Christian Q. Pinedo
∗Resumo
Indubitavelmente, π ´e um dos n´umeros irracionais mais famosos da Hist´oria da Matem´atica, este n´umero representa entre outros a rela¸c˜ao entre o comprimento de uma circunferˆencia e o diˆametro da mesma. Sempre foi um desafio para muitos a busca de uma expans˜ao decimal para π.
Nestas notas, relata-se o hist´orico na descoberta das casas decimais do n´umero π assim como os matem´aticos que contribu´ıram para o c´alculo dos mesmos.
Palavras-chave: Hist´oria da Matem´atica. Matem´atica.
N´umeros irracionais.
1
INTRODUC
¸ ˜
AO
Indica-se com a letra grega π a rela¸c˜ao constante entre o comprimento L de uma circunferˆencia e seu diˆametro d, ou entre sua ´area S e a ´area de um quadrado com lado o raio r da circunferˆencia.
L = π · d = 2π · r S = π · r2
Entre os n´umeros c´elebres, π ´e o mais c´elebre de todos, este n´umero aparece na matem´atica elementar e em todas as quest˜oes de medidas relativas a c´ırculos, esferas, cones e cilindros, etc.
Na realidade, como n´umero irracional, π ´e expresso por uma dizima infinita n˜ao peri´odica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores j´a ´e poss´ıvel determinar com centenas de milh˜oes de casa decimais.
Aqui aparecem as primeiras cinq¨uenta :
π = 3, 1415926535897932384626433832795028841971693993751 · · · O n´umero π est´a ligado com dois problemas fundamentais:
a) Dado o raio de uma circunferˆencia, construir um segmento de comprimento L, (“problema de retifi-ca¸c˜ao da circunferˆencia”).
∗Matem´atico, Dr. em Ciˆencias Matem´aticas
Ensino da Matem´atica
Centro de Pesquisas em Educa¸c˜ao Matem´atica CPEM c
°CEFET/PB Coordena¸c˜ao de Matem´atica. Outubro, 2002.
b) Dado o raio de um c´ırculo, construir um quadrado de ´area equivalente `a ´area de um c´ırculo (“problema da quadratura do c´ırculo”).
Destes dois problemas o mais c´elebre ´e o segundo, pela sua antig¨uidade e pela dificuldade que apre-sentou sua solu¸c˜ao; n˜ao obstante a simplicidade de seu enunciado. In´umeros intentos foram feitos para sua resolu¸c˜ao.
Na hist´oria de π, podemos distinguir v´arias etapas, sendo que a primeira come¸ca desde a mais remota antig¨uidade e a ´ultima segue em nossos tempos modernos. Nestas notas considera-se duas etapas: (a) Antes de Cristo. (b) Depois de Cristo.
2
ANTES DE CRISTO
A existˆencia de uma rela¸c˜ao constante entre a circunferˆencia de um c´ırculo e o seu diˆametro era conhecido por muitas das civiliza¸c˜oes antigas. Tanto os Babilˆonios como os Eg´ıpcios sabiam que esta raz˜ao era maior que trˆes.
2.1
Os Eg´ıpcios.
´
E atribu´ıdo aos eg´ıpcios que aproximadamente 2.000a.C., obtiveram o valor · 4 3 ¸4 = 3, 160493827 · · · para π.
O papiro de Moscou foi escrito por um escriba desconhecido, em 1.890 a.C,um dos seus problemas (Problema 14), mostra-nos o conhecimento que os eg´ıpcios tinham da geometria e a sua articula¸c˜ao com o pensamento religioso desta ci-viliza¸c˜ao. Na B´ıblia, encontramos, no Primeiro Reis 7.23, um problema relacionando o diˆametro e a circunferˆencia de um c´ırculo.[5]
“Fez-se o mar de metal fundido, com dez cˆovados de diˆametro. Era redondo, tinha cinco cˆovados de altura; sua circunferˆencia media-se com um fio de 30 cˆovados.”
(A B´ıblia de Jerusal´em, pg. 518) aproximadamente e cont´em uma f´ormula para se calcular a ´area da esfera, em que ´e atribu´ıdo a π o valor de 3, 14. Isto evidencia que a medi¸c˜ao eg´ıpcia da circunferˆencia tinha erro menor do que um por cento.
Hoje se tomarmos o diˆametro como 2, a ´area ´e π e a regra Eg´ıpcia ´e dada por: π = · 2 ·8 9 ¸2 = · 16 9 ¸2 =256 81 = 3, 160493827
No papiro de Rhind, escrito por Ahmes (1.680 a.C. − 1.620 a.C.), aproximadamente em 1.650 a.C. encontra-se um problema relacionado com π, afirma que:
“a ´area de um c´ırculo ´e como a de um quadrado cujo lado ´e igual ao diˆametro do c´ırculo diminu´ıdo em 1
ou seja igual aos 8 9 do diˆametro: S = π · r2= · 8 9 · d ¸2 =64 81· d 2=64 81· (4r 2) e encontra-se que: π = 256
81 = 3, 16049 · · · ´e uma boa aproxima¸c˜ao.
O. Neugebaver, deu a seguinte explica¸c˜ao `a regra egipciana. Construindo o quadrado de lado d circunscrito num c´ırculo com diˆametro d.
Divide-se cada um de seus lados do quadrado em trˆes partes iguais, e cons-tru´ımos o oct´ogono ABCDEF GH, como mostra a Figura 1.1 cuja ´area ´e:
¡¡ ¡ @ @ @ ¡¡ ¡ @ @ @ A B H C G D F E F igura 1.1 d2− 4 · · 1 2 ¸ · d 3 ¸2 = 7 9· d 2= 63 81· d 2
Substituindo 63 por 64 encontra-se precisamente o quadrado dos 8
9 do diˆametro.
2.2
Os Babilˆ
onios.
Baseados no fato de que o lado do hex´agono regular inscrito em um c´ırculo ´e igual ao raio, assumiam o comprimento da circunferˆencia igual a seis vezes o raio, o que equivale a considerar π = 3, uma aproxima¸c˜ao com muito erro.
Nas placas de argila dos babilˆonios verifica-se que estes adotavam uma aproxima¸c˜ao grosseira para o valor de π, pois consideravam que a raz˜ao do c´ırculo era dada por 3 ou:
310
71 < π < 3 1 8
2.3
Os Gregos.
Embora muitas civiliza¸c˜oes antigas tenham observado atrav´es de medi¸c˜oes que a raz˜ao do c´ırculo ´e a mesma para c´ırculos de diferentes tamanhos, os gregos foram os primeiros que explicaram o porquˆe. ´E uma simples propriedade das figuras semelhantes. Os antigos gregos foram provavelmente os primeiros a compreender que π e √2, s˜ao n´umeros muito diferentes dos n´umeros inteiros ou dos n´umeros racionais
que eles usavam nas suas matem´aticas. Contudo, embora os gregos tenham conseguido provar que√2 ´e irracional, o mesmo n˜ao aconteceu com o π.
Na antiga Gr´ecia, os rastros da quadratura do c´ırculo encontraram-se no s´eculo V a.C., segundo testemunho de Plutarco. No ano 420a.C. Hippias de Elide (460−400a.C.) inventou a curva transcendente “quadratriz ” usada logo por Dinostrato (390 − 320 a.C.) no s´eculo seguinte para retificar a circunferˆencia. Arquimedes usou o m´etodo da exaust˜ao para achar uma aproxima¸c˜ao `a ´area de um c´ırculo. Este, naturalmente, ´e um exemplo da integra¸c˜ao e que conduz para a aproxima¸c˜ao de valores para π. Mostra-se o diagrama utilizado por Arquimedes na Figura 1.2.
OA = 1, AB = sen(π k) AT = tan(π k), onde k = 3 × 2 n−1 F igura 1.2
Para melhor entender isto, considere um c´ırculo de raio 1, no qual n´os ins-crevemos um pol´ıgono de 3 × 2n−1 lados com semiper´ımetro b
n, e um pol´ıgono regular circunscrito de 3 × 2n−1 lados com
semiper´ımetro an.
O diagrama para o caso n = 2 mostra-se na Figura 1.2
O efeito deste procedimento deve definir uma seq¨uˆecia crescente b1, b2, b3, · · · e uma seq¨uˆencia
decrescente a1, a2, a3, · · · tais que ambas as seq¨uˆencias tˆem o limite π.
Usando a nota¸c˜ao trigonom´etrica atual, estes dois semiper´ımetros est˜ao dados por: an= k · tan(
π
k) e bn= k · sen( π k) onde k = 3 × 2n−1, igualmente, temos: a
n+1= 2k tan( π 2k) e bn+1= 2k · sen( π 2k), al´em disso mostra-se que: (1 an+ 1 bn ) = 2 an+1 (2.1) an+1bn= (bn+1)2 (2.2)
Arquimedes partindo de a1= 3 tan(π
3) = 3 √ 3 e b1 = 3sen(π 3) = 3√2 2 , calcula a2 usando (2.1), e b2 udando (2.2) e assim por diante. Sua conclus˜ao foi que:
b6< π < a6
“se inscrevemos em um c´ırculo um quadrado, e logo duplicando sucessivamente o n´umero de lados, construem-se pol´ıgonos regulares inscritos de 8, 16, 32, · · · lados, etc. E chegamos a um pol´ıgono que pelo pequeno de seus lados coincide com o c´ırculo.”
Transformando-o em um quadrado equivalente a um c´ırculo, seu contemporˆaneo Bryson (450 − 390 a.C.) acrescentou a constru¸c˜ao dos pol´ıgonos circunscritos, Hip´ocrates de Ch´ıo (470 − 410 a.C.) na segunda metade do s´eculo V a.C.; demonstrou que:
“ a ´area de um c´ırculo ´e proporcional ao quadrado de seu diˆametro”
Podemos imaginar que nesta data nace o s´ımbolo π com o teorema de Hip´ocrates de Ch´ıo, mas realmente n˜ao foi assim, esperou-se 22 s´eculos mais tarde, foi no s´eculo XV III, que L. Euler (1707 − 1783 d.C.) utiliza o s´ımbolo π (primeiro escrevia a letra p inicial da palavra “periferia”, logo utilizava o s´ımbolo π)
No s´eculo III a.C. Arquimedes (287 − 212 a.C.) num tratado sobre o c´ırculo demonstra os seguintes teoremas:
Teorema 2.1.
Todo c´ırculo ´e equivalente a um triˆangulo retˆangulo, com um cateto igual ao raio do c´ırculo e o outro igual `a circunferˆencia retificada.
Teorema 2.2.
A ´area de um c´ırculo ´e ao quadrado de seu diˆametro aproximadamente como 11 ´e a 14. Teorema 2.3.
O comprimento da circunferˆencia de todo c´ırculo ´e menor que trˆes vezes o diˆametro mais 1
7 do mesmo diˆametro ´e maior que trˆes vezes o diˆametro de mais 10
71 do diˆametro. Em s´ımbolos: 3, 140 = 223 81 = 3 + 10 71 < π < 3 + 1 7 = 22 7 = 3, 142
Arquimedes conseguiu melhorar um pouco a aproxima¸c˜ao dada ao n´umero π . Aproximando a circun-ferˆencia por pol´ıgonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, descobre que o valor de π encontra-se limitado pelos seguintes valores:
310
71 < π < 3 1 7
ou seja, 3, 140 < π < 3, 142, obtendo uma aproxima¸c˜ao com trˆes casas decimais corretas.
O m´etodo a seguir ´e o mesmo que usou Ant´ıfone (480 − 411 a.C.), aplicando aos pol´ıgonos regulareis inscritos e circunscritos que tenham 6, 12, 32, 48, 96, · · · lados. Depois de Arquimedes a fra¸c˜ao 22
7 ´e de uso continuado nas medidas relativas ao c´ırculo, e por muitos s´eculos a historia registra so alguns aperfei¸coamentos a seu m´etodo que d˜ao uma melhor aproxima¸c˜ao de π.
Vituvius determina o valor de π (20 a.C.) com uma qproxima¸c˜ao de uma casa decimal, ele descobre que π = 3, 1
2.4
Os Indianos.
Aproximadamente, 2, 000 a.C. os indianos usabam a raiz quadrada de 10 para π, observe que en nota¸c˜ao atual√10 = 3, 26227766 · · · .
3
Depois de Cristo.
3.1
Primeiro peri´
odo: At´
e 1.600.
Ptolomeo (85 − 165 d.C.), aproximadamente em 150 d.C. determina un valor para π com trˆes casas decimais, d´a para π o seguinte valor:
π = 377
120 = 3, 141 · · ·
No ano 400 d.C. o livro indiano “Paulisha Siddhˆanta” usa o valor 3177
1250 para π, anos mais tarde, Tsu Chung-Chi (430 − 501 d.C.) em 480 d.C. descobre que o valor de π encontra-se entre 3, 1415926 e 3, 1415927, isto ´e:
3, 1415926 < π < 3, 1415927
Por volta de 499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matem´atica e astronomia intitulado “ ˆAryabhata”, dados para a obten¸c˜ao de π na seguinte escrita:
“Adicione-se 4 a 100, multiplique-se o resultado por 8 e adicione-se 62.000. O resultado ´e aproximadamente o comprimento da circunferˆencia de diˆametro 20.000”.
Donde sai o valor aproximado 3, 1416 para π, que ´e uma boa aproxima¸c˜ao com quatro casas decimais corretas.
Mais tarde os investigadores obtiveram melhores aproxima¸c˜oes para π usando pol´ıgonos com mais lados do que aqueles que foram usados por Arquimedes. Um impressionante c´alculo do chinˆes Chi De Tsu Ch´ung (430 − 501) em 480 d.C. trabalhando com um pol´ıgono de mais de 3.000 lados deu cinco d´ecimais ao π. Os Chineses tamb´em encontraram uma fra¸c˜ao simples 355
113 o que difere do π por menos de 0.0000003.
A partir do s´eculo XII, a introdu¸c˜ao nos c´alculos do uso das cifras indo-ar´abicas facilitou tamb´em melhores c´alculos para π.
Leonardo Pisano (1.452 − 1.519), na “Practica Geometriae” amplifica o m´etodo de Arquimedes e d´a para π os seguintes limites:
4 9· · 1400 452 ¸ = 3, 1410 · · · e 1 5 · · 1400 456 ¸ = 3, 1427
e adota para π o valor 3, 1418 entanto que Oronzo Fineo (1.494 − 1.555), na primeira metade do 1.500, afirma que π ´e exatamente igual a 245
O Holand´es Metius d´a para π o valor aproximado 355
113 = 3, 1415929 com 6 cifras decimais exatas (seu filho Adrianus Metius II, conta que ele encontrou esse valor fazendo a m´edia aritm´etica dos numer-adores e denominnumer-adores das fra¸c˜oes 377
120 e 333
106 valores aproximados de π encontrados com o m´etodo de Arquimedes).
A aproxima¸c˜ao racional 355
113 foi redescoberta no s´eculo XV I pelo engenheiro alem˜ao Adriaan An-thoniszoon. No mesmo s´eculo, outro alem˜ao, Adriaan van Roomen (1561 − 1615), usou o m´etodo de Arquimedes com 230 lados para obter 15 casas decimais para π. Alguns anos mais tarde Ludolph Van Ceulen (1540 − 1610), professor de matem´atica e ciˆencias militares na Universidade de Leyden, obteve o valor de π com 20 casas decimais, depois com 32 e mais tarde, em 1.615, estendeu este resultado a 35 casas decimais.
Fran¸cois Viete (1.540 − 1.603) d´a nove cifras decimais exatas usando o m´etodo de Arquimedes at´e os pol´ıgonos de 6 · 216lados; Adriaan van Roomen, en 1.597, obtˆem 15 cifras decimais exatas com pol´ıgonos
de 230 lados.
Finalmente Ludolph de Colˆonia calcula 20 cifras decimais exatas chegando at´e os pol´ıgonos de 60 · 269
lados e depois calculou 35 cifras decimais exatas. Os Alem˜aes ficaram t˜ao estupefatos com este c´alculo que durante anos chamaram ao π o n´umero de Ludolph, embora este n˜ao contribuiu nenhum aporte de novos m´etodos. Consta que essa sua aproxima¸c˜ao de π teria sido esculpida na pedra tumular do autor, pedra essa que se perdeu. Mais interessante ainda ´e o fato que, ainda hoje na Alemanha, π ´e frequentemente designado como n´umero ludolfino.
Huygens(1.629 − 1.695) aperfei¸coou sensivelmente o m´etodo de Arquimedes, demonstrando entre outras coisas, a seguinte f´ormula:
S2n+1 3(s2n− sn) < C < 2 3Sn+ 1 3sn
Onde C indica a ´area de um c´ırculo, sn e Sn s˜ao as ´areas dos pol´ıgonos inscritos e circunscritos com
n lados. Mediante esta f´ormula ele deduz 9 cifras decimais exatas com o pol´ıgono de 60 lados.
Uma simples demonstra¸c˜ao da f´ormula de Huygeus. Se substitui o lado AB do pol´ıgono por arcos parab´olicos, um inscrito e outro circunscrito; tra¸ca-se a perpendicular `a corda AB, esta reta passa pelos pontos O (origem do c´ırculo), C (ponto de corte entre esta reta e o c´ırculo).
O arco parab´olico inscrito passa pelos pontos A, B e C, e o arco circunscrito por AB e o ponto m´edio do segmento DO (Figura 1.3 ).
Os pol´ıgonos de lados parab´olicos inscritos e circunscritos que que assim obtˆem-se aproximam ao c´ırculo muitor melhor que os pol´ıgonos com o mesmo n´umero de lados retil´ıneos.
A B Arco inscrito C O D Arco circunscrito F igura 1.3
3.2
Segundo peri´
odo: De 1.601 at´
e 1.800.
Neste per´ıodo foram usados para el c´alculo aproximado de π, m´etodos potenciais como ´e o desenvolvi-mento da an´alise, os matem´aticos tinham a sua disposi¸c˜ao o desenvolvidesenvolvi-mento em s´erie, fra¸c˜oes cont´ınuas, produtos infinitos, etc. e estos m´etodos usaram-se com toda a eficiˆencia e desenvoltura. O primeiro desenvolvimento de π em produto infinito o d´a Fran¸cois Viete (1.540 − 1.603) em 1.579.
Em finais do s´eculo XV os matem´aticos europeus tentaram expressar π exatamente como um produto infinito. Isto facilitou o c´alculo de muitas aproxima¸c˜oes, por exemplo:
Fran¸cois Vi`ete em 1.593 obteve, pelo “m´etodo de Arquimedes”, atrav´es do limite da sucess˜ao de pol´ıgonos inscritos no c´ırculo, o valor 3, 1415926535. De sua autoria, temos a seguinte forma a partir da qual π pode ser definido:
π 2 = r 1 2 × s 1 2 + r 1 2× v u u t 1 2+ s 1 2+ r 1 2 × · · ·
Embora seja conhecido que π n˜ao ´e um n´umero racional (isto ´e π n˜ao ´e a raz˜ao de inteiros), h´a muitas f´ormulas surpreendentes que relacionam π com os inteiros. Convertendo-se o produto de Viete na primeira defini¸c˜ao anal´ıtica de π.
Em 1.656, John Wallis (1.616−1.703), professor de Geometria da Universidade de Oxford, provou que π
2 ´e igual ao produto infinito de n´umeros racionais. O numerador destas fra¸c˜oes cont´em inteiros pares cada um repetindo-se duas vezes, e o denominador cont´em inteiros ´ımpares, cada um repetindo-se duas vezes (com exce¸c˜ao do 1). J. Wallis mostrou que:
π = 2 × 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × · · · 1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × · · · Wallis provou tamb´em que o valor do limite dos produtos tende para π
2, isto ´e: π 2 = limn→∞ · 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × · · · (2n)(2n) 1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × · · · (2n + 1)(2n + 1) ¸
Outra f´ormula mais simples, descoberta por James Gregory (1.638 − 1.675) em 1.671, expressa π 4 como uma s´erie infinita. Ele provou que o limite desta s´erie ´e π
4 π 4 = 1 − 1 3+ 1 5 − 1 7 + · · ·
O mesmo resultado foi descoberto independentemente, por Leibniz (1.646 − 1.716) em 1.674, e a s´erie ´e normalmente chamada de s´erie Gregory-Leibniz. Ele prop˜oe o c´alculo de π pelos limites de s´eries.
Isaac Newton (1.643 − 1.727), por volta do ano 1.666, atrav´es da s´erie: π = 3 √ 3 4 + 24 · 1 12− 1 5 × 25 − 1 28 × 27 − 1 72 × 29· · · ¸
obt´em o valor de π com 16 casas decimais.
Embora as pessoas se tenham interessado durante s´eculos pela raz˜ao do c´ırculo, o uso da letra grega π como um s´ımbolo que designa esta raz˜ao ´e relativamente recente. O inglˆes William Jones (1.675 − 1.749) ´e geralmente reconhecido como o primeiro a usar o s´ımbolo π para esta raz˜ao. O s´ımbolo apareceu no seu livro “Synopsis Palmariarum Malheseos”, publicado em 1.706, o qual inclu´ıa 100 casas decimais para π calculado por John Machin (1.680 − 1.752). A f´ormula da autoria de Machin (1.706) ´e dada por:
π 4 = 4 · arctan 1 5 − arctan 1 239 (3.1)
Mostra-se usando o desenvolvimento em s´erie da fun¸c˜ao arctan(x), Machin calculou 100 cifras decimais exatas de π.
Em 1.720, o japonˆes Matsunage achou o valor de π com 50 casas decimais.
A letra C (para circunferˆencia) e P (para per´ımetro) foram muitas vezes usadas para a raz˜ao do c´ırculo, mas a letra grega π tornou-se bastante aceite depois de Leonhard Euler (1.707 − 1.783) us´a-la no seu famoso livro “Introductio in Analysin Infinitorum”, publicado em 1.748. Acredita-se que a letra π foi escolhida por ser a primeira letra das palavras gregas para per´ımetro e periferia.
Em 1.736 Leonhard Euler mostrou que o somat´orio da s´erie : 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = ∞ X n=1 1 n2 = π2 6
Ele tamb´em mostrou que esta s´erie pode ser expressa como um produto infinito envolvendo todos os n´umeros primos, 2, 3, 5, 7, 11, · · · . Especialmente ele mostrou que:
π2 6 = 22 22− 1 + 32 32− 1 + 52 52− 1+ 72 72− 1+ · · ·
Tamb´em na f´ormula de Euler ei·x= cos x+i.senx ao substituir x = π obtemos ei·π= −1, esta f´ormula
relaciona π com o n´umero irracional e, base dos logaritmos neperianos.
As pessoas calculavam mais e mais casas decimais para π, procurando encontrar padr˜oes que se repetissem, mas nenhum foi encontrado.
Em 1.761 o matem´atico Alem˜ao, Johann Lambert (1.728 − 1.777) usou uma fra¸c˜ao cont´ınua para a tangente trigonom´etrica de um ˆangulo que mostra conclusivamente que π ´e irracional, isto ´e, π n˜ao ´e raz˜ao de dois inteiros.
Tamb´em, A. M. Legendre (1.752 − 1.833), em 1.794 vem provar o mesmo que Lambert. A estes dois, segue-se Vega (1.754 − 1.802) que em 1.796 d´a uma aproxima¸c˜ao de π com 140 casas decimais.
Neste per´ıodo de nossa hist´oria, a irracionalidade de π foi novamente mostrada por Legendre em 1.794 junto com a irracionalidade de π2, uma nova e mais simples demonstra¸c˜ao da irracionalidade de π fue
dada em 1.847 por I. Niven.
Gauss (1.777 − 1.855) ´e autor de trˆes formulas a partir das quais π pode ser definido:
a) π 4 = · 1 2− 1 3 · 23 − 1 5 · 25 − 1 7 · 27 − · · · ¸ − · 1 3− 1 3 · 33 − 1 5 · 35 − 1 7 · 37− · · · ¸ b) π = 48 · arctan1 7 + 32 · arctan 1 32+ 20 · arctan 1 239 c) √π = ∞ Z 0 ex2 · dx
3.3
Dep´
ois de 1.801.
A raiz quadrada de dois, tal como π, ´e tamb´em irracional mas h´a uma diferen¸ca significante entre os dois, que tem a ver com a geometria.
Um segmento de linha de comprimento√2 pode ser constru´ıdo a partir do segmento de comprimento um, pelo m´etodo de Euclides, isto ´e, usando s´o r´egua e compasso. Mas um segmento de comprimento π n˜ao pode ser constru´ıdo desta maneira. Sabe-se que muitos n´umeros podem ser constru´ıdos pelo m´etodo de Euclides, eles s˜ao ra´ızes de equa¸c˜oes polinomiais com coeficientes inteiros.
O n´umero√2 ´e um exemplo porque ´e raiz de uma equa¸c˜ao: x2− 2 = 0. N´umeros reais como√2, s˜ao
ra´ızes de equa¸c˜oes polinomiais com coeficientes inteiros, e s˜ao chamados n´umeros alg´ebricos. N´umeros como π que n˜ao s˜ao alg´ebricos s˜ao chamados de n´umeros transcendentes. Em 1.882 um matem´atico alem˜ao, F. Lindemann provou que quer π quer√π s˜ao transcendentes, pois n˜ao s˜ao ra´ızes de nenhum polinˆomio com coeficientes racionais.
Depois da demonstra¸c˜ao da irracionalidade e da transcendˆencia de π, toma interese, com a finalidade de estudar estat´ısticamente a frequˆencia das cifras na express˜ao de π.
Em 1.844, um Vienense, d´a uma aproxima¸c˜ao com 205 casas decimais. No mesmo ano, Liouville (1.809−1.882), demonstro a existˆencia de n´umeros transcendentes, isto ´e, n´umeros reais que n˜ao s˜ao ra´ızes de nenhuma equa¸c˜ao alg´ebrica de coeficientes racionais. Finalmente en 1.862 F. Lindemann (1.852−1.939) demonstr´o que π ´e um n´umero trascendente.
Um novo recorde para calcular π foi alcan¸cado em 1.874 por Willian Shanks (1.812 − 1.882), com 707 casas decimais; ele usou a f´ormula(3.1). Infelizmente, houve um erro a partir da 528a casa, que s´o foi
descoberto em 1.945 quando D. F. Ferguson completou o c´alculo com mais de 530 casas decimais, usando a f´ormula: π 4 = 3 arctan( 1 4) + arctan( 1 20) + arctan( 1 1985)
Trata-se de saber si π ´e um n´umero normal, segundo a defini¸c˜ao de E. Borel (1.871 − 1.956), um n´umero cujas cifras decimais do 0 ao 9 apare¸cam em m´edia uma vez sobre 10, tem que conhecer um farto n´umero de cifras decimais de π.
Foi a partir do s´eculo XX, mais concretamente a partir de 1.949, com o auxilio dos computadores e de algoritmos computacionais que se foi descobrindo um n´umero cada vez maior de casas decimais para π. Em 1.962 se calcularam 100.000 cifras no desenvolvimento de π (Shawks y Wrench).
Um algoritmo, da autoria de Brent e Salamin (1.975), foi utilizado pelos japoneses Y. Kanada, Y. Tamura, S. Yoshino, Y. Ushiro que o implementaram, em 1.983, obtendo-se assim 16 milh˜oes de algaris-mos. Estas contas foram posteriormente verificadas por meio da rela¸c˜ao de Gauss, o que mostrou que as primeiras 10.013.395 casas estavam corretas.
Gosper, utilizando um algoritmo, calculou, em 1.985, 17 milh˜oes de algarismos e, Bailey, em Janeiro de 1.986, atingiu o recorde de 29 milh˜oes com a ajuda de um Cray-2. Em Setembro de 1.986, Kanada obteve 33.554.000 algarismos, depois em Janeiro de 1.987, consegue calcular 227algarismos e por ´ultimo
em Janeiro de 1.988 chega a 201.326.551 algarismos.
Anos mais tarde, Bailey e Gregory Chudnovsky, da Columbia University, calcularam mais de um bilh˜ao de casas decimais para π, este valor foi ultrapassado em 1.995, por investigadores japoneses que obtiram trˆes bilh˜oes de casas decimais para π. Em Setembro de 1.995, Yasumana Kanada, depois de ter colocado o seu computador Hitachi a trabalhar durante mais de 250 horas, obteve 6.442.450.939 casas decimais exatas deste n´umero. Este record acaba por ser ultrapassado quando em Junho de 1.997 obt´em 51.539.600.000 casas decimais exatas.
Em Outubro de 1.996, o francˆes Fabrice Bellard de 25 anos, calcula o valor de π mas em numera¸c˜ao bin´aria, atingindo sucessivamente as fasquias de 400 bilh˜oes, mas em Setembro de 1.997 ele consegue atingir 1.000 bilh˜ao de casas decimais para π, ao fim de 25 dias de c´alculo intensivo em computadores ligados em rede atrav´es da Internet, tendo sido usada uma f´ormula desenvolvida em 1.995 por matem´aticos da Universidade Simon Fraser, mas aperfei¸coada por Bellard.
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CONCLUS ˆ
AO
A presi¸c˜ao de π n˜ao foi reclamada por exigencias pr´aticas. O movil desta busca por parte de tantos maytem´aticos ao longo da hist´oria foi a tendˆencia vaidosa de demonstrar sua arte no c´alculo, ou o esfor¸co ingenuo de encarar diretamente o c´alculo do problema da natureza de π
Na atualidade, segue-se calculando mais casas decimais para π, embora como foi dito somente para mostrar arte da habilidade no c´alculo.
Referˆ
encias
[1] LLORENS Ramon.- 5.000.000 decimales .- http://www.geocities. com/Baja/Trails/4422/pi/ 10/04/2000.
[2] MORENO Llorens Ram´on .- Mi Introducci´on a Pi .- http://webs.adam. es/rllorens/pidoc.htm 11/05/2002
[3] MUDEHWE Lazarus .- The story of pi.- http://www.geocities.com/Cape Canaveral/Lab/3550/pi.htm 18/04/2.000.
[4] O’CONNOR J.J. & ROBERTSON E. F. A history of Pi.- http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk 01/02/1999
[5] PINEDO Christian Q. Hist´oria da Matem´atica I. CEFET-PR Pato Branco 2.001.
Christian Q. Pinedo
Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica do Paran´a. Centro de Pesquisas em Educa¸c˜ao Matem´atica - CPEM Pato Branco, PR, Brasil
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