Matemática 2 Módulo 9

(1)

Matemática 2

Módulo 9

G

EOMETRIA

A

NALÍTICA

–

VI

C

O M E N T Á R I O S

–

A

T I V I D A D E S P A R A

S

A L A

1. Se duas circunferências são concêntricas, então os seus centros são coincidentes.

Temos a circunferência λ₁: x2

+ y2

– 4x – 2y + 3 = 0. Completando o quadrados, temos:

2 2 x −4x +4 +y −2y +1 = − +3 4 +1 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 2 Assim temos: C₁(2, 1) e r₁ = 2

Seja λ₂ a circunferência concêntrica a λ₁ e de raio r = 5. Assim, pela equação (x – x₀)2

+ (y – y₀)2

= r2

, em que (x₀; y₀) é o centro e r o raio, temos:

C₁ = C₂ = (2; 1); r = 5 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 52 x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 – 25 = 0 x2_{+ y}2_{– 4x – 2y – 20 = 0} Resposta correta: D 2. Lembrando...

Sabemos que a área de um círculo é dada pela relação A = πr2_{, em que r é o raio.}

I. Seja a circunferência λ: x2

+ y2

– 8x + 6y + 22 = 0. Descobrindo o valor do raio, temos:

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 x 8x 16 y 6y 9 22 16 9 x 4 y 3 3; C 4; 3 e r 3 r 3 − + + + + = − + + → → − + + = − = → = II. A = πr2_{→ A = π}

( )

₃2 _→_A_{= π}₃ Resposta correta: A

3. Considere a circunferência abaixo:

Como C é o centro da circunferência, temos que C é ponto médio de AB. Assim:

C C 2 0 3 3 x 1 y 0 2 0 + − + = = = = C(1; 0)

A distância de C ao A ou ao B é o raio, então:

(

)

₂

(

)

2

B, C B,C

d = 0 1− + 3 0− = 1 3+ →d = =r 2 Sendo r = 2 e C(1; 0), então a equação é: (x – 1)2 + (y – 0)2 = 4 → (x – 1)2 + y2 = 4 Resposta correta: C 4. Lembrando...

• Se duas retas r e s são paralelas, então ms = mr.

• A equação de uma reta pode ser dada pela expres-são y – y₀ = m(x – x₀), em que (x₀; y₀) é um ponto da-do e m é o coeficiente angular. I. Da equação λ: 2x2 + 2y2 – 8x – 16y + 24 = 0, temos: x2 + y2 – 4x – 8y + 12 = 0 → x2 – 4x +4 +y2 – 8y +16 = = –12 + 4 + 16 → (x – 2)2 + (y – 4)2 = 8;

(

)

2 C 2; 4 e r = → =8 r 2 2

II. Considere a reta r: –8x + 2y – 2 = 0 → r: –4x + y – 1 = 0, r A m 4 B − = = . Como r // s, então m_s =4

III. A reta s passa pelo ponto (2; 4) e tem coeficiente angular m_s = 4. Assim, (y – y₀) = m(x – x₀) →

→ y – 4 = 4(x – 2) → y – 4 = 4x – 8 → y = 4x – 4 → → y = 4 x 1

(

−

)

Resposta correta: B

5. Lembrando...

Se A, B e C são pontos colineares, então Det(m) = 0. I. λ: x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 → → x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 12 + 4 + 9 → → (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25; C(–2; 3) e r = 5

II. Temos os pontos O(0; 0), B(P; –1) e C(2; 3). Como são colineares, então:

Det(m) = 0 → 3P – 2 = 0 → P 2 3 + = Resposta correta: +2 3

C

–

A

T I V I D A D E S

P

R O P O S T A S 1. Temos a equação λ: x2 + y2 + 4x + 10y + 28 = 0. Assim: x2 + 4x +4 +y2 + 10y +25 = –28 +4 +25 → → (x + 2)2 + (y + 5)2 = 1; C(–2; –5) e r = 1 Localizando no plano temos:

(2)

2. Assim temos: (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16 x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0 x2_{+ y}2_{+ 8x – 6y + 9 = 0} Resposta correta: E

3. Se P(2; k) é o centro da circunferência de raio r= 3, então (x – 2)2

+ (y – k)2

=

( )

32 → (x – 2)2

+ (y – k)2

= 3. Como o ponto Q (1; 2), pertence à circunferência, temos:

x y (1 – 2)2 + (2 – k)2 = 3 → 1 + 4 – 4k + k2 = 3 → → k2 – 4k + 2 = 0

Para a equação temos k' = 2 + 2 e k'' = 2 – 2 . Como k > 2, então k = 2 + 2 .

Se k = 2 + 2 , então (2 + 2 )2_{– 6 =}

= 4+4 2+2−6 =4 2

Resposta correta: D

4. Dada a equação λ: x2_{+ y}2_{– 4x – 6y – 3 = 0, temos:}

x2_{– 4x +4 + y}2_{– 6y +9 = 3 +4 +9 →}

→ (x – 2)2

+ (y – 3)2

= 16; C(2; 3); r2

= 16 → r=4 Observando a figura temos que CF = 2r, assim: CF = 2 . 4 = 8 Resposta correta: E 5. Do sistema x 2.cos a y a 2 sena = ⎧ ⎨ = + ⎩ , temos:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 x 4.cos a x 2.cos a y 9 2sena _{y 9} _{4 sen a} x y 9 4 sen a cos a ⎧ ₌ = ⎧ _→⎪ ⎨ _{− =} ⎨ ⎩ _⎪⎩ − = + − = +

(

)

2

(

)

2 2 x + y 9− =4; C 0; 9 ;r = → =4 r 2 Resposta correta: C 6. Da equação x2 + y2 + 4x – 6y + k = 0, podemos comple-tar quadrados, veja:

x2 + 4x +4 + y2 – 6y +9 = –k + 4 + 9 → → (x + 2)2 + (y – 3)2 = –k + 13, assim C(–2; 3) e r2 = –k + 46 → r= − +k 13.

Sabemos que –k + 13 > 0, pois não pode ser negativo e nem zero, pois é a medida do raio, então –k > –13 → k < 13. Como queremos o maior inteiro, temos k=12.

Resposta correta: B

7. I. Como o centro da circunferência está na reta x = 2, então as coordenadas do centro são C(2; 6).

II. Assim ficamos com a equação (x – 2)2_{+ (y – b)}2_{= r}2_.

Como a circunferência passa pelos pontos A(0; 1) e B(1; 4), temos:

III. Para A(0; 1), temos (0 – 2)2

+ (1 – b)2 = r2 → → 5 – 2b = r2_{– b}2 IV Para B(1; 4), temos (1 – 2)2 + (4 – b)2 = r2 → → 17 . 8b = r2 – b2

V. Igualando (III) e (IV), temos 5 – 2b = 17 – 8b → b=2

VI. Fazendo b = 2 e substituindo em (III) ou (IV), temos 5 – 2(2) = r2_{– (2)}2_{→ 1 = r}2_{– 4 →}_r2₌₅ VII. Como C(2; b) = (2; 2) e r2 = 5, temos a equação: (x – 2)2_{+ (y – 2)}2_{= 5} Resposta correta: (x – 2)2 + (y – 2)2 = 5 8. Lembrando. A equação do 2º grau Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, só representará uma circunferência se:

• A = B ≠ 0 • C = 0 • D2_{+ E}2 – 4AF > 0 Observando a equação: N 2 _{N N}2 N N N A _B C D E F m x +y +2n xy 4 x 6 y k+ + + = , temos: 0 I. A = B ≠ 0 → m= 1 II. C = 0 → 2n = 0 → n=0 III. D2 + E2 – 4AF > 0 → 16 + 36 – 4k > 0 → → –4k > – 52 → k 13< Resposta correta: m = 1; n = 0; k < 13 9. I. A = B ≠ 0 → a= 1 II. C = 0 → b=0

III. Se a = 1 e b = 0, temos a equação: x2 + y2 + 6x + 8y + c =0 → x2 + 6x +9 + y2 + 8y +16 = –C + 9 + 16 → → (x + 3)2_{+ (y + 4)}2₌ 2 r C 25 − + IV. Como r = 6 → r2 = 36, assim –C + 25 = 36 → → –C = +11 → C= −11 V. Assim a + b + c = 1 + 0 – 11 = 10− Resposta correta: –10 + 1

(3)

10. Observe a figura: C(–3; 4) e r = s, temos (x + 3)2_{+ (y – 4)}2_{= 25 →} → x2 + 6x +9 + y2 – 8y +16 = 25 → → x2 + y2 + 6x – 8y = 0 Resposta correta: C

11. Considere o triângulo abaixo:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

2 2 A,C A,C 2 2

A,B A,B A,B

2 2 2 B,C B,C d 0 1 2 y d 1 2 y d 7 1 4 2 d 36 4 d 40 d 0 7 y 4 d 49 y 4 = − + − → = + − = − + − → = + → = = − + − → = + − Como (d_{B, C})2 = (d_{A, B})2 + (d_{A, C})2 , então:

(

₂

)

2

( )

2

(

₂

)

2 2 49 (y 4) 40 1 (2 y) 49 y + − = + + − ⇒ ⇒ + ₋_{8y 16}₊ ₌_{40 1 4 4y}_{+ + −} ₊ _y2 8y 65 4y 45 4y 20 y 5 ⇒ ⇒ − + = − + ⇒ = ⇒ = Como C(0; y) e y = 5, então C 0;5

( )

Resposta correta: (0; 5)

12. O segmento AB abaixo foi dividido em três partes iguais, assim AC = CD = CB. Veja:

C A C A B C B C AC x x y y P CB x x y y − − = = = − − 1 2P 1 2 = * a 1 1 2a 2 6 a a 8 6 a 2 3 − ₌ _→ _{− = − → =} − 8 C ; 4 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ** b 2 1 2b 4 8 b b 4 8 b 2 − = → − = − → = − D A D A B D B D AD y y x x 2P DB y y x x − − = = = − − P = 2 * d 2 2 d 2 16 . 2d 3d 18 d 6 8 d − = → − = → = → = − ** c 1 2 c 1 12 2c 3c 13 c 13 6 c 3 − _{= → − =} ₋ _→ ₌ _{→ =} − 13 D ; 6 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Resposta correta: ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎛_⎜ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8 13 ; 4 e ; 6 3 3

Módulo 10

G

EOMETRIA

A

NALÍTICA

–

VII

C

–

A

T I V I D A D E S P A R A

S

A L A

1. Como a corda está sobre a reta x + y – 7 = 0, então os extremos dessa corda são as interseções da reta com a circunferência. Observe a figura: λ: x2_{+ y}2_{– 25 = 0} Resolvendo o sistema x₂ y ₂7 x y 25 + = ⎧⎪ ⎨ ₊ ₌ ⎪⎩ , temos: • x = 7 – y y = 4 • (7 – y)2 + y2 = 25 → y2 – 7y + 12 = 0 y = 3 Para y = 4 → x = 3; A(3; 4). Para y = 3 → x = 4; B(4; 3).

(

) (

2

)

2 A,B d = 4 3− + 3 4− = 2 Resposta correta: A

2. A equação x2_{+ y}2_{≤ 4 representa um círculo de centro}

(0, 0) e raio 2. Enquanto a equação (x – 1)2_{+ y}2_{≥ 1}

re-presenta os pontos pertencentes e externos a uma cir-cunferência de centro (1,0) e raio 1. Representando no plano cartesiano:

A = πR2_{– πr}2

A = π . 22_{- π . 1}2

A = 3π

(4)

3. A bissetriz dos quadrantes pares é y = –x, para encontrar o centro, que é o ponto de interseção das duas retas, resolveremos o sistema formado por suas equações:

y x 2x y 6 0 2x ( x) 6 0 3x 6 0 x 2 y 2 = − ⎧ ⎨ _{− − =} ⎩ − − − = − = = ∴ = −

Representando no plano cartesiano:

O centro da circunferência é (2, –2) e o raio é 2, portan-to sua equação é: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 22 x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4 x2 + y2 – 4x + 4y + 4 = 0 Resposta correta: D 4. Como y = x, então x2 + y2 = 16 fica x2 + x2 = 16 ⇒ ⇒ 2x2 = 16 ⇒ x2 = 8 ⇒ = ±x 2 2 Para (2 2; 2 2) ( 2 2; 2 2) x 2 2 y 2 2 e x 2 2 y 2 2 − − = ⇒ = = − ⇒ = − Resposta correta: D

5. Encontrando o centro e o raio da circunferência. x2 + y2 + 8x + 14y + 49 = 0 x2 + 8x + y2 + 14y + 49 = 0 (x2_{+ 8x + 16)(y + 7)}2_{= 0 + 16} (x + 4)2_{+ (y + 7)}2_{= 16} Centro (–4, –7) e R = 4

Calculando a distância entre P(4, 7) e o centro (–4, –7).

2 2 d ( 4 4) ( 7 7) d 64 196 d 260 = − − + − − = + =

Como d > R, então o ponto é exterior à circunferência.

Resposta correta: D

C

–

A

T I V I D A D E S

P

R O P O S T A S

1. Tomemos a primeira desigualdade x2

+ y2

≤ 9.

Temos a segunda desigualdade: y ≥ x

Para resolvermos o sistema

2 2 x y 9 , y x ⎧ + ≤ ⎪ ⎨ _≥ ⎪⎩ temos que

pegar a interseção das figuras, o que representa um se-mi-círculo. 2 2 r . 3 9 A 2 2 2 π π π = = = Resposta correta: A 2. Lembrando…

Para que um ponto P(x, y) seja externo a uma circunfe-rência (λ) de raio "R" e centro "C" temos: d_{P, C} > R

1º Modo Identificar o raio λ: x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = –m + 4 + 1 λ: (x – 2)2 + (y – 1)2 = –m + 5 Da equação temos C(2; 1) e R2 = –m + 5 ⇒ R= − + ⇒ m 5 ⇒ –m + 5 > 0 ⇒ –m > –5 ⇒ m < 5 2 2 C, P C, P d = (4 2)− + −(3 1) ⇒d = 8

(5)

+ d_{C, P} > R ⇒ 8> − + como já consideramos –m + 5 > 0, m 5,

então ( 8)2>( − +m 5)2⇒ > − + ⇒8 m 5 m> − 3 2º Modo

Como A(4; 3), então f(4; 3) > 0. Assim:

2

(4) ₊₍₃₎2₋_{4 (4)}₋_{2(3) m}₊ _{> ⇒}₀ _m_{> −}₃

Pela condição D2_{+ E}2_{– 4AF > 0 e sendo D = –4, E = –2,}

A = 1 e F = m, temos: (–4)2 + (–2)2 – 4(1)(m) > 0 ⇒ 20 – 4m > 0 ⇒ 4m < 20 ⇒ m < 5 Como m > –3 ou m < 5, então: {m∈R/ 3− <m<5} Resposta correta: {m∈R/ 3− <m<5} 3. Da equação λ: x2_{+ y}2_{– 2x – 4y + 1 = 0} 2 2 : x 2x 1 y 4y 4 1 5 λ − + +−+ = − + (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 Observe a figura: * d_{C, r} = 2 1 1 1 2 2 3(1) 4(2) C 5 C 2 2 5 C 10 5 3 (4) − + _{= ⇒} − + _{= ⇒ − +} ₌ _⇒ + ⇒ |–5 + C1| = 10 C1 – 5 = 10 ⇒ C1 = 15 C₁ – 5 = –10 ⇒ C₁ = –5

Considerando C₁ = 15 e C₂ = –5, temos as equações r: 3x – 4y + 15 = 0 e s: 3x – 4y – 5 = 0 Resposta correta: D 4. Da equação λ₁: (x – 6)2 + (y – 1)2 = 9, temos C₁(6; 1) e R₁ = 3.

Temos C₁(6; 1) e O(2; –2) os centros das circunferências

1 1

2 2

C ,O C ,O

d = (6 2)− + +(1 2) = 16 9+ ⇒d = 5

Sabemos que existem duas hipóteses para a tangência de circunferências:

• Tangentes exteriormentes:

1

C ,O 1

d = + ⇒ = + ⇒ = r r ' 5 3 r ' r ' 2

Assim temos a circunfêrencia λ' = (x – 2)2_{+ (y + 2)}2_{= 4}

• Tangentes interiormentes: 1 C ,O 1 d =| r −r" |⇒ =5 | 3 r" |− ⇒ ⇒ |3 – r"| = 5 3 – r" = ⇒ r" = –2 (F) 3 – r" = –5 ⇒ r" = 8 Assim ficarmos com a equação λ": (x – 2)2

+ (y + 2)2 = 64 Resposta correta: λ': (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 λ": (x – 2)2 + (y + 2)2 = 64

5. Como o ponto P(a; b) é o ponto da interseção das cir-cunferências, então podemos:

I) (a – 1)2_{+ b}2_{= 8 ⇒ a}2_{– 2a +1 + b}2_{= 8 ⇒ a}2_{+ b}2_{– 2a = 7}

II) (a – 2)2_{+ (b – 1)}2_{= 2 ⇒ a}2_{– 4a + 4 + b}2_{– 2b + 1 = 2 ⇒}

⇒ a2_{+ b}2_{– 4a – 2b = –3}

Fazendo (I) e (II), temos:

2 a +b2 2 2a 7 a − = 2 b + 4a 2b 3 2a 2b 10 ( 2) a b 5 − − = − + = ÷ + = Resposta correta: C 6. Da equação da circunferência λ: 2x2 + 2y2 – 4x –16 = 0, temos: λ: x2 + y2 – 2x – 8 = 0 ⇒ λ: x2 – 2x +1 + y2 = 8 + 1 ⇒ ⇒ λ: (x – 1)2 + y2 = 9, assim C(1; 0) e R = 3 c,r ₂ ₂ c,r c,r | 1(1) 1(10) 2 | 1 2 2 d : d . d 2 2 2 1 1 + − _⇒ ₌ _⇒ ₌ + Resposta correta: B 7. Observe a figura: Temos a equação λ: x2 + y2 – 6x + 10y + 29 = 0 ⇒ 2 2 x 6x 9 y 10y 25 29 9 25 ⇒− + ++ += − + + (x – 3)2 + (y + 5)2 = 5 C(3; –5) R = 5

Temos que a reta "s" passa por dois pontos "A" e "C". Assim: s s s: 2x y 1 0 A m m 2 B + − = ⎧ ⎪ ⎨ _{= −} _⇒ _{= −} ⎪⎩

Pela figura temos r⊥ s, então m_r . m_s = –1. Assim, se m_s = –2, então m_r 1

2 = .

(6)

r: –2x + 2y + 2 = 0 (÷2) r: –x + y + 1 = 0 r A m 1 B − = =

A reta "r" passa pelo ponto A(2; –3) e tem coeficiente angular m_r 1.

2

= Assim pela relação y – y_o = m(x – x_o), temos: 1 1 r : y ( 3) (x 2) r : y 3 x 1 x 2y 8 0 2 2 − − = − ⇒ + = − ⇒ − − = Resposta correta: C 8. r: 2x – y – 1 = 0 ⇒ y = 2x – 1 λ: x2 + y2 + 5x – 7y = 2, como y = 2x – 1, então: x2 + (2x – 1)2 + 5x – 7(2x – 1) – 2 = 0 ⇒ ⇒ x2 + 4x2 – 4x + 1 + 5x – 14x + 7 – 2 = 0 ⇒ ⇒ 5x2 – 13x + 6 = 0 Δ = b2 – 4ac Δ = (–13)2 – 4(5)(6) Δ = 169 – 120 = 49 13 7 2 0 x ' 2 . 5 + = = 10 x ' 2 13 7 6 3 3 x" x" 2 . 5 10 5 5 ⇒ = − = = = ⇒ = Para x = 2 ⇒ y = 2 . (2) – 1 ⇒ y = 3; (2; 3) Para x 3 y 2 . 3 1 y 6 1 1; 3 1; 5 5 5 5 5 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⇒ = _{⎜ ⎟}− ⇒ = − = _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Observe a figura: 2 2 A, B 2 2 A, B A, B A, B 2 A, B 2 A, B 3 1 d 2 3 5 5 7 14 d 5 5 49 196 245 d d 25 25 7 . 5 7 5 d d 5 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ +_⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} +_⎜ _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + = ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = Resposta correta: D 9. r: y – x =1 ⇒ r: –x + y – 1 = 0 ⇒ r r A 1 m m 1 B 1 − + = = ⇒ = − − s: y (2+ − 3)x= ⇒1 s : (2− 3)x+ − = ⇒ y 1 0 m_s A 2 3 m_s 2 3 B 1 − − + ⇒ = = ⇒ = − + r s r s m m 1 2 3 tg tg 1 m .m 1 ( 1).(2 3) − − + − θ = ⇒ θ = ⇒ + + − + 1 3 1 3 (3 3) tg tg . 3 3 3 3 (3 3) − − + ⇒ θ = ⇒ θ = ⇒ − − + 3 tg ⇒ θ = + 3−3 3− 3 o 2 3 tg 9 3 6 3 3 tg tg , assim 60 3 3 − ⇒ θ = ⇒ − − ⇒ θ = ⇒ θ = θ = Resposta correta: C 10. r: 2x –y – 1 = 0; m_r A 2 m_r 2 B 1 − = − = ⇒ = − Como r ⊥ s, temos m_s 1 2 = −

A reta "s" passa pelo ponto M(1; 1) e tem m_s 1, 2 = − então 1 y 1 (x 1) 2y 2 x 1 x 2y 3 ( 3) 2 − = − − ⇒ − = − + ⇒ + = ÷ ⇒ x 2y 3 x y s: 1. 3 3 3 3 3 2 ⇒ + = ⇒ + = Como s: x y 1, p+ = então q p = 3 e q 3, assim p q 3 3 9 2 2 2 = + = + = Resposta correta: C

11. Temos que "r" passa pelo ponto P(1; 0) e Q(–1; –2). Assim:

(7)

* Como r ⊥ s, então, m_r . ms = –1 ⇒ ms = –1

* "s" passa (1; 2) e tem m_s = –1, então s: y – yo = ms(x – xo)

s: y – 2 = –1(x – 1) s: x + y – 3 = 0

Considere o ponto "P" como o ponto de encontro das retas "r" e "s", x y 1; x 2 e y 1 x y 3 − + = − ⎧ ₌ ₌ ⎨ + = ⎩ .

Considere o ponto “R” o ponto simétrico de “N” em relação à “r”. Assim “P” é ponto médio de NR. Assim:

+ + = ⇒ = ⇒ = + + = ⇒ = ⇒ = N R P N R P x x 1 a x 2 a 3 2 2 y y 2 b y 1 b 0 2 2 R(3; 0) Resposta correta: B