Motivação para o ensino e aprendizagem dos números complexos: uma abordagem com aplicações

PROFMAT

AGNALDO ANTÔNIO MOREIRA

MOTIVAÇÃO PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS COMPLEXOS: UMA ABORDAGEM COM APLICAÇÕES

CURITIBA 2018

MOTIVAÇÃO PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS COMPLEXOS: UMA ABORDAGEM COM APLICAÇÕES

Dissertação apresentada ao Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da Universidade Tec-nológica Federal do Paraná em Curitiba - PROFMAT-UTCT - como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre.

Orientadora: Profa. Dra. Olga Harumi Saito

CURITIBA 2018

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

M838m Moreira, Agnaldo Antônio

2018 Motivação para o ensino e aprendizagem dos números complexos : uma abordagem com aplicações / Agnaldo Antônio Moreira.-- 2018.

110 f.: il.; 30 cm.

Disponível também via World Wide Web. Texto em português com resumo em inglês.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Curitiba, 2018.

Bibliografia: f. 97-103.

1. Números complexos - História - Estudo e ensino (Ensino médio). 2. Geometria. 3. Álgebra. 4. Trigonometria. 5. Aprendizagem. 6. Prática de ensino. 7. Motivação na educação. 8. Inovações educacionais. 9. Tecnologia educacional. 10. Matemática - Dissertações. I. Saito, Olga Harumi, orient. II. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. III. Título.

CDD: Ed. 23 – 510

Biblioteca Central do Câmpus Curitiba – UTFPR Bibliotecária: Luiza Aquemi Matsumoto CRB-9/794

Ministério da Educação

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação

TERMO DE APROVAÇÃO DE DISSERTAÇÃO Nº 51

A Dissertação de Mestrado intitulada Motivação para o Ensino e Aprendizagem dos Números Complexos: Uma Abordagem com Aplicações, defendida em sessão pública pelo(a) candidato(a) Agnaldo Antonio Moreira, no dia 20 de abril de 2018, foi julgada para a obtenção do título de Mestre, área de concentração Matemática, e aprovada em sua forma final, pelo Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional.

BANCA EXAMINADORA:

Prof(a). Dr(a). Olga Harumi Saito - Presidente - UTFPR Prof(a). Dr(a). Patricia Hess - UTFPR

Prof(a). Dr(a). Edson Ribeiro Alvares - UFPR

A via original deste documento encontra-se arquivada na Secretaria do Programa, contendo a assinatura da Coordenação após a entrega da versão corrigida do trabalho.

Curitiba, 20 de Abril de 2018.

À Profa. Dra. Olga Harumi Saito, pela orientação precisa e pela leitura atenta dos meus textos, sempre com uma dedicação e profissionalismo irrepreensíveis.

Aos meus colegas do PROFMAT, pelo convívio e companheirismo.

Aos professores do PROFMAT, pelas incontáveis lições aprendidas durante toda a formação.

À Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), por me proporcionar uma experiência tão interessante e desafiadora.

À CAPES, pela recomendação do PROFMAT por meio do parecer do Conselho Técnico Científico da Educação Superior.

À Sociedade Brasileira de Matemática que na busca da melhoria do ensino de Matemática na Educação Básica viabilizou a implementação do PROFMAT.

ensinado e encontrar prazer na atividade de aprender. Este é o Princípio da Melhor Motivação (PÓLYA, 1981).

Para ensinar de uma forma eficaz, um professor deve desenvolver um sentimento pelo conteúdo; ele não pode fazer com que seus estudantes sintam a vitalidade desse conteúdo se ele próprio não a sente. Ele não pode compartilhar seu entusiasmo se não há nenhum entusiasmo para ser compartilhado. Como ele ensina um conteúdo pode ser tão importante quanto o conteúdo que ele ensina; ele deve pessoalmente senti-lo como relevante (PÓLYA, 1977).

MOREIRA, Agnaldo. Motivação para o ensino e aprendizagem dos números complexos: uma abordagem com aplicações. 110 p. Dissertação - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2018.

Estudos mostram que motivar professores e alunos para o ensino e aprendizagem de números complexos no Ensino Médio pode ser uma tarefa difícil. Esse trabalho investiga as causas dessa dificuldade e propõe uma abordagem de ensino dos números complexos baseada em história, aplicações e fractais. Além disso, apresenta alguns recursos digitais para explorar lições e atividades mais interativas dos conceitos matemáticos envolvidos.

Palavras-chaves: História dos números complexos; Geometria; Álgebra; Conjunto de Mandel-brot; Conjuntos de Julia; Recursos digitais.

MOREIRA, Agnaldo. Motivation for teaching and learning complex numbers: an approach based on applications. 110 p. Dissertation - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2018.

Literature shows that motivating teachers and students for studying complex numbers in high school can be a challenging task. This work investigates such issue and proposes an approach for teaching complex numbers based on their history, applications and fractals. In addition it provides some digital resources to explore interactive lessons and activities of this content.

Keywords: History of complex numbers; Geometry; Algebra; Mandelbrot Set; Julia Sets; Digital resources.

1 INTRODUÇÃO . . . 9 1.1 Questões de Pesquisa . . . 11 1.2 Objetivo Geral . . . 12 1.3 Objetivos Específicos . . . 12 1.4 Estrutura da Dissertação . . . 12 1.5 Recursos Digitais . . . 13

2 A HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS . . . 14

2.1 A busca pela solução das equações cúbicas . . . 14

2.2 A construção de uma álgebra para os números complexos . . . 17

2.3 Utilização e crescimento na obscuridade . . . 19

2.4 TFA, interpretação geométrica e aceitação . . . 21

2.5 A evolução dos números . . . 23

2.6 Recursos Digitais . . . 24

3 CONCEITOS BÁSICOS . . . 26

3.1 Conjunto dos números complexos . . . 26

3.2 Forma Algébrica . . . 29

3.3 Forma Polar ou Trigonométrica . . . 35

3.4 Forma Exponencial . . . 43

3.5 Recursos Digitais . . . 44

4 APLICAÇÕES NA MATEMÁTICA . . . 46

4.1 Geometria . . . 46

4.2 Trigonometria . . . 53

4.3 O TFA e a resolução de equações algébricas . . . 56

4.4 Recursos Digitais . . . 59

5 APLICAÇÕES NO “MUNDO REAL” . . . 61

5.1 Oscilações e Ondas na Física . . . 62

5.2 Engenharia Elétrica . . . 65

5.3 Física Quântica . . . 72

5.4 Recursos Digitais . . . 75

6 FRACTAIS DOS CONJUNTOS DE JULIA E DO CONJUNTO DE MAN-DELBROT . . . 77

6.3 Conjuntos de Julia associados à f (z) = z + c . . . . 83

6.4 Conjunto de Mandelbrot . . . 86

6.4.1 Catálogo dos Conjuntos de Julia . . . 90

6.5 Ensino de números complexos utilizando fractais . . . 92

6.6 Recursos Digitais . . . 93

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 95

REFERÊNCIAS . . . 97

APÊNDICE A – DIMENSÃO FRACTAL . . . 104 APÊNDICE B – ASPECTOS COMPUTACIONAIS DOS CONJUNTOS

1 Introdução

Em 2017, quando trabalhei na equipe que preparava o material didático de um sistema de ensino, percebi que ensinar o conteúdo números complexos no Ensino Médio é uma tarefa desafiadora para os professores e que apresenta certo desinteresse, resistência e dificuldade de aprendizagem por parte dos alunos.

Ao pesquisar a literatura para entender as razões para esse desinteresse e dificuldade, encontrei várias teorias e possíveis explicações:

• é um conteúdo bastante emblemático no que tange à dificuldade de vê-lo em aplicações cotidianas ou mesmo em relações interdisciplinares, o que faz com que as aulas não tenham uma contextualização adequada e se tornem pouco interessantes para os alunos (SPINELLI, 2011);

• relutância do aluno em aceitar os números complexos como números e como uma extensão do conjunto real (TIROSH; ALMOG, 1989 apud NORDLANDER; NORDLANDER, 2012);

• os estudantes não percebem a necessidade de resolver toda e qualquer equação quadrática; há uma certa aversão a números chamados imaginários; por envolverem métodos algébricos e geométricos para seu pleno entendimento, os números complexos são considerados confusos e difíceis (CHAVEZ, 2014);

• alguns alunos consideram as representações algébrica e geométrica como objetos mate-máticos diferentes e autônomos e não como duas maneiras de se representar o mesmo conceito (PANAOURA et al., 2006 apud HUI; LAM, 2013);

• há uma confusão entre as formas de representação algébrica e geométrica: o entendimento de uma forma de representação não leva necessariamente ao entendimento da outra (HUI; LAM, 2013);

• falta de conhecimento prévio do assunto; falha dos professores em fornecer uma introdução mais abrangente do conteúdo (SMITH et al., 2015);

• os alunos consideram as palavras complexo e complicado como sinônimos, o que gera um obstáculo à aprendizagem; a palavra imaginário carrega uma conotação negativa embutida associada a coisas que só existem na mente; as preconcepções com essas duas palavras fazem com que os alunos considerem os números complexos como algo sem utilidade prática relacionando-os a quantidades inventadas por matemáticos sem qualquer relação com a realidade (NORDLANDER; NORDLANDER, 2012);

• falta de um significado físico para os números complexos e para a unidade imaginária i =√−1 (SPINELLI, 2009);

• a abordagem geométrica no ensino dos números complexos é preterida em relação à algébrica (CARNEIRO, 2004);

• algumas dificuldades e inconsistências conceituais que os matemáticos enfrentaram ao longo da história dos números complexos guardam paralelismo com as que enfrentam os estudantes no processo de aprendizagem desse conteúdo (SALCEDO; ALFONSO, 2005); • historicamente, os matemáticos levaram um tempo muito grande para aceitar os

concei-tos, usos e abstrações dos números complexos e, da mesma forma, os alunos também necessitam de um tempo maior do que aquele que é geralmente empregado nas aulas (CIPTOWIYONO, 2015).

Constatei ainda que a discussão sobre a relevância desse conteúdo para estudantes que não estejam diretamente envolvidos no estudo de Matemática Pura ganha espaço (DOYNE, 2011; LAZAROV, 2004) e que, talvez por conta disso, a oportunidade para se estudar os números complexos no Ensino Médio esteja diminuindo nos currículos de Matemática ao redor do mundo (PCMI - IAS, 2011).

No Brasil não são poucas as pessoas que defendem que esse conteúdo não deveria ser ministrado indistintamente a todos os alunos do Ensino Médio. “Toda a teoria a partir dos números complexos poderia ser deixada para o ensino superior”, diz o professor Cláudio Possani da Universidade de São Paulo. “No Ensino Médio, tais assuntos são adequados para dois tipos de estudantes: o que adora a Matemática Pura (isto é, a matemática pelo prazer da Matemática, sem nenhuma outra justificativa), e o que já tem certeza de que vai entrar na faculdade de Física ou de Engenharia” (VIANA; MENDES, 2014).

Esse também é posicionamento da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) que no documento Contribuição da SBM para discussão do currículo de Matemática inclui os números complexos como um tema suplementar da área de números e funções, de caráter opcional sem incluí-lo na grade do 3º ano do Ensino Médio.

Essa tendência de flexibilizar e tornar opcional o ensino dos números complexos pode ser observada também nas duas menções diretas a este conteúdo que aparecem nas Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+), documento oficial que, a princípio, orienta a elaboração do currículo de Matemática de todas as escolas no Brasil:

Os objetos de estudo são os campos numéricos dos números reais e, even-tualmente, os números complexos e as funções e equações de variáveis ou incógnitas reais. Para o desenvolvimento desse eixo, são propostas duas unida-des temáticas: variação de grandezas e trigonometria (BRASIL, 2006a, p.117). Tradicionalmente, a Matemática do ensino médio trata da ampliação do conjunto numérico, introduzindo os números complexos. Como esse tema isolado da resolução de equações perde seu sentido para os que não continuarão seus estudos na área, ele pode ser tratado na parte flexível do currículo das escolas (BRASIL, 2006a, p.119).

Talvez por conta dessa tendência de flexibilização, no Brasil esse conteúdo apareça cada vez menos nos exames vestibulares e não seja exigido no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). Então, embora a escola não deva apenas preparar o aluno para as avaliações, o atual

modelo de acesso aos cursos superiores acaba por determinar as prioridades dos professores e o ensino dos números complexos acaba por ser relegado a um segundo plano.

Esse desinteresse pelo ensino dos números complexos não é algo novo. Já em 2004, o professor João Paulo Carneiro escrevia na Revista do Professor de Matemática:

Os números complexos ocupam uma posição singular no ensino de Matemática. Não merecem grande atenção nos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática, por serem considerados como “assunto elementar” de nível médio. Já no Ensino Médio, são evitados, sendo tachados de estranhos, de compreensão difícil e, sobretudo, inúteis. De fato, que utilidade poderiam ter objetos cuja existência é motivada, logo no primeiro contato, pela capacidade que possuem de fornecer uma solução “imaginária” para uma equação que “sabemos” que não tem solução, como nos foi antes demonstrado várias vezes? Pois é assim que quase sempre aprendemos e ensinamos os números complexos (CARNEIRO, 2004).

Além do desinteresse pelo conteúdo, a fala de Carneiro mostra também que a forma usual escolhida para ensinar os números complexos é ineficiente e não motiva professores e alunos. Esse é também o pensamento de NORDLANDER; NORDLANDER que nas conclusões de seu artigo On the concept image of complex numbers pontuam:

Aprender um conceito matemático abstrato pode ser um desafio motivador para alguns estudantes interessados. No entanto, na maioria dos casos, com estudantes medianos e em uma turma mediana, a falta de visualização pode gerar severos obstáculos à aprendizagem. O sucesso para ensinar números complexos provavelmente depende da capacidade do professor de deixar para trás a forma clássica de introduzir o conceito. Introduzir o conceito com um método visual e inovador pode ser um modo de promover o crescimento profissional do professor como também uma situação de melhor aprendizagem para o estudante.

Essa falta de motivação para ensinar e aprender os números complexos, expressa nas falas de CARNEIRO e NORDLANDER; NORDLANDER, é, justamente, o objeto de estudo dessa dissertação.

Assumindo como corretas as duas citações de Pólya que constam na epígrafe desse texto, considerei o entusiasmo por um conteúdo como elemento fundamental para uma aprendizagem eficaz e procurei, então, investigar formas de apresentar o conjunto dos números complexos de modo a mitigar o desinteresse identificado entre professores e alunos. Adotei uma abordagem que utiliza o contexto histórico, uma maior exploração da interpretação geométrica e a apresentação de algumas aplicações dos números complexos como forma de promover essa motivação, conforme sugestões e resultados encontrados na literatura. Além disso, desenvolvi alguns recursos digitais para ilustrar ideias discutidas no texto e apoiar o ensino e a aprendizagem desse conteúdo no Ensino Médio.

1.1

Questões de Pesquisa

As seguintes questões de pesquisa sobre o processo de ensino-aprendizagem dos números complexos no Ensino Médio nortearam a construção desse trabalho.

• Como os números complexos podem ser introduzidos para que despertem o interesse de estudantes e professores?

• Quais aspectos do ensino dos números complexos podem ser modificados para torná-lo mais intuitivo e interessante?

• Como os recursos digitais podem ser utilizados para fazer o conteúdo números complexos mais atrativo e mais próximo da realidade?

1.2

Objetivo Geral

Investigar o ensino dos números complexos no Ensino Médio e propor uma sequência didática para tornar este conteúdo mais interessante para alunos e professores.

1.3

Objetivos Específicos

• Apresentar o percurso histórico dos números complexos.

• Introduzir o conjunto dos números complexos como uma evolução dos números reais, mostrando que, em sua essência, todos os números são abstrações humanas.

• Detalhar a relação dos números complexos com a Álgebra, a Geometria e a Trigonometria, evitando que as formas de representação sejam apresentadas de forma desconexa.

• Propor e resolver alguns exercícios de Geometria e Trigonometria com a utilização de números complexos para mostrar que eles também podem ser empregados em problemas mais cotidianos.

• Mostrar algumas aplicações dos números complexos nas engenharias e na Física de uma forma mais palatável e simplificada que possa ser compreendida pelos alunos.

• Introduzir e manipular os fractais do Conjunto de Mandelbrot e do Conjunto de Julia como uma aplicação dos números complexos.

• Propor alguns recursos digitais (objetos de aprendizagem) que abordem esse conteúdo.

1.4

Estrutura da Dissertação

Os capítulos dessa dissertação foram estruturados de modo a contemplar alguns dos principais tópicos que podem ser trabalhados para motivar alunos e professores.

No Capítulo 2 apresento um resumo do percurso histórico dos números complexos desde o seu surgimento até sua aceitação pela comunidade matemática.

No Capítulo 3 são introduzidos os conceitos básicos e a fundamentação teórica do conjunto dos números complexos, dando ênfase às formas de representação, sua utilização e à interpretação geométrica.

O Capítulo 4 ilustra algumas das aplicações dos números complexos na própria Mate-mática, enquanto que o Capítulo 5 é dedicado a mostrar algumas das aplicações existentes no “mundo real”.

No Capítulo 6 abordo os fractais dos Conjuntos de Julia e do Conjunto de Mandelbrot, aplicações dos números complexos que, embora não sejam cotidianas, despertam a curiosidade e o interesse das pessoas.

E, finalmente, no Capítulo 7 apresento minhas considerações finais e algumas reflexões, organizadas ao longo de todo o trabalho, no sentido de responder às questões de pesquisa. Também aponto alguns caminhos que vislumbro como continuidade desse estudo.

1.5

Recursos Digitais

Todos os recursos digitais desenvolvidos no escopo dessa dissertação podem ser visuali-zados, testados e baixados livremente em <http://complexos.blog.br/>.

Para facilitar a sua localização nesse site, todos esses recursos digitais foram numerados seguindo o padrão RDXYY, onde X se refere ao capítulo onde foram mencionados nesse texto e YY é um número sequencial. Assim, por exemplo, RD402 se refere ao segundo recurso digital do Capítulo 4.

Os aplicativos foram publicados com uma descrição de suas funcionalidades, algumas su-gestões de atividades didáticas que podem ser desenvolvidas com eles e uma lista de categorias e tagspara facilitar a sua classificação e localização por buscadores. Houve também a preocupação de, sempre que possível, permitir a execução dos aplicativos em dispositivos móveis.

Esse site apresenta também uma seleção de recursos digitais produzidos por terceiros que também exploram conteúdos relacionados aos números complexos que podem ser usados em atividades didáticas no Ensino Médio. Essa seleção está disponível no mesmo endereço sob a categoria <links externos>. Esses links externos também foram descritos, comentados e categorizados para facilitar sua procura e utilização.

2 A História dos números complexos

George Pólya acreditava que nós compreendemos melhor a Matemática quando a vemos nascendo, quer seguindo os passos das descobertas históricas, quer nos empenhando nós mesmos nessas descobertas (KILPATRICK, 1987, p.300). Nesse sentido de valorização da História da Matemática no processo de ensino, ele afirmou:

Tendo compreendido como a raça humana adquiriu o conhecimento de certos fatos ou conceitos, nós estamos em uma posição melhor para avaliar como uma criança deve adquirir tal conhecimento (PÓLYA, 1981).

Os números complexos percorreram um longo e tortuoso caminho histórico e, diferente-mente de outras áreas da Matemática, essa história está muito bem documentada (CARNEIRO, 2004).

Historicamente, os números complexos sofreram forte e, por vezes, furiosa recepção. A própria expressão número imaginário, cunhada por Descartes, tinha um caráter depreciativo. Muitos matemáticos importantes se recusaram a adotar os números complexos que só foram amplamente aceitos no século XIX. Ao conhecer esse percurso histórico, o aluno pode se colocar no papel daqueles que se recusaram a aceitar os números complexos em um primeiro momento e poderá entender o que levou a comunidade matemática à sua adoção posteriormente. Pode ainda se sentir mais confortável ao perceber que não está sozinho quando considera a ideia dos números complexos difícil de entender (EGAN, 2008; CARMO et al., 2005).

Nesse capítulo mostro um resumo dessa história dos números complexos, comentando algumas oportunidades para despertar a curiosidade e o interesse do aluno. Também apresento e discuto alguns recursos digitais que exploram a história dos números complexos e podem ser usados para introduzir esse assunto.

2.1

A busca pela solução das equações cúbicas

O primeiro traço histórico da raiz quadrada de um número negativo aparece no texto Stereometria(c.50 d.C.) atribuído a Heron de Alexandria. Depois de ter fornecido a fórmula correta para se calcular o tronco de uma pirâmide de base quadrada, ao aplicá-la a um caso concreto, deveria ter chegado a√81 − 144 (na notação atual). No entanto, o autor (ou algum copista) preferiu inverter a ordem dos termos, grafando incorretamente√144 − 81, perdendo a oportunidade histórica de ser o primeiro a considerar a existência de raízes quadradas de números negativos (NAHIN, 1998).

Depois de Heron, outras menções às raízes quadradas de números negativos são en-contradas na história como, por exemplo, Diofanto (c. 275 d.C.), Mahavira (c. 850 d.C.) e Bhaskara (c.1150 d.C.). Todas essas menções destacavam a impossibilidade da existência de raízes quadradas negativas, justificando que quantidades negativas não geram quadrados (SMITH, 1958).

As raízes quadradas do números negativos voltariam a aparecer quando do surgimento dos números complexos. Diferentemente do que é afirmado em muitos livros didáticos, foi a busca pela solução das equações cúbicas, e não a resolução de equações quadráticas do tipo x2+ 1 = 0, que levou ao nascimento dos números complexos (KLEINER, 2012; NAHIN, 1998; GARBI, 2010; HAREL, 2013; ROQUE; CARVALHO, 2012).

Foi na Itália Renascentista no começo do século XVI que um grupo de matemáticos italianos empreendeu a busca pela solução das equações cúbicas a partir de seus coeficientes. Sobre esta busca, no final de 1494, o frei franciscano Luca Pacioli afirmou em seu livro Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita que no estado atual da ciência a solução das cúbicas era tão impossível quanto a quadratura do círculo. Sua afirmação se mostrou errada: por volta de 1515, Scipione Del Ferro, um professor e matemático da Universidade de Bolonha, descobriu uma fórmula para a resolução das cúbicas do tipo x3 = px + q. No entanto, Scipione nunca publicou a sua descoberta, o que era um procedimento comum naquela época: mantinha-se o segredo para se obter vantagens financeiras em disputas públicas com os seus rivais propondo-lhes problemas além de seu alcance. Pouco antes de morrer (1526), Scipione Del Ferro passou sua descoberta para seu estudante Antonio Maria Del Fiore (NAHIN, 1998; CAJORI, 1909; O’CONNOR; ROBERTSON, 2002b).

Pouco tempo depois, Del Fiore desafiou o matemático Niccolò Fontana, Figura 2.1, conhecido como Tartaglia (gago, em italiano), para uma disputa na qual cada participante propunha 30 problemas para o outro. Antes da data de entrega dos problemas resolvidos, Tartaglia conseguiu a fórmula para resolver as equações cúbicas e venceu a disputa.

Figura 2.1 – Tartaglia (1500-1557)

Fonte: MacTutor History of Mathematics Archive (O’CONNOR; ROBERTSON, 2002a) A notícia que Tartaglia havia vencido Del Fiore e que tinha uma fórmula para resolução das cúbicas chegou ao conhecimento de Girolamo Cardano, Figura 2.2, um matemático, médico, jogador e filósofo italiano que estava preparando um livro de álgebra para publicação. Em

1539 Cardano convidou Tartaglia a visitá-lo em Milão e o persuadiu a contar-lhe a fórmula de resolução das cúbicas. Tartaglia forneceu a Cardano a fórmula, porém não a demonstrou, e exigiu que esse prometesse que não a publicaria. Em 1545, Cardano soube que Scipione Del Ferro havia descoberto a fórmula antes de Tartaglia. Ao obter essa fórmula a partir das anotações de Scipione Del Ferro, Cardano sentiu-se desobrigado a cumprir a promessa feita e publicou a fórmula em seu livro Ars Magna (A grande arte - 1545), o que provocou a fúria de Tartaglia (O’CONNOR; ROBERTSON, 2002b; NAHIN, 1998).

Figura 2.2 – Girolamo Cardano (1501-1576)

Fonte: Wikimedia Commons - Domínio Público (COMMONS, 2011)

Não se pode acusar Cardano de plágio, uma vez que ele deu os créditos da descoberta da fórmula a Tartaglia e a Scipione Del Ferro, mencionando o primeiro três vezes em seu livro (NAHIN, 1998; MAZUR, 2003; TOSCANO, 2012).

Ars Magnafoi um marco na História da Matemática, sendo considerado a maior reali-zação no campo da Álgebra desde que os babilônios estabeleceram como resolver as equações quadráticas 3000 anos antes. Nesse livro, Cardano além de descrever e demonstrar o método algébrico para resolver as equações cúbicas, incluiu também um método para resolução das equações de 4◦ grau (quárticas)*_{que foi obtido por um aluno seu, Ludovico Ferrari (1522-1565).}

Cardano foi o primeiro a introduzir os números complexos na Álgebra, embora tivesse algumas dúvidas sobre eles (MERINO, 2006). No capítulo 37 de Ars Magna, ele dá o seguinte exemplo:

Divida 10 em duas partes de tal modo que o produto delas seja 40. É claro que esse problema é impossível. No entanto, nós trabalharemos assim: dividimos 10 em duas partes iguais obtendo cinco em cada parte. Elevamos essas partes ao quadrado e obtemos 25. Subtraia 40 de 25 como mostrado no capítulo sobre

*_{O método de Ferrari para resolução das quárticas consiste em reduzir o problema a uma equação cúbica por}

operações no livro VI, obtendo o resto -15, cuja raiz adicionada ou subtraída a 5 dará as partes cujo produto é 40. Estas partes serão 5 +√−15 e 5 −√−15 (CARDANO, 1968).

Após demonstrar esse problema, Cardano acrescenta que “essa sutileza aritmética é tão refinada quanto inútil” (CARDANO, 1968).

Em notação atual, a fórmula de Cardano (Del Ferro/Tartaglia) para a equação cúbica

x3+ px + q = 0 (2.1) é dada por: x = 3 v u u t  −q 2  + s _q 2 2 + _p 3 3 + 3 v u u t  −q 2  − s _q 2 2 + _p 3 3 (2.2) Nesse tipo de cúbica sempre que a equação tem duas raízes reais distintas, o termo (discriminante) q 2 2 + p 3 3

é negativo, levando ao aparecimento de raízes quadradas de números negativos na fórmula. Ocorre, portanto, um comportamento oposto àquele observado na fórmula para resolução das equações de 2º grau (GARBI, 2010).

Assim, por exemplo, quando aplicada ao exemplo histórico x3 = 15x + 4 chegamos a: x = 3

q

2 +√−121 + 3

q

2 −√−121 (2.3)

Embora Cardano tenha dito que sua fórmula geral não se aplicasse nesse caso, por conta do aparecimento de√−121, as raízes quadradas de números negativos não puderam mais ser completamente ignoradas, pois sabia-se, por simples inspeção, que x = 4 é uma solução real dessa equação. Mais ainda: as outras duas raízes, −2 ±√3, também são números reais. Restava, então, o desafio de encontrar um modo de aplicar a fórmula de Cardano para encontrar as raízes reais desses casos irredutíveis (KLEINER, 2012).

2.2

A construção de uma álgebra para os números complexos

Foi Rafael Bombelli, Figura 2.3, um engenheiro hidráulico italiano, quem conseguiu encontrar uma forma de resolver a equação x3− 15x − 4 = 0 aplicando a fórmula de Cardano. Bombelli considerou que como 4 era uma raiz e que em (2.3) os radicandos diferiam apenas no sinal, o mesmo deveria acontecer em suas raízes cúbicas, o que o levou a fazer:

3 q 2 +√−121 = a +√−b e 3 q 2 −√−121 = a −√−b

Então, aplicando manipulações algébricas, de acordo com as regras estabelecidas para os números reais, ele encontrou os valores a = 2 e b = 1 e mostrou que, de fato:

2 +√−1 + 2 −√−1 = 4

Figura 2.3 – Rafael Bombelli (1526-1572)

Fonte: MacTutor History of Mathematics Archive (O’CONNOR; ROBERTSON, 2002a) Bombelli foi, portanto, a primeira pessoa a escrever regras para as operações de adição, subtração e multiplicação de números complexos. Na notação dessa álgebra para os números complexos, ele chama √−1 como p.dm (abreviação para più de meno, em italiano) e −√−1 como m.dm (abreviação para meno de meno, em italiano).

Ele mostrou assim, usando a manipulação dos números complexos que soluções reais para equações cúbicas podiam ser obtidas a partir da fórmula de Cardano mesmo quando raízes quadradas de números negativos apareciam nesta fórmula (ROQUE; CARVALHO, 2012; O’CONNOR; ROBERTSON, 2002c).

Estes resultados foram publicados no livro L’Algebra em 1572, lançando as bases da teoria dos números complexos. Embora seu livro tenha sido bastante lido, os números complexos permaneceram envoltos em mistério, pouco compreendidos e, principalmente, completamente ignorados por cerca de mais dois séculos e meio. Em 1585, o matemático belga Simon Stevin (1548-1620) explicitou sua desconfiança com os números complexos da seguinte maneira:

Existe assunto legítimo suficiente para exercitar-se, até mesmo demais, sem necessidade de se ocupar e perder tempo em incertezas (KLEINER, 2012).

2.3

Utilização e crescimento na obscuridade

Embora as dúvidas sobre o significado e a legitimidade dos números complexos tenham persistido, isso não impediu que, a partir dos resultados de Bombelli, eles fossem muito usados e que muitos trabalhos matemáticos sobre eles fossem produzidos (KLEINER, 2012).

Em 1620, Albert Girard (1595-1632) foi um dos primeiros a afirmar, sem demonstrar, que uma equação algébrica de grau n teria n raízes. No entanto, tal forma de afirmar o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) era ainda vaga e não muito clara (KLEINER, 2012).

René Descartes (1596-1650) foi outro grande matemático a contribuir com a história dos números complexos, devendo-se a ele o uso dos termos real e imaginário. Descartes associou os números imaginários com impossibilidades geométricas e também relacionou os números complexos com o número de raízes de equações algébricas (TFA) sem contudo demonstrar essa afirmação (MERINO, 2006; GREEN, 1976).

Tanto as verdadeiras quanto as falsas [negativas] raízes não são sempre reais, mas algumas vezes são somente imaginárias, isto é, pode-se imaginar tantas raízes para cada equação quanto eu previ [quanto indica o grau da equação], mas algumas vezes não existe uma quantidade correspondente àquelas raízes que imaginamos (DESCARTES, 1954).

Leibniz e Johann Bernoulli empregaram os números complexos como ajuda para calcular integrais, o que levou a uma controvérsia entre eles sobre o significado do logaritmo de números negativos e complexos. Essa controvérsia só foi esclarecida posteriormente por Euler que mostrou que log(−1) = i(π + 2nπ) (complexo e multivalorado).

Em 1698, Abraham de Moivre (1667-1754) menciona que Isaac Newton já conhecia por volta de 1676 o equivalente da fórmula que hoje é conhecida como Fórmula de De Moivre:

(cos θ + i sen θ)n_{= cos(nθ) + i sen(nθ)}

Os números complexos foram usados, também, por Johann Lambert para fazer projeções de mapas; por Jean D’Alembert na hidrodinâmica; e por Lagrange, Laplace, Euler e D’Alembert em demonstrações (incorretas) do Teorema Fundamental da Álgebra (KLEINER, 2012; CARMO et al., 2005).

Leonhard Euler, Figura 2.4, foi responsável por alavancar as pesquisas sobre o TFA e os números complexos, tendo provado que se um número complexo a + bi é raiz de uma equação, então, o seu conjugado, a − bi, também é. Mostrou em seguida que toda equação de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real e que todas as raízes não reais são da forma a + bi, sendo necessário para isso estudar as operações com números complexos, incluindo as potências imaginárias, logaritmos e funções trigonométricas. Com Euler, pode-se dizer que a álgebra dos números complexos atingiu sua forma atual. Euler, por sinal, foi também quem introduziu o símbolo i para representar√−1† _{(CARMO et al., 2005).}

†_{O uso de i para representar a unidade imaginária, no entanto, só se popularizou após sua utilização por Gauss}

Figura 2.4 – Leonhard Euler (1707-1783)

Fonte: Wikimedia Commons - por Jakob E. Handmann - Domínio Público (COMMONS, 2014b)

No entanto, o comportamento ambíguo da comunidade matemática com os números complexos pode ser visto também com Euler. Embora tenha produzido trabalhos de fundamental importância como o que relaciona os números complexos com as funções exponenciais e trigonométricas pela fórmula eix _{= cosx + isenx, ele chega a afirmar:}

Como todos os números concebíveis são maiores ou menores que zero ou iguais a zero, fica então claro que as raízes quadradas de números negativos não podem ser incluídas entre os números possíveis. E esta circunstância nos leva ao conceito de tais números que, por sua natureza, são impossíveis, e que são comumente chamados de imaginários ou imaginados, pois existem somente na imaginação (KLEINER, 2012).

No fim do século XVIII, os matemáticos já podiam efetuar operações bem avançadas com os números complexos. Porém, ainda há alguma reserva da parte deles, o que pode ser observado na Encyclopédie, organizada por Diderot, D’Alembert e outros filósofos franceses com a intenção de ser um inventário de todo o conhecimento humano da época, que em seus artigos sobre Matemática, redigidos pelo próprio D’Alembert, não mencionam esses números (CARMO et al., 2005).

Nessa época, o anseio por encontrar uma explicação lógica para os números complexos, fosse ela de caráter filosófico ou prático, era premente. Com a Idade da Razão, os matemáticos tinham sido alçados a modelos a serem seguidos nas ciências naturais, na filosofia e no pensa-mento político e social e era, portanto, inadequada a falta de uma explicação racional para os números complexos. A busca por uma justificativa lógica para as operações com os números negativos e complexos era também uma preocupação pedagógica em locais como, por exemplo, a Universidade de Cambridge (KLEINER, 2012). Urgia, portanto, uma explicação convincente que levasse à aceitação sem reservas dos números complexos.

2.4

TFA, interpretação geométrica e aceitação

A primeira demonstração correta do TFA foi feita por Gauss, Figura 2.5, em 1799 em sua tese de doutorado. Ao longo de sua vida, Gauss forneceria ainda mais três demonstrações diferentes para esse teorema (CARMO et al., 2005).

Um significado para as quantidades imaginárias, no entanto, só foi obtido a partir de sua interpretação geométrica no começo do século XIX. A interpretação geométrica para os números complexos foi proposta por diferentes matemáticos como, por exemplo, Argand, Carnot, Buée, Wessel e Gauss. Credita-se o conceito empregado atualmente de representar um número complexo como um ponto em um plano a Caspar Wessel que publicou a ideia em 1799. Porém, ninguém deu importância ao trabalho de Wessel e o suíço Jean Robert Argand também publicou em 1806 uma representação semelhante obtida de forma independente. O trabalho de Argand permaneceu anônimo até 1813 e teve pouca repercussão depois disso.

Figura 2.5 – Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Fonte: Wikimedia Commons - Domínio Público (COMMONS, 2018)

A exemplo de Argand e Wessel, os outros matemáticos também eram pouco conhecidos e foi necessário o prestígio de Gauss para difundir e tornar aceita a representação geométrica dos números complexos. Há indicações que ele já conhecia a representação geométrica desde 1796 e que este material tenha permanecido não publicado. É provável que a ideia de representar geometricamente os complexos tenha ocorrido a Gauss ao demonstrar o TFA, mesmo que ele não tenha utilizado isso em sua demonstração (CARMO et al., 2005).

No entanto, a publicação da representação dos complexos como pontos no plano por Gauss ocorreu em conexão com seu trabalho sobre a Teoria do Números e só se deu após ele ter superado seu escrúpulo metafísico com relação às quantidades imaginárias (KLEINER, 2012). A obra Theoria residuorum biquadraticorum commentatio secunda foi submetida à Real Sociedade de Göttingen em 1831 e nela Gauss refere-se à interpretação geométrica dos números complexos como a verdadeira metafísica das quantidades imaginárias (CARMO et al., 2005; ROQUE;

CARVALHO, 2012).

Ele foi o primeiro matemático influente e renomado a defender publicamente as quantida-des imaginárias. Foi ele também quem cunhou pela primeira vez a expressão números complexos. A associação dos números complexos ao plano é enfatizada por Gauss como por nenhum outro matemático antes dele (ROQUE; CARVALHO, 2012; MERINO, 2006).

A representação geométrica, chancelada por Gauss, dispersou o mistério e a obscuridade que envolviam os números complexos que, dali por diante, tornaram-se entidades reconhecidas como tais e com lugar na Matemática (MERINO, 2006).

Sobre a obscuridade que envolveu os números complexos, Gauss atribuiu parte da culpa à terminologia adotada:

Que este assunto [números imaginários] até agora tenha sido cercado por misteriosa escuridão deve ser atribuído em grande parte a uma terminologia mal adaptada. Se, por exemplo, +1, -1, e√−1 tivessem sido chamados de direto, inverso e lateral, em vez de positivo, negativo e imaginário (ou, pior ainda, de impossível), tal obscuridade estaria fora de questão (NAHIN, 1998; MERINO, 2006).

Os trabalhos de Hamilton e Cauchy, Figura 2.6, na primeira metade do século XIX complementaram e ajudaram a consolidar os números complexos, ratificando sua legitimidade.

Figura 2.6 – Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

Fonte: MacTutor History of Mathematics Archive (O’CONNOR; ROBERTSON, 2002a) Em 1833, William Rowan Hamilton (1805-1865) deu uma descrição algébrica rigorosa dos números complexos como pares ordenados de números reais (x, y) dotados de operações de soma e multiplicação explicitamente definidas. Em 1814, Augustin-Louis Cauchy iniciou o seu trabalho sobre o que hoje conhecemos como a moderna Teoria das Funções Complexas que foi publicado em 1925. Em 1947 ele fornece uma descrição algébrica dos números complexos em termos de classes de congruência de polinômios reais de módulo x2_{+ 1 (KLEINER, 2012).}

Houve ainda, entretanto, alguns matemáticos que continuaram resistindo à aceitação dos números complexos. Em 1831, Augustus de Morgan declarava em seu livro On the Study and Difficulties of Mathematics: “Nós temos mostrado que o símbolo√−1 é vazio de significado ou um tanto contraditório e absurdo”. Em 1854, George Boole chamava √−1 de “símbolo não interpretável” e em 1858, George Airy foi ainda mais enfático em um artigo da revista Transactions da Sociedade Filosófica de Cambridge: “Eu não tenho a menor confiança em qualquer resultado que seja obtido essencialmente pelo uso de símbolos imaginários.”(NAHIN, 1998).

Ao final do século XIX, a maioria dos vestígios de mistério e desconfiança sobre os números complexos tinham desaparecido, havendo apenas uma leve resistência no começo do século XX por parte de autores de livros didáticos que complementavam as demonstrações que usavam números complexos com outras que não os utilizavam (KLEINER, 2012).

2.5

A evolução dos números

Costumamos construir o sistema numérico começando com os números naturais e depois ir expandindo a estrutura gradativamente para incluir os números inteiros, os números racionais, os números reais e, finalmente, os números complexos. Não foi assim, no entanto, que o conceito de número se desenvolveu historicamente. Já na antiguidade, os números racionais e alguns irracionais (π e algumas raízes, por exemplo) eram conhecidos. O sistema de números (positivos) racionais e irracionais também foi descrito teoricamente por filósofos e matemáticos gregos, mas no âmbito de uma teoria autônoma de proporções comensuráveis e incomensuráveis, e não como uma extensão dos números naturais (EBBINGHAUS et al., 1991).

Quando os números complexos começaram a aparecer no século XVI com os algebristas italianos, os matemáticos não tinham ainda formalizado os conceitos de números negativos e irracionais. Até o século XIX, quando Gauss publicou a interpretação geométrica dos números complexos, ainda havia matemáticos que discutiam se os números negativos realmente existiam (CARMO et al., 2005). Uma descrição formal e lógica dos números negativos só ocorreu no final do século XIX, muito embora eles já fossem usados de uma forma ou de outra por mais de dois milênios (KLEINER, 2012).

Sobre essa forma errática da evolução dos números, Tobias Dantzig nos ensina em seu clássico livro Número - a linguagem da ciência de 1930:

A sistemática exposição de um livro didático em Matemática é baseada na continuidade lógica e não na sequência histórica; mas o ensino secundário e mesmo o curso superior em Matemática falham em mencionar este fato e, portanto, deixam no estudante a impressão que a evolução histórica do número se deu na ordem que os capítulos dos livros foram escritos. Esta impressão é largamente responsável pela opinião generalizada que a Matemática não tem nenhum elemento humano. Parece que é uma estrutura que foi construída sem um andaime: ela simplesmente se levantou em sua majestade congelada, camada por camada. Sua estrutura não teria falhas porque seria baseada na razão pura e suas paredes seriam impenetráveis porque elas teriam sido criadas sem tolices,

erros ou mesmo hesitações, pois a intuição humana não teria tido nenhuma parte.

(...)

A História da Matemática revela a falácia de tal noção. Ela mostra que o progresso da Matemática foi o mais errático e que a intuição teve um papel predominante nele. Pontos avançados distantes foram conquistados antes que o território intermediário tivesse sido explorado, frequentemente até antes que os exploradores soubessem que havia um território intermediário (DANTZIG, 2005, p.188).

A introdução do plano complexo alargou consideravelmente o conceito de número. Antes da interpretação geométrica dos complexos, todos os números conhecidos estavam restritos a uma dimensão, o chamado eixo real. Depois disso, o domínio de todos os possíveis números expandiu para um plano bidimensional e infinito em todas as direções.

De uma certa forma, com os números complexos a construção do sistema numérico está terminada: os números complexos são completos [fechados] sob as operações aritméticas usuais. Isto significa que nós sempre obteremos um número complexo como resultado de uma adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação, etc... em outro número complexo (NAHIN, 1998). Os números complexos não se encaixam imediatamente nas noções dos estudantes do que é um número e o significado do que é um número também mudou ao longo dos séculos (KLEINER, 2012). Esses dois fatos podem levá-los a questionar se existem números além dos complexos. Sobre esse ponto, DANTZIG, ao finalizar um tópico sobre os quatérnios esclarece:

(...) extensões além do domínio do número complexo são possíveis apenas à custa do Princípio da Permanência‡. O domínio dos números complexos é a última fronteira desse princípio. Além dele [o conjunto dos números complexos], ou a comutatividade das operações ou o papel que o zero desempenha na aritmética deve ser sacrificado (DANTZIG, 2005, p.211).

2.6

Recursos Digitais

De acordo com Gagné, é importante conquistar a atenção dos estudantes no início de uma lição para que o ensino e a aprendizagem sejam exitosos (GAGNé, 1985). Nesse sentido, pode-se utilizar a história da Matemática para despertar a curiosidade dos alunos sobre um determinado tópico.

Os seguintes recursos digitais exploram parte do conteúdo da história dos números complexos que vimos nesse capítulo e podem, portanto, ser utilizados como uma introdução do assunto para despertar o interesse dos alunos já no primeiro contato com o tema.

• RD201 - Um breve resumo da história dos números complexos

Este livro eletrônico ilustrado mostra resumidamente os principais episódios da história dos números complexos. Trata-se uma sequência de slides que o professor poderá utilizar, ‡_{Em sua forma mais simples, o Princípio da Permanência afirma que, dada uma função analítica f (z) definida}

em um subconjunto aberto (e conectado) U dos números complexos C e uma sequência convergente ancujo limite L pertence a U , tal que f (an) = 0 para todo n, então f (z) é uniformemente zero em U.

de forma integral ou parcial, como introdução do assunto números complexos em suas aulas. São mostradas passagens significativas dessa história como a busca pela fórmula de resolução das equações cúbicas, a sistematização feita por Bombelli, a construção da interpretação geométrica por diferentes matemáticos e a caracterização essencialmente algébrica de Hamilton. Mostra ainda como os números complexos foram tratados de maneira depreciativa ao longo de toda a sua história, inclusive por grandes matemáticos. • RD202 - Usando a fórmula de Cardano

Um applet do Geogebra que mostra como utilizar a fórmula de Cardano para resolução das equações cúbicas. Além de dar explicações sobre a utilização da fórmula, permite resolver alguns dos problemas históricos propostos por Tartaglia, Antonio Maria Del Fiore e Ludovico Ferrari. Permite ainda transformar qualquer cúbica da forma ax3+bx2+cx+d = 0 na forma utilizada pela fórmula de Cardano (x3_{+ px + q = 0), detalhando o processo}

dessa transformação. Em outra tela, mostra a transformação que deve ser aplicada em uma equação quártica para reduzi-la a uma equação cúbica e, assim, deixá-la na forma ideal para ser resolvida pela fórmula de Cardano.

• RD203 - Estudo do discriminante da fórmula de Cardano

Este é um applet do Geogebra que ilustra o papel do termo discriminante da fórmula de Cardano. A partir de controles deslizantes, o aluno consegue variar os valores de p e q em x3+ px + q e, assim, obter a fórmula de Cardano para esses valores, o valor do discriminante e as soluções (reais e complexas) desta equação.

• RD204 - Introdução à representação geométrica de um número complexo

Trata-se de um applet do Geogebra que apresenta o plano complexo aos alunos na forma de um jogo. O aluno tem que mover pontos dentro do plano complexo para fazê-los coincidirem com os números complexos dados. Os movimentos no plano complexo podem ser corrigidos quantas vezes forem necessárias até que o aluno consiga o posicionamento correto. O objetivo desse jogo é fornecer uma noção da interpretação geométrica dos números complexos já na introdução do assunto, juntamente com o contexto histórico.

3 Conceitos básicos

Nesse capítulo apresento os conceitos básicos do conjunto dos números complexos (C), definindo seus elementos, suas propriedades, formas de representação, operações e alguns resultados que serão úteis para o entendimento dos próximos capítulos.

A introdução desse novo conjunto será feita seguindo a ideia, vista ao longo do capítulo 2, que a extensão de domínios numéricos (por exemplo, de N para Z, de Z para Q e de Q para R) foi motivada pela necessidade de estender operações sobre os elementos desse domínio. Assim, o conjunto dos números complexos será apresentado como uma extensão do conjunto dos números reais (R) na qual é possível operar com raízes negativas de índice par.

Na medida do possível, procurei apresentar também a interpretação geométrica dos conceitos mostrados e caracterizar as formas de representação como modos diferentes de se exibir o mesmo conceito. A teoria aqui apresentada pode ser encontrada em muitos livros didáticos com pequenas variações de notação entre um e outro. O texto a seguir compila as ideias presentes em (ANDREESCU; ANDRICA, 2014; LIMA et al., 2006; MURRAY, 1995; NEVES, 2014).

3.1

Conjunto dos números complexos

Definição 3.1. Seja R2 _{= {(x, y)|x, y ∈ R}, isto é, o conjunto dos pares ordenados (x, y)}

comx e y reais. Tomando dois elementos (x1, y1) e (x2, y2) de R2, definimos a igualdade e as

operações de adição e multiplicação da seguinte maneira: (x1, y1) = (x2, y2) ⇔ x1 = x2 ey1 = y2 (igualdade),

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) ∈ R2 (adição),

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2− y1y2, x1y2+ x2y1) ∈ R2 (multiplicação).

Definição 3.2. O conjunto dos pares ordenados de R2para os quais valem a igualdade, a adição e a multiplicação, tal como estabelecidas na Definição 3.1, é chamado de conjunto dos números complexos e representado por C. Cada par ordenado z = (x, y) ∈ C é chamado de um número complexo.*

A partir da Definição 3.2, podemos mostrar que o conjunto C dos números complexos satisfaz as seguintes propriedades (axiomas):

• em relação à adição

(A1) Comutatividade: z1+ z2 = z2+ z1para todo z1, z2 ∈ C.

(A2) Associatividade: (z1+ z2) + z3 = z1 + (z2+ z3) para todo z1, z2, z3 ∈ C.

(A3) Existência do elemento neutro: existe um único número complexo 0 = (0, 0) tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ∈ C.

*_{Esta descrição dos números complexos como pares ordenados é devida a William Rowan Hamilton, conforme}

(A4) Existência do inverso aditivo: para todo número complexo z = (x, y) existe um único −z = (−a, −b) ∈ C tal que z + (−z) = (−z) + z = 0.

• em relação à multiplicação

(M1) Comutatividade: z1· z2 = z2· z1 para todo z1, z2 ∈ C.

(M2) Associatividade: (z1· z2) · z3 = z1· (z2· z3) para todo z1, z2, z3 ∈ C.

(M3) Existência do elemento neutro: existe um único número complexo 1 = (1, 0) tal que z · 1 = 1 · z = z para todo z ∈ C

(M4) Existência do inverso multiplicativo: para todo número complexo z ∈ C\{(0, 0)} existe um único z−1 = 1 z = x x2 _{+ y}2, − y x2_{+ y}2 ! ∈ C tal que z · z−1 _{= z}−1_{· z = 1.}

(M5) Distributividade em relação à soma: z1·(z2+z3) = z1·z2+z1·z3para todo z1, z2, z3 ∈ C.

Dizemos que o conjunto C, por obedecer essas propriedades da adição e da multiplicação (A1 a A5 e M1 a M4), juntamente com essas duas operações, constitui um corpo, uma estrutura algébrica fundamental da Matemática bastante utilizada na Álgebra e Teoria dos Números.

3.1.1

A unidade imaginária i

Chamamos de unidade imaginária e representamos por i ao número complexo imaginário puro (0,1). Observe que a unidade imaginária i satisfaz a propriedade que motivou a descoberta dos números complexos, isto é, i2 _{= −1.}

Demonstração. Aplicando a definição de multiplicação de números complexos (3.1), temos: i2 = i · i = (0, 1)(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1

3.1.2

_{R como um subconjunto de C}

Se tomarmos o subconjunto C0 = {(x, 0)|x ∈ R} de C, temos que a função f : R 7→ C0 com f (x) = (x, 0) é uma bijeção e preserva a adição e multiplicação em R, isto é, para todo x1, x2 ∈ R, temos:

f (x1+ x2) = (x1+ x2, 0) = (x1, 0) + (x2, 0) = f (x1) + f (x2),

Essas duas características fazem de R e C0 conjuntos isomorfos que, para todos os efeitos práticos, comportam-se como R fosse de fato um subconjunto de C, isto é, podemos operar com os elementos (x, 0) de C0 como se estivéssemos operando com os elementos x de R e vice-versa.

Podemos usar, por conta da bijeção f , a notação (x, 0) = x e considerar que o conjunto dos reais R está incluído no conjunto dos números complexos.

Devemos observar, no entanto, que a ordem de R não pode ser estendida para o conjunto dos complexos. A relação de ordem estabelece que para quaisquer elementos a e b de um conjunto, somente um dos seguintes casos é verdadeiro: a > b, a < b ou a = b.

Para termos um corpo ordenado, os seguintes axiomas devem ser respeitados: i) se a < b e b < c, então a < c;

ii) se a < b e c < d, então a + c < b + d; iii) se a < b e c > 0, então a · c < b · c.

Supondo i > 0, temos que i2 = −1 < 0, o que contradiz (iii). Então, devemos ter i < 0. Porém, i4 = i2 · i2 _{= 1 > 0, o que também contradiz (iii). Logo, não pode haver nenhuma}

relação de ordem em C que obedeça os axiomas de (i) a (iii), o que mostra que C não é um corpo ordenado.

3.1.3

Tipos de números complexos

De maneira análoga, podemos destacar também o subconjunto C00 = {(0, y)|y ∈ R} de C, conhecido como o subconjunto dos números complexos imaginários puros. Assim, podemos considerar três tipos distintos de números complexos, conforme mostrado na Figura 3.1:

• (x, 0) - são os números complexos reais ou, simplesmente, reais;

• (0, y) - são os números complexos imaginários puros ou, simplesmente, imaginários puros; • (x, y), com x 6= 0, y 6= 0 - é a diferença entre C e os subconjuntos dos reais e dos

imaginários puros.

Figura 3.1 – Números reais e imaginários puros como subconjuntos de C Fonte: elaborado pelo autor

Observe que o número complexo 0 = (0, 0) é, simultaneamente, real e imaginário puro.

3.2

Forma Algébrica

Pares ordenados são convenientes para uma definição rigorosa dos números complexos. No entanto, para manipulação algébrica e para executar cálculos com números complexos, outras formas de representação são mais adequadas como, por exemplo, a forma algébrica que veremos a seguir.

Proposição 3.3. Todo número complexo z = (x, y) pode ser unicamente representado na forma z = x + yi, onde x, y ∈ R e i = √−1, isto é, i2 _{= −1.}

Demonstração.

z = (x, y)

= (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = x + yi

A expressão z = x + yi é chamada de forma algébrica de um número complexo. Definição 3.4. O número real x é chamado de parte real do número complexo z = x + yi e o número realy é chamado de parte imaginária de z. Notação: Re(z) = x e Im(z) = y.

Definição 3.5. Para qualquer número complexo z = x + yi, o número z = x − yi é chamado de conjugado do númeroz.

3.2.1

Operações na forma algébrica

Quando usamos a forma algébrica z = x + yi em vez do par ordenado (x, y), não precisamos memorizar as operações de adição e multiplicação presentes na Definição 3.1, uma vez que essas operações são realizadas da mesma forma que operamos com binômios.

• Adição e subtração

A adição e a subtração de dois números complexos z1 = x1+ y1i e z2 = x2+ y2i é feita

realizando-se separadamente a soma ou a subtração das partes reais e imaginária, o que decorre da Definição 3.1 e, no caso da subtração, da propriedade do inverso aditivo. Temos, então:

z = z1+ z2 = (x1+ y1i) + (x2+ y2i) = (x1+ x2) + (y1+ y2)i (3.1)

Isto é, Re(z1± z2) = Re(z1) ± Re(z2) e Im(z1± z2) = Im(z1) ± Im(z2).

Exemplo 3.6. Efetue as seguintes adições e subtrações: a) (3 + 4i) + (7 − i) = (3 + 7) + (4 − 1)i = 10 + 3i. b) (3 − 2i) + 2 = (3 + 2) + (−2 + 0)i = 5 − 2i.

c) (3 + i) − (1 + 2i) = (3 + i) + (−1 − 2i) = (3 − 1) + (1 − 2)i = 2 − i.

• Multiplicação

Para realizar a multiplicação de z1 = x1+ y1i e z2 = x2 + y2i, usamos a propriedade

distributiva e levamos em conta que i2 = −1. Temos assim: z1· z2 = (x1+ y1i)(x2+ y2i)

= x1(x2+ y2i) + y1i(x2+ y2i)

= x1x2+ x1y2i + y1x2i + y1y2i2

= x1x2+ (x1y2 + y1x2)i − y1y2

= (x1x2− y1y2) + (x1y2+ y1x2)i (3.3)

Exemplo 3.7. Efetue as seguintes multiplicações na forma algébrica: a) (3 + 4i)(7 − i) = 3(7 − i) + 4i(7 − i) = 21 − 3i + 28i + 4 = 25 + 25i. b) (1 − 2i)(4 − 3i) = 1(4 − 3i) − 2i(4 − 3i) = 4 − 3i − 8i − 6 = −2 − 11i. c) (3 + i)(1 + 2i) = 3(1 + 2i) + i(1 + 2i) = 3 + 6i + i − 2 = 1 + 7i.

• Divisão

Podemos calcular o quociente z1 z2

de dois números complexos z1 e z2, com z2 6= 0,

obtendo 1 z2

(inverso multiplicativo de z2) e realizando a multiplicação z1·

1 z2

. No entanto, podemos realizar a divisão z1

z2

mais facilmente, sem a necessidade de memorizarmos o inverso multiplicativo, utilizando a seguinte propriedade do conjugado de um número complexo: z · z = (x + yi)(x − yi) = x2_{+ y}2_.

Assim, sabendo que o produto de um número complexo z por seu conjugado z resulta em um número real, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e teremos transformado o problema em uma multiplicação. Temos, assim:

z1 z2 = x1+ y1i x2+ y2i = x1+ y1i x2+ y2i · x2− y2i x2− y2i = (x1x2+ y1y2) + (−x1y2+ y1x2)i x2 2+ y22 = (x1x2+ y1y2) x2 2+ y22 +(−x1y2+ y1x2) x2 2+ y22 i (3.4)

Exemplo 3.8. Efetue as seguintes divisões na forma algébrica: a) 1 + i 1 − i 1 + i 1 − i = 1 + i 1 − i · 1 + i 1 + i = 2i 2 = i b) 3 + 2i 2 − 2i 3 + 2i 2 − 2i = 3 + 2i 2 − 2i · 2 + 2i 2 + 2i = 2 + 10i 8 = 1 4+ 5i 4

• Potências de i

As potências de i com expoente inteiro seguem um padrão†. Vejamos: i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = i2· i = −i i4 _{= i}3_{· i = 1 i}5 _{= i}4_{· i = i i}6 _{= i}5_{· i = −1 i}7 _{= i}6_{· i = −i}

Podemos provar por indução em n ∈ N que o padrão ilustrado acima se mantém, isto é: i4n _{= 1, i}4n+1 _{= i, i}4n+2 _{= −1 e i}4n+3 _{= −i. Assim, para determinarmos o valor de uma}

potência inteira de i, basta que determinemos o resto da divisão do expoente por 4. Exemplo 3.9. Calcular o valor de i1302797

O resto da divisão de 1302797 por 4 é igual ao resto da divisão de 97 (últimos dois dígitos) por 4. Como o resto da divisão de 97 por 4 é igual a 1, temos que i1302797 _{= i}1 _{= i.}

Este padrão também se aplica para as potências negativas, pois i−n = 1

in· Assim, por exemplo, i−7 = 1 i7 = 1 −i = i = i 7_.

3.2.2

Representação Geométrica

A exemplo dos números reais que podem ser representados pelos pontos de uma reta numérica, também é possível ter uma representação geométrica para os números complexos. A †_{Esse padrão está relacionado à interpretação geométrica da multiplicação por i que veremos mais à frente}

Definição 3.2 caracteriza cada número complexo como um par ordenado de números reais. Então, é bastante natural considerar um plano para colocar esses pares ordenados em um sistema de coordenadas xOy semelhante ao sistema cartesiano. O plano adotado para esta representação é chamado de Plano de Argand-Gauss ou Plano Complexo e consiste de um sistema de coordenadas com um eixo horizontal para os números reais e um eixo vertical para os números imaginários. Definição 3.10. Como os números complexos são pares ordenados de números reais, então existe um único pontoM do plano complexo associado a cada par ordenado z = (x, y). Esse pontoM do plano complexo é chamado de afixo ou imagem geométrica do número complexo z, Figura 3.2.

O número complexoz = x + yi é chamado de coordenada complexa do ponto M.

Figura 3.2 – Representação de z no plano complexo Fonte: elaborado pelo autor

A Figura 3.3 mostra algumas representações geométricas no plano complexo: (a) o conjugado de um número z, (b) o inverso aditivo de um número complexo e (c) o vetor que representa um número complexo.

A imagem geométrica do conjugado de z = x + yi é o ponto M0(x, −y) (afixo M0) que é a reflexão do ponto M (x, y) em relação ao eixo x, conforme Figura 3.3 (a).

A imagem geométrica do inverso aditivo −z de um número complexo z = x + yi é a reflexão M00(−x, −y) em torno da origem do ponto M (x, y), conforme Figura 3.3 (b).

Uma vez que os números complexos podem ser representados por pontos em um plano, é natural associá-los a vetores em duas dimensões. Podemos, então, identificar o número complexo z = x + yi com o vetor ~v = −−→OM , onde M(x,y) é a imagem geométrica do número complexo z, como ilustrado na Figura 3.3 (c).

Assim, números complexos podem ser representados por vetores ou representá-los. Vere-mos a seguir que esta associação com vetores está relacionada com a interpretação geométrica das operações com os números complexos.

Figura 3.3 – Representação Geométrica: (a) conjugado (b) inverso aditivo (c) vetor associado Fonte: Adaptado de (ANDREESCU; ANDRICA, 2014, p.23-24)

3.2.3

Interpretação geométrica das operações algébricas

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Soma e subtração

A soma de dois números complexos z1e z2 corresponde geometricamente à soma dos

vetores ~v1 e ~v2 que os representam, Figura 3.4.

Figura 3.4 – Soma e subtração de vetores ~v1e ~v2

Essa correspondência pode ser comprovada observando-se que z1+ z2 = (x1+ x2) +

(y1+ y2)i e que a soma dos vetores é ~v1+ ~v2 = (x1+ x2) ~e1+ (y1+ y2) ~e2, onde ~e1 e ~e2 são os

vetores unitários dos eixos x e y, respectivamente.

Como a subtração de dois números complexos z1 e z2 é a soma de z1 com o inverso

aditivo de z2, isto é, z1 − z2 é igual a z1 + (−z2), podemos concluir que a subtração de dois

números complexos corresponde à subtração dos vetores ~v1 e ~v2 que os representam, Figura 3.4.

Observando novamente a Figura 3.4, percebemos que, geometricamente, a adição (e subtração) de z1 e z2 podem ser visualizadas usando a regra do paralelogramo para adição de

vetores. Nessa regra, o vetor soma é representado pela diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores originais, cuja origem coincide com a origem dos vetores.

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Multiplicação por i

Consideremos a multiplicação de um número complexo z = x + yi pela unidade imaginária i. O produto será o número complexo z · i = −y + xi. Os vetores que representam z e z · i são perpendiculares, pois < x, y >< −y, x >= −xy + yx = 0 (produto interno igual a zero).

Assim, a multiplicação por i corresponde a uma rotação de 90◦no sentido anti-horário do vetor que representa z. A Figura 3.5 mostra o que acontece com o vetor que representa z quando realizamos sucessivas multiplicações por i.

Figura 3.5 – Interpretação geométrica da multiplicação de z por i Fonte: elaborado pelo autor

De maneira completamente análoga, podemos mostrar que a multiplicação de z por −i corresponde a uma rotação de 90◦no sentido horário do vetor que representa z .

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_{Multiplicação de z por k ∈ R}

complexo z por um número real k. Podemos interpretar essa multiplicação como o produto do vetor que representa z por um escalar k ∈ R.

Figura 3.6 – Interpretação geométrica da multiplicação de z por k (a) k > 1 (b) 0 < k < 1 (c) k < −1 (d) −1 < k < 0

Fonte: elaborado pelo autor

Se k > 0, então o produto k · z é representado por um vetor que tem a mesma direção e sentido do vetor que representa z, conforme Figura 3.6 (a) e (b).

Se, no entanto, k < 0, então o vetor que representa k · z tem a mesma direção, porém tem sentido oposto ao vetor que representa z, conforme Figura 3.6 (c) e (d).

A norma ou comprimento do vetor que representa k · z depende do módulo de k. Se 0 < |k| < 1, a norma do vetor que representa k · z é menor do que a norma do vetor que representa z, como mostrado na Figura 3.6 (b) e (d). Se, no entanto, |k| > 1, a norma do vetor que representa k · z é maior do que a norma do vetor que representa z, conforme pode ser visto na Figura 3.6 (a) e (c).

3.3

Forma Polar ou Trigonométrica

A representação geométrica com coordenadas cartesianas não é a única forma de se representar um número complexo no plano. Podemos, por exemplo, em vez de coordenadas cartesianas, utilizar coordenadas polares.

As coordenadas polares tomam como referência uma distância a partir de uma origem (módulo) e uma direção (dada por um ângulo medido no sentido anti-horário em relação à horizontal).

Seja o número complexo z = x + yi representado em um sistema de coordenadas no plano pelo vetor−−→OM = (x, y) conforme mostrado na Figura 3.7.

Figura 3.7 – Um número complexo z em um sistema de coordenadas polares Fonte: elaborado pelo autor

Definição 3.11. O módulo ou valor absoluto de um número complexo z = x + yi, indicado por |z| ou por r, é um número não negativo dado por: |z| = r =√x2_{+ y}2 ₌√_{z · z. É, portanto,}

a norma do vetor que representa o número complexo z, ou seja, a distância de sua imagem geométrica à origem.

Definição 3.12. Chamamos de argumento de um número complexo z não nulo, e representamos porarg(z), ao ângulo θ entre a parte positiva do eixo real e o vetor que representa z, medido no sentido anti-horário.

É fácil perceber por essa definição e pela Figura 3.8 que seθ é o argumento de um número complexo_{z, então θ + 2kπ, k ∈ Z também é. Logo, um número complexo z tem infinitos} argumentos. Se0 ≤ θ < 2π, então θ é chamado de argumento principal do número complexo z.

Figura 3.8 – Dois dos infinitos argumentos de um número complexo z Fonte: elaborado pelo autor

Definição 3.13. Seja θ um argumento de um número complexo z = x + yi não nulo e seja r > 0 o seu módulo. Então, temos quex = rcos θ e y = rsen θ. Logo, podemos escrever z como:

que é chamada de forma polar ou trigonométrica do número complexoz. Os númerosr e θ são as coordenadas polares do ponto z = M (x, y).

3.3.1

Propriedades do módulo de z

A partir da correspondência da soma de vetores com a soma de números complexos, podemos provar as seguintes propriedades:

P1 - A desigualdade triangular vale para os números complexos, isto é,

||z1| − |z2|| ≤ |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| (3.6)

Demonstração. Se os vetores que representam z1 e z2 não têm a mesma direção, para somá-los

formamos um triângulo com os lados |z1|, |z2| e |z1 + z2|. Como em um triângulo, cada lado é

menor que soma dos outros dois e maior que a diferença dos outros dois, temos: ||z1| − |z2|| < |z1+ z2| < |z1| + |z2|.

Se os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido, temos: |z1+ z2| = |z1| + |z2|.

Se os vetores têm a mesma direção e sentidos contrários, temos: ||z1| − |z2|| = |z1+ z2|.

Então, em qualquer dos três casos, vale: ||z1| − |z2|| ≤ |z1+ z2| ≤ |z1| + |z2|.

P2 - Se z1e z2 são dois números complexos com afixos Z1 e Z2, respectivamente, então a

distância entre eles é igual ao módulo de sua diferença, |z2 − z1|.

Demonstração. Quer os vetores que representam z1 e z2 tenham a mesma direção ou não, a

distância entre eles será dada pelo módulo do vetor−Z−−1Z→2, ou seja:

d(z1, z2) = |

−−−→

Z1Z2| = |z2− z1|.

3.3.2

Operações na forma polar

A forma polar de representação simplifica consideravelmente as operações de multiplica-ção, divisão, potenciação e radiciação de números complexos.