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Matemática Unidade I Álgebra Série 14 - Progressão aritmética. a 2 = 2 + a 1 = 3 a 3 = 3 + a 2 = 6 a 4 = 4 + a 3 = 10 a 5 = 5 + a 4 = 15.

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Academic year: 2021

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(1)

1 • a2= 2 + a1= 3 • a3= 3 + a2= 6 • a4= 4 + a3= 10 • a5= 5 + a4= 15 Resposta: C

(2)

2 • a3= a2+ a1= 2

• a4= a3+ a2= 3

• a5= a4+ a3= 5

(3)

3

O que Ronaldo percebeu é que a soma dos elementos da linha é dado por an= n2, veja: • a1= 1 • a2= 4 = 22 • a3= 9 = 32 Assim: a9= 92= 81 Resposta: D

(4)

4 • a3 = a1 – a2 • a4 = a2 – a3 Como a1 = 26 e a2 = 14, • a3 = 26 – 14 = 12 • a4 = 14 – 12 = 2 • a5 = a3 – a4 = 12 – 2 = 10 • a6 = a4 – a5 = 2 – 10 = –8

O sexto termo é o primeiro termo negativo

(5)

5

Como se trata de uma P.A., temos:

2 ⋅ (m + 1) = 3m + 5 ⇒ m =−3

Assim, a P.A. (−9, −2, 5) tem razão igual a 7 Resposta: C

(6)

6

Como se trata de uma P.A., temos:

2(4x) = (2x + 2) + (2x2+ 2) ⇒ 2x2− 6x + 4 = 0 x2− 3x + 2 = 0 ∴ x = 2 ou x = 1

• Se x = 1, temos os seguintes valores: 4, 4 e 4. Mas, como a razão deve ser não nula, então não convém.

• Se x = 2, temos os seguintes valores 6, 8 e 10.

Portanto, os três estudantes juntos reservaram um total de 24 livros.

(7)

7

Seja an o número de passagens vendidas no mês n, em que n = 1

representa janeiro, n = 2 representa fevereiro, e assim por diante. Note que a razão da P.A., é 1500.

Assim, em julho, foram vendidas:

a7= a1+ 6r = 33 000 + 6 · 1 500 = 42 000

(8)

8

Do enunciado, r = 15 e a10 = 595.

a10 = a1+ 9r ⇒ 595 = a1+ 9 ⋅ 15 ⇒ 460 = a1

(9)

9

Da figura temos a seguinte P.A. (4, 7, 10, ...)

Como Q é a quantidade de quadrados e C a quantidade de canudos, temos, pela expressão do tempo geral da P.A.:

C = 4 + (Q − 1) · 3 C = 3Q + 1 Resposta: B

(10)

10

Como foram interpoladas 7 meios aritméticos entre 10 e 98, temos: a1= 10 e a9= 98.

Como se trata de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética dos termos que equidistam dos extremos, isto é:

+ + = 1 9 = = 5 a a 10 98 a 54 2 2 Resposta: C

(11)

11 1 5 1 1 1 2 3 1 1 1 a a 9 a (a 4r) 9 2a 4r 9 (I) a a 8 (a r) (a 2r) 8 2a 3r 8 (II) + = + + = + =    ⇒ ⇒    + =  + + + =  + = 

Subtraindo (II) de (I), obtemos:

r =1 ∴ a1 5 2 = Portanto: = + = + = 10 1 5 23 a a 9r 9 2 2 Resposta: B

(12)

12 Do enunciado: (5, 7, 9, ..., a15, ...) → P.A. r = 7 – 5 =2 • a1 = 5 • a15 = a1 + 14r a15 = 5 + 14 ⋅ 2 a15 = 33

Assim, no décimo quinto dia, serão soltos 33 pássaros.

(13)

13 Do enunciado: • a1= 46 • r = 6 • an= 136 Assim: an= a1+ (n − 1) · r ⇒ 136 = 46 + (n − 1) ⋅ 6 ⇒ n = 16

Portanto, passaram-se 16 sábados, sem contar o da inauguração, para atingir a cota máxima da pizzaria.

(14)

14 (600, 597, 594, ..., a100) r = 597 – 600 = –3 a100 = 600 + 99 ⋅ (–3) a100 = 600 – 297 = 303 Resposta: C

Observação: Desconsidere os valores as prestações, dadas no enunciado desta questão, no Caderno de Exercícios, e considere o seguinte:

14. (...) A primeira prestação é de R$ 600,00; a segunda é de R$ 597,00; a terceira é de R$ 594,00; a quarta é de R$ 591,00; e as demais obedecerão ao mesmo critério de cálculo. (...)

(15)

15

a1= 3, r = 0,3 e an= 27

Assim:

an= a1+ (n − 1) · r ⇒ 27 = 3 + (n − 1) · 0,3 ⇒ n = 81

Sabemos então que, 81 dias após o domingo mencionado, a planta atingirá 27 cm.

Como os dias da semana têm um ciclo de 7 dias e a divisão de 81 por 7 dá resto 4, a planta atingirá a altura de 27 cm no 4º dia a partir de domingo, isto é, na quarta-feira.

(16)

16

Primeiro múltiplo (a1) é 25, o último múltiplo (an) é 1 875, e r = 5. Assim,

temos:

an= a1+ (n − 1) · r ⇒ 1 875 = 25 + (n − 1) · 5 ⇒ n = 371

(17)

17 • Sobre os múltiplos de 7: Primeiro múltiplo: a1= 21 Último múltiplo: an= 994 Com r = 7, vem: an= a1+ (n − 1) · r ⇒ 994 = 21 + (n − 1) · 7r ⇒ n = 140 • Sobre os múltiplos de 3: Primeiro múltiplo: b1= 102 Último múltiplo: bn= 399 Com r = 3, vem: bn= b1+ (n − 1) ⋅ r ⇒ 399 = 102 + (n − 1) ⋅ 3r ⇒ n = 100

A soma dos valores é 140 + 100 = 240. Resposta: B

(18)

18

Seja a P.A. (x − r, x, x + r). Do enunciado:

x − r + x + x + r = 15 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 Assim, os termos da P.A. são (5 − r, 5, 5 + r). Também do enunciado, temos:

(5 − r)2+ 52+ (5 + r)2= 107 ⇒ 75 + 2r2= 107 ⇒ r =±4 Como a P.A. é crescente, temos r = 4.

Logo, a P.A. é (1, 5, 9).

(19)

19

Sejam os lados dos triângulos (x − r, x, x + r). Pelo Teorema de Pitágoras:

(x + r)2= x2+ (x − r)2 ⇒ 4 ⋅ x ⋅ r = x2 ⇒ x = 4r Assim, os lados do triângulo são (3r, 4r, 5r).

Dado que o menor lado mede 6, temos:

3r = 6 ⇒ r = 2

Portanto, os lados do triângulo são (6, 8, 10) e a sua área é obtida por: ⋅ =

6 8 24 2

(20)

20 • Primeira progressão: a1= 2, r = 7, an= k an= a1+ (n − 1) · r ⇒ k = 2 + (n − 1) · 7r ⇒ k = 7n − 5 (I) • Segunda progressão: b1= 382, r =−12, bn= k bn= b1+ (n − 1) · r ⇒ k = 382 + (n − 1) · (−12)r ⇒ ⇒ k = 394 12n (II) Igualando (I) e (II):

394 − 12n = 7n − 5r ⇒ 19n = 399r ⇒ n = 21 Substituindo em (I)

k = 7 · 21 5 = 142 Resposta: D

(21)

21 • Daqui a n meses a doação da empresa A será dada por:

an= 12 000 + (n − 1) · (−600)r ⇒ an= 12 600 − 600n

Daqui a n meses a doação da empresa B será dada por: bn= 300 + (n − 1) · (300)r ⇒ bn= 300n

O depósito da empresa A será igual ao de B quando an= bn, isto é:

12 600 − 600n = 300nr ⇒ 12 600 = 900nr ⇒ n = 14

Ou seja, daqui a 14 meses, as doações de ambas as empresas serão iguais.

Como n = 1 representa o mês de janeiro de 2 010, n = 14 representa o segundo mês do ano subsequente, isto é, fevereiro de 2011.

(22)

22 • 1a camada cinza: 4 ladrilhos

• 2a camada cinza: 20 ladrilhos • 3a camada cinza: 36 ladrilhos

Assim:

(4, 20, 36, ...) → P.A. r = 20 – 4 = 16

a10 = 4 + 9 ⋅ 16

a10 = 148

A 10a camada cinza possui 148 ladrilhos.

(23)

23

(cos 15º, cos a, cos 75º) → P.A. cos a – cos 15º = cos 75º – cos a 2 cos a = cos 15º + cos 75º

2 cos a = cos(45º – 30º) + cos (45º + 30º)

2 cos a=cos 45º cos 30º+ sen 45º sen 30º +cos 45º cos 30º− sen 45º sen 30º 2 cos a= 2 cos 45º cos 30º

2 3 cos a 2 2 = ⋅ 6 cos a 4 = Resposta: D

(24)

24

(3, x, cos θ) → P.A. x – 3 = cos θ – x 2x – 3 = cos θ

Como –1 ≤ cos θ≤ 1 e cos θ = 2x – 3, temos: –1 ≤ 2x – 3 ≤ 1 –1 + 3 ≤ 2x ≤ 1 + 3 2 ≤ 2x ≤ 4 2 4 x 2 ≤ ≤ 2 1 ≤ x ≤ 2 Resposta: D

(25)

25 a1= 3 · 1 + 2 = 5 a20 = 3 · 20 + 2 = 62

(

+

)

(

)

= 1 20 = + ⋅ = 20 a a 20 S 5 62 10 670 2 Resposta: E

(26)

26 a1= 1, a2= 3, a3= 5, r = 2 Assim: a20 = a1+ 19r ⇒ a20= 1 + 19 · 2 ⇒ a20 = 39

(

+

)

(

)

= 1 20 = + ⋅ = 20 a a 20 S 1 39 10 400 2 Resposta: A

(27)

27 a1= 1, r = 2 Daí: a1 000= a1+ 999r

a1 000= 1 + 999 · 2 = 1 999

(

1 1 000

)

(

)

1000 a a 1 000 S 1 1 999 500 1 000 000 2 + ⋅ = = + ⋅ = Resposta: A

(28)

28

Sejam Tn os números triangulares. Assim:

• T1= 1

• T2= 1 + 2 = 3

• T3= 1 + 2 + 3 = 6

• T4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10

• T5= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Observe que Tn é a soma dos n primeiros termos de uma P.A. de a1= 1 e

r = 1; portanto Tn= Sn.

(

1 20

)

(

)

20 20 a a 20 T S 1 20 10 210 2 + ⋅ = = = + ⋅ = Resposta: D

(29)

29

Seja a1 a receita no mês de janeiro, a2 a no mês de fevereiro, e assim por

diante.

Do enunciado, temos a1 = 1 250 000,00 e que se te trata de uma P.A. de

razão 40000,00.

Assim, em dezembro a receita será:

a12 = a1+ 11 · r

a12= 1 250 000 + 11 · 40 000 = 1 690 000

No final do ano, será obtida uma receita de:

(

1 12

)

(

)

12 a a 12 S 1 250 000 1 690 000 6 17 64 0 000 2 + ⋅ = = + ⋅ = Resposta: E

(30)

30 Temos, a1= 5 e S20= 480. Assim: • S20

(

a1 a20

)

20 480

(

5 a20

)

10 a20 43 2 + ⋅ = ∴ = + ⋅ ∴ = • a20= a1+ 19r ⇒ 43 = 5 + 19r ⇒ r = 2 • a10= a1+ 9r ⇒ a10= 5 + 9 · 2 = 23 Resposta: D

(31)

31

Seja an o juro pago na prestação de ordem n, isto é, a1 é o juro pago na

primeira prestação. Assim, a1= 2 000,00, r =−20,00. • a100= a1+ 99r ⇒ a100= 2 000 + 99(−20) ⇒ a100= 20 • S100 =

(

a1+a100

)

⋅100 =

(

2 000+20

)

⋅50=101 000 2 Resposta: B

(32)

32

Seja an a importância arrecadada no dia n. Assim, a1= 120 e r = 40, logo:

• an= a1+ (n − 1) · r ⇒ an= 120 + 40n − 40r ⇒ an= 80 + 40n

(

1 n

)

(

)

n 2 a a n 120 80 40n n S 10 000 2 2 20n 100n 10 000 0 + ⋅ + + = ⇒ = ⇒ ⇒ + = i

Daí: n = 20 ou n =−25 (não convém)

Assim, o montante da arrecadação atingiu 10 milhões de reais no 20º dia.

(33)

33

Do enunciado, Sp = p · (p – 2).

Como a11 = S11 – S10, temos:

a11 = 11 ⋅ 9 – 10 · 8 = 19

Resposta: C

Observação: Desconsidere o gabarito dado para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a resposta acima.

(34)

34

Sabe-se que Sn= 3n2+ 2 a soma dos n primeiros termos, que a soma dos

oito primeiros é dado por S8 e que a soma dos sete primeiros é por S7.

Então, a diferença S8− S7 é o próprio oitavo termo:

a8= S8−S7= (3 · 82+ 2) − (3 · 72+ 2) = 194 – 149 = 45

(35)

35

Em um P.A., a soma dos termos que equidistam dos extremos é constante, isto é: a1+ a10= a2+ a9= a3+ a8= .... Do enunciado, temos:

(

1 10

)

(

)

10 1 10 1 10 3 8 a a 10 S 500 a a 5 a a 100 2 a a 100 + ⋅ = ⇒ = + + = ⇒ ⇒ + = Resposta: B

(36)

36

Em uma P.A., a média aritmética dos termos que equidistam dos extremos é o termo do meio, isto é:

+ = + = = 1 15 2 14 8 a a a a ... a 2 2 Do enunciado, temos:

(

1 15

)

(

1 15

)

1 15 15 8 a a 15 a a 15 a a S 150 10 2 2 2 a 10 + ⋅ + ⋅ + = ⇒ == ⇒ ⇒ = Resposta: A

(37)

37 ( 5 15) n 15 2 − + ⋅ = ⇒ 30 = 10 ⋅ n ⇒ n = 3 Ainda: an = a1 + (n – 1) ⋅ r a1 = –5 an = 15 n = 3. Daí: 15 = –5 + (3 – 1) ⋅ r r = 10 Portanto: r ⋅ r = 10 ⋅ 3 = 30 r ⋅ n = 30 Resposta: D

Observação: Desconsidere o gabarito dado para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a resposta acima.

(38)

38 21 a 6 000 r 100 =   =  • a21 = a1 + 20r 6 000 = a1 + 20 ⋅ 100 a1 = 4 000 • S21 (a1 a ) 2121 2 + ⋅ = 21 (4 000 6 000) 21 S 2 + ⋅ = S21 = 105 000 m Resposta: B

(39)

39 100 k 1 (2k 5) (2 1 5) (2 2 5) (2 3 5) ... (2 100 5) = + = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ +

100 k 1 (7 205) 100 7 9 11 ... 205 10 600 2 = + ⋅ = + + + + = =

Resposta: C

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