Actividade Formativa 2

Actividade Formativa 2

Resolu¸

c˜

ao

1. Resolva as seguintes inequa¸c˜oes, e interprete o resultado geometricamente: a. |3 − 7x| 6 2. b. _{|4 − 5x| > 3.} c. _{|x + 3| > |x − 4|.} 3/7 3 7− 2 7 3 7+ 2 7 =1₇ = 5 7 Figura 1: Representa¸c˜ao de _{|x − 3/7| 6 2/7.} a. Tem-se _{|3 − 7x| 6 2 ⇐⇒ |7x − 3| 6 2 ⇐⇒ 7|x − 3/7| 6 2 ⇐⇒ |x − 3/7| 6 2/7, e} portanto |x − 3/7| 6 2/7 ⇐⇒ −2/7 6 x − 3/7 6 2/7 ⇐⇒ −2/7 + 3/7 6 x 6 2/7 + 3/7 ⇐⇒ 1/7 6 x 6 5/7 ⇐⇒ x ∈ [1/7, 5/7].

De um ponto de vista geom´etrico podemos pensar em _{|x − 3/7| como o valor da distˆancia} do ponto x a 3/7, portanto a desigualdade _{|x − 3/7| 6 2/7 corresponde aos pontos x cuja} distˆancia a 3/7 ´e menor (ou igual) a 2/7, que ´e exactamente o que est´a representado na Figura 1.

b. Escrevendo a desigualdade _{|4 − 5x| > 3 como |x − 4/5| > 3/5, os valores de x que} satisfazem esta desigualdade s˜ao aqueles cuja distˆancia a 4/5 ´e maior que 3/5. Os pontos que est˜ao exactamente `a distˆancia 3/5 de 4/5 s˜ao 4/5<sub>∓ 3/5, ou seja os pontos 1/5 e 7/5, e</sub> portanto os pontos cuja distˆancia a x ´e maior que 3/5 s˜ao aqueles que est˜ao `a esquerda de 1/5 ou `a direita de 7/5. Dito de outra forma menores que 1/5 ou maiores que 7/5, ou seja ]_{− ∞, 1/5[∪]7/5, +∞[.}

c. Neste caso pretendemos os pontos cuja distˆancia a_{−3 ´e maior (ou igual) que a distˆancia} a 4. O ponto m´edio entre _{−3 e 4, ou seja} −3+4₂ = 1/2, ´e aquele que fica exactamente `a mesma distˆancia de _{−3 e 4.}

Portanto os pontos cuja distˆancia a_{−3 ´e maior (ou igual) que a distˆancia a 4 ser˜ao aqueles} que est˜ao mais perto de 4 que de_{−3 (ou mais longe de −3 que de 4 ) o que corresponde aos} pontos `a direita do ponto m´_{edio, ou seja ao conjunto x > 1/2.}

Nota: ´E aconselh´avel nas duas al´ıneas anteriores: fazer um esbo¸co semelhante `a Figura 1 e resolver anal´ıticamente as duas inequa¸c˜oes.

2. Dada a fun¸c˜ao y = 7x3_{− 3:}

a. Calcule o quociente de diferen¸cas como uma fun¸c˜ao de x e ∆x. b. Calcule a derivada dy/dx.

c. Sendo y = f (x), calcule f0(_{−1) e f}0(2). a. Tem-se ∆y ∆x = f (x + ∆x)_{− f(x)} ∆x = 7(x + ∆x) 3_{− 3 − (7x}3_{− 3)} ∆x = 7(x 3_{+ 3x}2_{∆x + 3x(∆x)}2_{+ (∆x)}3_{)− 7x}3 ∆x = 7(3x 2_{∆x + 3x(∆x)}2 _{+ (∆x)}3₎ ∆x = 7(3x2+ 3x(∆x) + (∆x)2). b. Por defini¸c˜ao temos

dy dx = f 0 (x) = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim∆x→07(3x 2_{+ 3x(∆x) + (∆x)}2_{) = 7(3x}2_{) = 21x}2_.

c. Utilizando a express˜ao obtida na al´ınea anterior f0(_{−1) = (21x}2₎

    x=−1 = 21 e f0(2) = (21x2₎     x=2 = 84

3. Uma fun¸c˜ao y = f (x) ´e descont´ınua num ponto x = x0 quando qualquer das trˆes condi¸c˜oes

de continuidade (definidas na p´ag. 157) n˜ao for satisfeita em x = x0; construa trˆes gr´aficos

para ilustrar a viola¸c˜ao de cada uma dessas condi¸c˜oes.

Na Figura 2 est˜ao 3 exemplos de n˜ao continuidade num ponto x0:

1. No primeiro caso o ponto x0 n˜ao est´a no dom´ınio da fun¸c˜ao.

2. No segundo caso o ponto est´a no dom´ınio, e o valor da fun¸c˜ao em x0 est´a bem definido,

3. No terceiro caso o valor do limite `a esquerda ´e igual ao valor do limite `a direita, mas n˜ao coincidem com o valor da fun¸c˜ao no ponto.

4. Dˆe um exemplo de uma fun¸c˜ao f : R → R cont´ınua, tal que f(0) = 0, e que n˜ao seja diferenci´avel no ponto x = 0.

A fun¸c˜_{ao f : R→ R definida por}

f (x) =_{|x| =} (

−x se x 6 0 x _{se x > 0,}

satisfaz as condi¸c˜oes do enunciado, pois tem derivada_{−1 `a esquerda da origem e +1 `a direita.} ´

E uma fun¸c˜ao cont´ınua mas n˜ao diferenci´avel na origem.

5. Calcule de duas formas diferentes a derivada d dx

 2x2_{− 3}

x3_{− 5}



, utilizando a regra do quociente e a regra do produto.

Utilizando a regra do quociente tem-se d dx  2x2_{− 3} x3_{− 5}  = (2x 2_{− 3)}0_(x3_{− 5) − (2x}2_{− 3)(x}3_{− 5)}0 (x3_{− 5)}2 = (4x)(x 3_{− 5) − (2x}2_{− 3)(3x}2₎ (x3_{− 5)}2 = 4x 4_{− 20x − 6x}4_{+ 9x}2 (x3_{− 5)}2 = −2x 4_{+ 9x}2_{− 20x} (x3_{− 5)}2 = −x(2x 3_{− 9x + 20)} (x3_{− 5)}2 .

Utilizando a regra do produto tem-se d dx  (2x2_{− 3) ×} 1 x3_{− 5}  = (2x2_{− 3)}0 _× 1 x3_{− 5} + (2x 2 − 3) ×  1 x3_{− 5} 0 = 4x_× 1 x3_{− 5}+ (2x 2 − 3) ×  −(x3_{− 5)}0 (x3_{− 5)}2  = 4x x3_{− 5}+ (2x 2 − 3) × −3x 2 (x3_{− 5)}2 = 4x(x 3 _{− 5)} (x3_{− 5)}2 + (2x 2 − 3) −3x 2 (x3_{− 5)}2 = 4x(x 3 _{− 5) − 3x}2_(2x2 _{− 3)} (x3_{− 5)}2 = 4x 4_{− 20x − 6x}4_{+ 9x}2 (x3_{− 5)}2 = −x(2x 3 _{− 9x + 20)} (x3_{− 5)}2 .

6. Dada a fun¸c˜ao de custo total C = Q5_{+ 3Q}2_{+ Q + 27 escreva uma fun¸c˜ao de custo vari´avel}

(CV). Determine a derivada da fun¸c˜ao CV e interprete o significado econ´omico desta derivada.

Embora a diferen¸ca entre custo total e custo vari´avel n˜ao esteja explicitamente definida no texto, um exemplo simples consiste no valor do aluguer de um espa¸co comercial (correspon-dente a 27 neste caso), que n˜ao depende do volume Q (stock de uma dada mercadoria, por exemplo). Assim a fun¸c˜ao de custo vari´avel seria CV = Q5 _{+ 3Q}2 _{+ Q e a sua derivada}

d/(dQ)(CV ) = 5Q4 _{+ 6Q + 1. O significado econ´omico desta derivada ´e exactamente a}

fun¸c˜ao custo marginal (CM).

7. Seja w = 5y4_{− 3y + 1 onde y = 7 − x}3_{. Calcule dw/dx utilizando a regra da cadeia.}

Por defini¸c˜ao w(x) = w(y(x)) e portanto dw/dx = dw(y(x))/dx, logo aplicando a regra da cadeia: dw(y(x)) dx = dw dy dy dx = (20y 3 − 3)(−3x2 ) = (20(7_{− x}3)3_{− 3)(−3x}2) =_−3x2(20(7_{− x}3)3_{− 3),} onde utiliz´amos o facto de dw/dy = 20y3 _{− 3, dy/dx = −3x}2 e no fim subtituimos y pelo seu valor como fun¸c˜ao de x.

8. Dada f (x, y) = x + y

x2_{+ y}2, calcule fx, fy e o gradiente de f .

Por defini¸c˜ao para calcularmos a derivada parcial de f em ordem a x consideramos as outras vari´aveis fixas, neste caso y, e derivamos em ordem a x, ou seja:

fx= ∂f ∂x = ∂ ∂x  x + y x2_{+ y}2  = (x 2_{+ y}2_{)− (x + y)2x} (x2_{+ y}2₎2 = −x2_{− 2xy + y}2 (x2_{+ y}2₎2 ,

e an´alogamente para a derivada parcial de f em ordem a y: consideramos a vari´avel x fixa e derivamos em ordem a y: fy = ∂f ∂y = ∂ ∂y  x + y x2_{+ y}2  = (x 2_{+ y}2_{)− (x + y)2y} (x2_{+ y}2₎2 = x2_{− 2xy − y}2 (x2_{+ y}2₎2 .

O gradiente de f ´e um vector, e denota-se habitualmente por grad f ou _{∇f, tendo-se} grad f (x, y) =_{∇f(x, y) = (f}x(x, y), fy(x, y)) =

 −x2_{− 2xy + y}2 (x2_{+ y}2₎2 , x2_{− 2xy − y}2 (x2_{+ y}2₎2  ou ainda grad f (x, y) =_{∇f(x, y) =} 1 (x2_{+ y}2₎2 −x 2 − 2xy + y2_{, x}2 − 2xy − y2
_.

9 Dada a fun¸c˜ao Q = 100_{− 2P + 0, 02Y , onde Q ´e a procura, P ´e o pre¸co e Y ´e a renda, e} dados P = 20 e Y = 5000, calcule:

a. A elasticidade-pre¸co da procura. b. A elasticidade-renda da procura.

a. A elasticidade-pre¸co da procura ´e obtida atrav´es de εp = ∂Q ∂P P Q =−2  P 100_{− 2P + 0, 02Y}  , e substituindo pelos valores de P e Y tem-se

εp =−2  20 100_{− 2(20) + 0, 02(5000)}  =_{−2 ×} 20 160 =− 1 4 =−0, 25. b. A elasticidade-renda da procura ´e obtida atrav´es de

η = ∂Q ∂Y Y Q = 0, 02  Y 100_{− 2P + 0, 02Y}  , e substituindo pelos valores de P e Y tem-se

η = 0, 02  5000 100_{− 2(20) + 0, 02(5000)}  = 0, 02_×5000 160 = 1, 25 4 = 0, 625.

10 Calcule a diferencial total da fun¸c˜ao z = x

2

x + y2.

A diferencial total de uma fun¸c˜ao de 2 vari´aveis ´e dz = ∂z ∂xdx +

∂z

∂ydy, e portanto como ∂z ∂x = x(x + 2y2₎ (x + y2₎2 e ∂z ∂y = −2x2_y (x + y2₎2 temos dz = x(x + 2y 2₎ (x + y2₎2 dx + −2x2_y (x + y2₎2dy.

11 Calcule a derivada total dz/dt para z = y4_{− 2xy + x}2_{, onde x = t + 2 e y = 4t.}

A derivada total ´e obtida `a custa das derivadas parciais de z em rela¸c˜ao a x, y e a t, e das derivada de x e de y (em rela¸c˜ao a t), tendo-se neste caso

dz dt = ∂z ∂x dx dt + ∂z ∂y dy dt = (−2y + 2x)(1) + (4y 3_{− 2x)(4) = 2(8y}3_{− y − 3x),}

e portanto substituindo x e y pelos seus valores como fun¸c˜ao de t, obtem-se dz dt = 2(8y 3 − y − 3x) = 2(8(64t3₎ − 7t − 6) = 2(512t3 − 7t − 6).

Ponto que n˜ao pertence ao dom´ınio

Ponto em que os limites laterais n˜ao s˜ao iguais

Ponto em que os limites laterais coincidem, mas s˜ao diferentes do valor da fun¸c˜ao x0

x0

x0