Modelagem de problemas de flex˜ ao de placa anisotr´ opica via M´etodo de Elementos Finitos H´ıbridos usando fun¸c˜ oes de Trefftz polinomial

(1)

via

via M´

M´eto

etodo

do de

de Ele

Elemento

mentos

s Fin

Finito

itos

s H

H´´ıbr

ıbrido

idos

s usa

usando

ndo fun

fun¸¸c˜

c˜oes

oes

de Treﬀtz polinomial

Bruno Polloni

Orientador:

Orientador: Prof. Paulo de Tarso R Mendon¸

Prof. Paulo de Tarso R Mendon¸ca, PhD.

ca, PhD.

Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Departamento de Engenharia Mecˆ

Departamento de Engenharia Mecˆanica

anica

CP 476 - Florian´

CP 476 - Florian´opolis, SC - 88035-001

opolis, SC - 88035-001

31 de outubro de 2016.

(2)

1

1 PrProjetojeto de o de DiDisssserertata¸¸cc˜˜aao o dde e MMeessttrraaddo o 22 1.

1.1 1 InIntrtroduodu¸¸c˜c˜aao o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11..2 2 OObbjjeettiivvo . . . . o . . . 22 1.

1.3 3 ReRevivis˜são Bibliográo Bibliográafificca a PPrreelliimmiinnaar . . . . r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3

1.3.1 .1 ModelModelo de plo de placa de Maca de Mindindlin plin para mara materaterial aial anisnisotr´otr´ooppiicco o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.

1.3.3.2 2 MM´´etetodo odo de de ElElememenentotos Fs Fininititos os HH´´ıbıbriridodos s (F(FEMEM-H-H) ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.

1.3.3.3 3 BaBase se autauto-o-equequililibibradrada a de de desdesloclocamamenentos tos papara ra plplacacas as de de MiMindlndlin in . . . . . . . . . . 1111 11..4 4 AAttiivviiddaaddees s e e CCrroonnooggrraamma a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177

11..44..1 1 TTeessttees s e e ccaassoos s pprrooppoossttoos s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188 2

2 RReeffeerrˆêenncciiaas s BBiibblliiooggrr´áafificcaas s 1199

(3)

1.1 Introdu¸c˜

ao

Os elementos estruturais como placas e cascas de ”materiais compostos” são usados extensi-vamente em muitos setores da indústria como em equipamentos, em dutos ou em vasos de pressão, na indústria aeroespacial muitas vezes sob forma de compostos laminados, em navios, pontes, apenas para citar alguns exemplos. Esta utiliza¸cão é justificada pelo fato de que nes-tas estruturas o carregamento é suportado em três dimensões, resultando em uma geometria muito compacta, mas ao mesmo tempo r´ıgida [1], inclusive mais r´ıgida que vigas de semelhante espessura e vão. Assim, caracter´ısticas como baixo peso, alta capacidade de carga e economia são combinadas.

Muitos problemas de engenharia expressos na forma diferencial são resolvidos unicamente via aproxima¸cões, devido sua complexidade. As técnicas mais utilizadas para resolver estes problemas são as conhecidas técnicas de elementos finitos, aproxima¸cão por diferen¸cas finitas. Ambas técnicas reduzem os infinitos graus de liberdade de um conjunto cont´ınuo do problema em um número finito [2]. Caracterizam-se, também, por discretizar o dom´ınio bem como o contorno da região a ser analisada. Em contrapartida, métodos de elementos de contorno, discretizam apenas a parte exterior (contorno) da região avaliada e reduzem as dimensões en-volvidas no problema, levando a economia considerável de trabalho numérico além de constituir uma maneira muito conveniente para tratar regiões não limitadas através de meios numéricos [3].

Sob a ótica matemática, os modelos de placas e cascas apresentam um desafio interes-sante por diversos fatores, seja pelo acoplamento das equa¸cões diferenciais que surgem com não-linearidades geométricas ou acomplamento de rela¸cões constitutivas, seja pelo surgimento de problemas numéricos como o travamento por cisalhamento [4] ou pela exigência de alta regularidade das fun¸cões de aproxima¸cão [5].

Assim ﬁca claro o grande interesse, tanto industrial quanto acadˆemico em estudar, analisar e poder prever o comportamente destas estruturas.

1.2 Objetivo

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de placa de Mindlin usando o Método de Elementos Finitos H´ıbrido com fun¸cões de aproxima¸cão Trefftz polinomial, para modelagem de placa de material composto laminado simétrico sob carregamento em flexão para pequenas deforma¸cões e grandes deslocamentos transversais. Usar a implementa¸cão para investigar os

(4)

resultados de deslocamento, os efeitos da continuidade dos campos de tensão, a convergência, a sensibilidade da solu¸cão a malhas distorcidas.

1.3 Revis˜

ao Bibliogr´

aﬁca Preliminar

1.3.1 Modelo de placa de Mindlin para material anisotr´

opico

Inicialmente, um ”material composto” basicamente é um material constitu´ıdo a partir da união de um ou mais materiais distintos, seja nas suas propriedades mecânicas seja em sua com-posi¸cão. Na engenharia, tradicionalmente, refere-se a material composto uma gama de ma-teriais modernos que possuem alto desempenho e baixo peso [6]. Estes materias, por serem oriundo da jun¸cão de um ou mais materias, são inseridos na classe de não-homogêneos e não isotrópicos (anisotrópicos). As propriedades termo-mecânicas dos materiais anisotrópicos pos-suem dependência com a orienta¸cão, assim sendo, possuem complexa modelagem. Na Figura 1.1 pode-se observar um laminado composto por várias lâminas orientadas em dire¸cões distintas.

Polloni/Desktop/DESKTOP/BRUNO/MESTRADO UFSC/PDM/PDM/graphics/FIG.pdf

Figura 1.1: Laminado composto por várias lâminas orientadas em distintas dire¸cões.

”Um laminado arbitrário, constitu´ıdo por diversas lâminas, cada uma com seu material, sua espessura, e orienta¸cão, tem comportamento tal que sua análise pode ser feita considerando, simultaneamente, os efeitos de membrana e flexão”[6]. O modelo de placa que melhor atende este quesito é o modelo de Mindlin, que toma a rela¸cão cinemática de membrana e de flexão. As hipóteses da teoria de placa de Mindlin são [7]:

1. Nos pontos pertencentes ao plano m´edio (z = 0) uo = vo = 0.

(5)

2. Os pontos ao longo de um plano normal ao plano m´edio possuem o mesmo deslocamento vertical, ou seja, a espessura n˜ao se altera;

3. A tensão normal σz é desconsiderada (estado plano de tensões);

4. Uma linha reta tra¸cada no plano médio não deformado, permanece reta mas não neces-sariamente perpendicular ao plano médio após a deforma¸cão.

O modelo de placa de Mindlin se diferecia em rela¸cão ao modelo de Kirchhoff no item 4, onde o modelo de Kirchhoff impõe a hipótese de que uma linha reta tra¸cada no plano médio não deformado, permanece reta e normal ao plano (condi¸cão de ortogonalidade).

Campo dos deslocamentos O campo de deslocamentos de um ponto arbitrário de coor-denadas (x,y,z) do laminado, na teoria de placa de Mindlin, pode ser expresso em termos dos deslocamentos generalizados coplanares uo = uo(x, y) e ν o = ν o(x, y), do deslocamento trans-versal de flexão w = w(x, y) e das rota¸cões do segmento normal θx = θx(x, y) e θy = θy(x, y).

O dom´ınio do problema consiste em, V pertencente ao espa¸co Cartesiano 3_{, deﬁnido pela}

espessura constante H > 0 e superf´ıcie de referˆencia Ω, limitada pelo contorno Γ (Figura 1.2), denotado da seguinte forma:

V =



(x,y,z ) ∈ 3 | z ∈



−H 2 ,

H

2



, (x, y) ∈ Ω ⊂ 

2



_. _(1.1)

De (1.1), é importante obsevar que os eixos x e y, e a origem do eixo z , são posicionados sobre a superf´ıcie de referência, que se localiza na posi¸cão intermediária da espessura.

Polloni/Desktop/DESKTOP/BRUNO/MESTRADO UFSC/PDM/PDM/graphics/1

2.pdf

Figura 1.2: Elemento estrutural do tipo placa. O campo de deslocamento num ponto arbitr´ario ´e descrito por:

u(x,y,z ) = uo_{(x, y) + zθ}

x(x, y),

ν (x,y,z ) = ν o(x, y) + zθy(x, y),

w(x,y,z ) = w(x, y).

(6)

Equa¸cões constitutivas Como resultado das hipóteses (1.2), o tensor deforma¸cão infinite-simal é dado por:

ε =





εxx εxy εxz εyy εyz sim. ε_zz





, (1.3)

e suas componentes como sendo:

εxx = ∂u_∂x, εyy = ∂ν _∂y, εzz = ∂w_∂z , εxy = 1₂



∂u_∂y + ∂ν _∂x



, εxz = 1₂



∂w_∂x + ∂u_∂z



, εyz = 1₂



∂w_∂y + ∂ν _∂z



. (1.4) Ao substituir (1.2) em (1.4), obtˆem-se: ε_xx = ∂u_∂x + z ∂θx ∂x , ε_yy = ∂ν _∂y + z ∂θy ∂y , εzz = 0, γ _xy =



∂u_∂y + ∂ν _∂x



+ z



∂θx ∂x + ∂θy ∂y



, γ _xz = ∂w_∂x + θ_x, γ _yz = ∂w_∂y + θ, (1.5) onde γ _xy = 2εxy, γ xz = 2εxz e γ yz = 2εyz.

O modelo de placa de Mindlin é considerado uma extensão do modelo de viga de Ti-monshenko, sendo assim, podemos notar em (1.5) que, na teoria de placa de Mindlin, γ _xz e γ _yz são constantes na se¸cão transversal e independentes de z , diferentemente da teoria de placa de Kirchhoff-Love onde γ _xz = γ _yz = 0.

(7)





εxx εyy γ _xy





  

ε =





∂u(x,y) ∂x ∂ν (x,y) ∂y ∂u(x,y) ∂y + ∂ν (x,y) ∂x









εo



+ z





∂θx(x,y) ∂x ∂θy(x,y) ∂y ∂θx(x,y) ∂x + ∂θy(x,y) ∂y









κ



, (1.6)



γ _yz γ _xz



  

γ =



∂w(x,y) ∂y + θy ∂w(x,y) ∂x + θx



_, _(1.7) ε = εo+ zκ,

onde εoé a deforma¸cão de membrana κ é a varia¸cão da curvatura.

Rela¸cão tensão-deforma¸cão A lei de Hooke generalizada para uma camada k, arbitrária, do laminado é definida como σ = Qε.





σx σy τ xy





lk =





Q₁₁ Q₁₂ Q₁₃ Q₂₁ Q₂₂ Q₂₃ Q₃₁ Q₃₂ Q₃₃





k









εo xx εo_yy γ o xy





+ z





κx κy κxy









, (1.8)

onde Q é a matriz de rigidez reduzida que repesenta a camada ortotrópica com suas dire¸cões principais do material arbitrariamente orientadas em rela¸cão ao eixo x [8]. As tensões cisalhan-tes de cada lâmina k é dada como τ _c = C _cγ _c.



τ yz τ xz



lk =



C 44 C 45 C 45 C 55



k



γ _yz γ _xz



lk . (1.9)

As tens˜oes resultantes obtidas de (1.8) e (1.9) s˜ao dadas por:





N x N y N xy





N



k=1



zk zk−1





σx σy τ xy





lk dz,





M x M y M xy





N



k=1



zk zk−1





σx σy τ xy





lk zdz, (1.10)



Qy Qx



₌ N



k=1



H/2 −H/2



τ yz τ xz



lk dz,

onde z k − 1 e z k s˜ao as cotas z da superf´ıcie inferior e superior da lˆamina k. As cotas de um

(8)

3.pdf

Figura 1.3: Nota¸cões para a numera¸cão e cotas das lâminas de um laminado.

Aplicando Lei de Hooke reduzida, as defini¸cões (1.10) conduzem a uma rela¸cão entre as for¸cas e momentos resultantes e a superf´ıcie de referência do laminado [8], dadas por:



N M



=



A B B D



εo κ



, (1.11) Q = Eγ, (1.12) sendo: E = kc N



k=1 C chk.

onde hk é a espessura da lâmina k, A e D são as matrizes de rigidez de membrana e de

flexão do laminado, B é a rigidez de acoplamento membrana-flexão e k_c é fator de corre¸cão ao cisalhamento, introduzido artificialmente, para corrigir o fato de que a deforma¸cão cisalhante transversal é considerada constante ao longo da espessura da placa, quando sabe-se que, mesmo em placas homogêneas-isotrópicas, existe uma varia¸cão parabólica desta deforma¸cão [6].

Equa¸cões de equil´ıbrio As deriva¸cões das equa¸cões de equil´ıbrio (ou equa¸cões de movi-mento) podem ser feitas de diversas formas. Mendon¸ca [9] parte do equil´ıbrio de elementos diferenciais, no entanto Reddy [10] aplica diretamente as hipóteses do modelo no Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Assim, podemos então, determinar o equil´ıbrio local no dom´ınio devido a flexão como sendo [8]:

(9)

Rx = ∂N _∂xx + ∂N _∂yxy = 0, Ry = ∂N _∂xxy + ∂N _∂yy = 0, Rz = ∂Q_∂xx + ∂Q_∂yy + q z = 0, Rmx = ∂M _∂xx + ∂M _∂yxy − Qx = 0, Rmy = ∂M _∂xxy + ∂M _∂yy − Qy = 0, (1.13)

onde q z é a for¸ca normal distribuida por unidade de área da superf´ıcie de referência.

1.3.2 M´

etodo de Elementos Finitos H´ıbridos (FEM-H)

O método conhecido como método de Trefftz foi apresentado primeiramente em 1926 por Trefftz [11] em contrapartida ao método de Rayleigh-Ritz. Já o método de elementos finitos h´ıbridos-Trefftz (FEM-HT) se originou em 1977 com dois trabalhos pioneiros de Jirousek [1],[12], é considerado um método computacionalmente eficiente para complexos problemas de contorno [13]. O método também apresentou-se eficiente para a modelagem de placas de Mindlin [14], [15].

FEM-HT é um método h´ıbrido que usa dois campos, a princ´ıpio independentes, sendo um campo de deslocamentos internos ao elemento, conhecido como intra-element field [13], e um campo de deslocamento definido apenas nas interfaces entre os elementos, conhecido com frame field [13], responsável por impor, de forma fraca, a posteriori, a continuidade de deslocamentos [3]. Ambos os campos de deslocamento pode sem observados na Figura 1.4. O campo interno deve ser escolhido de forma a satisfazer a priori, as equa¸cões locais de equil´ıbrio do problema [13]. A continuidade inter-elemento é imposta pelo uso de um princ´ıpio variacional modificado incorporando um campo de interface independente entre os elementos [16]. A formula¸cão pode envolver base equilibrada regular ou singular, mas as matrizes são obtidas por integra¸cão em regiões regulares. Ao final da formula¸cão a matriz de rigidez é não-simétrica e positiva definida. As matrizes do dom´ınio do elemento podem ser convertidas em integrais de contorno devido às caracter´ısticas da base auto-equilibrada, o que pode reduzir drasticamente o custo do processo de integra¸cão em diversos tipos e problemas. Devido às caracter´ısticas da formula¸cão h´ıbrida, torna-se poss´ıvel desenvolver diretamente elementos de placa livres de locking de cisalhamento, como a formula¸cão obtida por Jirousek em 1995 [17], para placas homogêneo-isotrópicas.

A seguir um sumário da formula¸cão variacional é mostrada para um problema t´ıpico de elasto-estática apresentado por Wang e Qin [18]. Vale lembrar, que esta formula¸cão elasto-estática é apresentada apenas para mostrar o procedimento de cálculo para FEM-HT e não se aplica ao caso proposto por estre trabalho.

No caso o problema de equil´ıbrio corpo que ocupa um dom´ınio Ω e contorno Γ = Γ_t ∩ Γ_u, onde Γt e Γu s˜ao as regi˜oes sob for¸ca e deslocamento prescrito, tais que Γt∪ Γu = . Incluindo

(10)

4.pdf

Figura 1.4: Intra-element e frame ﬁeld em um elemento particular na formual¸c˜ao h´ıbrida. (Fonte Wang, Qin [18])

Πe =



Ωe

1

2σ : ε dΩ −



_Ω_eb · u dΩ −



_Γ_te¯t · ¯u dΓ +



_Γ_et · (¯u − u) dΓ, (1.14) onde u e ¯u são o campo independente de deslocamento intra-elemento e o campo de interface entre-elementos, respectivamente. Ωe e Γe são dom´ınio e contorno do elemento. Γte é a parte

do contorno do elemento comum ao contorno global Γt de condi¸c˜oes de contorno de Neumann.

O contorno do elemento ´e considerado dividido em Γ_e = Γ_ue + Γ_te + Γ_Ie onde Γ_ue e a parte de Dirichlet e ΓIe a parte de contorno interno com outro elemento. Assim, Γte = Γe ∩ Γt

e Γue = Γe ∩ Γu. A última integral é o termo adicional em rela¸cão ao funcional usado no

FEM, e ´e adicionado para garantir continuidade de for¸cas e deslocamentos nas interfaces inter-elementares. Isso pode ser visto usando o teorema de Green de convers˜ao entre integral de dom´ınio e de contorno



Ωe ∂f ∂xi dΩ =



Γe fni dΓ, i = 1, 2,...,d, (1.15)

para qualquer fun¸cão suave f , a primeira varia¸cão de Πe pode ser simplificada para:

δ Πe = −



Ωe σij,jδui dΩ +



Γte (ti − ¯ti)δ ¯ui dΓ +



Γe δti(¯ui − ui) dΓ +



ΓIe tiδ ¯ui dΓ. (1.16)

As condi¸cões de estacionaridade geram as equa¸cões locais de equil´ıbrio (com for¸cas de corpo nulas), as condi¸cões de contorno de for¸ca e a condi¸cão de continuidade inter-elementares, com a condi¸cão que as condi¸cões de contorno de Dirichlet sejam satisfeitas a-priori. As for¸cas de corpo podem ser incorporadas na dedu¸cão.

(11)

Πe =

1

2



_Γtiui dΓ −



_Ω_eσij,jui dΩ



−



_Γ_te ¯tiu¯i dΓ +



_Γ_eti(¯ui − ui) dΓ. (1.17) Uma vez que σij,j = 0 devido ao uso da base auto-equilibrada, e subdividindo as regi˜oes de

contorno, obt´em-se:

Π_e = −1

2



_Γ_e tiui dΓ −



_Γ_te ¯tiu¯i dΓ +



_Γ_e tiu¯i dΓ. (1.18) A discretiza¸cão é feita tomando uma base de fun¸cões φ_n(x) que satisfazem as as equa¸cões diferenciais de equilibrio de Navier, de forma que o campo de deslocamentos dentro do elemento possa ser aproximado por:

u(x) = N_e(x)C_e, ∀x ∈Ωe, (1.19)

onde u_e(x) é o vetor de componentes de deslocamentos, N_e(x) é uma matriz adequada formada pelas fun¸cões de aproxima¸cão e Ce um vetor de coeficientes incógnitos. Dessa forma, ue(x)

satisfaz a-priori as equa¸c˜oes de Navier, quaisquer que sejam os valores das componentes em Ce. Em paralelo, um campo de deslocamento independente ´e aproximado ao longo da interface

entre-elementos:

¯

u(x) = ¯N_e(x)D_e, ∀x ∈Γe, (1.20)

onde De é um vetor de deslocamentos nodais e ¯Ne(x) é formada pelas fun¸cões de forma usuais de

elementos finitos (Lagrangeanas por exemplo). Nota-se que essas fun¸cões são definidas apenas no contorno do elemento, então sua dimensão é uma ordem menor que a dimensão d do dom´ınio do corpo, isto é, em problemas planos tem-se fun¸cões parametricamente uni-dimensionais.

Usando nota¸cão de Voigt, as aproxima¸cões (1.19) e (1.20) geram aproxima¸cões para as deforma¸cões, tensões e for¸cas de contorno:

ε(x)= B_e(x)C_e,

σ(x)= T_e(x)C_e, e t(x) = Q_e(x)C_e, ∀x ∈Ω_e. (1.21)

Ao substituir (1.19)-(1.21) em (1.18) tem-se o funcional discretizado: Π_e = −1 2C T e HeCe − DT ege + CT eGeDe, (1.22) onde H_e ≡



Γe QT _eN_e dΓ, G_e ≡



Γe QT _e N¯_e dΓ, g_e ≡



Γe ¯ NT _e¯t dΓ. (1.23) As condi¸c˜oes de estacionaridade de Πe geram as condi¸c˜oes

(12)

∂H _e ∂ CT e = −HeCe + GeDe = 0, (1.24) ∂H e ∂ DT e = G_eC_e − g_e = 0.

Essas rela¸cões estão em n´ıvel de elemento. Considerando He não singular, essas equa¸cões

podem ser separadas da seguinte forma: D_e = K−1 e ge e Ce = H −1 e GeDe onde Ke = GT e H −1 e Ge. (1.25)

Ke é uma matriz de rigidez do elemento, não-simétrica. O processo de solu¸cão do problema

global consiste em:

1. Gerar para cada elemento, o vetor for¸ca ge e rigidez Ke;

2. Sobrepor as contribui¸c˜oes elementares no sistema global da forma usual do FEM, gerando as equa¸c˜oes de equilibrio

KD = g. (1.26)

3. Após obtida a solu¸cão D do sistema, identificar a contribui¸cão de cada elemento De e ge

e resolver (1.25)2 para Ce;

4. Com C_e, (1.21) produz os valores de deslocamento, deforma¸c˜oes e tens˜oes no elemento.

1.3.3 Base auto-equilibrada de deslocamentos para placas de

Min-dlin

Nesta se¸cão será apresentado o desenvolvimento de uma fam´ılia de polinômios, conhecidos T(Trefftz)-functions , de base que satisfazem exatamente as equa¸cões diferenciais locais de equil´ıbrio do problema de flexão em placa de Mindlin.

A base equilibrada é desenvolvida a partir de uma aproxima¸cão polinomial para o campo de deslocamentos, de modo que, cada fun¸cão obtida satisfaz além do equil´ıbrio local, as equa¸cões lineares de cinemática, equa¸cões constitutivas e equa¸cões de acoplamento.

Como apresentado na se¸cão 1.3.2 essas fun¸cões foram desenvolvidas em contrapartida ao método de Ritz. Em contraste com métodos de contorno convencionais a qual solu¸cões sin-gulares (Green’s type ) são usadas como fun¸cões de teste, solu¸cões não sinsin-gulares, T-complete fun¸cões (solu¸cões homogêneas regulares das equa¸cões diferenciais), são utilizadas como fun¸cões teste na formula¸cão de elemento de Trefftz para interpolar o campo intra-elementos [16].

O ponto inicial de desenvolvimento das equa¸cões auto-equlibradas de deslocamentos é iden-tificar uma aproxima¸cão polinomial para o campo de deslocamentos, mediante polinômios 2D completos de grau n_a, n_b e n_c respectivamente, dados por:

(13)

ψ_x(x) = n 1



p=0 a pP pa = aT pa, ψ_y(x) = n 2



q=0 bqP _qb = b T pb, ω(x) = n 3



r=0 crP rc = cT pc, (1.27)

onde ω, ψ_x e ψ_y são deslocamentos de flexão generalizados associados ao modelo de placa de Mindlin, a_p, b_q, e c_r são coeficientes dos deslocamentos associados ao monômios Pa

p, Pbq e Pcr.

O sub-´ındice T representa a transposta de uma matriz. Uma vez que o desenvolvimento a seguir, depende da ordem de um monômio arbitrário, a e pa são detalhados para um polinômio cúbico, como segue:

a = {a0, a1, a2, a3, a4,a5, a6, a7, a8, a9 }T ,

pa(x) =



1,x,y, x2,xy,y2, x3, x2y,xy2, y3



T .

x = (x, y) é as coordenadas de um ponto arbitrário na superf´ıcie de referência da placa, nor-malizado por:

x ≡ x

h e y ≡ y h,

onde h é um valor caracter´ıstico, que pode ser o raio do elemento e é normalmente utilizado para aprimorar o comportamente na formula¸cão GFEM.

Os coeficientes n₁ + 1, n₂ + 1, n₃ + 1 em (1.27) são separados em dois grupos, coeficientes associados movimento de corpo r´ıgido, a0, b0 e c0 e os remanecenstes associados com a resposta

a deforma¸cão. Assim, a equa¸cão (1.27) é decomposta como: ψ_x(x) = a₀ + n 1



p=1 a_pP a p = PlT al +paT a, ψ_y(x) = b0 + n2



p=1 a_pP a p = PlT bl + pbT b, ω(x) = c0 + n3



p=1 a pP pa = PlT cl + pcT c, (1.28) onde

pa =



x,y, x2,xy,y2, x3, x2y,xy2, y3,...



T , pb e pc similarmente, a = {a_1, a2, a3, a4,a5, a6, a7, a8, a9, ...}T , sendo b e c an´alogos.

(14)

n₂, n₃ são as quantidades de coeficientes associados com as deforma¸cões.

Primeiramente, considerando um laminado simétrico, as rela¸cões cinemáticas para a mu-dan¸ca da curvatura são dadas por:

κx = ∂ψ_∂xx, κy = ∂ψ_∂yy, κxy = ∂ψ_∂xx + ∂ψ_∂yy, (1.29)

as deforma¸c˜oes devido ao cisalhamento como:

γ _yz = ψ_y + ∂ω_∂y e γ _xz = ψ_x + ∂ω_∂x (1.30) a rela¸c˜ao linear el´astica do laminado de forma compacta resulta em M = Dk, ou seja;





M x M y M xy





=





DD1112 DD1222 DD1626 D16 D26 D66







_

κκxy κxy





, (1.31)

as for¸cas transversais cisalhantes como sendo:



Qy Qx



₌



D₄₄ D₄₅ D45 D55



γ _yz γ _xz



, (1.32)

e, por fim, as equa¸cões de equil´ıbrio (1.13) se reduzem as últimas três, como sendo: Rz = ∂Q_∂xx + ∂Q_∂yy + q z = 0, R_mx = ∂M x ∂x + ∂M xy ∂y − Qx = 0, Rmy = ∂M _∂xxy + ∂M _∂yy − Qy = 0. (1.33)

Quando os deslocamentos em (1.28) são utilizados em (1.29)-(1.33) obtêm-se três polinômios, caso a carga q z em (1.331) também seja um pilinômio de grau d, sendo:

q z(x) = nqz



s=0

dsP _sq = dT pq. (1.34)

Os coeficientes de cada monômio é zero em (1.33), o que gera um conjunto de n11 equa¸cões

em termo dos coeﬁcientes de deslocamento. Rmx, Rmy e Rz geram n1, n2 e nz equa¸c˜oes,

respectivamete. As equa¸c˜oes obtidas por Rz for¸cam nqz a ser limitado, ou seja, nqz < nz. Este

resultado, organizado em forma matricial ´e dado por:

MC = −f , (1.35)

onde C e f s˜ao os deslocamentos e coeﬁcientes do carregamento, organizados na forma:

C =





a b c





n12 ×1 e f =





0n1×1 0n2×1 d_n_qz×1 0(nz−n_qz)×1





n11×1 , (1.36)

(15)

onde

n11 = n1 + n2 + n3 e n12 = n1 + n2 + n3 > n11, (1.37)

e M é uma matriz n11 × n12. Notas-se que a matriz C é definida apenas pelos coeficientes de

deforma¸cão, a, b e c, não contendo nenhum coeficiente de movimento de corpo r´ıgido, a0, b0 e

c0. O sistema (1.35) apresenta as seguintes particularidades:

1. Na forma¸cão de M nota-se que o equil´ıbrio requer uma rela¸cão entre as rota¸cões ψ_x e ψ_y (na e nb) e os deslocamentos ω, nc. De fato, é necessário que:

na < nc e nb < nc. (1.38)

No presente desenvolvimento as seguintes rela¸cões são arbitrárias:

na = nb = nc − 1; (1.39)

2. Devido a rela¸c˜ao (1.39), M ´e retangular com n11 < n12;

3. Rank (M) = n13 < n11;

4. O vetor for¸ca no sistema linear (1.35), f , está contido no espa¸co coluna de M se o grau do carregamento transversal nqz é limitado por nqz < na. Esta afirma¸cão é identificada

testando se Rank ([M f ]) = Rank (M) = n₁₃ para alguns conjuntos de coeficientes em f . A nota¸cão [M f ] significa que a matriz é formada adicionando o vetor f em M, formando uma matriz n11x(n12 + 1).

O sistema algébrico (1.35), no entanto, é um sistema indeterminado que possui mais variáveis que equa¸cões. Entre as incógnitas, escolhe-se um conjunto de coeficientes dependentes g de dimensão n12 × 1 (de mesma dimensão de M) e gerando assim, a matriz A de dimensão

n11 × n13, coletando as colunas correspondentes a g em M. As colunas remanecentes em M

formam a matriz F de dimensão n₁₁ × n₄ (n₄ = n₁₂ − n₁₃). O vetor coeficiente C também é particionado:



A F



g h



= −f , M =



A F



, C =



g h



=



Coef icientes dependentes Coef icientes independentes



.

(1.40)

Assim, o sistema (1.35) toma a forma particionada como sendo:

Ag = −Fh − f , n11 equa¸c˜oes. (1.41)

O conjunto h (ou g) ´e escolhido de maneira tal que as corespondentes colunas em A tornam a matriz com posto completo, ou seja, Rank (A) = Rank (M) = n13.

(16)

O próximo passo de desenvolvimento, consiste em resolver numericamente o problema (1.41) para os coeficientes dependentes g em termo de h. O procedimento numérico para obten¸cão dos resultados é:

1. Pr´e-multiplicar (1.41) por AT , formando o problema A◦

g = −Fh − f ◦ , computando assim, A◦ = AT A, F = AT F e f ◦ = AT f ; (1.42)

Agora o problema ´e deﬁnido pela matriz A◦

de dimens¸c˜ao n13× n13, sim´etrica, quadrada

e com posto completo 2. Fatorizar A◦

= LDLT , onde L e D são a matriz triangular inferior (lower triangular matrix ) e a matriz diagonal (diagonal matrix ) obtida através da fatoriza¸cão de Gauss. 3. Resolver o sitema (1.43) para n4 + 1

A◦

n13×n13[A f ]n13×(n4+1) = [F f ◦

]n13×(n4+1). (1.43)

4. Os coeficientes dependentes são obtidos pela combina¸cão linear com os coeficientes inde-pendentes como:

g = −Ah−f . (1.44)

Esta solu¸c˜ao ´e naturalmente particionada na forma:





ga|n8×1 gb|n9×1 gc|n10×1





n13×1 = −





Aa|n8×n4 Ab|n9×n4 Ac|_n10×n4







_

h a_| n5×1 hb_| n6 ×1 hc_| n7 ×1





n4 ×1 −





f a|n8×1 f b|n9 ×1 f c|n10×1





n13×1 , (1.45)

assim, observa-se que:

n8 + n9 + n10 = n13, n5 + n6 + n7 = n4, n5 + n8 = n1, n6 + n9 = n2, n7 + n10 = n3, (1.46)

onde ha, hbe hc são os coeficientes independentes coletados de h, que são partes de a,b e c, respectivamente. ga, gb e gc são os coeficientes dependentes coletados deg, que são partes de a,b e c, respectivamente.

(17)

Em seguida, os coeficientes de deforma¸cão particionados nos deslocamentos generalizados (1.28), são separandos em monômios de acordo com a separa¸cão de coeficientes dependentes e independentes em (1.45), sendo: ψ_x(x) =



haT gaT



pah pag



, ψ_y(x) =



hbT gbT



pbh pbg



, ω(x) =



hcT gcT



pch pcg



. (1.47)

Ao se substituir os coeﬁcientes dependentes de (1.45) em (1.47), obtˆem-se para ψ_x e ω, por exemplo: ψ_x(x) =



_haT ... −hT _AaT



p ah pag



− f aT pag_, ω(x) =



_hcT ... −hT _AcT



p ch pcg



− f cT pcg_. (1.48)

Uma vez que os coeficientes ha_, _hb _e _hc _{estão contidos em} _{h, pode-se obter uma nota¸cão}

mais adequada definindo Ta, Tb e Tc como matrizes de transforma¸cão, têm-se que:



pah pag



= Tapa,



pbh pbg



= Tbpb e



pch pcg



= Tcpc, (1.49) Ta_, _Tb _e _Tc _{possuem dimens˜ao n} 1 × n1, n2 × n2 e n3 × n3, respectivamente. As matrizes de

transforma¸c˜ao simplesmente alteram a ordem dos monˆomios pa, pb e pc.

Após algumas opera¸cões, obtêm-se a seguinte formula¸cão para os deslocamentos: ψ_x(x) = hT



_[



AaT Ta]pa



  

da₍_x₎ − f aT pag_, ψ_y(x) = hT



_[



AbT Tb]pb



  

db₍_x₎ − f bT pbg_, ω(x) = hT



_[



AcT Tc]pc



  

dc₍_x₎ − f cT pcg (1.50)

onde A ´e o termo do lado direito dos parˆenteses em (1.48), para a, b e c, respectivamente.



Assim, pode-se rescrever (1.50) em forma compacta, como sendo:

(18)

onde:







ψ_x(x) ψ_y(x) ω(x)







=







daT _(x) dbT _(x) dcT _(x)







  

N h−







f aT pag f bT pbg f cT pcg







. (1.52)

Assim, a partir de (1.51), a mudan¸ca de curvatura κ associada ao vetor de coeﬁcientes h e

hl _{´e representada como}

κ = Bf h −κq, que representa:





κx κy κxy





=





d aT dbT 1 2



daT ,y + dbT ,x







h−





f aT pag f bT pbg 1 2



f aT pag ,x + f bT pbg ,y







, (1.53) onde (.),x = ∂ (.)/∂x.

De forma similar, a deforma¸c˜ao devido ao cisalhamento ´e dada por γ = Bsh −γ q, sendo:



γ _yz γ _xz



=



dbT ₊_dcT ,y +daT ,x daT +dcT _,x +dbT _,y



h−



f bT pbg _{+ f}cT _pcg ,y f aT pag ₊ _fcT _pcg ,x



_. _(1.54)

Pode-se então, introduzir as expressões (1.53) e (1.54) na formula¸cão dos Princ´ıpios dos Trabalhos Virtuais (PTV) que dá in´ıcio ao método de elementos finitos h´ıbrido aplicado a placa de Mindlin e assim, desenvolver a formula¸cão para o MEF-HT.

1.4 Atividades e Cronograma

Em qualquer projeto, seja na indústria ou academia, o planejamento é fundamental. Define-se então as etapas, tarefas e prazos a serem seguidos. De forma geral, as atividades podem ser listadas da forma:

1. Estudo do método de elementos finitos h´ıbrido-Trefftz; 2. Estudo da teoria clássica de placas;

3. Estudo sobre fun¸cões polinomiais de Trefftz auto-equilibradas; 4. Implementa¸cão computacional;

5. An´alise de testes e casos propostos; 6. Documenta¸c˜ao da atividade;

7. Corre¸cões de texto e formata¸cão da disserta¸cão; 8. Apresenta¸cão final.

(19)

A rela¸c˜ao temporal entre as atividades ´e apresentada na Tabela 1.1. Tabela 1.1: Cronograma de atividades

2016 2017

Ativ Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov

1 X X X X 2 X X X X 3 X X X X 4 X X X X 5 X X X 6 X X X X X X X X X 7 X X X X 8 X

1.4.1 Testes e casos propostos

Ao final da implementa¸cão matemática do FEM-HT, os seguintes testes são propostos para análise:

1. Compara¸c˜ao do erro e norma de energia FEM Convencional x FEM-HT;

2. Compara¸c˜ao do erro e norma relacionados aos graus de liberdade do problema (Ngl.); 3. Avaliar os erros pontuais em tens˜ao;

4. Avaliar diferentes resultados quanto a ordem dos polinˆomios de aproxima¸c˜ao (nc 5 ,7 ,9

e 11);

5. Avaliar o erro na continuidade de deslocamentos e for¸cas entre elementos;

6. Avaliar diferentes graus das fun¸cões de forma de interface N(x) (fun¸cões lagrangeanas lineares e/ou quadráticas).

(20)

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(21)

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