A seção anterior apresentou o método da rigidez exata para obter a função de Green para cargas axissimétricas. A normalização da variável de integração proposto por Rajapakse e Wang (1993), 𝜁 = 𝜆/𝛿, faz com que as singularidades caiam dentro de uma região fixa independente dos parâmetros constituintes do meio e carregamento. Assim o integrando pode ser dividido em duas regiões distintas. Essas duas regiões são, respectivamente: Região I (0 ≤ 𝜁 ≤ 𝜁′), que é caracterizada pela presença de singularidades, e Região II (𝜁′ ≤ 𝜁 ≤ ∞), em que o integrando oscila e decai em amplitude indefinidamente. O valor de 𝜁′ é selecionado nesse trabalho para garantir que a Região II do integrando esteja livre de singularidades.
4.2.1 Região I
A localização das singularidades, com base nos números de onda físicos do semiespaço em camadas, é ilustrada para um exemplo representativo de uma camada finita de espessura ℎ/𝑠 = 0.5 sobre um semiespaço. As propriedades do material são 𝑐(1)44/𝑐(2)44 = 3.125, 𝜌(1)/𝜌(2) =
1.09086, 𝜈(1)/𝜈(2)= 0.7697, 𝑎
0 = 𝑠𝜔(𝜌(2)/𝑐 (2)
44)(1/2)= 0.3165, em que os índices superiores (1)
e (2) indicam, respectivamente, a camada e o semiespaço.
Há uma correlação entre os números de onda correspondentes a cada camada e as sin- gularidade no caminho de integração da função de Green para os parâmetros considerados nesta análise. As Eqs. (2.1) a (2.4) predizem a ocorrência de singularidades em 𝜁𝑃 = 0.57735,
𝜁𝑆 = 1, 𝜁𝐼 = 0.707107 e 𝜁𝑅 = 1.008 devido aos números de onda correspondentes à camada
superior e em 𝜁𝑃 = 0.27537, 𝜁𝑆 = 1, 𝜁𝐼 = 0.34544 e 𝜁𝑅 = 1.008 devido aos números de onda
correspondentes ao semiespaço. Existem, portanto, seis singularidades diferentes no integrando, em 𝜁* = 0.27537, 𝜁* = 0.34544, 𝜁* = 0.57735, 𝜁* = 0.707107, 𝜁* = 1 e 𝜁* = 1.008.
A Fig. 4.3 mostra as componentes reais e imaginárias do integrando 𝑢*𝑧(𝜁) (Eq. (4.3)) na superfície do semiespaço em camadas, 𝑧/𝑠 = 0, e na interface entre a camada e o semiespaço, 𝑧/𝑠 = 0.5. Nota-se que a coordenada 𝑟 só entra no integrando como um argumento das funções de Bessel, portanto não afeta a localização das singularidades.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 10-8 10-6 10-4 10-2 100 102 104 106 Re(|u *(zz )|) R 1 R 2 S 1 S 2 P 1 I 1 P 2 I 2 z=0.0 z=0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 10-8 10-6 10-4 10-2 100 102 104 106 Re(|u *(zz )|) S 1 S 2 P 1 I 1 P 2 I 2 z=0.0 z=0.5
Figura 4.3: Localização das singularidades para o caso presente.
As linhas verticais tracejadas na Fig. 4.3 mostram onde foram previstas as ocorrências das singularidades. Esta figura é meramente ilustrativa, pois nem todas as singularidades podem ser representadas graficamente. Além disso, como os gráficos logaritmos só podem mostrar o valor absoluto da função, alguns pontos que aparecem como singularidades no gráfico são, de fato, pontos em que a função é zero. A avaliação do integrando em 𝜁* confirma a presença das singularidades nos locais previstos (Cavalcante e Labaki, 2019a).
Observa-se que a ausência de um componente imaginário após 𝜁 = 1 indica que o integrando é puramente real após esse ponto. A partir de 𝜁 > 𝑘𝑅 o integrando é livre de
singularidades, e um aspecto de decaimento oscilatório domina seu comportamento, como tem sido demonstrado e tratado através de métodos de extrapolação (Vasconcelos et al., 2017; Cavalcante e Labaki, 2018, 2019b). A confiança de que as singularidades caem dentro de uma região fixa deve-se à normalização da variável de integração 𝜁 = 𝜆/𝛿 proposta por Rajapakse e Wang (1993).
Além das singularidades que surgem na matriz de rigidez de cada camada e que podem ser associadas aos pontos de ramificação, espera-se a existência de pólos simples correspondentes aos números de onda de Rayleigh, Stoneley e Love. Ao contrário da onda Rayleigh, que sempre terá pólos associados, as ondas Stoneley e Love podem ou não ter pólos associados, dependendo dos parâmetros materiais e configuração do sistema. A discussão completa sobre as condições para a existência de pólos associados às ondas de Stoneley e Love pode ser encontrada em Barnett et al. (1985), Barnett (2000), e Kuznetsov (2006).
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Integração Pelo Caminho Deformado
Para um sistema em camadas arbitrário, é inviável determinar todas as singularidades no caminho de integração, uma vez que esses pontos variam em posição e quantidade de acordo com quase todos os parâmetros do sistema. O caminho de integração pode ser deformado adequadamente na parte superior do semiplano 𝜁-complexo para evitar os pontos de ramificação associados aos números de onda de cisalhamento e compressão de cada camada, e os pólos incluindo números de onda de corpo, Rayleigh, Stoneley e Love.
O pré-requisito para a aplicação bem sucedida da integração pelo caminho deformado em um problema particular com multicamadas é o esboço cuidadoso das singularidades dos integrandos na região relevante do plano complexo. Essa abordagem foi bem definida para essa classe de problemas anteriormente em Guzina e Pak (2001), Golubovic et al. (2012), Chatterjee et al.(2013), Chatterjee et al. (2016) e Michalski e Mosig (2016) e permite uma solução elástica, ou seja, as camadas e o semiespaço inferior não possuem características de amortecimento. Embora a forma do contorno não seja crítica, sua altura é limitada pelo crescimento exponencial da função de Bessel fora do eixo real (Michalski e Mosig, 2016; Durbhakula et al., 2017). Neste trabalho, o caminho modificado de integração selecionado é o contorno semi-elíptico (Fig. 4.4).
Re(ζ) I m(ζ) k0 kP kS kmax kM= 1.5kmax R 2a′ b′ θ GAE Ramifica¸c˜oes P´olos
Figura 4.4: Caminho modificado de integração semi-elíptico.
O semi-eixo maior da elipse é 𝑎′ = 1/2𝑘𝑀. A escolha do semi-eixo menor da elipse é
dado como segue:
𝑏′ = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑘0× min (︂ 1, 𝑘 −1 0 2𝜋𝑓𝑝 )︂ , para 2𝜋𝑓𝑝 > |𝑧𝑛| 𝑘0, para 2𝜋𝑓𝑝 ≤ |𝑧𝑛| (4.11)
onde 𝑘𝑚𝑎𝑥 é adotado como o número de onda de Rayleigh, 𝑘0é a primeira singularidade entre
4.2.2 Região II
Neste estudo de caso, essa região é caracterizada pela presença de um comportamento oscilatórios irregular devido os integrandos das funções de Green envolverem multiplicações de funções de Bessel (número arbitrário de frequências oscilatórias) que surge da solução do sistema linear (Eq. (4.4)). Esse sistema linear contém funções de Bessel nas variáveis definidas no apêndice A.1 e na carga descrita no domínio transformado de Hankel na Eq. (4.5) e concomitante com fontes de amortecimento expressos por termos exponenciais nas Eqs. (4.7) a (4.10) que requer abordagens adequadas para que a integração numérica seja feita da maneira mais eficiente e precisa possível.
Generalização do Algoritmo
𝜖
Nesse tipo de integração existe um número arbitrário de frequências oscilatórias. Portanto, o integrando será avaliado com o uso da FFT para decompor os períodos de oscilação e extrair uma frequência que caracteriza a periodicidade do sinal, para a partir dessa frequência criar uma sequência parcial com base na partição de Sidi a ser extrapolada com auxílio do algoritmo 𝜖 (Fig. 4.4) de acordo com o esquema numérico proposto por Cavalcante e Labaki (2019b).