ProfaCátia Regina de Oliveira Quilles Queiroz Instituto de Ciências Exatas
UNIFAL - Alfenas Aula 26
A seguir estudaremos a integral. Veremos que ela representa a antiderivada de uma função, ou ainda a área entre o gráfico de uma curva em um intervalo [a, b] e o eixo x, e apresentaremos algumas aplicações.
Problema 1:
A função custo marginal C0, que corresponde ao acréscimo dos
custos totais de produção quando se aumenta a quantidade
produzida, é dada por C0(x ) = 4x − 8, onde C(x ) é o custo total da
produção de x unidades. Se o custo de produção de 5 unidades é R 20, 00, ache a função custo total.
Problema da antiderivada:
Portanto, o problema é: Dada a derivada C0(x ) da função C(x ), como
encontrar a função C(x)?
Assim como a adição e subtração, multiplicação e divisão,
potenciação e radiciação são operações inversas, a operação inversa da diferenciação é chamada antidiferenciação. Veremos a seguir métodos para o cálculo da antiderivada.
Problema da antiderivada:
Portanto, o problema é: Dada a derivada C0(x ) da função C(x ), como
encontrar a função C(x)?
Assim como a adição e subtração, multiplicação e divisão,
potenciação e radiciação são operações inversas, a operação inversa da diferenciação é chamada antidiferenciação. Veremos a seguir métodos para o cálculo da antiderivada.
Definição 1:
Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função
Por exemplo, a função F (x ) = 13x3é uma primitiva de f (x ) = x2no intervalo (−∞, +∞),
pois para cada x neste intervalo F0(x ) = (1
3x
3)0 = 1
33x
2=x2=f (x ).
Entretanto, esta não é a única primitiva de F neste intervalo. Se adicionarmos qualquer constante c a F (x ), esta também será uma primitiva de f em (−∞, +∞),pois tomando G(x ) = F (x ) + c, temos
Por exemplo, a função F (x ) = 13x3é uma primitiva de f (x ) = x2no intervalo (−∞, +∞),
pois para cada x neste intervalo F0(x ) = (1
3x
3)0 = 1 33x
2=x2=f (x ).
Entretanto, esta não é a única primitiva de F neste intervalo. Se adicionarmos qualquer constante c a F (x ), esta também será uma
primitiva de f em (−∞, +∞),pois tomando G(x ) = F (x ) + c, temos
Por exemplo, a função F (x ) = 13x3é uma primitiva de f (x ) = x2no intervalo (−∞, +∞),
pois para cada x neste intervalo F0(x ) = (1
3x
3)0 = 1 33x
2=x2=f (x ).
Entretanto, esta não é a única primitiva de F neste intervalo. Se adicionarmos qualquer constante c a F (x ), esta também será uma
primitiva de f em (−∞, +∞),pois tomando G(x ) = F (x ) + c, temos
Por exemplo, a função F (x ) = 13x3é uma primitiva de f (x ) = x2no intervalo (−∞, +∞),
pois para cada x neste intervalo F0(x ) = (1
3x
3)0 = 1 33x
2=x2=f (x ).
Entretanto, esta não é a única primitiva de F neste intervalo. Se adicionarmos qualquer constante c a F (x ), esta também será uma primitiva de f em (−∞, +∞), pois tomando G(x ) = F (x ) + c, temos
Proposição 1:
Se F (x ) e G(x ) são funções primitivas de f (x ) no intervalo I, então existe uma constante c tal que G(x ) − F (x ) = c, para todo x ∈ I.
O processo de encontrar antiderivadas ou primitivas é chamado de antidiferenciação ou integração. Assim, se
F0(x ) = d
dx[F (x )] = f (x )
então integrando (ou antidiferenciando)-se f (x ) obtemos as primitivas F (x ) + c. Denotamos isso por
Z
Definição 2:
Se F (x ) é uma primitiva de f (x ), a expressão F (x ) + c é chamada integral indefinida da função f (x ) e é denotada por
Z
f (x )dx = F (x ) + c.
Da definição decorre que:
1 R f (x )dx = F (x ) + c ⇔ F0(x ) = f (x );
2 R f (x )dx representa uma família de funções
Definição 2:
Se F (x ) é uma primitiva de f (x ), a expressão F (x ) + c é chamada integral indefinida da função f (x ) e é denotada por
Z
f (x )dx = F (x ) + c.
Da definição decorre que:
1 R f (x )dx = F (x ) + c ⇔ F0(x ) = f (x );
2 R f (x )dx representa uma família de funções
Definição 2:
Se F (x ) é uma primitiva de f (x ), a expressão F (x ) + c é chamada integral indefinida da função f (x ) e é denotada por
Z
f (x )dx = F (x ) + c.
Da definição decorre que:
1 R f (x )dx = F (x ) + c ⇔ F0(x ) = f (x );
2 R f (x )dx representa uma família de funções
Definição 2:
Se F (x ) é uma primitiva de f (x ), a expressão F (x ) + c é chamada integral indefinida da função f (x ) e é denotada por
Z
f (x )dx = F (x ) + c.
Da definição decorre que:
1 R f (x )dx = F (x ) + c ⇔ F0(x ) = f (x );
2 R f (x )dx representa uma família de funções
Propriedades:
Sejam f , g funções tais que f , g : I → R e K uma constante. Então:
1 R Kf (x )dx = KRf (x )dx ;
Propriedades:
Sejam f , g funções tais que f , g : I → R e K uma constante. Então:
1 R Kf (x )dx = KRf (x )dx ;
Propriedades:
Sejam f , g funções tais que f , g : I → R e K uma constante. Então:
1 R Kf (x )dx = KRf (x )dx ;
Fórmulas de Integração:
Muitas fórmulas básicas de integração podem ser obtidas diretamente de suas fórmulas de derivação. Algumas delas são:
Derivacao Integracao 1 dxd [x ] = 1 R 1dx =R dx = x + c 2 dxd [xr +1r +1] =xr, (r 6= −1) R xrdx = [xr +1r +1] +c, (r 6= −1) 3 dxd[sen(x )] = cos(x ) R cos(x )dx = sen(x ) + c 4 dxd[−cos(x )] = sen(x ) R sen(x )dx = −cos(x ) + c 5 dxd [tg(x )] = sec2(x ) R sec2(x )dx = tg(x ) + c 6 dxd [ex] =ex R exdx = ex+c 7 dxd[ln(x )] = 1x R 1 xdx = ln(x ) + c
Fórmulas de Integração:
Muitas fórmulas básicas de integração podem ser obtidas diretamente de suas fórmulas de derivação. Algumas delas são:
Derivacao Integracao 1 dxd [x ] = 1 R 1dx =R dx = x + c 2 dxd [xr +1r +1] =xr, (r 6= −1) R xrdx = [xr +1r +1] +c, (r 6= −1) 3 dxd[sen(x )] = cos(x ) R cos(x )dx = sen(x ) + c 4 dxd[−cos(x )] = sen(x ) R sen(x )dx = −cos(x ) + c 5 dxd [tg(x )] = sec2(x ) R sec2(x )dx = tg(x ) + c 6 dxd [ex] =ex R exdx = ex+c 7 dxd[ln(x )] = 1x R 1 xdx = ln(x ) + c
Exemplo 1: Calcule: 1 R 4cos(x )dx ; 2 R(x + x2)dx ; 3 R t2−2t4 t4 dt.
Exemplo 1: Calcule: 1 R 4cos(x )dx ; 2 R(x + x2)dx ; 3 R t2−2t4 t4 dt.
Exemplo 1: Calcule: 1 R 4cos(x )dx ; 2 R(x + x2)dx ; 3 R t2−2t4 t4 dt.
Voltando ao Problema 1:
A função custo marginal C0 é dada por C0(x ) = 4x − 8, onde C(x ) é o
custo total da produção de x unidades. Se o custo de produção de 5 unidades é R 20, 00, ache a função custo total.
O custo marginal C0 deve ser não negativo. Logo, 4x − 8 ≥ 0, e
portanto os valores permitidos de x são x ≥ 2.Como
C0(x ) = 4x − 8,
temos que
C(x ) =
Z
(4x − 8)dx =2x2− 8x + c.
Ainda, de C(5) = 20, obtemos c = 10. Portanto, a função custo é dada por
O custo marginal C0 deve ser não negativo. Logo, 4x − 8 ≥ 0, e portanto os valores permitidos de x são x ≥ 2.Como
C0(x ) = 4x − 8,
temos que
C(x ) =
Z
(4x − 8)dx =2x2− 8x + c.
Ainda, de C(5) = 20, obtemos c = 10. Portanto, a função custo é dada por
O custo marginal C0 deve ser não negativo. Logo, 4x − 8 ≥ 0, e portanto os valores permitidos de x são x ≥ 2.Como
C0(x ) = 4x − 8,
temos que
C(x ) =
Z
(4x − 8)dx =2x2− 8x + c.
Ainda, de C(5) = 20, obtemos c = 10. Portanto, a função custo é dada por
O custo marginal C0 deve ser não negativo. Logo, 4x − 8 ≥ 0, e portanto os valores permitidos de x são x ≥ 2.Como
C0(x ) = 4x − 8,
temos que
C(x ) =
Z
(4x − 8)dx = 2x2− 8x + c.
Ainda, de C(5) = 20, obtemos c = 10. Portanto, a função custo é dada por
O custo marginal C0 deve ser não negativo. Logo, 4x − 8 ≥ 0, e portanto os valores permitidos de x são x ≥ 2.Como
C0(x ) = 4x − 8,
temos que
C(x ) =
Z
(4x − 8)dx = 2x2− 8x + c.
Ainda, de C(5) = 20, obtemos c = 10. Portanto, a função custo é dada por
