Joaquim Neto Versão 1.0

(1)

Introdu¸c˜

ao `

a estat´ıstica

Joaquim Neto

www.ufjf.br/joaquim_neto

Departamento de Estat´ıstica - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)

Vers˜

ao 1.0

(2)

Sum´

ario

1 Informa¸c˜oes gerais Contato

2 No¸cões básicas Conceitos 3 Medidas de localiza¸cão Introdu¸cão Ponto médio Média Média ponderada Moda Mediana Quantil 4 Medidas de variabilidade Introdu¸cão Amplitude

Desvio m´edio absoluto Variˆancia

Desvio padr˜ao Coeficiente de varia¸c˜ao

5 Dependência entre observa¸cões pareadas Método de M´ınimos Quadráticos

(3)

Informa¸c˜oes gerais

6 Dependência entre variáveis a partir das frequências Representa¸cões por tabelas

Representa¸c˜oes gr´aficas Exemplos

(4)

Informa¸c˜oes gerais

(5)

Informa¸c˜oes gerais Contato

Contato

E-mail

Site pessoal

http://www.ufjf.br/joaquim_neto

Site do Departamento de Estat´ıstica (UFJF)

http://www.ufjf.br/estatistica

(6)

No¸c˜oes b´asicas

(7)

No¸c˜oes b´asicas Conceitos

Conceitos

A estat´ıstica

Em sua essência, a estat´ıstica é uma parte da matemática aplicada que envolve técnicas de coleta, interpreta¸cão, organiza¸cão, descri¸cão, s´ıntese, análise e apresenta¸cão de in-forma¸cões.

Os resultados obtidos com estas t´ecnicas (chamadas t´ecnicas estat´ısticas) podem ser utilizados para:

tomar decisões, criar estratégias, identificar padrões e fazer previsões ou proje¸cões

(8)

Podemos aplicar as t´ecnicas estat´ısticas em diversas ´areas de conhecimento. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1:O uso de técnicas estat´ısticas em dados de uma empresa pode conduzir à descoberta de seus problemas e à formula¸cão de poss´ıveis solu¸cões.

Exemplo 2:Laboratórios farmacêuticos usam técnicas estat´ısticas para avaliar um medicamento e então decidir se este medicamento deve ser lan¸cado no mercado.

Exemplo 3:Qualquer pessoa pode usar a estat´ıstica para analisar sua situa¸cão financeira, comparando seus ganhos e gastos. A partir desta análise, estratégias podem ser formuladas com a inten¸cão de alcan¸car objetivos espec´ıficos (comprar um carro, fazer uma viagem, abrir uma empresa).

Exemplo 4:Realizar previsões (ou proje¸cões) é uma das preocupa¸cões de empresas privadas e institui¸cões governamentais. Nas empresas, é necessário prever: vendas, estoques, custos, fluxo de caixa e or¸camento anual do próximo ano, por exemplo. Na administra¸cão pública, temos: a previsão do número de habitantes, da arrecada¸cão e dos custos dos servi¸cos prestados.

(9)

Popula¸c˜ao

A palavra ”popula¸cão”, em sua concep¸cão mais comum, representa o conjunto dos habitantes de um pa´ıs ou de uma dada região. Em estat´ıstica, o termo é usado em um sentido mais amplo. Uma popula¸cão (ou universo) é o conjunto com todos os elementos a serem estudados (elementos de interesse).

A quantidade de elementos de uma popula¸cão pode ser finita ou infinita. Por exemplo: os empregados de uma empresa, as agências de um banco e os bairros de uma cidade são popula¸cões finitas. Já as localiza¸cões em uma linha ferroviária, a altitude de um avião e a profundidade de uma escava¸cão petrol´ıfera são popula¸cões infinitas. Nas situa¸cões mais comuns, lidamos com popula¸cões finitas. Porém, quando uma popula¸cão, embora finita, é muito grande, ela é tratada, na prática, como popula¸cão infinita.

(10)

Censo

Um censo ocorre quando as informa¸cões de interesse são obtidas para todos os elementos da popula¸cão, ou seja, quando é feito um levantamento completo da popula¸cão.

Amostra

Quando a popula¸cão é infinita a realiza¸cão de um censo é imposs´ıvel. Além disso, quando a popula¸cão é finita, mas muito grande, o censo pode ser impraticável devido às limita¸cões de custos, de tempo, de acesso, etc... Nestes casos, examinamos apenas uma parte da popula¸cão, que chamamos de amostra. Assim, podemos dizer que uma amostra é um subconjunto de uma popula¸cão.

Estat´ıstica descritiva

Conjunto de técnicas destinadas a apresentar, descrever, ou resumir informa¸cões, seja de uma amostra ou de uma popula¸cão.

(11)

Probabilidade

Teoria matemática utilizada para atribuir incerteza à fenômenos de carater aleatório.

Inferˆencia

Frequentemente informa¸cões de uma amostra são usadas para fazer algum tipo de conclusão sobre a popula¸cão. As técnicas de generaliza¸cão de uma amostra para a popula¸cão são agrupadas no ramo da estat´ıstica denominado inferência.

(12)

Um dos principais conceitos relacionados à organiza¸cão da informa¸cão é o conceito de variável.

Vari´avel

Uma variável é qualquer caracter´ıstica cujo valor pode mudar de um elemento para outro de uma popula¸cão. Geralmente, variáveis são identificadas por letras maiúsculas. Variáveis são criadas ao agrupar informa¸cões segundo critérios de tipifica¸cão (separa¸cão por tipo).

Por exemplo: após coletar dados dos funcionários de uma empresa, podemos agrupar as informa¸cões sobre idade, salário e grau de instru¸cão. Deste modo, teremos criado três variáveis: ”Idade”, ”Salário”e ”Grau de instru¸cão”.

(13)

As vari´aveis podem ser classificadas como quantitativas ou categ´oricas.

Vari´avel quantitativa

´

E uma variável com valores que só podem ser números (representam contagens ou

mensura¸cões). Algumas variáveis quantitativas são: salário, altura, idade e número de filhos.

Vari´avel categ´orica (ou qualitativa)

´

E uma variável com valores que podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma caracter´ıstica não-numérica. Por exemplo: região de procedência, grau

(14)

Variáveis quantitativas e categóricas estão sujeitas ainda a uma segunda classifica¸cão. Uma variável quantitativa pode ser classificada como discreta ou cont´ınua.

Vari´avel discreta

´

E uma variável com valores obtidos por um processo de contagem. Exemplos: número de filhos, número de séries escolares cursadas com aprova¸cão e número de interna¸cões hospitalares.

Vari´avel cont´ınua

´

E uma vari´avel que assume valores em uma escala de medi¸c˜ao. Exemplos: renda mensal, peso e altura.

(15)

Por outro lado, as vari´aveis categ´oricas podem ser classificadas como ordinais ou nominais.

Vari´avel ordinal

´

E uma variável com valores que podem ser ordenados. Como exemplo de variável ordinal, temos: grau de instru¸cão e categoria da carteira de habilita¸cão.

Vari´avel ´e nominal

´

E uma variável com valores que não podem ser ordenados. Por exemplo: região de procedência e estado civil.

(16)

O diagrama a seguir apresenta as classifica¸c˜oes de uma vari´avel.

2ª

classificação

1ª

classificação

Variável

Quantitativa

Discreta

Contínua

Categórica

Nominal

Ordinal

(17)

Exemplo 5:A tabela abaixo exibe a classifica¸cão de algumas variáveis. Variável 1a_classifica¸_c˜_ao ₂a_classifica¸_c˜_ao Estado civil qualitativa nominal

Grau de instru¸c˜ao qualitativa ordinal

N´umero de filhos quantitativa discreta

Sal´ario quantitativa cont´ınua

Regi˜ao de procedˆencia qualitativa nominal

(18)

Dados

Dados (ou observa¸cões) são os valores observados de uma variável ou de duas ou mais variáveis. Os dados coletados são chamados de dados brutos quando ainda não passaram por qualquer procedimento de classifica¸cão, organiza¸cão ou resumo, ou seja, dados brutos são os dados coletados em sua forma original.

Tabelas e gr´aficos

Tabelas e gráficos são recursos muito utilizados para organizar, sintetizar e apresentar dados. A tabela é um quadro que exibe ou resume um conjunto de observa¸cões. Já os gráficos são formas de apresenta¸cão dos dados, com o objetivo de produzir uma impressão mais rápida e fácil do fenômeno em estudo. Geralmente informa¸cões que constam em uma tabela podem ser exibidas em uma espec´ıfica representa¸cão gráfica ou vice-versa.

(19)

Tabela de frequˆencias

Uma tabela de frequências apresenta o número de observa¸cões de uma variável por cat-egorias ou classes de valores. O número de observa¸cões de cada categoria (ou classe) é chamado de frequência absoluta (ou só frequência).

Uma tabela de frequências pode apresentar, além das frequências absolutas, as frequências relativas, onde

Frequˆencia relativa = Frequˆencia

n´umero de observa¸c˜oes da categoria ou classe de valores.

(20)

Alguns tipos de gr´

aficos:

Gr´

afico de barras (agrupadas ou empilhadas),

Gr´

afico de setores,

Gr´

afico de linha,

Gr´

afico de ´

area,

Gr´

afico de radar ou polar,

Gr´

afico de intervalos,

Gr´

afico de dispers˜

ao,

Pirˆ

amide populacional,

Diagrama de caule e folhas,

Diagrama pontual,

Histograma,

Boxplot.

(21)

Medidas de localiza¸c˜ao

Medidas de localiza¸c˜

ao

(22)

Medidas de localiza¸c˜ao Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜

ao

Na se¸cão anterior, vimos como resumir os dados usando gráficos e tabelas. Nesta se¸cão, veremos algumas medidas usadas para resumir numericamente os dados. Inicialmente, veremos algumas medidas de localiza¸cão e, na próxima se¸cão, veremos algumas medidas de variabilidade. Porém, antes de come¸car a definir estas medidas, vamos introduzir uma nota¸cão conveniente para representar os dados observados. Os dados ou observa¸cões de uma variável serão representados por

x = (x1, x2, ..., xn),

onde x1, x2, ..., xn, representam, respectivamente, a 1aobserva¸c˜ao, a 2aobserva¸c˜ao e assim por diante.

Al´em disso, vamos denotar a menor observa¸c˜ao por x(1), a segunda menor por x(2), e assim por diante. Deste modo, temos

(23)

Medidas de localiza¸c˜ao Ponto m´edio

Ponto m´

edio

O ponto m´edio PM(x ) ´e dado por

PM(x ) =x(1)+ x(n) 2

OBS:O ponto médio é raramente usado, pois é extremamente sens´ıvel aos extremos e desconsidera as demais observa¸cões.

Exemplo 6:Ao longo de 7 dias, foram registradas as temperaturas: 21.8o_{, 20.5}o_,25.3o_{, 23.1}o_{, 28.3}o_{, 26.0}o_{, 29.1}o_. Qual ´e o ponto m´edio destas temperaturas?

Solu¸c˜ao:

PM(x ) =20.5 + 29.1 2 = 24.8.

(24)

Medidas de localiza¸c˜ao M´edia

M´

edia

A média x das observa¸cões é dada por

x = n P i =1 xi n

Exemplo 7:Qual é a média das temperaturas 21.8o_{, 20.5}o_{, 25.3}o_{, 23.1}o_{, 28.3}o_{, 26.0}o_{e 29.1}o_? Solu¸cão:A média é dada por

x = 21.8 o_{+ 20.5}o_{+ 25.3}o_{+ 23.1}o_{+ 28.3}o_{+ 26.0}o_{+ 29.1}o 7 = 174.1o 7 ∼ = 24.87o

(25)

Medidas de localiza¸c˜ao M´edia

OBS:

Pode-se calcular a média sempre? Para dados de uma variável qualitativa não faz sentido calcular a média, mesmo que os dados tenham sido numerados. Por exemplo: para a variável sexo, podemos associar o masculino ao 1 e o feminino ao 2, criando assim observa¸cões numéricas e, mesmo assim, não faz sentido calcular a média destas novas observa¸cões. O mesmo vale para o ponto médio.

´

E importante perceber que, ao resumir ou representar as observa¸cões usando a média, estamos perdendo informa¸cões. De fato, considere dois vetores com seis observa¸cões:

x = {0, 1, 4, 10, 6, 9} e y = {5, 5, 5, 5, 5, 5}. Neste caso, temos que

x = 0 + 1 + 4 + 10 + 6 + 9

6 = 5 e y =

5 + 5 + 4 + 6 + 5 + 5

6 = 5,

ou seja, os dois vetores de valores apresentam médias aritméticas iguais a 5, mas os valores de x são mais dispersos que os de y .

(26)

Medidas de localiza¸c˜ao M´edia ponderada

M´

edia ponderada

Em alguns casos, os valores variam em grau de importˆancia, de modo que podemos querer ponder´a-los apropriadamente.

A média ponderada MP(x ) considera pesos para os valores observados. MP(x ) é dado então por

MP(x ) = n P i =1 wixi n P i =1 wi ,

(27)

Exemplo 8:Suponhamos que as notas de um aluno em 5 avalia¸c˜oes realizadas ao longo de um ano s˜ao:

6, 3, 5, 2, 5, 7.

No entanto, os n´ıveis de dificuldade das provas foram diferentes. Assim, dois grupos de professores atribu´ıram pesos as notas, conforme figura abaixo.

(28)

Calculando a m´edia ponderada com os pesos dados pelo primeiro grupo de professores, temos

MP(x ) = n P i =1 wixi n P i =1 wi =10 · 2 + 8 · 3 + 5 · 5 + 4 · 5 + 2 · 6 + 1 · 7 10 + 8 + 4 + 4 + 2 + 1 = 3.6.

J´a com os pesos do segundo grupo de professores, temos

MP(x ) = n P i =1 wixi n P i =1 wi =1 · 2 + 2 · 3 + 4 · 5 + 5 · 5 + 8 · 6 + 10 · 7 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + 10 = 5.7.

(29)

Estas m´edias foram representadas por pontos vermelhos na figura abaixo.

(30)

Medidas de localiza¸c˜ao Moda

Moda

A moda de um conjunto de dados ´e o valor com maior frequˆencia.

Quando dois valores ocorrem com a mesma maior frequência, cada um é uma moda e o conjunto de dados é chamado de bimodal.

Quando mais de dois valores ocorrem com a mesma maior frequência, cada um é uma moda e o conjunto de dados é chamado de multimodal.

Exemplo 9:Qual a moda dos dados abaixo?

a) 5.40, 1.10, 0.42, 0.73, 0.48, 1.10 b) 27, 27, 27, 55, 55, 55, 88, 88, 99 c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

(31)

Medidas de localiza¸c˜ao Mediana

Mediana

A medianabx é uma medida tal que 50% das observa¸cões são menores ou iguais abx e as outras 50% são maiores ou iguais abx . Em outras palavras, a mediana é a medida do meio quando os dados estão arranjados em ordem crescente (ou decrescente).

Para encontrar a mediana, primeiro ordene os dados e depois siga um dos procedimentos: Se o número de valores for impar, a mediana será o valor localizado no meio exato da lista. Se o número for par, a mediana será encontrada pelo cálculo da média dos dois números centrais.

Na forma de equa¸c˜ao, temos que a mediana ´e dada por

b x =    x(n+1 2 ), se n ´e ´ımpar x (n 2) +x (n 2+1) 2 , se n ´e par

(32)

Medidas de localiza¸c˜ao Mediana

Exemplo 10:Consideremos agora o c´alculo da mediana das medidas de temperatura 21.8o_, 20.5o_{, 25.3}o_{, 23.1}o_{, 28.3}o_{, 26.0}o_{e 29.1}o_{. Ordenando os elementos, teremos}

20.5, 21.8, 23.1, 25.3, 26.0, 28.3, 29.1.

Como o número de observa¸cões é impar, a mediana é o valor do meio, ou seja, b

x = x(7+1

2 ) = x4= 25.3.

Agora, suponhamos que a temperatura 22.4 graus Celsius foi observada no oitavo dia. Ordenando os dados, ter´ıamos

20.5, 21.8, 22.4, 23.1, 25.3, 26.0, 28.3, 29.1. Como o número de observa¸cões é par, a mediana é

b x = x₈ 2 + x₈ 2+1 2 = x4+ x5 2 = 23.1 + 25.3 2 = 24.2.

(33)

Medidas de localiza¸c˜ao Quantil

Quantil

O quantil de ordem p, com 0 < p < 1, é um valor q(p) tal que 100p% das observa¸cões são menores ou iguais a q(p) e as restantes 100(1 − p)% são maiores ou iguais a q(p). Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir das observa¸cões ordenadas.

Existem vários métodos para cálculo de quantis. Um destes métodos define q(p) a partir da equa¸cão q(p) = ( x([np]+1), se np não é inteiro x(np)+x(np+1) 2 , se np é inteiro

(34)

Medidas de variabilidade

(35)

Medidas de variabilidade Introdu¸c˜ao

Introdu¸c˜

ao

Na se¸c˜

ao anterior, vimos alguma medidas que resumem a localiza¸

c˜

ao de

um conjunto de dados. Agora, veremos algumas medidas que resumem a

variabilidade dos dados.

(36)

Medidas de variabilidade Amplitude

Amplitude

(37)

Medidas de variabilidade Desvio m´edio absoluto

Desvio m´

edio absoluto

DMA (x ) =

N

P

i =1

|x

_i

− x|

N

(38)

Medidas de variabilidade Variˆancia

Variˆ

ancia

Var (x ) = N P i =1 (xi− x)2 (N − 1) (1) ou Var (x ) = N N P i =1 x2 i − N P i =1 xi !2 N (N − 1) (2)

(39)

Medidas de variabilidade Desvio padr˜ao

Desvio padr˜

ao

O desvio padrão é igual a raiz quadrada da variância.

DP(x ) =pVar (x ) = v u u u u t N P i =1 (xi− x)2 (N − 1) (3) ou DP(x ) =pVar (x ) = v u u u u t N N P i =1 x2 i − N P i =1 xi !2 N (N − 1) (4)

Interpreta¸cão simples: Para muitos conjuntos de dados, a grande maioria (tal como 95% ) dos valores se localiza a dois desvios padrões da média.

(40)

Medidas de variabilidade Coeficiente de varia¸c˜ao

Coeficiente de varia¸c˜

ao

O coeficiente de varia¸

c˜

ao CV descreve o desvio padr˜

ao relativo `

a m´

edia. ´

E

dado por

CV (x ) =

DP(x )

¯

x

(41)

Medidas de variabilidade Coeficiente de varia¸c˜ao

Exemplo 11:Queremos estudar o número de erros em provas sobre geometria aplicadas à um grupo de alunos do segundo ciclo do ensino fundamental. Para isto escolhemos uma amostra de 50 provas. O número de erros por prova é apresentado na tabela abaixo.

Erros Frequˆencia

0 2

1 10

2 20

3 12

4 6

a) Qual é a média de erros por prova? b) Qual é a mediana dos erros? c) Qual é o desvio padrão dos erros? d) Qual é a variância dos erros?

(42)

Dependˆencia entre observa¸c˜oes pareadas

(43)

Agora estudaremos m´

etodos para associar observa¸c˜

oes pareadas. Os

m´

etodos descritos nesta se¸c˜

ao podem ser aplicados apenas em observa¸

c˜

oes

num´

ericas. Assim, para aplic´

a-los em observa¸

c˜

oes de vari´

aveis qualitativas

devemos numer´

a-las antes.

Suponhamos ent˜

ao o conjunto {(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), ..., (x

n

, y

n

)} de pares de

observa¸c˜

oes num´

ericas. Vamos assumir que x = (x

1

, x

2

, ..., x

n

) ´

e um vetor

de observa¸

c˜

oes da vari´

avel X e que y = (y

1

, y

2

, ..., y

n

) ´

e um vetor de

observa¸

c˜

oes da vari´

avel Y .

(44)

Gr´

afico de dispers˜

ao

Um dispositivo bastante útil para verificar a associa¸cão entre estas variáveis é o gráfico de dispersão.

Exemplo 12:A tabela a seguir exibe o n´umero de anos de servi¸co (X ) e o n´umero de clientes (Y ) dos agentes de uma companhia de seguros.

(45)

Figura:

Exemplo de gr´afico de dispers˜ao.

Parece haver uma associa¸cão direta entre as variáveis anos de servi¸co e número de clientes.

(46)

Exemplo 13:Agora considere os dados abaixo, sendo X a renda bruta mensal e Y a porcentagem da renda gasta em sa´ude.

(47)

Parece haver uma associa¸c˜ao indireta entre as vari´aveis.

(48)

Dependência entre observa¸cões pareadas Método de M´ınimos Quadráticos

M´

etodo de M´ınimos Quadr´

aticos

O objetivo do método de M´ınimos Quadráticos é encontrar uma reta que “corta” o conjunto de observa¸cões pareadas. Ou seja, ao aplicar o método de M´ınimos Quadráticos, a inten¸cão é encontrar uma fun¸cão linear (reta) que expresse as observa¸cões de Y como fun¸cão das observa¸cões de X .

(49)

Neste m´

etodo, a reta ´

e constru´ıda minimizando a soma dos desvios

quadr´

aticos verticais entre cada ponto e a reta.

Suponhamos ent˜

ao uma fun¸

c˜

ao linear f (x ) = αx + β cuja representa¸

c˜

ao

gr´

afica ´

e uma reta. Quando x = x

i

, a altura da reta ´

e dada por αx

i

+ β e

a distˆ

ancia vertical entre o ponto (x

i

, y

i

) e a reta ´

e [y

i

− (αx

i

+ β)]. O

m´

etodo de m´ınimos quadr´

aticos especifica que os valores de α e β devem

ser escolhidos de modo a minimizar

Q =

N

X

i =1

(y

i

− (αx

i

+ β))

2

(50)

As derivadas parciais de Q s˜ao:

∂Q ∂β = −2 N X i =1 (yi− αxi− β) ∂Q ∂α = −2 N X i =1 (yi− αxi− β) xi

Igualando as derivadas a zero, temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes        α N P i =1 xi+ Nβ = N P i =1 yi α N P i =1 x2 i + β N P i =1 xi = N P i =1 yixi

(51)

Considerando as derivadas segundas, pode-se mostrar que as solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes acima minimizam Q. Denotando estes valores por ˆβ e ˆα, temos

ˆ α e ˆβ ˆ α = N P i =1 xiyi ! − Nx · y N P i =1 x2 i ! − Nx2 ˆ β = y − ˆαx

Assim, a equa¸cão da reta obtida pelo método de m´ınimos quadráticos é f (x ) = ˆαx + ˆβ.

Para o exemplo com as variáveis número de anos de servi¸co (X ) e número de clientes (Y ), temos que ˆα = 2.951807, ˆβ = 39.6747 (verifique) e, consequentemente, f (x ) = 2.951807x + 39.6747.

(52)

Dependência entre observa¸cões pareadas Coeficiente de correla¸cão

Coeficiente de correla¸c˜

ao

Sejam x = (x1, x2, ..., xN) observa¸cões de uma variável X e y = (y1, y2, ..., yN) observa¸cões de uma variável Y . Agora, estaremos interessados em quantificar a “associa¸cão linear” entre as observa¸cões destas duas variáveis. Isto é, iremos definir uma medida que avalia o quanto a nuvem de pontos do gráfico de dispersão se aproxima de uma reta.

Por meio de uma transforma¸c˜ao, podemos deslocar a nuvem de pontos para a origem do sistema de coordenadas. Para fazer este deslocamento, basta substituir

cada observa¸c˜ao xi por xi− x

(53)

A figura a seguir ilustra trˆes nuvens de pontos que foram deslocadas para a origem.

Note que no gráfico (a), onde há uma associa¸cão direta, a maioria dos pontos está situada no primeiro ou no terceiro quadrante. Nestes quadrantes, as coordenadas têm o mesmo sinal e, portanto, seu produto será positivo. Somando os produtos das coordenadas, o teremos um número positivo (que indica associa¸cão direta).

No gráfico (b), onde há uma associa¸cão indireta, a maioria dos pontos está situada no segundo ou no quarto quadrante. Nestes quadrantes, as coordenadas têm sinais diferentes e, portanto, seu produto será negativo. Somando os produtos das coordenadas, teremos um número negativo (que indica associa¸cão inversa).

Já no gráfico (c), onde não há associa¸cão, a soma dos produtos das coordenadas será um número próximo de zero (que indica não associa¸cão linear), pois cada resultado positivo tem um resultado negativo simétrico.

(54)

No entanto, a soma do produto das coordenadas ainda não é uma boa medida de associa¸cão, pois é influênciada pela variabilidade de cada variável. Afim de corrigirmos isto, podemos “reduzir” as observa¸cões das duas variáveis à uma mesma variabilidade. Para isto, basta dividir os desvios pelos respectivos desvios padrões, ou seja, tomar

zi = xi− x DP(x ), e wi = yi− y DP(x ), ∀i = 1, 2, ..., N.

Além disso, a soma do produto das coordenadas reduzidas tende a aumentar com o número de pontos e ficaria dif´ıcil comparar esta medida para dois conjuntos de dados com diferentes quantidades de pontos. Por isso, costuma-se usar a média dos produtos dos desvios reduzidos.

O que nos leva à defini¸cão da medida de correla¸cão entre duas variáveis, dada por: corr (x , y ) = 1 N − 1 N X i =1 xi− x DP (x ) yi− y DP (y ) (5)

(55)

Exemplo 14:Consideremos novamente o exemplo que cita o n´umero de anos de servi¸co (X ) e o n´umero de clientes (Y ) dos agentes de uma companhia de seguros.

Todas as etapas do cálculo do coeficiente de correla¸cão estão na tabela abaixo.

(56)

A correla¸

c˜

ao tamb´

em pode ser calculada usando a equa¸

c˜

ao

Cor (x , y ) =

N

P

i =1

x

i

y

i

− Nx · y

s

_N

P

i =1

x

_i2

− Nx

2

_N

P

i =1

y

_i2

− Ny

2

,

(57)

Dependência entre observa¸cões pareadas Covariância

Covariˆ

ancia

A covariˆ

ancia entre as observa¸c˜

oes x = (x

1

, x

2

, ..., x

N

) de uma vari´

avel X e

y = (y

1

, y

2

, ..., y

N

) de uma vari´

avel Y ´

e dada por

Cov (x , y ) =

N

P

i =1

(x

i

− x) (y

i

− y )

N − 1

(58)

Dependência entre variáveis a partir das frequências

(59)

Dependência entre variáveis a partir das frequências Representa¸cões por tabelas

Representa¸c˜

oes por tabelas

Agora, iremos analisar o comportamento conjunto de 2 vari´aveis. Neste caso a representa¸c˜ao dos dados deve ser feita a partir de uma tabela de dupla entrada, como no exemplo abaixo.

Ensino fundamental Ensino M´edio Ensino superior Total

Capital 4 5 2 11

Interior 3 7 2 12

Outra 5 6 2 13

Total 12 18 6 36

Tabela:

Tabela de frequências das variáveis grau de instru¸cão e região de procedência.

(60)

Ao invés de trabalharmos com as frequências absolutas, podemos usar as frequências relativas (propor¸cões). Mas aqui, existem três possibilidades:

em rela¸cão ao total geral, em rela¸cão ao total de cada linha, em rela¸cão ao total de cada coluna.

(61)

(62)

Dependência entre variáveis a partir das frequências Representa¸cões gráficas

Representa¸c˜

oes gr´

aficas

(63)

Dependência entre variáveis a partir das frequências Representa¸cões gráficas

Figura:

Representa¸cão gráfica do grau de instru¸cão por região de procedência

(64)

Dependência entre variáveis a partir das frequências Exemplos

Exemplos

Exemplo sem associa¸cão: Suponhamos que queremos estudar a associa¸cão entre sexo e a carreira escolhida por 200 alunos dos cursos de economia e administra¸cão.

(65)

Como veremos nas figuras a seguir, não há uma dependência entre as variáveis.

Figura:

Representa¸c˜ao gr´afica do curso por sexo.

(66)

Figura:

Representa¸c˜ao gr´afica do sexo por curso.

(67)

Exemplo com associa¸cão: Agora, suponhamos que queremos estudar a associa¸cão entre sexo e a carreira escolhida por 200 alunos dos cursos de f´ısica e ciências sociais.

Figura:

Tabelas de frequˆencias das vari´aveis sexo e curso.

(68)

Como veremos nas figuras a seguir, há uma “dependência” entre as variáveis.

(69)

Figura:

Representa¸c˜ao gr´afica do sexo por curso.

Há uma maior concentra¸cão de homens no curso de f´ısica e uma maior concentra¸cão de mulheres no curso de ciências sociais. Assim, parece haver uma associa¸cão (ou dependência) entre as variáveis sexo e curso.

(70)

(71)

Joaquim Neto Versão 1.0

Introdu¸c˜

ao `

a estat´ıstica

Joaquim Neto

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Vers˜

ao 1.0

Sum´

ario

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Site do Departamento de Estat´ıstica (UFJF)

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Conceitos

2ª

classificação

1ª

classificação

Variável

Quantitativa

Discreta

Contínua

Categórica

Nominal

Ordinal

Alguns tipos de gr´

aficos:

Gr´

afico de barras (agrupadas ou empilhadas),

Gr´

afico de setores,

Gr´

afico de linha,

Gr´

afico de ´

area,

Gr´

afico de radar ou polar,

Gr´

afico de intervalos,

Gr´

afico de dispers˜

ao,

Pirˆ

amide populacional,

Diagrama de caule e folhas,

Diagrama pontual,

Histograma,

Boxplot.

Medidas de localiza¸c˜

ao

Introdu¸c˜

ao

Ponto m´

edio

M´

edia

M´

edia ponderada

Moda

Mediana

Quantil

Introdu¸c˜

ao

Na se¸c˜

ao anterior, vimos alguma medidas que resumem a localiza¸

c˜

ao de

um conjunto de dados. Agora, veremos algumas medidas que resumem a

variabilidade dos dados.

Amplitude

Desvio m´

edio absoluto

DMA (x ) =

P