Física Teórica I
Caderno de Exercícios (aula 6):
Dicas
Técnica essencial para resolução dos problemas de dinâmica: 1. Isolar os corpos relevantes.
2. Desenhar em cada corpo, “livre” de sua vizinhança, todas as forças que atuam sobre ele e aplicar a Segunda lei de Newton.
3. Lembre-se: forças do par ação e reação atuam sobre corpos distintos.
Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008 .v.1. Capítulo 6, pag. 109. (Adaptado).
1. Os blocos A e B pesam 44 N e 22 N, respectivamente. O peso mínimo do bloco C para impedir o movimento do bloco A (sendo μA-e = 0,20) é:
Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008 .v.1. Capítulo 6, pag. 109. (Adaptado).
2
2. O bloco B pesa 711 N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a mesa é de 0,25; suponha que o cabo entre B e o nó seja horizontal. O peso máximo do bloco A, para que o sistema fique em repouso, é:
3. (PUC-SP) Um bloco de borracha de massa 5,0 kg está em repouso sobre uma superfície plana e horizontal. O gráfico representa como varia a força de atrito sobre o bloco quando sobre ele atua uma força F de intensidade variável paralela à superfície.
O coeficiente de atrito estático entre a borracha e a superfície, e a
aceleração adquirida pelo bloco quando a intensidade da força atinge 30N são, respectivamente, iguais à:
a) 0,3; 4,0 m/s2 b) 0,2; 6,0 m/s2 c) 0,3; 6,0 m/s2 d) 0,5; 4,0 m/s2 e) 0,2; 3,0 m/s2
4. (PUC-RJ) Uma caixa cuja velocidade inicial é de 10 m/s leva 5 s deslizando sobre uma superfície horizontal até parar completamente.
Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, determine o coeficiente de atrito cinético que atua entre a superfície e a caixa.
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
5. (UFRRJ - RJ) Dois carros de corrida são projetados de forma a aumentar o atrito entre os pneus e a pista. Os projetos são idênticos, exceto que num deles os pneus são mais largos e no outro há um aerofólio. Nessas condições podemos dizer que
a) em ambos os projetos, o atrito será aumentado em relação ao projeto original.
b) em ambos os projetos, o atrito será diminuído em relação ao projeto original.
c) o atrito será maior no carro com aerofólio.
d) o atrito será maior no carro com pneus mais largos. e) nenhum dos projetos alterará o atrito.
6. (MACKENZIE-SP-09) Um bloco A, de massa 6 kg, está preso a outro B, de massa 4 kg, por meio de uma mola ideal de constante elástica 800 N/m. Os blocos estão apoiados sobre uma superfície horizontal e se movimentam devido à ação da força horizontal, de intensidade 60 N. Sendo o coeficiente de atrito cinético entre as superfícies em contato igual a 0,4, a distensão da mola é de: Dado: g = 10m/s2
4 a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm
7. (UNESP-SP-011) As figuras 1 e 2 representam dois esquemas experimentais utilizados para a determinação do coeficiente de atrito estático entre um bloco B e uma tábua plana, horizontal.
No esquema da figura 1, um aluno exerceu uma força horizontal no fio A e mediu o valor 2,0 cm para a deformação da mola, quando a força atingiu seu máximo valor possível, imediatamente antes que o bloco B se movesse. Para determinar a massa do bloco B, este foi suspenso verticalmente, com o fio A fixo no teto, conforme indicado na figura 2, e o aluno mediu a deformação da mola igual a 10,0 cm, quando o sistema estava em equilíbrio. Nas condições descritas, desprezando a resistência do ar, o coeficiente de atrito entre o bloco e a tábua vale:
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4
e) 0,5
8. (PUC-RS-012) Freios com sistema antibloqueio (ABS) são eficientes em frenagens bruscas porque evitam que as rodas sejam bloqueadas e que os pneus deslizem no pavimento. Essa eficiência decorre do fato de que a força de atrito que o pavimento exerce sobre as rodas é máxima quando
a) os pneus estão deslizando, porque o atrito cinético é maior que o estático máximo.
b) os pneus estão na iminência de deslizar, porque o atrito estático máximo é maior que o cinético.
c) o carro está parado, porque o atrito estático é sempre máximo nessa situação.
d) a velocidade do carro é constante, porque o atrito cinético é constante. e) a velocidade do carro começa a diminuir, porque nessa situação o atrito cinético está aumentando.
9. (PUC-RJ) Um carro de massa m = 1000 kg realiza uma curva de raio R = 20 m com uma velocidade angular ω = 10 rad/s.
A força centrípeta atuando no carro em newtons vale: a) 2,0 x 106
b) 3,0 x 106 c) 4,0 x 106 d) 2,0 x 105 e) 4,0 x 105
6
10. (PUC-SP) Um automóvel percorre uma curva circular e horizontal de raio 50 m a 54 km/h. Adote g = 10 m/s2. O mínimo coeficiente de atrito estático entre o asfalto e os pneus que permite a esse automóvel fazer a curva sem derrapar é a) 0,25 b) 0,27 c) 0,45 d) 0,50 e) 0,54
11. (CESUPA-PA) Um corpo de massa 500 g gira num plano horizontal em torno de um ponto fixo, preso à extremidade de um fio de 1 m de comprimento e massa desprezível.
(Considere π2 = 10).
Se o corpo efetua 60 voltas completas a cada meio minuto, então a força de tração exercida pelo fio, em newtons, é:
a) 10 b) 80 c) 30 d) 160 e) 50
12. (UFPR-PR-010) Convidado para substituir Felipe Massa, acidentado nos treinos para o grande prêmio da Hungria, o piloto alemão Michael Schumacker desistiu após a realização de alguns treinos, alegando que seu pescoço doía, como consequência de um acidente sofrido alguns meses antes, e que a dor estava sendo intensificada pelos treinos. A razão disso é que, ao realizar uma
curva, o piloto deve exercer uma força sobre a sua cabeça, procurando mantê-la alinhada com a vertical.
Considerando que a massa da cabeça de um piloto mais o capacete seja de 6,0 kg e que o carro esteja fazendo uma curva de raio igual a 72 m a uma velocidade de 216 km/h, assinale a alternativa correta para a massa que, sujeita à aceleração da gravidade, dá uma força de mesmo módulo.
a) 20 kg b) 30 kg c) 40 kg d) 50 kg e) 60 kg
8
Resoluções:
Resoluções:1. Vamos isolar os corpos e aplicar as forças que atuam sobre cada um deles. Como o objetivo é encontrar o valor do peso do bloco C para que o sistema permaneça em repouso, podemos considerar o conjunto corpo C + corpo A como um único corpo.
Fat_e PA + PC
Se o conjunto A + C está em repouso, a força e atrito entre o bloco A e a mesa é a força de atrito estática.
O sistema está em equilíbrio, portanto, pela Primeira Lei de Newton a FR agindo sobre cada corpo deve ser zero.
Vamos escrever a Primeira Lei de Newton para cada corpo. Corpo A + Corpo C
Eixo y: Sentido positivo - de baixo para cima. NC + NA - PA - PC = 0
NC + NA = PA + PC (1)
Eixo x: Sentido positivo - da esquerda para a direita. T - Fat_e = 0
Fat_e = T (2) Corpo B
Eixo y: Sentido positivo - de baixo para cima. T – PB = 0
T = PB (3)
Sabemos os valores de PA = 44 N, PB = 22 N e μA-e = 0,20. Substituindo-os nas equações:
Da (3): T = PB = 22 N
1 0 (NA + NC) = 22/0,20 = 110 N Da (1): NC + NA = PA + PC 110 = PA + PC, substituindo PA: 110 = 44 + PC PC = 110 – 44 = 66 N
2. Vamos isolar os corpos e aplicar as forças que atuam sobre cada um deles. O objetivo é encontrar o peso máximo do bloco A para que o sistema fique em repouso, portanto, pela Primeira Lei de Newton a FR agindo sobre cada corpo deve ser zero.
Vamos escrever a Primeira Lei de Newton para cada corpo. Bloco A:
TA – PA = 0 (condição de repouso) TA = PA (1)
3. Para calcular o μe, vamos usar a Fat-e máxima e a fórmula para o calculo de Fat = μ N
Não há movimento na vertical, então, pela Primeira Lei de Newton temos que a força resultante é igual à zero.
Na vertical, temos duas forças agindo sobre o bloco: Peso e Normal. Como elas atuam em sentido contrário, temos que:
FR = 0
N = P
Sabemos que: P = m .g
Considerando g = 10 m/s2, P = 5 . 10 = 50 N Então, como N = P = 50 N.
Fat-e = μe N, usando Fat-e máximo, temos: 15 = μe 50
μe = 15/50 = 0,3
Pelo gráfico observamos que quando F = 15N, a força de atrito estático é máxima e vale Fat-e =15N.
Qualquer força acima desse valor coloca o bloco em movimento. Então, com uma F = 30N, o bloco está em movimento e o Fat a ser considerado é cinético.
Vamos calcular primeiro a aceleração do bloco quando F = 30 N. Para F = 30 N, pelo gráfico, temos que o valor da Fat_c =10N. Pela segunda Lei de Newton:
FR = m. a
O movimento do bloco dá-se paralelemente a superfície de deslizamento, assim, a FR será a soma dos vetores F e Fat_c.
Em módulo: F - Fat_c = m . a 30 – 10 = 5.a 20 = 5 . a a = 20/5 a = 4m/s2 Resposta: a)
4. A única força que age sobre a caixa, na direção do movimento é a força de atrito cinético, logo, ela é a força resultante, freando a caixa até parar. Para calcularmos a Fat-c, temos que calcular, primeiro, a aceleração com que a caixa freia, pois:
1 2
FR = m . a
- Fat-c = m . a (a força de atrito é contrária ao movimento) O problema nos dá a V0 = 10 m/s e t = 5s.
Com a equação horária da velocidade podemos encontrar o valor da
aceleração, pois V = 0 m/s, uma vez que a caixa encontra-se em repouso no final do movimento. V= V0 + a.t Substituindo os valores: 0 = 10 + a.5 - 10 = 5a a = - 10/5
a = -2m/s2 (negativo, pois está no contrário ao do movimento). Calculando Fat-c
- Fat-c = m . a
Não temos a massa para substituirmos na fórmula acima, mas sabemos que: Fat-c = μc.N
E que não há movimento na vertical, então, pela Primeira Lei de Newton temos que a força resultante é igual à zero.
Na vertical, temos duas forças agindo sobre o bloco: Peso e Normal. Como elas atuam em sentido contrário, temos que:
FR = 0
FR = N – P = 0 N = P
Sabemos que: P = m . g, então: N = m g
Considerando g = 10 m/s2 Fat-c = μc . N
Fat-c = μc . m g ou Fat-c = 10 m μc. Substituindo em - Fat-c = m a, temos: - 10 m μc. = m . a
Como m aparece nos dois lados da equação, pode ser simplificado: - 10 μc.= a
Substituindo o valor de a que calculamos: - 10 μc.= -2
Multiplicando por – 1, temos: 10 μc.= 2
μc.= 2/10 = 0,2 Resposta: b)
5. Como a força de atrito é independente da área de contato, aumentar a largura do pneu não irá aumentar a força de atrito.
A força de atrito aumenta com a pressão exercida sobre o carro, assim, o aerofólio aumenta a força de atrito, já que a sua função é aumentar a pressão que o ar faz sobre a parte posterior do carro.
O aumento da pressão, aumenta a área de contato microscópica entre as superfícies, aumentando a força de atrito.
1 4
Resposta: c)
6. Para calcular a distensão da mola, temos que calcular a aceleração do sistema.
Vamos isolar os blocos e aplicar a força que age sobre eles. Bloco A
Fe_A NA F Fat_A PA
No eixo y não existe movimento: NA – PA = 0 (1) No eixo x, FR = mA . a F – Fat_A - Fe_A = mA . a (2) Bloco B NB Fe_B Fat_B PB
No eixo y não existe movimento: NB – PB = 0 (3)
No eixo x, FR = mA . a Fe_B – Fat_B = mB . a (4)
Vamos calcular os valores para Fat_A e Fat_B: Fat_A = μc NA
Das equações (1) e (3), temos: NA – PA = 0; NA = PA = mA g NA = 6. 10 = 60 N
NB – PB = 0; NB = PB = mB g NB = 4. 10 = 40 N
Coeficiente de atrito cinético μc = 0,4 Fat_A = μc NA = 0,4 . 60 N = 24 N
Fat_B = μc NB = 0,4 . 40 N = 16 N Usando as equações (2) e (4): F – Fat_A - Fe_A = mA . a (2) Fe_B – Fat_B = mB . a (4)
Substituindo os valores: F = 60 N, Fat_A = 24 N, Fat_B = 16 N, mA = 6 kg e mB = 4 kg, temos:
60 – 24 - Fe_A = 6 . a Fe_B – 16 = 4 . a
Pela Terceira Lei de Newton, temos que Fe_A = Fe_B, pois a força elástica exercida pela mola sobre os dois blocos possui o mesmo valor – dado por F = kx – uma vez que a mola é a mesma.
A direção de ambas as forças são iguais e os sentidos opostos, porém agem cada uma em um bloco.
Somando o sistema: 60 – 24 - Fe_A = 6 . a Fe_B – 16 = 4 . a
60 – 24 – 16 = (6 +4) a 20 = 10a
1 6
a = 20/10 = 2 m/s2
Para obtermos a distensão da mola, podemos usar as equações (2) ou (4). Optamos pela (4) por ser mais fácil.
Fe_B – Fat_B = mB . a (4)
Substituindo os valores e sabendo que Fe_B = kx: kx – 16 = 4.2 = 8
k = 800 N/m 800x = 8 + 16 = 24 x = 24/800 = 0,03 m
As opções de resposta estão em cm, então: 0,03 m = 3 cm. Resposta: a)
7. Pela Figura 1, temos que a força F não faz o bloco se mover. Então, a força de atrito usada é à força de atrito estático máximo.
Como cada uma das forças estão na mesma direção e em sentidos contrários, no eixo x, temos: F = Fat_e (1) F = k x e Fat_e = μe N Dados: x = 2,0 cm. Passando x de cm para m: 0,02m k 0.2 = μe N (2)
No eixo y, não há movimento, então: N = P (3)
0,02k = μe P (4)
Da Figura 2 temos que a mesma mola sustentando o mesmo bloco gera uma deformação de x = 10 cm.
Passando para metro: x = 0,1 m.
As forças que atuam no bloco quando ele entra em equilíbrio são: Fmola e P. Estando em equilíbrio, temos:
Fmola = P
Nesse caso: Fmola = k x e x = 0,1 m, então: 0,1k = P (5) Substituindo (5) em (4): 0,02k = μe 0,1k μe = 0,02k/0,1k μe = 0,02/0,1 = 0,2. Resposta: b)
8. Os freios antitravamento (ABS, anti-lock braking system) ajudam a parar melhor - eles previnem o travamento das rodas e proporcionam uma distância de frenagem mais curta em superfícies escorregadias, evitando o descontrole do veículo - ele mantém as rodas sempre na iminência de deslizar,
aproveitando melhor o atrito estático máximo, que é maior que o atrito cinético (de deslizamento).
1 8
Resposta: b) 9. FC = m.ω2.R
Substituindo m = 1000 kg, ω = 10 rad/s e R = 20 m, temos: FC = 1000.(10)2.20 = 1000.100. 20
= 2 x 106 N Resposta: a)
10. O coeficiente de atrito estático mínimo para o carro não derrapar é o coeficiente de atrito estático máximo.
As forças que agem no carro no instante da curva são: Eixo y, não há movimento.
N = P (1) Plano xz:
Força centrípeta e força de atrito.
A força centrípeta é responsável pela mudança na direção da velocidade para que a curva seja realizada. É radial e para dentro da curva.
A força de atrito acompanha a direção da força centrípeta, pois ela é sempre contrária à força que gera o movimento.
Fc = Fat_e (para manter o equilíbrio do carro) Fc = m v2/R
Fat_e = μe N
Convertendo a velocidade para m/s: V = 54/3,6 = 15 m/s
Como N = P = mg = 10m
Fc = m v2/R = m (15)2/50 = 4,5m Fat_e = μe N = μe 10m = 10m μe Igualando as duas forças: Fc = Fat_e
4,5m = 10m μe
O objetivo é encontrar o valor de μe. μe = 4,5m/10m = 4,5/10 = 0,45 Resposta: c)
11. A força de Tração no fio é igual à força centrípeta que é responsável pelo movimento circular. Logo, temos que calcular a força centrípeta.
O problema nos dá o número de voltas em 0,5 s. Podemos obter a frequência do movimento, que é o número de voltas em uma unidade de tempo (no caso, minutos).
O corpo executa 60 voltas em 0,5 min, em 1 s ele executará x voltas. Pela regra de três:
60 voltas 30 s X voltas 1 s X = 60/30 = 2 voltas
2 0
0,5 min = 60s x 0,5 = 30 s A frequência é igual a: f = 2 hz
Para calcularmos a Força centrípeta, temos que calcular a aceleração centrípeta.
ac = v2/R
Sabemos que a velocidade angular do movimento pode ser expressa como: v = ω R
Substituindo v na aceleração, temos: ac = v2/R = (ωR)2/R = ω2. R2/R = ω2. R
Também sabemos que podemos obter a velocidade angular através da frequência:
ω = 2πf
Substituindo em ac:
ac = ω2. R = (2 πf)2R = 4 π2 f2. R Valores: π2 = 10, f = 2 hz, R = 1m
Como a força centrípeta é igual Fc = mac, temos: Fc = m. (4 π2 f2. R) = m. 4. 10 . 22 .1 =
= 40. 4m = 160m N
A massa do corpo é de 500 g, temos que convertê-la para o SI: m = 500 g = 0,5 kg
Resposta B
12. O objetivo do problema é encontrar a massa que gera uma força peso igual à força centrípeta que age na cabeça do piloto.
Vamos calcular a força centrípeta: Fc = m v2/R e P = mg
Fc = m v2/R
Dados: v = 216 km/h = 60 m/s, m = 6 kg, r = 72 m Fc = mV2/R = 6.(60)2/72 = 300N
Então P = 300 N, usando g = 10 m/s2 e sabendo que P = mg m.10 = 300
m = 300/10 = 30 kg Resposta: b)
