UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica DEM/POLI/UFRJ

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ

IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES DE ESCOAMENTO E CÁLCULO DO GRADIENTE DE PRESSÃO E FRAÇÃO DE LÍQUIDO PARA ESCOAMENTOS

BIFÁSICOS EM TUBULAÇÕES ANULARES CONCÊNTRICAS VERTICAIS Felipe Abreu Mazzei

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Átila Pantaleão Silva Freire

Rio de Janeiro Março 2015

IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES DE ESCOAMENTO E CÁLCULO DO GRADIENTE DE PRESSÃO E FRAÇÃO DE LÍQUIDO PARA ESCOAMENTOS

BIFÁSICOS EM TUBULAÇÕES ANULARES CONCÊNTRICAS VERTICAIS

Felipe Abreu Mazzei

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MECÂNICO.

Examinado por:

________________________________________________ Prof. Átila Pantaleão Silva Freire, Ph.D.

________________________________________________ Profa. Juliana Braga Rodrigues Loureiro, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MARÇO DE 2015

iii Mazzei, Felipe Abreu.

Identificação de padrões de escoamento e cálculo do gradiente de pressão e fração de líquido para escoamentos bifásicos em tubulações anulares concêntricas verticais/ Felipe Abreu Mazzei. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.

X, 47p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Prof. Átila Pantaleão Silva Freire

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Mecânica, 2015.

Referências Bibliográficas: p.41.

1. Escoamentos multifásicos. 2. Tubulações anulares. 3. Padrões de escoamento. I. Freire, Átila Pantaleão Silva. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III. Identificação de padrões de escoamento e cálculo do gradiente de pressão e fração de líquido para escoamentos bifásicos em tubulações anulares concêntricas verticais.

iv Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeço aos meus pais, Cristina e Sergio, pelo apoio dado, não somente ao longo deste trabalho, mas também durante toda a minha vida. Foram eles que tornaram possível minha caminhada rumo à obtenção do grau de engenheiro. Eles são e sempre serão a referência que procurarei nos momentos de dificuldade e o exemplo em que me espelharei.

À minha família, por estar ao meu lado em todos os momentos, sendo minha fonte de força e motivação.

Ao meu orientador de iniciação científica e do projeto final, Átila Pantaleão Silva Freire, por me iniciar na ciência da mecânica dos fluidos e por me guiar na execução deste trabalho.

À minha namorada, Andreza, por todo o incentivo dado durante a realização do projeto final.

Aos meus amigos da graduação, por todo o companheirismo ao longo da faculdade, laços que tenho certeza que nunca serão perdidos.

v Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES DE ESCOAMENTO E CÁLCULO DO GRADIENTE DE PRESSÃO E FRAÇÃO DE LÍQUIDO PARA ESCOAMENTOS

BIFÁSICOS EM TUBULAÇÕES ANULARES CONCÊNTRICAS VERTICAIS

Felipe Abreu Mazzei

Março/2015

Orientador: Prof. Átila Pantaleão Silva Freire Curso: Engenharia Mecânica.

Este trabalho utiliza modelos mecanicistas encontrados na literatura para predição de padrões de escoamento em escoamentos bifásicos em tubulações anulares concêntricas verticais, possibilitando o posterior cálculo do gradiente de pressão e fração de líquido para os escoamentos dos tipos: bolhas dispersas, bolhas e pistonado.

Foi desenvolvido um simulador a partir da implementação dos modelos, fornecendo ao usuário o mapa de padrões de escoamento, o ponto correspondente aos dados de entrada, o gradiente de pressão e a fração de líquido.

Foram realizadas simulações de partes distintas dos modelos para melhor compreensão do comportamento do modelo matemático e melhor interpretação física dos resultados.

vi

Sumário

1Introdução ... 1 1.1 Motivação ... 1 1.2 Objetivo ... 2 1.3 Revisão bibliográfica... 2 1.4 Organização do trabalho ... 3 2 Escoamento Bifásico ... 4 2.1 Definição ... 4 2.2 Métodos de análise ... 4 2.3 Padrões de escoamento ... 5 2.3.1 Tipos de padrões ... 5

2.3.2 Mapas de padrões de escoamento ... 8

2.3.3 Mecanismos físicos de transição ... 9

2.4 Relações do escoamento bifásico ... 13

2.4.1 Fração de líquido (liquid holdup) ... 13

2.4.2 Velocidade real ... 13 2.4.3 Velocidade superficial ... 14 2.4.4 Velocidade da mistura ... 14 3 Modelagem ... 15 3.1 Escolha do modelo ... 15 3.2 Parâmetros geométricos ... 17 3.3 Valores de referência ... 18

3.4 O fator de atrito de Fanning ... 18

3.4.1 Escoamento laminar ... 18

3.4.2 Escoamento turbulento ... 20

3.5 Velocidade da bolha de Taylor ... 24

3.6 Transições de padrões ... 25

3.6.1 Existência do escoamento em bolhas ... 25

3.6.2 Transição de bolhas para pistonado ... 26

3.6.3 Transição para bolhas dispersas ... 27

3.6.4 Transição para escoamento anular: ... 28

vii

3.7.1 Escoamento em bolhas ... 29

3.7.2 Escoamento em bolhas dispersas ... 31

3.7.3 Escoamento pistonado ... 31

3.8 Gradiente de pressão ... 32

3.8.1 Escoamento em bolhas e pistonado ... 32

3.8.2 Escoamento em bolhas dispersas ... 34

4 O Simulador ... 35

4.1 Dados de entrada e de saída ... 35

4.2 Algoritmos ... 38 5 Considerações Finais ... 40 5.1 Conclusão ... 40 5.2 Trabalhos futuros... 40 Referências Bibliográficas ... 41 Apêndice ... 42

viii

Lista de Figuras

Figura 1 - Padrões de escoamento em tubulações anulares ... 6

Figura 2 - Vista superior de padrões de escoamento ... 6

Figura 3 - Estrutura do escoamento em bolhas, de acordo com Nakoryakov et al(1990) ... 7

Figura 4 - Exemplo de mapa de escoamento, de acordo com Hasan e Kabir (1992) ... 9

Figura 5 - Representação do escoamento pistonado em tubulação simples ... 12

Figura 6 - Principais referências dos modelos utilizados...16

Figura 7 - Geometria anular ... 17

Figura 8 - Fator geométrico de atrito ... 19

Figura 9 - Fator de atrito de Fanning em escoamento laminar ... 20

Figura 10 - Fator de atrito de Fanning em escoamento turbulento ... 22

Figura 11 - Fator de atrito de Fanning para escoamento turbulento: vista A ... 23

Figura 12 - Fator de atrito de Fanning para escoamento turbulento: vista B ... 23

Figura 13 - Velocidade superficial de líquido na transição para bolhas dispersas ... 28

Figura 14 - Fração de líquido para escoamento em bolhas ... 30

Figura 15 - Informações adicionais do mapa gerado pelo simulador ... 36

Figura 16 - Mapa gerado pelo simulador ... 37

Figura 17 - Algoritmo simplificado do simulador ... 38

ix

Nomenclatura

A: área da seção transversal da tubulação

AF: área da seção transversal ocupada pela fase

D_C: diâmetro interno do tubo externo 𝐷𝐸𝑃: diâmetro equiperiférico

𝐷_𝐻: diâmetro hidráulico

D_T: diâmetro externo do tubo interno f: fator de atrito de Fanning

𝑓𝐴𝐶: fator de atrito de Fanning para escoamento laminar em tubos anulares concêntricos

fNC: fator de atrito de Fanning para configurações não circulares

f_t: fator de atrito de Fanning para escoamento laminar em tubos simples 𝐹𝐴𝐶: parâmetro geométrico de atrito em tubos anulares concêntricos

FC: parâmetro geométrico de atrito para configurações circulares

F_NC: parâmetro geométrico de atrito para configurações não circulares Fp: parâmetro geométrico de atrito em tubos simples

FT: parâmetro geométrico de atrito para tubos simples em regime laminar

g: aceleração da gravidade

H_G: fração de gás/ fração de vazio H_L: fração de líquido

K: razão de diâmetros

L: comprimento característico

n: expoente para correção da velocidade de ascensão de uma bolha 𝑁𝐸Ö: número de Eötvos

x QG: vazão volumétrica da fase gasosa

Q_L: vazão volumétrica da fase líquida Re: número de Reynolds

V0: valor corrigido para a velocidade de ascensão de uma bolha

V0,∞: velocidade de ascensão de uma bolha se movendo em um meio infinito

V_BT: velocidade da bolha de Taylor

𝑉_𝐸: velocidade de escorregamento entre as fases V_F: velocidade real da fase

V_G: velocidade in-situ do gás V_L: velocidade in-situ do líquido VM: velocidade de mistura

V_SG: velocidade superficial do gás V_SL: velocidade superficial do líquido Vol: volume total do segmento de tubulação

VolL: volume ocupado pelo líquido no segmento de tubulação

𝜆𝐿: fração de líquido sem escorregamento (non-slip liquid holdup)

𝜇_𝐺: viscosidade do gás 𝜇𝐿: viscosidade do líquido

𝜇𝑀: viscosidade de mistura

ρ_G: massa específica do gás ρL: massa específica do líquido

𝜌𝑆: densidade de escorregamento

σ: tensão superficial Φ: função genérica

1

Capítulo 1

Introdução

O objeto de estudo desse trabalho é o escoamento bifásico em tubulações anulares. Escoamento bifásico, como será visto mais detalhadamente no Capítulo 2, é o nome dado ao escoamento que possui duas fases distintas. Um tubo anular é caracterizado pela existência de dois tubos circulares, com o escoamento ocorrendo no espaço delimitado pela parede interna do tubo externo (casing) e pela parede externa do tubo interno (tubing).

É importante observar a dupla utilização do termo anular neste trabalho. Anular é o nome dado à região entre as paredes de dois tubos, como citado anteriormente, sendo também utilizado para nomear um dos padrões do escoamento multifásico. As duas utilizações do termo são independentes; um escoamento anular não ocorre necessariamente somente em regiões anulares, e uma região anular pode apresentar escoamentos com padrões diferentes do anular.

1.1 Motivação

Escoamentos multifásicos em geometrias anulares são encontrados em diversas obras da engenharia, e interesse diferenciado pode ser atribuído à indústria de petróleo, devido à grande quantidade de aplicações do tema e ao importante papel desta indústria para o país. Além da produção de óleo e gás, outras aplicações industriais podem ser citadas, como trocadores de calor e reatores nucleares.

A ocorrência de escoamentos em anulares na indústria de petróleo pode ser resultado de condições técnicas ou econômicas. Métodos de elevação artificial, poços de alta produtividade de gás e poços com múltiplas completações são os principais exemplos práticos da necessidade da utilização do espaço anular.

Pode-se considerar o tema fundamental para o correto entendimento e otimização do processo de perfuração de poços. A lama e os outros fluidos de perfuração escoam no espaço entre a coluna e a parede do poço, e o controle eficiente desse escoamento pode auxiliar a prevenção de fenômenos indesejáveis, como a ocorrência de kicks, caracterizados pela perda de controle do fluxo de hidrocarbonetos do poço, normalmente devido a uma falha do controle de pressão. Nessa situação, é

2 importante ressaltar a complexa composição dos fluidos envolvidos, e uma análise detalhada deve ser realizada para determinar as fases e substâncias significativas para a modelagem do fenômeno.

1.2 Objetivo

O objetivo deste trabalho é realizar um simulador para a identificação de padrões de escoamento bifásico em tubos verticais com geometria anular, realizando também o cálculo da perda de carga e da fração de líquido para os padrões: pistonado, bolhas e bolhas dispersas.

Dada a existência de um padrão de escoamento, é possível modelar o escoamento para calcular parâmetros importantes para o projeto do sistema. No entanto, uma tarefa central é predizer qual padrão de escoamento irá existir sob um conjunto de condições operacionais, assim como qual é o par de vazões (líquido e gás) necessário para que ocorra a transição entre os padrões.

Pode-se então enumerar os dois objetivos principais deste trabalho:

1. Determinação do mapa de padrões de escoamento e identificação do padrão correspondente às variáveis de entrada.

2. Cálculo dos parâmetros de interesse (perda de carga e fração de líquido). 1.3 Revisão bibliográfica

Taitel, Barnea e Duckler (1980) realizaram modelos para prever padrões de escoamentos permanentes bifásicos em tubos verticais. Foram desenvolvidos modelos para prever as transições de padrões de escoamentos gás-líquido em regime permanente, baseados nos mecanismos físicos que governam cada transição. Esses modelos incorporam o efeito das propriedades dos fluidos e das dimensões da tubulação, sendo assim livres das limitações de mapas empíricos de transição de escoamentos ou de correlações. Sadatomi et al (1982) investigaram escoamentos gás-líquido e o fenômeno de ascensão de bolhas em geometrias não circulares, recomendando o uso do diâmetro equiperiférico como dimensão característica em tubos anulares concêntricos. Extensa pesquisa, teórica e experimental, em escoamentos bifásicos verticais em espaços anulares foi realizada por Caetano (1984). Seu trabalho incluiu a determinação experimental de mapas de padrões de escoamento, da velocidade de ascensão da bolha de Taylor, da fração líquida média volumétrica e da perda de carga. Foram propostos modelos físicos e matemáticos para cada tipo de escoamento, possibilitando a previsão

3 do padrão em geometrias anulares, assim como o cálculo da perda de carga e da fração líquida. A primeira tentativa de identificação dos padrões de escoamento em anulares de maneira menos subjetiva (sem depender de inspeções visuais) foi realizada por Kelessidis e Duckler (1989), que utilizaram métodos experimentais e analisaram a função densidade de probabilidade de sinais elétricos emitidos ao longo da tubulação. As estruturas dos padrões foram estudadas por Nakoryakov et al (1990), com a proposta de novos modelos matemáticos, no entanto para tubulações de pequeno diâmetro. Caetano, Brill e Shoham (1992) publicaram dois artigos revisando o trabalho de Caetano (1984) e propondo modificações do modelo. A fração de vazio em tubos anulares verticais e inclinados foi estudada por Hasan e Kabir (1992). Lage e Time (2000) utilizaram o modelo proposto por Caetano (1984) como ponto de partida para a construção de um novo modelo mecanicista para escoamentos em anulares.

1.4 Organização do trabalho

Após o capítulo introdutório, o trabalho é composto por três partes principais. No capítulo 2, Escoamento Bifásico, os principais conceitos teóricos são apresentados, sendo fundamentais para a compreensão dos capítulos seguintes.

No capítulo 3, Modelagem, os modelos físicos e matemáticos retirados da literatura e utilizados para o desenvolvimento do simulador são descritos, acompanhados de resultados de simulações numéricas realizadas.

No capítulo 4, O Simulador, são apresentados os algoritmos fundamentais para a compreensão do código, além de informações referentes aos dados de entrada e de saída do programa.

As considerações finais são realizadas no capítulo 5, seguidas das referências bibliográficas e do apêndice, que contém o código do simulador.

4

Capítulo 2

Escoamento Bifásico

Neste capítulo são apresentados conceitos teóricos referentes ao escoamento bifásico. 2.1 Definição

Fase é um dos estados da matéria, podendo ser gás, líquido ou sólido. Escoamento multifásico é o escoamento simultâneo de diversas fases, sendo escoamento bifásico o caso mais simples.

O termo “componente” pode ser utilizado quando as fases não consistem da mesma substância química. Por exemplo, escoamentos vapor-água são bifásicos, enquanto um escoamento ar-água possui dois componentes. Alguns escoamentos com dois componentes (normalmente líquido-líquido) possuem uma única fase, mas frequentemente são denominados escoamentos bifásicos na literatura, sendo as fases identificadas como o “componente contínuo” ou como o “componente descontínuo”. Neste trabalho serão considerados sistemas gás-líquido, logo o termo bifásico possui seu significado original, isto é, a presença de dois estados da matéria.

2.2 Métodos de análise

Escoamentos bifásicos obedecem todas as leis que regem a mecânica dos fluidos. As equações serão somente mais complexas ou numerosas do que os casos monofásicos. De acordo com Wallis (1964), as técnicas de análise para escoamentos unidimensionais podem ser agrupadas em classes em ordem ascendente de sofisticação, dependendo da quantidade de informação necessária para descrever o escoamento, como mostrado a seguir:

Correlações: Correlação de dados experimentais de acordo com as variáveis de

interesse é uma maneira conveniente de se obter equações de projeto com um mínimo de esforço analítico. As correlações mais simples são expressões matemáticas facilmente resolvidas por computadores modernos, porém técnicas mais avançadas utilizam análise dimensional para agrupar diversas variáveis em uma base lógica. Correlações possuindo maior grau de generalidade auxiliam na busca por soluções pertencentes aos limites estatísticos desejados, no entanto seu uso indiscriminado pode

5 ocasionar erros, pois pouca compreensão do fenômeno é necessária para correlacionar dados.

Modelos analíticos simples: Modelos resultantes de análises simplificadas, que não

consideram todos os detalhes do escoamento, podem ser úteis para organizar resultados experimentais e predizer parâmetros de projeto. Por exemplo, ao considerar o modelo como homogêneo, os componentes são tratados como um pseudofluido com propriedades médias, sem preocupações com a descrição detalhada do padrão do escoamento.

Análise integral: A análise integral unidimensional começa com a definição de certas

funções que descrevem, por exemplo, a distribuição de velocidades ou concentrações em um duto. Essas funções satisfazem condições de contorno apropriadas e as equações da mecânica dos fluidos em forma integral.

Análise diferencial: Nessa análise os campos de velocidade e concentração são

deduzidos a partir das equações diferenciais pertinentes. Normalmente, após a hipótese de fluxo unidimensional, as equações são escritas em médias temporais.

Neste trabalho serão utilizados modelos analíticos provenientes da base teórica da mecânica dos fluidos, sendo suportados por correlações testadas em uma ampla gama de dados experimentais.

2.3 Padrões de escoamento

2.3.1 Tipos de padrões

Quando uma mistura gás-líquido flui em sentido ascendente em um tubo vertical, as duas fases podem estar distribuídas em certos padrões, cada um caracterizando a distribuição radial e/ou axial do líquido e do gás. O escoamento normalmente é consideravelmente caótico, sendo essas distribuições difíceis de serem descritas, no entanto é possível classificar os principais tipos de escoamento de acordo com a figura a seguir:

6

Figura 1 - Padrões de escoamento em tubulações anulares

Figura 2 - Vista superior de padrões de escoamento

(i) Bolhas: A fase gasosa é, distribuída uniformemente na forma de pequenas bolhas discretas em uma fase líquida contínua, formando um escoamento aproximadamente homogêneo na seção transversal do espaço anular. As bolhas podem ocorrer em formato esférico ou alongado, sendo as esféricas na ordem de 3 a 5 mm, bem menores quando comparadas às alongadas. Nakoryakov et al (1990) registraram a estrutura de um escoamento em bolhas em um espaço anular estreito:

7

Figura 3 - Estrutura do escoamento em bolhas, de acordo com Nakoryakov et al(1990)

(ii) Bolhas dispersas: Nesse padrão o gás está distribuído uniformemente em bolhas discretas, em uma fase líquida contínua, no entanto bolhas de formato esférico são as únicas observadas. As bolhas se movem aproximadamente de forma retilínea no sentido ascendente.

(iii) Pistonado: A maior parte do gás está na forma de largas bolhas com forma alongada, possuindo o diâmetro aproximadamente igual ao diâmetro da tubulação. Elas se movem uniformemente para cima e são frequentemente designadas como bolhas de Taylor. As bolhas de Taylor são separadas por pistões de líquido contínuo contendo pequenas bolhas de gás. Entre as bolhas de Taylor e a parede da tubulação, o líquido flui em sentido descendente na forma de um fino filme.

(iv) Transitório/Agitante: Caracterizado por um movimento oscilatório, sendo mais caótico e desordenado do que o escoamento pistonado. Na ocorrência de altas vazões de gás, os pistões líquidos se encurtam e são sugados pela fase gasosa, quebrando-se e unindo-se ao próximo pistão. As bolhas de Taylor se estreitam e sua forma é distorcida. A continuidade do líquido nos pistões entre sucessivas bolhas de Taylor é repetidamente destruída pela alta

8 concentração local de gás no pistão. No caso pistonado, o líquido entre duas bolhas de Taylor se move a uma velocidade constante. No transitório o pistão líquido é muito curto para suportar uma ponte líquida estável entre duas bolhas de Taylor consecutivas. O filme em queda em torno das bolhas penetra profundamente no pistão líquido criando uma mistura aerada altamente agitada, e o pistão líquido parece se desintegrar e cair para dar início a outro movimento caótico. O líquido se acumula novamente em um nível mais baixo no próximo pistão onde a continuidade líquida é restaurada, e o pistão retorna a seu movimento ascendente. Logo, existe um movimento oscilatório, que é a característica principal deste escoamento. É possível identificar esse escoamento com base na agitação que aparece na região gasosa e se assemelha a uma espuma, ou ainda com base na instabilidade do filme líquido adjacente à bolha de Taylor. Este regime possui características que se alternam entre escoamento pistonado e anular.

(v) Anular: É caracterizado pela continuidade da fase gasosa ao longo do núcleo da tubulação, sendo normalmente simétrico. A fase líquida se move para cima parcialmente como um filme líquido ondulante e parcialmente na forma de gotas presentes no núcleo gasoso. A espessura do filme externo sempre é maior do que a do interno.

2.3.2 Mapas de padrões de escoamento

Os mapas são representações gráficas utilizadas para determinar o padrão de escoamento correspondente às variáveis de entrada. Existe certa discordância entre a melhor forma de apresentação dos mapas de padrões de escoamento. Uma lista dos mapas já publicados para escoamentos bifásicos em tubos verticais foi apresentada por Shoham (1982), sendo uma parte da mesma apresentada na tabela abaixo:

Autor Ano Diâmetro da tubulação (cm) Sistema Coordenadas do Mapa

Kosterin 1949 2.54 ar-água VSG/VM,VM

Kozlov 1954 2.54 ar-água VSG/VM,V²M/gD

Griffith e Wallis 1961 1.2 a 5.75 vapor-água VSG/VM,V²M/gD

Duns e Ros 1963 8 água-óleo VSG(ρL/gσ)1/4,VSL(ρL/gσ)1/4

Sterling 1965 2.54 ar-água VSL,VSG

Wallis 1969 2.54 ar-água VSL,VSG

Hewitt e Roberts 1969 3.18 ar-água ρGV²SG,ρLV²SL

9 Neste trabalho serão adotadas como coordenadas dos mapas as velocidades superficiais do líquido e do gás, por serem variáveis facilmente controladas e medidas, o que é refletido na grande utilização das mesmas por especialistas da área.

A seguir está um exemplo de mapa publicado por Hasan e Kabir (1992):

Figura 4 - Exemplo de mapa de escoamento, de acordo com Hasan e Kabir (1992)

2.3.3 Mecanismos físicos de transição

Para interpretar corretamente e predizer as condições de transição, é essencial compreender o mecanismo por qual cada transição de escoamento ocorre. Cada padrão e transição particulares observados dependem das vazões das fases, das propriedades do fluido e das dimensões da tubulação. A natureza dessa dependência é diferente para cada transição, porque cada uma é governada por um mecanismo diferente (Taitel, Barnea e Duckler, 1980). Modelos físicos que descrevem transições serão apresentados e usados posteriormente para desenvolver equações de transição, que podem ser utilizadas para construir mapas.

(i) Transição de bolhas ou bolhas dispersas para pistonado: A transição do regime de bolhas, observado a menores vazões de gás, para pistonado requer um processo de aglomeração ou coalescência. Somente assim bolhas discretas podem ser combinadas em maiores espaços de vapor, possuindo

10 um diâmetro próximo ao tubo e comprimentos maiores, como observado no escoamento pistonado. Com o aumento da vazão de gás, a densidade de bolhas aumenta. Esse espaçamento menor entre as bolhas resulta num aumento da taxa de aglomeração. Se a quebra de bolhas é suficientemente intensa para prevenir nova aglomeração das bolhas, o padrão em bolhas é mantido. Logo, para predizer as condições dessa transição, é necessário determinar qual desses fenômenos (quebra ou coalescência) irá dominar o processo.

Quando gás é introduzido a baixas vazões em uma coluna vertical de líquido (fluindo a velocidades baixas), a fase gasosa é distribuída em bolhas discretas. Se as bolhas são suficientemente pequenas, elas se comportam como esferas rígidas ascendendo verticalmente em movimento retilíneo (bolhas dispersas). No entanto, após um tamanho crítico (aproximadamente 0,15cm para ar-água a pressão baixa), as bolhas começam a se deformar, e o movimento ascendente segue uma trajetória em ziguezague altamente aleatória. As bolhas colidem e coalescem aleatoriamente, formando certo número de bolhas maiores com o formato alongado similar às bolhas de Taylor do escoamento pistonado, mas com diâmetros inferiores ao da tubulação. Logo, mesmo na ocorrência de vazões baixas de líquido e gás, o escoamento em bolhas é caracterizado por um grupo de bolhas menores se movendo aleatoriamente, com a ocasional criação de bolhas maiores alongadas. Essas bolhas de Taylor não são largas o suficiente para ocupar a seção transversal do tubo nem para causar o escoamento pistonado descrito anteriormente. Elas se comportam como vazios esféricos em livre ascensão, como originalmente descritos por Taylor. Com o aumento da vazão de gás, em vazões líquidas baixas, a densidade de bolhas aumenta e um ponto é alcançado onde as bolhas estão agrupadas tão proximamente que várias colisões ocorrem e a taxa de aglomeração em bolhas maiores aumenta intensamente. Isso resulta na transição para escoamento pistonado.

(ii) Transição de pistonado para transitório: O padrão pistonado se desenvolve do padrão bolhas quando a vazão de gás aumenta até um valor crítico que força as bolhas a coalescerem. Nesse ponto, se o processo de aglomeração continua, as bolhas de Taylor ocupam a maior parte da seção transversal e são axialmente separadas por um pistão líquido onde bolhas menores estão

11 dispersas. O líquido confinado entre a bolha e a parede da tubulação flui como um filme em queda. Aumentando ainda mais a vazão de gás, a transição para escoamento transitório ocorre. É consideravelmente difícil identificar precisamente a transição entre escoamento pistonado e transitório, pois a definição deste não é trivial. O mecanismo de transição pistonado-transitório se baseia no fato que o último é um fenômeno da região de entrada da tubulação associado com a existência de escoamento pistonado ao longo dela. Ou seja, sempre que for observado o caso pistonado, as condições próximas à entrada se assemelham ao transitório. Além disso, o comprimento de entrada, ou a distância onde escoamento transitório pode ser observado antes que um escoamento pistonado estável apareça, depende das vazões de gás e líquido e das dimensões da tubulação.

O processo de desenvolvimento de um pistão estável próximo à seção de entrada pode ser descrito da seguinte maneira: na entrada o gás e o líquido introduzidos formam pistões líquidos curtos e bolhas de Taylor. Sabe-se que um pistão líquido curto é altamente instável, entrando em queda e se unindo ao próximo pistão líquido em ascensão, o que aproximadamente dobra o seu comprimento. Nesse processo, as duas bolhas de Taylor das extremidades do pistão, que se colapsa, se aglomeram. Esse processo se repete, aumentando o comprimento do pistão líquido e da bolha de Taylor que se movem ascendentemente, até que o pistão é longo o suficiente para ser estável e formar uma ponte entre duas bolhas de Taylor consecutivas. Entre a entrada e a posição onde o regime estável é atingido, o pistão líquido entra alternadamente em queda e ascensão, que é a condição para escoamento transitório. Com o aumento da vazão de gás, é evidente que o comprimento dessa região de entrada aumenta a ponto de poder ocupar todo o comprimento de qualquer seção de testes.

A figura a seguir ilustra, para uma tubulação simples, a bolha de Taylor, o pistão líquido e o filme em queda:

12

Figura 5 - Representação do escoamento pistonado em tubulação simples

Transição de Transitório para Anular: Para altas vazões de gás, o escoamento se torna anular. O filme líquido flui em sentido ascendente e adjacente à parede, e o gás flui no centro carregando gotículas líquidas. O escoamento ascendente do filme líquido resistindo à gravidade resulta de forças exercidas pelo núcleo gasoso que se move rapidamente. Esse filme possui uma interface ondulante e as ondas tendem a se fragmentar e entrar no núcleo gasoso na forma de gotículas que são arrastadas. Então, o líquido que se move ascendentemente, devido a ambos os cisalhamentos das interfaces, forma um tipo de força de arrasto nas ondas e nas gotículas. Logo, o escoamento anular existirá somente se a velocidade de gás do núcleo é suficientemente alta para sustentar as gotículas arrastadas. Quando a vazão de gás é insuficiente, as gotículas entram em queda, se acumulam formando uma ponte, e há a ocorrência de escoamento pistonado ou transitório.

13 2.4 Relações do escoamento bifásico

2.4.1 Fração de líquido (liquid holdup)

É definida como a razão do volume ocupado por líquido num segmento de tubo e o volume total deste segmento:

𝐻_𝐿=𝑉𝑜𝑙_𝑉𝑜𝑙𝐿 (2.1)

Onde:

HL=fração de líquido

Vol_L=volume ocupado pelo líquido no segmento de tubulação Vol=volume total do segmento de tubulação

A fração de líquido é uma razão que varia de zero (fluxo puramente gasoso) a um (fluxo puramente líquido). Para realizar a medição da fração de líquido, isola-se um segmento do fluxo entre válvulas de fechamento rápido e mede-se a quantidade de líquido capturado.

Pode-se, analogamente, definir a fração de gás (ou fração de vazio) como:

𝐻_𝐺 = 1 − 𝐻_𝐿 (2.2)

2.4.2 Velocidade real

A velocidade real de cada fase é definida como a razão entre a vazão volumétrica da fase e a área que ocupa. Para um escoamento qualquer não é conhecido o valor da área que cada uma das fases ocupa, logo este parâmetro pode não ser de muita utilidade para a construção de modelos teóricos.

𝑉𝐹=𝑄_𝐴𝐹

𝐹

(2.3)

Onde:

V_F= velocidade real da fase QF= vazão volumétrica da fase

14

2.4.3 Velocidade superficial

A velocidade superficial de cada fase é definida como a razão entre a vazão volumétrica da fase e a área da seção transversal da tubulação, portanto, uma grandeza sempre conhecida. As velocidades superficiais individualmente não possuem significado físico direto, pois não são sequer a velocidade média de cada fase (que deve ser calculada a partir das áreas que cada fase ocupa). Entretanto, para o modelador, elas são grandezas que podem ser definidas a partir dos dados de entrada. Deste modo são as grandezas utilizadas nos modelos deste trabalho.

𝑉𝑆𝐿=𝑄_𝐴𝐿 (2.4)

Onde:

V_SL=velocidade superficial da fase líquida Q_L= vazão volumétrica da fase líquida A= área da seção transversal da tubulação

𝑉_𝑆𝐺=𝑄_𝐴𝐺 (2.5)

Onde:

VSG=velocidade superficial da fase gasosa

QG=vazão volumétrica da fase gasosa

As velocidades superficiais e reais estão relacionadas da seguinte maneira: 𝑉𝐿=𝑉_𝐻𝑆𝐿 𝐿 (2.6) 𝑉_𝐺=𝑉_𝐻𝑆𝐺 𝐺 (2.7) 2.4.4 Velocidade da mistura

É a soma das velocidades superficiais de cada fase, sendo uma grandeza que se conserva em cada seção do tubo.

15

Capítulo 3

Modelagem

Neste capítulo são apresentados os modelos utilizados no desenvolvimento do simulador.

3.1 Escolha do modelo

O modelo mais robusto encontrado na literatura, e que será utilizado neste trabalho, é o proposto por Caetano (1984), levando em consideração modificações sugeridas por Lage e Time (2000) e por Caetano, Brill e Shoham (1992). Caetano utilizou como ponto de partida o modelo proposto por Taitel et al (1980). O modelo foi baseado em experimentos com sistemas ar-água e ar-querosene, utilizando-se uma razão de diâmetros de 0.553. Na página a seguir estão esquematizados cronologicamente os trabalhos citados.

16 1980

Taitel, Barnea e Duckler

Modelling Flow Pattern Transitions for Steady Upward Gas-Liquid Flow in Vertical Tubes

1984

Caetano

Two-Phase Flow in Vertical Annulus

1992

Caetano, Brill e Shoham

Upward Vertical Two-Phase Flow Through an Annulus — Part II : Modeling Bubble ,

Slug , and Annular Flow 1992

Caetano, Brill e Shoham

Upward Vertical Two-Phase Flow Through an Annulus — Part I : Single-Phase Friction Factor , Taylor Bubble Rise Velocity , and

Flow Pattern Prediction

2000 Lage e Time

Mechanistic Model for Upward Two-Phase Flow in Annuli

17 3.2 Parâmetros geométricos

Antes do detalhamento dos modelos, é necessário definir alguns parâmetros geométricos que caracterizam a geometria anular. Como citado na introdução, um tubo anular é caracterizado pela existência de dois tubos circulares, com o escoamento ocorrendo no espaço delimitado pela parede interna do tubo externo (casing) e pela parede externa do tubo interno (tubing).

Figura 7 - Geometria anular

Onde:

DT=Diâmetro externo do tubo interno

D_C=Diâmetro interno do tubo externo

Definem-se os seguintes parâmetros geométricos: Razão de diâmetros: K=𝐷𝑇 𝐷𝐶 (3.1) Diâmetro Hidráulico: 𝐷_𝐻=𝐷_𝐶-𝐷_𝑇 (3.2) Diâmetro equiperiférico: 𝐷_𝐸𝑃=𝐷_𝐶+𝐷_𝑇 (3.3)

18 3.3 Valores de referência

Nesse capítulo serão demonstrados resultados obtidos com o simulador, variando-se variáveis particulares e mantendo o valor de outras fixo. Foram escolhidos alguns valores de referência para as propriedades utilizadas, permitindo uma análise comparativa entre os diversos resultados. Desse modo, os valores de referência utilizados são aproximações para os respectivos valores das propriedades de ar e água: (i) 𝜌_𝐿= 1000 kg/m³ (ii) 𝜌𝐺= 1.2 kg/m³ (iii) 𝜇_𝐿= 0.001 Pa.s (iv) 𝜇_𝐺= 0.00001 Pa.s (v) σ=0.007 N/m

3.4 O fator de atrito de Fanning

3.4.1 Escoamento laminar

O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar em tubulações circulares é dado por:

𝑓_𝑡=_𝑅𝑒𝐹𝑝=16_𝑅𝑒 (3.4)

Onde F_p é um parâmetro geométrico de atrito para tubulações simples. Para um tubo anular concêntrico (Bird e Stewart, 1976):

𝑓_𝐴𝐶=𝐹_𝑅𝑒𝐴𝐶=_𝑅𝑒16 (1−𝐾) 2 [1−𝐾4 1−𝐾2− 1−𝐾² 𝑙𝑛 (_𝐾)1 ] (3.5) Logo: 𝐹𝐴𝐶=𝐹𝐴𝐶(K)=16 (1−𝐾) 2 [1−𝐾4_1−𝐾2−1−𝐾² 𝑙𝑛 (_𝐾)1 ] (3.6)

19 Onde f_AC é o fator de atrito de Fanning e F_AC é o parâmetro geométrico de atrito para tubos anulares concêntricos. Abaixo está o gráfico representando a variação de F_AC em função da razão de diâmetros, K.

Figura 8 - Fator geométrico de atrito

Percebe-se que quando a razão de diâmetros tende a 1, F_AC tende a 24, que é o valor para escoamento entre placas paralelas infinitas. (Caetano, Brill e Shoham, 1992a). Fixando-se o valor de K em 0.5 e variando o número de Reynolds entre 150 e 2000, foi obtido o seguinte resultado, em escala logarítmica:

20

Figura 9 - Fator de atrito de Fanning em escoamento laminar

3.4.2 Escoamento turbulento

Gunn e Darling (1963) utilizaram uma abordagem semi-empírica para estimar o fator de atrito em escoamento turbulento para configurações não circulares. Foram utilizados dados experimentais de escoamentos turbulentos em conjunto com características do regime laminar para a mesma configuração. Uma conclusão importante alcançada por Gunn e Darling é que a similaridade existente entre fatores de atrito para configurações circulares e não circulares na região laminar é também acompanhada por uma similaridade na região turbulenta. Utilizado análise dimensional, eles mostraram que para escoamento turbulento em seções não circulares, a seguinte dependência funcional para o fator de atrito existe:

𝑓_𝑁𝐶=𝜙 (𝑅𝑒,_𝐹𝐹𝐶

𝑁𝐶)

(3.7)

Onde:

fNC=fator de atrito para configurações não circulares

21 FNC=parâmetro geométrico para configurações não circulares

Para valores do número de Reynolds baixos, o fator de atrito é inversamente proporcional à razão _FFC

NC, enquanto para valores altos do número de Reynolds o fator de atrito se torna independente dessa razão.

Foi utilizada a abordagem de Gunn e Darling para se desenvolver a seguinte equação para o fator de atrito em anulares concêntricos (Caetano et al., 1992a):

1 {𝑓𝐴𝐶𝛺}0.5=4.0log(𝑅𝑒𝛺 0.5_{)-0.4 (3.8)} 𝛺=(𝐹𝑇 𝐹𝐴𝐶) 0.45𝑒𝑥𝑝[−(𝑅𝑒−3000)/106] _(3.9) Onde:

f_AC= fator de atrito de Fanning para anular concêntrico em regime turbulento FAC= parâmetro geométrico para anular concêntrico em regime laminar

F_T= 16=parâmetro geométrico para tubulação simples em regime laminar

O método numérico utilizado para resolver a equação acima foi o método de Newton. Para K=0.5 e variando o número de Reynolds entre 6000 e 106, foi obtido o seguinte resultado, em escala logarítmica:

22

Figura 10 - Fator de atrito de Fanning em escoamento turbulento

Para definir um subconjunto do domínio matemático do modelo do fator de atrito de Fanning para o regime turbulento, foram utilizados valores de K variando entre 0.01 e 100, e do número de Reynolds variando entre 2300 e 105. Para essa faixa de valores foram encontradas soluções numéricas para o modelo. Os gráficos obtidos são mostrados a seguir.

23

Figura 11 - Fator de atrito de Fanning para escoamento turbulento: vista A

24 3.5 Velocidade da bolha de Taylor

Como citado anteriormente, bolha de Taylor é o nome dado às bolhas alongadas formadas pela fase gasosa, presentes principalmente no escoamento pistonado. Para modelar corretamente este escoamento, é necessário o cálculo da velocidade de ascensão dessas bolhas em colunas de líquido estagnado.

A velocidade terminal atingida por uma bolha em ascensão em uma coluna de líquido estagnado é resultado das interações entre a força de flutuação e de forças que dependem de seu tamanho e movimento. Desprezando a viscosidade da bolha, essas forças são a inércia do líquido, o arrasto viscoso líquido e a tensão superficial gás-líquido.

Para um tubo anular concêntrico, a velocidade da bolha de Taylor pode ser expressa, utilizando o diâmetro equiperiférico (3.3) como dimensão característica, da seguinte maneira (Sadatomi et al., 1982):

𝑉_𝐵𝑇=0.345√𝑔𝐷_𝐸𝑃 (3.10)

A equação acima é válida para sistemas dominados por efeitos inerciais. A condição para que isso ocorra é (Caetano, 1984):

𝑁_𝐸Ö >70 (3.11)

𝑁_𝐸Ö é o número de Eötvos, definido como: 𝑁_𝐸Ö=𝑔𝐿

2_(𝜌 𝐿−𝜌𝐺)

𝜎

(3.12)

25 3.6 Transições de padrões

3.6.1 Existência do escoamento em bolhas

A existência do escoamento em bolhas é determinada pelas diferentes velocidades características das bolhas menores e das bolhas de Taylor. A velocidade de pequenas bolhas discretas depende somente das propriedades físicas das fases, não dependendo do diâmetro do tubo. No entanto, a velocidade de ascensão da bolha de Taylor depende do diâmetro da tubulação.

Taitel et al. (1980) sugeriram que quando a velocidade de ascensão das bolhas discretas é maior do que a velocidade da bolha de Taylor, elas se aproximam pela parte de trás da última e ocorre a coalescência das mesmas. Neste caso o escoamento em bolhas não pode existir. Quando a velocidade da bolha de Taylor é maior, não há aglomeração, pois as bolhas menores escorregam pela parte frontal da bolha de Taylor, que desaparecerá permitindo a existência do escoamento em bolhas.

A velocidade de ascensão de uma bolha se movendo em um meio infinito, de acordo com Harmathy (1960), é dada por:

𝑉_0,∞=1.53 [(𝜌𝐿−𝜌_𝜌 𝐺)𝑔𝜎

𝐿2 ]

0.25 _(3.13)

A velocidade da bolha de Taylor para condições inerciais dominantes no anular é dada por:

𝑉_𝐵𝑇=0.345√𝑔𝐷_𝑒𝑝 (3.10)

O escoamento em bolhas pode existir se V_BT>V_0,∞. Logo, combinando as equações acima, a condição de existência para esse padrão será:

𝐷𝐸𝑃 ≥19.7√(𝜌𝐿_𝑔𝜌−𝜌𝐺)𝜎

𝐿2

26

3.6.2 Transição de bolhas para pistonado

Na ocorrência de velocidades superficiais de líquido baixas, a turbulência é pequena e a transição de bolhas para pistonado é governada pelo mecanismo de aglomeração. Com o aumento da vazão de gás, a densidade de bolhas aumenta até atingir um valor crítico. Taitel et al (1980) sugeriram que para bolhas uniformemente distribuídas, a transição ocorre quando a fração de gás atinge o valor de 0.25. Caetano (1984) realizou medidas experimentais e mostrou que para espaços anulares esse valor deve ser reduzido para 0.20.

A velocidade in-situ do gás é a soma da velocidade in-situ do líquido e da velocidade de ascensão das bolhas. Logo:

𝑉_𝐺=𝑉_𝐿+𝑉₀ (3.15)

Wallis (1964) utilizou uma correção para V0,∞ quando há um conjunto de bolhas:

𝑉0=𝑉0,∞(1 − 𝐻𝐺)𝑛 (3.16)

Onde V0,∞ é calculado através da equação 3.13 e n é determinado a partir de dados

experimentais. Nesse trabalho, será utilizado o valor de 0.5 para n, conforme determinado por Caetano.

Sabe-se que: 𝑉_𝐺=𝑉_𝐻𝑆𝐺 𝐺 (2.7) 𝑉_𝐿=𝑉_𝐻𝑆𝐿 𝐿 (2.6) 𝐻_𝐿=1-𝐻_𝐺 (2.2)

27 Logo, é possível reescrever a equação 3.15 da seguinte maneira:

𝑉𝑆𝐺

𝐻𝐺=

𝑉𝑆𝐿

1−𝐻𝐺+𝑉0

(3.17)

Como HG=0.2 para que ocorra a transição:

𝑉_𝑆𝐺=𝑉_4.0𝑆𝐿+0.274[(𝜌𝐿−𝜌_𝜌 𝐺)𝑔𝜎

𝐿2 ]

0.25 _(3.18)

A equação acima define a curva de transição T1 na figura 15.

3.6.3 Transição para bolhas dispersas

Forças de turbulência controlam a transição para escoamento em bolhas dispersas, sendo mais intensas do que as forças de tensão superficial e rompendo bolhas maiores. Caetano (1984) utilizou o diâmetro hidráulico nas equações obtidas por Shoham (1982) e Taitel et al. (1980), obtendo boa concordância com os resultados experimentais, sendo a equação desenvolvida apresentada abaixo:

2[_(𝜌0.4𝜎 𝐿−𝜌𝐺)𝑔] 0.5 (𝜌𝐿 𝜎) 0.6 (_𝐷2𝑓 𝐻) 0.4 𝑉_𝑚1.2=0.725+4.15(𝑉_𝑉𝑆𝐺 𝑚) 0.5 _(3.19)

Vm é a velocidade da mistura e f é o fator de atrito de Fanning, como calculado na seção

3.4. A equação acima define a curva de transição T2 na figura 15.

Esse critério se aplica para frações de gás menores que 0.52, que é o maior valor permitido para a ocorrência de bolhas uniformemente distribuídas e dispostas espacialmente em uma rede cúbica. Para frações de gás maiores, independente da energia de turbulência disponível, esse escoamento não pode existir, pois as bolhas estão tão proximamente distribuídas que ocorre coalescência e o surgimento do escoamento pistonado. Como visto anteriormente:

28 Considerando V₀ desprezível a altas vazões de gás e utilizando H_g=0.52 como condição limite, obtém-se a equação de transição para altas vazões de gás:

𝑉_𝑆𝐿=0.92𝑉_𝑆𝐺 (3.20) A equação acima define a curva de transição T3 na figura 15.

Variando-se K e 𝐷𝐻 entre 0.001 e 1, na equação 3.19, e utilizando 𝑉𝑆𝐺 = 0.1, observa-se

o seguinte comportamento de 𝑉_𝑆𝐿, para os valore de referência:

Figura 13 - Velocidade superficial de líquido na transição para bolhas dispersas

3.6.4 Transição para escoamento anular:

Esse critério é baseado na velocidade de gás necessária para sustentar as gotículas de líquido carregadas. A velocidade mínima de gás para balancear as forças da gravidade e de arrasto que agem nas gotículas maiores é (Lage e Time, 2000):

𝑉𝑆𝐺=3.1[(𝜌𝐿−𝜌_𝜌 𝐺)𝑔𝜎

𝐺2 ]

0.25 _(3.21)

29 3.7 Fração de líquido

3.7.1 Escoamento em bolhas

A modelagem da fração de líquido para o escoamento em bolhas se baseia no fato de que a velocidade de ascensão da bolha no meio é independente das velocidades superficiais de líquido e gás, e é equivalente a velocidade de escorregamento entre as fases.

Como foi visto anteriormente, as velocidades in-situ de líquido e gás são dadas por: 𝑉𝐺=_1−𝐻𝑉𝑆𝐺 𝐿 (2.7) 𝑉_𝐿=𝑉_𝐻𝑆𝐿 𝐿 (2.6)

A velocidade de escorregamento entre as fases é definida como:

𝑉_𝐸=𝑉_𝐺-𝑉_𝐿 (3.22)

Substituindo as equações 2.6 e 2.7 na equação 3.22: 𝑉_𝐸=_1−𝐻𝑉𝑆𝐺

𝐿

-𝑉𝑆𝐿

𝐻𝐿

(3.23)

Substituindo a equação 3.13 na 3.16, a velocidade de ascensão de uma bolha solitária em um meio líquido é dada por:

𝑉₀=1.53 [(𝜌𝐿−𝜌_𝜌 𝐺)𝑔𝜎

𝐿2 ]

0.25

𝐻_𝐿𝑛 (3.24)

Como a velocidade acima é equivalente à velocidade de escorregamento, a fração de líquido é obtida a partir da seguinte igualdade:

𝑉𝐸=𝑉0 (3.25)

30 𝐻_𝐿𝑛+2-𝐻_𝐿𝑛+1+ (𝑉𝑆𝐺+𝑉𝑆𝐿)𝐻𝐿 1.53[(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎 𝜌𝐿2 ] 0.25 - 𝑉𝑆𝐿 1.53[(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎 𝜌𝐿2 ] 0.25=0 (3.26)

Onde o valor de n utilizado é 0.5.

Devido à natureza implícita da equação, foi utilizado um método numérico para obtenção da fração de líquido. O método utilizado foi o método de Newton.

Abaixo está o resultado do cálculo da fração de líquido para escoamento de bolhas, utilizando os valores de referência e variando as velocidades superficiais de líquido (entre 0.1 e 10 m/s) e gás (entre 0.1 e 100 m/s):

Figura 14 - Fração de líquido para escoamento em bolhas

É importante ressaltar que o gráfico acima possui significado físico limitado, visto que somente um conjunto reduzido de valores do domínio se caracterizará como escoamento em bolhas. O objetivo principal é demonstrar o comportamento do modelo matemático.

31

3.7.2 Escoamento em bolhas dispersas

Nesse padrão as bolhas de gás não exibem escorregamento significativo em relação à fase líquida, devido à alta velocidade do líquido. Logo:

𝑉𝐺=𝑉𝐿 (3.27) 𝑉𝑆𝐺 1−𝐻𝐿= 𝑉𝑆𝐿 𝐻𝐿 (3.28) 𝐻_𝐿=_𝑉 𝑉𝑆𝐿 𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺 (3.29) 3.7.3 Escoamento pistonado

Para o padrão pistonado, a modelagem da fração de líquido se baseia na velocidade de ascensão da bolha de Taylor. Assume-se que a velocidade in-situ da bolha de Taylor é igual à velocidade in-situ do gás.

A velocidade in-situ da bolha de Taylor é o somatório da velocidade de uma bolha de Taylor solitária em uma coluna de líquido estagnado e da máxima velocidade in-situ da fase líquida.

Assume-se um perfil turbulento para a fase líquida e que sua velocidade in-situ média é igual à velocidade de mistura, logo:

𝑉_𝐺=𝑉_𝐵𝑇+ 1.2𝑉_𝑀 (3.30)

Substituindo as equações 3.10 e 2.8 na equação acima:

𝑉𝐺=0.35√𝑔(𝐷𝐶+ 𝐷𝑇) + 1.2(𝑉𝑆𝐿+ 𝑉𝑆𝐺) (3.31)

Como 𝑉_𝐺=_1−𝐻𝑉𝑆𝐺

𝐿, é possível obter a seguinte equação para o cálculo da fração de líquido:

𝐻𝐿=0.35√𝑔(𝐷_{0.35√𝑔(𝐷}𝐶+𝐷𝑇)+1.2𝑉𝑆𝐿+0.2𝑉𝑆𝐺

𝐶+𝐷𝑇)+1.2(𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)

32 3.8 Gradiente de pressão

O gradiente de pressão total para escoamentos permanentes é composto por três componentes: (𝑑𝑝_𝑑𝑧) 𝑇=( 𝑑𝑝 𝑑𝑧)_𝐺+( 𝑑𝑝 𝑑𝑧)_𝐹+( 𝑑𝑝 𝑑𝑧)_𝐴 (3.33) Onde: (𝑑𝑝_𝑑𝑧)

𝐺= perdas gravitacionais, ou gradiente de pressão hidrostática

(𝑑𝑝_𝑑𝑧)

𝐹=perdas por atrito

(𝑑𝑝_𝑑𝑧)

𝐴=perdas devido à aceleração convectiva, ou variação da energia cinética

3.8.1 Escoamento em bolhas e pistonado

Esses dois padrões são analisados de forma análoga, baseado na natureza de escorregamento desses tipos de escoamento. O componente gravitacional é avaliado a partir da densidade de escorregamento (slip density), definida como:

𝜌_𝑆=𝜌_𝐿𝐻_𝐿+𝜌_𝐺(1 − 𝐻_𝐿) (3.34)

O termo em questão é calculado utilizando-se a definição acima: (𝑑𝑝_𝑑𝑧)

𝐺=𝜌𝑆g

(3.35)

O escoamento em bolhas é dominado por uma fase líquida aproximadamente incompressível. Logo, as variações na densidade da mistura não são significativas, o que torna as velocidades das fases aproximadamente constantes, tornando possível desprezar as perdas por variação da energia cinética.

A densidade de escorregamento também é utilizada no cálculo das perdas por atrito: (𝑑𝑝_𝑑𝑧) 𝐹=4 𝑓 𝐷𝐻𝜌𝑆 𝑉𝑀2 2 (3.36)

33 A equação acima pode ser escrita da seguinte maneira, quando utilizadas as definições do diâmetro hidráulico e da velocidade de mistura:

(𝑑𝑝_𝑑𝑧) 𝐹=4 𝑓 (𝐷𝐶−𝐷𝑇)𝜌𝑆 (𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)2 2 (3.37)

O fator de atrito de Fanning, f, é calculado conforme demonstrado na seção 3.4. O número de Reynolds para o escoamento em bolhas é definido como:

𝑅𝑒=𝜌𝑆𝑉𝑀𝐷𝐻

𝜇𝑀

(3.38)

Onde 𝜇𝑀, a viscosidade de mistura, é definida como:

𝜇_𝑀=𝜇_𝐿𝜆_𝐿+𝜇_𝐺(1 − 𝜆_𝐿) (3.39)

𝜆_𝐿 é a fração de líquido sem escorregamento (non-slip liquid holdup), termo utilizado para ponderar as propriedades das fases no cálculo da viscosidade de mistura, que é definido como:

𝜆_𝐿=_𝑉 𝑉𝑆𝐿

𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺

(3.40)

Combinando as equações acima, o gradiente de pressão total para escoamento em bolhas é dado por:

(𝑑𝑝_𝑑𝑧) 𝑇=𝜌𝑆g+4 𝑓 (𝐷𝐶−𝐷𝑇)𝜌𝑆 (𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)2 2 (3.41)

Logo, o gradiente de pressão para esse padrão de escoamento é função de: (i) Parâmetros geométricos: 𝐷_𝐶 e 𝐷_𝑇

(ii) Propriedades físicas do fluido: 𝜌𝐿, 𝜌𝐺, 𝜇𝐿, 𝜇𝐺 e 𝜎

34

3.8.2 Escoamento em bolhas dispersas

O conceito básico para modelar esse padrão de escoamento é sua natureza homogênea e sem escorregamento. Para o cálculo das propriedades médias do fluido, é utilizada a densidade de mistura, definida como:

𝜌_𝑀=𝜌_𝐿𝜆_𝐿+𝜌_𝐺(1 − 𝜆_𝐿) (3.42)

O componente de perdas por aceleração é desprezado, pois o escoamento da mistura é considerado em regime permanente. Utilizando as propriedades médias do fluido, é possível calcular os outros componentes do gradiente de pressão da seguinte maneira:

(𝑑𝑝_𝑑𝑧) 𝐺=𝜌𝑀g (3.43) (𝑑𝑝_𝑑𝑧) 𝐹= 4𝑓 (𝐷𝐶−𝐷𝑇)𝜌𝑀 (𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)2 2 (3.44)

O fator de atrito de Fanning é calculado utilizando-se o método descrito na seção 3.4. O número de Reynolds utilizado é definido como:

𝑅𝑒=𝜌𝑀𝑉𝑀𝐷𝐻

𝜇𝑀

35

Capítulo 4

O Simulador

Utilizando os modelos físicos e matemáticos descritos anteriormente, foi desenvolvido um simulador, objetivo principal deste trabalho, como citado anteriormente. O código foi escrito em Python, com o auxílio de algumas rotinas importadas das bibliotecas NumPy e SciPy, principalmente para resolução numérica de equações.

4.1 Dados de entrada e de saída

O simulador gera quatro resultados principais (outputs): (i) Mapa de padrões de escoamento.

O Mapa de padrões de escoamento é apresentado na forma de um gráfico em escala logarítmica, onde as velocidades superficiais de gás e líquido são as coordenadas dos eixos.

(ii) Padrão de escoamento.

É informado o padrão de escoamento correspondente às variáveis de entrada. O ponto correspondente às velocidades superficiais inseridas pelo usuário é mostrado no mapa, com a legenda “Input value”.

(iii) Fração de líquido. (iv) Gradiente de pressão.

Também são gerados, como outputs secundários (as curvas abaixo estão indicadas na figura 15):

(v) (X,Y): Ponto de interseção entre as curvas de transição T1 e T2. (vi) (X2,Y2): Ponto de interseção entre as curvas de transição T2 e T3. (vii) (X3,Y3): Ponto de interseção entre as curvas de transição T3 e T4.

Os mapas gerados pelo simulador delimitam os quatro padrões de escoamento estudados: bolhas, bolhas dispersas, pistonado e anular. Todos os mapas gerados possuirão certa similaridade visual, sendo os padrões correspondentes a cada região indicados na figura a seguir:

36

Figura 15 - Informações adicionais do mapa gerado pelo simulador

Os dados de entrada exigidos pelo simulador são: (i) Velocidade superficial do líquido

(ii) Velocidade superficial do gás (iii) Densidade do líquido

(iv) Densidade do gás (v) Tensão superficial

(vi) Diâmetro interno da tubulação externa (vii) Diâmetro externo da tubulação interna (viii) Viscosidade do líquido

(ix) Viscosidade do gás

A figura 15 não é o mapa retornado ao usuário, contendo informações adicionais para melhor compreensão das diversas regiões. O mapa gerado pelo simulador é mostrado a seguir, com a marcação “Input value” no ponto correspondente aos dados de entrada:

37

38 4.2 Algoritmos

O algoritmo simplificado do código está demostrado abaixo:

39 Nomeando as funções correspondente às curvas de transição como T1(Vsg), T2(Vsg), T3(Vsg) e T4(Vsl)=constante, o algoritmo para identificar o padrão de escoamento correspondente aos dados de entrada é:

40

Capítulo 5

Considerações Finais

5.1 Conclusão

Foi desenvolvido um simulador baseado nos modelos apresentados no Capítulo 3, não apresentando problemas de convergência nas faixas de valores próximas às utilizadas por Caetano (1984) em seu trabalho. O simulador é válido para escoamentos bifásicos, no entanto a modelagem foi baseada principalmente nos experimentos de Caetano (1984), que utilizou sistemas ar-água e ar-querosene para coleta dos dados. Logo, qualquer alteração da composição do sistema é uma extrapolação do modelo, e deve ser evitada, a menos que os fluidos apresentem propriedades físicas aproximadamente iguais. Analogamente, a utilização de razões de diâmetro diferentes de 0.553 deve ser considerada uma extrapolação do modelo.

5.2 Trabalhos futuros

Entre as possíveis melhorias a serem implementadas, pode-se citar: (i) Consideração da excentricidade da tubulação anular. (ii) Consideração da inclinação da tubulação.

(iii) Definição do domínio físico e matemático dos modelos.

(iv) Cálculo do gradiente de pressão e fração de líquido para o padrão anular. (v) Utilização de um modelo para o cálculo do gradiente de pressão em

escoamento pistonado mais robusto, que considere o efeito das bolhas de Taylor.

41

Referências Bibliográficas

Bird, & Stewart. (1976). Transport Phenomena.

Caetano, E. F. (1984). Two-Phase Flow in Vertical Annulus.

Caetano, E. F., Brill, J. P., & Shoham, O. (1992a). Upward Vertical Two-Phase Flow Through an Annulus — Part I : Single-Phase Friction Factor , Taylor Bubble Rise Velocity , and Flow Pattern Prediction. ASME Trans., 114(March 1992).

Caetano, E. F., Brill, J. P., & Shoham, O. (1992b). Upward Vertical Two-Phase Flow Through an Annulus — Part II : Modeling Bubble , Slug , and Annular Flow. ASME Trans., Vol.114(March 1992).

Gunn, & Darling. (1963). Fluid Flow and Energy Losses in Non-Circular Conduits. Harmathy. (1960). Velocity of Large Drops and Bubbles in Media of Infinite or

Restricted Extent.

Hasan, A.R., Kabir, C. S. (1992). Two-Phase Flow in Vertical and Inclined Annuli. Int. J. Multiphase Flow, Vol. 18, N, pp.279–293.

Kelessidis, V. C., & Duckler, A. E. (1989). Modeling Flow Pattern Transitions for Upward Gas-Liquid Flow in Vertical Concentric and Eccentric Annuli. Int. J. Multiphase Flow, Vol. 15, N, pp. 173–191.

Lage, A. C. V. M., & Time, R. W. (2000). Mechanistic Model for Upward Two-Phase Flow in Annuli. SPE 63127.

Nakoryakov, V.E., Kuznetsov, V.V., Vitovsky, O. V. (1990). Experimental

Investigation of Upward Gas-Liquid Flow in a Vertical Narrow Annulus. Int. J. Multiphase Flow, Vol. 18, N, pp. 313–326.

Sadatomi, M., Sato, Y., & Saruwatari, S. (1982). Two-Phase Flow in Vertical Noncircular Channels. Int. J. Multiphase Flow, Vol. 8, No, pp. 641–655.

Shoham, O. (1982). Flow Pattern Transition and Characterization in Gas-Liquid Two Phase Flow in Inclined Pipes.

Taitel, Y., Barnea, D., & Duckler, A. E. (1980). Modelling Flow Pattern Transitions for Steady Upward Gas-Liquid Flow in Vertical Tubes. AIChE Journal, Vol. 26, N. Wallis, G. B. (1964). One-dimensional Two-phase Flow.

42

Apêndice

Código do simulador (sem identações).

def masterannuli(vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG): from scipy.optimize import newton

########################################## g=9.81 ########################################## (vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)=(float(vsL),float(vsG),float(rhoL),float( rhoG),float(sigma),float(dC),float(dT),float(viscL),float(viscG)) #TRANSITIONS ########################################## #BUBBLE TO SLUG def BUBBLEtransition(vsG,rhoL,rhoG,sigma): n=0.5 alfa=0.2 v0inf=1.53*((((rhoL-rhoG)*g*sigma)/(rhoL**2))**0.25) v0=v0inf*(1-alfa)**n vsL=4.*vsG-0.8*v0 return vsL ########################################## #BUBBLE/SLUG TO DISPERSED BUBBLE from math import exp

#Fanning factor import numpy def solverFanning(reynolds,Fca): def f(w): return 1./w-4*numpy.log10(reynolds*w)+0.4 estimativa=newton(f,0.005) Fp=16. grupo1=(Fp/Fca)**(0.45*exp(-(reynolds-3000)/(10**6))) fca=estimativa**2/grupo1 return fca def Fanningfactor(K,reynolds): from math import log

constanteA=(1-K**4)/(1-K**2) constanteB=(1-K**2)/log(1/K) constanteC=(1-K)**2 Fca=16.*constanteC/(constanteA-constanteB) if reynolds<2300: fca=Fca/reynolds else: fca=solverFanning(reynolds,Fca) return fca #transition def DISPBUBBLEtransition(vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG): void=0

43 dH=dC-dT K=dT/dC grupo1=((0.4*sigma)/((rhoL-rhoG)*g))**0.5 grupo2=(rhoL/sigma)**(0.6) grupo3=(2/dH)**0.4 aux=2*grupo1*grupo2*grupo3 vsLe=5 #estimativa inicial ratio=2 #valor arbitratio inical while ratio<0.999 or ratio>1.001: if void==0: vM=vsLe+vsG hg=vsG/vM else: #void>0 hg=void vsG=hg*vsLe/(1-hg) vM=vsLe+vsG rhoM=rhoL*(1-hg)+rhoG*hg viscM=viscL*(1-hg)+viscG*hg reynolds=(rhoM*vM*dH)/viscM f=Fanningfactor(K,reynolds) grupo4=f**0.4 eq1=0.725+4.15*(hg**0.5) eq2=aux*grupo4 vMc=(eq1/eq2)**0.9091 ratio=vMc/vM if void>0: vsGc=hg+vMc vsLc=vMc-vsGc vsLe=(vsLe+vsLc)/2. else: vsLc=vMc-vsG vsLe=(vsLc+vsLe)/2. vsL=vsLe if void>0: vsG=vMc*hg return vsL ########################################## #SLUG TO DISPERSED BUBBLE

def DISPBUBBLE2transition(vsG): vsL=0.92*vsG return vsL ########################################## #ANNULAR def ANNULARtransition(rhoL,rhoG,sigma): g=9.81 vsG=3.1*(((rhoL-rhoG)*g*sigma)/(rhoG**2))**0.25 return vsG ########################################## #INTERSECTIONS def intersections(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):

44 def findIntersection(f1,f2,x0):

if f1==BUBBLEtransition and f2==DISPBUBBLEtransition: func=lambda x:BUBBLEtransition(x,rhoL,rhoG,sigma) -

DISPBUBBLEtransition(x,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG) elif f1==DISPBUBBLEtransition and f2==DISPBUBBLE2transition:

func=lambda x : DISPBUBBLEtransition(x,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)-DISPBUBBLE2transition(x) return newton(func,x0) ########################################## Xintersect = findIntersection(BUBBLEtransition,DISPBUBBLEtransition,0.1) Yintersect=BUBBLEtransition(Xintersect,rhoL,rhoG,sigma) ############################################ X2intersect=findIntersection(DISPBUBBLEtransition,DISPBUBBLE2transition,0.5) Y2intersect=DISPBUBBLE2transition(X2intersect) ########################################### X3intersect=3.1*(((rhoL-rhoG)*g*sigma)/(rhoG**2))**0.25 Y3intersect=0.92*X3intersect ########################################## x_A=numpy.linspace(0.01,Xintersect,500) x_B=numpy.linspace(0.0001,X2intersect,500) x_C=numpy.linspace(X2intersect,X3intersect,500) y_D=numpy.linspace(0.0001,Y3intersect,500) #print "x_A=",x_A

#print "y=",[BUBBLEtransition(k,rhoL,rhoG,sigma) for k in x_A] return Xintersect,Yintersect,X2intersect,Y2intersect,X3intersect,Y3intersect,x_A,x_B,x_C,y_ D ########################################## #GRAPH def generategraph(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG): import pylab as plt Xintersect,Yintersect,X2intersect,Y2intersect,X3intersect,Y3intersect,x_A,x_B,x_C,y_ D=intersections(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG) fig=plt.figure(figsize=(15,15)) plt.loglog(x_A,[BUBBLEtransition(i,rhoL,rhoG,sigma) for i in x_A],x_B,[DISPBUBBLEtransition(i,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG) for i in x_B],x_C,[DISPBUBBLE2transition(i) for i in x_C],[X3intersect for i in

y_D],y_D,Xintersect,Yintersect,"ko",X2intersect,Y2intersect,"ko",X3intersect,Y3inters ect,"ko",vsG,vsL,"ro")

plt.xlim(min(x_A),100) plt.ylim(0.001,100)

plt.title("Flow Patterns - Upward Two-Phase Flow in Annuli",fontsize=22) plt.ylabel('Superficial Liquid Velocity (m/s)',fontsize=18)

plt.xlabel("Superficial Gas Velocity (m/s)",fontsize=18)

plt.annotate("Input value",xy=(vsG,vsL),xytext=(vsG,vsL),fontsize=14,color="red") #plt.close(fig)

return fig

##########################################