aula 12 FT

6 Sistemas de partículas com spin semi inteiro 6.1 A distribuição de Fermi-Dirac

Considere um gás ideal constituído por N partículas, contidas em um volume V. Q_i denota

todas as coordenadas da i-ésima partícula (por exemplo: suas três coordenadas de posição e

suas coordenadas de spin). O índice s_i indica os possíveis estados quânticos da partícula (por

exemplo: cada possível valor de s_i corresponde a uma especificação dos três componentes

de momento e da direção de seu spin). O estado do gás como um todo é descrito pelo

conjunto de números quânticos {s₁, s₂, s₃,..., s_N}, que caracteriza a função de onda do gás no

referido estado:

A aplicação da mecânica quântica a um sistema de partículas idênticas impõe certas condições de simetria sobre a função de onda, quando ocorre uma permutação entre duas partículas quaisquer na distribuição correspondente ao estado do sistema. Tais condições de simetria podem ser deduzidas no contexto mais profundo da teoria quântica de campos e estão relacionadas com o spin das partículas. Para partículas com momento angular total de spin, medido em unidades de , cujos valores são semi-inteiros (1/2, 3/2, 5/2,...), a

função de onda do sistema deve ser anti-simétrica:

(1)





(

Q

,

Q

,...

Q

)







,...)

,...

(...

,...)

,...

(...

Q

Q







Q

Q





Ou seja, a permuta entre duas partículas quaisquer altera o sinal da função de onda, mas não conduz a um novo estado do gás.

A troca no sinal tem uma conseqüência importante. Suponha que duas partículas “i” e “j” estejam no mesmo estado “s” e sejam permutadas. Nesse caso, deveríamos ter:

(2)

Mas, a única maneira de considerar conjuntamente (1) e (2) seria termos  = 0.

A conclusão é que, para partículas de spin semi-inteiro, não pode haver estados do gás

como um todo nos quais duas ou mais partículas ocupem o mesmo estado “s”, isto é, tenham os mesmos números quânticos.

Este é o princípio da exclusão de Pauli e, ao enumerar os estados distintos do gás constituído por esse tipo de partícula, deve-se considerar a restrição de que nunca se pode ter mais que uma partícula em um estado “s”.

Partículas que satisfazem a condição de anti-simetria da função de onda, possuindo spin semi-inteiro e obedecendo ao princípio de exclusão de Pauli, são denominadas férmions e sistemas de férmions são descritos pela distribuição estatística de Fermi-Dirac. Os elétrons são exemplos típicos de férmions.

,...)

,...

(...

,...)

,...

(...

Q

Q





Q

Q



Na mecânica quântica, “g_i” é dado pelos diferentes estados quânticos correspondentes a uma determinada energia, ou seja, é a degenerescência do nível de energia. Uma vez que o princípio de exclusão proíbe que duas partículas com spin semi-inteiro estejam no

mesmo estado (com os mesmos números quânticos), os “g_i” fornecem o número máximo

de férmions que podem ocupar um determinado nível de energia sem violar o princípio de

exclusão. Então, os valores de “n_i” de uma dada partição não podem exceder os “g_i”

correspondentes a cada nível de energia:

Para preencher o nível de energia E_i com n_i férmions, é possível colocar a primeira

partícula em qualquer um dos g_i estados disponíveis, isto é, pode-se atribuir a ela qualquer

um dos g_i conjuntos de números quânticos disponíveis. A segunda partícula pode ser

colocada em qualquer um dos g_i - 1 estados remanescentes; a terceira partícula pode ser

colocada em qualquer um dos g_i - 2 estados restantes, e assim por diante, até que todas as

n_i partículas sejam alocadas no nível de energia considerado. O número total de modos de

arranjar n_i férmions entre os g_i estados com energia E_i é:

i i

g

n



)!

(

!

)

1

)...(

2

)(

1

(

n

g

g

n

g

g

g

g













Como os férmions são indistinguíveis, não é possível notar qualquer diferença se as n_i partículas forem permutadas dentre os estados que elas estão ocupando no nível de energia E_i. Assim, o número total de modos distintos de arranjar n_i férmions idênticos dentre os g_i estados com energia E_i é:

O número total de diferentes modos de obter a partição n₁, n₂, n₃,... dentre os níveis de energia E₁, E₂, E₃,... para um sistema de férmions é dado por:

A distribuição mais provável na condição de equilíbrio é encontrada determinando-se o

máximo de lnW sujeito às condições:

e

)!

(

!

!

n

g

n

g



)!

(

!

!

n

g

n

g







W

N

n





n

E

U





A distribuição de Fermi-Dirac, que é a mais provável para um sistema de férmions em equilíbrio, é dada por:

A temperatura do sistema é expressa em termos do parâmetro

Define-se a quantidade

que tem dimensão de energia, sendo chamada energia de Fermi, de modo que se pode escrever:

A energia de Fermi é, na maioria dos casos, positiva e é interessante estudar o comportamento da distribuição de Fermi-Dirac em função da temperatura.

1





e

g

n

)

(



kT



kT









1





e

g

n



No limite de baixas temperaturas:

Isto implica que, no zero absoluto (T = 0), todos os estados com energia até E = _F estão totalmente ocupados (n_i = g_i) e todos os estados com energia E > _F estão vazios. Na estatística de Fermi-Dirac, o acúmulo de todas as partículas no nível de energia fundamental em T = 0 é evitado pelo princípio de exclusão e os férmions ocupam os níveis mais baixos de energia acessíveis até _F. A energia de Fermi indica, portanto, a máxima energia dos férmions no sistema em T = 0.

Conforme a temperatura aumenta, níveis com energias maiores que _F começam a ser

ocupados pela transferência de partículas de estados com menor energia. Entretanto,

somente estados com energias próximas a _F são afetados para temperaturas tais que

kT<<_F, pois todos os estados de baixa energia estão ocupados e o princípio de exclusão evita a adição de mais férmions a esses estados. Assim, apenas férmions com energia

próximas a _F podem passar para níveis desocupados mais elevados ao absorver uma

quantidade de energia kT relativamente pequena.

A temperatura q_F na qual _F = kq_F é chamada temperatura de Fermi.



















₍

₎

₀

0

)

(

0

lim

se

E

E

se

e







Distribuição de Fermi-Dirac para diferentes temperaturas:

A razão n_i/g_i corresponde à probabilidade do estado “i” estar ocupado. Então, para temperaturas acima do zero absoluto (T > 0), o nível de Fermi é o nível de energia para o qual a probabilidade de ocupação é igual a 1/2.

6.2 Elétrons de condução em metais: o gás de elétrons

Os níveis de energia dos elétrons em um metal estão agrupados em bandas. As bandas inferiores estão completamente preenchidas com elétrons em praticamente todas as temperaturas, mas a banda superior encontra-se apenas parcialmente preenchida com elétrons até certo nível de energia. Esta é a chamada banda de condução e, na análise seguinte, será considerada somente a distribuição dos elétrons pelo intervalo praticamente contínuo de energias nesta banda parcialmente ocupada.

O “zero” de energia será escolhido na “base inferior” da banda de condução e será assumido que os elétrons desta banda movem-se livremente no interior do metal. Tal hipótese é razoável ao se desprezar flutuações periódicas na energia potencial, de modo a considerar os elétrons em movimento em uma região de energia potencial média constante. Dessa forma, considera-se o sistema de interesse como um gás ideal de

elétrons. Como o espectro de energias dos elétrons na banda de condução é praticamente

contínuo:

E a distribuição de Fermi-Dirac é dada por:

dE

E

g

g



(

)

1

)

(





e

E

g

dE

dn



Pelo fato do spin dos elétrons apresentar duas orientações possíveis que resultam em diferentes estados para a mesma energia, a densidade de estados pode ser escrita como:

Assim, o número médio de elétrons livres por unidade de intervalo de energia é expresso pela equação de Fermi-Dirac, válida para a distribuição de energia de férmions livres:

Na figura a seguir, a equação de Fermi-Dirac é representada para T = 0K, para uma baixa

temperatura e para uma alta temperatura em relação à temperatura de Fermi q_F.





2

8

)

(

E

h

m

V

E

g





 

]

1

[

2

8





e

E

h

m

V

dE

dn





Distribuição de energia de um sistema de férmions em três temperaturas:

O número total de elétrons na banda de condução é dado por:

Para T = 0K e assumindo que a energia de Fermi é praticamente independente da temperatura:





g

E

dE

N

)

(









3

2

16

2

8

E

h

m

V

N

dE

E

h

V

m

N





_

_





Então: 3 / 2 2

3

8















V

N

m

h

E



Se o metal está em seu estado fundamental (T = 0K), todos os elétrons ocupam os menores níveis de energia possíveis de acordo com o princípio de exclusão de Pauli.

Se o número total de elétrons por unidade de volume n₀ é menor que o número total de níveis de energia disponíveis na banda, os elétrons ocuparão todos os estados de energia

até uma energia máxima, designada por _F, que corresponde à energia de Fermi para esse

sitema de elétrons, e que é dada por:

3 / 2 0 2

3

8



















n

m

h

V

N

n



Quando a energia de Fermi é igual à largura da banda de energia, a banda está totalmente preenchida. Quando a banda não está completamente cheia, uma pequena quantidade de energia é suficiente para excitar os elétrons dos estados superiores para níveis de energia próximos ainda maiores.

Cabe ressaltar que somente os elétrons dos estados mais elevados podem ser termicamente excitados pois, na temperatura ambiente, kT é cerca de 0,025eV (em geral,

muito menor que _F) e o princípio de exclusão torna impossível que elétrons de baixa

energia sejam excitados para estados mais elevados. Os estados ocupados por elétrons

excitados decrescem em uma região de energia da ordem de 20kT acima de _F

Distribuição dos elétrons livres entre os níveis de energia na banda de condução.

Ocupação dos estados de energia em uma temperatura diferente do zero absoluto.

A energia de Fermi pode ser obtida determinado-se experimentalmente o número de elétrons de condução por unidade de volume no metal (por exemplo, através de medidas do efeito Hall).

A tabela abaixo fornece valores da energia e da temperatura de Fermi para alguns metais:

Metal energia de Fermi (eV) temperatura de Fermi (104_K)

Lítio 4,72 5,5 Sódio 3,12 3,7 Potássio 2,14 2,4 Cobre 7,04 8,2 Prata 5,51 6,4 Ouro 5,54 6,4 Ex. 3)

Determine, em função da energia de Fermi, a energia total e a pressão exercida por uma coleção de N férmions ocupando um volume V no zero absoluto.

Para temperaturas acima de zero absoluto (T > 0K), a energia do gás de elétrons é determinada pela expressão:

Escrevendo em termos da energia de Fermi:

O cálculo dessa integral é difícil. Quando a razão T/q_F é pequena, o integrando pode ser expandido em série e integrado termo a termo. Retendo somente os dois primeiros termos, o resultado aproximado é:







_



1

2

8

e

dE

E

h

m

V

U





_



1

)

(

2

3

e

dE

E

N

U





































...

12

5

1

5

3

kT

N

U







Curva teórica prevista para a variação do calor específico molar em função da temperatura para um gás de elétrons

(no gráfico, T_F denota a

temperatura de Fermi):

Derivando a expressão anterior para energia em relação à temperatura, obtém-se o comportamento da capacidade térmica para baixas temperaturas em comparação com a temperatura de Fermi:

Ou seja, para T << q_F , C_V é diretamente proporcional a T.

F V

kT

Nk

C





2

