Codigos sobre grafos que são quocientes de reticulados

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE MATEM ÁTICA, ESTAT´ıSTICA E COMPUTAÇ ÃO CIENT´ıFICA

C´odigos sobre Grafos que s˜ao Quocientes de Reticulados

L´ıvia Teresa Minami

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C´odigos sobre Grafos que s˜ao Quocientes de Reticulados

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da dis-serta¸cão de mestrado devidamente corrigida e defendida por L´ıvia Teresa Minami e aprovada pela comissão julgadora.

Campinas, 03 de dezembro de 2004 .

Sueli Irene Rodrigues Costa

Banca Examinadora:

1. Dra_{. Sueli Irene Rodrigues Costa}

2. Dr. Edson Agustini

3. Dra_{. Claudina Izepe Rodrigues}

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Matemática, Estat´ıstica e Computa¸cão Cient´ıfica, UNICAMP, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

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Disserta¸c˜ao de Mestrado defendida por L´ıvia Teresa Minami e aprovada em 03 de Dezembro de 2004 pela Banca Examinadora constitu´ıda pelos professores:

Dra_{. Sueli Irene Rodrigues Costa}

Dr. Edson Agustini

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Pref´

acio

Este trabalho aborda propriedades de grafos que são quocientes de reticulados e explora conexões destes com a teoria de códigos corretores de erros. Está organizado na seguinte forma: No primeiro cap´ıtulo são introduzidos conceitos e principais resultados de teoria de grafos a serem utilizados. O segundo cap´ıtulo contém uma breve introdu¸cão à teoria de códigos corretores de erros e finalmente no terceiro cap´ıtulo são analisadas propriedades de grafos que são quocientes de reticulados e suas rela¸cões com códigos em aspectos como rotulamentos e constru¸cão de códigos.

Abstract

Graphs which are quotients of lattices are studied in this dissertation and some of their connections to error correcting codes are explored. The text is organized as follows. In Chapter 1 the main concepts and results in Graph theory are introduced. Chapter 2 contains s brief introduction to error correcting codes theory and Chapter 3 is devoted to the study of properties of graphs which are quotient of lattices and their relations with codes in aspects like labelings and the construction of perfect codes.

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Agradecimentos

Primeiramente `a DEUS.

Agrade¸co `a Profa _Dra_{. Sueli Irene Rodrigues Costa pela paciˆencia, aos meus pais (Celso}

e Tereza) pelo apoio , ao meu irmão Cal que acordou diversas noites para me buscar sem nem reclamar, ao Igor que me ajudou muito com os milhares de erros do WinEdt, ao meu noivo Fabiano por ter me incentivado nos momentos de desânimo e à sua fam´ılia (D. Inês, Fer e Fran) que me acolheu todos os finais de semana.

Agrade¸co tamb´em `a CAPES pela bolsa de mestrado.

L´ıvia Teresa Minami 03 de Dezembro de 2004

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Sum´

ario

Agradecimentos v

1 Uma Introdu¸c˜ao `a Teoria de Grafos 2

1.1 Um pouco de Hist´oria . . . 2

1.2 Defini¸c˜oes Iniciais . . . 3

1.3 Principais Tipos de Grafos . . . 4

1.4 Caminhos e Ciclos . . . 5

1.5 Conexidade . . . 6

1.6 Arvores e Florestas . . . .´ 6

1.7 Grafos regulares especiais . . . 7

1.7.1 Grafos distˆancia-regular . . . 7

1.7.2 Grafos aresta regular e aresta co-regular . . . 8

1.8 Algebra Linear e Grafos . . . .´ 8

1.9 Planaridade . . . 9

1.10 Outras superf´ıcies . . . 11

1.11 Grafos Eulerianos . . . 14

2 C´odigos Corretores de Erros 15 2.1 Exemplos . . . 15

2.2 M´etrica de Hamming e M´etrica de Lee . . . 16

2.3 Anéis e corpos . . . 18 2.4 Os Inteiros . . . 22 2.5 Códigos Lineares . . . 22 2.5.1 Defini¸cões iniciais . . . 22 2.5.2 Matriz Geradora . . . 24 2.5.3 Códigos Duais . . . 25

2.5.4 Exemplos de C´odigos Lineares . . . 27

(7)

3 Grafos dados por Quocientes de Reticulados 33

3.1 Reticulado, empacotamento e kissing number . . . 33

3.1.1 O Problema do Empacotamento de Esferas . . . 34

3.1.2 O Problema do Kissing Number . . . 35

3.2 Grafos que s˜ao Quocientes de Reticulados (Grafos e Ladrilhamentos sobre Toros) . . . 38

3.2.1 O Toro Planar . . . 39

3.2.2 Grafos Regulares Sobre Toros Planares . . . 39

3.2.3 Ladrilhamento . . . 40

3.2.4 Perfil de Distˆancias em Γ~u,~v _{. . . .} ₄₃

3.2.5 Toro Gerado por ~u =(a,b) e ~v =(-b,a) . . . . 44

3.2.6 C´odigos perfeitos . . . 45

3.3 Gˆenero do Grafo Zn q . . . 46

3.3.1 Gˆenero dos Grafos Z2 q com a M´etrica de Lee . . . 46

3.3.2 Gˆenero dos Grafos Z2 q com a M´etrica de Hamming . . . 47

3.3.3 Grafo Z2 4 . . . 47

3.3.4 Gˆenero dos Grafos Zn 2 . . . 47

3.4 Exemplos de Grafos distˆancia-regulares . . . 49

3.4.1 Z4× Z4 . . . 49

3.4.2 Γ~u,~v . . . 49

(8)

Introdu¸c˜

ao

O objetivo deste trabalho foi o estudo de uma classe especial de grafos ligados a códigos corretores de erros. Através de propriedades e resultados da teoria de grafos procuramos analisar caracter´ısticas importantes em exemplos de códigos.

Assim , discutimos alguns problemas envolvendo grafos e códigos com a perspectiva de, num trabalho futuro aprofundarmos o tema visando a constru¸cão de bons códigos associados a grafos através da análise de propriedades geométricas especiais.

No primeiro cap´ıtulo apresentamos uma introdu¸cão à teoria de grafos, contendo as prin-cipais defini¸cões, exemplos e resultados importantes. São abordados conceitos como grafos regulares e gênero topológico de um grafo que serão utilizados no decorrer do trabalho. In-clu´ımos também no final a discussão do problema das pontes de Könisberg, o qual motivou o surgimento da teoria dos grafos.

O segundo cap´ıtulo é uma breve introdu¸cão à teoria dos códigos corretores de erros. A ênfase foi dada aos códigos lineares e códigos perfeitos incluindo exemplos clássicos como os códigos de Hamming e de Reed-Solomon. Apresentamos também os conceitos das métricas de Hamming e de Lee associadas a alfabetos q-ários.

O último cap´ıtulo é dedicado à analise de algumas rela¸cões entre códigos e uma classe especial de grafos: Os quocientes de reticulados utilizando principalmente a referência [9]. Estes grafos são associados a ladrilhamentos em toros planares. Introduzimos inicialmente conceitos fundamentais associados a reticulados, e passamos aos grafos quocientes destes discutindo propriedades como uniformidade, regularidade e gênero topológico e a conexão destas com a constru¸cão de códigos com caracter´ısticas especiais como os códigos perfeitos e com rotulamento c´ıclico.

(9)

Cap´ıtulo 1

Uma Introdu¸c˜

ao `

a Teoria de Grafos

Este primeiro cap´ıtulo é dedicado a uma introdu¸cão à teoria de grafos. Nele, estaremos visando sempre atingir nosso objetivo de relacionar os grafos com empacotamento de esferas, códigos corretores de erros e reticulados. As principais referências para este cap´ıtulo são [3], [5], [6] e [7].

1.1 Um pouco de Hist´

oria

A Teoria de Grafos é relativamente recente na história da matemática . A primeira evidência do uso da teoria de grafos data de 1736 quando Euler utilizou-a para resolver o problema das ”Pontes de Königsberg”, enunciado abaixo.

Königsberg é uma cidade russa que é cortada pelo rio Pregel, dividindo a cidade em duas ilhas. Há uma ponte que as liga, uma ilha possui uma ponte ligando-a a cada uma das duas margens opostas e a outra, duas pontes ligando-a a cada uma das margens (veja figura abaixo). A pergunta é se seria poss´ıvel realizar um passeio pelas ilhas passando uma única vez em cada uma das sete pontes e voltar para o ponto do in´ıcio do passeio. Esse problema será discutido mais adiante, depois que introduzirmos a teoria.

(10)

Desde então os grafos têm sido utilizados em uma grande variedade de aplica¸cões pois são capazes de modelar diversas situa¸cões reais em f´ısica, qu´ımica, biologia, engenharia elétrica, entre outras.

1.2 Defini¸c˜

oes Iniciais

Um grafo G é um par (V, A) onde V é um conjunto de pontos chamados vértices e A o conjunto de segmentos que ligam dois dos elementos de V , denominados arestas. Denotamos por xy a aresta de G que liga os vértices x e y. Quando quisermos nos referir ao conjunto de vértices de G podemos usar a nota¸cão V (G) e para o conjunto de arestas A(G).

Dado um grafo G, chamamos de ordem de G, o número de vértices que ele possui e denotamos por |G|. Dizemos ainda que um vértice v é incidente a uma aresta e se v ∈ e. Se xy for uma aresta de G, então os vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos (caso contrário são independentes). Este mesmo termo pode ser dado para arestas, ou seja, dizemos que duas arestas são adjacentes se possuem vértice comum.

Na teoria de grafos, dois grafos G(V, A) e G0(V0, A0) são chamados isomorfos se existir bije¸cão φ : V → V0, tal que xy ∈ A ⇔ φ(x)φ(y) ∈ A0. Neste caso denotamos por G ' G0 e dizemos que φ é um isomorfismo. Se tivermos G = G0, teremos que φ é um automorfismo. Uma fun¸cão f tomando grafos como argumentos é chamada grafo-invariante se, dados grafos isomorfos G e H, f (G) = f (H).

Proposi¸c˜ao 1.1. : f : G → G ´e uma isometria se, e somente se, f for um isomorfismo. Um desenho ou mergulho de um grafo G no Rn _{´e um isomorfismo de G em G}0

onde G0 é um grafo em Rn_{. Neste caso, os vértices são pontos e as arestas são curvas ligando dois}

pontos.

Se V0 ⊆ V e A0 ⊆ A, então dizemos que G0(V0, A0) é um subgrafo de G(V, A) e denotamos por G0 ⊆ G. Ainda, se G0 ⊆ G e G0 contém todas as arestas xy ∈ A, então G0 é subgrafo induzido de G. Neste último caso dizemos que V0 induz ou gera G0 em G e denotamos por G0 = G[V0].

Se G e G0 são disjuntos, denotamos por G ∗ G0 o grafo obtido de G ∪ G0 unindo todos os vértices de G a todos os vértices de G0. Isto é, as arestas de G ∗ G0 são as arestas de G, as de G0 e mais estas liga¸cões.

O complemento de um grafo G = (V, A) é G = (V, A) onde o conjunto das arestas A = [V ]2_{\ A, ou seja, são as arestas xy tal que x, y são vértices de V mas xy não pertence}

a A.

O grau de um vértice v é o número de arestas em v, ou seja, é o número de vértices vizinhos de v. Denotamos por d(v) ou dG(v). Um vértice de grau zero é dito ser isolado.

(11)

O grau m´ınimo de um grafo G é dado por δ(G) := min{d(v)|v ∈ V } e o grau máximo é dado por ∆(G) := max{d(v)|v ∈ V }.

1.3 Principais Tipos de Grafos

Grafos Triviais: um grafo trivial ´e aquele de ordem 0 ou 1.

Grafos Completos: um grafo é completo se dados quaisquer dois de seus vértices, existe uma aresta que os liga, ou seja, dados quaisquer dois vértices, estes são adjacentes. Se este grafo possui k vértices, denotamos por Kk (abaixo temos o K5).

Grafos Bipartidos: um grafo bipartido é aquele em que podemos escrever o conjunto de seus vértices como união disjunta de dois conjuntos A e B e ainda, cada aresta de G liga um vértice de A a um vértice de B. Se A possui m elementos e B possui n, denotamos este grafo bipartido por Km,n (temos o Km,n).

Grafos Platônicos: estes são os grafos originados pelos sólidos regulares de Platão (tetrae-dro, hexae(tetrae-dro, octae(tetrae-dro, dodecaedro e icosaedro).

(12)

Grafos Regulares: um dado grafo é chamado regular se todos os seus vértices possuem o mesmo grau. Se este grau for k, dizemos que G é um grafo k-regular e k é a valência deste grafo. Existem vários tipos de grafos regulares e os mais importantes serão apresentados na se¸cão 1.7.

1.4 Caminhos e Ciclos

Um caminho ´e um grafo n˜ao vazio P (V, A) tal que V = {x0, x1,...,xk} e A = {x0x1, x1x2, ..., xk−1xk}

onde xi 6= xj se i 6= j. O comprimento de um caminho ´e dado pelo n´umero de arestas que

ele possui. Denotamos este caminho de x0 a xk por P = x0x1...xk.

Outras nota¸c˜oes usadas: P xi = x0...xi xiP = xi...xk xiP xj = xi...xj Po_{= x} 1...xk−1 P xo i = x0...xi−1 xo iP = xi+1...xk xo iP xoj = xi+1...xj−1

Dado um caminho P = x0x1...xk−1, com k ≥ 3 e xi 6= xj, chamamos de ciclo o grafo

C = P ∪ xk−1x0 e denotamos por x0x1...xk−1x0.

O comprimento de um ciclo é o número de arestas que este possui. O comprimento m´ınimo de ciclos em G é chamado ”Girth”e denotado por g(G) e o comprimento máximo de ciclos em G é sua circunferência. Chamamos de corda a aresta que liga dois vértices de um ciclo, mas que não é uma aresta deste ciclo.

A distância dG(x, y) em G de dois vértices x e y é o comprimento do menor caminho

ligando x e y. Observamos que dG : G × G → R ´e de fato uma m´etrica em G, desde que o

grafo seja conexo, isto ´e: 1) dG(x, y) = dG(y, x)

2) dG(x, y) ≥ 0 e dG(x, y) = 0 ⇔ x = y

3) dG(x, y) + dG(y, z) ≥ dG(x, z)

A maior distância entre dois vértices quaisquer é o diâmetro de G que é denotado por diam(G).

(13)

Proposi¸c˜ao 1.2. [3]: Todo grafo G cont´em um ciclo satisfazendo g(G) ≤ 2 diam(G) + 1

Um vértice é central em G se a maior distância entre ele e qualquer outro vértice é a menor poss´ıvel. Esta distância é chamada de raio de G e denotado por rad(G).

Proposi¸c˜ao 1.3. [3]: rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2 rad(G)

Uma caminhada em um grafo G é uma sequência não vazia v0e0v1e1...ek−1vk alternando

vértices e arestas em G tal que, ei = {vi, vi+1}, para todo i < k. Se os vértices são todos

distintos, ent˜ao temos um caminho em G.

1.5 Conexidade

Um grafo não vazio G = (V, A) é dito conexo se quaisquer dois de seus vértices puderem ser ligados por um caminho em G. Um subgrafo conexo maximal de G é chamado componente conexa de G.

Se B, C ⊆ V e X ⊆ V ∪ A são tais que todo caminho de B a C em G contém um vértice (ou uma aresta) de X, nós dizemos que X separa os conjuntos B e C em G. Mais geralmente, dizemos que X separa G se X separa dois vértices de G\X em G. Um vértice que separa dois outros vértices da mesma componente conexa é um vértice de corte (cutvertex) e uma aresta separando seus vértices finais é uma ponte (pontes não podem pertencer a ciclos). G é k-conexo se |G| > k e G − X é conexo, ∀X ⊆ V com |X| < k, ou seja, não existem dois vértices de G que são separados por pelo menos k outros vértices. O maior inteiro k tal que G é k-conexo é a conexidade k(G) de G.

1.6 Arvores e Florestas

´

Floresta é um grafo que não possui nenhum ciclo. Uma floresta conexa é uma árvore. Os vértices de grau 1 em uma árvore são suas folhas.

Teorema 1.4. [3]: As seguintes afirma¸cões são equivalentes: (i) T é uma árvore

(ii) Quaisquer dois vértices de T são ligados por um único caminho em T

(iii) T é minimalmente conexo, isto é, T é conexo mas T − e é desconexo, para toda aresta e de T.

(iv) T é maximalmente ac´ıclico, isto é, T não possui ciclo mas T + xy possui, quaisquer que sejam dois vértices não adjacentes x e y de T.

Corol´ario 1.5. [3]: Um grafo conexo com n vértices é uma árvore se e somente se possui n − 1 arestas.

(14)

`

As vezes é conveniente considerar um vértice de uma árvore como especial. Tal vértice é chamado de raiz desta árvore. Uma árvore com uma raiz fixa é uma árvore enraizada.

Escolhendo uma raiz r em uma árvore T , impomos uma ordem parcial em V (T ) dada por: x ≤ y se x está entre r e y, ou seja, x ∈ rT y. Esta é a ordem da árvore em V (T ) associada a T e r.

Uma árvore enraizada T contida em um grafo G é chamada normal em G se os finais de todos os T -caminhos são comparáveis na ordem da árvore de T .

Proposi¸c˜ao 1.6. [3]: Todo grafo conexo G contém uma árvore normal T , com algum vértice espec´ıfico como ra´ız e tal que T gera G.

1.7 Grafos regulares especiais

1.7.1 Grafos distˆ

ancia-regular

Defini¸c˜ao 1.7. Um grafo conexo Γ de diâmetro d é chamado distância-regular se existem inteiros bi, ci, com 0 ≤ i ≤ d, tal que para quaisquer dois vértices γ,δ ∈ Γ com d (γ, δ) = i,

existem precisamente ci vizinhos de δ em Γi−1(γ) = {x ∈ Γ / d(γ, x) = i − 1} e bi vizinhos

de δ em Γi+1(γ) = {y ∈ Γ / d(γ, y) = i + 1}. Em particular, Γ ´e regular de valˆencia k = b0.

Como d é a distância máxima, não existe bd e como não podemos ter pontos à distância

-1, n˜ao existe c0.

A sequência ι(Γ) := {b0, b1, ..., bd−1; c1, c2, ..., cd} é chamada de vetor interseçcão

(inter-section array) de Γ. Exemplo:

1. Pol´ıgonos

Eles têm vetor interseçcão {2, 1, ..., 1; 1, ...1, cd}, onde cd= 2 para os 2d−gonos e cd= 1

para os (2d + 1) − gonos. 2. S´olidos de Plat˜ao

Seus vértices e arestas formam grafos distâncias-regulares com vetor interseçcão {3; 1} para o tetraedro, {4, 1; 1, 4} para o octaedro, {3, 2, 1; 1, 2, 3} para o cubo, {5, 2, 1; 1, 2, 5} para o icosaedro e {3, 2, 1, 1, 1; 1, 1, 1, 2, 3} para o dodecaedro.

(15)

1.7.2 Grafos aresta regular e aresta co-regular

Consideremos inicialmente, grafos regulares tendo uma ou mais das propriedades abaixo: R1) Quaisquer dois v´ertices adjacentes possuem precisamente λ = λ(Γ) v´ertices vizinhos

comuns.

R2) Quaisquer dois vértices cuja distância entre eles é 2, possuem precisamente µ = µ(Γ)

v´ertices vizinhos comuns.

R3) Quaisquer dois vértices não adjacentes possuem precisamente µ = µ(Γ) vértices

vizinhos comuns.

Um grafo regular com v vértices e valência k é chamado aresta-regular com parâmetros (v, k, λ) se R1 acontece. Amplamente regular com parâmetros (v, k, λ, µ) se R1 e R2

acon-tecem. Aresta co-regular com parˆametros (v, k, µ) se R3 acontece e fortemente regular com

parˆametros (v, k, λ, µ) se R1 e R3 acontecem.

Observa¸c˜ao 1.8. Vamos agora citar algumas observa¸cões relacionadas às defini¸cões dadas acima.

1. Todo grafo distância regular é amplamente regular (λ = a1, µ = c2) e é fortemente

regular se possuir diˆametro no m´aximo 2.

Um grafo satisfazendo R3 (ou apenas R2) com µ = 0 ´e a uni˜ao disjunta de pontos. Se

µ > 0, o grafo é conexo e tem diâmetro no máximo 2.

2. Para um grafo aresta-regular n˜ao completo temos µ ≤ k. Um grafo aresta co-regular com µ = k ´e um grafo multipartido completo K3×t.

Chamamos um grafo aresta co-regular de não trivial se ele não é completo e 0 < µ < k.

1.8 Algebra Linear e Grafos

´

Seja o grafo G = (V, A) com V = {v1, ..., vn} e A = {e1, ..., em}. O espa¸co dos v´ertices

ν(G) de G ´e o espa¸co vetorial sobre o corpo de 2 elementos z2 = {0, 1} de todas as fun¸c˜oes

V → z2. Temos que {{v1}, ..., {vn}} ´e base canˆonica de ν(G) e portanto, dim(ν(G)) = n.

Da mesma forma, as fun¸c˜oes A → z2 formam o espa¸co das arestas ε(G) de G, cujos

elementos s˜ao subconjuntos de A. Como anteriormente, temos que {{e1}, ..., {em}} ´e base

canˆonica de ε(G) e ent˜ao dim (ε(G)) = m.

Um conjunto é isomorfo ao das fun¸cões de B em 0, 1 se, e somente se, cada subconjunto de arestas está identificado com um elemento de ε(G).

Dados F, F0 ∈ ε(G) e seus coeficientes λ1, ..., λme λ

0

1, ..., λ

0

m com respeito a base canˆonica,

(16)

< F, F0 > := λ1λ

0

1+ ... + λmλ

0

m ∈ z2

e note que < F, F0 > = 0 ⇔ F e F0 possuem um n´umero par de arestas em comum. Dado um subespa¸co z de ε(G), temos que:

z⊥ _{:= {D ∈ ε(G) / < F, D > = 0, ∀ F ∈ z}}

que ´e ainda um subespa¸co de ε(G). Ainda, temos que: dim(z) + dim(z⊥_{) = m}

A matriz incidˆencia B = (bi,j)nxm de um grafo G = (V, A) com V = {v1, ..., vn} e

A = {e1, ..., em} ´e definida sobre z2 por:

bi,j := 1 se vi ∈ ej

bi,j := 0 se vi ∈ e/ j

Sendo Bt_{a transposta de B, temos que B e B}t_{definem fun¸c˜oes lineares B : ε(G) → ν(G)}

e Bt_{: ν(G) → ε(G) com respeito `a base canˆonica.}

A matriz adjacˆencia A = (ai,j)nxn de G ´e definida por:

ai,j = 1 se vivj ∈ A

ai,j = 0 se vivj ∈ A/

Proposi¸c˜ao 1.9. [3]: Seja D a matriz diagonal D = (di,j)n×n com dii = d(vi) e dij = 0 se

i 6= j. Temos que:

BBt_{= A + D}

1.9 Planaridade

Um grafo é planar se pode ser desenhado no plano (mergulho) sem auto-interse¸cão. Uma face num grafo planar é um pol´ıgono homeomorfo a um disco cujo contorno é dado por uma curva fechada composta por arestas do grafo.

Dizemos que dois grafos s˜ao homeomorfos se ambos podem ser obtidos do mesmo grafo, inserindo novos v´ertices de grau dois.

Fórmula de Euler usando componentes conexas: V − A + F = k + 1, onde k é o número de componentes conexas do grafo de V vértices, A arestas e F faces.

Fórmula de Euler para grafos planares: seja G um grafo planar com V vértices, A arestas e F faces. Temos então que V − A + F = 2.

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Teorema 1.10. [6]: Seja F o n´umero de faces de um grafo conexo planar G = (V, A) e m a cardinalidade de A (m > 1). Ent˜ao 3F ≤ 2m.

Mas nem todos os grafos são planares. Um exemplo é o K5 e o K3, 3, pois como podemos ver na figura abaixo, toda representa¸cão deles no plano terá uma auto- interse¸cão.

Corol´ario 1.11. Os grafos K3, 3 e K5 n˜ao s˜ao planares.

Demonstra¸c˜ao: Seja n o número de vértices de K5 e m seu número de arestas. A Fórmula de Euler nos diz que se K5 fosse planar, ter´ıamos que

F = 2 − n + m = 2 − 5 + 5(5 − 1)/2 = 7

Mas 3 F = 21 e 2 m = 20, contradizendo o teorema anterior. Portanto, K5 não é planar. Para provar que K3, 3 não é planar, observemos que qualquer ciclo de K3, 3 contém um número par (maior que 3) de arestas. Se denotarmos por F i o número de faces com exatamente i arestas na fronteira, temos que

F 1 + 2F 2 + 3F 3 + ... ≤ 2m, pois cada aresta ´e contabilizada duas vezes.

Como a fronteira de uma face numa realiza¸cão planar de um grafo é constitu´ıda pelos arcos de um ciclo, temos que as faces de uma realiza¸cão planar de K3, 3 (se existisse) teriam pelo menos 4 arcos na fronteira e portanto,

4F = 4F 4 + 4F 6 + ... ≤ 4F 4 + 6F 6+ ≤ 2m.

Mas lembrando que o n´umero de faces de K3, 3 seria 5 caso fosse planar, temos que 20 = 4F ≤ 2m = 18,

(18)

o que é uma contradi¸cão. Portanto, K3, 3 não é planar. 2 Pode-se notar que todo grafo que possui um subgrafo não planar é não planar. Portanto, temos que todo grafo que possui o K5 ou o K3, 3 como subgrafo, é não planar.

Na verdade, existe um resultado mais forte, que é o Teorema de Kuratowski que nos possibilita verificar se um grafo é ou não planar exatamente a partir dos dois grafos não planares que vimos.

Teorema 1.12. [6]: Um grafo é planar se, e somente se, não contém subgrafo homeomorfo a K3, 3 ou K5.

Dado um grafo G, definimos o número de cruzamentos de G, denotado por cr(G) como o número m´ınimo de cruzamentos que podem ocorrer quando G é desenhado no plano, onde esses cruzamentos só podem ocorrer entre duas arestas.

Temos ent˜ao que se G ´e planar, cr(G) = 0 e nos exemplos mostrados anteriormente, cr(K3, 3) = cr(K5) = 1.

1.10 Outras superf´ıcies

Até agora, vimos grafos desenhados no plano, o que é equivalente a serem desenhados na superf´ıcie esférica. A partir daqui, consideraremos grafos em outras superf´ıcies como por exemplo, no toro.

Como é conhecido, o toro é uma superf´ıcie que pode ser vista como uma esfera que possui uma ”al¸ca”, ou seja, topologicamente o toro é obtido de uma esfera retirando-se dois discos e colando-se um cilindro nestes bordos. Ao repetirmos esta opera¸cão g vezes, obtemos a superf´ıcie (uma esfera com g al¸cas) que é conhecida como g-toro. Um teorema central de topologia das variedades bi-dimensionais é o que classifica as superf´ıcies orientáveis compactas.

Teorema 1.13. [10]: Toda superf´ıcie orientável compacta é homeomorfa a um g-toro. O gênero(genus) de uma superf´ıcie compacta orientável é g se ela for topologicamente homeomorfa à esfera com g ”al¸cas”(g-toro).

(19)

Portanto, o toro possui gênero 1 e a esfera, gênero 0. Uma superf´ıcie de gênero g (g-toro) pode ser construida a partir de uma identifica¸cão dos bordos de um pol´ıgono de 4g lados.

Um resultado central sobre a topologia dos grafos ´e o que se segue:

Teorema 1.14. [10]: Todo grafo pode ser mergulhado sem auto-interse¸c˜ao sobre uma su-perf´ıcie de gˆenero g.

Um grafo possui gênero g se pode ser mergulhado sem auto-interse¸cão em uma superf´ıcie de gênero g, mas não em uma superf´ıcie de gênero g − 1, isto é, gênero de um grafo é o gênero da superf´ıcie mais simples na qual o grafo pode ser mergulhado sem auto-interse¸cão.

Em geral, existe grande dificuldade em descobrirmos o gˆenero de um dado grafo:

g = 1 ⇒ 4g = 4 ⇒ o espa¸co de identifica¸c˜ao ´e um pol´ıgono de 4 lados com a borda identificada.

g = 2 ⇒ 4g = 8 ⇒ o espa¸co de identifica¸c˜ao ´e um pol´ıgono de 8 lados com a borda identificada.

O gênero de um grafo mede sua complexidade, uma vez que seu gênero aumenta conforme aumentamos sua complexidade. Grafos planares podem ser colocados numa esfera e se voltarmos novamente aos exemplos K3, 3 e K5, veremos que ambos podem ser desenhados no toro sem auto-interse¸cão e têm portanto gênero 1.

(20)

Para se ter uma idéia do grau de dificuldade que podemos encontrar, observe o grafo abaixo o qual produz certa dificuldade para se descobrir em qual superf´ıcie ele pode ser mergulhado sem auto interse¸cão e logo a seguir, vemos que este grafo possui gênero 2.

Existem alguns resultados que podem nos ajudar a encontrar o gênero de um dado grafo e um deles, que na verdade não fornece o número exato mas sim um limitante é o que segue: Teorema 1.15. [6]: O gênero de um grafo G não ultrapassa seu número de cruzamentos, isto é, g ≤ cr(G).

Teorema 1.16. [6]: Para grafos de gˆenero g, temos que V − A + F = 2 − 2g.

Seja Λ um grafo e V o número de vértices de Λ. Temos que se V ≥ 3, o gênero g de Λ satisfaz a seguinte desigualdade:

g ≤ (V − 3) (V − 4) 12

Teorema 1.17. [6]: Seja Λ um grafo conexo, V seu número de vértices e A seu número de arestas. Temos então que se V ≥ 3, então

1 6A − 1 2(V − 2) ≤ g ≤ (V − 3) (V − 4) 12

(21)

1.11 Grafos Eulerianos

Concluimos este cap´ıtulo voltando ao problema que motivou a Teoria de Grafos, o Prob-lema das Pontes de Königsberg. Um grafo conexo G é euleriano se existe uma trajetória fechada contendo todas as arestas de G. Note que cada aresta deve ser atravessada uma única vez. Um grafo não euleriano g é semi-euleriano se existe uma trajetória contendo todas as arestas de G.

Teorema 1.18. [3]: Se G é um grafo em que cada um de seus vértices possui grau no m´ınimo 2, então G contém um ciclo.

Incluimos a demonstra¸cão do teorema a seguir que é o que resolve o problema que deu origem à teoria de grafos.

Teorema 1.19. [3]: Um grafo conexo G é euleriano se, e somente se, o grau de cada um dos vértices de G é par.

Demonstra¸cão: ⇒)Suponha que P é uma trajetória euleriana de G. Cada vez que P passa por um vértice de G, contribui com dois graus neste vértice e como cada aresta é percorrida uma única vez por P , cada vértice tem que ter grau par.

⇐)A prova é por indu¸cão no número de arestas de G.

Suponha que o grau de cada vértice é par. Desde que G é conexo, cada vértice tem grau no m´ınimo 2 e então, pelo teorema anterior, G contém um ciclo C.

Se C cont´em todas as arestas de G, a prova est´a completa.

Caso contrário, removemos de G as arestas de C obtendo um novo grafo H possivelmente desconexo com menos arestas que G e cada vértice deverá ter grau par. Pela hipótese de indu¸cão, cada componente de H possui no m´ınimo um vértice em comum com C, por conexidade, obtemos a trajetória euleriana de G e consequentemente, um vértice não isolado é alcan¸cado por arestas de C, tra¸cando a trajetória euleriana de um componente de H que contém este vértice, percorrendo as arestas de C até alcan¸carmos um vértice pertencente a outra componente de H.

Este processo termina quando retornarmos para o vértice inicial. 2 Para solucionar o problema das ponte de Königsberg, Euler modelou-o como um grafo, identificando cada ponte com uma aresta e cada ilha e margem com um vértice. Da´ı, o problema ficou reduzido a verificar se seria poss´ıvel encontrar uma trajetória sobre o grafo, que percorresse todas as arestas e vértices uma única vez, ou seja, verificar se este grafo é euleriano .

O problema das pontes de Königsberg é bem conhecido e se observarmos o teorema anterior, podemos ver que como nenhum vértice possui grau par, este grafo não é euleriano. Podemos então concluir que é imposs´ıvel realizar tal passeio.

(22)

Cap´ıtulo 2

C´

odigos Corretores de Erros

Neste cap´ıtulo, estaremos interessados em introduzir a teoria sobre códigos corretores de erros, dando maior ênfase aos códigos lineares e aos códigos perfeitos. Para isso, a principal bibliografia será [1] e [8].

A teoria dos códigos corretores de erros foi fundada pelo matemático C. E. Shannon, em 1948. Inicialmente, os maiores interessados em Teoria dos Códigos foram os matemáticos que a desenvolveram consideravelmente nas décadas de 50 e 60. A partir da década de 70, com as pesquisas espaciais e a grande populariza¸cão dos computadores, essa teoria come¸cou a interessar também aos engenheiros. Hoje em dia, os códigos corretores de erros são utilizados sempre que se deseja transmitir ou armazenar dados, garantindo a sua confiabilidade.

2.1 Exemplos

1. Seja A o conjunto formado pelas 23 letras do alfabeto da l´ıngua portuguesa, pelo espa¸co em branco, ¸c e pelas vogais acentuadas. Este conjunto será chamado alfabeto e cada palavra é um elemento de A27 _{onde 27 é o comprimento da palavra}

inconsti-tucionalissimamente, que é a mais longa de nosso vocabulário. Denotamos por P a l´ıngua portuguesa, como subconjunto próprio de A27_.

Este código é capaz de detectar e corrigir erros pois se produzirmos a palavra cathorro, como não pertence a P , sabe-se que ocorreu um erro e então corrige-se pela palavra mais próxima (cachorro). Podemos observar ainda que não é muito eficiente pois existem palavras muito próximas em P , como por exemplo, rato, pato, gato e galo, dificultando detectar um erro.

2. Códigos com d´ıgitos verificadores (d´ıgitos de controle). Exemplos destes códigos são os usados em contas bancárias e CPF. Se é dado um CPF x1x2...x10x11, os

(23)

dependência com os nove primeiros números. Esta dependência é dada pelas seguintes fórmulas: x10= ÃÃ 9 X i=1 i · xi ! mod 11 ! mod 10 x11= ÃÃ ₁₀ X i=2 (i − 1) · xi ! mod 11 ! mod 10

Esses d´ıgitos servem para testar a autenticidade do CPF fornecido.

2.2 M´

etrica de Hamming e M´

etrica de Lee

Sejam u = (u1, ..., un), v = (v1, ..., vn) ∈ An. A distˆancia de Hamming de u e v ´e o

n´umero de coordenadas em que u e v diferem, ou seja,

dh(u, v) = | {i / ui 6= vi , 1 ≤ i ≤ n} | Propriedades: 1) dh(u, v) ≥ 0 2) dh(u, v) = 0 ⇔ u = v 3) dh(u, v) = dh(v, u) 4) dh(u, v) ≤ dh(u, w) + dh(w, v)

Por (1),(2),(3) e (4), temos que dh é métrica. Podemos então chamá-la de Métrica de

Hamming.

Sejam a, b ∈ Zn

q, onde a = (a1, ..., an) e b = (b1, ..., bn). A m´etrica de Lee ´e definida sobre

Zn q da seguinte forma: dL(a, b) = n X i=1 min{|ai− bi|, |q − (ai− bi)|}

Chamamos de Espa¸co de Lee o espa¸co sobre o Zn

q com a m´etrica de Lee, ou seja (Znq, dL).

Sejam a ∈ An _{e t ∈ R. O disco D(a, t) de centro a e raio t e a esfera S(a, t) de mesmo}

centro e mesmo raio s˜ao dados por:

D(a, t) = {u ∈ An _{/ d(u, a) ≤ t}}

(24)

E temos ainda que: |D(c, r)| = r X i=0 ³_n i ´ (q − 1)i |S(a, i)| = ³_n i ´ (q − 1)i

Dado um código C, para u, v ∈ C temos que a distância m´ınima d de C é dada por d = min{ dh(u, v) /u 6= v}. Temos ainda que o número de palavras de um código será

denotado por M e k definido da seguinte forma k =¥d−1

2

¦

. Os parâmetros n, M e d são os parâmetros fundamentais de um código e serão denotados por [n, M, d].

Corol´ario 2.1. [1]: Seja C um c´odigo com distˆancia m´ınima d e c, c0 ∈ C com c 6= c0. Portanto, se D(c, k) ∩ D(c0, k) = ∅, C corrige k erros e detecta d − 1 erros.

Dado um código C com distância m´ınima d e corrigindo k erros, ele será um código perfeito se ∪c∈CD(c, k) = An.

Uma fun¸c˜ao F : An_{→ A}n _{´e uma isometria se d}

h(F (x), F (y)) = dh(x, y) com x, y ∈ An.

Propriedades:

1) Toda isometria de An _{´e bije¸c˜ao;}

2) A fun¸c˜ao identidade de An _{´e uma isometria;}

3) Se F é isometria, então F−1 _{também o é;}

4) Se F e G são duas isometrias, então temos que F o G também é isometria.

Dados dois códigos C, C0 ∈ An_{. Dizemos que estes códigos são equivalentes se existir}

isometria F de An _{tal que F (C) = C}0

. Neste caso, denotaremos por C ≈ C0. Propriedades:

1) C ≈ C;

2) C ≈ C0 ⇒ C0 ≈ C;

3) Se C ≈ C0 e C0 ≈ C00 ⇒ C ≈ C00.

Temos então que ≈ é uma rela¸cão de equivalência.

Proposi¸c˜ao 2.2. [1]: Se C ≈ C0, então os dois códigos possuem os mesmos parâmetros. Teorema 2.3. [1]: Seja F : An _{→ A}n _{uma isometria. Então existem permuta¸cões Π de}

{1, ..., n} e bije¸c˜oes fi com i = 1, ..., n tais que F = TΠoTf11o...oT

n

fn onde T

i

f(a1, ..., an) =

(25)

Corol´ario 2.4. [1]: C ≈ C0 se, e somente se, existem permuta¸c˜oes Π de {1, ..., n} e bije¸c˜oes fi com i = 1, ..., n tais que C

0

= {(fΠ(1)(xΠ(1)), ..., fΠ(n)(xΠ(n))) /(x1, ..., xn) ∈ C}.

Sejam C e C0 códigos sobre A de comprimento n cujos elementos são letras. Então temos que C ≈ C0 se e somente se um pode ser obtido do outro através de:

(i) substitui¸cão das letras numa dada posi¸cão fixa em todas as palavras do código por bije¸cão de A;

(ii) permuta¸cão das posi¸cões das letras em todas as palavras, mediante permuta¸cão fixa de {1, ..., n}.

2.3 An´

eis e corpos

O conjunto A munido de duas opera¸c˜oes (+ e .) ´e chamado de anel se: (i) ∀a, b, c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c)

(ii) ∃ 0 ∈ A tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A. Este elemento ´e chamado neutro de (+). (iii) ∀ a ∈ A, ∃ (−a) ∈ A tal que a + (−a) = 0

(iv) ∀ a, b ∈ A, a + b = b + a (v) ∀ a, b, c ∈ A, (ab)c = a(bc)

(vi)∀ a ∈ A, ∃ 1 ∈ A tal que a1 = 1a = a. Este elemento ´e o neutro da opera¸c˜ao (.) (vii) ∀ a, b ∈ A, ab = ba

(viii)∀ a, b, c ∈ A, a(b + c) = ab + ac Propriedades:

1) a · 0 = 0, ∀a ∈ A

2) Os elementos neutros das duas opera¸cões são únicos.

O anel A será um dom´ınio de integridade se ∀ a, b ∈ A, com a 6= 0 e b 6= 0, temos que ab 6= 0, isto é, se ab = 0 então a = 0 ou b = 0. Seja A um dom´ınio de integridade, temos que A será um corpo se ∀ a ∈ A, a 6= 0, ∃ b ∈ A tal que ab = ba = 1. Todo elemento a com esta propriedade é dito ser invert´ıvel.

Teorema 2.5. [1]: Se A é corpo, então é dom´ınio de integridade.

Lei do Cancelamento: Seja A um dom´ınio de integridade e c 6= 0. Ent˜ao temos que ac = bc ⇒ a = b.

(26)

Dado um dom´ınio de integridade A, denotamos o corpo de fra¸c˜oes de A por Q(A) e o definimos da seguinte forma:

Q(A) =na

b com a, b ∈ A e b 6= 0 o

onde a

b ≈ dc ⇔ ad = bc

Potencia¸c˜ao: Sejam A um anel, a, b ∈ A e m, n ∈ Z. Temos ent˜ao as seguintes pro-priedades:

1) na = −(−n)a = (−n)(−a) = −n(−a) 2) na = (n1)a

3) n(ma) = (nm)a 4) n(a ± b) = na ± nb 5)(n ± m)a = na ± ma

Para a ∈ A e m, n ∈ N ∪ {0}, temos que: 6) (am₎n_{= a}mn

7) (ab)n _{= a}n_bn

8) an+m _{= a}n_am

Teorema 2.6. [1]: Seja A um corpo e M uma matriz cujos elementos pertencem a A. O conjunto de matrizes deste tipo serão denotadas por MA. Temos então que M é invert´ıvel

se, e somente se, det(M) 6= 0. Matriz de Vandermond

Seja A um anel e a1, ..., an ∈ A. A Matriz de Vandermond V (a1, ..., an) ´e uma matriz

n × n e ser´a dada por:

V (a1, ..., an) =      1 a1 a21 . an−11 1 a2 a22 . an−12 . . . . . 1 an a2n . an−1n      Propriedades:

1) det(V (a1, ..., an)) = Πn−1i=1 Πn−1i=j+1(ai− aj) = Πi>j(ai− aj)

2) Se A for um dom´ınio de integridade, ent˜ao det(V (a1, ..., an)) 6= 0 ⇔ ai 6= aj, i 6= j.

Seja A um anel e a, b ∈ A. Temos que a divide b se ∃ c ∈ A tal que b = ac. Neste caso, escrevemos a|b.

(27)

Propriedades: Seja A um anel e a, b, c, u, λ, µ ∈ A, onde u ´e invert´ıvel.

1) u|a 2) a|0 3) a|a

4) Se a|u, então a é invert´ıvel 5) Se a|b e b|c, então a|c

6) Se a|b e a|c, ent˜ao a|(λb + µc)

Seja A um anel e a, b ∈ A. Dizemos que a e b s˜ao associados se existe elemento invert´ıvel u ∈ A tal que a = ub. Isso ser´a denotado por a ∼ b.

Propriedades:

1) a ∼ a

2) a ∼ b ⇒ b ∼ a

3) Se a ∼ b e b ∼ c, ent˜ao a ∼ c

Portanto, ∼ é uma rela¸cão de equivalência. 4) u ∼ 1 ⇔ u invert´ıvel

5) a ∼ b ⇒ a|b e b|a

Seja A um anel e a ∈ A um elemento não invert´ıvel. Dizemos que a é irredut´ıvel se os únicos divisores de a são seus associados e os invert´ıveis de A. Dado um anel A e a ∈ A\{0} com a não invert´ıvel, dizemos que a é primo se ∀ b, c ∈ A tal que a|bc então a|b ou a|c. Teorema 2.7. [1]: Seja A um dom´ınio de integridade e a ∈ A. Se a é primo, então a é irredut´ıvel (a rec´ıproca não é verdadeira).

Sejam A um dom´ınio de integridade, a, b ∈ A não simultaneamente nulos e d ∈ A. Dizemos que d é o máximo divisor comum (mdc) de a e b se:

1) d|a 2) d|b

3) ∀c ∈ A, tal que c|a e c|b, ent˜ao c|d Nota¸c˜ao: d = mdc(a, b)

(28)

Propriedades:

1) Se a0 ∼ a e b0 ∼ b, então mdc(a, b) = mdc(a0, b0) 2) Se d = mdc(a, b), então ∀ d0 ∼ d, d0 = mdc(a, b) 3) Se a = 0 e b 6= 0 ou a = b, então mdc(a, b) ∼ b

Seja A um anel e a, b ∈ A. Dizemos que a e b são primos entre si se os únicos divisores comuns de a e b são os invert´ıveis de A.

Dado o anel A e a, b, m ∈ A, temos que m ser´a o m´ınimo m´ultiplo comum (mmc) de a e b se:

1) a|m 2) b|m

3) ∀ c ∈ A, tal que a|c e b|c, ent˜ao m|c Nota¸c˜ao: d = mmc(a, b)

Seja A um anel e a, b, m ∈ A. Temos que a ´e congruente a b m´odulo m se m|(a − b). Denotaremos por a ≡ b mod m.

Propriedades:

1) a ≡ a mod m

2) Se a ≡ b mod m, ent˜ao b ≡ a mod m

3) Se a ≡ b mod m e b ≡ c mod m, ent˜ao a ≡ c mod m

4) Se a ≡ a0 mod m e b ≡ b0 mod m, então a + b ≡ a0 + b0 mod m e ab ≡ a0b0 mod m Portanto, ≡ é uma rela¸cão de equivalência.

Seja A um anel e a, m ∈ A. A classe residual de a m´odulo m ser´a dada por: [a] = {x ∈ A / x ≡ a mod m} = {a + mλ / λ ∈ A}

Dizemos que a ´e o representante de [a]. Ainda temos que mA = {mλ / λ ∈ A}, ou seja, [a] = a + mA. Denotaremos o conjunto de todas as classes residuais em A m´odulo m por Am.

(29)

1) [a] = [b] ⇔ m|(a − b), isto ´e, (a − b) ∈ mA 2) [a] ∩ [b] 6= ∅ ⇔ [a] = [b]

3) A = ∪a∈A[a]

4) Se A for um dom´ınio de integridade, ent˜ao existe bije¸c˜ao entre [a] e mA. 5) [a] + [b] = [a + b]

6) [a][b] = [ab]

Teorema 2.8. [1]: O conjunto Am munido das opera¸c˜oes (+) e (.) ´e um anel com elementos

neutros 0 e 1 respectivamente.

2.4 Os Inteiros

Estudaremos agora o conjunto Z dos números inteiros. Para este conjunto, temos que os únicos elementos invert´ıveis são ±1 e ainda, que é um dom´ınio de integridade. Os associados de a ∈ A são ±a.

Dado um anel A, temos que A ser´a um anel ordenado se tiver uma rela¸c˜ao de ordem satisfazendo as seguintes propriedades:

1) ∀ a ∈ A, a ≤ a 2) ∀ a, b, c ∈ A, se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c 3) Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b 4) ∀ a, b ∈ Z, a ≤ b ou b ≤ a 5) Se a ≤ b, então a + c ≤ b + c, ∀ a, b, c ∈ Z 6) Se a ≤ b e 0 ≤ c, então ac ≤ bc

2.5 C´

odigos Lineares

2.5.1 Defini¸c˜

oes iniciais

Seja K um corpo finito com q elementos, o qual tomaremos como nosso alfabeto. Se C ⊂ Kn _{é um código, dizemos que C é um código linear se for subespa¸co vetorial de K}n_.

Chamaremos ent˜ao de k a dimens˜ao de C sobre K e tomaremos como base de C o conjunto β = {v1, ..., vk}.

Para cada x ∈ Kn_{, definimos o peso de x como sendo w(x) := | {i / x}

i 6= 0} | = d(x, 0).

(30)

O peso de C coincide com a distância m´ınima do código pois ∀ x, y ∈ C com x 6= y tem-se z = x − y ∈ C\{0} e d(x, y) = w(z). Portanto, em termos de cálculo, é bem mais fácil achar a distância m´ınima de um código pois basta fazer M − 1 cálculos, onde M é o número de elementos do código linear.

Dado um código linear, ele pode ser representado de duas formas, como imagem e como núcleo de uma transforma¸cão linear.

1. Im(T ) = C, k ≤ n

T : Kk_{→ K}n

(x1, ..., xk) 7→ x1v1 + ... + xkvk

Temos que esta transforma¸c˜ao ´e linear e injetora pois:

ker(T ) = {(x1, ..., xk) ∈ Kk/T (x1, ..., xk) = 0} = {(x1, ..., xk) ∈ Kk/x1v1+...+xkvk = 0}

mas como v1, ..., vk s˜ao LI, temos ent˜ao que

x1 = ... = xk = 0

ou seja,

ker(T ) = 0.

Como Im(T ) = C, temos que dado um código linear, podemos representá-lo como imagem de uma transforma¸cão linear injetora. Inversamente, temos que para cada transforma¸cão linear injetora, a imagem define um código linear.

2. ker(H) = C

Outra forma de se representar um código linear é através do núcleo de uma trans-forma¸cão. Seja C0 o subespa¸co de dimensão n-k de Kn _{que é complementar de C, isto}

é, C ⊕ C0 = Kn_{. Defina então a seguinte transforma¸cão:}

H : C ⊕ C0 → Kn−k_{u ⊕ v 7→ v}

(31)

2.5.2 Matriz Geradora

A matriz geradora de C associada `a base ordenada β = {v1, ..., vk} ser´a dada por

G =    v1 ... vk   

Se tomarmos a transforma¸c˜ao T : Kk _{→ K}n _{com T (x) = xG, temos que Im(T ) = C e}

portanto, podemos considerar Kk _{como sendo o c´odigo da fonte, C o c´odigo de canal e T}

uma codifica¸c˜ao. Exemplo: K = z2 e T : z32 → z52 com T (x) = xG. G =    1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1   

Se quisermos codificar a palavra 101, basta aplicar T a x e teremos T (x) = (101)G = (01010).

Agora, se quisermos decodificar a palavra 10101, ter´ıamos que encontrar a palavra x tal que T (x) = (10101) cuja solu¸cão é (100). Mas encontrar esta solu¸cão pode não ser tão fácil. 2 Sabemos que uma base de um espa¸co vetorial pode ser obtida de outra através de opera¸cões do tipo:

- permuta¸c˜ao de dois elementos da base;

- multiplica¸c˜ao de um elemento da base por um escalar n˜ao nulo;

- substitui¸c˜ao de um vetor da base por ele mesmo somado com um m´ultiplo escalar de outro vetor da base;

Temos então que uma matriz geradora de um código pode ser obtida de outra através de:

- permuta¸c˜ao de duas linhas;

- multiplica¸cão de uma das linhas por um escalar não nulo; - adi¸cão de um múltiplo escalar de uma linha a outra;

No exemplo anterior, note que se efetuarmos as opera¸c˜oes acima `a matriz G, obteremos uma matriz G0 =    1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1   

(32)

xG0 = (x1x2x3x2x3)

onde x = (x1x2x3), que nos fornece de forma direta a palavra decodificada.

Diremos que a matriz geradora G de um código linear C está na forma padrão se G = (Idk|A) onde A é uma matriz k × (n − k).

2.5.3 C´

odigos Duais

Sejam u = (u1, ..., un) e v = (v1, ..., vn) elementos de Kn, o produto interno de u e v ´e

dado por hu, vi = u1v1+ ... + unvn.

Propriedades: 1. hu, vi = hv, ui

2. hu + λw, vi = hu, vi + λhw, vi

Seja C ⊂ Kn _{um c´odigo linear. Chamamos de c´odigo dual de C o conjunto C}⊥ _{= {v ∈}

Kn _{/ hv, ui = 0, ∀ u ∈ C}.}

Temos que C⊥ _{´e um subespa¸co vetorial de K}n _{e portanto, um c´odigo linear.}

Teorema 2.9. [1]: x ∈ C⊥ _{⇔ Gx}t_{= 0}

Demonstra¸c˜ao: x ∈ C⊥ _{⇔ ∀ y ∈ C, hx, yi = 0 ⇔ x ´e ortogonal a todos os elementos da}

base β ⇔ Gxt_{= 0} ₂

Teorema 2.10. [1]: Se G está na forma padrão, dim C⊥ _{= n − k e H = (−A}t _{| Id} n−k) é

matriz geradora de C⊥_.

Demonstra¸c˜ao: (i) x ∈ C⊥ _{⇔ Gx}t_{= 0 ⇔ (Id}

k | A)xt = 0 ⇔    x1 . xn    + A    xk+1 . xn    = 0 ⇔    x1 . xn    = −A    xk+1 . xn    .

Temos ent˜ao que |C⊥_{| = q}n−k _{e como |C}⊥_{| = q}dimKC⊥, dim

KC⊥ = n − k.

(ii) As linhas de H s˜ao LI por causa do bloco Idn−k e, portanto, geram um subespa¸co

(33)

o espa¸co gerado pelas linhas de H est´a contido em C⊥ _{e como esses dois subespa¸cos tˆem a}

mesma dimens˜ao, eles coincidem. portanto, H ´e matriz geradora de C⊥_. ₂

Teorema 2.11. [1]: v ∈ C ⇔ Hvt _{= 0}

De fato, v ∈ C ⇔ v ∈ (C⊥₎⊥_{⇔ Hv}t _{= 0.}

Esta matriz H ´e chamada matriz teste de paridade de C e o vetor Hvt _{´e chamado de}

s´ındrome de v, para v ∈ Kn_.

A matriz H também é utilizada para obtermos um parâmetro para o peso de C da seguinte forma:

Observa¸cão 2.12. 1. w(C) ≥ s se, e somente se, quaisquer s − 1 colunas de H são LI. 2. w(C) = s se, e somente se, quaisquer s − 1 colunas de H são LI e ainda, existem s

colunas de H que s˜ao LD.

Exemplo: Seja C um c´odigo sobre F2 cuja matriz geradora ´e dada por

G =    1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0   

que est´a na forma padr˜ao, o que possibilita encontrarmos facilmente a matriz teste de paridade H = (At_|Id n−k) =    1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1   

Temos então que dados os vetores (100111) e (010101), para sabermos se pertencem ou não ao código C, basta multiplicarmos pela matriz H, ou seja, H(100111)t _{= (000) e}

H(010101)t _{= (110) e temos ent˜ao que (100111) pertence a C mas (010101) n˜ao.} ₂

Cota de Singleton: Seja C um c´odigo linear com distˆancia m´ınima d e k =¥d−1

2

¦

. Temos a seguinte desigualdade:

d ≤ n − k + 1

(34)

2.5.4 Exemplos de C´

odigos Lineares

Incluimos aqui exemplos de c´odigos lineares sobre z2 = Z2 bastante conhecidos e

utiliza-dos em aplica¸c˜oes.

1. C ´ODIGO DE HAMMING:

Um código de Hamming C de ordem m e dimensão k sobre z2 = {0, 1} é um código

com matriz teste de paridade Hm de ordem m × n cujas colunas s˜ao os elementos de

Fm

2 \{0}.

Para m = 3, temos que uma matriz teste de paridade ´e dada por

H3 =    1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 .    Como zm

2 possui 2m elementos, temos que n = 2m−1 uma vez que estamos retirando

o elemento (0, ..., 0).

dim C⊥ _{= n − k = m ⇒ k = n − m ⇒ k = 2}m_{−1 − m}

Temos ainda que em zm

2 dois elementos s˜ao sempre LI e que conseguimos facilmente

três elementos LD, isto é, duas colunas de H são sempre LI e existem três colunas LD e da´ı, d = 3

Teorema 2.13. [1]: Todo c´odigo de Hamming ´e perfeito.

Demonstra¸c˜ao: Seja ~ = [(d − 1)/2] = 1 a capacidade de corre¸c˜ao de C. Dado c ∈ Fn

2, temos que |D(c, 1)| = 1 + n! / (1!(n − 1)!) = 1 + n.

Portanto, | ∪c∈C D(c, 1)| = [1 + n]2k = [1 + 2m − 1]2n−m = 2n e, consequentemente,

∪c∈CD(c, 1) = F2n. 2

Observa¸c˜ao 2.14. Temos que o código de Hamming C é MDS ⇔ m = 2 pois temos que: C é MDS ⇔ d = n − k + 1 ⇔ 3 = (2m_{− 1) − 1 + 1 ⇔ 4 = 2}m _{⇔ m = 2.}

2. C ´ODIGO DE REED-SOLOMON

O código de Reed-Solomon é obtido através da imagem da transforma¸cão linear inje-tora:

(35)

T : K[X]k−1 → Kn

P 7→ (P (α1), ..., P (αn))

onde K[X]k−1 = {P ∈ K[X] | gr(P ) ≤ k − 1} ∪ {0}, n ∈ N, n ≥ k e α1, ..., αn∈ K.

T ser injetora se deve ao fato de que kerT = {P ∈ K[X]k−1 / P (α1) = ... = P (αn) =

0}. Supondo por absurdo que kerT 6= {0}, isto ´e, ∃ P ∈ K[X]k−1, P 6= {0} e tal que

P (α1) = ... = P (αn) = 0 ⇒ P possui n ra´ızes distintas ⇒ P tem grau n ≥ k, o que ´e

uma contradi¸c˜ao.

Uma possibilidade para a matriz geradora G ´e dada por:

G =      T (1) T (X) . T (Xk−1₎     =         1 1 . 1 α1 α2 . αn α2 1 α22 . α2n . . . . αk−1 1 αk−12 . αk−1n         k×n

Teorema 2.15. [1]: Para os parâmetros de um código de Reed-Solomon, temos que d = n − k + 1, ou seja, é MDS.

Demonstra¸c˜ao: Pela Cota de Singleton, temos que d ≤ n − k + 1. Temos ent˜ao que mostrar que d ≥ n − k + 1. Assim, c ∈ C, c 6= {0} ⇒ ∃ P ∈ K[X]k−1 / T (P ) = c (2.1) ⇒ ∃ P ∈ K[X]k−1 / (P (α1) = ... = P (αn)) = c (2.2) ⇒ w(c) = | {i ∈ {1, ..., n} : P (αi) 6= 0} | = n − | {i ∈ {1, ..., n} : P (αi) = 0} | ≥ (2.3) n − gr(P ) ≥ n − (k − 1) = n − k + 1 (2.4) ⇒ d ≥ n − k + 1 (2.5) Portanto, d = n − k + 1. 2 Exemplo: Considere K = F7, k = 4, n = 6, α1 = 30 = 1, α2 = 31 = 3, α3 = 32 = 2, α4 = 33 = 6, α5 = 34 = 4 e α6 = 35 = 5.

(36)

Portanto, o c´odigo de Reed Solomon correspondente tem d = n − k + 1 = 3 e possui matriz geradora G =      1 1 1 1 1 1 30 ₃1 ₃2 ₃3 ₃4 ₃5 30 ₃2 ₃4 ₃6 ₃8 ₃10 30 ₃3 ₃6 ₃9 ₃12 ₃15     =      1 1 1 1 1 1 1 3 2 6 4 5 1 2 4 1 2 4 1 6 1 6 1 6      2

3. C ´ODIGO DE REED-MULLER DE 1a _ORDEM

O código de Reed-Muller de 1a _{ordem será denotado por R(1, m) e é definido como}

sendo o c´odigo gerado pela matriz

G = Ã 1 1 Hm 0 ! (m+1)×2m

onde Hm ´e a matriz teste de paridade de um c´odigo de Hamming.

Como a matriz geradora possui m + 1 linhas LI, temos que k = m + 1 e pelo n´umero de colunas de G, n = 2m_.

Teorema 2.16. [1]: Para um c´odigo de Reed-Muller C, temos que d = 2m−1_.

Demonstra¸c˜ao: (i) Seja u ∈ C tal que u = 1...1. Temos ent˜ao que w(u) = n = 2m_.

(ii) Seja c ∈ C, c = vi1+ ... + vir tal que vij s˜ao vetores linhas de G. Suponhamos ent˜ao

que nenhum desses vetores ´e igual a u.

Considere a matriz B =    vi1 . vir  

 que possui 2r colunas distintas correspondentes aos vetores de Fr

2, cada uma repetida 2m−r vezes. Portanto, a matriz possui metade das

colunas de peso par e metade de peso ´ımpar ⇒ c possui metade de suas coordenadas iguais a 1 e metade igual a 0 ⇒ w(c) = 2m _{/ 2 = 2}m−1_.

Por (i) e (ii), temos que os elementos de C possuem peso igual a 2m _{ou igual a 2}m−1 _e

portanto, d = 2m−1_. ₂

O código utilizado na nave Mariner 9 corresponde ao caso m = 5, ou seja, R(1, 5) cujos parâmetros são (32, 6, 16).

(37)

2.6 Decodifica¸c˜

ao

Para obtermos um algoritmo de decodifica¸cão para um código linear C com matriz teste de paridade H, temos primeiramente que definir um vetor erro e como sendo e = r − c, onde r é o vetor recebido e c o vetor transmitido.

Temos ent˜ao que w(e) = d(r, c) = n´umero de erros cometidos e que e e r possuem a mesma s´ındrome uma vez que como c ∈ C, Het_{= H(r − c)}t _{= Hr}t_{− Hc}t _{= Hr}t_.

Teorema 2.17. [1]: Se C possui capacidade de corre¸c˜ao h, para r ∈ Kn _{e c ∈ C tal que}

d(c, r) ≤ h, temos que ∃! e, w(e) ≤ h e cuja s´ındrome ´e igual a s´ındrome de r e tal que e = r − c.

Demonstra¸cão: O nosso vetor e satisfaz as propriedades citadas no teorema por defini¸cão. Temos então que provar a unicidade.

Suponha que existem dois elementos de mesma s´ındrome e = (α1, ..., αn) e e

0

= (α0₁, ..., α0_n) tais que w(e) ≤ ~ e w(e0) ≤ ~. Ent˜ao, temos que Het_{= He}0_t

⇒ Pn_i=1αihi = P_n i=1α 0 ihi ⇒ P_n i=1(αi−α 0

i)hi= 0, o que nos dá uma rela¸cão de dependência linear entre 2h(≤ d−1) colunas

de H. Como quaiquer d−1 colunas de H s˜ao LI, temos que αi−α

0 i = 0 ⇒ αi = α 0 i ⇒ e = e 0 . 2

Pelo teorema anterior, temos que para obtermos a decodifica¸c˜ao, temos que descobrir quem ´e o vetor e pois neste caso, c = r − e. Mas como fazer isso?

1. Se w(e) ≤ 1 e d ≥ 3.

(i) Het _{= 0 ⇒ Hr}t _{= 0 ⇒ r ∈ C ⇒ c = r.}

(ii) Het _{6= 0 ⇒ w(e) = 1 ⇒ e possui apenas uma coordenada n˜ao nula, isto}

é, e = (0, ..., α, ..., 0) com α 6= 0 ⇒ Het _{= αh}i_{, onde h}i _{é a i-ésima coluna de}

H ⇒ Hrt_{= He}t_{= αh}i_.

Portanto, neste caso basta aplicar a matriz teste de paridade H ao vetor recebido e comparar com as colunas de H para descobrir quem ´e α e, consequentemente, quem ´e o vetor e.

Exemplos: Considere o c´odigo com matriz teste de paridade

H =    1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1   

Se o vetor recebido for r = (10100), temos que Het _{= Hr}t _{= 010 = 1.h}4 _{e da´ı}

(38)

2. Caso Geral

Seja v ∈ Kn _{e C um c´odigo linear. Chamamos de classe lateral de v segundo C o}

conjunto v + C = {v + c / c ∈ C} e dado um elemento de uma classe lateral, dizemos que ele ´e um elemento l´ıder se for o de peso m´ınimo nesta classe.

Teorema 2.18. [1]: Seja u ∈ Kn _{com w(u) ≤ h. Então u é o único elemento l´ıder de sua}

classe.

Demonstra¸c˜ao: Suponha u, v ∈ Kn _{tal que w(u) ≤ h e w(v) ≤ h ⇒ como (u − v) ∈ C,}

w(u − v) ≤ w(u) + w(v) ≤ 2h ≤ d − 1 ⇒ u − v = 0 ⇒ u = v. 2

Algoritmo:

i) Determine todos os elementos u ∈ Kn _{/ w(u) ≤ h;}

ii) Calcule as s´ındromes destes elementos e coloque tudo em uma tabela; iii) Calcule a s´ındrome da palavra recebida: Hrt_{= s}t_;

iv) Se s pertence à tabela e l é o l´ıder desta classe, então troque r por r − l, isto é, c = r − e = r − l;

v) Se s não pertence à tabela, então foram cometidos mais de h erros.

Exemplos: Considere o código cujos parâmetros são n = 6 e k = 3 sobre F2, cuja matriz

teste de paridade ´e dada por

H =    1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1   

Temos ent˜ao que d = 3 e ~ = 1. Calculando ent˜ao os vetores de peso menor ou igual a 1 com as suas s´ındromes, obtemos a seguinte tabela:

l´ıder s´ındrome 000000 000 000001 101 000010 011 000100 110 001000 001 010000 010 100000 100

Se a palavra recebida for r = (100011), Hrt _{= (010)}t _{e portanto, e = (010000) e}

(39)

(40)

Cap´ıtulo 3

Grafos dados por Quocientes de

Reticulados

Neste cap´ıtulo apresentamos algumas rela¸cões entre códigos e uma classe especial de grafos, os quocientes de reticulados, utilizando principalmente a referência [9]. Estes grafos são associados a ladrilhamentos em toros planares. Introduzimos inicialmente conceitos fundamentais associados a reticulados, e passamos aos grafos quocientes destes discutindo propriedades como uniformidade, regularidade, perfil de distâncias e gênero topológico e a conexão destas com a constru¸cão de códigos com caracter´ısticas especiais como os códigos perfeitos e com rotulamento c´ıclico.

3.1 Reticulado, empacotamento e kissing number

Neste t´opico estaremos interessados em introduzir o conceito de reticulado e analisar o problema do ”empacotamento de esferas”e o problema do ”kissing number”. Para isso, usaremos a referˆencia [4].

Um reticulado é um tipo especial de grafo, um grafo com a propriedade de que cada um de seus vértices pode ser escrito como combina¸cão linear inteira de outros vértices do grafo. Formalmente definimos:

Defini¸c˜ao 3.1. Dados α = {v1, ..., vm} conjunto de vetores linearmente independentes de

Rn_{, definimos o reticulado Λ = Λ}

α de base α por Λ = {

P_m

i=1mivi ; mi ∈ Z} e denotamos

por Λ = Λα = < v1, ..., vm > .

Um subreticulado Λ0 _{⊂ Λ ’e um subconjunto de Λ que tamb´em ´e um reticulado.}

De agora em diante, consideraremos os reticulados onde m = n, isto é, os que têm ”dimensão n”em Rn_.

(41)

Defini¸c˜ao 3.2. Dado o reticulado Λ = Λα, α = {v1, ..., vn} de Rn, dizemos que

F = {v = θ1v1+ ... + θnvn, 0 ≤ θi ≤ 1}

´e uma regi˜ao fundamental de Λα.

A região de Voronoi de um ponto v ∈ Λα é definida como os pontos de Rnque estão mais

pr´oximos de v do que de qualquer outro ponto do reticulado (com a m´etrica usual). ´

E importante observar que, independente da base do reticulado e de sua região funda-mental, o volume de uma região fundamental permanece o mesmo. Por sua vez as regiões de Voronoi são todas congruentes e possuem volume igual ao de uma região fundamen-tal. O quadrado deste volume é chamado de determinante ou discriminante do reticulado e denotado por det(Λ). Isto é, (volume de uma região f undamental)2 _{= det(Λ).}

Sejam v1, ..., vm os vetores que geram um reticulado. Se v1 = (v11, v12, ..., v1n), v2 =

(v21, v22, ..., v2n),..., vm = (vm1, vm2, ..., vmn), com m ≥ n, temos que a matriz geradora do

reticulado ´e dada por:

M =    v11 v12 . . . v1n ... ... ... ... vm1 vm2 . . . vmn   

Se o reticulado tiver dimens˜ao n, temos que det(Λ) = (det M)2.

Chamamos de matriz de Gram a matriz A obtida por A = M.Mt_{, onde M}t _{´e a}

trans-posta de M. Por meio desta matriz podemos obter o determinante de reticulados de di-mens˜ao menor que n pois det(Λ) = detA. Geometricamente, temos que √detA ´e o volume m-dimensional do ”paralelotopo”gerado por v1, ..., vm(equivalente m-dimensional de um

par-alelogramo).

Defini¸c˜ao 3.3. Seja x = (x1, ..., xn) ∈ Λ, onde Λ ´e um reticulado. A norma N(x) de x ´e

dada por :

N(x) = x.x =< x, x >=Xx2

i

Chamamos de norma minimal d de Λ, o quadrado da distˆancia m´ınima entre dois vetores do reticulado, isto ´e,

d = min{N(x − y) : x, y ∈ Λ, x 6= y} = min{N(x) : x ∈ Λ, x 6= 0}

3.1.1 O Problema do Empacotamento de Esferas

O Problema do empacotamento de esferas consiste em saber como empacotar um deter-minado número de esferas idênticas juntas, de tal forma que a fra¸cão do espa¸co coberto por essas esferas seja o maior poss´ıvel.

(42)

Este problema foi citado por Hilbert em 1900 como o décimo oitavo problema de uma lista de questões que tiveram destaque no desenvolvimento da ciência e têm sido um grande desafio para vários matemáticos. Quando os centros dessas circunferências formam um retic-ulado, os empacotamentos são chamados de empacotamentos reticulados. Da´ı, o problema se transforma na obten¸cão de reticulados de alta densidade e que sejam ao mesmo tempo, manipuláveis. Do que é até agora conhecido, em grande parte das dimensões, os empaco-tamentos esféricos mais densos são os empacoempaco-tamentos reticulados. No plano, as esferas são circunferências e sabe-se que a maior densidade poss´ıvel é obtida através do reticulado hexagonal, com uma densidade de aproximadamente 0, 9069. Já no R3_{, provou-se que a maior}

densidade ´e alcan¸cada com o empacotamento no qual os centros das esferas formam um retic-ulado fcc (face centered cubis), no qual podemos obter uma densidade de aproximadamente 0,7405. Observamos que partindo de um reticulado, as esferas de um empacotamento nele centradas ter˜ao raio √d

2 onde d ´e a norma minimal.

Defini¸c˜ao 3.4. Dada uma regi˜ao limitada M ⊂ Rn _{de volume V , definimos a densidade de}

um empacotamento de reticulado E em M como sendo: ∆E,M =

m.v V

onde v é o volume de cada uma das esferas de E e m é o número de esferas contidas em M.

A densidade de empacotamento de E ´e dada por lim

V →∞∆E,M.

Esta densidade nos mostra qu˜ao bom ´e o empacotamento, ou seja, quanto maior a den-sidade, melhor o empacotamento.

3.1.2 O Problema do Kissing Number

Se pensarmos no R3_{, temos que nos perguntar: qual é o número máximo de bolas de}

bilhar que podemos arranjar em torno de uma bola B de forma que todas elas toquem ou ”beijem”B? Este n´umero ´e o chamado ”kissing number”. Se pensarmos no Rn_{, a pergunta}

permanece a mesma: se tivermos várias esferas idênticas, qual é o número máximo de esferas que posso colocar em torno de uma esfera, de forma que todas elas toquem esta esfera?

Este problema surgiu de uma discuss˜ao entre Isaac Newton e seu professor David Gregory em 1694 onde Newton dizia que a solu¸c˜ao deste problema em R3 _{era 12 e seu professor}

acreditava ser 13.

Os resultados conhecidos para o ”kissing number” de empacotamentos de reticulados nas diferentes dimens˜oes s˜ao: