Existência e bifurcações de soluções periódicas da equação de Wright.

Texto

(1)Sum´ ario. Introdu¸c˜ ao. 1. 1 Preliminares. 3. 1.1. Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. Fatos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2.1. Alguns resultados da teoria básica das equa¸cões diferenciais com retardamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2 Extens˜ ao das solu¸c˜ oes e alguns fatos sobre equa¸ c˜ oes lineares autˆ onomas 14 2.1. Extensão das solu¸cões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2. Alguns fatos sobre equa¸cões lineares autônomas . . . . . . . . . .. 17. 2.2.1. Semigrupo fortemente cont´ınuo e o gerador infinitesimal .. 18. 2.2.2. Espectro do gerador - Decomposi¸cão de C. 22. . . . . . . . . .. 3 Teorema de ejetividade. 30. 4 Bifurca¸c˜ ao de Hopf e um estudo da Equa¸ c˜ ao de Wright. 34. i.

(2) 4.1. Bifurca¸cão de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.2. Solu¸cões periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4.3. As ra´ızes caracter´ısticas e uma generaliza¸cão do Teorema 4.2 . . .. 47. Bibliografia. 55. ii.

(3) Introdu¸c˜ ao Neste trabalho, fazemos um estudo da equa¸cão escalar com retardamento, conhecida como Equa¸cão de Wright x(t) ˙ = −αx(t − 1)[1 + x(t)],. α > 0.. (1). O Cap´ıtulo 1 é iniciado com um exemplo que introduz as no¸cões básicas de uma equa¸cão diferencial com retardamento e destacamos alguns exemplos. Também neste cap´ıtulo são introduzidos alguns resultados da teoria básica das equa¸cões diferenciais com retardamento. No Cap´ıtulo 2, estudamos algumas propriedades a respeito da extensão das solu¸cões de uma EDFR. Ainda neste cap´ıtulo é feita uma discussão sobre equa¸cões lineares autônomas, que é fundamental para a compreensão do operador solu¸cão, T (t), e a decomposi¸cão do espa¸co C em subespa¸cos invariantes. Um dos nossos objetivos é mostrar que impondo alguma condi¸cão sobre α, a Equa¸cão (1) tem solu¸co˜es periódicas não-nulas. Para tanto precisamos de um teorema geral de ponto-fixo, que é dado no Cap´ıtulo 3. No Cap´ıtulo 4, é feita uma análise da equa¸cão caracter´ıstica, proveniente da parte linear da Equa¸cão (1), que nos dá condi¸cões para concluir que a Equa¸cão (1) tem uma Bifurca¸cão de Hopf em α = π/2. Em seguida verificamos que as hipóteses do mencionado teorema de ponto-fixo estão satisfeitas e conseq¨ uentemente podemos afirmar que para α > π/2 a equa¸cão (1) tem solu¸cões periódicas não-nulas. Provamos que as ra´ızes caracter´ısticas localizam-se em certas faixas horizontais do plano complexo e conseguimos, determinar com exatidão, a quantidade de ra´ızes com parte real positiva. Finalizando o cap´ıtulo provamos a existência de uma seq¨ uência infinita de valores positivos do parâmetro α onde ocorrem Bifurca¸cões de Hopf. 1.

(4) Nossa análise da equa¸cão caracter´ıstica é a mais completa do que a existente na literatura. Além de levar ao valor cr´ıtico α = π/2 mais diretamente, esta análise nos permitiu obter a mencionada seq¨ uência de Bifurca¸cões.. 2.

(5) Cap´ıtulo 1 Preliminares 1.1. Exemplo. Com intuito de nos familializarmos com o tipo de equa¸cões que vamos trabalhar consideremos, num caso muito simples, a seguinte equa¸cão:. x(t) ˙ = f (t, x(t − r)),. ·=. d dt. onde f : [0, ∞) × R −→ R e x : J −→ R , f (t, x) é suposta cont´ınua para t ≥ 0, x ∈ R e r∈ R+ . Neste tipo de equa¸cão não temos uma equa¸cão diferencial ordinária, já que não se trata de uma equa¸cão do tipo x(t) ˙ = g(t, x(t)) em que x(t) ˙ depende de t e do valor da fun¸cão x no instante t. No nosso caso , observamos que x(t) ˙ depende de t e do valor da fun¸cão x no instante (t − r). Este é um exemplo do que chamaremos uma equa¸cão diferencial com retardamento. Neste tipo de equa¸cão para obtermos a solu¸cão x necessitamos não apenas do conhecimento da mesma em um instante t0 , como no caso de uma equa¸caõ diferencial ordinária, mas sim do conhecimento da solu¸cão em um determinado intervalo anterior a t0 . Em outras palavras é necessário conhecer-se um certo “passado” da solu¸cão anterior a t0 . Vamos ver isto no exemplo que estaremos abordando. Pomos o seguinte problema: 3.

(6) Determinar a fun¸cão x(t) definida em [0, ∞) tal que: x(t) ˙ = f (t, x(t − 1)) para t ≥ 1 x(t) = x0 (t) para t ∈ [0, 1] onde x0 (t) é suposta cont´ınua em [0, 1]. Para t ∈ [1, 2], seja a solu¸cão denotada por x1 (t). Logo x1 (t) satisfaz: x˙ 1 (t) = f (t, x1 (t − 1)). Mas t ∈ [1, 2] =⇒ (t − 1) ∈ [0, 1] =⇒ x1 (t − 1) = x0 (t − 1). Logo, temos: x˙ 1 (t) = f (t, x0 (t − 1)) x1 (1) = x0 (1). Integrando, ambos os lados da igualdade temos: Z t Z t x˙ 1 (τ ) dτ = f (τ, x0 (τ − 1)) dτ , 1. t ∈ [1, 2],. 1. donde. t. Z. f (τ, x0 (τ − 1)) dτ. x1 (t) = x1 (1) + 1. Portanto, t. Z. f (τ, x0 (τ − 1)) dτ ,. x1 (t) = x0 (1) +. t ∈ [1, 2].. 1. Para t ∈ [2, 3] denotemos a solu¸cão por x2 (t). Logo: x˙ 2 (t) = f (t, x2 (t − 1)). Mas t ∈ [2, 3] =⇒ (t − 1) ∈ [1, 2] =⇒ x2 (t − 1) = x1 (t − 1) =⇒ x2 (2) = x1 (2). Então temos: Z. t. Z. 2. t. f (τ, x2 (τ − 1) dτ,. x˙ 2 (τ ) dτ = 2. 4. t ∈ [2, 3].

(7) donde. t. Z. f (τ, x1 (τ − 1)) dτ.. x2 (t) = x2 (2) + 2. Z. t. f (τ, x1 (τ − 1)) dτ ,. Logo, x2 (t) = x1 (2) +. t ∈ [2, 3].. 2. Supondo conhecida a solu¸cão em [n − 1, n], que denotaremos por xn−1 (t), determinamos a solu¸cão em [n, n + 1] como segue: x˙ n (t) = f (t, xn−1 (t − 1)) xn (n) = xn−1 (n) ou seja, Z. t. t. Z. f (τ, xn−1 (τ − 1)) dτ,. x˙ n (τ ) dτ = n. t ∈ [n, n + 1]. n. donde, Z. t. f (τ, xn−1 (τ − 1)) dτ.. xn (t) = xn (n) + n. Portanto, Z. t. f (τ, xn−1 (τ − 1)) dτ,. xn (t) = xn−1 (n) +. t ∈ [n, n + 1].. n. Assim, a solu¸cão de nosso problema fica determinada para todo t ≥ 0, onde x(t) = xn (t). Vemos que precisamos ter como dado inicial o conhecimento da solu¸cão no intervalo [0, 1] não bastando conhecer o seu valor no instante t0 = 1, como já observado previamente.. 5.

(8) 1.2. Fatos b´ asicos. Seja h, com 0 ≤ h < ∞, e C = C([−h, 0], Rn ) é o espa¸co de Banach das aplica¸cões cont´ınuas de [−h, 0] no Rn com a norma |ϕ| = sup |ϕ(θ)|. −h≤θ≤0. Aqui, no segundo membro, | · | denota uma norma usual do Rn . Sejam A, 0 < A ≤ ∞ e x : [t0 − h, t0 + A) → Rn , t 7→ x(t) cont´ınua. Seja t , t0 ≤ t < t0 + A. Por defini¸cão xt é o elemento de C, dado por: xt : [−h, 0] → Rn θ 7→ xt (θ) = x(t + θ) A figura 1.1, dá uma idéia geométrica da fun¸cão xt .. Figura 1.1: Fun¸cão xt Lema 1.1. A aplica¸cão Φ : [t0 , t0 + A) −→ C = C([−h, 0], Rn ) dada por t 7→ Φ(t) = xt é cont´ınua. Demonstra¸cão. Dado ε > 0, seja t1 ∈ [t0 , t0 + A). Tomemos A¯ < A tal que ¯ ⊂ [t0 , t0 + A]. ¯ t1 ∈ [t0 , t0 + A) 6.

(9) ¯ −→ Rn é uniformemente cont´ınua, logo existe Temos que x : [t0 − h, t0 + A] δ > 0 tal que ∗. ¯ |y1 − y2 | < δ ∗ =⇒ |x(y1 ) − x(y2 )| < ε/2 ∀y1 , y2 ∈ [t0 − h, t0 + A]. Seja δ = min{δ ∗ , t0 + A¯ − t1 }. ¯ Então pela Assim dado t2 ∈ [t0 , t0 + A) se |t1 − t2 | < δ, t2 ∈ [t0 , t0 + A). ¯ continuidade uniforme de x em [t0 − h, t0 + A] temos que: |Φ(t1 )−Φ(t2 )|=|xt1 −xt2 |= sup |xt1 (θ)−xt2 (θ)|= sup |x(t1 +θ)−x(t2 +θ)| −h≤θ≤0. −h≤θ≤0. ≤ ε/2 < ε Portanto Φ é cont´ınua.. Defini¸c˜ ao 1.1. Seja f : [0, ∞) × C −→ Rn . A equa¸c˜ ao x(t) ˙ = f (t, xt ). (1.1). é chamada uma equa¸cão diferencial com retardamento. Defini¸c˜ ao 1.2. Uma fun¸cão x(t), cont´ınua em [t0 −h, t0 +A), 0 < A ≤ ∞, t0 ≥ 0 ˙ = é dita uma solu¸cão de (1.1) se existir a derivada de x(t) em [t0 , t0 + A) e x(t) f (t, xt ) para t0 ≤ t < t0 + A. Observa¸c˜ ao 1.1. Não é exigido de x(t), definida em [t0 − h, t0 + A), que seja diferenciável em t0 . No instante t0 consideramos apenas a derivada ` a direita. Nota-se que, quando h = 0, uma equa¸c˜ ao diferencial com retardamento se reduz a uma equa¸cão diferencial ordin´ aria. Apresentamos a seguir alguns exemplos de equa¸cões com retardamento. (i) A equa¸cão x(t) ˙ = g(t, x(t − r)) discutida no in´ıcio, é uma equa¸cão com retardamento vista da seguinte forma: x(t) ˙ = f (t, xt ) onde f (t, ϕ) = g(t, ϕ(−r)), com ϕ ∈ C([−r, 0], R). 7.

(10) Pois f (t, xt ) = g(t, xt (−r)) = g(t, x(t − r)). (ii) Mais geralmente, a equa¸cão: x(t) ˙ = g(t, x(t), x(t − h1 (t)), . . . , x(t − hm (t))) 0 ≤ hj (t) ≤ h < ∞, j = 1, 2, . . . , m, é uma equa¸cão com retardamento vista como segue: x(t) ˙ = f (t, xt ) onde f (t, ϕ) = g(t, ϕ(0), ϕ(−h1 (t)), . . . , ϕ(−hm (t))), com ϕ ∈ C([−h, 0], Rn ). (iii) Z. 0. x(t) ˙ =. g(t, θ, x(t + θ)) dθ −h. também pode ser escrita como x(t) ˙ = f (t, xt ) Z. 0. onde f (t, ϕ) =. g(t, θ, ϕ(θ)) dθ,. ϕ ∈ C([−h, 0], R).. −h. Vamos estudar o problema da determina¸cão de solu¸cão com condi¸cão inicial, da equa¸cão x(t) ˙ = f (t, xt ). (1.1) onde f (t, ϕ) está definida em [0, ∞) × C com valores em Rn . Sejam t0 ≥ 0 e ψ ∈ C. A fun¸cão x(t), cont´ınua em [t0 − h, t0 + A), A > 0, diferenciável em [t0 , t0 + A) é dita uma solu¸cão de (1.1) com fun¸cão inicial ψ em t0 se: (i) xt0 = ψ (ii) x(t) ˙ = f (t, xt ) para t0 ≤ t < t0 + A Defini¸c˜ ao 1.3. Dizemos que f (t, ϕ) satisfaz a condi¸c˜ ao de Lipschitz ou é lipschitziana relativamente a ϕ em C, se existir L tal que: |f (t, ϕ2 ) − f (t, ϕ1 )| ≤ L|ϕ2 − ϕ1 | para 0 ≤ t ≤ ∞ e ϕ1 , ϕ2 em C. 8.

(11) Dado H ∈ R, H > 0, denotamos CH = {ϕ ∈ C = C([−h, 0], Rn )| |ϕ| < H} Defini¸c˜ ao 1.4. Dizemos que f (t, ϕ) é localmente lipschitziana relativamente a ϕ em [0, ∞) × C se, para todo τ e todo H, 0 < τ, H < ∞, existe L = L(τ, H) tal que |f (t, ϕ1 ) − f (t, ϕ2 )| ≤ L|ϕ2 − ϕ1 | para todo t ∈ [0, τ ] e toda ϕ1 , ϕ2 ∈ CH O lema a seguir é uma conseq¨ uência do Teorema Fundamental do Cálculo. Lema 1.2. Se t0 ∈ R, ϕ ∈ C, são dados e f (t, ϕ) é cont´ınua, ent˜ ao encontrar uma solu¸cão da equa¸cão (1.1) por (t0 , ϕ) é equivalente a resolver a equa¸c˜ ao integral:   xt0 = ϕ Z t (1.2) f (s, xs ) ds para t ≥ t0  x(t) = ϕ(0) + t0. Teorema 1.1. (Existência e Unicidade de Solu¸cões) Seja f (t, ϕ) cont´ınua e localmente lipschitziana relativamente a ϕ em [0, ∞) × C. Ent˜ ao, para qualquer t0 ≥ 0, ψ ∈ C existem A > 0 e fun¸c˜ ao x(t) definida em [t0 − h, t0 + A) que é solu¸cão de (1.1) com fun¸cão inicial ψ em t0 . Ainda mais, esta solu¸c˜ ao é u ńica. Demonstra¸cão. Seja F={x ∈ C([t0 − h, t0 + A], Rn ) | |x| ≤ H e x(t0 + θ) = ψ(θ), −h ≤ θ ≤ 0}, onde H > 0 e A > 0 a ser fixado convenientemente. Mostremos inicialmente que F é um espa¸co métrico completo. Seja (xn )n∈IN , xn ∈ F uma seq¨ uência de Cauchy tal que xn −→ x. Devemos mostrar que x ∈ F. Temos que x = lim xn segue da continuidade do módulo que |x| = lim |xn | e, n→∞. como |xn | ≤ H, temos que |x| ≤ H Falta mostrarmos que x(t0 + θ) = ψ(θ). Mas isto é imediato, uma vez que xn (t0 + θ) = ψ(θ), θ ∈ [−h, 0], n ∈ IN. Assim temos que x ∈ F . Portanto F é um espa¸co métrico completo.. 9.

(12) Consideremos a aplica¸cão T : F → C([t0 − h, t0 + A], Rn ) definida por: (T x)(t0 + θ) = ψ(θ) para −h ≤ θ ≤ 0 Z t (T x)(t) = ψ(0) + f (s, xs ) ds para t0 ≤ t ≤ t0 + A t0. Vamos mostrar inicialmente que T , para A conveniente, é uma aplica¸cão de F em F . Z. t. |(T x)(t)| ≤ |ψ(0)| +. Z. t0 +A. |f (s, xs )| ds ≤ |ψ(0)| + t0. |f (s, xs )| ds t0. para t0 ≤ t ≤ t0 + A. Fazendo a restri¸cão A ≤1 e observando que, para t0 ≤ s ≤ t0 + A, |xs | = sup |x(s + θ)| ≤ H, decorre que para t0 ≤ s ≤ t0 + A −h≤θ≤0. |f (s, xs )| ≤ |f (s, xs ) − f (s, 0)| + |f (s, 0)| ≤ L|xs − 0| + K ≤ LH + K, onde K=. sup. |f (s, 0)| e L = L(t0 + 1, H). t0 ≤s≤t0 +1. Z. t0 +A. Então, |(T x)(t)| ≤ |ψ(0)| + [LH + K]. ds = |ψ(0)| + A[LH + K], para t0. t0 ≤ t ≤ t0 + A.. Por outro lado, como |ψ| < H, resulta que existe H1 tal que |ψ| < H1 < H. Logo |(T x)(t)| < H1 + A[HL + K] < H para A suficientemente pequeno. Portanto, com uma tal escolha de A vem que: |T x| ≤ H. Assim, temos que T x ∈ F . Portanto podemos concluir que T é uma aplica¸cão de F em F . Escolhendo agora A não só com a condi¸cão anterior mas também com a exigência A < 1/L, vamos mostrar que T é também uma contra¸cão de F em F .. 10.

(13) Dados x e y em F , temos, (T x)(t0 +θ) = (T y)(t0 +θ) = ψ(θ), para −h ≤ θ ≤ 0, e Z. t. (T x)(t) = ψ(0) +. Z. t. f (s, xs ) ds, e (T y)(t) = ψ(0) + t0. f (s, ys ) ds, t0. para t0 ≤ t ≤ t0 + A Então: |(T x)(t) − (T y)(t)| = 0 , para t0 − h ≤ t ≤ t0 , e Z. t. |(T x)(t) − (T y)(t)| ≤. Z. t0 +A. |f (s, xs ) − f (s, ys )| ds ≤ t0. L|xs − ys | ds, t0. para t0 ≤ t ≤ t0 + A. Como |xs − ys | = sup−h≤θ≤0 |(xs − ys )(θ)| = sup−h≤θ≤0 |x(s + θ) − y(s + θ)|, para t0 ≤ s ≤ t0 + A, temos |xs − ys | ≤ |x − y|. Assim,. Z |(T x)(t) − (T y)(t)| ≤ L|x − y|. t0 +A. ds = AL|x − y|. t0. para t0 − h ≤ t ≤ t0 + A e |T x − T y| ≤ AL|x − y| Logo T é uma contra¸cão, já que AL < 1. Então, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach existe uma e só uma fun¸cão x ∈ F tal que T x = x. Em outras palavras, existe uma e só uma fun¸cão x ∈ F tal que. (T x)(t0 + θ) = x(t0 + θ) = ψ(θ),. 11. −h ≤ θ ≤ 0.

(14) Z. t. (T x)(t) = x(t) = ψ(0) +. f (s, xs ) ds,. t0 ≤ t ≤ t0 + A. t0. O nosso teorema é uma conseq¨ uência imediata deste fato, pois: (i) xt0 (θ) = x(t0 + θ) = ψ(θ), para − h ≤ θ ≤ 0 (ii) x(t) ˙ = f (t, xt ). No caso em que supomos f (t, ϕ) apenas cont´ınua podemos provar a existência, mas não a unicidade, de uma solu¸cão em um intervalo [t0 − h, t0 + A), com A suficientemente pequeno, do problema de valor inicial. A prova, neste caso, pode ser feita como uma aplica¸cão do teorema do ponto fixo de Schauder.. 1.2.1. Alguns resultados da teoria b´ asica das equa¸ c˜ oes diferenciais com retardamento. Defini¸c˜ ao 1.5. A equa¸cão (1.1) é dita linear se f (t, ϕ) = L(t, ϕ) + h(t), onde L(t, ϕ) é linear em ϕ; é dita linear homogênea se h ≡ 0 e linear n˜ ao homogênea se h 6≡ 0. Defini¸c˜ ao 1.6. A equa¸cão (1.1) é dita autˆ onoma se f (t, ϕ) = g(ϕ) onde g n˜ ao depende de t. Defini¸c˜ ao 1.7. Sejam X e Y espa¸cos de Banach e f : A ⊂ X −→ Y . A fun¸c˜ ao f é completamente cont´ınua se é cont´ınua e leva cada subconjunto limitado de A em um subconjunto relativamente compacto de Y . Teorema 1.2. (Teorema do Ponto Fixo de Schauder) Se U é um subconjunto limitado, fechado e convexo de um espa¸co de Banach X e, T : U −→ U é completamente cont´ınua, então T tem um ponto fixo em U . Defini¸c˜ ao 1.8. Suponhamos que f na equa¸c˜ ao (1.1) seja cont´ınua. Se x é uma solu¸c˜ ao da equa¸cão (1.1) sobre um intervalo [t0 − h, a), a > t0 , dizemos que x˜ é uma extensão ou prolongamento de x se existe b > a tal que x˜ est´ a definida em [t0 − h, b) coincide com x em [t0 − h, a) e x˜ satisfaz a equa¸c˜ ao (1.1) em [t0 , b). 12.

(15) Defini¸c˜ ao 1.9. Uma solu¸cão x da equa¸c˜ ao (1.1) é maximal se n˜ ao existe uma extensão de x. Neste caso, seu intervalo de existência [t0 − h, a) é chamado intervalo maximal de existência ` a direita. ´ Teorema 1.3. (Teorema de Ascoli-Arzela) Seja K um espa¸co métrico compacto e E um espa¸co de Banach, consideremos M ⊆ C(K, E). Ent˜ ao M é relativamente compacto (isto é, M é compacto ) se, e somente se, M é equicont´ınuo e M (x) = {f (x)/f ∈ M } é relativamente compacto em E para todo x ∈ K. Teorema 1.4. (Princ´ıpio da Contra¸c˜ ao de Banach) Seja M um espa¸co métrico completo. Se f : M −→ M é uma contra¸c˜ ao ent˜ ao f tem um u ńico ponto fixo. Defini¸c˜ ao 1.10. Sejam X um espa¸co de Banach e A ⊂ X, A convexo. Dizemos que x ∈ A, x é um ponto extremo de A , se para a, b ∈ X a 6= b, x ∈ [a, b] = {λa + (1 − λ)b; λ ∈ (0, 1)} =⇒ [a, b] n˜ ao est´ a contido em. A.. O seguinte teorema corresponde à fórmula de integra¸cão por partes para as integrais de Riemann-Stieltjes. Teorema 1.5. (Integra¸cão Parcial) Seja f : [a, b] −→ Cn×n de varia¸c˜ ao limitada n 1 e seja ϕ : [a, b] −→ C de classe C , ent˜ ao: Z. b. Z. b. df (τ )ϕ(τ ) = f (b)ϕ(b) − f (a)ϕ(a) − a. 0. f (τ )ϕ dτ. a. Lema 1.3. (Gronwall) Se u e α s˜ ao fun¸c˜ oes cont´ınuas reais sobre [a, b] e β ≥ 0 é integrável sobre [a, b] com Z t u(t) ≤ α(t) + β(s)u(s) ds, a ≤ t ≤ b a. ent˜ ao. Z u(t) ≤ α(t) +. t. Z β(s)α(s)[exp. a. t. β(τ ) dτ ] ds,. a ≤ t ≤ b.. s. Se além disso, α é não-decrescente, ent˜ ao: Z t u(t) ≤ α(t) exp( β(s) ds), a ≤ t ≤ b. a. 13.

(16) Cap´ıtulo 2 Extens˜ ao das solu¸ c˜ oes e alguns fatos sobre equa¸ c˜ oes lineares autˆ onomas Daremos algumas propriedades relativamente ao problema de extensão de solu¸cões da equa¸cão (1.1). Para tanto consideremos as seguintes hipóteses:. (i) O segundo membro da equa¸cão (1.1) é uma fun¸cão completamente cont´ınua. (ii) Vale alguma condi¸cão de unicidade relativamente ao problema de fun¸cão inicial, isto é, se x(t) e y(t) são duas solu¸cões definidas em algum intervalo comum [t0 −h, t0 +δ), 0 < δ ≤ ∞ com xt0 = yt0 então x(t) = y(t) para todo t0 ≤ t < t0 +δ.. 2.1. Extens˜ ao das solu¸ c˜ oes. Como conseq¨ uência do Teorema(1.1) segue que (i) e (ii) são satisfeitas no caso em que o segundo membro da equa¸cão é uma fun¸cão cont´ınua, localmente lipschitziana relativamente a ϕ.. Indicamos por x(t, t0 , ϕ) a solu¸cão da equa¸cão (1.1) cuja fun¸cão inicial em t0 14.

(17) é ϕ. Usamos a nota¸cão xt (t0 , ϕ) para indicar o elemento de C dado por: xt (t0 , ϕ)(θ) = x(t + θ, t0 , ϕ),. θ ∈ [−h, 0].. Propriedade 2.1. Se x(t), definida em [t0 − h, t0 + δ), 0 < δ < ∞ é solu¸c˜ ao de (1.1) e se, neste intervalo, |x(t)| ≤ H < ∞, ent˜ ao podemos estender x(t), como solu¸cão de (1.1) a [t0 − h, t0 + δ] e, por conseguinte ` a direita de t0 + δ. A demonstra¸cão segue do Critério de Cauchy tomando-se Z t x(t) = x(t0 ) + f (s, xs ) ds t0. e usando a hipótese (i). Demonstra¸cão. Consideremos qualquer seq¨ uência (tn )n∈IN , t0 ≤ tn , n = 1, 2, . . . , tal que tn −→ t0 + δ. Logo (tn ) é de Cauchy e, como x é cont´ınua, x(tn ) −→ x(t0 + δ). Temos por (i) que f (s, xs ) é limitada, logo ∃L > 0, | |f (s, xs )| ≤ L. Mostremos que x(tn ) é de Cauchy. Se tm > tn temos: Z |x(tm ) − x(tn )| = |. tm. Z. f (s, xs ) ds| =. t0. Z. tn. |. Z. Z. tn. f (s, xs ) ds − tn. Z. t0. tm. f (s, xs ) ds + t0. tn. f (s, xs ) ds −. f (s, xs ) ds| t0. tm. |f (s, xs )| ds ≤ L|tm − tn | −→ 0.. ≤ tn. Logo |x(tm ) − x(tn )| −→ 0 quando m, n −→ ∞. Assim x(tn ) é uma seq¨ uência de Cauchy, portanto x(tn ) −→ x¯. Definamos x(t0 + δ) = x¯. Desta forma temos que x(t) esta definida e é cont´ınua em [t0 − h, t0 + δ]. Falta mostrarmos que x(t) é solu¸cão em [t0 − h, t0 + δ]. 15.

(18) Temos que x(t) é solu¸cão de (1.1) em [t0 − h, t0 + δ), logo Z t x(t) = x(t0 ) + f (s, xs ) ds, t ∈ [t0 − h, t0 + δ). t0. Como x(t) é cont´ınua com rela¸cão a t, temos que: Z t Z x(t) = x(t0 ) + f (s, xs ) ds −→ x(t0 ) + t0. t0 +δ. f (s, xs ) ds. t0. quando t −→ t0 + δ. Como x(t) −→ x¯ quando t −→ t0 + δ, temos que: Z. t0 +δ. x(t0 ) +. def. f (s, xs ) ds = x¯ = x(t0 + δ). t0. Z. t. f (s, xs ) ds, para t ∈ [t0 − h, t0 + δ].. Assim x(t) = x(t0 ) + t0. Portanto x(t) é solu¸cão de (1.1)em [t0 − h, t0 + δ]. A propriedade (2.1) segue agora tomando a fun¸cão inicial ψ = xt0 +δ no instante inicial t0 + δ.. Observa¸c˜ ao 2.1. Necessitamos da hip´ otese (i) para aplicar o Critério de Cauchy porque num espa¸co de Banach de dimens˜ ao infinita, como é o caso de C([−h, 0], Rn ), h > 0, uma bola fechada não é um conjunto compacto e, portanto, n˜ ao podemos garantir que uma fun¸cão cont´ınua, seja limitada em uma bola fechada. Vamos indicar por [t0 − h, t+ ), t0 < t+ ≤ ∞, o máximo intervalo aberto à direita ao qual podemos estender x(t) como solu¸cão. Quando t+ = ∞ dizemos que x(t) é definida no futuro. Se x(t) é definida e limitada em [t0 − h, ∞) dizemos que x(t) é limitada no futuro. Propriedade 2.2. Suponhamos que a condi¸c˜ ao (i) esteja satisfeita e seja x(t) solu¸cão de(1.1) tal que |x(t)| ≤ H < ∞ para t0 − h ≤ t < t+ . Ent˜ ao, t+ = ∞. 16.

(19) Demonstra¸cão. Suponhamos que t+ < ∞, então pela propriedade (2.1), poder´ıamos estender x(t) até t+ como solu¸cão de (1.1), isto é, x(t) é solu¸cão de (1.1) com t ∈ [t0 − h, t+ ]. Contradi¸cão.. Propriedade 2.3. Em geral n˜ ao podemos estender x(t, t0 , ϕ) como solu¸c˜ ao ` a esquerda de [t0 − h, t+ ), isto é, n˜ ao podemos garantir a existência de δ > 0 e de uma fun¸cão x(t) definida em [t0 − δ − h, t+ ), x(t) coincidindo com x(t, t0 , ϕ) em [t0 − h, t+ ) tal que. x(t) ˙ = f (t, xt ),. t0 − δ ≤ t < t+ .. Por exemplo, se tomarmos ϕ ∈ C tal que ϕ(θ) não tenha derivada à esquerda para θ = 0, então, x(t, t0 , ϕ) não admite prolongamento à esquerda qualquer que seja 0 ≤ t0 . Mas um prolongamento à esquerda não é poss´ıvel, em geral, mesmo que ϕ(θ) seja diferenciável. De fato, basta que ϕ seja diferenciável e ϕ(0) ˙ 6= f (0, ϕ). A desigualdade seguinte estabelece a continuidade de x(t, t0 , ϕ) em rela¸cão a ϕ. Para uma prova, veja [2], cap´ıtulo 2, teorema 2. Teorema 2.1. Seja f (t, ϕ) cont´ınua e localmente lipschitziana. Dados t0 ≥ 0 ϕ1 , ϕ2 em C, sejam x(t, t0 , ϕ1 ) e x(t, t0 , ϕ2 ) definidas em um intervalo comum [t0 − h, τ ], t0 ≤ τ < ∞, com |xt (t0 , ϕj )| ≤ H < ∞, t0 ≤ t ≤ τ , j = 1, 2. Ent˜ ao |xt (t0 , ϕ2 ) − xt (t0 , ϕ1 )| ≤ eL(t−t0 ) |ϕ2 − ϕ1 | onde L = L(τ, H).. 2.2. Alguns fatos sobre equa¸ c˜ oes lineares autˆ onomas. Uma equa¸cão diferencial funcional linear retardada autônoma tem a forma:. 17.

(20) x(t) ˙ = Lxt. (2.1). onde L é uma aplica¸cão linear cont´ınua de C em Rn . Esta hipótese implica que existe uma matriz n × n, η(θ) −r ≤ θ ≤ 0, cujos elementos (que são fun¸cões) são de varia¸cão limitada, normalizada a fim de que η seja cont´ınua à esquerda sobre (−r, 0) e η(0) = 0, tal que :. Z. 0. d[η(θ)]ϕ(θ) onde ϕ ∈ C.. Lϕ =. (2.2). −r. O objetivo é o de compreender o comportamento geométrico das solu¸cões das Equa¸cões (2.1) quando elas são interpretadas em C.. 2.2.1. Semigrupo fortemente cont´ınuo e o gerador infinitesimal. Seja B um espa¸co de Banach real. Um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares, que denotaremos C0 -semigrupo, é uma fam´ılia a um parâmetro T (t) : B −→ B, t ≥ 0, de operadores lineares limitados que satisfaz as propriedades: (i) T(0)=I (ii) T (t1 + t2 ) = T (t1 )T (t2 ),. t1 , t2 ≥ 0. (iii)lim |T (t)ϕ − ϕ| = 0, ϕ ∈ B t↓0. A todo C0 -semigrupo T (t) podemos associar um gerador infinitesimal A : D(A) −→ B ϕ 7→ Aϕ definido por:. 18. (2.3).

(21) 1 Aϕ = lim [T (t)ϕ − ϕ], t↓0 t. ϕ ∈ D(A). isto é, para toda ϕ ∈ B para a qual o limite existe na topologia da norma de B. Logo, T (t)ϕ − ϕ }. t↓0 t. D(A) = {ϕ ∈ B | ∃lim. Vale o seguinte lema : Lema 2.1. Se T(t) é um C0 -semigrupo sobre B, ent˜ ao: (i) Para toda ϕ ∈ B, t 7→ T (t)ϕ é uma aplica¸c˜ ao cont´ınua de R+ em B; (ii) A é um operador fechado densamente definido; (iii) Para toda ϕ ∈ D(A), t 7→ T (t)ϕ satisfaz a equa¸c˜ ao diferencial: d T (t)ϕ = AT (t)ϕ = T (t)Aϕ. dt Investigaremos as propriedades abstratas do operador solu¸cão da Equa¸cão(2.1). Seja ϕ em C. Se x(·; ϕ) é a u ńica solu¸cão da equa¸cão (2.1) com fun¸cão inicial ϕ em zero, isto é, x0 = ϕ então o operador solu¸cão T (t) : C −→ C é definido pela rela¸cão: T (t)ϕ = xt (·; ϕ) (2.4) Lema 2.2. O operador solu¸c˜ ao T (t), t ≥ 0, definido pela rela¸c˜ ao (2.4) é um C0 -semigrupo com gerador infinitesimal Z 0  dϕ dϕ   D(A) = {ϕ ∈ C : ∈ C, (0) = d[η(θ)]ϕ(θ)} dθ dθ −r   Aϕ = dϕ . dθ Além disso, T (t) é completamente cont´ınuo para t ≥ r. 19. (2.5).

(22) Demonstra¸cão. Da unicidade das solu¸cões da Equa¸cão (2.1), é óbvio que T (t) é uma transforma¸cão linear que satisfaz as propriedades de semigrupo. Ou seja, T(0)=I e como. T (t1 )T (t2 )ϕ = T (t1 )(T (t2 )ϕ) = xt1 (·; T (t2 )ϕ) = xt1 (·; xt2 (·; ϕ)) = xt1 +t2 (·; ϕ) = = T (t1 + t2 )ϕ temos T (t1 )T (t2 )ϕ = T (t1 + t2 )ϕ, para toda ϕ ∈ C. Desde que L : C −→ Rn é cont´ınua e linear, segue que existe uma constante γ tal que |Lϕ| ≤ γ|ϕ| para toda ϕ ∈ C. Da defini¸cão de T (t) temos, para todo t ≥ 0 fixo e −r ≤ θ ≤ 0,  para t + θ ≤ 0,  ϕ(t + θ), Z t+θ T (t)ϕ(θ) = (2.6)  ϕ(0) + LT (s)ϕ ds, para t + θ > 0. 0. Então como |ϕ(t + θ)| ≤ |ϕ|,. t + θ ≤ 0, e. t+θ. Z |ϕ(0) +. Z. t+θ. LT (s)ϕ ds| ≤ |ϕ(0)| +. |LT (s)ϕ| ds ≤. 0. Z. 0 t+θ. Z. t. |T (s)ϕ| ds,. γ|T (s)ϕ| ds ≤ |ϕ| + γ. ≤ |ϕ| +. t + θ > 0,. 0. 0. segue que: Z −r≤θ≤0. t. |T (s)ϕ| ds.. sup |T (t)ϕ(θ)| ≤ |ϕ| + γ 0. Z Logo |T (t)ϕ| ≤ |ϕ| + γ. t. |T (s)ϕ| ds. 0. A desigualdade de Gronwall (Lema 1.3), implica |T (t)ϕ| ≤ eγt |ϕ|,. t ≥ 0, ϕ ∈ C. (2.7). e portanto, T (t) é limitado. De (2.6) vê-se que T (t) é fortemente cont´ınuo em ϕ = 0. Realmente: 20.

(23) dado ε > 0, ∃δ =. ε > 0 tal que eγt Z. |ϕ − 0| = |ϕ| < δ =⇒ |T (t)ϕ − T (t)0| = |T (t)ϕ| ≤ |ϕ| + γ. t. |T (s)ϕ| ds ≤ 0. Z |ϕ| + γ 0. t.

(24) t 1 γs

(25)

(26) e |ϕ| ds= |ϕ| + γ|ϕ| e

(27) = |ϕ| + |ϕ|(eγt − 1)= γ 0 γs. =|ϕ|eγt < δeγt =. ε γt e =ε eγt. Assim temos que T (t) é fortemente cont´ınuo em zero. Também T (t) é um C0 -semigrupo. Seja R > 0. Se S={ϕ ∈ C : |ϕ| < R}, então para toda ψ em T (t)S, isto é, ψ = T (t)ϕ com ϕ ∈S, t ≥ r, a rela¸cão (2.7) implica. |ψ| = |T (t)ϕ| ≤ eγt |ϕ| < eγt R e a equa¸cão (2.1) implica. ˙ = |Lψ| ≤ γ|ψ| ≤ γeγt R. |ψ| Isto significa que ψ ∈ T (t)S tem derivada uniformemente limitada e portanto T (t)S é equicont´ınuo. ´ Assim pelo teorema de Ascoli-Arzela, temos que T (t)S é relativamente compacto. Portanto T (t) é completamente cont´ınuo para t ≥ r. Para finalizar a prova, calculamos o gerador infinitesimal. Do Lema2.1 e da continuidade forte de T (t) segue que, para toda ϕ em D(A), temos para θ ∈ [−r, 0), Aϕ(θ) = lim+ t↓0. ϕ(t + θ) − ϕ(θ) dϕ dϕ T (t)ϕ(θ) − ϕ(θ) = lim+ = (θ) =⇒ Aϕ = . t↓0 t t dθ dθ. 21.

(28) Logo temos, Aϕ =. dϕ dϕ e D(A) ⊆ {ϕ ∈ C| ∈ C}. dθ dθ. Por outro lado, se ϕ é continuamente diferenciável o limite 1 lim+ [T (t)ϕ(θ) − ϕ(θ)] t↓0 t existe para θ < 0. Para θ=0 encontramos: Z t 1 1 dϕ (0) = lim+ [T (t)ϕ(0) − ϕ(0)] = limt↓0+ [ϕ(0) + LT (s)ϕ ds − ϕ(0)] = t↓0 t dθ 0 Z Z t Z t t 0 1 1 = limt↓0+ [ LT (s)ϕ ds] = limt↓0+ [ LT (s)ϕ ds − LT (s)ϕ ds] = t 0

(29) t 0

(30) Z t Z 00

(31)

(32) [ LT (s)ϕ ds]·

(33)

(34) = LT (t)ϕ

(35)

(36) = LT (0)ϕ = Lϕ = d[η(θ)]ϕ(θ) 0. t=0. −r. t=0. Portanto temos que: dϕ dϕ D(A) = {ϕ ∈ C : ∈ C, (0) = dθ dθ. Z. 0. d[η(θ)]ϕ(θ)}. −r. Assim o Lema está provado.. 2.2.2. Espectro do gerador - Decomposi¸ c˜ ao de C. Nosso objetivo nesta se¸cão é determinar a natureza de σ(T (t)) e σ(A) para o operador solu¸cão surgido na Equa¸cão (2.1). Para introduzirmos o espectro temos que trabalhar com espa¸cos de Banach complexos. Seja BC o espa¸co de Banach real complexificado e seja BC : D(BC ) ⊂ BC −→ BC o operador linear complexificado. Isto significa que existe um espa¸co de Banach real B e um operador B : D(B) ⊂ B −→ B tal que: BC = B ⊕ iB. e. BC (b1 + ib2 ) = Bb1 + iBb2. para b1 , b2 ∈D(B). Em BC , podemos definir o conjugado complexo denotando por b1 + ib2 = b1 − ib2 . 22.

(37) O conjunto resolvente ρ(B) de B é o conjunto de valores no plano complexo para os quais o operador (λI − B) é invert´ıvel onde o inverso é limitado com dom´ınio denso em B. Este inverso será denotado por R(λ, B) = (λI − B)−1 , λ ∈ ρ(B), e chamado resolvente de B. O complemento de ρ(B) no plano complexo é chamado de o espectro de B e denotado por σ(B). O espectro de um operador pode se constituir de três tipos diferentes de pontos, isto é, o espectro residual Rσ(B), o espectro cont´ınuo Cσ(B), e o espectro pontual P σ(B). O espectro residual consiste daqueles λ em σ(B) para os quais R(λ, B) existe, mas D(R(λ, B)) não é denso em B. O espectro cont´ınuo consiste daqueles λ em σ(B) para os quais λI − B tem inverso ilimitado com dom´ınio denso. O espectro pontual consiste daqueles λ em σ(B) para os quais λI − B não tem um inverso. Para λ ∈ P σ(B), o autoespa¸co generalizado de λ, Mλ (B) é o subespa¸co de B ∞ [. N (λI − B)k. k=1. a dimensão de Mλ (B) é chamada multiplicidade algébrica de λ e o menor inteiro k tal que. N ((λI − B)k ) = N ((λI − B)k+1 ) é chamado ascendente de λ. Pontos do espectro pontual de A são chamados autovalores. Pontos isolados do espectro pontual de A com autoespa¸co generalizado de dimensão finita são chamados autovalores do tipo finito ou autovalores normais. Lema 2.3. Se A está definido pela equa¸c˜ ao(2.5), ent˜ ao σ(A) = P σ(A) e λ est´ a em σ(A) se, e somente se, λ satisfaz a equa¸c˜ ao caracter´ıstica:. Z det 4(λ) = 0,. 0. 4(λ) = λI −. eλθ d[η(θ)]. (2.8). −r. Para qualquer λ em σ(A) o autoespa¸co generalizado Mλ (A)é de dimens˜ ao k finita e existe um inteiro k tal que Mλ (A) = N ((λI −A) ) e temos a decomposi¸c˜ ao em soma direta: 23.

(38) C = N ((λI − A)k ) ⊕ R((λI − A)k ) Do Lema2.3, sabemos que λ em σ(A) implica que Mλ é de dimensão finita e Mλ (A) = N ((λI − A)k ) para algum inteiro k. Lema 2.4. O subespa¸co Mλ (A) satisfaz:. AMλ (A) ⊆ Mλ (A) Em outras palavras, Mλ (A) é invariante por A. Demonstra¸cão. Seja ϕ ∈ Mλ (A) = N ((λI − A)k ) logo ((λI − A)k )ϕ = 0. Queremos mostrar que Aϕ ∈ Mλ (A), isto é, (λI − A)k Aϕ = 0. Sabemos que, A(λI − A) = (λI − A)A. Logo temos: (λI − A)k Aϕ = (λI − A)(λI − A) . . . (λI − A)(λI − A)Aϕ= {z } | (k−1)vezes. (λI − A) . . . (λI − A) A(λI − A)ϕ = (λI − A) . . . (λI − A) A(λI − A)2 ϕ= | {z } | {z } (k−1)vezes. (k−2)vezes. =. . . = A(λI − A)k ϕ = A0 = 0 ⇒ (λI − A)k Aϕ = 0 Portanto Aϕ ∈ N ((λI − A)k ) = Mλ (A) Desta forma temos que AMλ (A) ⊆ Mλ (A).. Seja d a dimensão de Mλ (A). Se ϕλ1 , . . . , ϕλd é uma base para Mλ (A), seja Φλ = {ϕλ1 , . . . , ϕλd } 24.

(39) Como AMλ (A) ⊆ Mλ (A),temos: Aϕλ1 = b11 ϕλ1 + b12 ϕλ2 + · · · + b1d ϕλd Aϕλ2 = b21 ϕλ1 + b22 ϕλ2 + · · · + b2d ϕλd .................................. Aϕλd = bd1 ϕλ1 + bd2 ϕλ2 + · · · + bdd ϕλd Logo,     . Aϕλ1 Aϕλ2 .. . Aϕλd. . .     =  . b11 b21 .. . bd1. b12 · · · b22 · · · .. ... . bd2 · · ·. b1d b2d .. ..       ·  . bdd. ϕλ1 ϕλ2 .. . ϕλd.     . Também podemos escrever:.  . Aϕλ1. Aϕλ2. ···. Aϕλd. . =. . ϕλ1. ϕλ2. ···. ϕλd.   · . b11 b12 .. . b1d. b21 · · · b22 · · · .. ... . b2d · · ·. bd1 bd2 .. ..     . bdd. Assim segue do fato de AMλ (A) ⊆ Mλ (A) que existe uma matriz Bλ , d × d, tal que:. AΦλ = Φλ Bλ Lema 2.5. O u ńico autovalor de Bλ é λ. Demonstra¸cão. Para todo d-vetor a (λI − A)k Φλ a = 0, mas (λI − A)k Φλ a = 0 ⇒ (λI − A) . . . (λI − A) Φλ a = 0 {z } | k−vezes. 25.

(40) ⇒ (λI − A) . . . (λI − A)(λΦλ a − AΦλ a) = 0 | {z } (k−1)vezes. ⇒ (λI − A) . . . (λI − A)(Φλ λa − Φλ Bλ a) = 0 ⇒ (λI − A) . . . (λI − A)Φλ (λI − Bλ )a = 0 Seja o d-vetor a ˜ = (λI − Bλ )a, então temos: (λI − A) . . . (λI − A) Φλ a ˜=0 | {z } (k−1)vezes. ⇒ (λI − A) . . . (λI − A)(λΦλ a ˜ − AΦλ a ˜) = 0 | {z } (k−2)vezes. ⇒ (λI − A) . . . (λI − A)(Φλ λ˜ a − Φλ Bλ a ˜) = 0 ⇒ (λI − A) . . . (λI − A)Φλ (λI − Bλ )˜ a=0 ⇒ (λI − A) . . . (λI − A)Φλ (λI − Bλ )2 a = 0 Repetindo este mesmo processo k-vezes, temos que para todo d-vetor a. Φλ (λI − Bλ )k a = 0 Portanto (λI − Bλ )k a = 0, para todo d-vetor a. Mas isto implica que (λI − Bλ )k = 0, isto é (λI − Bλ ) é nilpotente, logo o u ńico autovalor de (λI − Bλ ) é zero, conseq¨ uentemente o u ńico autovalor de Bλ é λ. Assim temos que o u ńico autovalor de Bλ é λ.. Da defini¸cão de A na expressão (2.5), a rela¸cão AΦλ = Φλ Bλ nos dá Φ˙ λ (θ) = Φλ (θ)Bλ ⇒ Φ˙ λ (θ) − Φλ (θ)Bλ = 0 ⇒ Φλ (θ) = ceBλ θ , −r ≤ θ ≤ 0. 26. para.

(41) Mas Φλ (0) = c. Logo. Φλ (θ) = Φλ (0)eBλ θ , −r ≤ θ ≤ 0. Do Lema2.1(iii), também obtemos: d d (T (t)Φλ ) = AT (t)Φλ = T (t)AΦλ ⇒ (T (t)Φλ ) = T (t)Φλ Bλ . dt dt Logo, temos que: T (t)Φλ = ceBλ t ,. t ≥ 0.. Mas T (0)Φλ = c ⇒ Φλ = c. Portanto, T (t)Φλ = Φλ eBλ t ,. t ≥ 0.. Juntamente com a expressão para Φλ , implica que: [T (t)Φλ ](θ) = Φλ (θ)eBλ t = Φλ (0)eBλ θ eBλ t = Φλ (0)eBλ (θ+t) . Portanto, temos que: [T (t)Φλ ](θ) = Φλ (0)eBλ (θ+t) , −r ≤ θ ≤ 0. Esta rela¸cão permite definir T (t) sobre Mλ (A) para todos os valores de t em (−∞, ∞). Portanto, sobre o autoespa¸co generalizado dos autovalores da equa¸cão (2.1), isto é, um elemento de σ(A), a equa¸cão diferencial tem a mesma estrutura que uma equa¸cão diferencial ordinária. Lema 2.6. Para toda ϕ em D(A) temos que R((λI − A)k ) é invariante sob T (t), isto é:. T (t)R((λI − A)k ) ⊆ R((λI − A)k ) Demonstra¸cão. Seja ψ ∈ R((λI−A)k ) ⇒ ψ = (λI−A)k ϕ, onde ϕ ∈ D((λI−A)k ). Temos que T (t)Aϕ = AT (t)ϕ para toda ϕ em D(A). Logo, 27.

(42) T (t)ψ = T (t)(λI − A)k ϕ = T (t) (λI − A)(λI − A) . . . (λI − A) ϕ = | {z } k−vezes. =(λT (t) − T (t)A) (λI − A) . . . (λI − A) ϕ= | {z } (k−1)vezes. =(λT (t) − AT (t))(λI − A) . . . (λI − A)ϕ= =(λI − A)T (t)(λI − A) . . . (λI − A)ϕ= =(λI − A)(λT (t) − AT (t)) . . . (λI − A)ϕ= =(λI − A)2 T (t) . . . (λI − A)ϕ = . . . = (λI − A)k T (t)ϕ. Desta forma, T (t)ψ = (λI − A)k T (t)ϕ, onde T (t)ϕ ∈ D((λI − A)k ). Portanto R((λI − A)k ) é invariante sob T (t).. Teorema 2.2. Suponha Λ um conjunto finito {λ1 , λ2 , . . . , λp } de autovalores da Equa¸cão (2.1 ) e sejam ΦΛ = {Φλ1 , . . . , Φλp } BΛ = diag(Bλ1 , . . . , Bλp ) onde Φλj é uma base do autoespa¸co generalizado de λj e Bλj é a matriz definida por AΦλj = Φλj Bλj , j = 1, 2, 3, . . . , p. Ent˜ ao o u ńico autovalor de Bλj é λj e, para qualquer vetor a de mesma dimens˜ ao que ΦΛ , a solu¸c˜ ao T (t)ΦΛ a com valor inicial ΦΛ a em t = 0 pode ser definida sobre (−∞, ∞) pela rela¸c˜ ao . T (t)ΦΛ a = ΦΛ eBΛ t a ΦΛ (θ) = ΦΛ (0)eBΛ θ para −r ≤ θ ≤ 0. (2.9). Além disso, existe um subespa¸co QΛ de C tal que T (t)QΛ ⊆ QΛ para todo t≥0e C = PΛ ⊕ QΛ onde PΛ = {ϕ ∈ C | ϕ = ΦΛ a, para algum vetor a}. O Teorema acima dá um quadro do comportamento das solu¸cões da Equa¸cão (2.1). De fato, sobre autoespa¸cos generalizados, a Equa¸cão (2.1) comporta-se essencialmente como uma equa¸cão diferencial ordinária e a decomposi¸cão de C 28.

(43) em dois subespa¸cos invariantes sob A e T (t) nos diz que podemos destacar o comportamento sobre os autoespa¸cos.. 29.

(44) Cap´ıtulo 3 Teorema de ejetividade Nosso objetivo aqui, é dar um teorema geral de ponto-fixo que tem sido muito u ´til para obter solu¸cões periódicas de equa¸cões diferenciais funcionais autônomas. Defini¸c˜ ao 3.1. Suponha X um espa¸co de Banach, U um subconjunto de X, e x um ponto dado em U . Dada uma aplica¸c˜ ao A : U \ {x} −→ X, o ponto x ∈ U é um ponto ejetivo de A se existe uma vizinhan¸ca aberta G ⊆ X de x tal que para todo y ∈ G ∩ U , y 6= x existe um inteiro m = m(y) tal que Am y 6∈ G ∩ U . Sejam SM = {x ∈ X : |x| = M } e BM = {x ∈ X : |x| < M } para qualquer M > 0. Então, SM = ∂BM . Para referências dos dois teoremas seguintes que são enunciados sem provas, veja [1] se¸cão11.7. Teorema 3.1. Se K é um subconjunto fechado, limitado, convexo, de dimens˜ ao infinita, de um espa¸co de Banach X, A : K \ {x0 } −→ K é completamente cont´ınua, e x0 ∈ K é um ponto ejetivo de A, ent˜ ao existe um ponto fixo de A em K \ {x0 }. Se K é de dimensão finita e x0 é um ponto extremo de K , ent˜ ao a mesma conclusão se verifica. O Teorema abaixo é atribu´ıdo a R. Nussbaum. Teorema 3.2. Sejam X um espa¸co de Banach, K um subconjunto fechado e convexo de X, A : K\{0} −→ K uma aplica¸c˜ ao completamente cont´ınua, tal que 0 ∈ K é um ponto ejetivo de A. Suponhamos que exista um M > 0 tal que 30.

(45) Ax = λx, implique λ < 1 para todo x ∈ K ∩ SM . Se K tem dimens˜ ao infinita ou 0 é ponto extremo de K, então A tem ponto fixo em K ∩ BM \{0}. Observa¸c˜ ao 3.1. Os Teoremas 3.1 e 3.2 permanecem v´ alidos para aplica¸c˜ oes A que são α-contra¸cões. Esta generaliza¸c˜ ao desempenha um papel importante no estudo de solu¸cões periódicas de equa¸c˜ oes com um per´ıodo menor do que duas vezes o retardo, equa¸cões com infinitos retardos, e equa¸c˜ oes diferenciais funcionais neutras. Na aplica¸cão dos Teoremas 3.1 e 3.2 para equa¸cões diferenciais retardadas, a fun¸cão A é usualmente similar a fun¸cão de retorno de Poincaré em equa¸cões diferenciais ordinárias. De fato, uma vez obtido o conjunto K ⊆ C = C([−r, 0], Rn ) tal que toda solu¸cão x(ϕ), ϕ ∈ K da EDFR(f ), f : C −→ Rn retorna para K em algum tempo τ (ϕ) > 0, isto é, xτ (ϕ) (ϕ) ∈ K se ϕ ∈ K, a aplica¸cão A : K −→ K é então definida por: ϕ 7→ Aϕ = xτ (ϕ) (ϕ). O conjunto K desempenha o papel correspondente ao da seccão transversal de Poincaré no contexto da aplica¸cão de retorno de Poincaré. Se A for completamente cont´ınua e K fechado, convexo e limitado, então existirá uma ϕ ∈ K tal que Aϕ = ϕ e portanto, uma solu¸cão periódica de EDFR(f ), com fun¸cão inicial ϕ. Parece que esta observa¸cão define um procedimento para resolver nosso problema, mas não é bem assim. Nós queremos obter solu¸cões periódicas não-constantes da EDFR(f ) e, se existe uma constante a ∈ Rn tal que a fun¸cão constante a ˜ ∈ C, definida por: a ˜ : [−r, 0] −→ Rn θ 7→ a ˜(θ) = a satisfaz a ˜ ∈ K , f (˜ a) = 0, então a ˜ poderia ser o u ńico ponto fixo de A em K. Neste caso, não ter´ıamos provado nada. Se K não contém tal fun¸cão constante, então o problema de existência de solu¸cões periódicas não-constantes está resolvido. Infelizmente, nas aplica¸cões, a constru¸cão de um tal K é muito dif´ıcil, muitas vezes, esse conjunto contém somente uma solu¸cão constante x0 que é um ponto extremo de K. Os teoremas acima garantem que, se x0 é ejetivo então existe uma solu¸cão periódica não-constante da EDFR(f ). 31.

(46) Da discussão acima, é claro que é necessário um método eficiente para determinar quando uma solu¸cão constante da EDFR(f ) é ejetiva relativamente a algum conjunto K e fun¸cão A definida acima. Um tal resultado será dado agora. Suponhamos que L : C −→ Rn seja linear e cont´ınua, f : C −→ Rn completa0 0 mente cont´ınua junto com a derivada f e f (0) = 0, f (0) = 0. Considere as equa¸cões:. x(t) ˙ = Lxt + f (xt ). (3.1). y(t) ˙ = Lyt. (3.2). Para cada raizLcaracter´ıstica λ da equa¸cão (3.2), existe uma decomposi¸cão de C como C = Pλ Qλ onde Pλ e Qλ são invariantes sobre o operador solu¸cão TL (t) da Equa¸cão (3.2). TL (t)ϕ = yt (ϕ),. ϕ∈C. Sejam os operadores proje¸cão definidos pela decomposi¸cão de C acima, πλ , I − πλ , com a imagem de πλ igual a Pλ . Seja Φλ = (Φ1λ , . . . , Φdλ ) uma base do subespa¸co Pλ e consideremos a aplicação linear ϕ 7→ b, onde b = b(ϕ) é um d-vetor definido por πλ ϕ = Φλ b. Escolhemos para b a norma euclideana. Teorema 3.3. Suponha que as seguintes condi¸c˜ oes est˜ ao satisfeitas: (i) Existe uma raiz caracter´ıstica λ da equa¸c˜ ao (3.2) satisfazendo <(λ) > 0. (ii) Existe um conjunto fechado, convexo K ⊆ C , 0 ∈ K e δ > 0 tal que: v = v(δ) = inf{|πλ ϕ| : ϕ ∈ K, |ϕ| = δ} > 0 (iii) Existe uma fun¸cão completamente cont´ınua τ : K \{0} −→ [α, ∞), α ≥ 0. 32.

(47) tal que a fun¸cão definida por: A : K \ {0} −→ K ϕ 7−→ Aϕ = xτ (ϕ) (ϕ). (3.3). é completamente cont´ınua. Então 0 é um ponto ejetivo de A. A prova deste Teorema 3.3 pode ser encontrada em [1] Teorema 2.3, § 11.1. Ela depende fundamentalmente do Lema seguinte. Seja V : C −→ R, uma aplica¸cão cont´ınua, então podemos enunciar o Lema abaixo, cuja demonstra¸cão é encontrada em [1], Lema 1.3, §10.1. Lema 3.1. Existe uma forma quadr´ atica definida positiva V (ϕ) = bT Bb com a propriedade que, para qualquer p > 0, existe um δ0 > 0 tal que, para qualquer δ, 0 < δ ≤ δ0 , se ϕ satisfaz V (ϕ) ≥ p2 δ 2 e |ϕ| ≤ δ ent˜ ao 1 1 V˙ (ϕ) := lim+ inf [V (xt (·; ϕ)) − V (ϕ)] > V (ϕ) > 0 t↓0 t 2 Estamos agora em condi¸cões de estabelecer uma ferramenta muito u ´til para obter solu¸cões periódicas de uma EDFR, combinando os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3. Teorema 3.4. Suponha K um conjunto fechado, convexo em C, 0 ∈ K, tal que as condi¸cões (i)-(iii) do Teorema3.3 s˜ ao satisfeitas. Se qualquer das condi¸c˜ oes: 0. (iv ) K é limitado e tem dimens˜ ao infinita; 00. (iv ) K é limitado, tem dimens˜ ao finita e 0 é um ponto extremo de K; 000. (iv ) Existe um M > 0 tal que Ax = λx, implique λ < 1 para todo x ∈ K ∩SM est´ a satisfeita, então existe uma solu¸c˜ ao peri´ odica n˜ ao-nula da Equa¸c˜ ao (3.1) com valor inicial em K\{0}.. 33.

(48) Cap´ıtulo 4 Bifurca¸c˜ ao de Hopf e um estudo da Equa¸c˜ ao de Wright Consideraremos neste cap´ıtulo a equa¸cão escalar:. x(t) ˙ = −αx(t − 1)[1 + x(t)],. onde α > 0. (4.1). que foi introduzida nos anos 50, por E. Wright em seus estudos sobre a distribui¸cão dos n´ umeros primos. Desde então muito esfor¸co foi dedicado para este problema e in´ umeras aplica¸cões foram realizadas, especialmente na área das ciências biológicas.. 4.1. Bifurca¸c˜ ao de Hopf. Discutiremos uma das maneiras mais simples em que solu¸cões periódicas nãoconstantes de equa¸cões autônomas podem aparecer - a assim chamada “ Bifurca¸cão de Hopf ”. Mais especificamente, consideremos uma fam´ılia a um parâmetro de EDFR da forma:. x(t) ˙ = F (α, xt ). 34. (4.2).

(49) onde F (α, ϕ) tem primeira e segunda derivadas cont´ınuas em α, ϕ para α ∈ R e ϕ ∈ C onde F (α, 0) = 0 para todo α. Defina L : R × C −→ Rn por:. L(α)ϕ = Fϕ (α, 0)ϕ onde Fϕ (α, 0) é a derivada de F (α, ϕ) com respeito a ϕ em ϕ = 0 Consideremos as seguintes hipóteses: (H1) A EDFR(L(0)) linear tem uma raiz caracter´ıstica simples puramente ¯ 0 satisfaz λj 6= mλ0 imaginária λ0 = iv0 6= 0 e toda raiz caracter´ıstica λj 6= λ0 , λ para qualquer inteiro m. Uma vez que L(α) é continuamente diferenciável em α (veja [1],cap´ıtulo 11, lema10.1), existe α0 > 0 e uma raiz caracter´ıstica simples λ(α) da equa¸cão linear 0 EDFR(L(α)) a qual tem derivada cont´ınua λ (α) em α para |α| < α0 . 0. (H2) <(λ (0)) 6= 0 , onde a linha denota a derivada com rela¸cão a α. O Teorema enunciado a seguir é conhecido como Teorema de Bifurca¸cão de Hopf. Nos referiremos às conclusões deste teorema como uma Bifurca¸cão de Hopf. Teorema 4.1. Suponha que F (α, ϕ) tenha primeira e segunda derivadas cont´ınuas com rela¸cão a α, ϕ, F (α, 0) = 0 para todo α, e as hip´ oteses (H1) e (H2) est˜ ao satisfeitas. Então existem constantes a0 > 0, α0 > 0, δ0 > 0, fun¸c˜ oes continuamente diferenciáveis α(a) ∈ R, w(a) ∈ R e x∗ (a) w(a)-peri´ odica, para |a| < a0 tal que x∗ (a) é uma solu¸cão da Equa¸c˜ ao (4.2). Além disso, para |α| < α0 , |w − (2π/v0 )| < α0 , as solu¸c˜ oes x∗ s˜ ao as u ńicas solu¸cões w-periódicas da Equa¸c˜ ao (4.2) com |xt | < δ0 , exceto por transla¸c˜ ao de fase. Mostraremos inicialmente que para a Equa¸cão (4.1) a Bifurca¸cão de Hopf ocorre em α = π/2. Para fazer isto aplicaremos o Teorema 4.1 e, portanto, necessitamos de informa¸cões sobre o comportamento dos zeros da equa¸cão caracter´ıstica, isto é das 35.

(50) ra´ızes caracter´ısticas da parte linear da equa¸cão (4.1). Fa¸camos a lineariza¸cão de (4.1) em torno de (0,0). Seja F (X, Y ) = −αX[1 + Y ], logo, x(t) ˙ = F (x(t − 1), x(t)) é a Equa¸cão (4.1).. F (X, Y ) = F (0, 0) +. ∂F ∂F (0, 0)X + (0, 0)Y + O((|X| + |Y |)2 ), ∂X ∂Y. X, Y −→ 0. Conseq¨ uentemente F (X, Y ) = −αX + O((|X| + |Y |)2 ), com X, Y −→ 0. Assim a parte linear de (4.1) é. x(t) ˙ = −αx(t − 1). Procuramos por solu¸cões da forma x(t) = eλt , logo. λeλt = −αeλ(t−1) =⇒ λeλ = −α Portanto a equa¸cão caracter´ıstica é dada por: λeλ = −α. (4.3). As informa¸cões que precisamos sobre o comportamento das ra´ızes caracter´ısticas estão contidas no lema seguinte. Trata-se de um conhecido resultado apresentado em [1], Lema4.1, §11.4. Observamos entretanto que nossa prova é essencialmente distinta da prova de Hale e Lunel. Lema 4.1. Se 0 < α < π/2 toda solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (4.3) tem parte real negativa. Se α > e−1 existe uma raiz λ(α) = γ(α) + iσ(α) da equa¸c˜ ao (4.3) que é cont´ınua juntamente com a primeira derivada em α e satisfaz 0 < σ(α) < π, 0 σ(π/2) = π/2, γ(π/2) = 0 ,γ (π/2) > 0 e γ(α) > 0 para α > π/2. Demonstra¸cão. Provemos inicialmente a primeira parte do Lema. Seja 0 < α < π/2 e consideremos λ = x + iy uma solu¸cão arbitrária de (4.3). Logo, temos que: 36.

(51) (x + iy)ex+iy = −α Esta equa¸cão é equivalente ao sistema . ex (x cos(y) − y sen(y)) = −α ex (y cos(y) + x sen(y)) = 0,. . ex (−x cos(y) + y sen(y)) = α ex (y cos(y) + x sen(y)) = 0. ou seja,. e re-escrevendo numa forma vetorial, . ex (x, y)(− cos(y), sen(y)) = α ex (x, y)(sen(y), cos(y)) = 0.. (4.4). A segunda equa¸cão é uma condi¸cão de ortogonalidade entre os vetores (x, y) e (sen(y), cos(y)). Logo, como os vetores unitários (− cos(y), sen(y)) e (sen(y), cos(y)) são ortogonais, o sistema (4.4) é equivalente à equa¸cão vetorial. ex (x, y) = α(− cos(y), sen(y)) Chamemos w(y) = α(− cos(y), sen(y)), logo ficamos com:. w(y) = (xex , yex ). (4.5). Fixemos x ≥ 0. Note que, quando y percorre o semi-eixo y : y ≥ 0 no sentido positivo, o primeiro membro w(y) de (4.5) percorre a circunferência de raio α no sentido horário partindo do ponto (−α, 0). Veja figura 4.1. Concomitantemente o segundo membro percorre o semi-eixo vertical (xex , yey ) : y ≥ 0. Assim, uma condi¸cão 37.

(52) Figura 4.1: necessária para que (4.5) esteja satisfeita é que y ≥ π/2. Entretanto, y = π/2, temos que w(π/2) = (0, α) e no segundo membro de (4.5) (xex , π/2ex ), temos que π/2ex > π/2 > α. Assim, (4.5) não pode estar satisfeita. Portanto concluimos que toda solu¸cão de (4.3) tem parte real x < 0. 0. Para provar o restante do Lema, seja ρ(µ) = −µeµ . Então ρ (µ) = −(1 + µ)eµ 0 0 0 e portanto ρ (µ) > 0 para −∞ < µ < −1 , ρ (−1) = 0, ρ (µ) < 0 ,para −1 < µ < ∞. Conseq¨ uentemente, ρ(µ) tem um máximo em µ = −1, ρ(−1) = e−1 . Portanto, a equa¸cão (4.3) não tem raiz real para α > e−1 . Se α > e−1 , seja λ = γ + iσ onde −µ = γ uma raiz caracter´ıstica da equa¸cão (4.3), então:. (−µ + iσ)e−µ+iσ = −α =⇒ µ − iσ = αeµ−iσ logo, µ = αeµ cos(σ) e σ = αeµ sen(σ), ou seja, µ = σ cot(σ) e α =. σe−σ cot(σ) σe−µ = . sen(σ) sen(σ). 38.

(53) Definamos f (σ) :=. σe−σ cot(σ) sen(σ). ´ claro que f (σ) > 0. Temos que : Consideremos f (σ) para 0 < σ < π. E 0. [1 + σ(− cot(σ) − σ cot (σ))] sen(σ)e−σ cot σ − σ cos(σ)e−σ cot(σ) f (σ) = sen2 (σ) 0. Logo: 0. f (σ) =. =. 1 [[1 + σ(− cot(σ) + σ/ sen2 (σ))] sen(σ) − σ cos(σ)]e−σ cot(σ) = sen2 (σ). 1 [sen2 (σ) + (−σ cot(σ) sen2 (σ) + σ 2 ) − σ sen(σ) cos(σ)]e−σ cot(σ) sen3 (σ). Então 0. f (σ) 1 1 − 2σ cot(σ) + σ 2 (cot2 (σ) + 1) = [ − 2 cot(σ) + σ csc2 (σ)]= . f (σ) σ σ Portanto temos que: 0. (1 − σ cot(σ))2 + σ 2 f (σ) = >0 f (σ) σ 0. Conseq¨ uentemente f (σ) > 0 para 0 < σ < π, isto é, f (σ) é estritamente crescente para 0 < σ < π. Além disso, observa-se facilmente que f (σ) −→ ∞, com σ −→ π, e f (σ) −→ e , com σ −→ 0. −1. Portanto, há exatamente um valor de σ, digamos σ0 = σ0 (α), 0 < σ0 (α) < π, para o qual f (σ0 (α)) = α se α > e−1 . Isto é, σ0 = f −1 em (0, π). Veja figura 4.2. Seja γ0 (α) = −σ0 (α) cot(σ0 (α)). 39.

(54) Figura 4.2: Gráfico de f (σ), 0 < σ < π Como f (π/2) = π/2, segue que σ0 (π/2) = π/2. γ0 (π/2) = 0.. Conseq¨ uentemente,. Dado α > π/2, como f (π/2) = π/2 e f é estritamente crescente em 0 < σ < π, então σ0 (α) > π/2, isto é , π/2 < σ0 (α) < π. Mas, para π/2 < σ0 (α) < π, temos que cos(σ0 (α)) < 0. Desta forma, para α > π/2, temos γ0 (α) > 0. Consideremos a equa¸cão, λ0 (α)eλ0 α = −α. Derivando com rela¸cão a α,. 0. 0. 0. λ0 (α)eλ0 (α) + λ0 (α)λ0 (α)eλ0 (α) = −1 =⇒ (1 + λ0 (α))λ0 (α)eλ0 (α) = −1. Logo, para α = π/2, 0. 0. 0. (1 + λ0 (π/2))λ0 (π/2)eλ0 (π/2) = −1 =⇒ (1 + i(π/2)(γ0 (π/2) + iσ0 (π/2))i = −1, ou seja, 40.

(55) 0. 0. 0. 0. (−σ0 (π/2) − π/2γ0 (π/2)) + i(γ0 (π/2) − π/2σ0 (π/2)) = −1. Portanto temos: . 0. 0. −σ0 (π/2) − π/2γ0 (π/2) = −1 (I) 0 0 γ0 (π/2) − π/2σ0 (π/2) = 0 (II). 0. 0. 0. De (II) temos que γ0 (π/2) = π/2σ0 (π/2) substituindo em (I), obtemos σ0 (π/2) = 4 . Conseq¨ uentemente: 4 + π2 0. γ0 (π/2) =. 2π > 0. 4 + π2. Assim concluimos a prova do teorema.. A equa¸cão x(t) ˙ = −αx(t − 1)[1 + x(t)] pode ser escrita como: x(t) ˙ = F (α, xt ) onde F (α, ϕ) = −αϕ(−1)[1 + ϕ(0)]. Observemos que, F (α, 0) = 0 e temos a continuidade da primeira e segunda derivada com respeito a α, ϕ, além disso o Lema 4.1 assegura que as hipóteses (H1) e (H2) estão satisfeitas para α = π/2. Portanto usando o Lema 4.1 e Teorema 4.1 podemos afirmar que: Teorema 4.2. A Equa¸cão x(t) ˙ = −αx(t − 1)[1 + x(t)] tem uma Bifurca¸c˜ ao de Hopf em α = π/2.. 4.2. Solu¸c˜ oes peri´ odicas. Nosso objetivo, agora é mostrar que a Equa¸cão (4.1) tem uma solu¸cão periódica não-nula para todo α > π/2. 41.

(56) A demonstra¸cão dos Lemas 4.2, 4.3 e 4.5, pode ser encontrada em [1], cap´ıtulo 11, §4. Proposi¸c˜ ao 4.1. Seja x(ϕ, α) a solu¸c˜ ao da Equa¸c˜ ao (4.1) por ϕ. Se ϕ(0) > −1 ent˜ ao x(ϕ, α)(t) ≥ −1 para todo t ≥ 0. Demonstra¸cão. Seja x(t) = x(ϕ, α)(t) e suponhamos que para t0 ≥ 0 tenhamos x(t0 ) = −1, logo x(t ˙ 0 ) = −αx(t0 − 1)[1 + x(t0 )] =⇒ x(t ˙ 0 ) = 0. Estendendo a solu¸cão adiante do t0 como a fun¸cão constante igual a −1, veja figura 4.3, isto é, x(t) = −1 ∀t ≥ t0 , temos pela unicidade de solu¸cões que não existe outro prolongamento de x(t) tal que x(t) < −1 para t > t0 . Assim temos que x(ϕ, α)(t) > −1 para t ≥ 0.. Figura 4.3: Extensão da solu¸cão x(t).. Proposi¸c˜ ao 4.2. Não existe t0 > 0 tal que x(ϕ, α)(t) = 0 para t ≥ t0 , a menos que ϕ = 0. Demonstra¸cão. Suponhamos por absurdo que existisse um tal t0 > 0. Podemos tomar t0 = min{τ ≥ 0|x(t) = 0, 0. t ≥ τ }. 0. Consideremos t ∈ (t0 − 1, t0 ) tal que x(t ) 6= 0 e consideremos também t = t + 1 > t0 . Logo temos, 0. 0. x(t) ˙ = −αx(t − 1)[1 + x(t)] = −αx(t ) 6= 0 42.

(57) que é uma contradi¸cão, já que t > t0 . Portanto não existe t0 > 0 | x(ϕ, α)(t) = 0 para t > t0 , exceto se ϕ = 0.. Defini¸c˜ ao 4.1. Dizemos que os zeros de x(ϕ, α) s˜ ao limitados se x(ϕ, α)(t) tem somente um n´ umero finito de zeros positivos. Lema 4.2. (i) Se ϕ(0) > −1 e os zeros da solu¸c˜ ao x(ϕ, α) s˜ ao limitados ent˜ ao x(ϕ, α)(t) −→ 0 com t −→ ∞. (ii) Se ϕ(0) > −1, então x(ϕ, α)(t) é limitada. Além disso, se os zeros de x(ϕ, α) são ilimitados, então qualquer m´ aximo de x(ϕ, α)(t), t > 0, é menor do α que e − 1. (iii) Se ϕ(0) > −1 e α > 1, ent˜ ao os zeros de x(ϕ, α) s˜ ao ilimitados. (iv) Se ϕ(θ) > 0, −1 < θ < 0 [ou se ϕ(0) > −1, ϕ(θ) < 0, −1 < θ < 0], ent˜ ao os zeros (se existirem) de x(ϕ, α)(t) s˜ ao simples e a distˆ ancia de cada zero de x(ϕ, α)(t) ao seguinte m´ aximo ou m´ınimo é ≥ 1. Defini¸c˜ ao 4.2. Seja W ⊆ C, dizemos que W é um cone se W é fechado e convexo com as seguintes propriedades: (i) se ϕ ∈ W então λϕ ∈ W para todo λ > 0 (ii) se ϕ ∈ W, ϕ 6= 0, então −ϕ 6∈ W. Seja K = {ϕ ∈ C | ϕ(θ) ≥ 0, −1 < θ ≤ 0, ϕ(−1) = 0, ϕ não-decrescente }. ´ fácil ver que K assim definido é um cone. E. Se α > 1, ϕ ∈ K, ϕ 6= 0, seja:. z(ϕ, α) := min{t > 0 : x(ϕ, α)(t) = 0,. x(ϕ, ˙ α)(t) > 0}. Este m´ınimo existe pelo Lema 4.2, partes (iii) e (iv). 43.

(58) Além disso, o Lema 4.2, parte (iv), implica que x(ϕ, α)(t) é positiva e nãodecrescente sobre (z(ϕ, α), z(ϕ, α) + 1). Conseq¨ uentemente, se τ (ϕ, α) = z(ϕ, α) + 1 , então a aplica¸cão: A(α)0 = 0 A(α)ϕ = xτ (ϕ,α) (ϕ, α) se ϕ 6= 0. (4.6). é uma aplica¸cão do cone K em si mesmo. Como x(τ ˙ (ϕ, α) − 1) > 0, a continuidade de x(ϕ, α)(t) em t, ϕ, α, implica que τ (ϕ, α) é cont´ınua em K\{0} × (1, ∞). Lema 4.3. A aplica¸cão τ : [K\{0}] × (1, ∞) −→ (0, ∞) definida por τ (ϕ, α) = z(ϕ, α) + 1 é completamente cont´ınua. Seja t0 tal que x(t0 ) = 0, onde t0 −1 > 1 e t ∈ (t0 , t0 +1) onde t−1 ∈ (t0 −1, t0 ). A equa¸cão x(t) ˙ = −αx(t − 1)[1 + x(t)], pode ser vista como (1 + x(t))· = −αx(t − 1)[1 + x(t)]. Chamando y(t) = 1 + x(t), temos:. y(t) ˙ = −αx(t − 1)y(t) Logo t. Z. −αx(s − 1) ds y(t) = y(t0 )e. .. t0. Fazendo ξ = s − 1, temos:. Z. t−1. −αx(ξ) dξ y(t) = y(t0 )e. t0 −1. Isto é,. 44. ..

(59) Z. t−1. −αx(ξ) dξ 1 + x(t) = (1 + x(t0 ))e. t0 −1. .. Portanto,. Z. t−1. −αx(ξ) dξ x(t) = −1 + e. t0 −1. .. Como já sabemos, x(ξ) > −1, logo −x(ξ) < 1. Desta forma temos que: Z. t0. −αx(ξ) dξ x(t0 + 1) = −1 + e. t0 −1. ≤ eα − 1.. Portanto segue das partes (ii) e (iv) do Lema 4.2 que |A(α)ϕ| ≤ eα − 1. Assim para cada ϕ ∈ K, A(α) leva todo conjunto limitado B contido em K\{0} em {ϕ ∈ C : |ϕ| < eα − 1}. Lema 4.4. A aplica¸cão A(α) definida em (4.6) é completamente cont´ınua. Demonstra¸cão. Como τ : [K\{0}] × (1, ∞) −→ (0, ∞) é completamente cont´ınua e τ (ϕ, α) > 1, temos que para ϕ ∈ K\{0} e θ ∈ [−1, 0]. [A(α)ϕ(θ)]· = x˙ τ (ϕ,α) (θ) = x(τ ˙ (ϕ, α) + θ) = = −αx(τ (ϕ, α) + θ − 1)[1 + x(τ (ϕ, α) + θ)] Para α fixo, {τ (ϕ, α), ϕ ∈ B} ⊆ R é relativamente compacto, já que τ é completamente cont´ınua, isto é, {τ (ϕ, α), ϕ ∈ B} é limitado. Logo,.

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66) [A(α)ϕ(θ)]·

(67) =

(68) −αx(τ (ϕ, α) + θ − 1)

(69)

(70) 1 + x(τ (ϕ, α) + θ)

(71) ≤ αM1 (1 + M2 ) 45.

(72) Portanto ∃ M = αM1 (1 + M2 ).

(73)

(74) |

(75) [A(α)ϕ(θ)]·

(76) ≤ M, ∀ϕ ∈ B.. Usando o Teorema do Valor Médio, temos que para θ1 , θ2 ∈ [−1, 0] e θ 1 < θ < θ2 ,.

(77)

(78) |A(α)ϕ(θ1 ) − A(α)ϕ(θ2 )| ≤

(79) [A(α)ϕ(θ)]·

(80) |θ1 − θ2 | ≤ M |θ1 − θ2 | Assim dado ε > 0, ∃ δ =. ε > 0 tal que : M. |θ1 − θ2 | < δ =⇒ |A(α)ϕ(θ1 ) − A(α)ϕ(θ2 )| < ε,. ∀ϕ ∈ B. Portanto A(α)B é equicont´ınuo. Além disso |A(α)B(θ)| ≤ eα − 1. ´ Conseq¨ uentemente pelo Teorema de Ascoli-Arzela, temos que A(α)B tem fecho compacto. Também, se ϕk ∈ K \ {0}, ϕk −→ 0, podemos assumir que τ (ϕk , α) −→ τ (0, α) = τ0 (α), com k −→ ∞. A continuidade das solu¸cões x(ϕ, α)(t) da Equa¸cão (4.1) com respeito a t, ϕ implica. xτ (ϕk ,α) (ϕk , α) −→ xτ0 (α) (0, α) = 0 Logo A(α)ϕk −→ A(α)0 = 0. Portanto A(α) é cont´ınua em 0. Assim temos que A(α) é cont´ınua. Desta forma, podemos concluir que A(α) é completamente cont´ınua.. Seja λ(α) a raiz caracter´ıstica da Equa¸cão (4.3) dada no Lema 4.1, seja C decomposto como C = Pλ(α) ⊕ Qλ(α) da maneira usual e seja πλ(α) a proje¸cão usual sobre Pλ(α) . 46.