Introdução aos Métodos Numéricos

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Introdução aos Métodos

Numéricos

Instituto de Computação UFF

Departamento de Ciência da Computação

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Conteúdo da disciplina

● Erros em Aproximações Numéricas

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos

● Interpolação

● Ajuste de Curvas

● Zeros de Função

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos

● Integração Numérica

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Conteúdo específico

● Limitação na representação numérica

● Mudança de base numérica

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Limitação de

representação numérica

Computadores usam representação limitada de números sejam inteiros, reais ou complexos

Seria necessário uma memória infinita para representar

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Limitação de

representação numérica

● Computadores usam representação limitada:

● “inteiros“ : 2 Baites (-32 768 − 32 767)

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Limitação de

representação numérica

● Computadores usam representação limitada:

● “reais“ (ponto flutuante):

4 Baites − 7 algarismos significativos (base 10) 8 Baites − 15 algarismos significativos (base 10)

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Calculando com precisão

limitada

Denominaremos Ruido Numérico aos valores gerados na computação de números de ponto flutuante e que tem como fonte os cálculos oriundos de usarmos precisão finita

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Calculando com precisão

limitada

A=~A +δ A ; A , δ A ∈ℜ ;~A Ponto Flutuante B=~B+δ B ; B , δ B∈ℜ;~B Ponto Flutuante

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Calculando com precisão

limitada

● Todo sistema de cálculo numérico tem precisão limitada

● Para facilitar o entendimento, trabalharemos com um

dispositivo de cálculo que representa 5 algarismos significativos

● Usaremos o formato onde 123 são os algarismos

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Soma

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Soma

A +B=~A +δ A +~B+δ B=~A +~B+δ A+δ b A=3,1435 x 101; B=4,2356 x 10−2

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Soma

A +B=~A +δ A +~B+δ B=~A +~B+δ A+δ b

A=3,1435 x 101; B=4,2356 x 10−2

31,435|0+0,042|356=31,477|356

Observe que se B fosse, por exemplo, cem vezes menor seria como se ele fosse zero. Toda informação de B seria perdida.

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Soma

Quanto maior for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico na soma.

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Subtração

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Subtração

Por oposição, veja que se dois números forem muito próximos mas sua representação for idêntica, podemos ter como

resultado da subtração um valor representando zero para um valor que não é zero.

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Subtração

Quanto menor for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico

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Multiplicação

(18)

Multiplicação

A×B=

(

~A+δ A

)

×

(

δ B+~B

)

=~A×~B+~A δ b+~B δ A

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Multiplicação

A×B=

(

~A+δ A

)

×

(

δ B+~B

)

=~A×~B+~A δ b+~B δ A

A=3,1435 x 101; B=4,2356 x 10−2

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Multiplicação

Quanto maior for a diferença de magnitude entre os números, maior será o ruido numérico

(21)

Divisão

A B = ~_{A +δ A} ~_{B+δ B} = ~_A/~_{B+δ A /~}_B 1+δ B /~B ;~B≠0

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Divisão

A B = ~_{A +δ A} ~_{B+δ B} = ~_A/~_{B+δ A /~}_B 1+δ B /~B ;~B≠0 SérieGeométrica : 1 1+r =1−r +r 2 −r3+⋯;|r|<1

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Divisão

A B = ~_{A +δ A} ~_{B+δ B} = ~_A/~_{B+δ A /~}_B 1+δ B /~B ;~B≠0 SérieGeométrica : 1 1+r =1−r +r 2 −r3+⋯;|r|<1 ~_{A /~}_{B+δ A /~}_B 1+δ B/~B =

(

~_A ~_B + δ~_BA

)

×_{1+δ B/~}1 _B =

(

~_A ~_B + δ~_BA

)

×

[

1−δ~_BB +

(

δ~_BB

)

2 +⋯

]

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Divisão

A B = ~_A ~_B + δ~_BA − ~_A ~_B δ~_BB −δ~_BA δ~_BB +⋯

Repare que se B for “pequeno“ em relação a A, a representação de B ao quadrado no segundo termo, por exemplo, fará a representação de A ser amplificada, levando a perder algarismos

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Divisão

Quanto menor for o valor do divisor em relação ao

dividendo, maior será o ruido numérico

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Mudança de base

numérica

Números que não são dízima periódica em decimal podem o ser em binário:

0,1₁₀ e 0,01₁₀ são dízimas periódicas na base 2 usada pelos

computadores, ou seja,

Portanto, 100 X 0,01 pode ser diferente de 1...

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Mudança de base

numérica

● Faça um programa em sua linguagem favorita somando 0,01

10

100 vezes e veja o resultado

● Use a função rationalize() do Maxima para ver qual é a

representação como números racionais para os números 0,1₁₀

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Problemas mal

condicionados

Um problema é dito malcondicionado se mudança em seus parâmetros produz uma mudança numa ordem de grandeza superior à mudança original

(29)

Um exemplo simples

x2−2 x +1=0 1,01 x2−2 x+1=0 0,99 x2−2 x +1=0

(30)

Um exemplo simples

a x2+bx+c=0 ; x=−b±

√

b

2

−4 a c 2 a

(31)

Um exemplo simples

x2−2 x +1=0 ; x=2±

√

4−4

(32)

Um exemplo simples

1,01 x2−2 x+1=0; x=2±

√

4−4,04 2,02 =

1±0,1i 1,01

(33)

Um exemplo simples

0,99 x2−2 x +1=0 ; x=2±

√

4−3,96 1,98 =

1±0,1

(34)

Problemas mal

condicionados

A natureza do problema (raiz dupla, raizes complexas

conjugadas, raizes reais distintas) muda radicalmente com a variação que fizemos no coeficiente de segundo grau da

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Problemas mal

condicionados

A natureza do problema (raiz dupla, raizes complexas

conjugadas, raizes reais distintas) muda radicalmente com a variação que fizemos no coeficiente de segundo grau da

equação

De fato haveria, neste caso específico, a mesma mudança de natureza do problema para qualquer pequena variação no

(36)

Mais um exemplo simples

(

9 1

(37)

Mais um exemplo simples

(

9 1

62,5 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

10 −89

)

(38)

Mais um exemplo simples

(

9 1 62,5 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

10 −89

)

(

9 1 62,6 7

)

⃗x=

(

12

)

(39)

Mais um exemplo simples

(

9 1 62,5 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

10 −89

)

(

9 1 62,6 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

12,5 −111,5

)

(40)

Mais um exemplo simples

(

9 1 62,5 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

10 −89

)

(

9 1 62,6 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

12,5 −111,5

)

(

9,01 1 62,5 7

)

⃗x=

(

12

)

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Mais um exemplo simples

(

9 1 62,5 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

10 −89

)

(

9 1 62,6 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x=

(

12,5 −111,5

)

(

9,01 1 62,5 7

)

⃗x=

(

12

)

⃗x≈

(

8,771929 −78,035087

)

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Problemas mal

condicionados

Aqui temos novamente que uma pequena variação nos

parâmetros do problema gera uma mudança muito maior na solução deste sistema

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Problemas mal

condicionados

Problemas que envolvem:

● Sistemas de Equações Lineares

● Sistemas de Equações Não-lineares

● Equações Diferenciais

● Integração Numérica

● Cálculo de funções

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Problemas mal

condicionados