o estudo da independência/dependência de vectores em Rn se pode efectuar com base na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares. Na verdade,

Teorema 25 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K. Os vectores u1, . . . , up ∈ Rn s˜ao linearmente independen-

tes se e só se o sistema de equa¸cões lineares Au = 0, onde A ∈ Mn×p é a

matriz cujas colunas s˜ao os vectores u1, . . . , up, ´e poss´ıvel e determinado.

Note-se que Au = 0 ´e equivalente a α1u1 + . . . + αpup = 0, com u =

(α1, . . . , αp), αi ∈ R, i = 1, . . . , p. Logo, os vectores u1, . . . , up ∈ Rn s˜ao

linearmente independentes se e só se a única solu¸cão de Au = 0 é a solu¸cão nula. Assim, o sistema é poss´ıvel e determinado.

Teorema 26 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K. Ent˜ao qualquer conjunto de p vectores em Rn_{, com p > n,}

e linearmente dependente.

Considere-se a matriz A ∈ Mn×p cujas colunas s˜ao os p vectores referidos

no Teorema 25. Esta propriedade garante que estes vectores são linearmente independentes se e só se o sistema de equa¸cões lineares Au = 0 é poss´ıvel e determinado. Assim, ter-se-ia car(A) = car(A|B) = número de incógnitas. Por outro lado, como o número de incógnitas é p, car(A) também teria de ser p, o que significa que a matriz em escada de linhas teria p “pivots”, o que ´

Exemplo. _{1. Considere-se os vectores de R}3 _{(1, 1, 1), (1, 1, 0). Ent˜}_{ao, a}

matriz A ∈ M3×2 definida no Teorema 25 ´e dada por

A =   1 1 1 1 1 0  .

Do sistema Au = 0, obt´em-se

[A|B] =   1 1 | 0 1 1 | 0 1 0 | 0  −→L2←L2−L1 L3←L3−L1   1 1 | 0 0 0 | 0 0 −1 | 0  .

Como car(A) = car(A|B) = 2 = número de incógnitas, o sistema é poss´ıvel e determinado. Logo, os vectores são linearmente independentes.

2. Considere-se, agora, os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4) de R3. Então, como o número de vectores é 4,o Teorema 26 permite concluir que os vectores anteriores são linearmente dependentes.

Com base nos Teoremas 25 e 26, prova-se que (ver [4]) para matrizes m × n em escada de linhas se tem:

Teorema 27 Sejam u1, . . . , un, n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V

sobre um corpo K. Ent˜ao

(a) As colunas que contˆem “pivots” s˜_{ao linearmente independentes em R}n. (b) As linhas n˜ao nulas s˜_{ao linearmente independentes em R}n.

(c) O número de linhas independentes e o número de colunas independentes são ambos iguais à caracter´ıstica da matriz.

Exemplo. Considere-se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4) de R3. Colocando os vectores anteriores por coluna numa matriz A e efectuando a elimina¸c˜ao de Gauss, verifica-se que (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) s˜ao vectores linearmente independentes. Na verdade,

A =   1 1 1 1 1 1 0 3 1 0 0 4  .

Ent˜ao, A =   1 1 1 1 1 1 0 3 1 0 0 4  −→L2←L2−L1 L3←L3−L1   1 1 1 1 0 0 −1 2 0 −1 −1 3  −→L2↔L3   1 1 1 1 0 −1 −1 3 0 0 −1 2  .

Deste modo, car(A) = 3. Logo, existem 3 linhas/colunas independentes (Teorema 27 (c)). Assim, existem 3 vectores linearmente independentes que correspondem `as colunas que cont´em “pivots” (Teorema 27 (a)).

3.3 Sistemas de Geradores e Bases

Teorema 28 Seja G um subconjunto, não vazio, de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Diz-se que G é um conjunto constitu´ıdo por geradores de V ou que G gera V , e denota-se por V = hGi, se qualquer elemento de V se escreve como combina¸cão linear dos elementos de G.

No caso de G ser um conjunto finito, G = {u1, . . . , uk}, ent˜ao escreve-se

V = hGi = hu1, . . . , uki

e diz-se que V ´e um espa¸co vectorial finitamente gerado. Exemplo. Mostra-se, de seguida, que

h(1, 0, 2), (1, 0, 0)i = {(x, y, z) ∈ R3 _{: y = 0}.}

Efectivamente, seja (x, y, z) um elemento gen´_{erico de R}3_{. Ent˜}_{ao, existem}

escalares α1, α2 ∈ R, tais que

(x, y, z) = α1(1, 0, 2) + α2(1, 0, 0), o que ´e equivalente a    α1+ α2 = x 0 = y 2α1 = z ,

cuja solu¸c˜ao ´e α1 = z/2, α2 = x − z/2, quando y = 0. Provou-se, assim, que

s´o existem escalares α1, α2 ∈ R, tais que (x, y, z) = α1(1, 0, 2) + α2(1, 0, 0),

Teorema 29 Seja V um espa¸_{co vectorial sobre um corpo K, tal que V =} hu1, . . . , uni. Se ui ´e linearmente dependente dos restantes, ent˜ao

u1, . . . , ui−1, ui+1, . . . , un

´e ainda um sistema de geradores de V .

Demonstra¸c˜ao. Seja v ∈ V . Como u1, . . . , un geram V , existem escalares

α1, . . . , αn ∈ K, tais que

v = α1u1+ . . . + αiui+ . . . + αnun. (3.3)

Por outro lado, por hip´otese, ui escreve-se como combina¸c˜ao linear dos res-

tantes elementos. Logo, existem escalares β1, . . . , βi−1, βi+1, . . . , βn, tais que

ui = β1u1+ . . . + βi−1ui−1+ βi+1ui+1+ . . . + βnun. (3.4)

Substituindo (3.4) em (3.3), tem-se

v = α1u1+ . . . + αi(β1u1+ . . . + βi−1ui−1+ βi+1ui+1+ . . . + βnun) + . . . + αnun

= (α1+ αiβ1)u1+ . . . + (αi−1+ αiβi−1)ui−1+ (αi+1+ αiβi+1)ui+1+ . . .

+ (αn+ αiβn)un.

Deste modo, v ∈ V ´e combina¸c˜ao linear de u1, . . . , ui−1, ui+1, . . . , un, e, por

conseguinte, u1, . . . , ui−1, ui+1, . . . , un ´e ainda um sistema de geradores de

V .

Exemplo. Os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4) de R3 constituem um conjunto de geradores de R3, uma vez que qualquer elemento de R3 se escreve como combina¸c˜_{ao linear deste vectores. Seja (x, y, z) ∈ R}3_{, mostra-se}

que existem escalares α1, α2, α3, α4 ∈ R, tais que

(x, y, z) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0) + α4(1, 3, 4).

Obt´em-se, assim, o seguinte sistema    α1+ α2+ α3 + α4 = x α1+ α2+ 3α4 = y α1+ 4α4 = z .

A matriz ampliada deste sistema ´e [A|B] =   1 1 1 1 | x 1 1 0 3 | y 1 0 0 4 | z  −→L2←L2−L1 L3←L3−L1   1 1 1 1 | x 0 0 −1 2 | y − x 0 −1 −1 3 | z − x   −−−−−→ L3 ↔ L2   1 1 1 1 | x 0 −1 −1 3 | z − x 0 0 −1 2 | y − x  .

Então, car(A) = car(A|B) = 3 < 4 = número de incógnitas, logo o sistema é poss´ıvel e indeterminado. Por isso, existem escalares α1, α2, α3, α4 ∈ R que

satisfazem

(x, y, z) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0) + α4(1, 3, 4).

Logo, R3 _{= h(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4)i.}

Sabe-se que o vector (1, 3, 4) é combina¸cão linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0). Então, prova-se de seguida que estes vectores ainda formam um conjunto de geradores de R3_{. Seja (x, y, z) ∈ R}3_{, mostra-se que existem escalares}

α1, α2, α3 ∈ R, tais que

(x, y, z) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0).

De modo an´alogo ao anterior, obt´em-se o seguinte sistema    α1+ α2+ α3 = x α1+ α2 = y α1 = z ,

cuja solu¸c˜ao ´e (z, y − z, x − y). Logo, existem escalares α1 = z, α2 = y − z e

α3 = x − y que satisfazem

(x, y, z) = z(1, 1, 1) + (y − z)(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0) e, por isso, R3 _{= h(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)i.}

Defini¸cão 3.3.1 Considere-se V um espa¸co vectorial finitamente gerado sobre um corpo K. Chama-se base de V a qualquer sequência de elementos de V linearmente independentes e que geram V . O número de elementos de uma base de V designa-se dimensão de V e denota-se por dim V .

Note-se que qualquer espa¸co vectorial V sobre um corpo K pode ter um número infinito de bases, no entanto todas as bases têm o mesmo número de elementos. Além disso, como na defini¸cão de base é referida a no¸cão de sequência de elementos de V , a ordem pela qual os elementos aparecem na

No documento Sebenta Alga (páginas 43-69)