Matemática. Elementar II Caderno de Atividades

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Matemática

Elementar I

Autor

Leonardo Brodbeck Chaves

Matemática

Elementar I

Caderno de Atividades

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IESDE Brasil S.A.

Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 80730-200 • Curitiba • PR

www.iesde.com.br C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.

Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

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Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.

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Sumário

Contagem | 11

1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11 2. O sistema de numeração decimal | 13

Adição e subtração | 17

1. A adição | 17 2. A subtração | 18

Multiplicação e divisão | 21

1. A multiplicação | 21 2. A divisão | 23

Frações (I) | 25

1. As frações | 25

2. Resolução de problemas com frações | 28 3. Frações próprias e impróprias | 30 4. Simplificação de frações | 31

Frações (II) | 35

1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35

2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37 4. Multiplicação com frações | 40

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Expressões numéricas | 47

1. Introdução | 47

2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47

Geometria (I) | 53

6. Medida do comprimento da circunferência | 62

Geometria (II) | 65

1. Unidade de área | 65 2. Áreas de figuras planas | 66 3. Volumes | 70

Razão e proporção | 75

1. Razão | 75 2. Proporção | 79

3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85

1. Grandezas diretamente proporcionais | 85 2. Grandezas inversamente proporcionais | 88

Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95

1. Proporcionalidade composta | 95 2. Regra de três composta | 97

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Porcentagem e juro | 105

1. Porcentagem | 105 2. Juro | 111

Equações do 1.

o

_{grau | 117}

Equações do 2.

o

_{grau | 125}

1. Noção de equação do 2.o_{grau | 125}

2. Forma geral | 125

3. Solução de uma equação do 2.o_{grau | 127}

4. Resolução de problemas do 2.o_{grau | 137}

5. Problemas que envolvem equações do 2.o_{grau | 138}

Sistemas lineares 2 x 2 | 143

2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144

3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153

Radiciação | 159

1. Introdução | 159 2. Quadrados perfeitos | 160 3. Raiz quadrada | 161

Gráfico e função | 163

1. Plano cartesiano | 163 2. Função afim | 164 3. Função quadrática | 168

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Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.

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Porcentagem e juro

1. Porcentagem

É usual nos cálculos financeiros utilizarmos a porcentagem com taxa. Isso permite que seja feito um cálculo direto, de acréscimos e descontos, sobre determinado valor.

Exemplos:

a) Um assalariado ganha um salário bruto de R$3.200,00. Descontando imposto de renda, contribuições previdenciárias e outras deduções, temos um total de desconto de 40%. Qual é o valor do salário líquido, que é o salário bruto com as deduções?

Salário líquido = salário bruto – deduções S_L = S_B – D S_L = (100% de 3 200) – (40% de 3 200) S_L = 60% de 3 200 S_L= 60 . 3 200 100 S_L = 0,60 . 3 200 = 1 920

Note que o fator de diminuição é 0,6: Usando taxas, bastaria calcular assim: S_L=(100 –40) . 3 200 ⇒ S_L= 60 . 3 200

100 100

S_L = 0,60 . 3 200 = 1 920 Resposta: O salário líquido é de R$1.920,00.

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

106

b) André tinha uma dívida no cartão de crédito de R$450,00. O juro mensal é de 11%. Qual é o total da dívida ao final de um mês?

Montante = capital + juros M = C + j ( . = = = = = M 100% de 450) + (11% de 450) M 111% de 450 111 M 450 100 M 1,11 . 450

Note que o fator de aumento é 1,11. M 499, 50

Resposta: O total da dívida (montante) será de R$499,50.

1. Calcule as porcentagens a seguir: a) 27% de 1 300

27

27% de 1 300 = × 1 300 = 0,27 . 1 300 = 351 100

fator

Vamos calcular rapidamente então?

Situação

Cálculo do fator

Operação

Desconto de 10% 100% – 10% = 90% = 90 =0,90 100 Multiplicar por 0,90 Acréscimo de 3,5% 100% +3,5%=103,5%= 103,5 =1,035 100 Multiplicar por 1,035 Desconto de 2% 100% – 2% = 98% = 98 =0,98 100 Multiplicar por 0,98

Para uma situação geral, temos:

Se um valor V sofre um aumento percentual de uma taxa i, o novo valor é dado por: N = V + i.V = V(1+i), em que 1 + i é o fator de aumento.

Da mesma maneira, se um valor V sofre uma diminuição percentual de uma taxa i, o novo valor N é dado por:

N = V – iV = V(1-i) onde 1 – i é o fator de diminuição. Agora, vamos acompanhar alguns exemplos:

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Porcentagem e juro 107

b) 3,7% de 8 500

= 3,7 =

3,7% de 8 500 . 8 500 0, 037 . 8 500 = 314, 50 100 _fator

2. Com o auxílio de sua calculadora, resolva os seguintes problemas:

a) O senhor Antônio aplicou a quantia de R$250,00 na caderneta de poupança. Qual é o seu saldo depois de 30 dias se naquele mês a aplicação rendeu no total 0,71%?

      N = V + iV N = V (1+ i) 0,71 N = 250 1+ 100 N = 250 (1+ 0,0071) N = 250.1,0071 fator de aumento

N = 251,78

Resposta: O seu saldo é de R$251,78.

b) O preço de um televisor é de R$1.100,00. Se for pago à vista, o desconto é de 8,5%. Se for comprá-lo à vista, qual o valor final?

fator = = = = =











-



-N V + iV N V (1– i) 8, 5 N 1 100 1 100 N 1 100. (1 0, 085) N 1 100 . 0, 915 N = 1 006,50 Resposta: O preço final será R$1.006,50.

(14)

108

3. O senhor Antônio tem o salário de R$800,00 mensais. Ele receberá um aumento de 15%. De quanto será o aumento?

= 15

⋅

= 15% de 800 800 120

100

Resposta: O aumento será de R$120,00.

4. Calcule as porcentagens a seguir: a) 22% de 250 =

⋅

22 250 55 100 Resposta: 55. b) 90% de 22 500 =

⋅

90 22 500 20 250 100 Resposta: 20 250. c) 5% de R$120 ⋅ 5 120 = 6 100 Resposta: R$6.

5. O salário mínimo atual é de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de 15%. Se as reivindicações forem atendidas, qual será o valor do salário?

Dica: para um cálculo rápido, multiplique 360 por 1,15. Assim: 360.1,15 = 414,00.

+ + + + ATUAL S = S aumento 15 S = 360 . 360 100 S = 360 0,15 . 360 S = (1 0,15) . 360 S = 414, 00

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6. Dona Joana está pesquisando o preço de uma roupa que custa R$220,00. Se ela pagar à vista, o desconto é de 8%. Qual será o preço final se ela pagar à vista?

Dica: para um cálculo rápido, multiplique 220 por 0,92. Assim: 220 . 0,92 = 202,40.

FINAL ORIGINAL FINAL FINAL FINAL FINAL P = P – D 8 P = 220 – . 220 100 P = 220 – 0,08 . 220 P = (1 – 0,08) . 220 P = 202, 40

Resposta: O preço com desconto será R$202,40.

Exercícios

Resolva os exercícios que seguem:

1. Calcule as porcentagens a seguir: a) 2% de 530

b) 88% de 1 700

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110

2. Para pagamento a prazo, um calçado que custa R$80,00 terá um acréscimo de 11%. Qual é o valor do acréscimo?

3. O preço de um computador é de R$2.500,00. Se for pago a prazo, o preço sobe 7%. Qual é o preço a prazo?

4. O preço da gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma redução de 3%. Qual o valor do preço final?

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2. Juro

Juro é a remuneração que se paga por um capital emprestado por um certo período de tempo.

2.1 Juro simples

O senhor José precisa de um empréstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a ser pago dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor José pagará de volta à financeira?

Quando fazemos um empréstimo bancário, pagamos juros. No caso do senhor José, ele terá de pagar ao banco o valor do capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular assim: Juros = 500 x 20% x 1

⋅

20

⋅

Juros 500 1 100 Juros 500 0, 20 1 100

=

.

. =

taxa capital numerador de períodos Assim, o senhor José pagará:

Total = 500 + 100 = 600.

Resposta: Ele pagará R$600,00 à financeira. O cálculo do juro pode ser generalizado:

J = C . i . n J = juro

C = capital i = taxa

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112

Vejamos mais alguns exemplos:

a) Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa de 25% durante um período de 3 anos. C = 5 000 25 i 25% 0, 25 100

=

n = 3 j = ? J = C. i. n J = 5 000 . 0,25 . 3 ∴ J = 3 750 Resposta: O juro é de R$3.750,00

b) Qual é o montante resgatado de um capital de R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5% durante 1 ano?

Aqui precisamos definir o que é montante. Montante é o capital aplicado mais o ren-dimento.

Dessa maneira:

Montante = Capital aplicado + rendimento M = C + J M = C + C.i.n M = C (1+ i.n) Voltando ao problema, C = 8 000 5 i 5% 0, 05 100

=

n = 1 ano = 12 meses (repare que o período e a taxa devem estar sempre na mesma base de tempo)

M = 8 000 (1+ 0,05.12) M = 8 000 . 1,6 = 1 280.

(19)

c) Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano, durante 6 meses? M = 88 000 ∴













20

i = 20% ano = ao ano = 0, 20 ano 100

6 1 n = 6 meses ano = ano

12 2 C = ? M = C + C.i.n 1 88 000 = C 1 + 0, 20. 2 88 000 = C (1 + 0,10) 88 000 C = C = 80 000, 00 1,10 Resposta: O capital é de R$80.000,00.

2.2 Juro composto

Quando fazemos uma aplicação em caderneta de poupança, por exemplo, os rendimentos do período de 1 mês são incorporados ao capital.

Acompanhe os montantes (saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais, durante 3 meses.

Início do 1.º mês

Ao final do 1.º mês

Capital inicial Rendimento Montante

R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00

Início do 2.º mês

Ao final do 2.º mês

R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50

Início do 3.º mês

Ao final do 3.º mês

(20)

114

Anteriormente, tivemos o exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto é aquele que no fim de cada período é aplicado ao capital anterior.

Vejamos alguns exemplos:

a) Se as cadernetas pagam rendimento de 0,65% ao mês, calcule, usando uma calculadora, quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses.

:: Primeiro mês:











C 500, 00 0, 65 i 0, 65% = 0, 0065 ao mês 100 n 1 mês

=

M = C (1 + n.i) = 500 (1 . 0,0065) = 500 . 1,0065 = 503,25 :: Segundo mês:









C 503, 25 i 0, 0065 ao mês n 1 mês

=

M = C (1 + n.i) = 503,25 (1 . 0,0065) = 503,25 . 1,0065 = 506,52 :: Terceiro mês:









C 506, 52 i 0, 0065 ao mês n 1 mês

=

M = C (1 + n.i) = 506,52 (1 . 0,0065) = 506,52. 1,0065 = 509,81 Logo o capital rende R$509,81 – R$500,00 = R$9,81

Resposta: O capital rende R$9,81.

b) Determinar o juro recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples, durante um período de 5 anos.

C = 8 750 12 i = 12% ao ano = = 0,12 ao ano 100 n = 5 anos









(21)

j = C.i.n

j= 8 750 . 0,12 . 5 ∴ j = 5 250

Resposta: O juro simples é de R$5.250,00.

c) Qual é o montante resgatado de um capital de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros simples, durante 2 anos?

C 2 200

=











1,5 i 1,5% ao ano 0,015 ao mês 100 n 2 anos 24 meses

=

M = C (1 + i.n) M = 2 200 (1+ 0,015 . 24) M = 2 200 . 1,36 ∴ M = 2 992 Resposta: O montante é R$2.992,00.

d) Suponha que as cadernetas de poupança rendam 0,63% ao mês. Simule uma aplicação de um capital de R$1.000,00 por três meses.

Início do 1.º mês

Ao final do 1.º mês

R$1.000,00 1 000 . 0,0063 . 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30

Início do 2.º mês

Ao final do 2.º mês

R$1.006,30 1 006,30 . 0,0063 . 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64

Início do 3.º mês

Ao final do 3.º mês

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116

Exercícios

Resolva os exercícios que seguem:

5. Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00 com taxa de 8% ao ano, durante 4 anos, no regime de juros simples.

6. Qual é o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado a uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros simples, durante 6 anos?

7. Faça a simulação de uma aplicação em fundos de um capital de R$8.000,00 com taxa de 1,5% ao mês, durante 4 meses.

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Gabarito

Porcentagem e juro

1. a) 10,60 b) 1 496 c) R$1.350,00 2. R$8,80 3. R$2.675,00 4. R$2,42 5. R$294,40 6. R$51.600,00 7. R$8.490,90

Gabarito

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