Análise multifractal e seções de Lévy de flutuações heterocedásticas.

Texto

(1)Tese de Doutorado Análise Multifra tal e Seções de Lévy de Flutuações Hetero edásti as CÉSAR MOURA NASCIMENTO.

(2) i. CÉSAR MOURA NASCIMENTO. Análise Multifra tal e Seções de Lévy de Flutuações Hetero edásti as. Tese. apresentada. Nas imento. ao. por. César. Instituto. de. Moura Físi a. da Universidade Federal de Alagoas omo do. pré-requisito. título. de. para. Doutor. em. obtenção Ciên ias.. Orientador: Prof. Madras Viswanathan Gandhi Mohan Co-orientador: Prof. Iram Mar elo Gléria. Ma eió, Alagoas Brasil Janeiro 2008. Instituto de Físi a - UFAL.

(3) Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale. N244a. Nascimento, César Moura. Análise multifractal e seções de Lévy de flutuações heterocedásticas / César Moura Nascimento. – Maceió, 2008. xii, 99 f. : grafs. Orientador: Madras Viswanathan Gandhi Mohan. Co-Orientador: Iram Marcelo Gléria. Tese (doutorado em Física da Matéria Condensada) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Física. Maceió, 2008. Bibliografia: f. 95-99. 1. Econofísica. 2. Análise de séries temporais. 3. Análise multifractal. I. Título. CDU: 53:519.246.8.

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(5) iii. Dedi o este trabalho ao meu pai,. in memorian),. José Adilson do Nas imento (. uja importân ia é inexprimível. Talvez Honestidade e Responsabilidade sejam os melhores valores que o denem.. Instituto de Físi a - UFAL.

(6) iv. Agrade imentos Gostaria de expressar meus sin eros agrade imentos à toda minha família, prin ipalmente à minha mãe: Ana Maria de M. Nas imento; minha ompanheira: Ana Carolina Matos Campos (e família); meus Irmãos: Leonardo, Bruno e Éder M. Nas imento; minha unhada: Afra Moreira; minha sobrinha Clarinha; minhas primas: Cinara P.Sadala (e família) e Maria Helena; minhas tias Maria Augusta, Regina C. de Moura e Maria A. de Moura, meu tio: Geraldo de Moura (e família) . Meus sin eros agrade imentos a todos meus amigos: Alexandre P. da Silva (e família), Glau o S. F. da Silva, Cleber D. Moreira (e família), Luiz F. de Ávila (e família), Mar elo P. Gomes (e família), Walla e L. da Silva, Charles P. Oliveira, Mar iano A. Carneiro, Magnória V. dos Santos, Daniel M. Fernandes (e família), Arley A. Teymeny (e família), Luís Fernando, Warley Carvalho, Alessandra C. Senna (e família), Guilherme Alves (e família), Ri ardo D. Dividório (e família), Rogério F. de Souza sua esposa Valdirene e seu lhinhos: Nathálya e Renato; Fran is o de Assis R. Filho, Agnaldo J. dos Santos, Ildemir F. dos Santos, Caio L. Faustino, Ítalo N. de Oliveira, Elder S. Claudino, Maria So orro S. Pereira, Wagner F. Silva, Wandearley S. Dias, Andre L. Moura, Manoel P. S. Júnior, Nu ia Carla A. Sousa, Arlan S. Ferreira, Mar elo F. Lima, José Ri ardo R. Duarte, Viní ius M. Vieira, Cí ero R. Silva, Elton M. Nas imento (e esposa), Itamar V. S. Lima, Pablo Young (e a todos da Cia. do Chapéu), Edmilson J. G. G. Vidal, Gentil L. S. II , Fabiano B. Santos, Juarez G. Silva, Agradeço a todos meus amigos e olegas da Gradução do Institudo de Físi a da UFAL. Agradeço também ao pessoal dos bastidores, indispensáveis para todos: Ester M. Farias, Lays Rosa C. B. Leite, Arlete, Mar os Antnio S. Pereira e Maria. Instituto de Físi a - UFAL.

(7) v. Edileuza. Meus sin eros agrade imentos ao meu orientador Gandhi M. Viswanathan e ao meu o-orientador Iram M. Gléria, pelo apoio, dis ussões e prin ipalmente pelo ompanheirismo, peças importantíssimas na realização deste trabalho. Agradeço a M. Serva e a H. D. Jennings pelo forne imentos dos dados aqui analisados. Gostaria de expressar meus sin eros agrade imentos a todos os professores do IF da UFAL, em partir ular a Jandir Miguel Hi kmann prin ipal responsável pela minha vinda para o Nordeste, lugar de grandes realizações em ambos aspe tos: prossional e pessoal; Mar elo Leite Lyra hefe do nosso grupo e Fran is o Ana leto Barros Fidelis de Moura atual oordenador da Pós-Graduação. Estes dois últimos me auxiliaram, om muito boa vontade, em questões buro ráti as que de erta forma garantiram o meu direito legal à apresentação deste trabalho. Meus sin eros agrade imentos à Capes e ao CNPq pelo apoio nan eiro. Por m agradeço a Deus por todas estas oportunidades em minha vida.. Instituto de Físi a - UFAL.

(8) vi. Resumo Um importante problema em Físi a está rela ionado ao estudo de pro essos esto ásti os e utuações de variáveis dinâmi as.. Em uma variedade de sistemas,. algumas das variáveis obervadas têm uma qualidade ma ros ópi a, no sentido de que elas representam a média ou a soma sobre o espaço ou tempo de quantidades mi ros ópi as. Quando efeitos de mémoria de longo al an e ou orrelação não desempenharem um papel signi ativo, então as ondições ne essárias e su ientes para a validade do Teorema do Limite Central podem ser satisfeitas. Freqüentemente o segundo momento da variável em questão não diverge. Conseqüentemente em muitos exemplos importantes, as utuações de muitos sistemas seguem uma estatísti a Gaussiana. Em ontraste, sistemas omplexos geram utuações que muitas vezes os desviam da estatísti a Gaussiana. Aqui, nós fo amos em duas propriedades re-. i. ii. la ionadas à utuações Gaussianas: ( ) monofra talidade e ( ) homo edasti idade. Espe i amente, dis utimos primeiro a questão geral sobre a natureza da relação entre multifra talidade e hetero edasti idade. Apli amos a multifra tal detrended u tuations analysis a uma série temporal nan eira não esta ionária e de alta freqüên ia referente à taxa ambial. Como um segundo teste, apli amos a mesma té ni a de análise para a série de áudio da quinta sinfonia de Beethoven. Obtivemos resultados que indi am que a hetero edasti idade pode ausar ou aumentar a multifra talidade. Também investigamos em detalhes a onvergên ia para o regime homo edásti o e monofratal Gaussiano usando o método matemáti o de seções de Lévy, omo previamente apli ado a séries temporais. Apresentamos on lusões rela ionadas a estes questionamentos e dis utimos a generalidade destes resultados no ontexto da Físi a de sistemas omplexos.. Instituto de Físi a - UFAL.

(9) vii. Abstra t An important problem in Physi s on erns the study of sto hasti pro esses and u tuations away from the mean of dynami al variables. In a wide range of systems, some of the observed variables have a ma ros opi quality, in the sense that they represent averages or sums over time or spa e of "mi ros opi "quantities.. When. long-range memory or orrelation ee ts do not play a signi ant role, then the ne essary and su ient onditions for the Central Limit Theorem to hold an be ome satised. Quite often, the se ond moments of the studied dynami al variable do not diverge, hen e in many important instan es, the u tuations of many systems follow Gaussian statisti s. On the other hand, omplex systems generate some variabilities that often deviate them from Gaussian statisti s. Here, we fo us on two properties. i. ii. related to Gaussian u tuations: ( ) monofra tality and ( ) homoskedasti ity. Spe i ally, we rst address the general question about the nature of the relationship between multifra tality and heteros edasti ity. We applied multifra tal detrended u tuation analysis to a nonstationary high frequen y nan ial time series obtained from urren y markets. As a se ond test, we applied the te hnique to the audio time series of Beethoven's fth symphony. We obtained results suggesting that heteros edasti ity an ause or in rease multifra tality. We also investigate in greater detail the onvergen e to the homoskedasti and monofra tal Gaussian regime, using the mathemati al formalism of Lévy se tions, as previously applied to time series. We report several on lusions related to these questions and dis uss the generality of these results in the ontext of the physi s of omplex systems.. Instituto de Físi a - UFAL.

(10) Sumário Folha de rosto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dedi atória. 1. 2. i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. Agrade imentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. Resumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vi. Abstra t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vii. Introdução Geral. 1. 1.1. Físi a Estatísti a e Complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Es ala e Universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. E onofísi a. 4. 1.4. Objetivos e Organização da Tese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. Propriedades Estatísti as em Séries Temporais. 10. 2.1. Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.2. Distribuições de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.3. Exemplos Ilustrativos de Distribuições. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.4. Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.5. TLC Generalizado e. . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.6. Esta ionaridade e Tempo de Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. α-estabilidade. viii. de Lévy.

(11) SUMÁRIO. 3. 4. ix. Multifra talidade versus monofra talidade. 37. 3.1. Auto-similaridade e dimensão fra tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.2. Fra talidade em Series Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.3. Monofra tais versus Multifra tais. 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Seções de Lévy. 56. 4.1. Seções de Lévy e Generalização do TLC. . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 4.2. Seções de Lévy em Séries Temporais. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 4.3. Signi ado Físi o dos Momentos de Altas Ordens. . . . . . . . . . . .. 63. 5. Metodologia. 70. 6. Resultados e Dis ussões. 73. 6.1. Hetero edasti idade e Multifra talidade . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 6.2. Seções de Lévy e Convergên ia à Gaussiana. . . . . . . . . . . . . . .. 83. 6.3. Estudo da Convergên ia das Seções de Lévy. . . . . . . . . . . . . . .. 86. 7. Con lusões. 90. 7.1. Flutuações Hetero edásti as Multifra tais. . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 7.2. Relevân ia dos Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. 7.3. Perspe tivas Futuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. Instituto de Físi a - UFAL.

(12) Lista de Figuras 2.1. (a) PDF referente ao lançamento de um dado de fa es desiguais. . . .. 15. 2.2. Formas analíti as para as distribuições de Lévy.. 24. 3.1. Ilustração do método de ontagem de aixas para o aso 2D. O objeto é seqüen ialmente dividido.. 3.2. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Curva triádi a Ko h. Cada parte da gura representa uma geração diferente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3. Libra Esterlina (GBP) frente ao Dólar. (a) Série ontendo. 1. 103. de um total de. ialmente. (b) Expoente de Hurst. 4.1. 41. Auto-similaridade para série retornos nan eiros referente à taxa de âmbio da. 3.5. 41. Ilustração do pro esso de divisão de um objeto empregado pelo método de ontagens de aixas para a urva triádi a de Ko h. . . . . . .. 3.4. 39. 5. 104. . . . . . . . . . . .. 47. pontos, gerados arti-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. Distribuição de freqüên ia das realizações de variáveis aleatórias: (a) distribuição om assimetria nula, (b) assimetria positiva e ( ) assimetria negativa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. x. 65.

(13) LISTA DE FIGURAS. 4.2. xi. Distribuição de freqüên ia das realizações de variáveis aleatórias: (a) urtose nula (meso úrti a), (b) urtose positiva (lepto úrti a) e ( ) urtose negativa (plati úrti a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1. (a) Amostra de. 6. 104. de um total de 1 472 240 pontos ontidos na. série ambial do mar o frente ao dólar. 6.2. 69. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. Análise Multifra tal feita a partir do método MF-DFA. (a) Expoente de Hurst generalizado. (b) Expoente. τ. da função partição. . . . . . .. 76. 6.3. Ajuste quadráti o dos espe tros multifra tais . . . . . . . . . . . . . .. 78. 6.4. Análise Multifra tal feita a partir do método MF-DFA para a volatilidade e para a volatilidade embaralhada. . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 6.5. Ajuste quadráti o dos espe tros multifra tais . . . . . . . . . . . . . .. 80. 6.6. Aproximadamente 20% do primeiro movimento da quinta sinfonia de Beethoven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.7. Comportamento da urtose para as séries das seções tro. 6.8. q=2. (linha tra ejada) e para a série normal. Comportamento da urtose para as séries das seções valores do parâmetro. 6.9. Sn. q.. St. om parâme-. (linha ontínua) .. q=2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (linha tra ejada) e para a série normal. Sn. q.. log F2 (s). para valores res entes de. t.. om parâ-. St. para dife-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.11 Séries das seções para diferentes valores de 6.12 (a) Comportamento de. St. versus. t.. . . . . . . . . . . . . . .. log(s). 85 87. das séries das seções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Instituto de Físi a - UFAL. 84. (linha ontínua) 85. 6.10 Comportamento da assimetria para as séries das seções rentes valores do parâmetro. 84. St para diferentes. Comportamento da assimetria para as séries das seções metro. 82. 88.

(14) Lista de Tabelas 3.1. 5.1. Relação para 3 pro essos su essivos de divisão de um objeto, empregado no método de ontagens de aixas . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. Tabela ilustrativa das té ni as de embaralhamento de dados. . . . . .. 71. xii.

(15) Capítulo 1 Introdução Geral 1.1 Físi a Estatísti a e Complexidade Sistemas omplexos tais omo e ossistemas e mer ados nan eiros, possuem algo em omum om aqueles analisados por Físi a Estatísti a. A questão entral de Físi a Estatísti a é tratar de fenmenos ma ros ópi os que resultam de interações mi ros ópi as entre vários indivíduos. Considere o movimento de objetos inanimados, tais omo pó de serra lançados num uido turbulento. O omportamento de uma partí ula sobre o o eano é inuen iado por ada olisão que ela sofre a ada pi osegundo (10 uido.. 1010. −12. s). om aproximadamente. 1010. molé ulas mi ros ópi as do. Contudo, os avanços na área de turbulên ia não surgem da resolução das. olisões num omputador. O entendimento das observações é feito em termos. de fenmenos oletivos que obede em não as Leis de Newton, mas sim leis de es ala em turbulên ia. Como exemplo ilustrativo, onsidere um sistema omplexo de interesse em. 1.

(16) 1 Es ala e Universalidade. 2. e onomia, tal omo o mer ado a ionário. Neste aso, o valor de uma determinada ação é inuen iada por todos os ompradores sob variados graus. Uma vez que ada grupo de ompradores de ide se omportar de uma erta maneira, o valor da ação irá mudar. Contudo, ada omprador está seguindo regras bem denidas e do mesmo modo que as partí ulas de pó de serra seguem ertas regras. Não sabemos muito sobre a ompleta onexão entre a quantidade mi ros ópi a e ma ros ópi a observada, o valor da ação e as regras individuais seguidas pelos ompradores. Similarmente, não sabemos muito a respeito da onexão entre a velo idade das partí ulas de pó de serra e as leis mi ros ópi as seguidas pelas. 1010. molé ulas de água que olidem om. as partí ulas a ada pi osegundo. Uma vez que a Físi a Estatísti a bus a expli ar o omportamento ma ros ópi o que resulta de interações de muitos omponentes mi ros ópi os, logo ela é bastante útil para o problema geral de tentar entender sistemas omplexos.. 1.2 Es ala e Universalidade Fenmenos omplexos têm pelo menos dois aspe tos quanti áveis em omum:. (. i). Ausên ia de uma es ala bem denida, possuindo uma simetria de invariân ia de es ala.. (. ii ). Ausên ia de segundo momento esta ionário nos sinais gerados, ou seja, sua variân ia não é onstante no tempo.. Dizemos que os sinais possuem uma. Instituto de Físi a - UFAL.

(17) 1 Es ala e Universalidade. 3. dinâmi a hetero edásti a. 1. .. Existe uma relação direta entre estes dois as pe tos da dinâmi a de sistemas omplexos? A resposta é armativa e, uma das haves para o entendimento desta relação vem de observações obtidas de estudos anteriores, onde fenmenos hetero edásti os seguem uma dinâmi a multifra tal [1℄ e não monofra tal [2℄. Monofra tais referem-se aos asos onde um úni o expoente de es ala ou. dimensão fra tal ara te-. riza inteiramente o sistema. Em ontraste, sistemas ujas dinâmi as são multifra tais ne essitam de mais de um expoente para serem ara terizados ompletamente. Esta questão será abordada em maior detalhe no Cap. (3). Simetria de invariân ia de es ala é freqüentemente observada em sistemas que se en ontram longe do equilíbrio, nas proximidades de em [3℄), as vezes onhe ida omo em vez de a orrelação por uma distân ia. r. C(r). Fenmeno Críti o.. pontos ríti os (veja ref.. De forma ontra-intuitiva,. entre sub-unidades de um sistema omplexo separadas. de air de forma exponen ial om. r : C(r) ∼ e−r/ξ ,. onde. ξ. é o. omprimento de orrelação ( omprimento de es ala ara terísti o a ima do qual a função de orrelação se torna desprezível), os resultados de experiên ias, bem omo de diversos outros resultados teóri os, mostram que o de aimento exponen ial da função de orrelação (espa ial ou temporal) é válido somente para sistemas distantes de seus pontos ríti os. Nas proximidades de tais pontos a função de orrelação se omporta sob a forma de lei de potên ia:. C(r) ∼ r η−1 ,. onde. η. é um exemplo de. expoente ríti o. Expoentes ríti os, tais omo. η,. possuem um aráter. universal,. sendo in-. 1 O termo Hetero edásti o tem sua origem no Grego hetero (diferente) e skedastios (dispersão) dispersão diferente. O termo heteros edásti o também é orreto e freqüentemente utilizado.. Instituto de Físi a - UFAL.

(18) 1 E onofísi a. 4. dependente da natureza do sistema. A des oberta desta universalidade impli a a existên ia de me anismos mais profundos, geralmente simples, responsáveis pelo omportamento dos sistemas ríti os [4℄. Tais idéias têm guiado os físi os em problemas de investigação interdis iplinares e puseram em evidên ia semelhanças entre problemas e dis iplinas aparentemente muito diferentes. Retomaremos a tais questões posteriormente. Sem perda de generalidade e admitindo a importân ia de fenmenos e onmi os, optamos por analisar as propriedades estatísti as e de es ala de séries temporais nan eiras. A riqueza e omplexidade dinâmi a do mer ado nan eiro deu origem a uma nova área denominada. E onofísi a [1℄.. O interesse pela E onofísi a aumentou. bastante om a publi ação dos trabalhos de Rosario Mantegna e de H. E. Stanley, que em 1995 analisaram as variações no índi e Standard & Poor's 500 da bolsa de Nova Yorque [5℄.. 1.3 E onofísi a A E onofísi a é o estudo de me anismos e onmi os a partir de uma ópti a empíri a e lógi a visando uma orrelação om a Físi a. As origens da E onofísi a podem ser remetidas ao ano de 1960, om os trabalhos do matemáti o Benoit Mandelbrot [1℄ ou mesmo ao ano de 1900, om a tese de doutorado de Louis Ba helier, sobre a espe ulação nan eira, intitulada Théorie de la spé ulation [6℄ (veja também ref. em [7℄). Mesmo antes da des oberta do. movimento browniano. Instituto de Físi a - UFAL. (MB) em 1827 pelo.

(19) 1 E onofísi a. 5. botâni o Robert Brown [8℄, ao observar o movimento desordenado de grãos de pólen dissolvidos em água, uja expli ação se deu somente om os trabalhos de Einstein em 1905. 2. , Ba helier props um modelo tipo MB para a dinâmi a de preços de. ativos nan eiros. Do ponto de vista e onmi o, Ba helier investigou variações no preço, enquanto e onomistas tratavam prin ipalmente de variações no logarítmo dos preços; fato este que não diminui o valor do trabalho pioneiro de Ba helier [5℄.. Retorno e Volatilidade Finan eira. Mais importante que saber o valor de ativo nan eiro em um dado instante de tempo. k , é saber o quanto de lu ro é obtido numa transação envolvendo a ompra. e a venda deste ativo, separadas por um dado intervalo de tempo. Tome o preço do ativo em instantes onse utivos de tempo. A diferença dos preços entre estes dois instantes é dada por. ∆S(k) = S(k) − S(k − 1).. Dene-se a variação relativa de. preços ou retorno líquido simples, entre os mesmos instantes de tempo, por:. R(k) =. S(k) − S(k − 1) . S(k − 1). Note que, ao rees rever a eq. 1.1 na forma. 1+R(k) =. (1.1). S(k) , apli ando-se o logarítmo S(k−1). na expressão anterior obtém-se:. h S(k) i = ln[1 + R(k)] ln S(k − 1) e, omo para pequenos valores de. (1.2). R(k) ( omo geralmente é o aso), pode-se es rever. 2 O MB foi o tema da tese de doutoramento de Einstein e, apesar de ele ter ganhado o prêmio Nobel pelo. Efeito Fotoelétri o, sua teoria para o MB é onsiderada um dos trabalhos mais notáveis. da sua arreira, sendo responsável por um grande avanço nos ampos da quími a e da físi a.. Instituto de Físi a - UFAL.

(20) 1 E onofísi a. ln[1 + R(k)] ≈ R(k),. 6. denimos o. log-retorno omo:. h S(k) i . r(k) = ln S(k − 1). (1.3). Desta forma, analisar a série de log-retorno dos preços é equivalente a analisar aquela ontendo o retorno líquido simples. Esta possui a informação relevante que é o lu ro (ganho) e/ou perda, obtido em uma dada transação. Uma segunda quantidade de grande importân ia em nanças é a medida do ris o de um investimento.. Esta medida está rela ionada a outra quantidade,. denominada de volatilidade. A volatilidade é denida omo o desvio padrão (estas denições estatísti as são abordadas no Cap. 2) do retorno para um dado intervalo de tempo. τ,. matemati amente:. σ(rτ ) ≈ |rτ | .. (1.4). Logo, neste trabalho a volatilidade é denida omo o valor absoluto do retorno nan eiro. Enquanto a série temporal de preços de um ativo nan eiro possui ambos média (primeiro momento estatísti o) e variân ia (segundo momento estatísti o) dependentes do tempo, a série de retornos, obtida da série original de preços através da transformação dada pela eq. 1.3, possui o primeiro momento aproximadamente onstante, mantendo apenas o aráter hetero edásti o da variân ia.. Hipótese de Mer ado E iente. A Hipótese do Mer ado E iente foi formulada durante dé ada de 70 por Eugene Fama [9℄, que em sua tese de doutorado demonstrou que em mer ados onde. Instituto de Físi a - UFAL.

(21) 1 E onofísi a. 7. há um grande número de investidores bem informados, o preço atual de um ativo nan eiro reete todas as informações e expe tativas dos parti ipantes do mer ado. Consequentemente, nenhum lu ro pode ser obtido a partir de nego iações baseadas em informações do mer ado, pois tais informações já foram in orporadas no preço do ativo [5℄, em outras palavras, a hipótese de mer ado e iente arma que a otação de um ativo é ompletamente imprevisível. Um mer ado omo este possui um omportamento similar àquele das partí ulas de pó de serra num uido, ou seja, é um tipo de random walk unidimensional, onde a série dos preços é des orrela ionada no tempo. Existem duas maneiras distintas de abordagem em nanças [10℄:. Fundamentalista e Abordagem Té ni a ou Grasta.. Abordagem. A primeira abordagem se baseia. na idéia da existên ia de uma orrelação lógi a entre o valor intrínse o de uma ação e seu preço de mer ado. Este valor levaria em onta todo o patrimnio da empresa uja ação está asso iada, bem omo fatores externos:. desempenho e posição no. respe tivo setor de atuação, grau de atualização te nológi a dos empreendimentos da empresa, até mesmo fatores políti os rela ionados à área de atuação da empresa. Já a segunda abordagem se utiliza de dados do passado (séries temporais) omo fonte de previsibilidade do omportamento dos preços num instante de tempo futuro, tendo omo objetivo identi ar oportunidades de ompra e venda de ações, determinar limites de os ilação de preços, tornando, desta forma, possível o estabele imento de estratégias de ris o. Num mer ado que satisfaça ompletamente a Hipótese de Mer ado E iente, não existiria forma dos fundamentalistas obterem lu ros a ima da média e nem dos grastas teriam omo ante ipar novas tendên ias ou movimento dos preços. Obter. Instituto de Físi a - UFAL.

(22) 1 Objetivos e Organização da Tese. 8. lu ro a ima da média num mer ado omo este seria apenas uma questão de sorte. De fato, a Hipótese de Mer ado E iente é apenas uma idealização, ela serve omo referên ia para riação de modelos matemáti os.. i. Entre os problemas abertos E onofísi a estão os seguintes: ( ) a origem das. ii. audas grossas nas distribuições de retornos nan eiros, ( ) a ara terização das. iii) a importân ia do papel de orrelações. propriedades multifra tais destas séries, (. iv) a onvergên ia das séries. de longo al an e multifra tais nos retornos absolutos e ( para o regime Gaussiano.. Nesta última linha, o uso de um teorema denominado. Seções de Lévy tem se mostrado útil, voltaremos nesta questão no Cap. 4. 1.4 Objetivos e Organização da Tese Nesta tese investigamos o grau om que a multifra talidade e a hetero edasti idade estão rela ionados. Um ausa o outro? Ou são ompletamente des orrela ionados? Também investigamos o pro esso de onvergên ia de séries temporais ao regime Gaussiano monofra tal e homo edásti o monofra tal via Seções de Lévy. Esse regime representa um importante aspe to em Físi a Estatísti a de sistemas em equilíbrio. Analisamos também a natureza deste pro esso, ou seja, o modo que as Seções de Lévy promovem a onvergên ia. No Cap. 6 desta tese estes questionamentos são respondidos. Esta tese está dividida da seguinte forma: O Cap. 2 é dedi ado ao estudo de on eitos estatísti os, no Cap. 3 mostramos os on eitos de fra talidade apli ados a séries temporais, no Cap. 4 estudamos o pro esso de onvergên ia ao regime Gaus-. Instituto de Físi a - UFAL.

(23) 1 Objetivos e Organização da Tese. 9. siano via Seções de Lévy, os resultados e suas dis ussões são apresentados no Cap. 6 e no Cap. 7 apresentaremos as on lusões.. Instituto de Físi a - UFAL.

(24) Capítulo 2 Propriedades Estatísti as em Séries Temporais Como ara terizar quantitativamente as propriedades estatísti as de séries temporais? Este apítulo é dedi ado a esta questão. Apresentamos aqui on eitos estatísti os bási os tais omo: o de variáveis aleatórias, funções densidade de probabilidade, momentos estatísti os, teorema do limite entral (TLC), TLC generalizado, funções de orrelação e espe tro de potên ia.. 2.1 Variáveis Aleatórias Na Me âni a Clássi a, uma vez onhe ida a posição e velo idade de uma partí ula para um instante de tempo. t. qualquer, estas quantidades se tornam bem. denidas para qualquer instante de tempo posterior ao apli ar as Me âni a. Imagine agora um sistema omposto por um número sua des rição por intermédio das leis da. Leis de Newton da. N. de partí ulas. Na. Leis de Newton seria ne essário a resolução 10.

(25) 2 Variáveis Aleatórias. 11. 3N. equações diferen iais (uma para ada omponente de posição). de um onjunto de. no aso de o sistema não possuir vín ulo, além de ser ne essário onhe er os valores da posição e velo idade de ada uma das partí ulas para um dado instante de tempo. Esse pro edimento se torna inviável em o asiões onde as ondições ini iais não são bem denidas e/ou o número. N. de partí ulas for muito grande. Para estes asos. um tratamento estatísti o do sistema se torna essen ial. No primeiro aso onde existe uma relação matemáti a bem denida para ada omponente de posição e momento da partí ula em função do tempo, dizemos que estas quantidades são determinísti as. Já no segundo aso, onde não existe tal relação denida para as quantidades físi as do sistema, dizemos que estas quantidades são aleatórias ou esto ásti as, e é omum a utilização de letras maiús ulas para representá-las. Digamos que alguém queira realizar um experimento, por exemplo, aquele onsistindo no lançamento de um total de. X. 10. moedas. Dena uma variável. omo a diferença entre o número de moedas que aem om a fa e ara voltada. para ima e aquele número em que a fa e oroa é a superior. O onjunto de realizações possíveis para variável. X,. omumente representados por letras minús ulas, é. hamado de domínio da variável ou espaço amostral (é omum representar o espaço amostral rela ionado a uma variável aleatória. X. por. S ),. que para este exemplo em. parti ular é omposto por. x = 0, 1, . . . , 10 . Antes de as moedas serem lançadas só faz sentido falar na probabilidade desta ou daquela realização. x. para a variável. X. o orrer. Uma vez realizado o experimento,. falar de probabilidade perde o sentido pois sabemos o valor de. x. om erteza. Esta. é a prin ipal ara terísti a de uma dada variável aleatória: seu valor só se mostra. Instituto de Físi a - UFAL.

(26) 2 Distribuições de Probabilidade. 12. através de uma medida. As variáveis aleátorias podem ser dis retas ou ontínuas. Ela será dis reta quando a menor diferença entre dois possíveis valores de suas realizações for nita, omo é o aso do exemplo anterior. No aso de uma variável ontínua se, ao passar de um valor real entre. a. e. b.. temperatura. a para um outro valor b, ela assumir todos os valores intermediários. Como exemplo de uma variável aleatória ontínua temos a medida da. T. em um dado experimento. Em geral, medições dão origem a dados. ontínuos e ontagens ou enumerações a dados dis retos [11℄.. 2.2 Distribuições de Probabilidade A probabilidade é a quantização das expe tativas em relação ao resultado de um experimento. Seja. a. uma possível realização de um experimento e. p(a). sua. respe tiva probabilidade (a pode representar as utuações na taxa ambial entre duas moedas quaisquer; poderia ser o número referente à fa e de um dado lançado, ou qualquer outra realização de uma variável aleatória); quando idênti os forem realizados, espera-se que de experimentos tendendo a innito (N experimentos que resultam em. a. seja. a o orra Np(a) vezes.. m. experimentos. No limite do número. → ∞), espera-se que a fração do número de. p(a).. Um aso espe ial e muito importante é. aquele no qual um experimento possa resultar em Se um número. N. n realizações igualmente prováveis.. destes resultados orresponde à realização de. dado por:. p(a) =. m . n. Instituto de Físi a - UFAL. a,. então,. p(a). será.

(27) 2 Distribuições de Probabilidade. 13. Dada uma possível realização de uma variável dis reta probabilidade de o orrên ia. p(x),. X. S.. e sua respe tiva. é possível mapear o espaço amostral. pelo onjunto {xi } das realizações de onjunto {pi } sobre. X. Aqui o índi e. X,. i. S,. denido. no espaço de probabilidade denido pelo. é para diferen iar as possíveis realizações de. de suas respe tivas probabilidades de o orrên ia. O onjunto de probabilidades. {pi } denido sobre o espaço. S. deverá satisfazer as seguintes ondições:. 1. Condição de positividade:. pi ≥ 0. (2.1). e. 2. Condição de normalização:. n X. pi = 1 .. (2.2). i=1. A probabilidade em um experimento de a variável aleatória se en ontrar entre os valores. a. e. b. será dada por:. P (a ≤ x ≤ b) =. X. p(xi ) ,. (2.3). a≤x≤b. onde a soma per orre todos os valores das possíveis realizações entre A. Função Densidade de Probabilidade. (PDF em inglês),. a. e. PX (x),. b. é denida. omo:. PX (x) =. n X i=1. onde. δ(x − xi ) é a função Delta de Dira .. (DF em inglês),. FX (x),. pi δ(x − xi ) ,. Já a. (2.4). Função Distribuição de Probabilidade. é denida omo:. FX (x) =. Z. x. −∞. dy PX (y) =. n X i=1. pi θ(x − xi ) ,. Instituto de Físi a - UFAL. (2.5).

(28) 2 Distribuições de Probabilidade. onde. θ(x − a). 14. é a função de passo Heaviside:. θ(x − a) =.     0         . se. x<a. 1 2. se. x=a. 1. se. x>a.. A DF representa a probabilidade da variável ao intervalo. ] − ∞, x].. X. e. da DF (PX (x). ter sua realização perten ente. O fato da PDF ser positiva denida impli a que a DF. seja sempre uma função monotni a res ente de. FX (−∞) = 0. (2.6). FX (∞) = 1.. x,. tendo omo valores limites. Note que a PDF pode ser obtida a partir da derivada. = dFX (x)/dx).. A Fig. 2.1 mostra PDF e DF de uma varíavel aleatória dis reta ao lançamento de um dado om fa es desiguais. valores. xi (i = 1, . . . , 6),. O domínio de. X. X. referente. onsiste dos. referente à realização da i-ésima fa e num lançamento.. Instituto de Físi a - UFAL.

(29) 2 Distribuições de Probabilidade. 15. Figura 2.1: (a) PDF referente ao lançamento de um dado de fa es desiguais. Os valores. xi. om. i = 1, 2, . . . e 6. são as possíveis realizações de. respe tivas probabilidades de o orrên ia:. p1 =. 1 8,. X,. já o tamanho das setas indi am suas. p2 =. 1 4,. (b) Função Distribuição de Probabilidade asso iada a. p3 =. 1 8,. PX (x).. monotni o res ente da função DF.. Instituto de Físi a - UFAL. p4 =. 1 6,. p5 =. 1 12 ,. p6 =. 3 12 .. Note o omportamento.

(30) 2 Distribuições de Probabilidade. No aso de. X. 16. ser uma variável aleatória ontínua, a eq. 2.3 deve ser repassada. por. P (a ≤ x ≤ b) = onde. PX (x). X. PX (x)dx. e,. −∞. b. dx PX (x) ,. (2.7). a. é a PDF ontínua (assumida existir) asso iada à variável aleatória é a probabilidade da variável. preendidos entre. R +∞. Z. x. dyPX (y) = 1.. e. x + dx.. X. ser obtida para os valores om-. A PDF deverá satisfazer as ondições. Já a DF para uma variável aleatória ontínua. FX (x) =. Z. X. PX (x) ≥ 0. e. é dada por. x. dyPX (y) .. (2.8). −∞. Momentos Estatísti os. Todas as informações referentes a uma dada variável aleatória. X. estão on-. tidas em sua PDF e na auto- orrelação presente em suas várias realizações. Entretanto, di ilmente em situações reais a determinação da. PX (x). é possível. Nestes. asos, se faz ne essária a obtenção de informações a partir dos momentos rela ionados a. X. (além da função de auto- orrelação des rita posteriormente).. 3. O primeiro momento, ou simplesmente valor médio , referente a um onjunto de realizações da variável aleatória. X,. é es rito omo:. N 1 X hX i = xi , N i=1 onde. xi. é referente a. i-ésima. 3 O valor médio da variável. X. e. N. é o número de suas. é freqüentemente onfundido om outras duas quantidades: o. xp e a mediana xm . O valor mais R xm R∞ yPX (y) = xm yPX (y) = 12 . −∞. valor mais provável mediana é tal que. X. realização da variável. (2.9). provável. xp. Instituto de Físi a - UFAL. é tal que. PX (xp ). é máximo e a.

(31) 2 Distribuições de Probabilidade. realizações. O valor médio. 17. h X i é muitas vezes. denotado por. E[X] ou simplesmente. µ. O momento de. p-ésima. ordem em torno da origem é es rito na forma:. N 1 X p x . N i=1 i. µp =. No aso de uma variável aleatória ontínua. Z. hX i ≡. X,. o. p-ésimo momento é. (2.10). denido omo:. ∞. dx xp PX (x) .. (2.11). −∞. Um aso muito importante refere-se aos momentos de alta ordem em torno da média, os quais são obtidos repassando. xi. por (xi − µ) na eq. 2.10 e. x por (x − µ). na eq. 2.11 no aso de variáveis ontínuas:. µp ≡. Z. ∞ −∞. dx (x − µ)p PX (x) .. (2.12). O segundo momento é onhe ido omo a variân ia, a qual, para onjunto de realizações da variável aleatória. X. 2 σX. é es rita na forma:. N i2 1 Xh = xi − hXi i . N i=1. (2.13). Já o desvio padrão é obtido tomando a raiz quadrada da variân ia. Enquanto o primeiro momento é referente a uma medida de tendên ia entral (tende a se lo alizar em um ponto entral), a variân ia é uma medida de dispersão das realizações de. X. em torno da média. Atualmente tem se tornado omum o uso. de momentos de alta ordem normalizados no estudo das propriedades estatísti as de sistemas. Abordaremos esta questão na seção (4.3).. Instituto de Físi a - UFAL.

(32) 2 Distribuições de Probabilidade. 18. Funções geradora de momento e ara terísti a. A PDF é. função geradora de momento, MX (k), referente à variável aleatória X. PX (x),. uja. é denida omo. kX. MX (k) ≡ h e. i=. Z. ∞. dx ekx PX (x) .. (2.14). −∞. Expandindo em uma série de Taylor:. MX (k) = =. Z. ∞. dx ekx PX (x). −∞ Z ∞ −∞. = = = =. ∞. dx. n ∞ X kx n=0. n!. PX (x). kx (kx)2 2 + + O[k ] PX (x) dx 1 + 1! 2! −∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ k k2 dx PX (x) + dx xPX (x) + dx x2 PX (x) + O[k 2 ] 1! 2! −∞ −∞ −∞ k k2 1+ hX i+ h X 2 i + O[k 2 ] 1! 2! ∞ X kn h X n i (2.15) . n! n=0 Z. A expansão na eq. 2.15 só faz sentido quando os momentos de alta ordem em torno da origem forem pequenos, garantindo a onvergên ia da série [12, 13℄. Quando este for o aso, vemos que o momento de. p-ésima. ordem em torno da origem pode ser. obtido a partir da mesma ordem de derivada da. µp = h X p i = lim. k→0. A formação. função geradora de momento:. dp MX (k) . dk p. (2.16). função ara terísti a (FC) pode ser obtida a partir da eq. 2.14 pela transk → ik : ikX. fX (k) ≡ h e. i=. Z. ∞. dx eikx PX (x) .. −∞. Instituto de Físi a - UFAL. (2.17).

(33) 2 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. 19. Note que a FC é basi amente a transformada de Fourier da PDF, e é uma função ontínua de. k om seguintes propridades: fX (k = 0) = 1, |fX (k)| ≤ 1 e fX (−k) = fX∗ (k).. Logo, a PDF é dada pela transformada de Fourier inversa da FC. 1 PX (x) = 2π. Z. ∞. dk e−ikx fX (k) .. (2.18). −∞. Já a eq. 2.16 pode ser rees rita em termos da FC:. µp = h X p i = lim (−i)p k→0. dp MX (k) . dk p. (2.19). 2.3 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. Distribuição Binomial. Eventos ara terizados por su essivas tentativas, independentes entre si, ada qual om apenas duas possibilidades, são des ritos pela. Distribuição Binomial.. Um. exemplo lássi o em físi a onde a Distribuição Binomial é apli ada é a aminhada aleatória. Imagine uma partí ula onnada a se mover em uma dimensão. que a partí ula possa efetuar deslo amentos de tamanho xo. p do deslo amento no sentido positivo (direita) e. ℓ,. probabilidade. Suponha. om probabilidade. q = 1−p. no sentido. negativo (esquerda), de forma que a posição da partí ula em relação à origem pode ser es rita da forma. x = mℓ,. om. m ∈ Z orrespondente. à diferença entre o número. de passos para a direita (nr ) e aquele para a esquerda (nl ). É importante notar que,. Instituto de Físi a - UFAL.

(34) 2 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. uma vez xada as probabilidades. p. e. q,. 20. os passos tornam-se estatisti amente inde-. pendentes. Desta forma, a posição da partí ula no. n-ésimo deslo amento dependerá. de sua posição anterior. Já o fato de ela ter se deslo ado para a esquerda ou direita não inuen ia no sentido do passo seguinte. Utilizando o fato dos passos serem estatisti amente independentes, a probabilidade da partí ula ter realizado esquerda após. n. deslo amentos (n. nr. deslo amentos para a direita e. = nr + nl ). nl. para a. pode ser es rita na forma:. n! pn r q n l nr !nl ! n! pnr (1 − p)n−nr , = nr !(n − nr )!. W (nr ) =. onde o fator. (2.20). n! é referente ao número de ombinações possíveis de deslo amentos nr !nl !. resultando na mesma situação nal [14℄. Utilizando as relações. m = nr − nl. e. n = nr + nl. na eq. 2.20 obtém-se. expressão para a probabilidade da partí ula ser en ontrada numa posição qualquer dados. n. x = mℓ. passos:. Pn (m) =. [ 21 (n. 1 1 n! p 2 (n+m) (1 − p) 2 (n−m) . 1 + m)]! [ 2 (n − m)]!. Um aso mais simples é aquele em que. p = q =. 1 . 2. (2.21). Note que as ondições de. normalização (eq. 2.2) e positividade (eq. 2.1) são satisfeitas. A difusão de um gás e aquela das partí ulas de açú ar em água são exemplos de aminhadas aleatórias tridimensionais om probabilidades iguais de deslo amento das molé ulas em todas as direções.. Instituto de Físi a - UFAL.

(35) 2 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. 21. Distribuição Normal. A. Distribuição Gaussiana ou Normal (Fig. 2.2) de uma variável ontínua X. é denida pela PDF. (x − µ)2 1 , exp − PX (x) = √ 2 2σX 2π σX onde. µ. e. σX. (2.22). são a média e variân ia referentes à variável aleatória. X.. A Distribuição normal também é onhe ida omo urva em forma de sino devido ao seu formato. A importân ia da distribuição Gaussiana se mostra na sua enorme o orrên ia na natureza, fato de orrente do. Teorema do Limite Central (TLC). que será apresentado na seção (2.4).. Distribuição de Lévy. O matemáti o fran ês Paul Pierre Lévy [15℄ desenvolveu uma lasse geral de PDF uja FC é da forma. fX (k; α, β, γ, µ) = exp [−ikµ − γ|k|α (1 − iβsgn(k) tan(πα/2))] , onde. µ∈R. é referente à média da variável aleatória. assume valores positivos;. α ∈ ]0 , 2]. sgn k. é um fator de es ala e. é um parâmetro referente ao a hatamento da. distribuição ( urtose); já o parâmetro da distribuição. A função. X; γ. (2.23). β ∈ [−1 , 1]. refere-se a assimetria (skewness). é denida na forma.     −1    sgn k = 0       1. se. k<0. se. k=0. se. k>0.. Instituto de Físi a - UFAL. (2.24).

(36) 2 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. 22. As distribuições de Lévy provenientes da FC des rita na eq. 2.23 se enquadram numa lasse de distribuições do tipo auda grossa (fat tailed). As distribuições de Lévy (para o aso de. α < 2). têm a propriedade de de air de forma lenta em. função da variável aleatória. Este omportamento das audas permite que eventos extremos sejam mais fá eis de serem observados do que no aso de uma distribuição om de aimento rápido, por exemplo a Gaussiana. Esta propriedade é de orrente do fato de que para valores grandes do módulo das realizações da variável aleatória. X,. as distribuições de Lévy se omportam em forma de lei de potên ia om expoente entre. 1. e. 3: PX (|x|) ∼. 1 . |x|1+α. Devido a esse omportamento da PDF, os momentos de divergem quando. p>α. e. α < 2.. (2.25). p-ésima. ordem (h X. p. i). Veremos no ap. 3 que sistemas regidos por lei de. potên ia possuem propriedades fra tais. As distribuições de Lévy são amplamente apli adas em várias áreas, omo exemplo podemos itar a e onomia (veja ref. em [16℄) onde distribuições de Lévy são utilizadas para se ajustar a parte entral das distribuições de retorno nan eiro. Uma outra apli ação muito interessante das distribuições de Lévy é referente a estratégias de bus a de alimentos por parte de animais. A redita-se que, satisfeitos alguns requisitos omo alto poder de dete ção da presa e abundân ia de alimento, alguns animais realizam os hamados vos de Lévy (Lévy Flight) na bus a de alimento. Ao ontrário do movimento aleatório omum (MB) onde os passos são frequentemente urtos regido pela distribuição Gaussiana, em um vo de Lévy é possível que passos arbitrariamente grandes seja efetuados. Desta forma, omo uma maneira de aumentar as han es de sobrevivên ia, alguns animais poderiam adotar. Instituto de Físi a - UFAL.

(37) 2 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. 23. os vos de Lévy omo uma estratégia de otimização de suas bus as. Em geral não existem formas analíti as para as distribuições de Lévy e, somente para alguns asos espe iais, expressões analíti as podem ser obtidas. Segue listado abaixo tais asos:. •. Distribuição Normal,. α = 2:. 1 (x − µ)2 ; PX (x) = √ exp − 4γ 4γπ •. Distribuição de Cau hy ou Lorentziana,. PX (x) =. •. α = 1 , β = 0:. 1 γ ; π (x − µ)2 + γ 2. α=. (2.27). 1 2. , β = 1: i h γ r exp − 2(x−µ) γ . PX (x) = 3 2π (x − µ) 2. Distribuição de Lévy-Smirnov,. (2.26). Instituto de Físi a - UFAL. (2.28).

(38) 2 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. 24. PX(x). 0.3. (a). 0.2 0.1 0. -4. -2. 0 x. 2. 4. 0.5. (b). PX(x). 0.4 0.3 0.2 0.1 0. -4. -2. 0 x. 2. 4. 0.5. (c). PX(x). 0.4 0.3 0.2 0.1 0. 0. 1. 2. x. 3. 4. 5. Figura 2.2: Formas analíti as para as distribuições de Lévy. (a) Distribuição Gaussiana para o aso de média nula e variân ia unitária. (b) Distribuição de Cau hy ou Lorentziana om média nula e variân ia unitária. ( ) Distribuição de Lévy-Smirnov.. Instituto de Físi a - UFAL.

(39) 2 Exemplos Ilustrativos de Distribuições. 25. Estabilidade Gaussiana. Um on eito muito importante em estatísti a é aquele de estabilidade de uma distribuição. Seja de. S2. X2. e. S2. a soma de. 2. variáveis aleatórias:. S 2 = X1 + X2 ,. é dita estável se ela for idênti a àquela referente a. S2. X1. e. forem governadas pela mesma PDF [17℄. A PDF de. X2 , S2. a distribuição. ou seja, se. X1 ,. para as variáveis. independentes (elas não ne essitam possuir idênti as PDF) é dada pela onvolução entre as PDF's de ada uma das variáveis:. PS2 (s2 ) =. Z. ∞. −∞. dx1 PX1 (x1 )PS2 (s2 − x1 ) = PX1 (x1 ) ⊗ PX2 (x2 ) .. (2.29). O teorema da onvolução [13℄ diz que a transformada de Fourier da onvolução de duas funções é igual ao produto da transformada de Fourier de ada função. Simbolizando a transformada de Fourier por. F. tem-se que. F [PS2 (s2 )] = F [PX1 (x1 ) ⊗ PX2 (x2 )] = F [PX1 (x1 )]F [PX2 (x2 )] . Para o aso da soma de. n. (2.30). variáveis aleatórias independentes tem-se que. F [PSn (sn )] =. n Y i=1. F [PXi (xi )] .. (2.31). Logo, a partir da eq. 2.17 per ebe-se que a eq. 2.31 é a própria FC referente à. Sn .. Supondo que as variáveis além de independentes possuem indênti as PDF (variáveis. i.i.d.) fSn (k) = [fX (x)]n .. (2.32). Para o aso de uma distribuição Gaussiana tem-se que. σ2 fX (k) = exp − X k 2 2 . . Instituto de Físi a - UFAL. (2.33).

(40) 2 Teorema do Limite Central. 26. logo. fSn (sn ) = [fX (k)]n onde. √ ∼ σ X = σX n,. ". ∼2. #. (2.34). Sn. também manterá sua. σ = exp − X k 2 2. onsequentemente, a PDF referente à. forma fun ional, fazendo da Gaussiana uma distribuição estável. A onvolução de. n. Gaussianas é também Gaussiana. Isto é um exemplo de estabilidade.. 2.4 Teorema do Limite Central Dado um onjunto {xi } (i uma variável aleatória das realizações de. X. = 1, 2, . . . , n). de realizações independentes de. ( om média e variân ia nitas), seja. yn. X yn =. 1 (x1 + x2 + . . . + xn ) − hXi n. = z1 + z2 + . . . + zn , om. zi =. 1 n. o desvio da média. (xi − h X i),. Gaussiana à medida que. o TLC arma que a PDF. n. (2.35). PYn (yn ). se aproxima de uma. tende a innito; matemati amente:. lim PYn (yn ) =. n→∞. r. n nyn2 exp − 2 . 2 2πσX 2σX. (2.36). A demonstração deste teorema pode ser feito via função ara terísti a. Faça. fZ (k, n). a FC rela ionada a. z=. 1 n. (x − h X i):. Instituto de Físi a - UFAL.

(41) 2 Teorema do Limite Central. 27. ∞. . k fZ (k, n) = dx exp i x − hXi PX (x) n −∞ Z ∞ p ∞ X 1 ik dx (x − hXi)p PX (x) = p! n −∞ p=0 2 p ∞ X 1 ik 1 k 2 σX + µp . = 1− 2 n p! n p=3 Z. Neste ponto podemos desprezar os momentos de alta ordem, o que é justi ável tanto pelo fato de supor a onvergên ia da série de momentos quanto pelo fato de onsiderar valores grandes de. n,. fZ (k, n) ≡ fZ onde. 2 σX. é variân ia de. (2.2). A FC,. fYn (yn ),. X. obtendo:. . k √ n. . 1 ≈ 1− 2n. . k √ n. 2. 2 σX ,. (2.37). (segundo momento em torno da média) denida na seção. pode ser es rita na forma. n k fYn (k) = fZ √ n 2 !n 1 k 2 √ ≈ 1− σX 2n n 2 1 k 2 σX ≈ exp − . 2 n. (2.38). Utilizando a eq. 2.18 temos que. ∞. 2 1 k 2 σX dk exp [−ikyn ] exp − 2 n −∞ " 2 # Z ∞ 1 inyn nyn2 1 = kσX − . exp − 2 dk exp − 2π 2σX 2n σX −∞. 1 PYn (yn ) = 2π. Z. . Fazendo a mudança de variável:. ζ = kσX −. inyn , logo σX. dζ = σX dk. Z ∞− inyn σX nyn2 1 2 1 exp − 2 ζ , dζ exp − PYn (yn ) = n 2πσX 2σX 2n −∞− iny σ X. Instituto de Físi a - UFAL. (2.39).

(42) 2 Teorema do Limite Central. 28. nyn2 √ 1 exp − 2 PYn (yn ) = 2nπ , 2πσX 2σX o que nos leva à demonstração do TLC:. r. PYn (yn ) =. n nyn2 exp − 2 . 2 2πσX 2σX. (2.40). Devemos notar que na demonstração do TLC foi utilizado a denição da PDF a partir da FC (eq. 2.18) e, as úni as suposições feitas foram sobre o onjunto de realizações da variável aleatória. X.. Isto impli a que qualquer distribuição que. satisfaça as ondições do TLC tem a propriedade de onvergir para a distribuição Gaussiana quando o número realizações tendem a innito. Por isso é muito omum se dizer que a PDF Gaussiana representa um atrator no espaço das PDF's. A aráter ilustrativo mostraremos este resultado para a Distribuição Binomial apresentada anteriormente. Para grandes valores de. n. e. nr ,. a distribuição binomial. exibirá um máximo pronun iado em algum valor rápido para valores próximos de fra ional quando. nr. ∼. nr. ∼. nr =nr. W (nr ). (eq. 2.20). e sofrerá um de aimento. [14℄. Próximo do máximo de. W (nr ) sua variação. varia por uma unidade é muito pequena:. |W (nr + 1) − W (nr )| ≪1. W (nr ) Desta forma, embora pode-se tratar máximo de. W (nr ). W (nr ). ou equivalemente. nr. só possa assumir valores inteiros, om boa aproximação. omo uma função ontínua de. nr .. é dada pela ondição. d[W (nr )]

(43)

(44)

(45) ∼ =0 dnr nr =nr d [lnW (nr )]

(46)

(47)

(48) ∼ =0. dnr nr =nr. Instituto de Físi a - UFAL. A lo alização de. ∼. nr =nr. do.

(49) 2 Teorema do Limite Central. 29. Por razões de onveniên ia podemos estudar o omportamento de. ∼. nr =nr +η. de seu valor máximo fazendo a substituição:. ∼. ln[W (nr +η)]. W (nr ). em torno. e expandindo a função. numa série de Taylor:. ∼. ln[W (nr )] = ln[W (nr )] + B1 η +. 1 1 B2 η 2 + B3 η 3 + . . . , 2! 3!. (2.41). onde. Bk. ∼ dk ln[W (nr +η)]

(50)

(51)

(52) =

(53) dnk r. .. (2.42). η=0. A partir da eq. 2.20 pode-se analisar a expansão 2.41:. ln [W (nr )] = ln n! − ln nr ! − ln (n − nr )! + nr ln p + (n − nr ) ln q . Podemos usar os mesmos argumentos para distribuição. W (nr ).. ln n!. para. n≫1. omo zemos para a. Desta forma, temos que. d ln n! ln(n + 1)! − ln n! = = ln (n + 1) ≈ ln n . dn (n + 1) − n. (2.43). Consequentemente:. d [ln W (nr )] = −ln nr + ln (n − nr ) + ln p − ln q . dnr Como a expansão é em torno de. ∼. nr. o termo. B1. é nulo:. h n− n∼ p i r = 0. ln ∼ nr q Utilizando o fato de que o termo. B2. p + q = 1,. (2.44). obtem-se que. ∼. nr = np.. (2.45). Utilizando este resultado,. pode ser es rito omo. B2 = −. 1 . npq. Instituto de Físi a - UFAL. (2.46).

(54) 2 TLC Generalizado e. α-estabilidade. de Lévy. 30. Utilizando o mesmo pro edimento é possível mostrar que Para valores grandes de. |B2 |. Bk < η k /(npq)k−1 .. pode-se ignorar termos de ordem superior a. η2. na eq 2.41 [14℄, o que nos gera:. (nr − np)2 1 , exp − W (nr ) = (2πnpq)1/2 2npq onde foi utilizada a ondição de normalização:. ∼. W (nr ). (2.47). R∞. 1 2 |B |η = 1. dη exp − 2 2 −∞. A PDF (dis reta) para a aminhada aleatória é obtida repassando. nr. por. x. na eq. 2.47. (x − np)2 1 . exp − PX (x) = (2πnpq)1/2 2npq Deve-se ter em mente que a eq. 2.48 só é apli avel nos asos de. (2.48). x. e. n. grandes.. Isto mostra mais uma vez o motivo das distribuições Gaussianas serem muito frequentes na natureza, uma vez que para grandes números, distribuições que satisfazem o TLC têm a propriedade de onvergir para uma PDF Gaussiana.. 2.5 TLC Generalizado e α-estabilidade de Lévy Vimos na seção anterior que o Teorema do limite entral arma basi amente que a PDF referente à soma de. n. variáveis aleatórias. i.i.d.,. padrão nitos, onverge para uma Gaussiana no limite que. n. om média e desvio tende para innito,. tendo omo uma onseqüên ia a estabilidade da distribuição Gaussiana.. Lévy e. outros generalizaram este teorema. O TLC Generalizado arma que a soma de variáveis. i.i.d.. n. ujas distribuições possuem variân ia innita (distribuições do tipo. auda grossa) tenderá para uma distribuição de Lévy à medida que. Instituto de Físi a - UFAL. n tende a innito..

(55) 2 TLC Generalizado e. α-estabilidade. de Lévy. 31. Não faremos aqui a demonstração rigorosa deste teorema, no entanto ele pode ser entendido a partir da onexão para o aso da estabilidade Gaussiana mostrada abaixo:. Gaussiana. 1 Yn = n. n X i=1. (xi − hXi) . k √ n n. fZ (k, n) ≡ fZ k k fYn √ ≡ fZ √ n n. an = n1/2. Lévy. n 1 X Yn = (xi − hXi) an i=1 k fZ (k, n) ≡ fZ an n k k ≡ fZ fYn an an. → → →. an ∼ n1/α n k k = fZ fYn an n1/α. →. (2.49). (2.50). (2.51) (2.52) (2.53). A questão que devemos responder é: uma FC om a dependên ia fun ional ompatível om a eq. 2.53 permite estabilidade no limite que Vamos denir uma nova função. ψ(k). ψ(k) ≡ log fYn. . n. tende a innito?. da forma:. k an. . ,. (2.54). logo. ψ(k) = n ψ(k/n1/α ) . Por substituição direta, tem-se que uma possível solução para. ψ(k) ∼ |k|α. (2.55). ψ(k). é da forma:. (2.56). o que gera:. fZ (k) = exp [−γ|k|α ] .. Instituto de Físi a - UFAL. (2.57).

(56) 2 Esta ionaridade e Tempo de Correlação. 32. Como resposta ao nosso questionamento, a eq. 2.57 representa um FC estável para a soma de. n. variáveis.. Uma generalização da. α-estabilidade. é obtida. rees revendo a eq. 2.57 na forma (eq. 2.23):. fX (k; α, β, γ, µ) = exp [−ikµ − γ|k|α (1 − iβsgn(k) tan(πα/2))] , e a PDF é obtida por. 1 PX (x) = 2π onde e. µ. representa a média,. β. Z. ∞. dk exp[−ikx]fX (k; α, β, γ, µ). (2.58). −∞. é responsável pela assimetria,. γ. pela es ala de. PX (x). α ∈ ]0, 2]. A onvolução de duas PDF's. α-estáveis. de Lévy é outra PDF. Lévy. Este é o aso mais geral de estabilidade para variáveis. i.i.d.. α-estável. de. .. 2.6 Esta ionaridade e Tempo de Correlação Dado um onjunto {x(t)} de realizações de uma erta variável aleatória. X,. dene-se a função de orrelação para o onjunto {x(t)} omo:. h x(t1 )x(t2 ) i = C(t1 , t2 ) .. (2.59). Num sentido não muito restritivo, o onjunto {x(t)} pode ser dito esta ionário [5℄ se ele satisfaz as seguintes ondições:. (1) A média. h x(t) i ≡ µ. é independente do tempo .. (2) A função de orrelação é da forma:. C(t1 , t2 ) ≡ C(τ ). Instituto de Físi a - UFAL. om. τ = t2 − t1. ..

(57) 2 Esta ionaridade e Tempo de Correlação. (3). h x2 (t) i ≡ C(0) .. Logo, a variân ia do pro esso. 33. C(0) − µ2. é independente do. tempo.. Por onveniên ia, mas sem perda de generalidade, onsideremos um pro esso esta ionário om média nula (µ. = 0). e variân ia unitária (σ. 2. = 1).. Podemos agora. retomar algumas questões levantadas no Cap. 1, om respeito à es ala típi a de um pro esso (tempo de memória). Para um pro esso esta ionário, a informação a respeito do tempo de memória pode ser obtida por meio da integral da função de orrelação de. C(τ ). ∞. dτ C(τ ) =. 0. R∞ 0. A área abaixo. pode apresentar três valores:. Z. A. C(τ )..             . nito (2.60). innito indeterminado. .. dτ C(τ ) nita impli a a existên ia de um tempo de memória τ0 hamado tempo. de orrelação do pro esso. Como men ionado no Cap. 1, o de aimento exponen ial da função de orrelação refere-se a um exemplo típi o de um tempo de es ala bem dendo:. ∞. Z. dτ e−τ /τ0 = τ0 .. (2.61). 0. Já uma dependên ia do tipo lei de potên ia impli a a ausên ia de uma es ala bem denida:. Z. 0. se. ∞. dτ τ η−1 = ∞ ,. 0 < η ≤ 1.. Instituto de Físi a - UFAL. (2.62).

(58) 2 Esta ionaridade e Tempo de Correlação. 34. Mediante a dis ussão anterior é onveniente analisar o omportamento da variân ia rela ionada à variável. Sn. denida pela soma de. num pro esso esta ionário. Similar à eq. 2.13,. σS2 n. n. variáveis aleatórias. ,. é es rito omo:. N i2 1 Xh i s − hSn i , = N i=1 n. σS2 n. Xi. (2.63). logo:. σS2 n =. N n n i2 X 1 X hX i Xji′ i , xj − h N i=1 j=1 ′ j =1. =. n n N n n i i hX X X 1 X hX i Xki ′ i , xik − h Xji′ i xj − h N i=1 j=1 ′ ′ k=1 k =1. j =1. N n n n n i X X X 1 XhX i i i i i i i i = hXk′ ihXj ′ i xk hXj ′ i + xx − xj hXk′ i − N i=1 j,k=1 j k ′ ′ ′ ′ k,j =1. j,k =1. k ,j =1. N,n N,n N,n n i X X X 1hX i i i i i i hXk′ ihXj ′ i xk hXj ′ i + N xj hXk′ i − xx − = N i,j,k=1 j k ′ ′ ′ ′ i,j,k =1. =. n hX. hXj Xk i −. j,k=1. =. n hX. hXj Xk i −. j,k=1. =. n X i=1. =. n X. n X ′. j,k =1 n X ′. j,k =1. hXj ihXk′ i − hXj ihXk′ i −. . h Xi2 i − h Xi i2 +. 2 σX i. i=1. +. n X i=1 j6=i. n X i=1 j6=i. i,k,j =1 n X ′. hXk ihXj ′ i +. k,j =1 n X ′. hXk ihXj ′ i +. k,j =1. h XiXj i − h Xi ih Xj i. k ,j =1. n X. ′. ′. k ,j =1 n X ′. ′. k ,j =1. hXk′ ihXj ′ i. i. hXk′ ihXj ′ i. i. . h XiXj i − h Xi ih Xj i .. (2.64). Como o pro esso é esta ionário, a eq. 2.64 pode ser rees rita omo:. 2 +2 σS2 n = nσX i. n X. Cov(Xi , Xj ) ,. (2.65). i=1 j<i. onde. Cov(Xi, Xj ). é a ovariân ia, a qual possui um omportamento idênti o àquele. da orrelação para pro essos om média nula.. Instituto de Físi a - UFAL.

(59) 2 Esta ionaridade e Tempo de Correlação. 35. Se a soma na eq. 2.65 permane e nita para grandes valores de variáveis. Xi (i = 1, 2, . . . , n). n,. então as. são ditas fra amente orrela ionadas. Entretanto, se a. soma diverge, então as variáveis possuem orrelações de longo al an e. Esse omportamento é observado em pro essos esto ásti os ara terizados por uma função de orrelação do tipo lei de potên ia (C(τ ) omportamento da variân ia de. Sn ,. ∼ τ η−1 ).. Desta forma, estudando o. obtemos informações sobre o tipo de orrelação. num pro esso. Se as variáveis são. h Xi Xj i = h Xi ih Xj i ,. i.i.d.,. os termos no somatório da eq. 2.65 se an elam. restando:. σSn = nH σX , onde. H. o valor. (2.66). é o expoente de Hurst, o qual, para o aso de variáveis do tipo. 1/2.. O expoente. H. i.i.d.. possui. será abordado om maiores detalhes no Cap. 3.. Estas mesmas propriedades podem ser vistas no domínio da frequên ia. Para isso basta expressar a função de orrelação da variável aleatória. X. omo uma integral. de Fourier:. C(τ ) = onde o oe iente de. X.. J(ω). ∞. dω J(ω) exp [iωτ ] ,. J(ω). (2.67). −∞. é hamado de. Da eq. 2.67 segue que. orrelação. Z. espe tro de potên ia ou densidade espe tral. pode ser expressado em termos da função de. C(τ ): 1 J(ω) = 2π. Z. ∞. dτ C(τ ) exp [−iωτ ] .. (2.68). −∞. No aso da função de orrelação não possuir uma es ala bem denida:. C(τ ) ∼ τ η−1. Instituto de Físi a - UFAL. (2.69).

(60) 2 Esta ionaridade e Tempo de Correlação. om. 0 < η ≤ 1,. 36. o espe tro de potên ia terá a dependên ia da forma:. J(f ) = Pode ser mostrado também que. η. (2.70). ∼. J(ω) ∝ | x (ω)|2.. A relação entre o expoente Alguns valores de. c . |f |η. η. e o expoente de Hurst é da forma:. re ebem nomes espe iais:. η = 0 é referente. representa um sinal totalmente des orrela ionado;. η=2. 1/f. a um ruido bran o e. é o aso do MB (também. re ebe o nome de pro esso Wiener). Já o aso intermediário ruido. η = 2H + 1.. η = 1 re ebe o nome de. e é observado em uma ampla variedade de fenmenos (veja ref. em [5℄).. As eqs. 2.67 e 2.68 são onhe idas omo relações de. Wiener-Khint hine. e,. omo vimos, são de grande importân ia no estudo de orrelações em séries temporais. Não usaremos aqui o espe tro de potên ia e outros métodos espe trográ os porque eles fun ionam orretamente apenas para séries esta ionárias.. Instituto de Físi a - UFAL.

(61) Capítulo 3 Multifra talidade versus monofra talidade Qual é o omprimento do litoral brasileiro? A resposta depende da es ala de resolução utilizada na medida e está rela ionada om o on eito de fra talidade que será abordado neste apítulo. Muitos fenmenos e estruturas en ontradas na natureza ne essitam de um formalismo matemáti o espe ial para quanti á-los.. Alguns padrões tais omo o. res imento e a disposição de galhos e folhas em uma árvore, a formação de nuvens, podem ser re riados a partir de regras simples de onstrução geométri a, que quando exe utadas são apazes de riar estruturas de alta omplexidade. Algumas dessas estruturas têm propriedades onhe idas omo. fra tais. i dimensão fra tal. los são ne essários dois on eitos: ( ). [1, 18℄ e para dení-. ara terísti a mar ante. de uma estrutura do tipo fra tal devido ao fato de freqüentemente possuir valores fra ionários, o que foge dos on eitos da dimensão topológi a asso iada à geometria. ii auto-similaridade invariân ia por mudança de. eu lidiana e, ( ). 37. es ala, ela é si-.

(62) 3 Auto-similaridade e dimensão fra tal. 38. amente ara terizada pelo fato de poder observar a mesma estrutura independente da es ala de observação. Embora a idéia de objetos om dimensão fra ionária date do iní io do sé ulo XIX, foi o fran ês Benoit Mandelbrot, onsiderado o pai da geometria fra tal, quem a introduziu em 1975 [1℄. fração, fragmentado, et .. A palavra fra tal tem sua origem do latim . fra tus:. Atualmente, os on eitos de fra talidade são utilizados. amplamente em muitas áreas que se estendem desde a E onomia, Físi a, Medi ina, até à própria Arte.. 3.1 Auto-similaridade e dimensão fra tal Para os objetos geométri os tradi ionais existe uma relação simples entre a sua dimensão. d, o número de aixas N. (não sobrepostas) ne essárias para re obrir. todo o objeto e o omprimento das aixas. Esta é a idéia do método onhe ido omo método Box-Counting ( ontagem de aixas) [19℄. Essa relação é da forma. . 1 Nn = Ln onde. Ln. d. .. (3.1). é o omprimento da aresta na nova es ala.. A ritério de visualização, apliquemos o método de ontagem de aixas ao aso bidimensional. A Fig. 3.1(a) mostra um quadrado de aresta unitária preen hendo ompletamente a parte entral de um quadrado de aresta. 3.. As Figs. 3.1(b). e 3.1( ) são obtidas a partir da divisão su essiva da primeira, ilustrando o pro esso empregado no método de ontagem de aixas. Já a tabela 3.1 rela iona o número de élulas nas Figs. 3.1(a), 3.1(b) e 3.1( ) que ontém parte do quadrado om a aresta de ada élula.. Instituto de Físi a - UFAL.