Integração numérica de funções de Green para meios estratificados

IAGO CAVALCANTE GERALDO

Integração Numérica de Funções de Green

para Meios Estratificados

CAMPINAS 2019

IAGO CAVALCANTE GERALDO

Integração Numérica de Funções de Green

para Meios Estratificados

Dissertação apresentada à Faculdade de Enge-nharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em En-genharia Mecânica na área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico

Orientador: Prof. Dr. Josué Labaki Silva

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO IAGO CAVALCANTE GERALDO, E ORIENTADA PELO PROF. DR. JOSUÉ LABAKI SILVA.

———————————————– ASSINATURA DO ORIENTADOR

CAMPINAS 2019

Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Geraldo, Iago Cavalcante,

G311i GerIntegração numérica de funções de Green para meios estratificados / Iago Cavalcante Geraldo. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

GerOrientador: Josué Labaki Silva.

GerDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Ger1. Integração numérica. 2. Green, Funções de. 3. Interação solo-estrutura. I. Silva, Josué Labaki. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Numerical integration of Green's functions for layered media Palavras-chave em inglês:

Numerical integration Green's functions Soil-structure interaction

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica

Banca examinadora:

Josué Labaki Silva [Orientador] Pérsio Leister de Almeida Barros William Martins Vicente

Data de defesa: 18-07-2019

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a) - ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-6348-7034 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/2298476587779658

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INTEGRADOS

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

Integração Numérica de Funções de Green

para Meios Estratificados

Autor: Iago Cavalcante Geraldo

Orientador: Prof. Dr. Josué Labaki Silva

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Prof. Dr. Josué Labaki Silva, Presidente DSI/FEM/UNICAMP

Prof. Dr. Pérsio Leister de Almeida Barros DGT/FEC/UNICAMP

Prof. Dr. William Martins Vicente FEAGRI/UNICAMP

A Ata de defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

A minha querida mãe, Isolete Alvarenga Cavalcante, a qual sinto muito orgulho e agradeço por todo carinho e o apoio sempre. Também a todos que contribuíram para minha formação pessoal e acadêmica.

Agradecimentos

Quero expressar a minha mais profunda gratidão a minha família, em especial a minha mãe, Isolete Alvarenga Cavalcante, a minha companheira Michelle Guimarães Horta e as minhas primas Ana Maria Lima Alvarenga, Cleide Lima Alvarenga, por acreditarem e incentivarem meu desenvolvimento intelectual e profissional.

Ao Prof. Dr. Josué Labaki Silva por ter acreditado na minha capacidade, por toda paciência, orientação e compartilhamento de seus conhecimentos e experiências durante esses dois anos em que trabalhamos juntos.

Agradeço também aos professores, funcionários e colegas da Universidade Estadual de Campinas. Em especial aos meus amigos Ana Carolina Azevedo e Emanuel Soares Tavares pelo apoio sempre presente e aos docentes do curso de pós-graduação em Engenharia Mecânica por terem compartilhado suas experiências e conhecimentos, contribuindo para minha formação acadêmica e profissional.

Agradeço a Pró-Reitoria de Pesquisa - Unicamp em conjunto com a Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (PRP/FAEPEX) pelo apoio e financiamento à pesquisa.

Finalmente, gostaria de agradecer a todas as pessoas que me ajudaram, direta ou indireta-mente, ao longo desse processo.

lembrar que nós mesmos já mudamos de opinião várias vezes.

Resumo

Esta dissertação investiga métodos de integração numérica para integrais impróprias com respeito ao limite superior de integração, contendo um número infinito de singularidades e um comporta-mento de decaicomporta-mento oscilatório podendo ser lentamente convergente. Esse tipo de integração é encontrado com frequência em muitos campos de aplicação de engenharia, como por exemplo, cálculo de campo eletromagnético, acústica e propagação de ondas no solo. A solução desses problemas geralmente é escrita na forma das funções de Green que são tipicamente resolvidas com abordagens de integrais transformadas. Este estudo considera a função de Green, para o caso da resposta harmônica no tempo de um semiespaço elástico em camadas transversalmente isotrópico submetido a uma carga axissimétrica em sua superfície. Esta resposta é obtida com o auxílio da transformada de Hankel e o semiespaço é descrito pelo método da matriz de rigi-dez exata, em que a matriz de rigirigi-dez global é obtida pela combinação linear das matrizes de rigidez de suas camadas constituintes. Este esquema resulta em deslocamentos do sistema em camadas no domínio transformado por Hankel e deve ser integrado numericamente para obter os deslocamentos correspondentes no domínio físico. Uma normalização da variável de integração de acordo com o número de onda de Hankel faz com que as singularidades caiam dentro de uma região previsível permitindo que o integrando, nesse tipo de problema, seja dividido em duas regiões distintas; cada uma a ser resolvida por um método apropriado de integração. A primeira região é caracterizada pela presença de infinitas singularidades que surgem da reflexão de ondas elásticas no interior das camadas do semiespaço. E a segunda, por um integrando que decai e oscila em amplitude indefinidamente. Este trabalho revisa e propõe abordagens numé-ricas para lidar apropriadamente com cada região de forma precisa. Para validar os resultados, essa abordagem foi comparada com casos representativos de integração que possuem solução analítica.

This dissertation investigates methods of numerical integration of improper integrals with respect to the upper limit of integration, containing an infinite number of singularities and an oscillating-decaying behavior that can be slowly convergent. This kind of integration is often found in many branches of applied engineering problems, such as electromagnetic field, acoustics and wave propagation in soil media. The solution of these problems are usually written in terms of Green’s functions which are typically solved with transformed integrals approaches. This study considers the Green’s function for the case of the time-harmonic response of an elastic transversely isotropic layered soil subjected to an axissimetric load on its surface. This response is obtained with the aid of the Hankel transform. The response of the half-space is obtained by the exact stiffness matrix method, in which the stiffness matrix of the layered system is obtained by the linear combination of the stiffness of its constituent layers. This scheme results in displacements of the layered system in the Hankel transformed domain, and must be integrated numerically in order to obtain the corresponding displacements in the physical domain. A normalization of the integration interval according to the Hankel space variable causes the singularities to fall within a predictable region allowing the integrand in this problem to be divided into two distinct regions; each one to be solved by an appropriate method of integration. The first region is characterized by the presence of an infinite number of singularities that arise from the reflection of elastic waves inside the layers of the half-space, and the second one by an integrand that decays and oscillates in amplitude indefinitely. This dissertation reviews and proposes numerical approaches to properly handle each region accurately. In order to validate the results, this approach was compared with representative cases of integration that have analytical solution.

Lista de Figuras

Figura 2.1 Representação da curva 𝐶 com pontos interiores singulares. . . 28

Figura 2.2 Vários contornos usados na deformação do caminho de integração. . . 30

Figura 3.1 Curva de 𝑓 (𝑥) com ilustração das raízes e os termos 𝑉𝑛relacionados às áreas. . . 33

Figura 3.2 Precisão do CALM na solução da Eq. (3.35) para a) severidade do decaimento 𝜇 = 0.5 e diferentes valores de 𝜛 e b) frequência oscilatória 𝜛 = 100 e diferentes valores de 𝜇. . . 42

Figura 3.3 Precisão do CALM para diferentes parâmetros do integrando na solução a) Eq. (3.36) e b) Eq. (3.37). . . 43

Figura 3.4 Ilustração a) do batimento e b) da FFT de uma função (Eq. (3.38)) com duas frequências oscilatórias. . . 44

Figura 3.5 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 1, 𝜙 = 1 e 𝜎 = 1. . . 45

Figura 3.6 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 1, 𝜙 = 2 e 𝜎 = 1. . . 45

Figura 3.7 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 1, 𝜙 = 3 e 𝜎 = 1. . . 46

Figura 3.8 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 1, 𝜙 = 4 e 𝜎 = 1. . . 46

Figura 3.9 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 1, 𝜙 = 5 e 𝜎 = 1. . . 46

Figura 3.10 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 2, 𝜙 = 1 e 𝜎 = 1. . . 47

Figura 3.11 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 3, 𝜙 = 1 e 𝜎 = 1. . . 47

Figura 3.12 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 4, 𝜙 = 1 e 𝜎 = 1. . . 47

Figura 3.13 Ilustração a) do espectro do sinal e b) sequência de somas parciais, para Eq. (3.40) com 𝜏 = 5, 𝜙 = 1 e 𝜎 = 1. . . 48

Figura 3.14 Precisão para o presente método na solução das Eqs. (3.41) e (3.42). . . 49

Figura 3.15 Integração da Eq. (3.45) para diferentes parâmetros de 𝜇, 𝜛1e 𝜛2. . . . 50

Figura 4.1 Geometria de um semiespaço em camadas. . . 52

Figura 4.2 Esquema de montagem da matriz de rigidez global. . . 53

Figura 4.3 Localização das singularidades para o caso presente. . . 55

Figura 4.4 Caminho modificado de integração semi-elíptico. . . 56

Figura 4.7 Componente imaginária do integrando 𝑢*_𝑧 para 𝜔 = 1 a) intervalo (0 ≤ 𝜁 ≤ 𝜁′) b) intervalo (𝜁′ ≤ 𝜁 ≤ ∞) . . . 59 Figura 4.8 Componente real do integrando 𝑢*_𝑧para 𝜔 = 1 (a) caminho deformado

pelo contorno SE (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋) e (b) intervalo (𝜁′ ≤ 𝜁 ≤ ∞). . . 59 Figura 4.9 Componente imaginária do integrando 𝑢*_𝑧 para 𝜔 = 1 (a) caminho

deformado pelo contorno SE (0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋) e (b) intervalo (𝜁′ ≤ 𝜁 ≤ ∞). . . 59 Figura 4.10 Partes real e imaginária de 𝑢𝑧(𝜔) obtida pela QAG e contorno SE somado

à generalização do algoritmo 𝜖 (SE+GAE). . . 60 Figura A.2.1 Transformada de Fourier da Eq. (A.2.1). . . 72 Figura A.2.2 Transformada de Fourier da Eq. (A.2.3). . . 73

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 Avaliação da integral Eq. (2.17) para diferentes contornos. . . 31 Tabela 3.1 Cálculo dos volumes de integração. . . 35 Tabela 3.2 Extrapolação do valor da integral do lado direito da Eq. (3.21) através

do algoritmo 𝜖. . . 37 Tabela 3.3 Resultado da precisão entre as raízes analíticas e numéricas. . . 40 Tabela 4.1 Configurações dos meios multicamadas utilizados (𝑐′_𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗/𝑐44). . . . 58

Tabela A.3.1 Extrapolação do valor da integral da Eq. (A.3.1) através do algoritmo 𝜖 para diferentes valores de 𝜏 e 𝜙. . . 74

Abreviaturas

CALM - Algoritmo de Continuação-Método de Longman CL_MatCont - Algoritmos de Continuação e Bifurcação em MATLAB FFT - Transformada Rápida de Fourier

GEA - Generalização do Algoritmo 𝜖 baseada na FFT LC - Contorno Reto

MATLAB - MATrix LABoratory

MEC - Método dos Elementos de Contorno QAG - Quadratura Adaptativa de Gauss SC - Contorno Semi-circular

SE - Contorno Semi-elíptico

-Matrizes e Vetores

F(n) _{- Matriz de termos de influência de tensão das camadas do solo}

F(N+1) _{- Matriz de termos de influência de tensão do semiespaço}

G(n) _{- Matriz de termos de influência de deslocamento das camadas do solo}

G(N+1) - Matriz de termos de influência de deslocamento do semiespaço K - Matriz de rigidez global do solo estratificado

K(n) _{- Matriz de rigidez das camadas do solo}

K(N+1) _{- Matriz de rigidez do semiespaço}

u* - Vetor de deslocamentos no domínio transformado de Hankel ℘* - Vetor de forças no domínio transformado de Hankel

-Letras Latinas

𝐴* - Fator de escala

𝑎 - Limite inferior de integração

𝑎0 - Frequência de excitação normalizada

𝑎′ - Semi-eixo maior do contorno semi-elíptico do caminho de integração 𝑏 - Limite inferior de integração maior que a

𝑏′ - Semi-eixo menor do contorno semi-elíptico do caminho de integração 𝐶′ - Curva fechada

𝑐𝑖𝑗 - Constantes elásticas

𝑐′_𝑖𝑗 - Constantes elásticas normalizadas 𝑐𝑖𝑗* - Constantes elásticas complexas

𝐸𝑘 - Transformada de Shanks

𝑓𝑝 - Frequência que caracteriza a periodicidade do sinal

𝐺 - Função que se conhece o zero

𝐻 - Homotopia

ℎ𝑛 - Espessura das camadas do solo

i - Unidade imaginária (i=√−1) 𝑘0 - Menor singularidade prevista

𝑘𝐼 - Singularidade adicional

𝑘𝑀 - 𝑘𝑀 = 1.5𝑘𝑚𝑎𝑥

𝑘𝑃 - Número de onda de compressão

𝑘𝑅 - Número de onda de Rayleigh

𝑘𝑆 - Número de onda de cisalhamento

𝑘𝑚𝑎𝑥 - Maior singularidade prevista

𝑚 - Índice de material

𝑝0 - Intensidade do carregamento distribuído

𝑞 - Semi-período assimptótico das funções de Bessel 𝑅𝑁 - Resíduo de uma soma após 𝑁 termos

𝑟 - Direção radial

𝑠 - Raio do carregamento 𝑡 - Parâmetro de homotopia 𝑢𝑑 - Função degrau

𝑢𝑖 - Núcleo dos deslocamentos

𝑢*_𝑖 - Núcleo dos deslocamentos no domínio transformado de Hankel 𝑢𝑟 - Deslocamento radial

𝑢*_𝑟 - Integrando do deslocamentos radial no domínio transformado de Hankel 𝑢𝑧 - Deslocamento vertical

𝑢*_𝑧 - Integrando do deslocamentos vertical no domínio transformado de Hankel 𝑉𝑛 - Volume de integração

𝑥0 _{- Ponto inicial arbitrário}

𝑥𝑖 - Raízes de uma função oscilatória

𝑥𝑛 - Intervalo de partição

𝑧 - Direção vertical

𝑧′_𝑘 - Número finito de pontos singulares isolados 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 - Funções arbitrárias

-Letras Gregas

𝛼 - Constante elástica adimensional 𝛽 - Constante elástica adimensional 𝛾 - Constante elástica adimensional 𝛿 - Frequência normalizada

𝛿𝐷 - Função delta de Dirac

𝜖′ - Raio semi-círculo no método de integração residual 𝜁 - Número de onda adimensional

𝜁′ - Valor que divide o integrando em duas regiões 𝜂 - Fator de amortecimento

𝜃 - Variável de integração no contorno SC/SE 𝜅 - Constante elástica adimensional

𝜆 - Número de onda

𝜇 - Severidade de decaimento 𝜈 - Coeficiente Poisson

𝜉𝑖 - Raízes da equação característica

𝜛 - Frequência oscilatória 𝜌 - Massa específica

𝜎 - Ordem da função de Bessel 𝜔 - Frequência de excitação

℘*_𝑟 - Força radial no domínio transformado de Hankel ℘*_𝑧 - Força vertical no domínio transformado de Hankel 𝜚, 𝜏 , 𝜙 - Argumento da função de Bessel

1 Introdução 19

1.1 Revisão Bibliográfica . . . 20

1.2 Objetivos e organização do trabalho . . . 24

2 Integração de Funções Singulares 26 2.1 Localização de Singularidades . . . 26

2.1.1 Correlação Entre Ondas Físicas e Singularidades . . . 26

2.2 Quadraturas Adaptativas . . . 27

2.3 Método de Integração Residual . . . 28

2.3.1 Ilustração do Método . . . 29

2.4 Deformação do Caminho de Integração . . . 29

2.4.1 Ilustração do Método . . . 31

3 Integração Imprópria de Funções Oscilatórias 32 3.1 Métodos de Extrapolação . . . 32

3.1.1 Tranformação de Euler e Método de Longman . . . 32

Ilustração do Método . . . 34

3.1.2 Transformação de Shanks e Algoritmo

𝜖

Ilustração do Método . . . 37 3.2 Partição de Intervalo . . . 38 3.2.1 Método de Continuação . . . 38 Ilustração do Método . . . 39 3.2.2 Partição de Sidi . . . 40 3.2.3 Partição de Lyness . . . 40

3.3 Algoritmo de Continuação–Método de Longman . . . 41

3.3.1 Esquema do Algoritmo . . . 41

3.3.2 Ilustração do Método . . . 42

3.4 Generalização do Algoritmo

𝜖

3.4.1 Frequências que Caracterizam a Periodicidade (𝑓𝑝) do Sinal . . . 44

3.4.2 Esquema do Algoritmo . . . 49

3.4.3 Ilustração do Método . . . 49

4 Estudo de Caso 51 4.1 Modelo do Solo em Camadas . . . 51

4.2 Integração Numérica . . . 54

Integração Pelo Caminho Deformado . . . 56

4.2.2 Região II . . . 57

Generalização do Algoritmo

𝜖

4.3 Descrição do Caso . . . 57

5 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 61 5.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . 62

Referências 64 Apêndice 71 . . . 71

A.1 Parâmetros no Modelo do Solo em Camadas . . . 71

A.2 Transformada Rápida de Fourier (FFT) . . . 71

Transformada Rápida de Fourier para Funções Trigonométricas . . 72

Transformada Rápida de Fourier para funções de Bessel . . . 73

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Introdução

Soluções fundamentais para domínios ilimitados têm sido de interesse em muitos campos de aplicação da engenharia por sua representatividade em problemas envolvendo campos ele-tromagnéticos, ondas acústicas, propagação de ondas no solo, dentre outros. A evolução dos recursos e capacidades computacionais somadas à dedicação de pesquisadores na modelagem e formulação de novas metodologias e ferramentas ampliou significativamente o uso de técnicas numéricas como instrumentos auxiliares na solução desses problemas.

O método de elementos de contorno (MEC) emergiu como uma importante técnica de aproximação da solução de equações integrais por meio de discretização do contorno do problema (Kane, 1994). Um dos requisitos para sua formulação é o uso de estados auxiliares, as chamadas soluções fundamentais que devem representar as características e a natureza física do problema. A maioria das funções de Green, soluções fundamentais para a classe de problemas com domínios ilimitados, são obtidas com o auxílio de integrais transformadas.

Modelos dinâmicos de interação solo-fundação frequentemente requerem a derivação de funções de Green correspondentes a cargas de superfície ou enterradas e às características do meio material que representam o problema. Este trabalho considera a função de Green para o caso da resposta harmônica no tempo de um semiespaço elástico em camadas transversalmente isotrópico submetido a uma carga axissimétrica em sua superfície. O semiespaço é descrito pelo método de rigidez exata (Wang e Rajapakse, 1994), em que a matriz de rigidez global do solo em camada é obtida pela combinação linear das matrizes de rigidez de suas camadas constituintes. A solução, deslocamentos do sistema em camadas, pode ser abordada através da transformada de Hankel (Rajapakse e Wang, 1993; Wang e Rajapakse, 1994), que deve ser integrada numericamente para obter os deslocamentos correspondentes no domínio físico. Entretanto, a avaliação dessas integrais é difícil e tem alto custo computacional devido aos seus integrandos possuírem singularidades e serem, em geral, oscilatórios e lentamente convergentes (Barros, 2006; Labaki et al., 2014).

Os integrandos desse problema podem ser divididos em duas regiões distintas, cada uma exigindo uma técnica de integração especializada. A primeira região é caracterizada pela presença de um número infinito de singularidades, que surgem da reflexão de ondas elásticas no interior das camadas no semiespaço. E a segunda, na qual apenas o comportamento oscilatório com decaimento permanece. O valor da variável espacial de Hankel que divide as duas regiões varia de acordo com o carregamento e os parâmetros constituintes do meio estratificado. A normalização dessa variável de integração proposto por Rajapakse e Wang (1993), faz com que

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as singularidades caiam dentro do mesmo intervalo para quaisquer combinações de parâmetros do problema.

Ao longo deste trabalho serão investigados métodos de integração numérica, para lidar adequadamente com integrais singulares e integrais impróprias com respeito ao limite superior de integração com um comportamento de decaimento oscilatório. Os métodos apresentados serão discutidos e ilustrados através da integração de funções representativas que possuem soluções conhecidas. Dentre esses métodos será selecionado o mais eficaz, e então aplicado para integrar uma função de Green para o caso da resposta harmônica no tempo de um semiespaço elástico em camadas transversalmente isotrópico submetido a uma carga axissimétrica em sua superfície. Na seção seguinte será apresentada uma breve revisão bibliográfica dos trabalhos relevantes na solução de integrais envolvendo funções de Green.

1.1 Revisão Bibliográfica

A integração numérica de funções singulares é uma tarefa de rotina dentro do método dos elementos de contorno. A maioria das funções de Green exigidas como soluções fundamentais na formulação do método de elemento de contorno possui algum tipo de singularidade a ser integrada. Na tentativa de lidar com esses problemas, alguns trabalhos recorrem às estratégias de integração como a adaptação de métodos numéricos específicos, substituição da solução fundamental por uma não singular, dentre outras (Dumont, 1994).

Uma sofisticada ferramenta matemática para avaliar determinadas classes de problemas da elastodinâmica, o método de Cagniard-De Hoop (Cagniard, 1939; De Hoop, 1960), mostrou-se capaz de produzir expressões de forma fechada para problemas de resposta a impulso em meios em camadas discretos e contínuos (Štumpf e De Hoop, 2013). O método foi originalmente introduzido por Cagniard (1939) e consiste em mapear a integral de inversão para a integral em outro plano complexo. De Hoop (1960) modificou esse método para usar o mesmo plano complexo sem mapeamento (Štumpf e De Hoop, 2013). A ideia essencial do método de Cagniard-De Hoop é converter a primeira integral de inversão para a integral de definição da segunda integral transformada (Watanabe, 2014).

Em discretizações por elementos de contorno é típico que as funções de Green de carga pontual para um semiespaço elástico ou viscoelástico exibam um comportamento singular à medida que o ponto de observação se aproxima da fonte. Esses tipos de singularidades que ocorrem devido à utilização de soluções fundamentais na representação da geometria e das

variáveis de um modelo na formulação do método dos elementos de contorno são investigadas em Dumont (1994), Noronha (1998), Dumont (2017) e Dumont (2018).

Para as infinitas singularidades induzidas no integrando por diferentes modos de ondas podendo corresponder a onda de corpo, propagação, reflexão e interface para um dado meio em estudo, a primeira estratégia para lidar com esses integrantes singulares é incorporar um pequeno amortecimento às constantes elásticas do material, de forma a suavizar as singularidades. Esta incorporação pode ser feita de acordo com o Princípio de Correspondência Elástico-Viscoelástico de Christensen (Christensen, 1982). Diferentes modelos de amortecimento podem ser incorporados (Gaul, 1999). Já a integração de singularidades em problemas nos quais se deseja a solução para o meio perfeitamente elástico não admite este tipo de estratégia. Quadraturas padrão, como as regras de Gauss ou Simpson, não são mais eficientes, uma vez que um grande número de pontos de integração é necessário para alcançar a precisão necessária (Luo et al., 1998). As quadraturas adaptativas são melhorias na ideia de quadraturas regulares, pois usam algum algoritmo para a colocação adequada dos nós de quadratura para integrandos específicos. Lachat e Watson (1976) desenvolveram um método de subdivisão de elementos adaptativos usando um estimador de erros para a integração numérica. Guiggiani e Casalini (1987) introduziram uma técnica que consiste na adição e subtração de termos integrantes para transformar a integral singular em uma regular, que pode ser avaliada através de uma quadratura numérica.

Diversas rotinas de quadraturas adaptativas foram criadas, revisadas e especificadas com base na sua eficiência de aplicação. Algumas dessas rotinas estão reunidas no pacote de integra-ção numérica QUADPACK (Piessens et al., 1983) tornando a sua utilizaintegra-ção mais conveniente em diversos trabalhos. Essa abordagem foi usada na solução de funções de Green para meios transversalmente isotrópicos apresentada por Barros (2006), onde o integrando anteriormente singular foi dividido em várias regiões menores que começam e terminam nos pontos de singu-laridades. Cada uma dessas regiões sendo integradas com precisão por quadraturas guassianas adaptativas. Barros (2006) investigou a precisão de quadraturas capazes de lidar com integrandos com limites singulares.

Rahimian et al. (2007), Khojasteh et al. (2011) e Khojasteh et al. (2013) adotam a abor-dagem de quadatura adaptativa com o procedimento de localizar os pontos de singularidades no caminho de integração, na sequência deformá-los em um semi-círculo e avaliar com ajuda do método dos resíduos (Churchill e Brown, 2009) na solução das funções de Green. A dificul-dade dessa abordagem é determinar os pontos onde as singularidificul-dades se encontram. Para um sistema em camadas arbitrário, é inviável determinar todas as singularidades no caminho de integração, uma vez que esses pontos variam em posição e quantidade de acordo com quase

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todos os parâmetros do sistema.

A estratégia de substituição do integrando singular inclui a deformação do caminho de integração do domínio real para o plano complexo. Essa abordagem evita a necessidade de tratamentos das singularidades presentes no integrando, incluindo pontos de ramificação e pólos (Michalski, 1998). Trabalhos como o de Guzina e Pak (2001), Chatterjee et al. (2013), Chatterjee et al.(2016) e Michalski e Mosig (2016) trazem soluções de problemas físicos envolvendo a integração das funções de Green que usam a abordagem de deformação do caminho de integração para lidar com a parte singular. Durbhakula et al. (2017) apresentam uma comparação com ênfase na convergência de alguns caminhos de deformação na avaliação da parte singular das funções de Green e sugerem o modelo que mantenha a melhor convergência em função da variação dos parâmetros materiais.

A natureza de decaimento oscilatório presente na integração das funções de Green, e o fato de as integrais serem impróprias com respeito ao limite superior de integração, dificultam a avaliação precisa com métodos que requerem um truncamento do intervalo de integração, como as quadraturas Gaussianas. A estratégia mais simples é a utilização de quadraturas adaptativas, interrompendo a integração quando a função a ser integrada atingir um valor suficientemente pequeno (em valor absoluto). Este método, no entanto, torna-se ineficiente se a função for lentamente convergente (Barros, 1996). Como uma fração significativa do esforço computacional geral é tipicamente gasto nesse tipo de integrando, é essencial que essa integração seja feita da maneira mais eficiente possível.

Uma das estratégias para este tipo de integração é o método de extrapolação de séries (Longman, 1956; Blakemore et al., 1976; Lucas, 1995). A ideia central dessas técnicas foi originalmente apresentada por Longman (1956), no qual se baseia na transformação de séries alternadas lentamente convergentes de Euler, e pode ser aplicado a funções cuja integral entre duas de suas raízes consecutivas se alternem em sinal e diminuam em amplitude até o infinito. Essa abordagem parece mais eficiente porque torna-se menos dispendioso calcular as integrais em intervalos menores do que manter o limite inferior de integração fixo e aumentar a duração do intervalo de integração até atingir o critério de parada como acontece na metodologia das quadraturas adaptativas (Sauter, 2000).

Muitas variações de técnicas de extrapolação foram propostas após a abordagem de Longman. A partir dessas, destaca-se o algoritmo 𝜖 (Wynn, 1956) que é uma implementação recursiva eficiente da Transformada de Shanks (Shanks, 1955). Outras técnicas de extrapolação foram apresentadas e comparadas em diversos trabalhos (Blakemore et al., 1976; Lucas e Stone,

1995; Michalski, 1998; Michalski e Mosig, 2016), que são equivalentes aos métodos abordados anteriormente ou que não foram exploradas exaustivamente na classe de problema exposto. Pode-se destacar dentre elas: a Transformação de Aitken Interativa (Alaylioglu et al., 1973), que Pode-se resume apenas à transformação de Shanks de primeira ordem. O método de médias ponderadas, que é uma versão aprimorada da transformação de Euler (Mosig et al., 1989). A Transformação generalizada de Levin (Levin, 1973), que em casos gerais é calculada mais eficientemente pela Transformada de Sidi (Sidi, 1982), conhecida como Transformada W. Também foi apresentada por Sidi (Sidi, 1988) uma versão modificada posteriormente denominada de Transformação mW (Hasegawa e Sidi, 1996).

Uma comparação com ênfase nos intervalos de partição da série entre Transformação de Euler, algoritmo 𝜖 e a transformação mW foi mostrada por Lucas (1995). Michalski (1998) apresentou uma revisão dos métodos de extrapolação conhecidos, com ênfase particular na extrapolação de integrais envolvendo funções de Bessel. Em seu trabalho, mostrou que o desem-penho desses métodos de extrapolação depende fortemente do argumento de Bessel e também da escolha dos pontos de partição do subintervalo de integração.

Diversas abordagens de partição de intervalo foram sugeridas para os casos típicos de integrandos oscilatórios monotônicos, em particular as funções de Bessel (Longman, 1956; Sidi, 1982; Lyness, 1985; Lucas, 1995; Michalski, 1998). Mais comumente os pontos de partição são

definidos como os zeros consecutivos do integrando (Partição de Longman), embora não exista uma razão estrita para isso (Sauter, 2000). Uma vez que não há expressão analítica para os zeros da função de Bessel, aproximações foram propostas, como os zeros assintóticos ou extremos (partição de Lyness) ou apenas o semi-período assimptótico (Partição de Sidi) da função de Bessel. Contudo, a escolha dos pontos de partição é arbitrária desde que a abordagem considere os erros e critérios envolvidos no método de extrapolação escolhido (Sauter, 2000).

Na elastodinâmica, o método de Longman já foi usado com sucesso na determinação numérica de funções de Green (Barros, 1996; Adolph, 2006). Barros (1996), ao avaliar essas funções para meios transversalmente isotrópicos, utilizou o algoritmo 𝜖 para o tratamento do limite superior de integração em conjunto com o método de Clenshaw-Curtis (Clenshaw e Curtis, 1960), que torna o processo de integração praticamente insensível aos integrandos fortemente

oscilantes. Guzina e Pak (2001) apresentaram uma solução com a abordagem da deformação do caminho de integração pelo plano complexo. Adolph (2006) avaliou as funções de Green com auxílio da transformada de Radon, para a integração dessas funções usou o método de Longman na região oscilatória. Em Rahimian et al. (2007), o limite superior na integração é determinado adaptativamente até que o critério de erro selecionado seja satisfeito.

24

Cavalcante et al. (2017) apresentaram o algoritmo de continuação–método de Longamn (CALM), uma extensão para a abordagem de Longman na integração de funções com ou sem períodos constantes de oscilação com a ajuda da homotopia, método de continuação apresentado por Rahimian et al. (2011) para determinar os intervalos de integração. O método foi usado para integrar a região oscilatória da função de Green para a resposta vertical de deslocamento harmônico no tempo de um semiespaço elástico transversalmente isotrópico com uma carga de disco axissimétrica em sua superfície. Entretanto, não é capaz de lidar com casos envolvendo um número arbitrário de frequências oscilatórias (Cavalcante et al., 2017).

Para contornar essa condição, Michalski e Mosig (2016) lidaram com múltiplas frequências oscilatórias para o caso específico de produto da função de Bessel, e recorreram ao método de decomposição proposto por Lucas (1995). Porém, essa abordagem exige que a expressão geradora do integrando seja conhecida. Esta informação não está disponível em muitos problemas práticos, nos quais os integrandos resultam da solução de um sistema linear (Labaki et al., 2014; Cavalcante e Labaki, 2019b). Devido à presença de múltiplas frequências oscilatórias, uma dificuldade notória na avaliação desse tipo de integral é a definição de uma partição que produza termos de série apropriados para posterior extrapolação.

Um estudo mais recente de Cavalcante e Labaki (2019b) propôs o uso de transformadas rápidas de Fourier (FFT) para decompor os períodos de oscilação de integrandos com um número arbitrário de frequências oscilatórias, a fim de extrair uma frequência que caracteriza a periodicidade do sinal para criar uma sequência parcial com base na partição de Sidi a ser extrapolada de acordo com algoritmo 𝜖.

1.2 Objetivos e organização do trabalho

Este trabalho tem por objetivo selecionar métodos numéricos eficazes para avaliar integrais impróprias com respeito ao limite superior de integração, contendo um número infinito de singu-laridades e um comportamento de decaimento oscilatório, que são frequentemente encontradas em problemas descritos na forma das funções de Green e que são tipicamente resolvidos com a abordagens de integrais transformadas.

Para lidar com as características singulares e decaimento oscilatório dessas funções inicial-mente são apresentados e discutidos métodos numéricos apropriados. Em seguida esses métodos são validados com casos representativos de integração que possuem solução analítica ou de referência através do erro relativo. Dessa forma, apresenta-se aqui uma estratégia de integração

numérica capaz de obter resultados com precisão. Esta estratégia é então empregada na integração das funções de Green, para casos de resposta harmônica no tempo de um semiespaço elástico em camadas transversalmente isotrópico submetido a uma carga axissimétrica em sua superfície.

No capítulo 2 são apresentadas abordagens para lidar com integração numérica de funções singulares, bem como soluções de exemplos representativos comparando com a solução exata quando disponível, ou quadraturas adaptativas, quando não houver.

No capítulo 3 são apresentados métodos de extrapolação de séries com ênfase nos crité-rios de partição dos intervalos de integração para produzir uma sequência parcial passiva de extrapolação. Esses métodos são aplicados na integração de funções que possuem soluções conhecidas.

No capítulo 4 a formulação das funções de Green para descrever um caso da resposta harmônica no tempo de um semiespaço em camadas transversalmente isotrópico submetido a uma carga axissimétrica em sua superfície será apresentada. É avaliada e discutida a metodologia empregada na solução das integrações numéricas para um caso elástico. Os resultados são comparados com os obtidos para um caso viscoelástico.

26

2

Integração de Funções Singulares

Nesse capítulo serão apresentadas abordagens usadas na integração de funções singulares considerando características relevantes no problema físico de estudo.

2.1 Localização de Singularidades

Em diversas soluções de problemas físicos é importante conhecer a localização das singu-laridades de uma função, uma vez que podem representar algum fenômeno físico de interesse ou simplesmente ser um pré-requisito para aplicação de métodos numéricos de integração.

Provar a ocorrência de singularidades em funções simples pode não ser uma tarefa trivial, em funções mais complexas pode-se tornar um grande desafio matemático. A principal aborda-gem é a manipulação matemática direta das funções, obtendo a localização das singularidades analiticamente. Outra abordagem consiste em métodos numéricos de detecção de singularidades. Rizzardi (2018) apresenta um método de detecção de singularidades de uma função complexa por aproximações numéricas de seus coeficientes de Laurent. Para funções singulares gerais, puramente abstratas, este método mostrou-se eficiente.

2.1.1 Correlação Entre Ondas Físicas e Singularidades

A função de Green que descreve um semiespaço homogêneo é caracterizada por três ondas propagantes elásticas: compressão e cisalhamento, cujos números de onda são respectivamente (Barros, 1996)

𝑘𝑃 = ±

√︀

1/𝛽 (2.1)

𝑘𝑆 = ±1 (2.2)

e onda de Rayleigh, o número de onda das quais são 𝑘𝑅 = 𝑘, tais que

[2(1 − 𝜅)𝑘2− 𝛾𝑘2 _{+ 𝛼](1 − 𝑘}2_{) − 𝛼𝜉}

1𝜉2 = 0 (2.3)

Vasconcelos et al. (2017) mostraram que as três singularidades observadas na função de Green que descreve um semiespaço homogêneo correspondem a cada um desses números de

onda física: 𝜁𝑅= 𝑘𝑅, 𝜁𝑃 = 𝑘𝑃 e 𝜁𝑆 = 𝑘𝑆.

Para um meio multicamada, observa-se que camadas finitas dentro do sistema possuem ainda números de onda associados às ondas de pressão, cisalhamento e uma singularidade adicional que é expressa por

𝑘𝐼 =

√

−1 + 𝛼 + 𝜅

√︀−1 + 𝛼𝛽 + 2𝜅 − 𝜅2. (2.4)

Os parâmetros envolvidos nas Eqs. (2.1) a (2.4) são em função das constantes elásticas normalizadas do material e são mostrados no apêndice A.1.

Nota-se que só é possível fazer tal afirmação sobre a correlação física das singularidades para integrais com algum significado físico, tal como demonstrado. Para integrais singulares gerais, puramente abstratas, é necessário recorrer a métodos numéricos para localizar as singula-ridades (por exemplo, Rizzardi (2018)).

2.2 Quadraturas Adaptativas

Em uma quadratura adaptativa, o tamanho dos subintervalos não são constantes no intervalo de integração; esses subintervalos se adaptam à função a ser integrada. Essa característica permite que a largura do subintervalo varie automaticamente ao longo do intervalo de integração, usando um algoritmo recursivo. O ponto importante desse esquema é que o subintervalo precisa ser pequeno apenas onde o integrando possui alguma irregularidade.

Barros (2006) investigou a precisão de quadraturas capazes de lidar com limites singulares. A abordagem de avaliar funções singulares com quadraturas adaptativas consiste em dividir o integrando em várias regiões menores que começam e terminam nos pontos de singularidades, em que cada uma dessas regiões podem ser integradas com precisão com o devido tratamento. Diversas rotinas de quadraturas adaptativas foram criadas, revisadas e especificadas com base na sua eficiência de aplicação. Algumas dessas rotinas estão reunidas no pacote de integração numérica QUADPACK (Piessens et al., 1983).

28

2.3 Método de Integração Residual

No método de integração residual, a integral curvilínea de uma função ao longo de uma curva fechada (𝐶′), que envolve um número finito de pontos singulares isolados (𝑧_𝑘′), pode ser obtida somando os resíduos da função nestes pontos singulares e multiplicando por 2𝜋i (Churchill e Brown, 2009), em que i=√−1,

∫︁ 𝐶′ 𝑓 (𝑧′)𝑑𝑧′ = 2𝜋i 𝑛 ∑︁ 𝑘=0 Res𝑓 (𝑧_𝑘′), (2.5)

onde a integral é calculada no sentido positivo ao longo de 𝐶′ (Fig. 2.1).

x

y

Figura 2.1: Representação da curva 𝐶 com pontos interiores singulares.

O resíduo de 𝑓 no ponto 𝑧_𝑘′ (Res 𝑓 (𝑧_𝑘′)) é definido como o coeficiente do termo (𝑧′− 𝑧′ 𝑘)

−1

na vizinhança analítica da função 𝑓 representada pela Série de Laurent (Eq. (2.6)), exceto no próprio ponto singular isolado 𝑧_𝑘′. Consequentemente, existe um número positivo 𝑅2 tal que 𝑓 é

analítica em cada ponto de 𝑧′ para o qual 0 < |𝑧′ − 𝑧′

𝑘| < 𝑅2 (𝑘 = 0,1,2,...). 𝑓 (𝑧) = ∞ ∑︁ 𝑛=0 𝑎𝑛(𝑧′− 𝑧𝑘′)𝑛+ 𝑏1 𝑧′_{− 𝑧}′ 𝑘 + 𝑏2 (𝑧′_{− 𝑧}′ 𝑘)2 + ..., (2.6)

onde os coeficientes são dados por

𝑎𝑛= 1 2𝜋i ∫︁ 𝐶′ 𝑓 (𝑧′)𝑑𝑧′ (𝑧′_{− 𝑧}′ 𝑘)𝑛+1 (𝑛 = 0,1,2,...) (2.7) e 𝑏𝑛 = 1 2𝜋i ∫︁ 𝐶′ 𝑓 (𝑧′)𝑑𝑧′ (𝑧′ _{− 𝑧}′ 𝑘)−𝑛+1 (𝑛 = 0,1,2,...) (2.8) onde 𝐶′ é um contorno fechado contido em 0 < |𝑧′ − 𝑧′

𝑘| < 𝑅2, envolvendo 𝑧𝑘′ no sentido

Para a aplicação desse método em funções singulares arbitrárias, uma vez determinada a localização dos pontos singulares, o caminho da integração deve ser deformado por um semi-círculo de raio 𝜖′ em torno dos pontos singulares. Isso implica que a integral sobre o semi-círculo de cada singularidade é igual a −𝜋iRes(𝑧_𝑘′) considerando o sentido horário do contorno (Rahimian et al., 2007; Khojasteh et al., 2011, 2013).

2.3.1 Ilustração do Método Considere a integral ∫︁ 𝐶′ 𝑧′+ 1 𝑧′ _{− 1}𝑑𝑧 ′_, (2.9) onde 𝐶′é o círculo |𝑧′| = 2, percorrido no sentido anti-horário.

O integrando possui uma singularidade em 𝑧′₀ = 1, que está no interior de 𝐶′. Pelo método do resíduo, tem-se ∫︁ 𝐶′ 𝑧′+ 1 𝑧′ _{− 1}𝑑𝑧 ′ = 2𝜋i[Res𝑓 (𝑧′₀)]. (2.10)

Para determinar o resíduo em 𝑧′₀ = 1, 𝑧′+ 1 𝑧′_{− 1} = 2 𝑧′_{− 1}+ 1. (2.11) Logo, Res𝑓 (1) = 2. (2.12) Portanto, ∫︁ 𝐶′ 𝑧′+ 1 𝑧′ _{− 1}𝑑𝑧 ′ = 4𝜋i. (2.13)

2.4 Deformação do Caminho de Integração

A abordagem da deformação do caminho da integração do domínio real para o domínio complexo evita a necessidade de tratamento das singularidades presentes no integrando, incluindo pontos de ramificação e pólos (Michalski, 1998; Durbhakula et al., 2017). Essa abordagem recebeu muita atenção em estudos envolvendo o cálculo das funções de Green em Guzina e Pak

30

(2001), Golubovic et al. (2012), Chatterjee et al. (2013, 2016) e Michalski e Mosig (2016).

A Fig. 2.2 mostra diferentes tipos de contornos para avaliar esse tipo de integração.

Re(ζ)

Im(ζ)

Figura 2.2: Vários contornos usados na deformação do caminho de integração.

O contorno em linha reta (LC) resume-se em avaliar a primeira integral ao longo do intervalo (0,𝑟′), substituindo a variável de integração 𝜁 por i𝜁, deformando, assim, o caminho de integração do domínio real para o plano complexo. Para a segunda integral, a variável de integração 𝜁 é substituída por 𝜁 + i𝑟′, onde a integração é avaliada no intervalo (0,∞) no semi-plano superior.

Para aplicar o contorno semi-elíptico (SE) (Chatterjee et al., 2016; Durbhakula et al., 2017) no semiplano superior, a seguinte transformação pode ser usada:

𝜁 = 𝑎′ − 𝑅𝑒−i𝜃, (2.14) 𝑅 = √︃ 𝑎′2_𝑏′2 (𝑎′_{sin 𝜃)}2_{+ (𝑏}′_{cos 𝜃)}2, (2.15) 𝑑𝜁 𝑑𝜃 = 𝑅

𝑎′2sin 𝜃 + i𝑏′2cos 𝜃

(𝑎′_{sin 𝜃)}2_{+ (𝑏}′_{cos 𝜃)}2. (2.16)

Na transformação expressa nas Eqs. (2.14) a (2.16) e no contorno LC a variável i é definida como i=√−1. A escolha do semi-eixo maior (𝑎′_{) e do semi-eixo menor (𝑏}′_{) da elipse devem ser}

definidos de forma que os pontos de ramificação e pólos de singularidades não estejam presentes no caminho deformado.

A transformação para o contorno semi-circular (SC), pode ser obtida substituindo 𝑏′ = 𝑎′ na Eqs. (2.15) e (2.16). Os contornos SC e SE são calculados no intervalo 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Em ambos os casos a segunda integral é avaliada no intervalo (2𝑎′,∞) do caminho não deformado.

2.4.1 Ilustração do Método

Para a ilustração do método, considere a integral ∫︁ 2𝑎′

0

5

√︀(𝑥2_{− 1}2₎𝑑𝑥. (2.17)

A Tab. 2.1 mostra os resultados numéricos avaliados usando vários tipos de contornos como apresentados na Fig. 2.2. Esses resultados são comparados com quadratura adaptativa de Gauss (QAG) com subdivisão no ponto de singularidade. Utilizou-se do erro relativo para comparação entre as abordagens na solução da Eq. (2.17) no intervalo finito de 0 ≤ 𝑥 ≤ 2.

O contorno reto avalia a função em duas regiões. A primeira integral é avaliada ao longo do intervalo (0,𝑟′), substituindo a variável de integração 𝑥 por i𝑥 em Eq. (2.17), deformando, assim, o caminho de integração para o plano imaginário. Para a segunda, a variável de integração 𝑥 é substituída por 𝑥 + i𝑟′ e avaliada no intervalo (0,2) para 𝑟′ = 0.001.

Para o contorno semi-elíptico, os parâmetros são 𝑎′ = 1 e 𝑏′ = 0.3, e para o contorno semi-circular, 𝑎′ = 𝑏′ = 1. Esses contornos são calculados no intervalo 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 com a transformação para semiplano superior descrita nas Eqs. (2.14) a (2.16).

Tabela 2.1: Avaliação da integral Eq. (2.17) para diferentes contornos. @

@ @

Contorno QAG Erro relativo

LC 6.579790 − 7.856094i 6.584789 − 7.853981i −1.55.10−4

SC 6.584789 − 7.853981i 6.584789 − 7.853981i 0 SE 6.584789 − 7.853981i 6.584789 − 7.853981i 0

32

3

Integração Imprópria de Funções Oscilatórias

Nesse capítulo serão descritas duas técnicas de extrapolação de séries, com ênfase posterior em avaliar os critérios de partição dos intervalos, no intuito de criar um esquema numérico que produza uma sequência parcial passiva de ser extrapolada para os casos envolvendo funções com número arbitrário de frequências oscilatórias. Para os exemplos numéricos abordados considerou-se dois algoritmos de extrapolação: o método de Longman e o algoritmo 𝜖. Para validação dos resultados obtidos utilizou-se do erro relativo na comparação com a solução exata, quando disponível, e a quadratura adaptativa clássica, quando não.

3.1 Métodos de Extrapolação

Os métodos de extrapolação de séries baseiam-se na ideia de que as informações contidas na sequência de somas parciais podem ser extraídas e utilizadas de maneira mais eficiente que o processo convencional de somar um termo após o outro (Michalski, 1998).

3.1.1 Tranformação de Euler e Método de Longman

A transformação clássica de Euler de uma sequência de somas parciais 𝑆 com 𝑁 + 1 termos (𝑆0,...𝑆𝑁 +1) começa com um procedimento simples de cálculo da média (Michalski,

1998), 𝑆_𝑛′ = 𝑆𝑛+ 1 2Δ𝑆𝑛 = 1 2(𝑆𝑛+ 𝑆𝑛+1) (3.1)

que claramente é uma transformação linear. Se 𝑆𝑛(0) = 𝑆𝑛, a Eq. (3.1) produz um esquema

triangular 𝑆_𝑛𝑘+1 = 1 2[𝑆 (𝑘) 𝑛 + 𝑆 (𝑘) 𝑛+1], 𝑛,𝑘 ≥ 0. (3.2)

Se a sequência original inclui 𝑁 + 1 termos, e todos os membros são usados para extrapo-lação, então 𝑆₀𝑁 é a aproximação para o limite da sequência 𝑆 (Sauter, 2000).

O método de Longman (1956) é baseado na transformação de Euler de séries alternantes e lentamente convergentes para aproximar integrais impróprias de funções do tipo:

𝐼 = ∫︁ ∞

𝑎

onde 𝑎 é o limite inferior de integração (uma constante) e 𝑓 (𝑥) é uma função oscilatória em torno de zero, de tal forma que a integral entre duas raízes é menor em valor absoluto (e oposta em sinal) que o valor entre as duas raízes anteriores (Fig. 3.1).

0 5 10 15 20 x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 f(x) x₂ x₁ V₁ x₃ V₂ V₀ x₄ x₆ V₅ x₅ V₄ V₃

Figura 3.1: Curva de 𝑓 (𝑥) com ilustração das raízes e os termos 𝑉𝑛relacionados às áreas.

Para o desenvolvimento do método de Longman, considere a seguinte série

𝑉0− 𝑉1+ 𝑉2− 𝑉3+ 𝑉4− ... (3.4)

onde

𝑉𝑛> 0, 𝑉𝑛+1< 𝑉𝑛, ∀𝑛 ∈ 𝑁, (3.5)

e escrevendo

Δ𝑉𝑛= 𝑉𝑛+1− 𝑉𝑛, Δ𝑟+1𝑉𝑛= Δ𝑟𝑉𝑛+1− Δ𝑟𝑉𝑛. (3.6)

Logo a soma da série infinita pode ser expressa como (Longman, 1956):

∞ ∑︁ 𝑛=0 (−1)𝑛𝑉𝑛= 1 2𝑉0− 1 4Δ𝑉0+ 1 8Δ 2_𝑉 0− ... (3.7)

Onde a série do lado direito pode ser mostrada como convergente sempre que a série original for convergente. O resíduo 𝑅𝑁 desta soma após 𝑁 termos pode ser estimado como

(Bromwich, 1942; Longman, 1956):

|𝑅𝑁| ≤ 2−𝑁|Δ𝑁𝑉0|, (3.8)

onde 𝑅𝑁 é dado por:

𝑅𝑁 = ∞ ∑︁ 𝑛=𝑁 +1 (−1)𝑛 1 2𝑛Δ 𝑛_𝑉 0. (3.9)

34

Os termos 𝑉𝑛mostrados nas equações anteriores estão relacionados às áreas da curva de

𝑓 (𝑥). Além disso, os requisitos sobre o comportamento da função 𝑓 (𝑥) faz com que ela tenha raízes infinitas maiores que 𝑎 ao longo do eixo de integração 𝑥 = 𝑥𝑖, (𝑖 = 1, 2, 3, ...), com

𝑎 ≤ 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3.... Portanto, a integração da Eq. (3.3) pode ser expressa em termos destas

áreas (Mesquita et al., 2009): 𝐼 = ∫︁ ∞ 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫︁ 𝑥1 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫︁ 𝑥2 𝑥1 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫︁ 𝑥3 𝑥2 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ... (3.10)

Pode-se supor que 𝑓 (𝑎) ≤ 0; se 𝑓 (𝑎) = 0 então 𝑥1 = 𝑎. Assim, as integrais entre as raízes

(𝑉𝑛) são alternadamente positivas e negativas e (após a primeira) diminuem em valor absoluto

(Longman, 1956): 𝐼 = ∫︁ ∞ 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫︁ 𝑥1 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − ∫︁ 𝑥2 𝑥1 {−𝑓 (𝑥)𝑑𝑥} + ∫︁ 𝑥3 𝑥2 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ... = ∫︁ 𝑥1 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − (𝑉0− 𝑉1+ 𝑉2− 𝑉3+ ...). (3.11)

Finalmente, de acordo com a transformação expressa pela Eq. (3.7),

𝐼 = ∫︁ ∞ 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫︁ 𝑥1 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 +(︂ 1 2𝑉0 − 1 4Δ𝑉0+ 1 8Δ 2_𝑉 0− ... )︂ . (3.12)

A Eq. (3.12) expressa o método de integração de Longman, que extrapola integrais impró-prias através de uma aproximação em termos de 𝑉𝑛a serem integrados independentemente.

Ilustração do Método

Considere a função 𝑓 (𝑥) = 𝑒−𝜇𝑥cos(𝜛𝑥), com 𝜇 = 0.5 e 𝜛 = 10. A integral imprópria tem como solução exata

∫︁ ∞

0

𝑒−0.5𝑥cos(10𝑥)𝑑𝑥 = 0.004987531172. (3.13)

As raízes de 𝑓 (𝑥) no domínio de integração são definidas quando 𝑓 (𝑥𝑘) = 0, que ocorre

𝑥𝑘 = 1 𝜛 [︂ 𝜋 2 + (𝑘 − 1)𝜋 ]︂ , 𝑘 ∈ 𝑍₊*. (3.14)

Para esse exemplo considerou-se 𝑁 = 7. Assim, 8 raízes 𝑥𝑘(0 ≤ 𝑘 ≤ 7) foram utilizadas.

A Tab. 3.1 relaciona os elementos necessários para a aplicação do método de integração de Longman. Na segunda linha estão as raízes da função oscilatória (𝑥𝑘). Na terceira linha são

mostrados os valores dos volumes integrados 𝑉𝑛. E nas linhas sequenciais as diferenças Δ𝑟+1𝑉𝑛

até a ordem Δ𝑟=5_𝑉

𝑛= Δ6𝑉𝑛de 𝑉𝑛(0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 ).

Tabela 3.1: Cálculo dos volumes de integração.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑥𝑘 0.157079 0.471238 0.785398 1.099557 1.413717 1.727876 2.042035 2.356194 𝑉𝑛= ∫︀𝑥𝑛+1 𝑥𝑛 |𝑓 |𝑑𝑥 0.171027 0.146166 0.124919 0.106760 0.091241 0.077978 0.066643 Δ𝑉𝑛 −0.024861 −0.021247 −0.018159 −0.015519 −0.013263 −0.011335 Δ2_𝑉 𝑛 0.003614 0.003089 0.002640 0.002256 0.001928 Δ3_𝑉 𝑛 −5.25.10−4 −4.49.10−4 −3.84.10−4 −3.28.10−4 Δ4_𝑉 𝑛 7.636.10−5 6.526.10−5 5.578.10−5 Δ5_𝑉 𝑛 −1.110.10−5 −9.487.10−6 Δ6_𝑉 𝑛 1.614.10−6

Através da equação Eq. (3.12), a integral numérica de 𝑓 (𝑥) é dada por: ∫︁ ∞ 0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫︁ 𝑥0 0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 −[︂ 1 2𝑉0 − 1 4Δ𝑉0+ 1 8Δ 2 𝑉0 − 1 16Δ 3 𝑉0+ 1 32Δ 4 𝑉0− 1 64Δ 5 𝑉0+ 1 128Δ 6 𝑉0 ]︂ ∫︁ ∞ 0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 0.097204 −[︂ 1 20.171027 − 1 4(−0.024861) + 1 80.003614 − 1 16(−5.25.10 −4 ) + 1 327.636.10 −5₋ 1 64(−1.110.10 −5 ) + 1 1281.614.10 −6 ]︂ ∫︁ ∞ 0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 0.00498753 ⏟ ⏞ 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠˜𝑎𝑜 2160155. (3.15)

36

3.1.2 Transformação de Shanks e Algoritmo

𝜖

A transformação de Shanks (1955) foi construída para ser exata para o modelo de sequência na forma 𝑆𝑛= 𝑆 + 𝑘−1 ∑︁ 𝑖=0 𝑑𝑖Δ𝑆𝑛+𝑖, 𝑛 ≥ 0, 𝑘 ≥ 1. (3.16)

Consequentemente, o limite S é aproximado pela soma parcial 𝑆𝑛mais uma soma

ponde-rada dos próximos 𝑘 termos da série. Expandido Eq. (3.16) pode-se criar um sistema de equações lineares 𝑘 + 1, onde os coeficientes 𝑑0, 𝑑1, ..., 𝑑𝑘−1são desconhecidos que podem ser resolvidos

para 𝑆. Portanto, denotando-se essa solução por 𝐸𝑘(𝑆𝑛) e usando a regra de Cramer, obtém-se a

representação da transformação de Shanks, que é não linear,

𝐸𝑘(𝑆𝑛) = 𝐷𝑘[𝑆𝑛; Δ𝑆𝑛] 𝐷𝑘[1; Δ𝑆𝑛] (3.17) onde 𝐷𝑘[𝑆𝑛; Δ𝑆𝑛] = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑆𝑛 . . . 𝑆𝑛+𝑘 Δ𝑆𝑛 . . . Δ𝑆𝑛+𝑘 .. . . .. ... Δ𝑆𝑛+𝑘−1 . . . Δ𝑆𝑛+2𝑘−1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 𝐷𝑘[1; Δ𝑆𝑛] = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 . . . 1 Δ𝑆𝑛 . . . Δ𝑆𝑛+𝑘 .. . . .. ... Δ𝑆𝑛+𝑘−1 . . . Δ𝑆𝑛+2𝑘−1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (3.18)

A maneira mais conveniente de calcular a transformação de Shanks é o algoritmo 𝜖 introduzido por Wynn (1956), que é um esquema recursivo dado como,

𝜖1(𝑆𝑛) = 0, 𝜖0(𝑆𝑛) = 𝑆𝑛 (3.19)

𝜖𝑠+1(𝑆𝑛) = 𝜖𝑠−1(𝑆𝑛+1) + [𝜖𝑠(𝑆𝑛+1) − 𝜖𝑠(𝑆𝑛)]−1, 𝑛,𝑠 ≥ 0 (3.20)

Em que 𝜖2𝑠(𝑆𝑛) exibe os resultados transformados 𝜖𝑠(𝑆𝑛) para a sequência. Sabe-se que

este algoritmo é robusto na presença de ruído ou irregularidades nos elementos da sequência, e ainda pode lidar com séries lentamente convergentes e até mesmo alguns casos de séries divergentes (Michalski e Mosig, 2016).

Ilustração do Método

Para a ilustração da aplicação do algoritmo 𝜖 considere a integral definida na Eq. (3.13).

A transformação da integral em uma sequência de somas parciais é obtida pela integral de 𝑓 (𝑥) entre as raízes (𝑉𝑛, Tab. 3.1). Portanto, a integral Eq. (3.13) pode ser reescrita como

∫︁ ∞ 0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫︁ 𝑥1 0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫︁ ∞ 𝑥1 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥. (3.21)

A Tab. 3.2 relaciona os elementos necessários para aplicação do algoritmo 𝜖 na integral imprópria do lado direito da Eq. (3.21). Para esse exemplo considerou-se 𝑛 = 6. Portanto, 7 integrais entre as raízes (𝑉𝑛) foram utilizadas. Na segunda coluna estão os valores de 𝑉𝑛usados

para formar a sequência de somas parciais 𝑆𝑛 apresentadas na terceira coluna. E nas colunas

sequenciais os resultados obtidos através da recursão expressa pela Eq. (3.20).

Tabela 3.2: Extrapolação do valor da integral do lado direito da Eq. (3.21) através do algoritmo 𝜖.

𝑛 𝑉𝑛 𝑆𝑛 𝜖1 𝜖2 𝜖3 𝜖4 𝜖5 𝜖6 0 -0.171027 −0.171027 6.841540 −0.092215 2.401919.1016 _{−0.092215 3.602879.10}16 _−0.092215 1 0.146165 −0.024861 −8.005210 −0.092215 7.205759.1016 _{−0.092215 5.404319.10}16 2 -0.124918 −0.149779 9.366806 −0.092215 3.602879.1016 _−0.092215 3 0.106759 −0.043019 −10.959995 −0.092215 3.602879.1016 4 -0.091240 −0.134260 12.824167 −0.092215 5 0.077977 −0.056282 −15.005414 6 -0.066642 −0.122925

Por fim, o resultado transformado para o presente exemplo corresponde a 𝜖6, o que conduz

à aproximação, ∫︁ ∞ 0 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 0.097203 − 0.092215 ≈ 0.004987531172 ⏟ ⏞ 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠˜𝑎𝑜 070. (3.22)

38

3.2 Partição de Intervalo

Antes da aplicação de qualquer método de extrapolação, é necessário identificar os subinter-valos para gerar a sequência parcial sobre as quais a extrapolação será aplicada. Na extrapolação de integrais envolvendo funções oscilatórias tipicamente os subintervalos de integração são definidos como os zeros da função. Para o caso em que a função oscilatória é trigonométrica, encontrar os zeros é um exercício trivial, como no exemplo usado para ilustrar o método de Longman, uma vez que há expressão analítica para as raízes. Entretanto, encontrar os zeros de uma função de Bessel, por exemplo, não é uma tarefa simples. Nessa seção, algumas abordagens para determinar subintervalos de integração para posterior extrapolação serão apresentadas.

3.2.1 Método de Continuação

A homotopia, 𝐻(𝑥,𝑡), é um método de continuação amplamente utilizado que consiste numa combinação linear de duas funções reais: 𝑓 (𝑥), cujos zeros são procurados; e 𝐺(𝑥), uma função para a qual o zero é conhecido ou prontamente selecionado ou obtido. Ambas as funções devem ser suaves e duplamente diferenciáveis. Assim, define-se:

𝐻(𝑥,𝑡) = 𝑡𝑓 (𝑥) + (1 − 𝑡)𝐺(𝑥) = 0 (3.23) onde 𝑡, o parâmetro de homotopia, permite o rastreamento de um caminho de solução que conecta um ponto inicial arbitrário, 𝑥0_{, em 𝑡 = 0, para todos 𝑥}*

𝑖, que são soluções de 𝑓 (𝑥) = 0. Com

auxílio de um método numérico apropriado, o parâmetro 𝑡 é gradualmente variado de 0 a 1, conduzindo a uma série de soluções para a Eq. (3.23). Sempre que o caminho da homotopia cruzar 𝑡 = 1, uma solução para 𝑓 (𝑥) = 0 é encontrada (Gritton et al., 2001; Rahimian et al., 2011).

A escolha de 𝐺(𝑥) é arbitrária. Segundo Rahimian et al. (2011) as três funções 𝐺(𝑥) mais citadas são: a função de ponto-fixo (PF),

𝐺(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0), (3.24)

a função afim, que adiciona um fator 𝐴* à função PF para melhorar a escala na função de homotopia,

𝐺(𝑥) = 𝐴*(𝑥 − 𝑥0), (3.25)

função de Newton (N),

𝐺(𝑥) = 𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑥0). (3.26)

Rahimian et al. (2011) em seu trabalho apresentam uma nova formulação da função homotopia (Eq. (3.23)), que incorpora uma nova função 𝐺(𝑥). Sua formulação é dada em dois passos. No primeiro passo a função a ser resolvida é multiplicada pela função de ponto fixo para formar uma nova função,

𝐹 (𝑥) = 𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0) (3.27) a Eq. (3.23) torna-se,

𝐻(𝑥,𝑡) = 𝑡𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0) + (1 − 𝑡)𝐺(𝑥) = 𝑡𝐹 (𝑥) + (1 − 𝑡)𝐺(𝑥) = 0. (3.28)

Essa etapa estabelece um único ponto de bifurcação, em 𝑥0 _{a partir do qual podem ser}

encontradas todas as raízes reais. No passo seguinte a função 𝐺(𝑥) é formada pela combinação das funções de ponto-fixo e Newton,

𝐺(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0) + [𝐹 (𝑥) − 𝐹 (𝑥0)] = 0. (3.29)

Esse passo garante um caminho de continuação, consistindo em duas ramificações que se originam do ponto de bifurcação (PB). Seguindo-se as duas ramificações do caminho da homotopia, todas as raízes podem ser determinadas. Substituindo a Eq. (3.29) na Eq. (3.28), e uma vez que a Eq. (3.27) faz com que 𝐹 (𝑥0) seja igual a zero, pode-se obter uma forma simplificada,

𝐻(𝑥,𝑡) = (𝑥 − 𝑥0)[1 + 𝑓 (𝑥) − 𝑡] = 0. (3.30)

A Eq. (3.30) é a equação final para a homotopia proposta por Rahimian et al. (2011).

Ilustração do Método

Considere a função 𝑓 (𝑥) = 𝑒−𝜇𝑥cos(𝜛𝑥), cuja solução de forma fechada para as raízes é dada pela Eq. (3.14). Para localizar as raízes de 𝑓 (𝑥) para o caso em que 𝜇 = 0.5 e 𝜛 = 10 a homotopia mostrada na Eq. (3.30) foi resolvida com auxílio da caixa de ferramentas de continuação e bifurcação CL_MatCont (Govaerts et al., 2011; Rahimian et al., 2011). Os

40

resultados são mostrados na Tab. 3.3 para as cinquenta primeiras raízes da função. Tabela 3.3: Resultado da precisão entre as raízes analíticas e numéricas.

𝑛, 𝑘 𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 1 0.157079632679487 0.157079632679490 −1.69.10−14 2 0.471238898038468 0.471238898038469 −2.00.10−15 5 1.41371669411541 1.41371669411541 2.19.10−15 10 2.98451302091029 2.98451302091030 −4.46.10−15 15 4.55530934770522 4.55530934770520 4.28.10−15 50 15.5508836352782 15.5508836352695 5.60.10−14 3.2.2 Partição de Sidi

Para o caso particular das funções de Bessel pode-se destacar a expansão assintótica para grandes argumentos (Bromwich, 1942; Lucas, 1995),

𝐽𝜎(𝜚𝑥) ≈ √︂ 2 𝜋𝜚𝑥cos (︁ 𝜚𝑥 −𝜎𝜋 2 − 𝜋 4 )︁ , (3.31)

o que implica em os zeros da Eq. (3.31) serem separados por aproximadamente 𝜋. Consequente-mente, a escolha evidente do intervalo de partição são pontos equidistantes,

𝑥𝑛 = 𝑏 + 𝑛𝑞, 𝑛 ≥ 0 (3.32)

onde 𝑞 = 𝜋/𝜚 é o semi-período assimptótico das funções de Bessel, conhecido como partição de Sidi (Sidi, 1982), e 𝑏 denota o primeiro ponto de partição maior que 𝑎. Por simplicidade alguns trabalhos adotam 𝑏 = 𝑎 + 𝑞 ou para casos específicos o valor de 𝑏 é ajustado para coincidir com o primeiro zero da função de Bessel maior que 𝑎 (limite inferior de integração Eq. (3.3)).

3.2.3 Partição de Lyness

Lyness (1985) propôs uma modificação da partição de Longman que consiste em aproximar os pontos de partição da função de Bessel assintoticamente entre seus zeros consecutivos.

Portanto, para a expansão assintótica apresentada na Eq. (3.31) para 𝜚 = 1, duas possibilidades são consideradas, 𝑥𝑖 = 𝜋 (︂ 𝑖 + 𝑘 + 3 4 + 1 2𝜎 )︂ (3.33) e 𝑥𝑖 = 𝜋 (︂ 𝑖 + 𝑘 + 1 4 + 1 2𝜎 )︂ (3.34)

A primeira corresponde assimptoticamente aos zeros de 𝐽𝜎(𝑥), e a segunda, aos extremos.

𝑘 é um inteiro escolhido de forma que 𝑥1 está além do primeiro zero ou a extrema,

respec-tivamente, de 𝐽𝜎(𝑥). O emprego da Eq. (3.34) significa que cada integrando envolve metade

do integrando positivo e metade negativo. Assim a magnitude das integrais dentro de cada partição é provavelmente menor que as integrais correspondentes aos integrantes que são sempre positivos ou negativos (Eq. (3.33)) e, portanto, a oscilação nas somas parciais deve ser menor e, consequentemente, a convergência pode ser melhorada.

3.3 Algoritmo de Continuação–Método de Longman

Cavalcante et al. (2017) apresentaram um esquema que inclui o algoritmo de continuação e o método de Longman (CALM) para integração numérica de integrais impróprias analisadas nesse trabalho. Este método é uma combinação do algoritmo de continuação, homotopia, proposto por Rahimian et al. (2011) para encontrar as raízes do integrando, e o método de Longman para extrapolar o resultado da integral a partir de uma sequência de integrais entre as raízes. O método apresentado foi aplicado com sucesso na integração de funções representativas com ou sem períodos constantes de oscilação.

3.3.1 Esquema do Algoritmo

O esquema CALM apresentado pode ser resumido em três passos:

Passo 1: Encontrar as raízes de 𝑓 (𝑥) usando o algoritmo de continuação (subse-ção 3.2.1);

Passo 2: Integrar 𝑓 (𝑥) entre as raízes encontradas no passo anterior; e,

Passo 3: Extrapolar o valor da integral através do método de Longman (subseção 3.1.1).

42

3.3.2 Ilustração do Método

Para ilustrar a eficiência do método quanto à influência dos parâmetros do CALM, como o número de volumes de integração em relação à severidade com que o integrando oscila e/ou decai, primeiro considere a integral indefinida com período de oscilação constante, cuja solução na forma fechada é dada por

𝐼 = ∫︁ ∞

0

𝑒−𝜇𝑥cos(𝜛𝑥)𝑑𝑥 = 𝜇

𝜇2_{+ 𝜛}2 (3.35)

A Fig. 3.2 mostra a influência do número de volumes de integração na precisão da integra-ção da Eq. (3.35) através do CALM. A Fig. 3.2a considera funções com a mesma severidade de decaimento 𝜇 = 0.5 e diferentes frequências oscilatórias 𝜛. Por outro lado, a Fig. 3.2b considera funções com a mesma frequência oscilatória 𝜛 = 100 e diferentes severidades de decaimento.

7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 Número de Volumes 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 Erro relativo =0.01 =0.1 =1 =10 =100 a) 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 Número de Volumes 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 Erro relativo =10 =5 =1 =0.5 =0.1 b)

Figura 3.2: Precisão do CALM na solução da Eq. (3.35) para a) severidade do decaimento 𝜇 = 0.5 e diferentes valores de 𝜛 e b) frequência oscilatória 𝜛 = 100 e diferentes valores de 𝜇.

Uma análise da Fig. 3.2 mostra que o número de volumes necessários para obter um erro de integração abaixo de um valor desejado depende de quão severamente o integrando oscila e/ou decai. Para este conjunto de dados, a relação entre oscilação/decaimento e número de volumes não é monotônica. No entanto, para um número maior de volumes (𝑁 ≥ 42), um erro de integração abaixo de 10−13pode ser obtido para todas as severidades de oscilação e decaimento.

O desempenho do CALM na integração de funções sem período de oscilação constante é mostrado na Fig. 3.3. As integrais consideradas aqui são mostradas nas Eqs. (3.36) e (3.37), cuja solução analítica é conhecida. Uma particularidade destes integrandos é que, no caso das funções de Bessel, a severidade da oscilação e do decaimento não podem ser controlados independentemente, pois estão amarrados no argumento da função de Bessel. No caso particular

da Eq. (3.36), um argumento de decaimento adicional 𝜇 é incorporado no termo exponencial. 𝐼 = ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝜇𝑥𝐽0(𝜙𝑥)𝑑𝑥 = 1 √︀(𝜇2_{+ 𝜙}2₎ (3.36) 𝐼 = ∫︁ ∞ 0 𝑥(𝑥2+ 1)−3/2𝐽0(𝜚𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒−𝜚 (3.37)

A Fig. 3.3 mostra que o CALM integra as Eqs. (3.36) e (3.37) com erros abaixo de 10−13 para 𝑁 ≥ 42 e 𝑁 ≥ 47, respectivamente. 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 Número de Volumes 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 Erro relativo a) 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 Número de Volumes 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 100 Erro relativo b)

Figura 3.3: Precisão do CALM para diferentes parâmetros do integrando na solução a) Eq. (3.36) e b) Eq. (3.37).

Todos os resultados apresentados anteriormente mostram que o CALM atinge erros de integração abaixo de 10−9com 𝑁 ≥ 27 para todas as integrais consideradas.

3.4 Generalização do Algoritmo

𝜖

A generalização baseada na transformada rápida de Fourier (FFT) do algoritmo 𝜖 apresen-tada por Cavalcante e Labaki (2019b) é uma extensão do conceito de partição dos intervalos usada na extrapolação para os casos de funções com número arbitrário de frequências oscilatórias.

A partir da análise espectral, pode-se revelar uma periodicidade oculta devido a uma frequência dominante que carrega a energia máxima entre todas as frequências presentes no sinal. Uma noção semelhante é a frequência fundamental que é a menor frequência com um pico dentre todas as frequências no espectro do sinal. Para casos com um número arbitrário de frequências (em séries temporais) pode ocorrer de mais de uma frequência caracterizar a periodicidade dos dados de estudo, podendo ser adotado uma frequência média (Telgarsky, 2013).