1) Efectue as seguinte operações a) 2 3+ 3 2; b) 11 4 + 5 2; c) 2 3 − 3 2; d) 3 2− 2 3; e) 2 3× 4 3; f ) 3 4 × 4 7; g) 3 2 ÷ 2 5; h) 2 3÷ 4 3. 2) Calcule, em R, o conjunto solução das seguintes equações
a) 18x − 43 = 65 ; b) 23x − 16 = 14 − 17x ; c) 10y − 5(1 + y) = 3(2y − 2) − 20 ; d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2+ 12 ; e) x − 5 10 + 1 − 2x 5 = 3 − x 4 ; f ) x 2− 5x + 6 = 0 ; g) x2− 4 = 0 ; h) 3x2− 6x = 0 ; i) x2+ 6x + 8 = 0 ; j) 2x2− 7x + 3 = 0 ; k) x2− 6x + 9 = 0 ; l) x2+ x + 1 = 0 . 3) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) 2x + 7 > 3; b) 4 − 3x ≤ 6; c) 1 < 3x + 4 ≤ 16; d) 0 ≤ 1 − x < 1; e) −5 ≤ 3 − 2x ≤ 9; f ) 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2; g) 2x − 3 < x + 4 < 3x − 2; h) (2x + 3)(x − 1) ≥ 0; i) (x + 1)(x − 2)(x + 3) ≥ 0 . 4) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) x − 2 x + 2< 0 ; b) x − 2 x + 3≤ 2 ; c) x − 3 x − 2 > 1 ; d) x − 2 2x + 3 > −2 ; e) 3x − 2 2x + 1 < −3 ; f ) √ 2 − x x + 2 ≤ 3 ; g) x − 2 1 − 2x < √ 3 ; h) 0 ≤ 3x − 2 x + 2 ≤ 3 ; i) −1 < x − 2 x + 1 < 3 . 5) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) x3 > x ; b) x3+ 3x < 4x2; c) 2x2+ x ≤ 1 ; d) x2+ x + 1 > 0 ; e) x2+ x > 1 ; f ) x2 < 3 ;
g) x2 ≥ 5 ; h) x3− x2≤ 0 ; i) x2+ 2x + 1 > 0 ;
j) x2+ 3x − 1 < 3x + 2 ; k) 2 − x2 ≥ 2x + 3x2+ 1 ; l) 4x < x2+ 3 < 4 . 6) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) x − 1 x + 1≥ 2x ; b) 2x + 1x − 2 < 3x ; c) x − 1x + 2 > −x ; d) x − 3 x + 1≥ x + 1 ; e) x − 1 2x + 1 ≤ x − 1 ; f ) 3x > x − 2 1 − x ≥ 2x + 1 .
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1◦ Ciclo em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Cálculo I Ficha 2
Ano Lectivo 2011/2012
1) Reescreva a expressão, sem usar o símbolo de valor absoluto:
a) |5 − 23| ; b) |5| − | − 23| ; c) | − π| ; d) |π − 2| ; e) |√5 − 5| ; f ) | − 2| − | − 3| ; g) |x − 2| se x < 2 ; h) |x − 2| se x > 2 ; i) |x + 1| ; j) |2x − 1| ; k) |x2+ 1| ; l) |1 − 2x2| . 2) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições:
a) |2x| = 3 ; b) |3x + 5| = 1 ; c) |x + 3| = |2x + 1| ; d) 2x − 1 x + 1 = 3 ; e) |x − 4| < 1 ; f ) |x + 1| ≥ 3 ; g) 1 ≤ |x| ≤ 4 ; h) 0 < |x − 5| < 1/2 . 3) Escreva em extensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos
números x ∈ R tais que
a) |x + 1| = 2 ; b) |x − 3 − 2x| < 3 ; c) |x + 2| ≤ 1 ; d) |x + 5| ≥ 7 ; e) 2 < |x − 1| ≤ 3 ; f ) |x − 2| < 1 ; g) |x + 2| ≥ 2 ; h) |2x − 5| < 2 ;
i) |3x + 1| ≥ 1 ; j) |2x + 1| > 5 ; k) 3|x + 2| ≤ 1 ; l) 2 + |x + 1| ≤ 3 ; m) 1 − |2x + 1| > 1 ; n) 3 |x + 1/2| > 2 ; o) |1 − 2x| < 2 ; p) 3 < |x| ≤ 4 ;
q) −1 < |x| < 3 ; r) 0 ≤ |x − 1| < 2 ; s) 0 < |x − 1| < 2 ; t) |x + 3| = |x + 1| . 4) Escreva em extensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos
números x ∈ R tais que a) |x2− 5x + 3| > 3 ;
b) |x2− 5x + 3| ≤ 3 ; c) |x2− x − 1| ≥ 1 ;
d) |x2− x − 1| < 1 ; e) |x2+ x − 1| ≤ 1 ; f ) 3 ≥ |x2+ 2x + 1| ≥ 1 ;
5) Escreva em extensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos números x ∈ R tais que
a) x − 1 x + 1 ≥ 2 ; b) x2+ 2x − 3 x2− 1 = 1 ; c) 1 ≤ x − 2 2x + 1 < 3 ; d) x2+ x − 2 2x + 1 < 3 ; e) 2x − 2 x2− 1 ≥ 3 ; f ) x2− 3 x2− x ≤ 2 . 6) Escreva uma inequação da forma |x − a| < b ou |x − a| ≤ b cujo conjunto solução seja
a) ] − 1, 1[ ; b) ] − 1/2, 1/2[ ; c) [−1, 2] ; d) ] − 3, −1[ ; e) [−1/2, 0] ; f ) {0} .
7) Escreva uma inequação da forma |x − a| > b ou |x − a| ≥ b cujo conjunto solução seja a) ] − ∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ ; b) ] − ∞, 0[ ∪ ]2, +∞[ ; c) ] − ∞, 1] ∪ [3, +∞[ ; d) ] − ∞, −3] ∪ [−1, +∞[ ; e) ] − ∞, −1] ∪ [0, +∞[ ; f ) R .
1) A Velocidade v é a razão entre a distância percorrida d e o tempo t gasto a percorrê-la.
a) Identifique a expressão que permite escrever t como função de d sempre que a velocidade v for constante.
b) A distância entre Nova York e Lisboa é 5 500 km. Quanto tempo demora o percurso entre as duas cidades
i) num jacto a 800 km/h?
ii) para um raio luminoso a 300 000 km/s?
2) Uma haste rígida, feita de material muito leve, de modo que podemos considerar o seu peso des-prezável, gira em torno de um eixo. Numa das extremidades, à distância de 1 metro do eixo, está colocado um peso de 3 Kg. Para que a haste fique em equilíbrio (isto é, no plano horizontal do eixo), colocamos um outro peso de P Kg no outro lado da haste e à distância d (metros) do eixo; verifica-se experimentalmente que o equilíbrio é conseguido se os valores de d e P se correspondem de acordo com a tabela
d 1 0.5 0.3 0.1 0.05 P 3 6 10 30 60
É possível concluir da análise destes dados que as grandezas P e d são inversamente proporcionais. a) Identifique a expressão que permite escrever P como função de d.
b) Determine o domínio da função P (d).
3) Sejam c e f duas variáveis representando a mesma temperatura medida respectivamente em graus Celsius (C) e em graus Fahrenheit (F). A relação entre c e f é descrita por uma função afim. O ponto de congelamento da água é de c = 0◦C ou f = 32◦F . A temperatura de ebulição é de
c = 100◦C ou f = 212◦F .
a) Determine a fórmula de conversão da temperatura em graus Fahrenheit para a temperatura em graus Celsius.
b) Existe alguma temperatura para a qual os valores em graus Celsius e Fahrenheit sejam iguais? Determine-a em caso afirmativo.
c) A relação entre a temperatura absoluta k, medida em Kelvin (K), e a temperatura c, em graus Celsius (C), é descrita por uma função afim. Sabendo que k = 273K quando c = 0◦C e
k = 373K quando c = 100◦C determine k em função de f .
4) Uma companhia de electricidade cobra aos seus clientes uma taxa de 10 euros por mês mais 6 cêntimos por cada quilowatt hora (kWh) gasto até 1200 kWh e de 7 cêntimos por cada kWh gasto acima dos 1200 kWh.
a) Escreva uma expressão que lhe permita escrever o custo mensal C em euros em função da quantidade de electricidade gasta.
b) Calcule quanto é que paga um consumidor que gaste 2000 kWh. 5) Exprima o raio de uma circunferência em função do perímetro da mesma.
6) Um paralelepípedo rectângulo tem dimensões a, 2a, 3a. Exprima a em função do volume do para-lelepípedo.
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Cálculo I Ficha 4
Ano Lectivo 2011/2012
1) Considere a função f : R → R representada no gráfico ao lado. Esboce o gráfico de cada uma das funções seguintes:
a) |f (x)| b) f (x − 2) c) f (x + 1) d) 2f (x) e) −f (x) f ) f (x) + 1 g) f (2x) h) f (x/2)
2) Resolva o exercício anterior considerando as funções f (x) = x2 em R e g(x) = 1
x definida em ]0, +∞[.
3) Esboce os gráficos das seguintes funções:
a) f (x) = 2x − 1 b) f (x) = −x2− x + 2 c) f (x) = x2+ 4 d) f (x) = |x| e) f (x) = |x − 3| f ) f (x) = 1 − |x| 4) Seja f (x) = −x2+ 2x + 3. Desenhe os gráficos das funções abaixo indicadas.
a) f (x) b) f (|x|) c) |f (|x|)| d) |f (x)| 5) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções e esboce os seus gráficos
a) f (x) = x + 10 x − 5 b) f (x) = 4 − x x + 3 c) f (x) = 5x + 4 x − 1 6) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções:
a) f (x) = 5 −√x + 4 b) f (x) =√x2− 1 c) f (x) =√x − 1 d) f (x) = |x| x e) f (x) = 2 1 + x4 f ) f (x) = 1 p|x − 2| − 1 7) Considere as funções f : R → R, g : R → R e h : R → R dadas por
f (x) = x2+ x, g(x) = x x2+ 1 e h(x) = x + 1 2 . Calcule: a) (f ◦ g)(−1) b) (g ◦ f )(2) c) (f ◦ g ◦ h)(1) d) (f ◦ h)(x) e) (h ◦ f )(x) f ) (h ◦ f ◦ g)(x) g) h−1(0) h) h−1(3) i) (h(3))−1
8) Determine as expressões que definem as inversas das seguintes funções e indique os respectivos domínios:
1) As funções
N1(t) = 12 × (1.03)t, N2(t) = 13 × (0.19)t, N3(t) = 4 × (1.28)t e N4(t) = 9 × (0.38)t
descrevem a evolução do número de bactérias (em milhões por mililitro) em quatro colónias distintas ao longo do tempo (em horas), a partir de um certo instante inicial t = 0.
a) Qual das populações tem mais bactérias no instante inicial? b) Qual das populações tem a maior taxa de crescimento relativo?
c) Algumas das populações de bactérias estão a decrescer no que diz respeito ao número de indiví-duos. Concorda com esta afirmação?
d) Caso exista, determine o instante no qual as populações descritas por N1(t) e N2(t) têm o mesmo
número de indivíduos. e) Esboce os gráficos de N1, N2, N3 e N4. 2) Resolva, em R, as equações: a) 25x = 128; b) 34x−1= 81 ; c) 54x = 1/25 ; d) 10x2 = 1002; e) 2x2−5x = 1/64 ; f ) 42x−x2 = 1 ; g) 82x+1= 16 22x; h) x2ex+3x ex= 0 ; i) ex− e−x = 0 ; j) ex− e2x = 0 ; k) 4 × 2x= 10 × 5x; l) x25−x− 3 × 5−x= 0 . 3) Calcule a) eln 5; b) e−3 ln 2; c) e3+4 ln 2;
d) log232 ; e) 52 log53; f ) log√
5 log√ 5 √ 5; g) ln (ln e) ; h) log0,10, 01 ; i) log9 3√3 . 4) Resolva, em R, as inequações: a) 21−x <√2x; b) 1 2 x+1 < 42−x; c) 53−x2 < 25x; d) (0, 1)x2−x≥ 0, 01 ; e) log 4x ≤ −7 ; f ) 1 2x2 ≥ 1 8 3x ; g) 1 + log1 6 x > − log 1 6(x − 5) h) log2 x 2− 3 > 0 ; i) log1 3(x + 1) > 0 ; j) log1 e(3x + 1) > 0 ; k) log12 (2x) < 2 − log12 2 − x x .
5) Resolva as seguintes equações e inequações a) 4 e 2x−4 ex−3 ex+5 = 0 b) logxx 2 = 3 c) 2 3 x2 ≥ r 2 3 !x d) x ex+1−x < 0 e) 2 ln(x − 1) − ln(x + 1) ≤ 0 f ) ex2−5x x2+1 > 1
6) Determine o domínio das seguintes funções a) f (x) = 1 1 − e1−ex b) f (x) = 1 e−2x2+x−3 c) f (x) = e 1 −2x2+x−3 d) f (x) = ln x − 5 x2− 10x + 24 e) f (x) = 1 ln(1 − x) + √ x + 2 f ) f (x) = ln(|x| − x) g) f (x) = 3 + ln 1 + x 1 − x h) f (x) = ln e x+1 ex−1 i) f (x) = ln(1 − ln(x2− 5x + 16))
7) Determine o domínio e contradomínio das seguintes funções a) f (x) = 1 − 102x−1 b) f (x) = 2 + log1
2 4 − x
2
8) Seja f a função dada por
f (x) = ln(9x2− 6x + 1). a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
b) Calcule o conjunto solução da equação f (x) = f (2). c) Calcule o conjunto solução da equação f (x) > 0. 9) Considere a função f (x) = ex+3−1.
a) Determine o domínio e o contradomínio de f . b) Defina a função inversa de f .
10) Considere as funções reais de variável real definidas por
f (x) = −2 + 32x−1 e g(x) = 2 + log3(x + 1) . a) Calcule o domínio e o contradomínio de cada uma das funções.
b) Determine, se existirem os zeros das funções. c) Caracterize f−1 e g−1.
11) Seja f a função real de variável real definida por
f (x) = log2 9 − x2 . a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
1) Resolva as equações
a) sen x + sen (2x) = 0 b) tg (2x) = 2 cos x c) tg (2x) = 3 tg x 2) Resolva as equações do exercício anterior no intervalo ] − π, π].
3) Se x = cos α + cos (2α) e y = sen α + sen (2α), mostre que x2+ y2 = 2 + 2 cos α. 4) Sendo x um valor que verifica a condição
tg (5π + x) = 3/4 ∧ π < x < 3π 2 , calcule a expressão cosπ
4 − x 2
. 5) Sabendo que sen 15π
2 + x
= −19 e que 3π
2 < x < 2π, calcule o valor de cos x 2. 6) Use a fórmula sen a + sen b = 2 sena + b
2 cos a − b
2 para resolver a equação sen (2x) + sen x = cosx
2. 7) Considere a função real de variável real f : R → R definida por
f (x) = |sen (6x) + sen (4x)| . a) Calcule fπ 8 + f−π 24 . b) Resolva a equação f (x) = |cos x|.
8) Considere a função dada por f (x) = 2 sen(2x) cotg x . a) Determine o domínio e os zeros de f . b) Mostre que a função é par.
c) Resolva a equação |f (x)| = |2 sen x|. 9) Considere as funções dadas por f (x) = 1
cos x e g(x) =
x2− 1
x2 .
a) Determine o domínio de g ◦ f .
b) Mostre que (g ◦ f )(x) = sen2x, para todo o x pertencente ao domínio de g ◦ f .
c) Calcule (g ◦ f ) 2π3
.
10) Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões a) arc sen (1/2) b) arc cos −√3/2
c) π/3 − arc tg −√3/3 d) sen (arc cos (−1/2)) e) cos arc sen −√2/2
f ) tg (arc sen (−1/2)) g) sen (arc tg 1) h) cos arc tg −√3
i) arc cos (cos (−π/4)) j) cos (arc sen (4/5)) k) sen (arc cos (−5/13)) l) tg (arc sen (3/4)) m) cotg (arc sen (12/13)) n) sen (2 arc sen (4/5)) o) tg (2arc cos (−3/5))
p) sen (arc sen (3/4) + arc cos (1/4)) q) cos (arc cos (1/4) + arc sen (3/4)) 11) Simplifique as expressões:
a) sen (π + arc cosx) b) cos2arc cosx
2
c) cos(arc sen x) 12) Resolva as seguintes equações e inequações
a) 1
2arc sen(3x − 2) = 0 b) e
2 cos x+1= 1 c) arc sen−√3 2 = x d) cos(arc tg x) = √ 2 2 e) e cos(2x)> 1 f ) cos x − 2 log1 2x + 5 > 0 13) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções
a) f (x) =√cos x b) f (x) = 21/ sen x c) f (x) = cos2x +π 3
+ 3 d) f (x) = arc cos(|x| − 2) e) f (x) = senπ
3 + 3 tg x
2 f ) f (x) = 3 arc sen(2x − 1) g) f (x) = 1 −1
2arc cos(2x + 1) h) f (x) = cos
π 3 + 2 arc sen 1 x + 2 i) f (x) = ln π 2 + arc sen(x 2 − 1)
14) Considere a função dada por f (x) = 2 + arc sen(3x + 1). a) Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f . b) Calcule f (0) e f −16
.
c) Determine as soluções da equação f (x) = 2 +π 3. d) Caracterize a função inversa de f .
15) Seja g a definida por g(x) = π
3 − arc sen (3x). a) Determine o domínio e o contradomínio de g. b) Resolva a equação sen(g(x)) = 0.
c) Caracterize a função inversa de g. 16) Considere as funções f e g definidas por
f (x) = tg π 4 + arc tg 1 1 − 2x e g(x) = π − arc sen x2+ 2x + 1 . a) Determine o domínio de f , Df. b) Mostre que f (x) = x − 1 x para x ∈ Df. c) Determine o contradomínio de g.
1) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado de cada um dos conjuntos seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados.
a) A =]0, 2] ∪ [3, 5[∪ {6, 7} b) B = {x ∈ R: − 1 ≤ x − 2 < 1} c) C =x ∈ R: x2− x − 6 > 0 d) D =x ∈ R: 2x2− 3x > 5 e) E =x ∈ R: x3> x f ) F =x ∈ R: x2(x − 1) ≥ 0 g) G =x ∈ R: 0 ≤ x2− 1 < 3 h) H = x ∈ R: x − 1x + 3 > x x − 2 i) I = {x ∈ R: 1 ≤ |x + 1| ≤ 2} j) J =x ∈ R: |x2− 1| ≤ 1 k) K = {x ∈ R: |x + 2| ≥ |x − 3|} l) L = x ∈ R: 1 − 2x 2x − 3 > 2 m) M =nx ∈ R:√x2− 16 < 2 − xo n) N = {x ∈ R: x + |x| < 1}
2) Calcule os seguintes limites. a) lim x→2 3 − x x2− 3 b) limx→0 15x3+ 1 30x7− 1 c) limx→1 1 − x2 x − 1 d) lim x→3 x2− 9 x − 3 e) limx→1 x2+ 2x − 3 x − 1 f ) limx→0 x2− 2x 3x3+ x2+ x g) lim x→a x2− 2ax + a2 x2− a2 h) limx→0 2 −√4 − x x i) limx→0 1 −√1 − x2 x2 j) lim x→0 √ 1 + x −√1 − x x k) limx→5 √ x2+ 5 −√30 x − 5 l) limx→4 √ 2x + 1 − 3 √ x − 2 −√2 3) Calcule os seguintes limites.
a) lim x→0 1 − e−x x b) limx→4 ex−4−1 16 − x2 c) limx→0 e7x−1 x d) lim x→0 ex+4− e4 x e) limx→0 x e3x−1 f ) lim x→0 x3 1 − ex3 g) lim x→0 ex− e2x x h) limx→0 e2x− e8x x i) limx→1 5(x − 1)3 e2(x−1)−1 j) lim x→0 ln (1 + 3x) x k) limx→0 ln 1 + x2 x l) limx→1 ln x 1 − x m) lim x→1 ln x x2− 1 n) limx→2 ln (3x + 2) − ln 8 x − 2 o) limh→0 ln (6 + 2h) − ln 6 h
4) Calcule os seguintes limites. a) lim x→0 sen(7x) x b) limx→0 sen(5x) − sen(3x) x c) limx→1 sen x2− 1 x − 1 d) lim x→0 cos x − 1 3x2 e) limx→0 1 − cos(sen x) x2 f ) limx→0 tg(2x) sen x g) lim x→0 tg x − sen x x3 h) x→π/2lim hπ 2 − x tg xi i) lim x→2 (x2 − 4) sen 1 x − 2 j) lim x→0 x2sen(1/x) sen x k) limx→0 x2cos x2 sen2x l) limx→0 1 − e3x sen(2x) m) lim x→0 arc sen(2x) x n) limx→0 arc sen(2x)
arc sen(3x) o) limx→1
(arc cosx)2 x − 1 p) lim
x→1/2
2x − 1
arc cos(2x) q) limx→0
arc tg(3x)
arc tg(7x) r) limx→1
arc tg(x − 1) sen(1 − x) 5) Calcule os seguintes limites.
a) lim x→+∞ x2+ 3x 2x2 b) x→+∞lim x3 1 + x c) x→+∞lim x3 1 + x4 d) lim x→−∞ −2x 4+ 3x2+ 1 e) lim x→+∞ hp (x − a) (x − b) − xi f ) lim x→+∞ h xe1/x−1i g) lim x→+∞ x ln x + 1 x h) lim x→+∞ x2 − 1 x4− 1 + 4 ln (x2+ 1) i) lim x→+∞ (x + 1) ln x + 2 x j) lim x→+∞ ln(2 + 3x) ln x2 k) x→+∞lim x sen 1 x l) lim x→−∞(cosh x − senh x)
6) Calcule os seguintes limites laterais. a) lim x→0+ √ x2 x b) limx→0− √ x2 x c) limx→1+ 1 1 − x − 1 1 − x3 d) lim x→1− 1 1 − x− 1 1 − x3 e) lim x→3+3 1/(x−3) f ) lim x→1− arc tg 1 x − 1
7) Calcule os limites laterais das seguintes funções no ponto x0 indicado. O que pode concluir sobre a
existência de lim x→x0 f (x)? a) f (x) = ( x2− 1 se x ≤ 1 (x − 1)2 se x > 1, x0 = 1 b) f (x) = ( 2 − x2 se |x| ≤ 2 2 se |x| > 2, x0 = 2 c) f (x) = 3x − a 1 − x se x ≤ 0 x − a x + 1 se x > 0 , x0= 0 d) f (x) = ( 8√x − 1 se x < 5 (x − 1)2 se x ≥ 5, x0 = 5 e) f (x) = e tg x−1 etg x+1, x0 = π 2 f ) f (x) = 2−1/xsen 1 x, x0 = 0 8) Escreva as equações das assímptotas das funções definidas por
a) f (x) = 2x − 1 2x − 6 b) f (x) = 2x (x − 1)2 c) f (x) = 2x2 x2− 1 d) f (x) = 2x + 1 + 1 x − 2 e) f (x) = 3x2− 2x + 2 x + 2 f ) f (x) = ln x x g) f (x) = 2 e−1/x h) f (x) = e−xsen x i) f (x) = ln 2 + x 2 − x
1) Estude a continuidade das funções seguintes: a) f (x) = ex+1 b) f (x) = x x2− 4 c) f (x) = 2 + cos x 2 − cos x d) f (x) = tg(2x) e) f (x) = |x| + x x , x 6= 0 2, x = 0 f ) f (x) =(ln(e x+ 1), x ≥ 0 sen x, x < 0 g) f (x) =(2 (x + 2) e 2(x+2), x < −2 x ln(x + 3), x ≥ −2 h) f (x) = arc sen x x + 1, x ≥ 0 ex/(x+1)−1, x < 0 e x 6= −1 −1, x = −1 i) f (x) =(e x+2− e2, x ≥ 0 x + senh(2x), x < 0 j) f (x) = 1 2 + ln(e −x), x ≤ 0 −3x 1 − e2x, x > 0 k) f (x) = sen x |x| se x 6= 0 1 se x = 0 l) f (x) = 1 1 + 3cotg x se x ∈ [−π/2, π/2] \ {0} 0 se x = 0 2) Determine, se possível, a constante k que torna as seguintes funções contínuas.
a) f (x) = k + x ln x, x ≥ 1 ex−1−1 2x − 2 , x < 1 b) f (x) = ex k2+ 1/ e, x ≥ k ek+1, x < k c) f (x) = ex−1− e1−x 1 − x , x 6= 1 k, x = 1 d) f (x) = e2x−1 sen(3x), x ∈ [− π 6,π6] \ {0} k, x = 0 e) f (x) = 3x2− x3 x2+ k x2, x 6= 0 1/3, x = 0 f ) f (x) = 2 − (x − 2) sen 1 x − 2, x 6= 2 k, x = 2
3) Sejam f e g as funções definidas por
f (x) = xx−11 se x > 1 ek se x = 1 ex+k2−1− ek2 x − 1 se x < 1 e g(x) = p1 − cos(2πx) x se x < 0 kπ se x = 0 cos x − cos(5x) 2 sen2x se 0 < x < π 4 a) Determine k de modo que f , em x = 1, seja contínua à esquerda e descontínua à direita. b) Determine k de modo que f seja contínua.
c) Prove que g é descontínua para x = 0 para qualquer k ∈ R. d) Determine k de modo que g seja contínua à esquerda, no ponto 0.
4) Seja h a função real de variável real definida por: h(x) = 2 sen (x − 4π/3) x − π/3 se x > π/3 −6x/π se x ≤ π/3 a) Prove que lim
x→π/3h(x) = −2.
b) Considere o intervalo [1, 5π/6]. Mostre que −5/π pertence ao contradomínio de h. 5) Mostre que
a) a função dada por f (x) = sen3x + cos3x se anula, pelo menos uma vez, no intervalo [π, 2π]; b) existe uma, e uma só, solução da equação 2 cos x − cos(2x) = 0 em [π/2, π];
c) existe x ∈ [0, 1] tal que 2x3− 5x + 4 = 2;
d) a função dada por f (x) = 2x3− 5x + 4 admite pelo menos um zero no intervalo [−2, 0]; e) a equação x7− 3x2 = 10, tem, pelo menos, uma raiz real;
f ) a equação x3+ 4x2+ 2x + 5 = 0 tem, pelo menos, uma solução real.
6) Seja f uma função contínua no intervalo [0, 2] com f (0) = 52 e f (2) = −1. Qual é o número mínimo de zeros que f pode ter nesse intervalo?
7) Seja g uma função contínua em [−2, 3] com g(−2) = 12, g(−1) = −1, g(0) = 2, g(1) = 1, g(2) = −2
e g(3) = 5. Qual o número mínimo de zeros que g pode ter nesse intervalo.
8) Em modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração gravitacional g é a constante 9, 8m/s2. Na verdade, g varia com a latitude. Se θ é a latitude (em graus) então
g(θ) = 9, 780491 + 0, 005264 sen2(θ) + 0, 000024 sen4(θ)
é uma fórmula que aproxima g. Usando a máquina de calcular para efectuar os cálculos, mostre que g = 9, 8 em algum ponto entre as latitudes 35◦ e 40◦.
9) A temperatura T (em graus Celsius) na qual a água ferve é dada aproximadamente pela fórmula T (h) = 100, 862 − 0, 0415ph + 431, 03
onde h é a altitude (em metros acima do nível do mar). Usando a máquina de calcular para efectuar os cálculos, mostre que a água ferve a 98◦C a alguma altitude entre 4000m e 4500m.
10) Prove que a função f : [−3, 4] → R, definida por f (x) = (√ 2 − x se − 3 ≤ x < 2 (3x − 6)/x se 2 ≤ x ≤ 4 , admite máximo e mínimo. 11) Seja f : −52, +∞
→ R a função definida por f (x) = sen k x + 1 se x ≥ 2 √ 2x + 5 − 3 x − 2 se − 5 2 ≤ x < 2 a) Determine k de modo que f seja contínua para x = 2.
b) A função f atinge máximo e mínimo em [−1, 0]? Justifique. 12) Considere-se a função real de variável real dada por f (x) =
x − 2 sen x se x < 0 k2 se x = 0 (x + 1)1/x se x > 0 a) Estude a continuidade de f no ponto x = 0.
b) Determine k de modo que f seja contínua à direita no ponto x = 0.
c) Prove que em [−π, −π/2] existe uma, e uma só, solução da equação f (x) = 0.
d) Pode concluir-se que f é uma função limitada em [−π, −π/2], atingindo aí os seus extremos? Justifique.
