UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CAMPUS REITOR JOÃO DAVID FERREIRA LIMA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
LUAN MENEGHINI
PROPOSTA DE APRIMORAMENTO TOPOLÓGICO E
PARAMÉTRICO DO ROBÔ LAILA
FLORIANÓPOLIS
Luan Meneghini
PROPOSTA DE APRIMORAMENTO TOPOLÓGICO E PARAMÉTRICO DO ROBÔ LAILA
Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do título de mestre em Engenharia Mecânica
Orientador: Prof. Dr. Eng. Henrique Simas Coorientador: Prof. Dr. Eng. Roberto Simoni
Florianópolis 2020
Luan Meneghini
Proposta de Aprimoramento Topológico e Paramétrico do Robô LAILA
O presente trabalho em nível de mestrado foi avaliado e aprovado por banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. Daniel Martins, Dr. Eng. Universidade Federal de Santa Catarina Prof. Tarcisio Antonio Hess Coelho, Dr.
Universidade de São Paulo
Certificamos que esta é a versão original e final do trabalho de conclusão que foi julgado adequado para obtenção do título de mestre em Engenharia Mecânica.
____________________________ Prof. Dr. Eng. Jonny Carlos da Silva
Coordenador do Programa
____________________________ Prof. Dr. Eng. Henrique Simas
Orientador
____________________________ Prof. Dr. Eng. Roberto Simoni
Coorientador
Florianópolis, 11 de Março de 2020.
Documento assinado digitalmente Henrique Simas
Data: 07/05/2020 14:52:59-0300 CPF: 800.194.639-87
Documento assinado digitalmente Roberto Simoni
Data: 07/05/2020 22:38:19-0300 CPF: 033.398.969-41
Documento assinado digitalmente Jonny Carlos da Silva
Data: 12/05/2020 10:17:07-0300 CPF: 514.515.064-49
AGRADECIMENTOS
Primeiramente gostaria de agradecer à Deus por ter me mantido no caminho certo durante essa caminhada com saúde e forças para chegar até o final.
Sou grato à minha família que me deram apoio durante toda minha vida, em especial aos meus pais Jayr e Eliane e ao meu irmão Cristiano.
Agradeço à minha namorada Andressa por mesmo estando longe permaneceu tão perto durante toda minha jornada no mestrado.
Deixo também um agradecimento especial aos meus orientadores Henrique Simas e Roberto Simoni pelos conhecimentos transmitidos, conselhos e ajudas fornecidas durante esse período.
Aos professores do Laboratório de Robótica Aplicada da UFSC Rodrigo Vieira e Daniel Martins pelo convívio, oportunidades e conhecimentos transmitidos em projetos que participei. Aos meus amigos do laboratório Alinne, André, Elias, Esdras, Estevan, Fabiola, Fernando, João, Julio, Leandro, Marcel, Marina, Mateus, Rodrigo, Rogério, Thaís, Thiago, Vangelo, Vinícius 13 e Vini Giacomazzi.
Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFSC, pela oportunidade e apoio indispensável, e a CAPES pelo apoio financeiro.
Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.
RESUMO
Atualmente o desenvolvimento de robôs paralelos têm crescido consideravelmente devido a vantagens em relação aos robôs seriais em termos de precisão, velocidade, rigidez e capacidade de força. Manipuladores paralelos são muito utilizados para aplicações industriais desde linhas de montagem até simuladores de voo. O número máximo de liberdades desses robôs sem ser redundantes são seis, contudo muitas das tarefas industriais não necessitam de todos os seis graus de liberdade existentes. Os manipuladores chamados “pick and place”, do inglês “pega e coloca” ganham destaque, sendo amplamente utilizados para posicionar peças, encaixotamento e alimentação de máquinas na linha de produção, por exemplo. Neste contexto, o presente trabalho apresenta um estudo sobre um robô paralelo espacial do tipo “pick and place” desenvolvido pela Universidade de São Paulo. O robô é conhecido como LAILA e possui três graus de liberdade translacionais, sendo formado por duas pernas RSS e uma perna PPaP. Neste trabalho é apresentado uma análise da mobilidade do robô LAILA, levando em conta as restrições redundantes e mobilidades extras, aplicando conceitos do Método de Reshetov para propor seu autoalinhamento, tornando a sua montagem mais realizável e diminuindo a necessidade de precisão na fabricação. Também foi realizada uma otimização discreta do volume de trabalho com base em critérios dimensionais com o qual pode-se notar ganhos volumétricos em regiões não viáveis do espaço de trabalho original. Com os critérios dimensionais definidos fora realizada análise cinemática e estática por meio do método de Davies utilizando a teoria de helicoides e teoria de grafos como ferramental teórico. Nas análises pôde-se comparar a versão otimizada com a original. As análises cinemática e estática determinaram regiões dentro do volume de trabalho que sofrem maiores solicitações. Com essas regiões é possível direcionar as tarefas para regiões menos críticas ou prever desgastes prematuros de juntas e componentes que podem levar a erros de posicionamento. Também foi possível determinar as posições singulares do manipulador bem como seu índice de desempenho a partir do condicionamento da matriz Jacobiana.
Palavras-chave: Robôs paralelos. Cinemática e Estática. Método de Davies. Análise de
ABSTRACT
Currently, the development of parallel robots has grown considerably due to advantages over serial robots in terms of precision, speed, rigidity and strength capacity. Parallel manipulators are widely used for industrial applications from assembly lines to flight simulators. The maximum number of freedoms of these robots without being redundant is six, however many industrial tasks do not require all six degrees of freedom. The manipulators called pick and place being widely used to position parts, boxing and feeding machines on the production line, for example. In this context, the present work presents a study on a parallel space robot of the pick and place type developed by the University of São Paulo. The robot is known as LAILA and has three translational degrees of freedom, being formed by two RSS legs and one PPaP leg. This work presents an analysis of the mobility of the LAILA robot, taking into account redundant constraints and extra mobility, applying concepts from the Reshetov Method to propose its self-alignment, making its assembly more achievable and reducing the need for precision in manufacturing. A discreet optimization of the workload was also carried out based on dimensional criteria with which it is possible to notice volumetric gains in non-viable regions of the original workspace. With the dimensional criteria defined, kinematic and static analysis were carried out using the Davies method using the helicoid theory and graph theory as a theoretical tool. In the analyzis it was possible to compare the optimized version with the original. The kinematic and static analyzes determined regions within the workload that suffer the greatest demands. With these regions it is possible to direct tasks to less critical regions or to predict premature wear of joints and components that can lead to positioning errors. It was also possible to determine the singular positions of the manipulator as well as its performance index from the conditioning of the Jacobian matrix.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Robô DELTA ABB FlexPicker de 4-GDL. ... 20
Figura 2 – TRIFLEX II. ... 21
Figura 3 – Modelo virtual do robô 2RSS-PPaP. ... 22
Figura 4 – Representação por grafos da junta rotativa R. ... 27
Figura 5 – Representação por grafos da junta esférica S. ... 28
Figura 6 – Componentes do heligiro de um corpo rígido. ... 30
Figura 7 – Componente da heliforça ... 32
Figura 8 – Nomenclaturas da referência. ... 35
Figura 9 – Topologia e nomenclatura do robô LAILA. ... 36
Figura 10 – Quatro possíveis soluções para uma dada posição do manipulador. ... 41
Figura 11 – Corte transversal do volume de trabalho do LAILA. ... 42
Figura 12 - Comportamento das juntas ativas em relação a trajetória linear do efetuador. ... 43
Figura 13 – Representação esquemática do robô LAILA. ... 45
Figura 14 – Rede de acoplamentos do robô 2RSS-PPaP. ... 45
Figura 15 – Grafo de acoplamento 𝐺𝐶 do mecanismo. ... 46
Figura 16 – Grafo de Movimento 𝐺𝑀 ... 47
Figura 17 – Árvore geradora. ... 48
Figura 18 – Identificação dos circuitos e cordas do grafo. ... 49
Figura 19 – Expansão em série de uma junta esférica em rotativas. ... 54
Figura 20 – Contra exemplos para o critério de Grübler. ... 55
Figura 21 – Mecanismo serial sem restrições redundantes. ... 56
Figura 22 – Mecanismo espacial de um circuito com restrição redundante. ... 57
Figura 23 – Método de Reshetov aplicado a um mecanismo 4 barras. ... 58
Figura 24 – Mecanismo quatro barras com erros geométricos que impedem a montagem. .... 62
Figura 25 – Representação do robô LAILA autoalinhante... 63
Figura 26 – LAILA versão autoalinhante impresso em 3D... 64
Figura 27 – Simplificação do robô LAILA para um mecanismo 5 barras. ... 67
Figura 28 – Limites das pernas para a área de trabalho... 67
Figura 29 – Modelo CAD para impressão 3D. ... 68
Figura 30 – Deslocamento da junta prismática ativa pela vista lateral. ... 68
Figura 31 – Demonstração da componente a2’. ... 69
Figura 32 – Vista lateral da componente de a2. ... 69
Figura 33 – Planos de trabalho que formam o volume de trabalho. ... 70
Figura 34 – Volume total de trabalho do efetuador do robô LAILA simplificado. ... 70
Figura 35 – Volume de trabalho influenciado pela pantográfica. ... 72
Figura 36 – Comparação volumes original (em vermelho) e proposto (vermelho+azul). ... 73
Figura 37 – Volume de trabalho usual do Robô LAILA. ... 73
Figura 38 - Amplitudes das juntas ativas após otimização. ... 74
Figura 39 – Representação esquemática do robô autoalinhante. ... 77
Figura 40 – Rede de acoplamentos do mecanismo LAILA autoalinhante. ... 77
Figura 41 – Grafo de acoplamentos do robô LAILA autoalinhante. ... 78
Figura 42 – Grafo de Movimento 𝐺𝑀. ... 79
Figura 43 – Árvore geradora do robô LAILA autoalinhante... 80
Figura 44 – Identificação dos circuitos e cordas do grafo do robô LAILA autoalinhante. ... 80
Figura 45 – Ações externas ao mecanismo 2RSU-PPaP. ... 85
Figura 46 – Grafo de acoplamentos 𝐺𝐶 do manipulador LAILA autoalinhante. ... 85
Figura 47 – Cortes-f no grafo de ações do mecanismo. ... 87
Figura 49 - Velocidades angulares junta c componente x (atuador B)... 94
Figura 50 – Velocidades angulares em torno de z mediante (atuador M) ... 96
Figura 51 – Velocidades angulares da junta j componente x (atuador A) ... 98
Figura 52 - Velocidades angulares da junta j componente x (atuador B) ... 99
Figura 53 - Velocidades angulares da junta c componente z (atuador M) ... 100
Figura 54 – Estática do LAILA autoalinhante otimizado aplicação força em z. ... 101
Figura 55 – Estática do LAILA autoalinhante otimizado aplicação força em x. ... 102
Figura 56 – Aplicação de força na direção do eixo z. ... 103
Figura 57 – Torque (N.m) no atuador A em 3 planos paralelos ao plano xy efeito de força . 103 Figura 58 – Torque (N.m) no atuador A no plano z = 500 mm. ... 104
Figura 59 – Torque (N.m) no atuador B no plano z = 500 mm. ... 104
Figura 60 - Aplicação de força em y nos manipuladores ... 105
Figura 61 – Torque (N.m) no atuador A em 3 planos xy efeito de força na direção do eixo y ... 105
Figura 62 – Torque (N.m) no atuador A no plano z = 500 mm. ... 106
Figura 63 - Torque (N.m) no atuador B no plano z = 500 mm ... 106
Figura 64 – Comportamento dos esforços no atuador M. ... 107
Figura 65 – Comportamento do torque nos atuadores A e B. ... 107
Figura 66 – Aplicação das forças nas três direções. ... 108
Figura 67 – Torque (N.m) no atuador A com aplicação de forças nas 3 direções. ... 109
Figura 68 – Torque (N.m) no atuador B com aplicação de forças nas 3 direções. ... 109
Figura 69 – Forças no atuador M com aplicação de forças nas 3 direções. ... 110
Figura 70 – Posição singular de cinemática inversa. ... 117
Figura 71 – Singularidade de cinemática direta. ... 118
Figura 72 - Pontos factíveis para comparação do CI. ... 121
Figura 73 – CI para região mostrada do robô LAILA. ... 123
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Novos tipos de juntas propostos para o Robô 2𝑅SU-𝑃𝑃𝑎𝑃... 64
Quadro 2 – Otimização discreta do volume de trabalho do robô LAILA. ... 71
Quadro 3 – Heligiros do grafo de ações. ... 86
Quadro 4 - Velocidades máximas a partir da aplicação de velocidade no atuador A. ... 92
Quadro 5 - Velocidades máximas a partir da aplicação de velocidade no atuador B ... 94
Quadro 6 - Velocidades máximas a partir da aplicação de velocidade no atuador M ... 95
Quadro 7 - Velocidades máximas a partir da aplicação de velocidade no atuador A ... 97
Quadro 8 - Velocidades máximas a partir da aplicação de velocidade no atuador B. ... 98
Quadro 9 - Velocidades máximas a partir da aplicação de velocidade no atuador M ... 100
Quadro 10 – Maiores esforços nas juntas mediante aplicação de força em z. ... 110
Quadro 11 – Valores do CI de algumas posições x = 0 ... 121
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Ângulos para Figura 10. ... 42
Tabela 2 – Somatório de liberdades do robô LAILA. ... 54
Tabela 3 – Metódo de Reshetov para o robô LAILA. ... 60
Tabela 4 – Método de Reshetov para o mecanismo LAILA autoalinhante. ... 61
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
GDL Graus de Liberdade
3T1R 3 liberdades translacionais e 1 rotacional 3T 3 translações
LISTA DE SÍMBOLOS T Junta de translação R Junta de rotação P Junta prismática Pa Cadeia pantográfica U Junta universal S Junta esférica $ Helicoide $̂ Helicoide normalizado h Passo do helicoide 𝑆⃗ Vetor direção 𝑆⃗0 Vetor posição ω Velocidade angular 𝜏𝑑 Translação diferencial $𝑀 Heligiro 𝑉𝑝 Velocidade linear 𝜑 Magnitude 𝑅⃗⃗ Força resultante 𝑇⃗⃗ Binário $𝐴 Heliforça 𝑑𝑚 Deslocamento da prismática M 𝜃2 Ângulo do atuador B 𝜃1 Ângulo do atuador A 𝑂𝑏 Origem da base
𝑂𝑝 Origem da plataforma móvel || || Módulo
j Número de juntas
n Número de elos
λ Espaço de trabalho 𝑓𝑖 Liberdades
𝐹 Grau de liberdade bruto l Número de circuitos 𝐺𝑀 Grafo de movimentos [𝐵] Matriz de Circuitos 𝑀𝐷 Matriz de movimentos 𝛷⃗⃗⃗ Vetor magnitude
𝑀𝑁 Matriz de movimentos unitários
𝐶𝑁 Grau de restrição líquido 𝐹𝑁 Grau de liberdade líquido
M Mobilidade 𝜈 Circuito J Jacobiano
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 19 1.1OBJETIVOS ... 23 1.1.1 Objetivo Geral ... 23 1.1.2 Objetivos Específicos ... 23 1.2JUSTIFICATIVA ... 23 1.3ESTRUTURADOTRABALHO ... 232 FERRAMENTAS PARA MODELAMENTO CINEMÁTICO E ESTÁTICO ... 25
2.1TEORIADEGRAFOS ... 25
2.2TEORIADEHELICOIDES ... 28
2.2.1 Helicoides na Cinemática: o Heligiro ... 29
2.2.2 Helicoides na Estática: o Heliforça ... 31
2.3MÉTODODEDAVIES ... 34
2.4CONSIDERAÇÕESFINAIS... 34
3 CINEMÁTICA DE POSIÇÃO ... 35
3.1CINEMÁTICADIRETADEPOSIÇÃO ... 37
3.2CINEMÁTICAINVERSADEPOSIÇÃO ... 40
3.3CONSIDERAÇÕESFINAIS... 43
4. ANÁLISE DE MOBILIDADE DO ROBÔ LAILA VIA MÉTODO DE DAVIES ... 44
4.1CONSIDERAÇÕESFINAIS... 52
5 ANÁLISE DE MOBILIDADES E RESTRIÇÕES NO ROBÔ LAILA ... 53
5.1RESTRIÇÕESREDUNDANTES ... 56
5.1.1 Método da Tabela de Reshetov ... 57
5.1.2 Método da Tabela de Reshetov aplicado ao robô LAILA ... 59
5.1.3 Autoalinhamento do robô LAILA ... 62
5.2CONSIDERAÇÕESFINAIS... 65
6. VOLUME DE TRABALHO ... 66
6.1OTIMIZAÇÃODISCRETADOVOLUMEDETRABALHO ... 70
6.2ALTERAÇÃONAPANTOGRÁFICA ... 71
6.4VOLUMEDETRABALHOUSUAL ... 73
6.5AMPLITUDEDEATUAÇÃODASJUNTASDEREVOLUÇÃO ... 74
6.6CONSIDERAÇÕESFINAIS ... 74
7 ANÁLISE CINEMATICA E ESTÁTICA DO ROBÔ LAILA AUTOALINHANTE .. 76
7.1CINEMÁTICA ... 78
7.2ESTÁTICA... 84
7.3CONSIDERAÇÕESFINAIS ... 91
8 RESULTADOS DA ANÁLISE CINEMÁTICA E ESTÁTICA PELO MÉTODO DE DAVIES ... 92
8.1CINEMÁTICA ... 92
8.1.1 LAILA autoalinhante ... 92
8.1.2 LAILA autoalinhante otimizado ... 97
8.2ESTÁTICA... 101
8.2.1 Esforços nos atuadores A e B com aplicação força na direção do eixo z ... 102
8.2.2 Esforços nos atuadores A e B com aplicação de força na direção do eixo y .... 104
8.2.3 Esforços nos atuadores com aplicação de força na direção do eixo x ... 106
8.2.4 Esforços nos atuadores com aplicação de forças nas 3 direções... 108
8.2.5 Análise de maiores esforços nas juntas passivas ... 110
8.3CONSIDERAÇÕESFINAIS ... 111
9. ANÁLISE DE DESEMPENHO ... 113
9.1ANÁLISEDESINGULARIDADES ... 113
9.1.1 Singularidade de cinemática inversa ... 116
9.1.2 Singularidade de cinemática direta ... 117
9.2ÍNDICEDECONDICIONAMENTOGLOBAL ... 119
10 CONCLUSÕES... 124
REFERÊNCIAS ... 126
APÊNDICE A – VETORES E HELICÓIDES PRESENTES NO DESENVOLVIMENTO DA CINEMÁTICA DO MÉTODO DE DAVIES PARA O ROBÔ LAILA PARA ANÁLISE DE MOBILIDADE ... 132
APÊNDICE B – VETORES E HELICÓIDES PRESENTES NO
DESENVOLVIMENTO DA CINEMÁTICA DO MÉTODO DE DAVIES PARA O ROBÔ LAILA AUTOALINHANTE ... 134
1 INTRODUÇÃO
Na metade da década de 60 houve um crescimento considerável na produção industrial. Nessa época, os manipuladores foram aplicados na indústria para substituir o ser humano em situações consideradas de risco (GARCIA et al., 2007).
Os primeiros manipuladores a serem construídos foram os seriais e atualmente correspondem a classe de robôs mais encontradas no meio industrial. Os robôs seriais são formados por uma estrutura semelhante ao braço humano, constituída por diversos corpos rígidos conectados por juntas ativas. Tal tipo de manipulador possui um grande espaço de trabalho, mas peca com a baixa rigidez e erro de posicionamento relativamente grande (TSAI, 1999). Cada elo da cadeia cinemática do manipulador serial deve ser projetado pensando que deve suportar o peso dos elos e atuadores seguintes, o que resulta em estruturas mecânicas pesadas e volumosas (BONANI, 2010).
Tendo em vista esses problemas, alguns pesquisadores desenvolveram novos tipos de estruturas cinemáticas para robôs. Minsky (1972) e Hunt (1978) propuseram estruturas mecânicas paralelas, tendo a finalidade de suprir as necessidades das estruturas seriais.
Um manipulador paralelo possui um elo fixo chamado de base e um elo de saída chamado de efetuador, na qual geralmente é fixado uma ferramenta ou garra. A base e o efetuador são interligados por mais de uma perna (conjunto de elos e juntas), por isso do nome paralelo. Os manipuladores operaram geralmente no espaço de trabalho planar ou espacial, dependendo o tipo de tarefa o qual realizam. As tarefas podem ser realizadas com ou sem contato com o meio, ao longo de uma determinada trajetória. No caso de contato com o meio existe a necessidade de controlar, além dos movimentos das juntas, as forças presentes nestes contatos entre o robô e o meio através de modelos de estática para mecanismos.
A maioria dos manipuladores paralelos de 6-GDL (graus de liberdade) são baseados na arquitetura da plataforma de Gough-Stewart. Entretanto, muitas aplicações não necessitam de todos os 6 graus de liberdade (LI e XU, 2005). Sendo assim, manipuladores com menos de seis liberdades possuem várias vantagens em termos de redução dos custos totais em manufatura e operação, atraindo maior atenção entre os pesquisadores (HUANG e LI, 2003).
Há aplicações que apenas quatro graus de liberdade são suficientes, como montagens, embalagens, pintura e tarefas de pick and place em linhas de produção (RICHARD, 2011). Um número considerável de aplicações industriais requer a translação de corpos rígidos por três direções independentes juntamente com uma rotação ao redor de um eixo fixo (3T1R). Os mais
conhecidos robôs 3T1R são os do tipo SCARA (LEE, 2011) que foram desenvolvidos no Japão em 1970 (MAKINO e FURUYA, 1982) pela Selective Compliant Assembly Robot.
Atualmente, muitas pesquisas têm trabalhado na síntese e prototipagem de manipuladores paralelos ou híbridos com características de movimento 3T1R. Outro manipulador paralelo de movimento 3T1R é o robô DELTA (CLAVEL, 1988). Mais tarde as arquiteturas paralelas Kanuk e o híbrido Manta foram propostas (ROLLAND, 1999). Angeles et al. (2005) propuseram muitas arquiteturas baseadas em paralelogramos, os quais podem ser tratados como arquiteturas híbridas. Todas as arquiteturas mencionadas acima foram desenvolvidas baseadas na intuição. Na Figura 1 observa-se um robô DELTA pick and place de 4-GDL.
Figura 1 – Robô DELTA ABB FlexPicker de 4-GDL.
Fonte: ABB (2014).
Dentro da classe 3T1R, os manipuladores de três graus de liberdade translacionais 3T se destacam. Muitos manipuladores espaciais de 3-GDL foram projetados e investigados para aplicações relevantes, como o famoso robô DELTA, cujo conceito foi realizado de várias formas diferentes (LI e XU, 2005).
A crescente variedade de aplicações de mecanismos paralelos tem conduzido pesquisadores a estudos em mecanismos de três graus de liberdade translacionais. A topologia básica de mecanismos paralelos de três graus de liberdade é constituída por dois corpos rígidos, base e plataforma móvel, conectados por um número de cadeias abertas ou fechadas, onde somente alguns pares cinemáticos são atuados para promover três graus de liberdade da plataforma móvel (DI GREGORIO; PARENTI-CASTELLI, 1998).
Dentre as arquiteturas, manipuladores paralelos translacionais tem um amplo potencial de aplicações como em casos de simuladores, ferramentaria, posicionamento em linhas de montagem, entre outros (LI e XU, 2005). Muitos outros tipos de arquiteturas de puras translações têm sido propostos com diferentes abordagens, como a plataforma 3-UPU de Tsai e Joshi (2000), os mecanismos 3-RUU e 3-PUU de Tsai e Joshi (2003), o manipulador 3-PRC de Li e Xu (2005).
Outro manipulador 3T bem conhecido é o TRIPTERON, desenvolvido por Gosselin (2002), um robô isotrópico formado por 3 pernas PRRR. Estudos acerca do Tripteron resultaram numa proposta de robô autoalinhante chamado TRIFLEX, proposto por Simoni et al. (2014), com 3 pernas do tipo PRRRR. Em 2017 Simas et al. propuseram uma nova versão chamada TRIFLEX II, com pernas PRRR, PRRU e PRRS, conforme Figura 2. Em 2019, Elias et al. apresentaram uma análise de erros num robô chamado TRIFLEX U, que segue a linha de robôs 3T.
Figura 2 – TRIFLEX II.
Fonte: SIMAS et al. (2017).
Em 2009 Kumazawa et al. apresentaram e analisaram uma nova proposta de manipulador paralelo espacial pick and place do tipo 2RSS-PPaP, conhecido como LAILA, que pode ser observado no modelo virtual da Figura 3. Em 2010, Almeida e Hess-Coelho apresentaram a análise dinâmica do conceito. Em 2015, Hartmann propôs algumas contribuições ao controle do robô LAILA.
Figura 3 – Modelo virtual do robô 2RSS-PPaP.
Fonte: HARTMANN, 2015.
Em manipuladores paralelos, os limites do volume de trabalho são formados pelas limitações dos atuadores, limitações mecânicas em juntas passivas e interferência entre seus elos (MERLET, 1997).
A técnica mais comum para determinar as regiões alcançáveis do efetuador final em sistemas paralelos é por simulação numérica direta. A independência das variáveis de junta em um sistema são incrementados em passos e usando a cinemática direta, a posição do efetuador final é determinada (AGRAWAL, 1991).
Uma maneira simples de determinar o volume de trabalho de manipuladores paralelos é usar um método de discretização. Para cada perna, o ângulo de atuação é aumentado até que uma das equações de restrição seja violada, o que é verificado resolvendo a cinemática inversa de posição. Tal método pode ser facilmente aplicado a qualquer tipo de arquitetura para qualquer conjunto de restrições mecânicas. Contudo, isso é computacionalmente complexo e retorna poucas informações sobre os exatos limites do volume de trabalho (BONEV, 2001).
Há linhas de pesquisa voltadas para análise de manipuladores paralelos espaciais também no Laboratório de Robótica Aplicada da UFSC. Goulart (2013) trabalhou com uma ferramenta para análise estática de mecanismos e robôs utilizando o método de Davies aplicado a um robô paralelo ABB Flexpicker. Mais tarde, Muraro (2015) realizou um estudo da análise estática e cinemática de um mecanismo espacial atuado por cabos aplicado a movimentação de pacientes.
1.1 OBJETIVOS
Os objetivos desta dissertação foram separados em objetivo geral e objetivos específicos:
1.1.1 Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é a análise cinemática e estática pelo método de Davies e análise de desempenho do robô paralelo espacial LAILA do tipo “pick and place” de três graus de liberdade translacionais.
1.1.2 Objetivos Específicos
Dentre os objetivos específicos tem-se:
Desenvolver a cinemática de posição do robô LAILA;
Analisar a mobilidade do robô LAILA por meio da teoria de mecanismos; Propor o autoalinhamento do robô LAILA;
Analisar o volume de trabalho do robô LAILA;
Otimizar o volume de trabalho do robô LAILA por discretização; Analisar a estática e cinemática do robô por meio do método de Davies. Analisar as singularidades no robô LAILA;
Analisar o índice de condicionamento do robô LAILA; 1.2 JUSTIFICATIVA
O presente trabalho se justifica pelo amplo potencial de aplicabilidade do robô LAILA na área industrial haja visto as oportunidades de melhoria da cinemática encontrados e seu controle relativamente simples.
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
O trabalho se apresenta com a seguinte estrutura: o Capítulo 2 aborda as ferramentas utilizadas para o modelamento cinemático e estático, teoria de grafos, teoria de helicoides e o método de Davies. No Capítulo 3 é apresentado a cinemática direta e inversa de posição do robô LAILA. Já no Capítulo 4 é abordado a análise de mobilidade pela cinemática com o
método de Davies para o robô LAILA. O Capítulo 5 aborda uma análise da mobilidade do robô, a qual é realizada levando em conta restrições redundantes e mobilidades extras, bem como análise pelo Método de Reshetov e a apresenta a proposta de uma versão autoalinhante do robô LAILA. Já no Capítulo 6 é apresentada uma análise do volume de trabalho bem como uma otimização discreta dimensional do robô. O Capítulo 7 desenvolve a cinemática e estática do robô LAILA autoalinhante proposto no Capítulo 5 pelo método de Davies e os resultados são mostrados no Capítulo 8. O Capítulo 9 aborda uma análise de desempenho com o estudo das singularidades e do Índice de Condicionamento Global. Por fim, o Capítulo 10 traz a conclusão e os trabalhos futuros sugeridos.
2 FERRAMENTAS PARA MODELAMENTO CINEMÁTICO E ESTÁTICO
No presente capítulo serão apresentadas as ferramentas teóricas utilizadas para o modelamento cinemático e estático de mecanismos e robôs.
A análise cinemática compreende tanto o estudo da posição (cinemática de posição) como o da velocidade (cinemática diferencial) de mecanismos. Já a análise estática, o objetivo é determinar as solicitações existentes nas juntas e, quando houver contato com o meio, os esforços existentes na interface.
2.1 TEORIA DE GRAFOS
A teoria de grafos é utilizada para resolver diversos problemas em diversos campos do conhecimento como matemática, sociologia, engenharia, química, computação, entre outras (TSAI, 1999).
A teoria de grafos é uma ferramenta muito útil para representar sistemas de engenharia por duas razões básicas: cada elemento do grafo é definido de forma a ter correspondência direta com os elementos do sistema, e os teoremas e as rotinas aplicadas a grafos permitem representar o comportamento de propriedades do sistema como deformações, forças, velocidades, movimentos, entre outros (SHAI; PREISS, 1999).
A topologia de um mecanismo modelando como os corpos rígidos estão interconectados pode ser representada por um grafo. Além disso, propriedades inerentes a cada conexão podem ser atribuídas ao grafo, permitindo manipular as informações através de técnicas relacionando teoria de grafos com as leis da física para construir a solução da cinemática do robô (CAZANGI, 2008).
A teoria de grafos tem sido utilizada de forma muito eficiente na área de mecanismos e robôs. Alguns pesquisadores se destacam, como Martins (2003) que obteve as equações de restrições empregando a teoria de grafos em seu trabalho sobre análise hierárquica de manipuladores. Campos e Martins (2005) analisam a cinemática de robôs com o emprego de cadeias virtuais por meio da teoria de grafos. O cálculo da mobilidade de mecanismos também pode ser feito mediante o uso da teoria de grafos, como mostra o trabalho de Carboni (2008).
Uma cadeia cinemática é um conjunto de elos e juntas que pode ser representada de forma abstrata mediante uma representação por grafos. Na representação por grafos os elos das cadeias cinemáticas são denotados como vértices e as juntas como arestas (APPEL, 1997).
Um grafo ao qual não se atribui um sentido de orientação às suas arestas de modo a distinguir seus vértices entre vértices de partida e vértices de chegada é denominado não direcionado. A possibilidade de direcionar um grafo é fundamental no estudo dos mecanismos quando se quer representar o estado cinemático ou estático de um corpo em relação aos seus adjacentes (MEJIA, 2012, 2013).
Na análise cinemática, o di-grafo indica o sentido do movimento relativo entre elos adjacentes. Na análise estática, o direcionamento das arestas define se um corpo está aplicando ação no corpo adjacente ou recebendo a ação. O di-grafo trabalha como uma convenção de sinais que deve ser respeitada para a obtenção de resultados corretos. Alguns outros conceitos sobre grafos diretamente relacionados à análise estática e cinemática de mecanismos e robôs são mencionados a seguir (CAZANGI, 2007, 2008):
Cadeia: É uma sequência qualquer de arestas adjacentes que unem dois vértices. Circuito: É uma cadeia que inicia e termina no mesmo vértice.
Árvore: É um grafo em que há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices,
mas que não possui circuitos.
Árvore geradora: Uma árvore é dita geradora se é um subgrafo de um grafo qualquer,
tal que contenha todos os vértices do grafo, mas apenas um subconjunto de suas arestas.
Ramos: São arestas que pertencem à árvore geradora. Cordas: São arestas que não pertencem à árvore geradora.
Corte: É um conjunto de arestas que, se removidas, separa o grafo em dois subgrafos
independentes.
Na análise estática de mecanismos, cada corte é uma linha que cruza as cordas e apenas um dos ramos da árvore e cada ramo pode ser cruzado por apenas um corte (DAVIES, 1995).
Não existem métodos que determinem a melhor escolha de cordas em um grafo, na análise de mecanismos uma boa escolha das cordas do grafo pode tornar os cálculos mais simples. A escolha das arestas que serão as cordas do grafo não é única e, para cada escolha feita, circuitos formados por arestas diferentes podem surgir (MEJIA, 2013).
Os elementos responsáveis por transmitir forças e torques de um elo para o adjacente em um mecanismo são as juntas. São também responsáveis por permitir o movimento relativo entre dois elos adjacentes, podendo ser atuadas ou passivas. Cada aresta do grafo representa uma junta, que pode ser prismática, rotativa, esférica ou de outro tipo qualquer (TSAI, 2001).
No espaço tridimensional, uma junta rotativa R permite uma rotação e restringe as outras duas rotações e três translações. Supondo que a rotação permitida ocorre em torno do eixo z, a junta permite uma rotação 𝑅Ω𝑧 e restringe as rotações 𝑅Ω𝑥 e 𝑅Ω𝑦 em torno dos eixos x e y e
restringe as translações nas três direções 𝑅𝐹𝑥, 𝑅𝐹𝑦 e 𝑅𝐹𝑧. Na análise cinemática, esta junta é representada por uma única aresta equivalente ao grau de liberdade permitido (TSAI, 2001).
É importante representar cada uma das restrições impostas pela junta na análise estática com arestas. O grafo da junta rotativa, por exemplo, utilizado na análise estática, possui cinco arestas em paralelo unindo dois vértices adjacentes, onde cada aresta representa uma das restrições impostas pela junta. Na Figura 4a pode-se observar a representação da junta rotativa na cinemática, já na Figura 4b é mostrada a representação utilizada na análise estática. (WEIHMANN, 2011, 2012).
Figura 4 – Representação por grafos da junta rotativa R.
(a) Cinemática (b) Estática Fonte: Adaptado de WEIHMANN, 2011.
Na análise cinemática, cada grau de liberdade permitido por determinada junta deve ser representado como uma única aresta no grafo. A junta esférica S, que permite três rotações 𝑅Ω𝑥,
𝑅Ω𝑦 e 𝑅Ω𝑧 e restringe três translações 𝑅𝐹𝑥, 𝑅𝐹𝑦 e 𝑅𝐹𝑧 é representada por grafos através de três
juntas rotativas posicionadas em série, cada uma representando um dos três graus de liberdade permitidos, de acordo com a Figura 5a. Quando é apresentado desta forma, o grafo é dito expandido. Na estática, cada grau de liberdade restringido deve ser representado como uma aresta em paralelo, onde cada aresta representa uma das três restrições impostas, como se observa na Figura 5b (WEIHMANN, 2011).
Figura 5 – Representação por grafos da junta esférica S.
(a) Cinemática (b) Estática Fonte: Adaptado de WEIHMANN, 2011.
2.2 TEORIA DE HELICOIDES
A teoria de helicoides é uma ferramenta que representa o estado instantâneo de movimento (cinemática) e de ações (estática) de corpos rígidos no espaço. Foi formulada primeiramente por Mozzi (1763) representando um deslocamento infinitesimal de um corpo rígido através de um heligiro. Mais tarde Ball (1900) sistematizou a teoria em que a representação do estado de ações de um corpo rígido se dava por uma heliforça e o estado de movimentos de um corpo rígido por um heligiro (DAVIDSON; HUNT, 2004).
A teoria de helicoides vem sendo empregada como uma forte ferramenta para análise cinemática e estática de mecanismos por representar tanto o estado de ações em um corpo rígido (forças e momentos) como o estado de movimentos (velocidades angulares e lineares). (WEIHMANN, 2012; MEJIA, 2013).
Assim como um ponto (elemento geométrico) pode ser utilizado para representar uma partícula de massa, e uma reta direcionada (elemento geométrico) pode ser usada para representar um momento, um helicoide (elemento geométrico) também pode ser útil na representação de grandezas mecânicas (CAMPOS, 2004).
Um helicoide $ é definido por uma reta direcionada (eixo) e um passo h associado. É dito helicoide normalizado $̂ quando a reta direcionada é representada por um vetor normalizado.
$ = ( 𝑆⃗ − − − − − − 𝑆⃗0× 𝑆⃗ + ℎ𝑆⃗ ) = ( 𝐿 𝑀 𝑁 − − − − − − 𝑃∗ = 𝑃 + ℎ𝐿 𝑄∗ = 𝑄 + ℎ𝑀 𝑅∗ = 𝑅 + ℎ𝑁 ) Eq. 1
onde 𝑆⃗ é o vetor de direção ao longo do eixo do helicoide, 𝑆⃗0 é o vetor posição de qualquer ponto do eixo do helicoide relativo à origem do sistema de coordenadas e L, M, N, P*, Q* e R* são as coordenadas homogêneas de Plücker (ZHAO et al., 2006).
2.2.1 Helicoides na Cinemática: o Heligiro
O teorema de Mozzi afirma que as velocidades de um corpo rígido em relação a um referencial fixo podem ser descritas através de uma rotação diferencial ω em relação a um eixo fixo e uma translação diferencial 𝜏𝑑 na direção do mesmo eixo, ocorrendo simultaneamente.
Esse movimento combinando rotação com translação é um movimento helicoidal que pode ser representado por meio de um heligiro $𝑀 (twist do inglês). A relação entre a velocidade linear
e a velocidade angular de um heligiro é chamada de passo h do heligiro e é definido como (WEIHMANN, 2011):
ℎ = ‖𝜏𝑑‖
‖𝜔‖ Eq. 2
O heligiro $𝑀 pode ser representado por meio de dois vetores {ω , 𝑉
𝑝}. O vetor ω é a
velocidade angular do corpo em relação a um referencial fixo dado por ω = {L, M, N} onde L,
M e N são respectivamente as velocidades angulares em torno de cada um dos eixos principais x, y e z do sistema de coordenadas referencial. O vetor 𝑉𝑝 corresponde a velocidade linear de um ponto do corpo instantaneamente na origem do sistema de referência dado por 𝑉𝑝 = {P*,
Q*, R*}, onde P*, Q* e R* correspondem respectivamente as velocidades lineares nas direções
de cada um dos eixos cartesianos x, y e z do sistema de coordenadas referencial. O vetor de velocidade 𝑉𝑝 tem duas componentes, uma relativa à velocidade na direção do eixo do heligiro,
dada por 𝜏 = ℎ𝜔, e outra relativa à velocidade perpendicular ao eixo do heligiro, a qual é calculada pelo produto vetorial entre 𝑆0 e a velocidade angular ω, onde o vetor 𝑆0 corresponde
A Figura 6 apresenta o heligiro e seus componentes principais, onde p é um ponto pertencente ao corpo, instantaneamente na origem 𝑂𝑥𝑦𝑧, e 𝑆𝑀 é o vetor normalizado na direção
do eixo do heligiro (WEIHMANN, 2011).
Figura 6 – Componentes do heligiro de um corpo rígido.
Fonte: WEIHMANN, 2011.
Normalizando o heligiro $𝑀, é possível separá-lo em um elemento geométrico $̂𝑀 sem
nenhuma grandeza mecânica associada e, em uma magnitude (escalar de amplitude) φ com unidade de velocidade angular conforme se demonstra (CAZANGI, 2008):
$𝑀 = ( 𝜔⃗⃗⃗ − − 𝑉⃗⃗𝑝 ) = ( 𝑆𝑀φ − − − − − − − − (𝑆⃗0× 𝑆𝑀+ ℎ𝑆𝑀)φ ) = ( 𝑆⃗𝑀 − − − − − − − (𝑆⃗0× 𝑆𝑀 + ℎ𝑆⃗𝑀) ) φ = $⃗⃗𝑀φ Eq. 3
onde 𝑆𝑀 é o vetor das direções unitárias do eixo do heligiro normalizado na formação axial. A
magnitude é dada por 𝜑 = |𝜔⃗⃗⃗| (CAZANGI, 2008).
Em juntas rotativas, o único movimento permitido é a rotação. Não existe a componente de velocidade linear na direção do eixo da junta e o passo do heligiro é nulo, então 𝜏 = 0 e 𝑉⃗⃗⃗⃗ = 𝑝 𝑆0
⃗⃗⃗⃗ x ω⃗⃗⃗. Sua representação para esse tipo de junta fica reduzida a (CAZANGI, 2008; WEIHMANN, 2011): $𝑀 = ( 𝜔⃗⃗⃗ − − − 𝑆⃗0× 𝜔⃗⃗⃗ ) = ( 𝑆⃗𝑀 − − − − 𝑆⃗0× 𝑆⃗𝑀 ) φ Eq. 4
sendo 𝜑 = |𝜔⃗⃗⃗| a magnitude associada, de velocidade angular. Esta situação é típica quando o estado instantâneo de movimento do corpo rígido é puramente de rotação (CAZANGI, 2008). Nas juntas prismáticas, o único movimento relativo permitido é a translação na direção do eixo da junta. Não existe velocidade angular e considera-se que o heligiro possui passo infinito h = ∞. Sua representação para este tipo de junta fica reduzida a (WEIHMANN, 2011):
$𝑀 = ( 0 ⃗⃗ − − 𝜏 ) = ( 0 ⃗⃗ − − 𝑆⃗𝑀 ) φ Eq. 5
sendo 𝜑 = |𝜏⃗| a magnitude associada, de velocidade linear. Tal situação ocorre quando o estado instantâneo de movimentos do corpo rígido é puramente de translação, que é o caso da junta prismática (CAZANGI, 2008).
A maioria dos manipuladores seriais apresenta apenas juntas prismáticas e/ou rotativas. Já nos robôs paralelos, podem ser empregadas juntas esféricas, cilíndricas e outras. O movimento permitido por cada uma destas juntas com mais de um grau de liberdade pode ser representado pelo movimento de juntas rotativas e/ou prismáticas associadas em série. Assim, independentemente do tipo de junta utilizada, sempre é possível representar seu movimento permitido por meio de uma das formas de heligiro, ou através de uma associação em série delas (WEIHMANN, 2011).
2.2.2 Helicoides na Estática: o Heliforça
O conjunto de ações (forças e momentos) atuantes em um corpo rígido pode ser reduzido a sistema composto por uma força atuando ao longo de uma linha de ação e por um binário paralelo à mesma linha (POINSOT, 1806).
O estado de ações de um corpo rígido relativo a um sistema inercial de coordenadas Oxyz
pode ser descrito por um helicoide, chamado de heliforça $𝐴 (em inglês wrench) ou helicoide
de ação, composto por um vetor linha que compreende a componente de força resultante 𝑅⃗⃗, cuja linha de ação define o eixo do helicoide, e um vetor livre compreendendo um binário 𝑇⃗⃗ paralelo ao referido eixo (BALL, 1900).
A heliforça é composta por um vetor R que representa a força atuando ao longo da linha de ação normalizada 𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ e um vetor 𝑇𝐴
𝑝 que representa o momento calculado em um ponto
específico do corpo. As componentes {L, M, N} da força 𝑅⃗⃗, representam respectivamente as forças nas direções de cada um dos eixos cartesianos x, y e z do sistema de coordenadas
referencial. O momento 𝑇𝑝 é composto pelo binário 𝑇⃗⃗ do eixo paralelo a 𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ e pelo momento 𝐴
devido à atuação da força 𝑅⃗⃗, calculado pelo produto vetorial entre os vetores 𝑆0 e R, como se
observa na Figura 7. As componentes {P*, Q*, R*} do momento 𝑇⃗⃗⃗⃗ representam 𝑝 respectivamente os momentos em torno de cada um dos eixos cartesianos x, y e z do sistema de coordenadas referencial. O vetor 𝑆⃗𝐴 é unitário e corresponde ao eixo de atuação da heliforça e
o vetor 𝑆0 é o vetor posição de algum ponto sobre o eixo $𝐴da heliforça, em relação ao ponto p
escolhido para explicitar as equações de equilíbrio (WEIHMANN, 2011).
Figura 7 – Componente da heliforça
Fonte: WEIHMANN, 2011.
O binário 𝑇⃗⃗ tem unidade de [força] x [comprimento] e pode ser relacionado à força 𝑅⃗⃗ através do passo h da heliforça por:
𝑇⃗⃗ = ℎ𝑅⃗⃗ Eq. 6
Analogamente à cinemática, as coordenadas homogêneas de Plücker podem ser reescritas como seis coordenadas de ação. Neste caso, a formação radial é adotada visando facilitar a operação do produto interno entre o heligiro e o heliforça com o intuito de calcular potência (CAZANGI, 2008).
Conforme a Eq. 7 os três primeiros componentes correspondem ao binário 𝑇⃗⃗𝑝 que age
sobre o corpo rígido em um ponto P instantaneamente coincidente com a origem de 𝑂𝑥𝑦𝑧 e está relacionado por |𝑇⃗⃗𝑃|; as últimas três componentes do vetor correspondem à resultante 𝐹⃗ = |𝑅⃗⃗| (CAZANGI, 2008).
$𝐴 = ( (𝑆⃗0× 𝑅⃗⃗ + ℎ𝑅⃗⃗) − − − − − − 𝑅⃗⃗ ) = ( 𝑇⃗⃗𝑝 − − 𝑅⃗⃗ ) Eq. 7
Normalizando o heliforça $𝐴, é possível separá-lo em um elemento geométrico $̂𝐴 sem
nenhuma grandeza mecânica associada, e um uma magnitude com unidade de força:
$𝐴 = (− − − − − −𝑆⃗0× 𝑅⃗⃗ + ℎ𝑅⃗⃗ 𝑅⃗⃗ ) = ( (𝑆⃗0× 𝑆𝐴+ ℎ𝑆⃗𝐴)𝜓 − − − − − − − − 𝑆⃗𝐴𝜓 ) = (𝑆⃗0× 𝑆⃗ 𝐴+ ℎ𝑆⃗𝐴 − − − − − − 𝑆⃗𝐴 ) 𝜓 = $̂𝐴𝜓 Eq. 8
onde $⃗⃗𝐴 é o vetor das direções unitárias L, M, N do eixo do heliforça normalizado na formação
radial, relacionadas por 𝐿2+ 𝑀2+ 𝑁2 = 1. A magnitude é dada por 𝜑 = |𝑅⃗⃗| (CAZANGI,
2008).
De acordo com o passo, a magnitude de $⃗⃗𝐴 pode assumir duas condições particulares.
Quando o passo é nulo h = 0, o heliforça de um corpo rígido representa o estado de ações puramente de força (CAZANGI, 2008):
$𝐴 = ( 𝑆⃗0× 𝑅⃗⃗ − − − − 𝑅⃗⃗ ) = ( 𝑆⃗0× 𝑆⃗𝐴 − − − − 𝑆𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝜓 Eq. 9
sendo 𝛹 = |𝑅⃗⃗| a magnitude associada.
Se o passo for infinito h = ∞, significa que a força resultante 𝑅⃗⃗ é nula e o heliforça representa o estado de ações puramente binário (CAZANGI, 2008):
$𝐴 = ( 𝑇⃗⃗ − − 0 ⃗⃗ ) = ( 𝑆⃗𝐴 − − 0 ⃗⃗ ) 𝜓 Eq. 10
2.3 MÉTODO DE DAVIES
O método de Davies pode ser empregada para realizar tanto estudos da cinemática quanto da estática de robôs. A método de Davies para análise cinemática e estática está baseada na Lei dos Circuitos e na Lei dos Nós de Kirchhoff, respectivamente (DAVIES, 1995). Para a compreensão do método é necessário conhecer as definições utilizadas por Davies.
Na análise cinemática utiliza-se de forma genérica o termo movimento para representar as velocidades lineares e angulares. A velocidade rotacional e a velocidade translacional que definem o estado cinemático de um corpo são os movimentos. Na análise estática utiliza-se de forma genérica o termo ação para representar forças e momentos. As forças e momentos que surgem na iteração entre dois corpos são as ações. As grandezas mecânicas, como força e momento, são inseridas na formulação matemática através de representação por helicoides.
Uma junta é o meio pelo qual as ações são transmitidas entre os elos, podendo permitir movimento relativo entre eles. As juntas são acoplamentos que permitem no mínimo um grau de liberdade. Uma rede de acoplamentos é formada por elos e juntas. Entre cada par de elos há sempre uma junta que pode ser ativa ou passiva.
As cadeias cinemáticas são redes de acoplamentos que apresentam movimento relativo entre seus corpos, ou seja, a mobilidade tem que ser maior que zero. Este movimento relativo é definido como uma sub-restrição. Caso não exista a possibilidade de movimento relativo entre os corpos, essas são chamadas de estruturas, onde a mobilidade é igual a zero e é dita super-restringida.
O método de Davies já foi empregado com sucesso para análise cinemática e estática de mecanismos com múltiplos graus de liberdade (CAZANGI, 2008), análises cinemáticas e estáticas em mecanismos espaciais atuados por cabos (MURARO, 2015), entre outros.
2.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo foi apresento ferramentas teóricas como a teoria de grafos e a teoria de helicoides que são utilizadas no Método de Davies. O método proporciona resolver a cinemática e estática de mecanismos e robôs de forma sistemática e completa. Antes de apresentar o Método de Davies, o capítulo seguinte mostrará como foi desenvolvida a cinemática de posição para o robô foco do presente trabalho.
3 CINEMÁTICA DE POSIÇÃO
Na cinemática direta de posição, a posição linear ou angular das juntas ativas é conhecida e o objetivo é obter a posição de um elo ou de um ponto específico do mecanismo. Em robôs paralelos esse ponto corresponde geralmente ao centro da plataforma móvel. Na cinemática inversa de posição, a posição de um ponto específico do mecanismo é conhecida e o objetivo é encontrar a posição das juntas atuadas.
A análise cinemática pode ser realizada a partir da determinação dos parâmetros de Denavit-Hartemberg ou através do Método dos Helicoides sucessivos (SIMAS, 2008).
É fundamental conhecer as relações de posição entre variáveis de entrada e variáveis de saída de um manipulador, assim é possível definir os vetores posição das juntas para análise cinemática e estática pelo Método de Davies. Por esse motivo o presente capítulo aborda a cinemática de posição direta e inversa do robô LAILA deduzida a partir de métodos geométricos que relacionam tamanhos de elos com as posições das juntas.
O robô LAILA é composto por duas pernas RSS e uma PPaP que interligam a base com o efetuador final. As pernas RSS permitem as liberdades de translação no plano yz, já a perna PPaP permite a translação no eixo x, sendo então um robô 3T.
Na Figura 8 pode se observar as nomenclaturas adotadas por Hartmann (2015, 2018), sendo as principais dimensões: a1 = 345 mm; a2 = 440 mm; a3 = 385 mm; h = 19,4 mm; l = 80
mm; L = 260 mm.
Figura 8 – Nomenclaturas da referência.
Fonte: HARTMANN, 2018.
Dadas as variáveis definidas na Figura 8, Hartmann et al. (2018) estabelece as relações geométricas entre as coordenadas da plataforma móvel e dos atuadores como:
𝑥1− 𝑞1 = 0 Eq. 11
𝑥12+ (𝑥
2− 𝑙 + 𝐿 + 𝑎1cos (𝑞2))2+ (𝑥3− 𝑎1sin (𝑞2))2− 𝑎22 = 0 Eq. 12
𝑥12+ (𝑥
2+ 𝑙 − 𝐿 − 𝑎1cos (𝑞3))2+ (𝑥3− 𝑎1sin (𝑞3))2− 𝑎22 = 0 Eq. 13
A Figura 9 mostra a topologia e as nomenclaturas adotadas no presente trabalho, bem como a orientação dos eixos. Os elos são numerados de 1 a 10 sendo o elo 1 o fixo e o elo 6 o elo do efetuador final. As juntas a, b, h, i, j, k são rotativas sendo ativas a e b. As juntas c, d, e,
f são esféricas. As juntas g, m são prismáticas sendo m ativa.
Figura 9 – Topologia e nomenclatura do robô LAILA.
Fonte: o Autor.
Se observarmos a forma construtiva do robô LAILA, quando a junta prismática for atuada ela promove o deslocamento de igual módulo, direção e sentido do ponto OP da
plataforma móvel, então a equação que define esse movimento é:
onde dm significa deslocamento na junta prismática ativa m e 𝑂𝑝𝑥 é o ponto da posição do
efetuador final na coordenada x. Pela Eq. 14 qualquer deslocamento dm resultará em um
deslocamento igual do efetuador final, isso ocorre pois essa atuação é dita isotrópica. 3.1 CINEMÁTICA DIRETA DE POSIÇÃO
Na cinemática direta de posição é conhecida a posição angular ou linear das juntas ativas e então se busca uma relação para determinar a posição do efetuador final ou algum ponto de interesse no mecanismo, podendo ser até a posição das juntas passivas.
Considere a origem do sistema de coordenadas conforme definida na Figura 9. A posição das juntas a e b são sempre conhecidas pois são fixas na base do manipulador e suas coordenadas são mostradas na Eq. 15 e Eq. 16. Como as juntas a e b são rotativas ativas, o ângulo de abertura de cada junta define a posição das juntas c e d, respectivamente as quais sempre estarão no plano yz, dadas pela Eq. 17 e Eq. 18.
𝑎 = [ 0 −𝑎0 0 ] Eq. 15 𝑏 = [ 0 𝑎0 0 ] Eq. 16 𝑐 = [ 0 𝑎0 + 𝑎1cos 𝜃2 𝑎1sin 𝜃2 ] Eq. 17 𝑑 = [ 0 −𝑎0− 𝑎1cos 𝜃1 𝑎1sin 𝜃1 ] Eq. 18
De acordo com a Figura 9, o ponto 3D do centro da plataforma móvel Op é definido por:
𝑂𝑝 = [ 𝑂𝑝𝑥 𝑂𝑝𝑦 𝑂𝑝𝑧
] Eq. 19
𝑒 = [ 𝑂𝑝𝑥 𝑂𝑝𝑦− 𝑎3 𝑂𝑝𝑧 ] Eq. 20 𝑓 = [ 𝑂𝑝𝑥 𝑂𝑝𝑦 + 𝑎3 𝑂𝑝𝑧 ] Eq. 21
Como o comprimento do elo 𝑎2 é fixo e, em suas extremidades temos as juntas esféricas
e e d podemos relacionar suas coordenadas com seu comprimento para a perna da direita:
𝑎2 = ‖𝑒 − 𝑑‖ Eq. 22
Substituindo a Eq. 18 e Eq. 20 na Eq. 22 temos: 𝑎2 = ‖[ 𝑂𝑝𝑥 𝑂𝑝𝑦− 𝑎3 𝑂𝑝𝑧 ] − [ 0 −𝑎0− 𝑎1cos 𝜃1 𝑎1sin 𝜃1 ] ‖ Eq. 23
Desenvolvendo a Eq. 23 temos: 𝑎22 = 𝑂
𝑝𝑥2+ [(𝑂𝑝𝑦− 𝑎3) − (−𝑎0− 𝑎1cos 𝜃1)] 2+ (𝑂𝑝𝑧− 𝑎1sin 𝜃1) 2 Eq. 24
Manipulando alguns termos da Eq. 24 para facilitar a resolução tem-se: 𝑎22− 𝑂 𝑝𝑥2 = (𝑂𝑝𝑦 − 𝑏1) 2 + (𝑂𝑝𝑧− 𝑏2) 2 Eq. 25 sendo: 𝑏1 = 𝑎3+ 𝑎1cos(𝜃1) − 𝑎0 e 𝑏2 = 𝑎1𝑠𝑖𝑛(θ1).
A mesma relação pode ser estabelecida com a posição das juntas f e c da perna esquerda, conforme segue:
𝑎2 = ‖𝑓 − 𝑐‖ Eq. 26
𝑎2 = ‖[ 𝑂𝑝𝑥 𝑂𝑝𝑦+ 𝑎3 𝑂𝑝𝑧 ] − [ 0 𝑎0+ 𝑎1cos 𝜃2 𝑎1sin 𝜃2 ] ‖ Eq. 27 Desenvolvendo a Eq. 27: 𝑎22 = 𝑂
𝑝𝑥2+ [(𝑂𝑝𝑦+ 𝑎3) − (𝑎0+ 𝑎1cos 𝜃2)] 2+ (𝑂𝑝𝑧− 𝑎1sin 𝜃2) 2 Eq. 28
Agrupando alguns termos tem-se:
𝑎22− 𝑂𝑝𝑥2 = (𝑂𝑝𝑦− 𝑏3)2+ (𝑂𝑝𝑧− 𝑏4) 2 Eq. 29 sendo: 𝑏3 = −𝑎3+ 𝑎1cos(𝜃2) + 𝑎0 e 𝑏4 = 𝑎1𝑠𝑖𝑛(θ2)
Agrupando as Eq. 25 e Eq. 29 obtém-se o sistema: 𝐼 𝐼𝐼 { 𝑘1 = (𝑂𝑝𝑦− 𝑏1) 2 + (𝑂𝑝𝑧− 𝑏2) 2 𝑘1 = (𝑂𝑝𝑦− 𝑏3) 2 + (𝑂𝑝𝑧− 𝑏4) 2 Eq. 30 sendo 𝑘1 = 𝑎22− 𝑂 𝑝𝑥2
Fazendo I – II no sistema obtém-se:
2𝑂𝑝𝑦(𝑏1− 𝑏3) + 2𝑂𝑝𝑧(𝑏2− 𝑏4) = 𝑏12+ 𝑏22 − 𝑏32− 𝑏42 Eq. 31
Isolando 𝑂𝑃𝑦 na Eq. 31 tem-se:
𝑂𝑝𝑦 = 𝑘2 − 𝑂𝑝𝑧(𝑏2− 𝑏4)
(𝑏1− 𝑏3) Eq. 32
sendo: 𝑘2 =
𝑏12+𝑏22−𝑏32−𝑏42
2
Substituindo a Eq. 32 na Eq. 29 tem-se a seguinte equação do segundo grau em 𝑂𝑝𝑧:
[1 +(𝑏2− 𝑏4) 2 (𝑏1− 𝑏3)2 ] 𝑂𝑝𝑧2+ + [2𝑏1(𝑏2− 𝑏4) (𝑏1− 𝑏3) −2𝑘2(𝑏2− 𝑏4) (𝑏1− 𝑏3)2 − 2𝑏2] 𝑂𝑝𝑧+ Eq. 33
+ [( 𝑘2 𝑏1− 𝑏3) 2 − 2𝑏1𝑘2 𝑏1− 𝑏3+ 𝑏1 2+ 𝑏 22− 𝑘1] = 0
Considerando somente as respostas válidas para terceiro e quarto quadrantes, localizados no sentido positivo do eixo z adotado, a Eq. 33 apresenta 2 soluções para 𝑂𝑝𝑧. Substituindo 𝑂𝑝𝑧 na Eq. 29 obtemos mais 2 soluções para 𝑂𝑝𝑦.
3.2 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO
Para a cinemática inversa de posição é conhecida a posição de um ponto específico no robô, geralmente na plataforma móvel, e o objetivo é determinar as posições angulares ou lineares dos atuadores do robô. Para o presente caso, as posições da plataforma móvel 𝑂𝑝 = [𝑂𝑝𝑥; 𝑂𝑝𝑦; 𝑂𝑝𝑧] são conhecidas e procura-se determinar a posição angular das juntas rotativas
a e b, 𝜃1 e 𝜃2, respectivamente, e a posição linear da junta prismática m, 𝑑𝑚.
Os cálculos da cinemática inversa partem do mesmo princípio da cinemática direta, porém os termos serão rearranjados de outra maneira, a fim de facilitar o seu desenvolvimento. As Eq. 24 e Eq. 28 podem ser reescritas como:
𝑎22 = 𝑂 𝑝𝑥 2 + (𝑏5− 𝑎1cos (𝜃1))2+ (𝑂 𝑝𝑧− 𝑎1𝑠𝑖𝑛(𝜃1))2 Eq. 34 𝑎22 = 𝑂𝑝𝑥 2 + (𝑏6− 𝑎1cos (𝜃2))2+ (𝑂𝑝𝑧− 𝑎1𝑠𝑖𝑛(𝜃2))2 Eq. 35 sendo: 𝑏5 = 𝑂𝑝𝑦 − 𝑎3+ 𝑎0 e 𝑏6 = 𝑂𝑃𝑌− 𝑎0+ 𝑎3
Desenvolvendo as expressões e isolando termos com 𝜃1 e 𝜃2 respectivamente, tem-se as seguintes equações do 2𝑜 grau em 𝑐𝑜𝑠(𝜃
1) e 𝑠𝑖𝑛(𝜃2):
(𝑏52 + 𝑂𝑃𝑍2)𝑐𝑜𝑠2(𝜃1) + (−2𝑘3𝑏5) 𝑐𝑜𝑠(𝜃1) + (𝑘32− 𝑂𝑃𝑍2) = 0 Eq. 36
(−𝑏62𝑎12+ 𝑂
𝑃𝑍2𝑎12)𝑠𝑖𝑛2(𝜃2) + (2𝑘4𝑂𝑃𝑍 𝑎1) 𝑠𝑖𝑛(𝜃2) + (𝑏62𝑎12− 𝑘42) = 0 Eq. 37
𝑘3 = (𝑎22− 𝑎12− 𝑂𝑝𝑥2− 𝑏52− 𝑂𝑝𝑧2) −2𝑎1 Eq. 38 𝑘4 = (𝑎22− 𝑎12− 𝑂𝑝𝑥2− 𝑏62− 𝑂𝑝𝑧2) −2𝑎1 Eq. 39
Por meio destas duas equações do segundo grau pode-se determinar os ângulos das juntas rotativas ativas para uma dada posição do efetuador final. Por exemplo, dada a posição do efetuador final Op = [0,0,500], considerando as soluções no terceiro e quarto quadrantes, no
sentido positivo do eixo z, temos quatro possíveis soluções, duas para o 𝜃1 e duas para o 𝜃2 conforme são mostradas na Figura 10.
Figura 10 – Quatro possíveis soluções para uma dada posição do manipulador.
(a) (b)
(c) (d)
Fonte: o Autor.
A Tabela 1 mostra os ângulos θ1 e θ2, respectivamente para cada configuração mostrada
Figura 10d é a resposta que buscamos, com a posição da junta das pernas para fora, evitando assim possíveis colisões com o mecanismo pantográfico que se localiza no centro.
Tabela 1 – Ângulos para Figura 10.
Figura θ1 θ2 Figura 10a 14,73º 165,27º Figura 10b 14,73º 54,32º Figura 10c 125,67º 165,27º Figura 10d 125,67º 54,32º Fonte: o Autor.
A Figura 11 mostra o corte transversal do volume de trabalho do robô LAILA, o qual será descrito melhor no próximo capítulo. Com a cinemática inversa resolvida foi realizada uma primeira simulação de trajetória para observar o comportamento das juntas rotativas ativas. Foram criadas duas trajetórias adjacentes aos limites superior e inferior, mostrados pelas linhas tracejadas em vermelho.
Figura 11 – Corte transversal do volume de trabalho do LAILA.
Fonte: o Autor.
Com essas trajetórias lineares que variam no eixo Y de -200 a +200 mm pode-se definir as amplitudes máximas e mínimas das atuações rotativas bem como seu comportamento, como mostrados na Figura 12. Pode-se observar que quando o efetuador passa pelo ponto [0;0;500]
da trajetória os ângulos correspondentes às atuações são equivalentes aos mostrados na Tabela 1 e Figura 10, marcados com um X em vermelho na Figura 12.
Tendo em vista a trajetória simulada pode-se estimar a amplitude de trabalho das juntas rotativas ativas a e b que são de 65.33º. Em um capítulo futuro essa informação será retomada e discutida novamente.
Figura 12 - Comportamento das juntas ativas em relação a trajetória linear do efetuador.
Fonte: o Autor.
3.3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo foi apresentada a cinemática direta e inversa de posição para o robô LAILA. A cinemática direta determina as coordenadas de um determinado ponto do efetuador final mediante as variáveis de entrada (ângulos ou deslocamentos das juntas ativas), enquanto que a cinemática inversa encontra os dados de entrada de acordo com as posições do efetuador. A cinemática de posição é importante para conhecermos as posições de todas as juntas do robô, assim podemos formar o vetor posição, presente no desenvolvimento do Método de Davies, apresentado no próximo capítulo com finalidade de análise da mobilidade.
4. ANÁLISE DE MOBILIDADE DO ROBÔ LAILA VIA MÉTODO DE DAVIES
As abordagens para o cálculo da mobilidade baseada em conjunto de equações da cinemática e o número de variáveis linearmente independentes são válidas sem exceção. A maior desvantagem dessa abordagem é que a mobilidade não pode ser determinada rapidamente ou sem o conjunto de equações do modelo cinemático do mecanismo. Geralmente esse modelo é expressado pelas equações de fechamento. Não há maneiras de derivar informações sobre a mobilidade do mecanismo sem realizar análises de posição/velocidades usando ferramentas analíticas, como teoria de helicoides, álgebra linear, geometria, etc. Alguns contras dessa abordagem é que o número de variáveis independentes (posto) do sistema de equações é calculado em uma dada posição do mecanismo. A mobilidade calculada então se refere a uma mobilidade instantânea da referida posição, o que pode ser diferente da mobilidade global do mecanismo. Com isso tem-se que evitar a escolha de posições singulares para essa análise, haja visto que posições singulares são caracterizadas por apresentarem graus de liberdade diferentes (GOGU, 2005).
Nesse capítulo será desenvolvida uma análise de mobilidades e restrições do robô LAILA a partir do desenvolvimento da cinemática por meio do método de Davies usando Teoria de Helicoides. O mecanismo é composto por n = 10 corpos e j = 12 acoplamentos e está disposto no espaço de ordem espacial λ = 6.
Etapa (1.a) A etapa inicial refere-se à representação esquemática do mecanismo. É
uma versão simplificada do modelo físico contendo as informações de topologia e de geometria, como nomenclatura de elos e juntas, além do sistema inercial de coordenadas, conforme se observa na Figura 13.
Figura 13 – Representação esquemática do robô LAILA.
Fonte: o Autor.
Etapa (1.b) É formada a rede de acoplamentos do mecanismo. Basicamente, é a mesma
representação da topologia do mecanismo onde os corpos são polígonos cujo número de vértices é o grau de conexão (número de acoplamentos) de cada corpo, como se observa na Figura 14.
Figura 14 – Rede de acoplamentos do robô 2RSS-PPaP.
Etapa (1.c) Esta etapa trata da constituição do grafo de acoplamentos 𝐺𝐶, onde cada corpo é representado por um vértice e cada acoplamento direto é representado por uma aresta, conforme se observa na Figura 15.
Figura 15 – Grafo de acoplamento 𝐺𝐶 do mecanismo.
Fonte: o Autor.
Etapa (2) Esta etapa reúne as características dos acoplamentos necessárias à formação
dos heligiros. No que tange aos heligiros, as principais informações são: o vetor direção do eixo 𝑆⃗𝑀, o vetor posição 𝑆⃗0 em relação à origem de 𝑂𝑝 e o passo ℎ𝑀. A informação relevante ao
grafo são os movimentos unitários 𝑓𝑖 de cada acoplamento, por isso é fundamental conhecer o
tipo de par cinemático dos acoplamentos. Os vetores posição 𝑆0 são mostrados no APÊNDICE A.1.
É importante ressaltar que os termos 𝑂𝑝𝑥, 𝑂𝑝𝑦 e 𝑂𝑝𝑧 são obtidos com base na cinemática de posição obtida, demonstrada no Capítulo 3.
A direção do eixo 𝑆⃗𝑀 é dada pelos seguintes heligiros:
S⃗⃗𝑥𝑀 = {10 0 } 𝑆⃗𝑦𝑀 = {01 0 } S⃗⃗𝑧𝑀 = { 0 0 1 } Eq. 40
Etapa (3.a) Uma vez que já se conhece a geometria e a topologia do mecanismo,
deve-se gerar o Grafo de Movimentos 𝐺𝑀, conforme se observa na Figura 16. Isto é realizado substituindo-se arestas de cada acoplamento do grafo 𝐺𝐶 por f = 1 arestas em série no grafo 𝐺𝑀,
mantendo o sentido pré-existente. Assim é possível destacar os movimentos unitários de cada acoplamento, permitindo avaliar o grau de liberdade bruto do mecanismo.
Figura 16 – Grafo de Movimento 𝐺𝑀
Fonte: o Autor.
O grau de liberdade bruto corresponde ao número de arestas do grafo de movimento e também pode ser obtido com base na seguinte expressão, na ordem das juntas a à m, respectivamente: 𝐹 = ∑ 𝑓𝑖 𝑒 𝑖=1 𝐹 = 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 𝐹 = 20 Eq. 41
Etapa (3.b) Considerada uma das mais importantes etapas do método, é nesta etapa que
a conversão das informações topológicas contidas no grafo 𝐺𝑀 para a forma matricial é feita,
resultando na matriz dos Circuitos-f [𝐵]𝑙×𝐹.
Para este mecanismo, existem várias possibilidades de árvore geradora e optou-se por selecionar as arestas b, j e m como cordas. Desta forma a árvore geradora contempla as juntas (a, c, d, e, f, g, h, i, e k) identificadas por linhas pretas, conforme se observa na Figura 17.
Figura 17 – Árvore geradora.
Fonte: o Autor.
Também se torna necessário identificar os circuitos-f. O número de circuitos-f pode ser determinado pela seguinte expressão:
𝑙 = 𝑗 − 𝑛 + 1 𝑙 = 12 − 10 + 1
𝑙 = 3
Eq. 42
onde l do inglês loop é o número de circuitos, j é o número de juntas e n o número de elos do mecanismo.
A Figura 18 identifica os circuitos bem como as cordas representadas pelas arestas em vermelho, juntas b, j e m.
Figura 18 – Identificação dos circuitos e cordas do grafo.
Fonte: o Autor.
A matriz de Cirtuitos-f BM é deverá ser preenchida por 1, se a aresta analisada pertence
ao circuito e tem a mesma orientação da corda que o define, -1 se a aresta analisada pertence ao circuito analisado e tem orientação oposta da corda que o define e 0 se a aresta analisada não pertence ao circuito.
As linhas da matriz representam os circuitos-f correspondentes às cordas b, j e m. As colunas representam as arestas e seguem a seguinte ordem: b, j, m, a, c, d, e, f, g, h, i e k, conforme se observa na Matriz 𝐵𝑀.
Aplicando as condições acima no mecanismo tem-se: [𝐵𝑀]𝑙 ×𝐹 = [𝐵𝑀]3 ×20 𝒃 𝒋 𝒎 𝒂 𝒄𝒙 𝒄𝒚 𝒄𝒛 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒆𝒙 [𝐵𝑀]3 ×20= 𝜐𝑏 𝜐𝑗 𝜐𝑚 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 −1 0 −1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 Eq. 43 𝒆𝒚 𝒆𝒛 𝒇𝒙 𝒇𝒚 𝒇𝒛 𝒈 𝒉 𝒊 𝒌 −1 0 −1 −1 0 −1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 −1 0 1 0 0 −1 −1 ]
