Definição: Sejam dois números inteiros. Uma matriz real é uma tabela de números reais com m linhas e n colunas, distribuídos como abaixo:

(1)

I. MATRIZES

Definição: Sejam dois números inteiros. Uma matriz real é uma tabela de números reais com m linhas e n colunas, distribuídos como abaixo:

( )

11 12 1 21 22 2 1 1 1 2 ... ... .... .... ... .... ... n n i m ij j n m m mn a a a a a a a a a a ≤ ≤ ≤ ≤      _{ =}        

Cada elemento da matriz é chamado termo ou entrada.

T

IPOS DE

M

ATRIZES

:

1. Quadrada:

m

=

n

a. Identidade: I_n=

( )

a_{ij n xn} onde 1, 0, ij ij a se i a se i j j = =   = ≠  b. Simétrica: a_ij =a_ji

c. Anti-Simétrica: a_ij = −a_ji (elementos da diagonal principal nulos) d. Diagonal: a_ij =0, se i≠ j j j e. Triangular: i. Superior: a_ij =0, se i> ii. Inferior: a_ij =0, se i< f. Inversíveis: 1 _{( ) .} 1 _. n x n n A− M _R A A− ₌I ₌A A−1 er er j ∃ ∈ 2. Retangulares:

m n

≠

a. Coluna: n=1 e m qualqu b. Linha: m=1 e n qualqu c. Outras 3. Nula: a_ij =0, ∀i

4. Matriz Oposta: Dada

( )

a_ij temos a oposta

( )

−a_ij

O

PERAÇÕES

:

1. Igualdade: Dadas duas matrizes A B, ∈ M_{m x n}(R) , A=

( )

a_ij e B=

( )

b_ij então:

, 1,..., 1,..., ij ij

A B= ⇔ a =b ∀ =i m e j= n

2. Adição: Dadas A B, ∈ M_{n x n}( )R definimos: .

11 11 12 12 1 1 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... n n m m m m mn mn a b a b a b A B a b a b a b + + +     + =    ₊ ₊ ₊   

Propriedades: Para A,B,C∈M_mxn(R), temos que:

a) A+B = B + A

b) A+(B+C) = (A+B) +C c) A + 0 = A (0: matriz nula) d) A + (-A) = 0

3. Multiplicação por escalar: Dada A ∈ M_{m x n}( )R e α ∈ R, definimos:

        = n a a a a a a A . ... . . ... ... ... ... . ... . . . 1 12 11 α α α α α α α .

(2)

Propriedades: Para A B, ∈ M_{m x n}(R) , temos que: e)

(

α β.

)

A=α β

(

.A

)

A f)

(

α + β

)

A=αA + β g) α

(

A B+

)

=αA+αB h) 1.A A=

4. Multiplicação de Matrizes: Sejam A ∈ M_{m x n}( )R

( )

_{ij m x p} B c com = = , e matrizes, definimos . ( ) n x p B ∈ M R 1 . n _ik. _kj k c a b = =

∑

( ) m x p C ∈ M R C A _ij

Obs: Note que o produto só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.

Propriedades:

a) Sejam as matrizes A ∈ M_{m x n}( )R , B ∈ M_{n x p}( )R e então . ( ) p x q C ∈ M R

(

) (

)

. . . . A B C = A B C b) Sejam as matrizes A ∈ M_{m x n}( )R , B ∈ M_{n x p}( )R e C ∈ M_{n x p}( )R entãoA B C.

(

+

) (

= A B.

)

+

(

A C.

)

. 5. Transposição de Matrizes:

Chamamos de matriz transposta de A ∈ M_mxn

( )

R , a matriz _{B A}₌ t_{, tal que:}

( )

t

ij n x m ij ji A = b ∈ M R b =a .

Determinante de uma matriz: É uma função do conjunto M R_n

( )

det

nos reais, cujo desenvolvimento de Laplace segundo a i-ésima linha é dado por: , onde

( )

1 1 det n i j ij ij j A + a = =

∑

− A

( )

Aij é a matriz, de ordem n-1, obtida da matriz A retirando-se a i-ésima linha e j-ésima coluna.

M

ATRIZES

E

SCALONADAS

Definição: Uma matriz A é dita matriz escalonada (ou matriz da forma escada) se as condições abaixo são satisfeitas:

a) Todas as linhas nulas, caso haja alguma, estão na base da matriz, isto é, abaixo de todas as linhas não nulas.

b) O primeiro elemento não nulo da linha i está numa coluna anterior àquela do primeiro elemento não nulo da linha j, sempre que i < j.













0

0 *

*

...

0

0 *

*

...

*

0

0 *

*

...

*

0

0 *

*

...

*

.

*

(3)

Equivalência de Matrizes, por Linha:

Definição: Uma matriz A é dita equivalente por linha a uma matriz B, se a matriz B pode ser obtida da matriz A, por uma seqüência finita de operações elementares, listadas abaixo:

1) Permutação da linha i com a linha j . Notação:

L

_i

↔

L

_j .

2) Multiplicação da linha i por um escalar não nulo α . Notação:

L

_i

=

α

L

_i.

3) Substituição da linha j por α vezes a linha i, somada à linha j. Notação: L_j =αL_i +L_j. Exercícios:

1. Utilizando as operações elementares transforme as matrizes abaixo em matrizes equivalentes escalonadas: a) b)C c) 1 2 3 0 2 4 2 3 1 5 4 1 A −     = −_ − _  ₋    1 1 2 2 2 0 3 6 1 2 3 4 0 1 0 2 − −       =  −      1 0 0 2 1 0 3 5 2 5 1 4 3 0 0 2 0 1 0 2 1 1 2 3 B − − − −     = _ _ − −  

Matrizes Inversíveis:

Como já vimos, as matrizes inversíveis são matrizes quadradas, m = n. Desta forma temos que o produto de matrizes será sempre possível, resultando numa matriz quadrada de ordem n. Para tais matrizes temos ainda as seguintes propriedades:

1) Associativa:

(

A B C. .

)

= A B C. .

(

)

, ∀A B C, , ∈ M_n

( )

R

2) Elemento neutro da multiplicação:I A A A I_n = = . _n , ∀ ∈A M_n

( )

R

3) Distributiva do produto em relação à adição: A B C.

(

+

)

=AB AC+ , ∀A B C, , ∈ M_n

( )

R

Teorema 01: O determinante de uma matriz inversível é diferente de zero. Prova:

Se

A

∈

M

_n

( )

R

é inversível, então existe

A

−1

∈

M

_n

( )

R

tal que

A

.

A

−1

=

I

_n . Sabemos que:

( )

A

.

B

det

( ) ( )

A

.

det

B

det

=

, logo

det

(

_A

.

_A

−1

)

=

det

( )

_I

=

1

_{e portanto}

( )

.

det

( )

=

1 ⇔

det

( )

A

≠

0 det A

_A

−1 _.

Teorema 02: Uma matriz A é inversível se, e somente se, é matriz equivalente da matriz identidade, isto é,

I

_n

≈

A

.

Assim temos que, a mesma sucessão de operações elementares que transformam a matriz A na matriz identidade, transformam a matriz identidade na matriz inversa, 1

( )

R . n A− _∈ M Exemplo:













=

2

0

1

0

1

1 A

  = +     _≈  ₋ ₋  3 2 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 L L L₃   = − +   _≈   3 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 L L L₃

(4)

  =      ₋  _≈   3 3 1 1 0 1 0 0 ₁ 0 1 1 0 1 0 3 0 0 3 1 1 1 L L     _{= − +}   ≈  ₋      2 3 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 ₃ ₃ ₃ L L L₂     = −  −    _≈  ₋      1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 ₃ ₃ ₃ 1 1 1 0 0 1 ₃ ₃ ₃ L L L₂ −      −     ₋      2 2 1 1 0 0 ₃ ₃ ₃ 1 2 1 0 1 0 ₃ ₃ ₃ 1 1 1 0 0 1 ₃ ₃ ₃ Portanto:













−

=

−

1

2

1

2

3

1

A

L

ISTA DE

E

XERCÍCIOS

01

1. Sejam 2 1 0 , e C . Calcular 1 2 1 A_{= } _   0 0 2 6 4 2 B_{= } _   3 2 0 0 1 0  =      3. 1 2 2A B 3C  ₋ ₊     .

2. Determinar X, Y ∈M_{2 3}_x

( )

R , considerando as matrizes

A

e

B

do exercício anterior:

3 2 4 X Y A X Y B − =   ₊ ₌ 

3. Dadas as matrizes abaixo, determinar as matrizes produto A.B e B.A, se for possível:

1 0 1 0 1 1 A_{= } _   e . 2 1 1 0 0 1 B     =      

4. Se uma matriz A é diagonal, então

A

t

=

__________

_______

. 5. Se uma matriz A é triangular superior, então

A

t

=

__________

_

. 6. Se uma matriz A é simétrica, então_At _{− =}_A _________________.

7. Ache x y z w, , , ∈ R tais que _ _. 1 3 1 0 .

3 2 0 1 x y z w    =           

8. Supondo que

A

≠ 0

e

AB

=

AC

, com A, B, e C matrizes onde a multiplicação é possível , responda:

a) É verdade que

B

=

C

sempre ?

b) Sendo Y uma matriz tal que YA=I_n, então

B

=

C

? 9. Explique por que, em geral temos que:

(5)

a)

(

)

2 2 2 2AB B A B A+ ≠ + + b)

(

_A₊_B

)(

_A₋_B

)

_≠ _A2 ₋_B2.

10. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:

5 15 16 19 7

7 18 10 21 1

6 25 8 13 6

0 Ferro Madeira Vidro Tijolo outros Mod

Med Col

a) Se ele construir 3, 6 e 10 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?

b) Suponha agora que os preços por unidade de cada material, respectivamente seja, 15, 8, 5, 10 e 1 reais. Qual o preço unitário de cada tipo de casa?

c) Qual o custo total do material empregado?

11. Mostre que se 2 3 , então

1 4 A_{= }     2 0 2 6 5 A − A+ I = . 12. Verifique que a matriz 1 1

1 y X y    =    

, tal que y∈ R∗, admite a condição X2=2X . 13. Calcule o determinante das matrizes abaixo:

a) b) C c) 1 2 3 2 1 1 2 1 2 A −     =_ − _ − −    3 1 5 0 0 2 0 1 2 0 1 3 1 1 2 0 −       =  −        1 3 2 1 3 1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 1 B −    ₋    =  −    ₋    d) 3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 6 5 0 4 2 3 0 0 8 3 5 6 1 π       − −        0 −  

14. Determinar a matriz X

∈

M2x3(R). tal que (X +A)=3(x+(B−A))−C

2 1

, sendo A, B, C as matrizes do exercício 1.

15. Uma Matriz quadrada se diz simétrica se AT= A e anti-simétrica se AT= -A.

a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas.

b) O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é uma matriz simétrica?

16. Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz A= , ou seja, todas as matrizes X de tipo 2x2 tais que AX=XA.

      0 0 1 1 17. Dada a matriz A= 2 1 1 1       1 0

determinar uma matriz de maneira que

.

( )

2 X∈M R 2 _{0 1} AX =I _{= } _  

(6)

18. O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz anti-simétrica?Justifique sua resposta.

19. Efetue os produtos AB e BA onde e 2 1 1 A     =      

(

1 2 1

)

B= .

20. Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz

, onde a é um número real. 1 0 0 0 0 a C a a    =      1 

21. Determinar, se possível, a inversa das matrizes usando as operações elementares com as

linhas da matriz: A= 1 2 2 2       0 0 1 1 , B=_ _, C = 1 0 1 1 1 0 0 2 1       1 0 0 1 1 1 1 1 0 2 0 3        −        e D = _ _ . 1 2 1 0 1 2 1 1 1      

22. Mostrar que a matriz real é inversível para qualquer valor de a, b, e c 1 0 0 1 0 1 a b c           ∈ R e que A-1= . 1 0 0 1 0 1 a ac b c    ₋     − −   

23. Dada a matriz A= , calcular e classificar a matriz A + A 2 5 9 4 7 1 3 6 2           T. 24. Dadas as matrizes A = 9 5 7 4    

  e B=_m4 ₉n , calcular m e n para que B seja inversa de A.

  25. Dadas as matrizes A=_ , B=_ , C= e I= , calcular ((A.B).C) + I.           − − 9 5 4 7 1 3 2 1     − − − 3 8 2 6 7 5 3 1             − − − − − − 3 2 3 5 0 9 1 4 3 1 1 3 8 3 7 1             1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

26. Determine as matrizes inversas das matrizes dadas abaixo, caso seja possível: