Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
PABLO GIOVANNI SILVA CARVALHO
MODELAGEM COMPUTACIONAL DO ESCOAMENTO
DE STOKES E ESTUDO COMPARATIVO ENTRE
ESPAÇOS DE APROXIMAÇÃO
CAMPINAS 2017
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Carvalho, Pablo Giovanni Silva,
C253m CarModelagem computacional do escoamento de Stokes e estudo comparativo entre espaços de aproximação / Pablo Giovanni Silva Carvalho. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.
CarOrientador: Philippe Remy Bernard Devloo.
CarDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.
Car1. Método dos elementos finitos. 2. Galerkin, Métodos de. 3. Mecânica dos fluídos - Modelos matemáticos. 4. Programação orientada a objetos
(Computação). I. Devloo, Philippe Remy Bernard,1958-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Stokes flow computational modeling and comparative study
between approximation spaces
Palavras-chave em inglês:
Finite element method Galerkin, Methods of
Fluid mechanics - Mathematical models Object-oriented programming (Computing)
Área de concentração: Estruturas e Geotécnica Titulação: Mestre em Engenharia Civil
Banca examinadora:
Philippe Remy Bernard Devloo [Orientador] Maicon Ribeiro Correa
Sônia Maria Gomes
Data de defesa: 22-06-2017
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil
URBANISMO
MODELAGEM COMPUTACIONAL DO ESCOAMENTO DE
STOKES E ESTUDO COMPARATIVO ENTRE ESPAÇOS DE
APROXIMAÇÃO
Pablo Giovanni Silva Carvalho
Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:
Prof. Dr. Philippe Remy Bernard Devloo
Presidente e Orientador / FEC - UNICAMP
Prof. Dr. Maicon Ribeiro Correa
IMECC - UNICAMP
Profa. Dra. Sônia Maria Gomes
IMECC - UNICAMP
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
A Deus.
Aos meus pais, avós, irmã e namorada.
Ao meu orientador Prof. Dr. Philippe Devloo, pela atenção, dedicação e amizade durante o desenvolvimento deste trabalho.
Aos colegas Omar Duran, Thiago Santos, Nathan Shauer e aos demais colegas do LabMeC.
A todos os professores e funcionários da Unicamp, que sempre colaboraram para fortalecer o ambiente de ensino. À CAPES, pelo apoio financeiro.
O presente trabalho propõe análises numéricas para problemas de fluidos descritos pelas equações de Stokes, de Darcy e de acoplamento Darcy-Stokes. São consideradas diferentes formulações do Método dos Elementos Finitos (MEF), como o Método de Galerkin Descontínuo (MGD), baseado em aproximações descontínuas, e o método H1-conforme, com aproximações contínuas. Também são consideradas
formulações que utilizam espaços H(div, ). Com o intuito de se obter uma simula-ção numérica compatível com as condições impostas, faz-se necessária a implemen-tação de um código computacional, o qual é inserido no ambiente de programação científica orientado a objetos denominado PZ. Essa abordagem possibilita o estudo comparativo entre espaços de aproximação, a verificação do comportamento para diferentes ordens, e a obtenção de erros e taxas de convergência; pode-se identifi-car, assim, a melhor performance. Esse trabalho também é motivado pela descrição do movimento de fluidos viscosos relevantes para a construção civil. Nesse sentido, elabora-se um modelo computacional baseado na formulação de Stokes para um domínio poroso, capaz de descrever o comportamento do concreto auto-adensável (CAA) ao ser lançado entre as armações de aço. Na sequência, utilizando uma téc-nica de homogeneização, as armações são representadas por um domínio descrito pela lei de Darcy, o qual será acoplado por meio de uma condição de interface, a um domínio descrito por Stokes. Em suma, o objetivo deste trabalho reside na compreensão de um modelo de fluido regido por Stokes e de seu acoplamento com Darcy, verificando performances e otimização matemática dos espaços de aproxima-ção considerados, para o desenvolvimento de aplicações numéricas relevantes.
Palavras-chaves: Método dos Elementos Finitos. Galerkin Descontínuo. Problema
The present work proposes a numerical analysis for Stokes flow, Darcy flow and Darcy-Stokes coupled problem. Different formulations of the Finite Element Method (FEM) are considered, namely, the Discontinuous Galerkin Method (DGM) for "broken spaces", based on spaces of discontinuous approximation functions, and the H1-conforming method, based on spaces of continuous approximation
func-tions. Formulations based on H(div, ) approximation spaces are also considered. All numerical approximations are implemented using the PZ environment, an object oriented environment for scientific programming. The use of the PZ library allows to compare the properties of the different approximation spaces, verifying orders, errors and rates of convergence; identifying best performance. This work is motivated to describe the motion of a viscous fluid, relevant to civil construction applications. In this sense, a computational model of Stokes flow through a porous domain is sim-ulated to represent self-compacting concrete (SCC) flow around reinforcing bars. Results are compared to a homogenization technique representing the reinforced bar domain by the Darcy law and the remainder of the domain by Stokes flow. The aim of this work is to understand Stokes and coupled Darcy-Stokes problems, verifying performance of approximation spaces and mathematical optimization, in order to develop relevant numerical applications.
Key-words: Finite Elements Method. Discontinuous Galerkin. Stokes problem.
Figura 1 – Salto e média de uma função v, para um problema de uma dimensão. . 32
Figura 2 – Interface E entre dois elementos de uma malha. . . . 32
Figura 3 – Função de mapeamento Te. . . 35
Figura 4 – Funções base no elemento mestre quadrilateral ˆ. . . 36
Figura 5 – Funções base no elemento mestre triangular ˆ. . . 37
Figura 6 – Funções de aresta construídas com mapeamentos geométricos: (a) sem parametrização e (b) com parametrização. Fonte: Siqueira (2012). . . . 39
Figura 7 – Experimento de Darcy. Fonte: Bear (1972) . . . 46
Figura 8 – Matriz de interface Kint entre elementos 1 e 2. . . 60
Figura 9 – Problema de acoplamento Darcy-Stokes. . . 70
Figura 10 –Elementos de uma malha geométrica para o Método de Galerkin Des-contínuo. . . 75
Figura 11 –Classes computacionais PZ para geometria e espaços de interpolação. . 76
Figura 12 –Elementos quadriláteros contínuos e numeração de connects. . . . 76
Figura 13 –Classes computacionais PZ para a implementação de uma formulação fraca. . . 77
Figura 14 –Classes computacionais PZ para análise algébrica de um problema mul-tifísico. . . 78
Figura 15 –Teste 1 para a formulação Stokes, esquema do problema. . . 81
Figura 16 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a velocidade (Vexact). Valores das componentes da velocidade com relação ao (a) eixo x e (b) eixo y . . . . 83
Figura 17 –Problema 1: taxa de convergência dos erros ||≠æu ≠ ≠æuh|| e ||p ≠ ph||, versus espaçamento h da malha, usando os métodos de tipo ≠æQd 2 Qd1, ≠ æQc 2 Qd1 e ≠æQdiv2 Qd2. Resultados para: (a) velocidade, (b) pressão. . . 84
Figura 18 –Teste 2 para a formulação Stokes, esquema do problema. . . 86
Figura 19 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a velocidade (Vexact). Valores das componentes da velocidade com relação ao (a) eixo x e (b) eixo y. . . . 87
Figura 20 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a pressão (Pexact). . . 88
Figura 21 –Problema 2: taxa de convergência dos erros ||≠æu ≠ ≠æuh|| e ||p ≠ ph||, versus espaçamento h da malha, usando os métodos de tipo ≠æQd 2 Qd1, ≠ æQc 2 Qd1 e ≠æQdiv2 Qd2. Resultados para: (a) velocidade, (b) pressão. . . 89
≠ æ
Qc
3 Qd2 e ≠æQdiv3 Qd3. Resultados para: (a) velocidade, (b) pressão. . . 90
Figura 23 –Teste para a formulação Darcy, esquema do problema. . . 92 Figura 24 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a velocidade (Vexact).
Valores das componentes da velocidade com relação ao (a) eixo x e (b) eixo y. . . . 94 Figura 25 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a pressão (Pexact). . . 94
Figura 26 –Problema 3: taxa de convergência dos erros ||≠æu ≠ ≠æuh|| e ||p ≠ ph||, versus espaçamento h da malha, usando os métodos de tipo ≠æQd
3 Qd2,
≠ æQc
3 Qd2 e ≠æQdiv3 Qd3. Resultados para: (a) velocidade, (b) pressão. . . 96
Figura 27 –Teste para a formulação de acoplamento Darcy-Stokes, esquema do problema. . . 98 Figura 28 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a velocidade (Vexact).
Valores das componentes da velocidade com relação ao eixo x. . . . 99 Figura 29 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a velocidade (Vexact).
Valores das componentes da velocidade com relação ao eixo y. . . . 100 Figura 30 –Gráfico bidimensional da solução analítica para a pressão (Pexact). . . 100
Figura 31 –Problema 4: taxa de convergência dos erros ||≠æu≠≠æuh|| e ||p≠ph||, versus
espaçamento h da malha, usando método do tipo ≠æQdiv
1 Qd1. Resultados
para: (a) velocidade, (b) pressão. . . 101 Figura 32 –Problema 4: taxa de convergência dos erros ||≠æu≠≠æuh|| e ||p≠ph||, versus
espaçamento h da malha, usando método do tipo ≠æQdiv
2 Qd2. Resultados
para: (a) velocidade, (b) pressão. . . 102 Figura 33 –Problema 4: taxa de convergência dos erros ||≠æu≠≠æuh|| e ||p≠ph||, versus
espaçamento h da malha, usando método do tipo ≠æQdiv
3 Qd3. Resultados
para: (a) velocidade, (b) pressão. . . 103 Figura 34 –Linhas de fluxo para o escoamento em uma cavidade (Lid-driven cavity)
Fonte: Srinivasan (1995). . . 104 Figura 35 –Esquema do problema de escoamento em uma cavidade (Lid-driven
cavity). . . . 105 Figura 36 –Gráfico da velocidade (magnitude), usando método do tipo ≠æQdiv
3 Qd3 e
malha com 32 ◊ 32 elementos. . . 106 Figura 37 –Linhas de fluxo, usando método do tipo ≠æQdiv
3 Qd3 e malha com 32 ◊ 32
elementos. . . 106 Figura 38 –Gráfico da pressão (magnitude), usando método do tipo ≠æQdiv
3 Qd3 e
malha com 32 ◊ 32 elementos. . . 107 Figura 39 –Esquema do escoamento de um fluido newtoniano em um domínio com
de pressão. . . 110 Figura 42 –Problema de Stokes com obstáculos, d = 0, 25. Valores de pressão em
(a) y = 2 e em (b) x = 8 . . . . 110 Figura 43 –Problema de Stokes com obstáculos, d = 0, 25. Valores para o campo
vetorial de velocidade. . . 110 Figura 44 –Problema de Stokes com obstáculos, d = 0, 30. Valores para o campo
de pressão. . . 111 Figura 45 –Problema de Stokes com obstáculos, d = 0, 30. Valores para o campo
vetorial de velocidade. . . 111 Figura 46 –Problema de Stokes com obstáculos, d = 0, 35. Valores para o campo
de pressão. . . 111 Figura 47 –Problema de Stokes com obstáculos, r = 0, 35. Valores para o campo
vetorial de velocidade. . . 112 Figura 48 –Problema de Stokes com obstáculos, r = 0, 40. Valores para o campo
de pressão. . . 112 Figura 49 –Problema de Stokes com obstáculos, r = 0, 40. Valores para o campo
vetorial de velocidade. . . 112 Figura 50 –Esquema do escoamento de um fluido newtoniano, problema
homoge-neizado, acoplamento Darcy-Stokes. . . 113 Figura 51 –Cálculo do coeficiente de permeabilidade para uma configuração com
obstáculos. Fonte: Tamayol e Bahrami (2009). . . 115 Figura 52 –Problema de acoplamento Darcy-Stokes, Ÿnum = 0, 0212. Valores para
o campo de pressão no plano xy e em relação ao eixo x. Pressão máxima
pmáx = 188, 68. . . . 116
Figura 53 –Problema de acoplamento Darcy-Stokes, Ÿnum = 0, 0115. Valores para
o campo de pressão. Pressão máxima pmáx = 347, 83. . . . 116
Figura 54 –Problema de acoplamento Darcy-Stokes, Ÿnum = 0, 0054. Valores para
o campo de pressão. Pressão máxima pmáx = 740, 74. . . . 116
Figura 55 –Problema de acoplamento Darcy-Stokes, Ÿnum = 0, 0019. Valores para
o campo de pressão. Pressão máxima pmáx = 2105, 26. . . . 117
Figura 56 –Problema do escoamento em uma curva: (a) malha curva com 336 nós e 670 elementos; (b) valores do campo de pressão. . . 118 Figura 57 –Problema do escoamento em uma curva: (a) malha curva com 1344 nós
e 2686 elementos; (b) valores do campo de pressão. . . 118 Figura 58 –Esquema do escoamento de CAA em uma viga: (a) problema de Stokes
campo de pressão. . . 121 Figura 60 –Escoamento de CAA em uma viga. Problema de Stokes com obstáculos.
Tabela 1 – Taxas de convergências esperadas para o problema de Stokes . . . 80 Tabela 2 – Taxas de convergências esperadas para o problema de Darcy . . . 81 Tabela 3 – Problema 1: Erros ||≠æu ≠ ≠æuh||, ||Ò(≠æu ≠ ≠æuh)|| (ou ||Ò · (≠æu ≠ ≠æuh)||) e
||p ≠ ph||, usando os métodos de tipo≠æQd2 Qd1, ≠æQc2Qd1 e ≠æQdiv2 Qd2. . . 84
Tabela 4 – Problema 2: Erros ||≠æu ≠ ≠æuh||, ||Ò(≠æu ≠ ≠æuh)|| (ou ||Ò · (≠æu ≠ ≠æuh)||) e ||p ≠ ph||, usando os métodos de tipo≠æQd2 Qd1, ≠æQc2Qd1 e ≠æQdiv2 Qd2. . . 89
Tabela 5 – Problema 2: Erros ||≠æu ≠ ≠æuh||, ||Ò(≠æu ≠ ≠æuh)|| (ou ||Ò · (≠æu ≠ ≠æuh)||) e
||p ≠ ph||, usando os métodos de tipo≠æQd3 Qd2, ≠æQc3Qd2 e ≠æQdiv3 Qd3. . . 90
Tabela 6 – Problema 3: Erros ||≠æu ≠ ≠æuh||, ||Ò · (≠æu ≠ ≠æuh)|| e ||p ≠ ph||, usando os
métodos de tipo ≠æQd
3 Qd2, ≠æQc3Q2d e ≠æQdiv3 Qd3. . . 96
Tabela 7 – Problema 4: Erros ||≠æu ≠ ≠æuh||, ||Ò · (≠æu ≠ ≠æuh)|| e ||p ≠ ph||, usando método do tipo ≠æQdiv
1 Qd1. . . 101
Tabela 8 – Problema 4: Erros ||≠æu ≠ ≠æuh||, ||Ò · (≠æu ≠ ≠æuh)|| e ||p ≠ ph||, usando
método do tipo ≠æQdiv
2 Qd2. . . 102
Tabela 9 – Problema 4: Erros ||≠æu ≠ ≠æuh||, ||Ò · (≠æu ≠ ≠æuh)|| e ||p ≠ ph||, usando método do tipo ≠æQdiv
3 Qd3. . . 102
Tabela 10 –Comparação entre coeficientes de permeabilidade: valores numéricos
I Matriz identidade p Pressão do fluido
g Valor da aceleração da gravidade µ Coeficiente de viscosidade do fluido ˛u Vetor velocidade do fluido
˛n Vetor normal
˛· Vetor tangencial
t Instante de tempo
fl Densidade ou massa específica de um fluido
“ Peso específico
Tensor quantidade de movimento de fluxo
Î Tensor quantidade de movimento molecular de fluxo f Função representado um termo fonte
D Dimensão característica de um fluido (eq.3.16) Re Número de Reynolds (eq. 3.16)
· Tensão de escoamento
Ÿ Permeabilidade intrínseca (Lei de Darcy) Ÿnum Coeficiente de permeabilidade, valor numérico
Ÿest Coeficiente de permeabilidade, valor estimado
K Condutividade hidráulica (Lei de Darcy)
K Tensor de permeabilidade (Lei de Darcy)
Q Vazão (eq. 3.19)
h Altura ou carga piezométrica (eq. 3.21)
µ Rn Aberto limitado com fronteira Lipschitz regular ˆ
ˆ Elemento de referência (elemento mestre)
Te Função de mapeamento Partição de domínio E Aresta de um elemento e Domínio de um elemento e S Domínio Stokes D Domínio Darcy ˆ Contorno de um domínio
ˆ D Contorno de um domínio, condição Dirichlet
ˆ N Contorno de um domínio, condição Neumann b Conjunto das bordas do domínio
b,S Conjunto das bordas do domínio Stokes b,D Conjunto das bordas do domínio Darcy int Conjunto das arestas internas entre elementos
int,S Conjunto das arestas internas entre elementos, para o domínio Stokes int,D Conjunto das arestas internas entre elementos, para o domínio Darcy SD Interface de acoplamento entre domínios Stokes e Darcy.
Conjunto de todas as arestas (internas e externas)
k Grau do polinômio
Pk Espaço polinomial escalar, elementos triangulares
Qk Espaço polinomial escalar, elementos quadriláteros
≠ æP
k Espaço polinomial vetorial, elementos triangulares
≠ æQ
e Espaço de aproximação polinomial local para pressão
≠
æV Espaço de aproximação finita para velocidade Espaço de aproximação finita para pressão
ˆ Espaço de aproximação polinomial no elemento mestre ˆ
Bˆ Base hierárquica para o espaço polinomial no elemento mestre
Bk
e Base escalar para espaços locais, no elemento e
≠ æBk
e Base vetorial para espaços locais, no elemento e
 Função de forma escalar ˛
„ Função de forma escalar Âi Função teste da pressão
Âj Função admissível da pressão
˛
„i Função teste da velocidade
˛
„j Função admissível da velocidade
˛
Ï Função-teste vetorial para velocidade Ï Função-teste escalar para pressão
–i, —i, “i Coeficientes multiplicadores das funções de forma
Kij Matriz de rigidez
Fi Vetor de carga
D(˛u) Tensor taxa de deformação no sistema de coordenadas cartesiano
T Tensor de tensões no sistema de coordenadas cartesiano
— Fator de simetria da formulação B Valor constante de penalidade
lx, ly Comprimentos de uma malha nas direções x e y
d Diâmetro de um obstáculo r Raio de um obstáculo ou curva „ Bitola de uma barra de aço
1 Introdução. . . 19 1.1 Objetivos . . . 21 1.2 Justificativa . . . 21 1.3 Revisão bibliográfica . . . 22 1.4 Metodologia . . . 24 1.4.1 Fundamentação teórica . . . 25 1.4.2 Definição do problema . . . 25
1.4.3 Desenvolvimento da formulação matemática . . . 25
1.4.4 Implementação computacional . . . 26
1.4.5 Análise e verificação dos resultados . . . 26
1.5 Organização do texto . . . 26
2 Notação e Noções sobre o MEF . . . 28
2.1 Notação . . . 28
2.1.1 Operadores . . . 28
2.1.2 Espaços de funções escalares e vetoriais . . . 29
2.2 Noções sobre o MEF . . . 32
2.2.1 Definições iniciais . . . 32
2.2.2 Bases para os espaços locais . . . 35
2.2.3 Caracterização dos espaços . . . 40
2.3 Método dos elementos finitos. . . 41
3 Modelos matemáticos de Stokes e Darcy . . . 42
3.1 Problema de Stokes . . . 42
3.1.1 Equações constitutivas . . . 42
3.1.2 Equação da continuidade . . . 43
3.1.3 Equação de movimento . . . 43
3.1.4 Formulação de Stokes . . . 44
3.2 Modelo de Darcy para fluidos em meios porosos . . . 46
3.2.1 O experimento de Darcy . . . 46
3.2.2 Generalização da Lei de Darcy . . . 47
3.2.3 Formulação de Darcy . . . 47
4 Formulações de elementos finitos para o modelo de Stokes . . . 49
4.1 Formulação fraca genérica . . . 50
4.1.1 Formulação descontínua de tipo ≠æPd kPdk≠1 e ≠ æ Qd kQdk≠1 . . . 53
4.1.2.1 Condições de contorno . . . 56
4.1.3 Formulação H(div, )-conforme de tipo ≠æPdiv k Pdk e ≠ æ Qdiv k Qdk . . . 57
4.1.3.1 Condições de contorno . . . 57
4.2 Construção do sistema de equações lineares. . . 59
4.2.1 Formulação descontínua de tipo ≠æPd kPdk≠1 e ≠æQdkQdk≠1 . . . 59
4.2.1.1 Contribuições internas . . . 59
4.2.1.2 Contribuições nas interfaces . . . 60
4.2.1.3 Contribuições das condições de contorno . . . 62
4.2.2 Formulação H1-conforme de tipo ≠æPc kPdk≠1 e ≠æQckQdk≠1 . . . 62
4.2.2.1 Contribuições internas . . . 62
4.2.2.2 Contribuições das condições de contorno . . . 62
4.2.3 Formulação H(div, )-conforme de tipo ≠æPdiv k Pdk e ≠ æ Qdiv k Qdk . . . 63 4.2.3.1 Contribuições internas . . . 63 4.2.3.2 Contribuições de interface . . . 63
4.2.3.3 Contribuições das condições de contorno . . . 64
5 Formulações de elementos finitos para o modelo de Darcy . . . 65
5.1 Formulação fraca . . . 66
5.1.1 Formulação descontínua de tipo ≠æPd kPdk≠1 e ≠ æQd kQdk≠1 . . . 66
5.1.2 Formulação H1 de tipo ≠æPc kPdk≠1 e ≠æQckQdk≠1 . . . 67
5.1.3 Formulação H(div, )-conforme de tipo ≠æPdiv k Pdk e ≠ æQdiv k Qdk . . . 67
5.2 Construção do sistema de equações lineares. . . 68
5.2.1 Formulação descontínua de tipo ≠æPd kPdk≠1 e ≠ æ Qd kQdk≠1 . . . 68
5.2.1.1 Contribuições internas . . . 68
5.2.1.2 Contribuições nas interfaces . . . 68
5.2.1.3 Contribuições das condições de contorno . . . 69
5.2.2 Formulações H1 e H(div, )-conforme . . . 69
6 Formulações de elementos finitos para o acoplamento Darcy-Stokes . . . . 70
6.1 Formulação fraca . . . 71
6.2 Construção do sistema de equações lineares. . . 73
6.2.1 Contribuição da interface Darcy-Stokes . . . 73
7 Implementação computacional . . . 74
7.1 Ambiente PZ . . . 74
7.1.1 Malha geométrica e computacional . . . 74
7.1.2 Material e formulação fraca . . . 77
8 Verificação numérica dos modelos . . . 79
8.1 Problema 1: escoamento de Stokes, condição Dirichlet . . . 81
8.2 Problema 2: escoamento de Stokes, condição de não-penetração . . . 86
8.3 Problema 3: escoamento de Darcy . . . 92
8.4 Problema 4: acoplamento Darcy-Stokes utilizando H(div, ) . . . 97
9 Aplicações numéricas . . . 104
9.1 Escoamento em uma cavidade (Lid-driven cavity) . . . 104
9.2 Problemas relacionando teorias de Darcy e Stokes . . . 108
9.2.1 Problema de Stokes sobre domínio com obstáculos . . . 108
9.2.2 Acoplamento Darcy-Stokes para domínio poroso . . . 113
9.2.3 Condição de deslizamento (slip) em contornos circulares. . . 117
9.3 Estudo do escoamento de concreto auto-adensável (CAA) em uma viga . . 119
10 Conclusões . . . 123
10.1 Trabalhos futuros . . . 124
1 Introdução
O estudo e o desenvolvimento de um modelo matemático para descrever o escoa-mento de fluidos é de grande interesse para a Engenharia. As equações de Navier-Stokes possuem um papel fundamental na mecânica dos fluidos, sendo capazes de descrever o comportamento de um fluido viscoso e condutor de calor. Para determinadas condições, por exemplo, quando a velocidade do fluido é pequena e a viscosidade é relativamente grande, o fluido pode ser considerado um fluido de Stokes.
O problema de Stokes é caracterizado pela incompressibilidade do fluido e pelo estado estacionário, sendo o número de Reynolds muito baixo (Re << 1). A lei de Stokes pode ser aplicada para estudar a movimentação de alguns microrganismos flagelados, ou até mesmo para o estudo do deslocamento de aglomerações de pessoas em um ambiente muito apertado. Alguns líquidos, como o mel e óleos, podem ser considerados fluidos de Stokes, e alguns estudos na área de lubrificantes também podem ser encontrados (LAU-TRUP, 2011).
No campo da Engenharia Civil, as equações de Stokes possuem várias aplicações e podem ser utilizadas como base para um modelo de simulação do escoamento do concreto fresco. Verifica-se também a possibilidade de simular o comportamento do concreto auto-adensável (CAA), caracterizado por sua elevada fluidez e deformabilidade. Esse tipo de concreto é amplamente empregado no preenchimento de formas complexas e com muitas barras de aço, por dispensar o uso de vibradores para seu adensamento.
Diversos softwares foram desenvolvidos para a resolução de problemas de mecâ-nica dos fluidos. Na maioria dos trabalhos sobre o tema, a discretização das equações de Stokes tem sido feita utilizando o Método dos Volumes Finitos. Porém, nos últimos anos, com o desenvolvimento de técnicas de estabilização e otimização de processamento, a equação de Stokes também pode apresentar resultados satisfatórios utilizando-se uma rotina computacional baseada em algoritmos do Método dos Elementos Finitos (MEF).
Ao longo do presente trabalho, uma metodologia de simulação numérica é empre-gada para o problema de Stokes, fundamentando-se no Método de Galerkin Descontínuo, de tal modo que a interpolação polinomial do Método dos Elementos Finitos e a cons-trução de bases dos espaços de aproximação sejam verificadas por meio de um modelo matemático pertinente.
A formulação fraca do Método de Galerkin Descontínuo acrescenta um termo bi-linear para ponderar a descontinuidade na interface entre elementos. Esse método possui vantagens em relação ao Método de Galerkin para espaços contínuos, principalmente em problemas onde o termo convectivo da equação é dominante (COCKBURN,1999).
Utilizando os recursos computacionais disponíveis, também é proposto um modelo para a simulação do escoamento de um líquido através de um meio poroso. Nesse contexto, estudamos a lei de Darcy e realizamos simulações numéricas para um problema prático. De maneira semelhante ao proposto para o problema de Stokes, utilizamos três espaços de aproximação diferentes: [H1( )]2, H(div, ) e o espaço descontínuo H1( ).
A partir da construção de um modelo para escoamento de fluido viscoso e outro para fluido em meio poroso, é possível realizar uma simulação numérica para o problema de acoplamento Darcy-Stokes. Para construir a interface entre os dois domínios, utilizamos as condições da análise experimental proposta por Beavers e Joseph(1967). Por meio dessas condições, procura-se obter um relação entre a componente tangencial da velocidade do fluido e a tensão de cisalhamento na interface de acoplamento. Dessa maneira, define-se o campo de velocidades do problema em um espaço de interpolação H(div, ). Essa escolha está associada à condição de continuidade da componente normal da velocidade do fluido, ao passo que são consideradas as descontinuidades das componentes tangenciais entre dois elementos adjacentes.
Um modelo de acoplamento Darcy-Stokes pode ser utilizado para interpretar di-versos problemas da área da Engenharia, por exemplo, na área de petróleo, em estudos de poços e reservatórios e no escoamento em fraturas de rochas. Também é possível aplicar tal modelo em outras áreas, como em sistemas hidrológicos, onde a água percola através de rochas e areias, em processos industriais envolvendo filtragem, e em fenômenos fisi-ológicos, como o transporte em vasos sanguíneos. Entre outras aplicações, ressalta-se a importância de modelos de acoplamento para alguns estudos sobre a contaminação dos solos por resíduos químicos industriais (VASSILEV; YOTOV, 2009).
Pretende-se realizar neste trabalho uma simulação numérica de acoplamento Darcy-Stokes e, assim, construir um modelo que descreva o comportamento do concreto auto-adensável (CAA) ao ser lançado entre barras de aço. É considerada a transição entre um domínio sem armaduras, descrito pelas equações de Stokes, e outro domínio, onde o concreto escoa por entre barras de aço, formando uma região que pode ser aproximada pela lei de Darcy.
Este trabalho foi realizado integralmente no Laboratório de Mecânica Computa-cional (LabMeC) da Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Uni-camp. Para a simulação numérica dos modelos mencionados, foi utilizado um ambiente de programação orientada a objetos, denominado PZ (DEVLOO, 1997). A implementação computacional é desenvolvida em linguagem de programação C++.
1.1 Objetivos
O presente trabalho tem como objetivo a implementação computacional de for-mulações fracas para o Método de Elementos Finitos, com aproximações contínuas e des-contínuas. A partir de estudos sobre fluidos descritos pelas equações de Stokes e Darcy, e análises de espaços de aproximação, pretende-se aplicar modelos numéricos capazes de re-produzir o comportamento físico de uma situação de interesse para a área da Engenharia Civil, precisamente, o escoamento de concreto auto-adensável.
Este trabalho também visa contribuir nos estudos do laboratório LabMeC, princi-palmente, pela aplicação dessas formulações no estudo de escoamentos, utilizando modelos Darcy-Stokes acoplados numa mesma formulação.
Outra contribuição significativa é a aplicação, no modelo de Stokes e em seu aco-plamento com o de Darcy, da classe computacional referente a uma família de funções-base para o espaço H(div, ), a qual foi recentemente incorporada à biblioteca do ambiente PZ, em estudos realizados no LabMeC (SIQUEIRA, 2012). A utilização de espaços do tipo H(div, ) é justificada pela capacidade de gerar, juntamente com as formulações dos problemas estudados, uma aproximação numérica que garanta a conservação de massa do sistema, pois pela definição desses espaços, temos que a equação de continuidade é respeitada (Ò . ˛u = 0).
Para a realização deste trabalho, são propostas as seguintes etapas específicas: - Construção de novas classes para a implementação de contribuições das formulações
fracas, moldadas para diferentes condições de contorno, geometrias e espaços de aproximação.
- Implementação de um código computacional estabilizado e que se adapte a diferentes configurações de espaços de aproximação no processamento dos resultados.
- Verificação dos modelos numéricos do MEF a partir da obtenção de taxas de con-vergência de erros.
- Análise comparativa dos resultados numéricos para diferentes configurações de es-paços de aproximação.
- Resolução de problemas utilizando malhas com contornos curvos.
1.2 Justificativa
A motivação deste trabalho está na possibilidade de desenvolver formulações ma-temáticas em um rico ambiente computacional, visando a construção de modelos que
poderão ser aplicados a problemas multifísicos, em diversas áreas do conhecimento, como nas Engenharias, na Química e nas Ciências Biológicas.
De maneira específica, este trabalho apresenta como contribuição para a Enge-nharia Civil, a construção de um modelo de acoplamento Darcy-Sokes, adaptado para melhor entender as potencialidades do concreto auto-adensável (CAA), verificando sua deslocabilidade por entre barras de aço.
1.3 Revisão bibliográfica
Os primeiros trabalhos no desenvolvimento de soluções aproximadas para equações diferenciais datam do início do século XX, com o Método de Rayleigh-Ritz e o Método de Galerkin. Em 1943, Courant et al. (1943) apresenta um método variacional, aplicando a ideia de funções "trial", definidas em malha de sub-regiões de elementos finitos. O trabalho de Courant permite resolver a restrição que existia nos métodos anteriores, com relação à verificação das condições de contorno.
O Método dos Elementos Finitos tem grande êxito a partir dos anos 60, com a necessidade de resolver problemas complexos de elasticidade e análise estrutural, para a construção civil e aeronáutica. Nessa década, foram escritos os primeiros artigos nos quais a denominação de Método dos Elementos Finitos foi empregada, notavelmente, no trabalho de Clough (1960) e, posteriormente, por Argyris e Scharpf (1969) eZienkiewicz et al. (1977).
Como descrito no livro texto de Becker (1981), o Método de Galerkin torna-se uma importante ferramenta para se encontrar soluções aproximadas em subespaços de dimensões finitas, resultantes da discretização do domínio. E nesse contexto, o Método dos Elementos Finitos fornece uma técnica geral e sistemática para a construção de funções-base, necessárias para modelar a solução de um problema de contorno. A formulação clássica utiliza espaços H1-conformes, baseados em uma partição do domínio, por meio
de aproximações polinomiais locais que garantem a continuidade das funções nas interfaces dos elementos.
O estudo prático de problemas onde o termo convectivo é dominante se aplica a diversas áreas, por exemplo, na análise de fluidos visco-elásticos, fluidos turbulentos, fluidos granulares, acústica de aeronaves, fluidodinâmica de gases, transporte de fluidos contaminantes em meios porosos, entre outros. Cockburn, Karniadakis e Shu (2000) re-latam que encontrar um método de resolução robusta para problemas convectivos é uma tarefa complexa, pois a solução exata pode desenvolver descontinuidades em um tempo finito. O Método de Galerkin Descontínuo, usando aproximações descontínuas, incorpora algumas características do Método dos Volumes Finitos, como a ideia de fluxos numéri-cos e limites de inclinação; esse fato amplia as potencialidades do Método dos Elementos
Finitos, permitindo reproduzir tais descontinuidades sem produzir oscilações espúrias em suas proximidades.
No artigo elaborado por Toselli (2002), são utilizados espaços descontínuos para descrever velocidade e pressão em um problema de Stokes. Verifica-se que mesmo se a convecção não é dominante, ainda assim, é preciso utilizar espaços/formulações apro-priados para o tratamento do termo difusivo e, desse modo, garantir a estabilidade da aproximação.
EmWang, Wang e Ye(2009), é proposta uma aproximação para a equação de Sto-kes, utilizando espaço H(div, ) para a velocidade. Nesse artigo, é evidenciada a robustez desse espaço para tratar o problema de Stokes, devido ao fato do fluido ser incompressível, impondo a condição do divergente nulo para a velocidade de forma natural.
Com relação ao problema de Darcy, uma formulação mista H(div, )-conforme é proposta em Brezzi e Fortin (1991). A formulação do Método de Galerkin Descontínuo, apresentada em Cockburn e Shu (1998), também pode ser utilizada para estudar o pro-blema de Darcy. Já no trabalho realizado porBrezzi et al. (2005), para formulação mista de Darcy, é feita a comparação de algumas técnicas de estabilização para esse problema, de maneira a controlar os saltos de pressão nas interfaces entre elementos.
Um modelo com dois domínios, formado pelo acoplamento das formulações de Darcy e Stokes, pode ser construído, representando a interface entre um meio poroso e outro viscoso.Chen, Wang e Wang(2015) propõem e analisam uma formulação fraca uti-lizando a técnica de Galerkin para o problema de acoplamento. Nesse estudo, um espaço de funções apropriado é escolhido para garantir a condição de continuidade da compo-nente normal da velocidade. Já em Correa (2006), é feito um estudo sobre as condições de Beavers-Joseph-Saffman para a interface Darcy-Stokes, além disso, métodos estabiliza-dos para o sistema acoplado são desenvolviestabiliza-dos, possibilitando o emprego de interpolações lagrangianas de mesma ordem para pressão e velocidade, nos dois domínios analisados. Pode-se também citar o trabalho de Kanschat e Riviere (2010), em que um método con-servativo é aplicado para o problema de acoplamento.
Outro estudo de grande interesse e que busca relacionar as formulações de Stokes e Darcy, diz respeito à resolução do problema de homogeneização de uma malha perfurada (ou com obstáculos). Em Sandström et al. (2013), vários testes são realizados para des-crever o escoamento de um fluido viscoso, de acordo com a lei de Stokes, em uma malha com obstáculos circulares de diâmetros variados. Em seguida, uma técnica de homogenei-zação é utilizada, obtendo-se um domínio de Darcy com coeficientes de permeabilidade equivalentes aos obstáculos. Em complemento a esse estudo, pode-se citar o trabalho de simulação numérica realizado porKola ík, Patzák e Zeman(2015), em que o problema de Stokes com obstáculos é resolvido, restringindo a homogeneização a um subdomínio, o que resulta em uma formulação de um acoplamento Darcy-Stokes. A modelagem apresentada
é aplicada ao comportamento do concreto auto-adensável, cuja viscosidade é descrita pelo modelo de Bingham.
Para estruturar a análise numérica deste trabalho, é utilizada uma ferramenta de programação pertinente, munida com uma vasta gama de funcionalidades e classes preparadas para a resolução de problemas envolvendo o Método dos Elementos Finitos. O ambiente PZ (DEVLOO, 1997), elaborado em linguagem C++ orientada a objetos, é empregado. Esse ambiente de programação conta com uma base de funções de aproxima-ção já implementada, permitindo a análise de diferentes espaços de aproximaaproxima-ção, para os métodos de Galerkin contínuo e descontínuo, bem como para formulações mistas usando espaços H(div, ).
Entre os trabalhos já elaborados utilizando o ambiente PZ, citamos Devloo, Forti e Gomes (2007). Nesse trabalho, o Método de Galerkin Descontínuo é aplicado a proble-mas de convecção-difusão, desenvolvidos por meio da formulação fraca introduzida por Baumann (1997). De acordo com Devloo, Forti e Gomes (2007), o Método de Galer-kin Descontínuo apresenta vantagens em relação à abordagem feita por elementos finitos contínuos, por restringir as oscilações apenas à região de forte gradiente do domínio; po-rém tem como desvantagem o aumento significativo no número de graus de liberdade do problema e com isso, aumento no tempo de processamento.
1.4 Metodologia
Neste Capítulo, é descrita a metodologia para a organização e elaboração do pre-sente trabalho. Neste trabalho, utilizamos o algorítimo do Método dos Elementos Finitos para a resolução de problemas de interesse para a Engenharia, e aplicamos uma rotina sistemática para a análise numérica e verificação da formulação considerada.
A seguir, é apresentada a ordenação das etapas para a estruturação deste trabalho, e para cada uma delas, é detalhado o procedimento utilizado.
Etapas do trabalho: - Fundamentação teórica - Definição do problema
- Desenvolvimento da formulação matemática - Implementação computacional
1.4.1 Fundamentação teórica
São feitos estudos sobre as teorias de Stokes e Darcy, para que seja possível inter-pretar fisicamente os resultados obtidos pela simulação computacional; e são analisadas as mais recentes técnicas de discretização do problema pelo Método dos Elementos Finitos, adequadas à resolução de problemas de mecânica dos fluidos, de maneira a garantir um código computacional robusto para a aproximação numérica.
Para compreensão da estrutura do ambiente PZ, foi necessário aprender a lingua-gem de programação C++ e entender a ideia de programação orientada a objetos.
1.4.2 Definição do problema
Nesta etapa, são definidos os modelos para a posterior simulação numérica. Pretende-se estudar o comportamento de um problema relacionado à Engenharia, porém, antes é preciso construir modelos matemáticos, com propriedades e constantes que não estão re-lacionadas a dados experimentais. Permite-se escolher tais modelos, pois estes são acom-panhados de soluções exatas conhecidas na literatura, e são utilizados para a verificação do código computacional implementado a partir da obtenção das respectivas taxas de convergência de erros para os espaços de aproximação utilizados.
Nesse contexto, três modelos são escolhidos: - Modelo matemático para o problema de Stokes - Modelo matemático para o problema de Darcy
- Modelo matemático para o problema de acoplamento Darcy-Stokes.
É também preciso definir todas as condições do problema: a geometria, as condições de contorno e o espaço de aproximação.
A escolha de um modelo matemático é uma etapa de grande importância para a qualidade da construção do código computacional, de tal maneira que todas as condições e restrições sejam verificadas. Um modelo completo deve passar por testes e estar adaptado aos espaços de interpolação estudados.
1.4.3 Desenvolvimento da formulação matemática
As formulações dos modelos estudados são analisadas previamente, e todas as restrições, consideradas. Procura-se inicialmente obter a formulação fraca ou variacional de cada modelo pelo Método de Galerkin Descontínuo. Essa formulação engloba todas as condições nos contornos e nas interfaces, como saltos e médias. E a partir dessa formulação
"descontínua", fazemos algumas adaptações e simplificações para obter as formulações para os espaços H(div, ) e [H1( )]2.
Nos Capítulos 4, 5 e 6, é apresentado em detalhes o desenvolvimento para obtenção das formulações variacionais relacionadas aos problemas físicos estudados. Esse processo tem como objetivo calcular as contribuições de cada ponto de integração, nas matrizes de rigidez e nos vetores de carga, para o sistema de equações lineares do Método dos Elementos Finitos.
Antes de iniciar a etapa de implementação computacional, todas as contribuições obtidas são previamente testadas pelo software Mathematica, onde é elaborada uma ro-tina de programação para a análise das matrizes e vetores de cada tipo de contribuição (interfaces, contornos e elementos internos). Para isso, é construída uma base de funções de forma semelhante àquela utilizada pelo ambiente PZ, com o intuito de moldar a solu-ção aproximada do problema. Os valores obtidos pelo ambiente PZ e pelo Mathematica são comparados, tal procedimento serve como ferramenta para corrigir possíveis erros relacionados à formulação fraca e à implementação do código computacional.
1.4.4 Implementação computacional
A implementação computacional é, sem dúvidas, a etapa primordial para o sucesso deste trabalho. Para garantir a robustez do código, ao passo que toda implementação é feita no ambiente PZ, testes de verificação são considerados necessários.
No Capítulo 7, é feito um detalhamento sobre essa importante etapa do trabalho.
1.4.5 Análise e verificação dos resultados
Para a verificação do modelo matemático escolhido, são analisadas as taxas de convergência dos erros obtidos. Gráficos logarítmicos desses erros de aproximação são utilizados, e a partir da inclinação dos mesmos, verificam-se as respectivas taxas de con-vergência.
Essa etapa de verificação finalmente garante que o modelo está adequado para uma simulação de um problema multifísico, envolvendo parâmetros experimentais.
1.5 Organização do texto
Esta dissertação está organizada em dez Capítulos.
As notações e os aspectos do Método de Elementos Finitos são apresentados no Capítulo 2. Inicialmente são indicados os espaços de aproximação utilizados neste trabalho
e, em seguida, é feita a descrição das etapas necessárias para a simulação numérica com o MEF.
No Capítulo 3, são feitos estudos gerais para o embasamento teórico dos problemas de Stokes e Darcy.
Nos três Capítulos seguintes, são desenvolvidas as formulações fracas para as si-mulações numéricas dos modelos em estudo: no Capítulo 4, a formulação do Método de Elementos Finitos para Stokes; no Capítulo 5, para Darcy; e no Capítulo 6, para o problema de acoplamento Darcy-Stokes.
No Capítulo 7, é detalhado o procedimento de implementação computacional e as características do ambiente de programação denominado PZ.
No Capítulo 8, são feitas verificações numéricas relacionadas às formulações fracas desenvolvidas e implementadas computacionalmente. A verificação dos modelos matemá-ticos, e a análise dos resultados, são feitos a partir da obtenção de gráficos com taxas de convergência dos erros.
No Capítulo 9, algumas aplicações numéricas são desenvolvidas para as formula-ções verificadas de Stokes e de acoplamento Darcy-Stokes.
2 Notação e Noções sobre o MEF
Conceitos básicos, como operadores, espaços e as características do Método de Elemento Finitos (MEF), são apresentados neste Capítulo.
2.1 Notação
2.1.1 Operadores
Inicialmente, define-se um aberto limitado, µ Rn, com fronteira Lipschitz regular
ˆ . Para funções escalares u : æ R e funções vetoriais ˛u : æ Rn, os seguintes
operadores são definidos: Operador gradiente: (Òu)i = ˆu ˆxi , (2.1) (Ò˛u)ij = ˆui ˆxj . (2.2) Operador divergente: Ò · ˛u = n ÿ i=1 ˆui ˆxi . (2.3)
Denota-se, igualmente, o operador divergente para a matriz A : æ Rn
◊ Rn: (Ò · A)i= n ÿ j=1 ˆAij ˆxj . (2.4)
Definição 2.1. Uma partição do domínio é expressa por:
= { e, e= 1, . . . , nel}, (2.5)
em um número finito nel de subconjuntos formados por elementos quadriláteros (ou
tri-angulares):
= n€el
e=1
de tal modo que, para dois elementos i e j, ifl j = ÿ para i ”= j.
Denota-se por E as arestas dos elementos e, as quais podem ser internas
(inter-faces) ou externas (bordas, ˆ h).
A união de todas as arestas internas tem notação int e o conjunto de bordas
ex-ternas é denominado b. Sendo , a união de todas as arestas (internas e bordas externas),
ou seja: = intfi b Y ] [ int = {E œ : E fl ˆ h = ÿ} b = {E œ : E œ ˆ h}. (2.7)
2.1.2 Espaços de funções escalares e vetoriais
Espaço Lebesgue L2( ):
O espaço de Lebesgue L2( ) das funções escalares u quadrado integráveis, é
defi-nido como: L2( ) = ; u: u œ e, ⁄ u2d <Œ < , (2.8) o produto interno é: (u, v) =⁄ u v d , (2.9) e a norma associada:
ÎuÎL2( )= ÎuÎ = (u, u) 1
2. (2.10)
No espaço de funções vetoriais ˛u = {u1, u2}, denota-se:
[L2( )]2=;˛u: ˛u œ e, ⁄ (Îu1Î2+ Îu2Î2)12d <Œ < , (2.11)
juntamente com a norma:
Espaços de Hilbert Hm( ):
O espaço de Hilbert para uma ordem inteira e não-negativa m, é definido sobre . Neste espaço, as funções e suas respectivas derivadas no sentido das distribuições são quadrado integráveis, ou seja:
Hm( ) = {u œ L2( ) : |–| Æ m, ˆ–u
œ L2( )}, (2.13)
em que |–| = –1+ . . . + –n, e ˆ–usão as derivadas parciais para n dimensões:
ˆ–u= ˆ|–|u ˆ–1
x1 ...ˆx–nn
. (2.14)
O produto interno em Hm( ) é definido por:
(u, v)m = ÿ |–|Æp ⁄ (ˆ–u).(ˆ–v) d , (2.15) com norma:
ÎuÎHm( ) = ÎuÎm= (u, u)1/2m . (2.16) Observa-se que para ordem m=0, tem-se que H0( ) = L2( ).
Define-se o respectivo espaço de funções vetoriais, ˛u = {u1, u2}:
[Hm( )]2 = {˛u œ [L2( )]2: |–| Æ m, ˆ–u
1 œ L2( ), ˆ–u2 œ L2( )}, (2.17)
e a norma:
βuÎ[Hm( )]2 = βuÎm= (Îu1Îm+ Îu2Îm)1/2. (2.18)
Espaço H(div, ):
Define-se o espaço:
H(div; ) = {˛u œ [L2( )]2 : Ò · ˛u œ L2( )}, (2.19)
cuja norma é:
Espaço quebrado Hm( ) :
Os espaços de aproximação para a construção de elementos descontínuos são deno-minados "espaços quebrados" ou "broken spaces". Nesta Seção, são feitas referências aos trabalhos de Oden, Babuˆska e Baumann (1998) eDolejöí e Feistauer (2015).
Seja , uma partição de domínio, considera-se o seguinte espaço com ordem de aproximação m:
Hm( ) =Ó˛u
œ [L2( )]2, ˛u| e œ [Hm( e)]2,’ eœ
Ô
. (2.21)
Associada a esse espaço, a seguinte norma é definida: ÎuÎm, = Anel ÿ e=1 ÎuÎ2Hm( e) B1/2 , (2.22)
em que o termo Î . ÎHs( e) é a norma indicada em (2.16).
Definição 2.2. Para toda interface E œ int (entre dois elementos 1e 2) e coordenada
xœ E, o operador salto de uma função v œ L2( ) v é apresentado abaixo:
JvKE(x) = v| 1(x) ≠ v| 2(x). (2.23)
Definição 2.3. Para toda interface E œ int e coordenada x œ E, o operador média de
uma função v œ L2( ) é definido como:
ÈvÍE(x) =
1
2(v| 1(x) + v| 2(x)) . (2.24)
Na Figura1, são representados o salto e a média de uma função v, para um ponto
x, na fronteira entre dois elementos de um problema unidimensional. E na Figura 2, é
apresentado o esquema de uma interface E de uma malha bidimensional, definida por dois elementos 1 e 2.
Figura 1 – Salto e média de uma função v, para um problema de uma dimensão.
Figura 2 – Interface E entre dois elementos de uma malha.
Para todo E œ e para qualquer ponto x œ E, define-se uma normal unitária nE
à interface E no ponto x. A normal unitária nE tem sua orientação escolhida de acordo
com o posicionamento dos elementos 1 e 2. Na Figura 2, é adotado o sentido de 1
para 2.
2.2 Noções sobre o MEF
2.2.1 Definições iniciais
No presente trabalho, o espaços são construídos a partir de domínios bidimensio-nais µ R2 e, assim, os pontos ˛x œ são da forma ˛x = {x, y}.
Espaços polinomiais escalares
• Espaço de polinômios de grau Æ k Pk( e) = {p : p(˛x) =
ÿ
i+jÆk
ai,jxiyj, ˛xœ e}, (2.25)
com dimensão igual a 1
2(k + 1)(k + 2).
• Espaço de polinômios de grau total k Qk( e) = {p : p(˛x) =
ÿ
i,jÆk
ai,jxiyj, ˛xœ e}, (2.26)
com dimensão igual a (k + 1)2.
Espaço polinomiais vetoriais
• Espaço de polinômios de grau Æ k ≠ æP
k( e) = {˛p : ˛p œ [Pkk( e)]2}, (2.27)
• Espaço de polinômios de grau total k ≠
æ
Qk( e) = {˛p : ˛p œ [Qkk( e)]2}, (2.28)
com dimensão igual a (k + 1)2.
Espaços de aproximação de dimensão finita
Neste tópico, são introduzidos os espaços de aproximação de dimensão finita, es-calares e vetoriais ≠æV, em termos de aproximações polinomiais locais, e e ≠æVe, nos
elementos e œ . O estudo realizado neste trabalho considera espaços de aproximação
≠
æVd, para funções descontínuas; ≠æV c, para funções contínuas; e ≠æVdiv, para funções em
subespaço de H(div, ). = {Ï œ L2( ); Ï| e œ e}, (2.29) ≠ æ V = ≠æVd = {˛Ï œ [L2( )]2; ˛Ï| e œ ≠ æ Vde}, (2.30) ≠ æV = ≠æV c = {˛Ï œ [H1( )]2; ˛Ï| e œ ≠ æV c e}, (2.31)
≠ æV = ≠æV div = {˛Ï œ H(div, ); ˛Ï| e œ ≠ æV div e }. (2.32)
As aproximações polinomiais locais ≠æV ee esão formados por funções polinomiais,
escolhidas adequadamente: • e= Pdk ou e= Qdk.
Pd
k e Qdk são espaços polinomiais escalares, formados por funções descontínuas,
con-siderando malhas com elementos triangulares e quadriláteros, respectivamente. • ≠æV d e= ≠ æPd k ou ≠ æVd e = ≠ æQd k, ≠ æPd
ke ≠æQdksão espaços polinomiais vetoriais, formados por funções descontínuas, para
malhas de elementos finitos triangulares e quadriláteros, respectivamente. • ≠æV c e= ≠ æPc k ou ≠ æVc e = ≠ æQc k, ≠ æPc k e ≠ æQc
k são espaços polinomiais vetoriais, formados por funções contínuas, para
malhas de elementos finitos triangulares e quadriláteros, respectivamente. • ≠æV div e = ≠ æ Pdiv k ou ≠ æ V div e = ≠ æ Qdiv k . ≠ æPdiv k e ≠ æQdiv
k são espaços polinomiais vetoriais, formados por funções cuja
compo-nente normal é contínua, para malhas de elementos finitos triangulares e quadrilá-teros, respectivamente.
Os espaços de funções polinomiais ≠æVdiv
e e e, definidos nos elementos e, devem
satisfazer a condição de compatibilidade de De Rham, de tal modo que: Ò ·≠æVdiv
e µ e. (2.33)
Função de mapeamento e elemento mestre
Na construção das funções de base dos espaços de aproximação (≠æV e ), define-se
o elemento mestre ˆ. Os pontos de ˆ são mapeados para cada elemento eœ , a partir
de uma aplicação invertível Te: ˆ æ etal que e= Te(ˆ). Teé aqui denominada função
de mapeamento.
Como exemplo, considera-se um elemento de referência ˆ. Para efeito de simpli-cidade, utiliza-se um elemento quadrilátero, conforme Figura 6, com coordenadas locais
› e ÷, de tal modo que os pontos (›, ÷) em ˆ satisfaçam as condições: ≠1 Æ › Æ 1 e
Figura 3 – Função de mapeamento Te.
Na sequencia, é apresentada a função de mapeamento, Te : ˆ æ e, definida pela
mudança de coordenadas: Te: Y _ ] _ [ x= x(›, ÷) y = y(›, ÷) . (2.34)
2.2.2 Bases para os espaços locais
O procedimento para a construção de funções de base escalares é descrito em Devloo, Bravo e Rylo (2009). Inicialmente, são construídas as bases hierárquicas ˆBˆ no
elemento mestre, para espaços polinomiais ˆ :
ˆ = Qk(ˆ) ou ˆ = Pk(ˆ),
relacionados a elementos quadrilaterais e triangulares, respectivamente. Na sequência, as bases Bk
e são construídas para subespaços de funções e, usando função de mapeamento
Te: ˆ æ e.
Na sequência são apresentadas as funções de base seguindo as teorias desenvolvidas em Ciarlet (1978), Becker (1981) e Brezzi e Fortin (1991). Para maiores detalhes sobre o procedimento de construção de bases no ambiente computacional PZ, recomenda-se o trabalho de Siqueira (2012).
Bases hierárquicas no elemento mestre (quadriláteros)
O elemento mestre quadrilateral ˆ tem quatro vértices: ˆa0 = (≠1, ≠1), ˆa1 =
(1, ≠1), ˆa2 = (1, 1) e ˆa1 = (≠1, 1). Os vértices consecutivos formam quatro arestas, ˆlm.
• 4 funções de vértice ˆÂˆam ˆ ˆa0(›, ÷) = (1≠›) 2 (1≠÷)2 , ˆˆa1(›, ÷) = (1+›)2 (1≠÷)2 , ˆ ˆa2(›, ÷) = (1+›) 2 (1+÷)2 , ˆˆa3(›, ÷) = (1≠›)2 (1+÷)2 . (2.35) • 4(k ≠ 1) funções de aresta ˆÂˆlm,n, k Ø 2 ˆ
ˆl0,n(›, ÷) = ˆÂˆa0(›, ÷)[ ˆÂˆa1(›, ÷) + ˆÂˆa2(›, ÷)]f n(›),
ˆ
ˆl1,n(›, ÷) = ˆÂˆa1(›, ÷)[ ˆÂˆa2(›, ÷) + ˆÂˆa3(›, ÷)]fn(÷),
ˆ
ˆl2,n(›, ÷) = ˆÂˆa2(›, ÷)[ ˆÂˆa3(›, ÷) + ˆÂˆa0(›, ÷)]f n(≠›),
ˆ
ˆl3,n(›, ÷) = ˆÂˆa3(›, ÷)[ ˆÂˆa0(›, ÷) + ˆÂˆa1(›, ÷)]f n(≠÷),
(2.36)
em que fn representa os polinômios de Chebychev, fn(›) = cos(n arccos(›)), de
ordem n, para n = 0, . . . , k ≠ 2. • (k ≠ 1)2 funções internas ˆÂˆ,n0,n1, kØ 2 ˆ ˆ,n0,n1 = ˆÂˆa0(›, ÷) ˆÂˆa2(›, ÷)f n0(›)fn1(÷), (2.37) em que 0 Æ n0, n1Æ k ≠ 2.
(a) Função vértice ˆÂˆa0(›, ÷) (b) Função aresta ˆÂˆl0,0(›, ÷)
(c) Função aresta ˆÂˆl0,1(›, ÷) (d) Função interna ˆÂˆ,0,0(›, ÷)
Bases hierárquicas no elemento mestre (triangulares)
Considera-se, agora, um elemento mestre triangular ˆ com três vértices: ˆa0 =
(0, 0), ˆa1 = (1, 0) e ˆa2 = (0, 1). Os vértices consecutivos formam três arestas, ˆlm. As
funções de base são constituídas por: • 3 funções de vértice ˆÂˆam
ˆ
ˆa0(›, ÷) = 1 ≠ › ≠ ÷, ˆˆa1(›, ÷) = ›, ˆˆa2(›, ÷) = ÷. (2.38)
• 3(k ≠ 1) funções de aresta ˆÂˆlm,n, k Ø 2 ˆ ˆl0,n(›, ÷) = ˆÂˆa0(›, ÷) ˆÂˆa1(›, ÷)fn(÷ + 2› ≠ 1), ˆ ˆl1,n(›, ÷) = ˆÂˆa1(›, ÷) ˆÂˆa2(›, ÷)f n(÷ ≠ ›), ˆ ˆl2,n(›, ÷) = ˆÂˆa2(›, ÷) ˆÂˆa0(›, ÷)f n(1 ≠ › ≠ 2÷), (2.39) para n = 0, . . . , k ≠ 2. • (k≠2)(k≠1)2 funções internas ˆÂˆ,n0,n1, kØ 3 ˆ
ˆ,n0,n1 = ˆÂˆa0(›, ÷) ˆÂˆa1(›, ÷) ˆÂˆa2(›, ÷)fn
0(2› ≠ 1)fn1(2÷ ≠ 1), (2.40)
em que 0 Æ n0+ n1 Æ k ≠ 3.
(a) Função vértice ˆÂˆa0(›, ÷) (b) Função aresta ˆÂˆl0,0(›, ÷)
(c) Função interna ˆÂˆ,0,0(›, ÷)
O conjunto das funções de forma, apresentadas anteriormente, constituem a base para o espaço de polinômios,
ˆ
Bˆ = { ˆÂˆam(›, ÷), ˆÂˆlm,n(›, ÷), ˆÂˆ,n0,n1(›, ÷)}, (2.41) em que ˆ = Qk(ˆ) ou ˆ = Pk(ˆ), para malhas com elementos quadriláteros ou
triangu-lares, respectivamente.
Mapeamento das funções de base
Nesta etapa, as bases são construídas para subespaços de funções ˆ µ H1(
e),
considerando a partição do domínio e a função de mapeamento Te : ˆ æ e, do
elemento mestre ˆ sobre e œ . Dessa maneira, é obtido o conjunto de bases escalares
Bk e, Bk e = {Âa e m(˛x), Âlem,n(˛x), Â e,n0,n1(˛x)}, (2.42)
o qual é formado pelas seguintes funções: • Funções de vértice Âae
m, obtidas pelo mapeamento Âaem(˛x) = ˆÂˆaem(T≠1
e (˛x)),
• Funções internas  e,n0,n1, obtidas pelo mapeamento  e,n0,n1(˛x) = ˆÂˆ,n0,n1(T≠1
e (˛x)),
• Funções de aresta Âle m,n.
No caso das funções de aresta, apenas a utilização da função de mapeamento não é suficiente para garantir, nas interfaces comuns entre elementos, que as funções de aresta de cada elemento sejam coincidentes. Para exemplificar, são apresentadas na Figura 6 as funções de aresta de dois elementos vizinhos. As funções descontínuas são aquelas em que o mapeamentos geométricos é feito sem parametrização. Com relação à obtenção de espaços H1-conformes, uma etapa de parametrização é necessária e, assim, a continuidade
Figura 6 – Funções de aresta construídas com mapeamentos geométricos: (a) sem para-metrização e (b) com parapara-metrização. Fonte: Siqueira (2012).
Funções escalares podem ser expandidas a partir das funções de bases definidas anteriormente. Seja uma função escalar Ï : æ R tal que Ïe= Ï|
e œ e, e e œ , a expansão de Ïe é feita, utilizando o conjunto de bases Bk
e, de tal modo que:
Ïe=ÿ ae m –emÂa e m +ÿ le m k≠2 ÿ n=0 —m,ne Âl i m,n+ kÿ≠2 n0=0 kÿ≠2 n1=0 “ne0,n1Â e ,n0,n1, (2.43) em que –e
m, —m,ne , “ne0,n1 são os coeficientes multiplicadores associados às funções de aresta,
de vértice e internas, respectivamente. Bases para espaços vetoriais
A construção de bases para espaços vetoriais ≠æBk
e é feita a partir de funções de
tipo aresta ou internas. Esse processo é feito considerando as propriedades das funções escalares de uma base hierárquica e um conjunto de vetores, construídos a partir dos elementos e. Em Raviart e Thomas(1977) e Nédélec (1986), são apresentadas funções
vetoriais que constituem a base para a utilização de espaços H(div, ) em malhas com elementos quadriláteros e triangulares. Recomenda-se o trabalho de Siqueira, Devloo e Gomes(2013), onde é descrito um procedimento de construção de bases hierárquicas para o espaço H(div, ), da maneira como é implementado no ambiente PZ. Em um trabalho mais recente,Castro et al.(2016) apresenta o desenvolvimento de espaços de aproximação para malhas curvas.
Algumas características devem ser respeitadas durante a construção das bases para espaços vetoriais. Como exemplo, para funções vetoriais ˛u œ H(div, ), deve ser verificada, na interface E entre elementos 1 e 2, a seguinte condição:
em que ˛n| 1 e ˛n| 2 são os vetores normais externos às arestas coincidentes de 1 e 2,
respectivamente.
2.2.3 Caracterização dos espaços
Espaços polinomiais do tipo ≠æPc k ou ≠
æQc k
A construção de espaços polinomiais cujas funções são contínuas (H1-conformes)
é feita a partir de uma escolha apropriada dos coeficientes multiplicadores das bases ≠æBk
1
e ≠æBk
2, relacionadas aos elementos vizinhos 1 e 2, respectivamente. Para garantir a
continuidade, esses coeficientes devem ser iguais para as funções de vértice e aresta na interface comum entre os dois elementos, em ambos lados.
Espaços polinomiais do tipo ≠æPdiv k e ≠
æQdiv k
Os espaços H(div, )-conformes considerados aqui são espaços de Raviart-Thomas, representados por ≠æPdiv
k e ≠
æ Qdiv
k , para elementos triangulares e quadriláteros,
respectiva-mente. Eles são caracterizados por funções com componente normal contínua, conforme expressão (2.44). Para garantir isso, os coeficientes multiplicadores das bases ≠æBk
1 e ≠æBk2,
relacionadas, respectivamente, aos elementos vizinhos 1 e 2, devem ser de mesma
mag-nitude e com sinais invertidos para as funções de aresta na interface comum entre os dois elementos, em ambos lados.
Uma propriedade importante desses espaços é que Ò · ≠æPdiv
k = Pk, para malhas
com elementos triangulares, e Ò · ≠æQdiv
k = Qk, para elementos quadriláteros. Para que isso
aconteça, ≠æPdiv
k deve ser gerados por funções de base de ≠
æP
k e por algumas funções internas
2.3 Método dos elementos finitos
O desenvolvimento de uma aproximação numérica utilizando o método dos ele-mentos se baseia nas seguintes etapas:
• Definição e estudo do problema e das condições impostas ao sistema. • Estabelecer uma formulação fraca para o problema.
• Definir a geometria.
• Determinar o espaço de aproximação.
• Aplicar um método de aproximação de acordo com o espaço adotado (no caso, o Método de Galerkin).
• Obtenção e resolução de um sistema de equações lineares.
• Análise dos resultados, estimativa dos erros de aproximação e taxas de convergência. As etapas aqui descritas são detalhadas para os casos específicos dos problema de Stokes e Darcy nos capítulos 4 e 5, respectivamente.
3 Modelos matemáticos de Stokes e Darcy
3.1 Problema de Stokes
Para descrever o escoamento de um fluido viscoso, utiliza-se o modelo de Stokes, o qual é obtido por meio das leis de conservação de momento e de balanço de massa. É considerada a lei constitutiva para fluidos newtonianos, incompressíveis e de escoamento lento (número de Reynolds Re << 1).
3.1.1 Equações constitutivas
Nesta Seção, são apresentadas as equações constitutivas para o tensor de tensões T de um fluido newtoniano. Essas equações representam modelos que expressam o com-portamento físico de um fluido sob determinadas condições.
A tensão é a soma de duas partes, uma devida às forças normais e relacionada a uma pressão p, e outra, associada ao movimento relativo entre as partículas do fluido (desvio de tensão).
Os fluidos newtonianos, como alguns líquidos e os gases, apresentam uma relação linear entre a tensão e sua taxa de deformação. O coeficiente dessa relação linear é a viscosidade µ.
Nas equações constitutivas, considera-se o tensor taxa de deformação D(˛u), com-posto pela parte simétrica do tensor gradiente da velocidade ˛u do fluido. O tensor D(˛u) está associado ao movimento relativo das partículas do fluido. Ou seja,
Ò˛u = 12(Ò˛u + Ò˛uT)
¸ ˚˙ ˝ Taxa de deformação +12(Ò˛u ≠ Ò˛uT) ¸ ˚˙ ˝ Vorticidade , (3.1) em que: D(˛u) = 1 2(Ò˛u + Ò˛uT). (3.2)
Dessa maneira, para fluidos newtonianos compressíveis, obtém-se a seguinte equa-ção constitutiva:
T = ≠3p+2µ
3 Ò ·˛u
4
