Cap4 Sec9 2x4

(1)

Capítulo 4

Aplicações da

Derivação

4.9

Primitivas

Nesta seção aprenderemos sobre as Primitivas e como elas são úteis na solução de

determinados problemas científicos. APLICAÇÕES DA DERIVAÇÃO

Um físico que conhece a velocidade de uma partícula pode desejar saber sua posição em um dado instante.

Um engenheiro que pode medir a taxa de variação segundo a qual a água está escoando de um tanque quer saber a quantidade escoada durante um certo período.

Um biólogo que conhece a taxa segundo a qual uma população de bactérias está crescendo pode querer deduzir qual o tamanho da população em um certo momento futuro.

INTRODUÇÃO

Em cada caso, o problema é encontrar uma função F cuja derivada é uma função conhecida ƒ.

 Se a função F existir, ela é chamada primitiva de ƒ.

PRIMITIVAS

 Uma função F é denominada uma primitiva de ƒ no intervalo I se F’(x) = f(x) para todo x em I.

 Por exemplo, seja f(x) = x2_.

• Não é difícil descobrir uma primitiva de ƒ se tivermos a em mente a Regra da Potência.

• De fato, se F(x) = x3_{, então F’(x) = x}2 _{= f(x).}

 Mas a função G(x) = x3_{+ 100 também}

satisfaz G’(x) = x2_.

• Consequentemente, F e G são primitivas de ƒ.

PRIMITIVAS

Na verdade, qualquer função da forma

H(x)= x3 _{+ C,}_{em que C é uma constante,}

é uma primitiva de ƒ.

• A questão que se levanta é: existem outras?

PRIMITIVAS

Para responder a essa questão, lembre-se de que na Seção 4.2 usamos o Teorema do Valor Médio para demonstrar que se duas funções têm derivadas idênticas em um intervalo, então elas devem diferir por uma constante (Corolário 4.2.7).

(2)

 Assim, se F e G são duas primitivas quaisquer de ƒ, então F’(x) = f(x) = G(x)

 Logo, G(x) – F(x) = C, em que C é uma constante.

• Podemos escrever isso como G(x) = F(x) + C.

• Temos então o seguinte resultado.

PRIMITIVAS

 Se F for uma primitiva de ƒ em um intervalo I, então a primitiva mais geral de ƒ em I é F(x) + C em que C é uma constante arbitrária.

Teorema 1 PRIMITIVAS

Voltando à função

f(x) = x

2

_,

_{vemos que a}

primitiva geral de f é

x

3

_{+ C.}

PRIMITIVAS

específicos para a constante C obtemos uma família de funções cujos gráficos são translações verticais uns dos outros.

• Isto faz sentido, pois cada curva deve ter a mesma inclinação em qualquer valor dado de x.

Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções.

a. f(x) = sen x b. f(x) = 1/x c. f(x) = xn_{, n -1}

Exemplo 1 PRIMITIVAS

 Se f(x) = - cos x, então F’(x) = sen x. • Logo uma primitiva de sen x é cos x.

• Pelo Teorema 1, a primitiva mais geral é:

G(x) = - cos x + C

Exemplo 1 a PRIMITIVAS

Lembre-se da Seção 3.6 que

• Logo, no intervalo (0, ), a primitiva geral de 1/x é ln x + C.

1 (ln )

d

x

dx

x

Exemplo 1 b PRIMITIVAS

Também sabemos que

para todo x 0.

• O Teorema 1 então nos diz que a primitiva geral de

f(x) = 1/x isln |x| + C em qualquer intervalo que não

contenha 0.

1 (ln | |)

d

x

dx

x

Exemplo 1 b PRIMITIVAS

(3)

Em particular, isso é verdadeiro em cada um dos intervalos(-, 0) e (0, ).

• Logo a primitiva geral de ƒ é:

• se • se 0 0 x x ! Exemplo 1 b 1 2 ln ( ) ln( ) x C F x x C ® ¯

Usamos a Regra da Potência para descobrir uma primitiva de xn_.

 De fato, se n -1, então 1

₍

₁₎

1

n n n

d

x

n

x

dx n

n

§

· ¨

¸

©

¹

Exemplo 1 c PRIMITIVAS

 Assim, a primitiva geral de f(x) = xn _é:

• Isso é válido para todo n 0 uma vez que f(x) = xn _está

definida em um intervalo.

• Se n for negativo (mas n -1), é válido em qualquer intervalo que não contenha 0.

1 ( ) 1 n x F x C n Exemplo 1 c PRIMITIVAS

Como no Exemplo 1, toda fórmula de derivação, quando lida da direita para a esquerda, dá origem a uma fórmula de primitivação.

PRIMITIVAS - FÓRMULA

Na Tabela listamos algumas primitivas particulares.

Tabela 2 PRIMITIVAS - FÓRMULA

Cada fórmula na tabela é verdadeira, pois a derivada da função na coluna direita aparece na coluna esquerda.

Em particular, a primeira fórmula diz que a primitiva de uma constante vezes uma função é a constante vezes a primitiva da função. A segunda fórmula afirma que a primitiva de

uma soma é a soma das primitivas.

• Usamos a notação F’ = f, G’ = g.

 Encontre todas as funções g de tais que: Exemplo 2 PRIMITIVAS - FÓRMULA

Queremos achar uma primitiva de:

Assim, queremos descobrir a primitiva de: Exemplo 2 PRIMITIVAS - FÓRMULA

(4)

Usando as fórmulas da Tabela 2 junto com o Teorema 1 obtemos: 5 1 2 1 2 5 2 5

( ) 4( cos ) 2

5 4cos

2 x

x

g x

x

C

x

C

Exemplo 2 PRIMITIVAS - FÓRMULA

Nas aplicações do cálculo são muito comuns situações como a do Exemplo 2, em que é pedido para encontrar uma função sendo fornecidos dados sobre suas derivadas.

Uma equação que envolva as derivadas de uma função é chamada equação

diferencial.

• As equações diferenciais serão estudadas com mais detalhes no Capítulo 9, no Volume II.

• Mas no momento podemos resolver algumas equações diferenciais elementares.

A solução geral de uma equação diferencial envolve uma constante arbitrária (ou

constantes), como no Exemplo 2.

• Contudo, podem ser dadas condições extras que vão determinar as constantes e assim especificar univocamente a solução.

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

 Para determinar C, usamos o fato de que f(0) = – 2 :

f(0) = e0_{+ 20 tg}-1_{0 + C = – 2}

• Assim, temos: C = – 2 – 1 = – 3

• Logo, a solução particular é: f(x) = ex_{+ 20 tg}-1_{x – 3}

Exemplo 3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL  Encontre f se f’’(x) = 12x2_{+ 6x – 4, f(0) = 4,} e f(1) = 1. Exemplo 4 EQUAÇÃO DIFERENCIAL  A primitiva geral de f’’(x) = 12x2_{+ 6x – 4 é:} 3 2 3 2

'( ) 12

6

4

3

2

4

3

4 x

x

f x

x C

x

x C

Exemplo 4 EQUAÇÃO DIFERENCIAL

(5)

Usando as regras de primitivação mais uma vez, encontramos que:

4 3 2 4 3 2

( ) 4

3

4

3

2

2 x

x

f x

Cx

D

x

Cx

D

 Para determinar C e D usamos as condições dadas que f(0) = 4 e f(1) = 1.

• Visto que f(0) = 0 + D = 4, temos: D = 4

• Uma vez que f (1) = 1 + 1 – 2 + C + 4 = 1, temos: C = –3

Consequentemente, a função pedida é: f(x) = x4_{+ x}3_{– 2x}2_{– 3x + 4}

Se nos for dado o gráfico de uma função ƒ, parece razoável que possamos esboçar o gráfico de uma primitiva F.

Suponha, por exemplo, que nos seja dado que F(0) 1.

• Então temos um ponto de partida (0, 1).

• E a direção segundo a qual movemos nosso lápis é dada em cada estágio pela derivada F’(x) = f(x).

No próximo exemplo usamos os princípios deste capítulo para mostrar como fazer o gráfico de F mesmo quando não temos uma fórmula para ƒ.

• Esse seria o caso, por exemplo, quando ƒ(x) é determinada por dados experimentais.

GRÁFICO

Gráfico de uma função ƒ é dado na Figura.  Faça um esboço de uma primitiva F, dado

que F(0) = 2.

Exemplo 5 GRÁFICO

Estamos orientados pelo fato de que a inclinação de y = F(x) é f(x). Exemplo 5 GRÁFICO Vamos começar no ponto (0, 2), traçando F como uma função inicialmente decrescente, uma vez que ƒ(x) é negativa quando Exemplo 5 GRÁFICO

(6)

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Observe que f(1) = f(3) = 0.  Logo F tem tangentes horizontais quando x = 1 e x = 3. • Para 1 < x < 3, f(x) é positiva. • É positiva e F é crescente. Exemplo 5 GRÁFICO

mínimo local quando x = 1 e máximo local quando x = 3. • Para x > 3, f(x) é negativa. • E F é decrescente em (3, ). Example 5 GRAPH Exemplo 5 GRÁFICO

f (x) 0 quando x , o gráfico de F torna-se mais achatado quando x . Exemplo 5 GRÁFICO

• Logo F tem pontos de inflexão quando x = 2 e x = 4.

GRÁFICO

A primitivação é particularmente útil na análise do movimento de um objeto que se move em uma reta.

Lembre-se de que se o objeto tem função posiçãos = f(t), então a função velocidade év(t) = s’(t).

• Isso significa que a função posição é uma primitiva da função velocidade.

MOVIMENTO RETILÍNEO

Da mesma maneira, a função aceleração é a(t) = v’(t).

• Logo, a função velocidade é uma primitiva da aceleração.

 Se a aceleração e os valores iniciais s(0) e v(0) forem conhecidos, então a função posição pode ser encontrada encontrando a primitiva duas vezes.

Uma partícula move-se em uma reta e tem aceleração dada por a(t) = 6t + 4.

 Sua velocidade inicial é v(0) = -6 cm/s e seu deslocamento inicial é s(0) = 9 cm.

• Encontre sua função posição s(t).

Exemplo 6 MOVIMENTO RETILÍNEO

 Como v’(t) = a(t) = 6t + 4, a primitivação dá:

2 2

( ) 6

4

2

3

4 t

v t

t

C

t

C

(7)

 Observe que v(0) = C.

 Mas temos v(0) = – 6, logo C = – 6 e

v(t) = 3t2_{+ 4t – 6}

 Uma vez que v(t) = s’(t), s é a primitiva de v:

• Isso dá s(0) = D.

• Temos s(0) = 9, então D = 9.

E a função posição pedida é s(t) = t3_{+ 2t}2_{– 6t + 9} 3 2 3 2 ( ) 3 4 6 3 2 2 6 t t s t t D t t t D Exemplo 6 MOVIMENTO RETILÍNEO

Um objeto próximo da superfície da Terra está sujeito a uma força gravitacional que produz uma aceleração para baixo

denotada por g.

Para um movimento próximo à Terra podemos supor que g é constante,

• Sendo seu valor cerca de 9,8 m/s2 _{(ou 32 pés/s}2_).

Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 15 m/s da borda de um penhasco 140 m acima do solo.

• Encontre sua altura acima do solo t segundos mais tarde.

• Quando ela atinge sua altura máxima?

• Quando atinge o solo?

O movimento é vertical, e escolhemos o sentido positivo para cima.

 No instante t, a distância acima do solo é s(t) e a velocidade v(t) está decrescendo. Portanto, a aceleração deve ser negativa, e

temos:

Procurando a primitiva, temos:v(t) = – 9,8t + C

 Para determinar C, usamos a informação dada que v(0) = 15.

• Isso dá: 15 = 0 + C

• Então, v(t) = – 9,8t + 15

 A altura máxima é atingida quando v(t) = 0, isto é, depois de

 Uma vez que s’(t) = v(t), determinamos a primitiva outra vez e obtemos:

s(t) = – 4,9t2_{+ 15t + D}

 Usando o fato de que s(0) = 140, temos 140 = 0 + D.

(8)

 A expressão para s(t) é válida até que a bola atinja o solo.

 Isso acontece quando s(t) = 0, isto é, quando – 4,9t2_{+ 15t + 140 = 0}

Usando a fórmula quadrática para resolver essa equação obtemos:

• Rejeitamos a solução com o sinal de menos, uma vez que ela fornece um valor negativo para t.

Portanto, a bola atinge o solo após Exemplo 7 MOVIMENTO RETILÍNEO

Cap4 Sec9 2x4

Aplicações da

Derivação

4.9

Primitivas

f(x) = x

,

x

+ C.

1

(ln )

d

x

dx

x

1

(ln | |)

d

x

dx

x

(

1)

1

1

d

x

n

x

x

dx n

n

§

·



¨



¸



©

¹

( ) 4( cos ) 2

5

4cos

2

x

x

g x

x

C

x

x

x

C

















'( ) 12

6

4

3

2

4

3

4

x

x

f x

x C

x

x

x C







_,

_{+ C.}

₍

₁₎