Material de estudo: Cap. 1 e 2 de [3], Cap. 1 e 2 de [4], Cap. 1, 2 e 3 de [5]. Fun¸c˜oes
1. SejamS={0,2,4,6}eT ={1,3,5,7}. Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir ´e uma fun¸c˜ao com dom´ınioS e contradom´ınioT.
a){(0,2),(2,4),(4,6),(6,0)} b){(6,3),(2,1),(0,3),(4,5)} c){(2,3),(4,7),(0,1),(6,5)}
d){(6,1),(0,3),(4,1),(0,7),(2,5)}
2. Sef(x) =x2−4
x−1, achar:
a)f(0) b)f(−2) c) f(1
t) d)f(x−2) e)f(
1
2) f) f(t 2)
3. Sef(x) =3x−1
x−7, determine:
a) 5f(−1)−27f(0)+3f(5) b) [f(−12)]
2 c)f(3x−2) d)f(t) +f(4
t) e)
f(h)−f(0)
h f)f(f(5)) 4. Sef(x) = (x−2)(8−x) para 2≤x≤8, determine:
a)f(5), f(−12) e f( 1
2) b)D(f) c) g(t) =f(1−t) e D(g) d)f(f(3)) e f(f(5)) e) Trace o gr´afico def(x)
5. Se a, h∈R, determine e simplifique
a)f(a) b)f(−a) c) −f(a) d)f(a−h) e) f(a) +f(h) f) f(a+hh)−f(a), comh6= 0 Para cada uma das seguintes fun¸c˜oes:
1)f(x) = 5x−2 2)f(x) = 3−4x 3)f(x) =x2−x+ 3 4)f(x) = 2x2+ 3x−7
5)f(x) = 10x+ 4 6)f(x) = 2x+ 3 7)f(x) =x3 8)f(x) =x2−10x+ 4
6. Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao dada para cada uma das express˜oes: a) x2−9
x2−16 b) 3 x
x2+1 c) x2−125x+27 d)
√
−x2+ 3x e) √x−4
√x −9
f) 1x
x2−10x+21 g) f(x) =x2−5x+ 6 h)f(x) =x2−2x−15 i)f(x) =x2−16 j)f(x) = 4x2+ 4x+ 1 7. Para cada uma das seguintes fun¸c˜oesf, determineD(f), Im(f) e construa seu gr´afico.
a)f(x) =√4−x2 b)f(x) =x3 c) f(x) =|x| d)f(x) = 1
x e) f(x) =
2x+ 3 sex <0 x2 se 0≤x <2
1 sex≥2
f)f(x) = 2x g)f(x) = (1 2)
x h)f(x) =log
2(x) i)f(x) =ex j) f(x) =ln(x)
k)f(x) =√x l)y= 3x m)y= (1 3)
x n)y=e−x o) y=log 1 2(x) 8. Representar graficamente as retas dadas por:
a)y= 2x−4, x∈[0,5] b)y= 6,−2≤x≤3 c) y= 10−2x, x∈[0,5] d)y= 6.2x, x≥0 9. Escrever a equa¸c˜ao da reta que cont´em o pontoP e o coeficiente angulara:
a)P = (0,0), a= 3 R: y= 3x b)P = (3,5), a= 0.5 R:y= 0.5x+ 3.5 c)P = (0,5), a=−0.2 R:y=−0.2x+ 5 d)P = (0,20), a= 2 R:y= 2x+ 20 e)P = (8,8), a=−1 R:y =−x+ 16 f)P = (−2,1), a= 5 R: y= 5x+ 11 10. Escrever a equa¸c˜ao da reta que cont´em os pontos:
a)P1= (0,0), P2= (2,4) R: y= 2x b)P1= (0,3), P2= (8,3) R:y= 3
c)P1= (1.5,4), P2= (2,6) R:y= 4x−2 d)P1= (2,10), P2= (8,1) R:y=−(3/2)x+ 13
e)P1= (0,20), P2= (12,0) R: y=−(5/3)x+ 20 f)P1= (0,50), P2= (8,0) R:y=−(25/4)x+ 50
11. Determine, se poss´ıvel, o ponto de encontro entre as seguintes retas. em seguida esboce o gr´afico represen-tando cada par de retas em um Plano Cartesiano:
a)y=x−3 e y1=−x+ 3 b)y=−2x+ 3 ey1= 2x+ 1 c)y= 0.5x−4 ey= 0.5x−2
12. Para cada fun¸c˜ao abaixo, esboce o gr´afico e identifique o ponto m´aximo e/ou m´ınimo, os intervalos crescentes e decrescentes, o dom´ınio, o contra-dom´ınio e a imagem.
a)f(x) =x2,∀x∈R b) f(x) =−x2,∀x∈R c) f(x) =x2+ 1,∀x∈R
d)f(x) =x2−4,∀x∈R e) f(x) =−x2+ 4,∀x∈R f) f(x) =x2−x−6,∀x∈R
g)f(x) =x2−4x+ 4,∀x∈R h) f(x) =x2−4x+ 5,∀x∈R i)f(x) = 2−x2,∀x∈R
j)f(x) =x2−3x−10,∀x∈R k)f(x) =−x2+ 3x−10,∀x∈R l)f(x) =−x2+ 8x−17,∀x∈R
m)f(x) =x2−10x+ 27,∀x∈R n) f(x) =x2−0.9x+ 0.7,∀x∈R o)f(x) =−x2+ 10x−16,∀x∈R
p)f(x) =x2−6x+ 8 q)y=−x2+ 10x r)f(x) = 4x2+ 4x+ 1
13. Calcule ou simplifique: a) [(1 +i)4]1
4 b) 8− 2
3 c) (−2
3)−1 d) (2x)4(3x)2 e)
x10
x6 f) (xy)3(xy)4 g)
(2·34)4
318 h) (32)− 1 5
14. Admitindo log 2 = 0.3 e log 3 = 0.48, calcule ou simplifique: a) log 300 b) log 0.03 c) 3x= 2 d) 4x= 0.3 e) log
2(16·4) f) log2515 g) log 5 h) log32
15. Sendo sen(x) =√2 2 ,
π
2 < x < π, determinar sen(2x), cos(2x) etg(2x).
16. Prove as identidades:
a) sen(x)±sen(y) = 2 sen(x±2y) cos(x∓2y) b) cos(x)±cos(y) = 2 cos(x±2y) cos(x∓2y) c) sen(7x)−sen(5x) = 2 sen(x) cos(6x) d) cos(10x)−cos(6x) = 2 sen(3x
2) cos(
x
2)
e) cotg(1+sen(x) sen(x)x)
cos(x)
= 1−sen(x) f) sec(x) cotg(x) =p
sen(x)2+ cos(x)2+ cotg(x)2
17. Para cada par de fun¸c˜oesf eg, determine a soma, a diferen¸ca, o produto e o quociente def ege indique o dom´ınio de cada um.
a)f(x) =√4−x2, g(x) = 3x+ 1 b)f(x) =√5−x, g(x) =√x−3 c) f(x) = x
1+x, g(x) =
1
x d)f(x) =√x+ 1, g(x) =x−2 e) f(x) = 3x−2, g(x) =|x| f) f(x) =x3, g(x) = 1
3 √x
18. As fun¸c˜oes a seguir levamRemR. Determine as f´ormulas que descrevem as composi¸c˜oes g◦f ef ◦g em cada caso.
a)f(x) = 3x+ 2,g(x) =x−1 b)f(x) = 0.5x−0.5,g(x) = 2x c) f(x) = 2−1x−3,g(x) = 3x+ 1
d)f(x) = 12x+24
24 ,g(x) = 12x+ 6 e)f(x) =x−1,g(x) =x−1 f)f(x) =x2,g(x) = 3x+ 5
g)f(x) = 6x3,g(x) = 2x h)f(x) = x−1
2 ,g(x) = 4x2 i)f(x) =x5−x3+ 1,g(x) =x2
19. O lucro mensal de uma empresa ´e dado por L = 30x−4000, em que x´e a quantidade mensal vendida. Acima de qual quantidade mensal vendida o lucro ´e superior a $R 11000?
20. O custo di´ario de produ¸c˜ao de um artigo ´eC= 200 + 10x, em quex´e a produ¸c˜ao di´aria. Sabendo-se que em determinado mˆes o custo di´ario oscilou entre um m´aximo de $R 4000 e um m´ınimo de $R 2000, em que intervalo variou a produ¸c˜ao di´aria nesse mˆes?
21. Um lava-jato de autom´oveis tem como ´unico servi¸co uma lavagem simples, pela qual cobra R$ 12 (PV -Pre¸co de Venda). Cada lavagem gasta em m´edia R$ 3 de produtos de limpeza. As contas de ´agua e luz tˆem m´edia mensal de R$ 350 somadas. A empresa tem 3 funcion´arios, recendo cada um deles R$ 260 fixos mais R$ 1 por cada carro lavado. As obriga¸c˜oes sociais ficam em 40%. O pr´edio da empresa ´e alugado, pelo qual o propriet´ario paga R$ 250 por mˆes. N˜ao h´a mais custos consider´aveis. Antes de responder `as perguntas a seguir, observe os seguintes conceitos:
• obriga¸c˜oes sociais s˜ao despensas oriundas dos valores pagos pelos sal´arios (FGTS, INSS...), al´em de f´erias e 13osal´ario. Elas incidem tamb´em sobre renumera¸c˜oes vari´aveis, ou seja, sobre as comiss˜oes;
• os custos de uma empresa podem ser divididos em fixos (CF) e custos vari´aveis (CV). A soma dos custos fixos e vari´aveis comp˜oe o custo total (CT);
• custos fixos (CF) s˜ao aqueles que n˜ao dependem da quantidade vendida ou produzida pela empresa. Como exemplo, o aluguel ´e um custo fixo;
• custos vari´aveis (CV) s˜ao aqueles que variam de acordo com a quantidade produzida ou vendida. A mat´eria-prima ´e um exemplo, pois, se n˜ao houver produ¸c˜ao ou venda, n˜ao haver´a consumo da mat´eria-prima;
• neste caso, observe que foram considerados para a conta de ´agua e de luz valores m´edios, fazendo com que, neste caso, sejam considerados custos fixos;
• o lucro bruto (LB) pode ser entendido como a diferen¸ca entre a Receita Bruta (R) e o Custo Total (CT);
• a margem de contribui¸c˜ao unit´aria (M CU) ´e a diferen¸ca entre o pre¸co de venda (P V) e custo vari´avel unit´ario (CV U).
• para n˜ao ter preju´ızo determinamos o ponto de equilibriox0tal que LB(x0) = 0. Assim,x > x0.
Responda:
a) Qual a receita total do lava-jato se lavar num mˆes apenas 10 carros? b) Qual a receita total do lava-jato se lavar 250 carros no mˆes?
c) Qual express˜ao pode representar a receita total para um n´umero qualquer de carros lavados? d) Qual o Custo Fixo mensal da empresa?
e) Qual o Custo Vari´avel de um carro lavado?
f) Qual o Custo Vari´avel da empresa se lavar apenas 10 carros? g) Qual o Custo Vari´avel da empresa se lavar 250 carros?
h) Qual express˜ao pode representar o custo vari´avel para um n´umero qualquer de carros lavados? i) Qual express˜ao pode representar o Custo Total da empresa para um n´umero qualquer de carros lavados? j) Qual o lucro bruto da empresa se lavar 250 carros no mˆes?
k) Qual o lucro bruto da empresa se lavar 223 carros no mˆes?
l) De cada carro lavado, tirando os custos vari´aveis, quanto sobra? Esta sobra ´e lucro? m) Agora tente explicar o resultado da letra “k”.
22. Em 1998, um paciente pagou U$ 300 por dia em um quarto de hospital semi-privativo e U$ 1500 por uma opera¸c˜ao de apˆendice. Expresse o total pago pela cirurgia como fun¸c˜ao do n´umero x de dias em que o paciente ficou internado.
23. Suponha que uma companhia de software para computadores produz e vende uma nova planilha a um custo de U$ 25 por c´opia, e que a companhia tem um custo fixo de U$ 10000 por mˆes. Expresse o total do custo mensal como uma fun¸c˜ao do n´umeroxde c´opias vendidas.
24. Esboce o gr´afico das seguintes fun¸c˜oes do lava-jato para 0 ≤x≤ 300. Descubra porque sugerimos estes pontos.
a)R(x) = 12x b)CV(x) = 4.4x c)CF(x) = 1692 d)CT(x) = 4.4x+ 1692 e)LB(x) = 7.6x−1692 f)M C(x) = 7.6x
25. A fun¸c˜ao de demanda (pre¸co) de um produto ´eP(x) = 10−x, e a fun¸c˜ao custoC(x) = 20 +x. Vamos obter:
a) A fun¸c˜ao receita (R(x) =P(x)x) e o pre¸co que a maximiza. b) A fun¸c˜ao lucro (L(x) =R(x)−C(x)) e o pre¸co que o maximiza. 26. Dadas a fun¸c˜ao de demandaP(x) = 20−2xe a fun¸c˜ao custoC(x) = 5 +x:
27. Dadas a fun¸c˜ao de demandaP(x) = 40−xe a fun¸c˜ao custoC(x) = 20 + 31x: a) Obtenha o valor dexque maximiza a receita.
b) Obtenha o valor dexque maximiza o lucro.
28. O objetivo do empres´ario ´e descubrir qual pre¸co le dar´a maior Receita Total e qual pre¸co propiciar´a maior lucro. Ap´os exaustivos trabalhos de pesquisa, que envolveram a an´alise do perfil dos clientes, a empresa apresentou no relat´orio o quadro a seguir, que mostra a prov´avel demanda em fun¸c˜ao do pre¸co cobrado.
Vari´avel independente Vari´avel dependente Pre¸co de lava¸c˜ao -P V Prov´avel no
de carros lavados (d)
10 400
12 300
14 200
16 100
Considerando o que estudamos em fun¸c˜ao linear, responda: a) Qual a express˜ao que pode representar o no
de carros lavados (d) em fun¸c˜ao do pre¸co da lavagem (P V)?
b) Considerando-se que Receita Total ´e o pre¸co de Venda multiplicado pela quantidade vendida (R = P V ·d), qual a express˜ao que pode representar a Receita Total em fun¸c˜ao do pre¸co cobrado pela lava¸c˜ao?
c) Qual a express˜ao do Lucro Bruto (LB) em fun¸c˜ao do Pre¸co (P V)?
d) Para cada fun¸c˜ao R eLB, esboce o gr´afico e identifique o ponto m´aximo e/ou m´ınimo, os intervalos crescentes e decrescentes, o dom´ınio, o contra-dom´ınio e a imagem.
29. Uma sorveteria, a partir de exaustivos estudos, descobriu que a fun¸c˜aoLB=−100x2+ 400x−100 expressa
o lucro bruto di´ario que obt´em em fun¸c˜ao do pre¸co. Pergunta-se:
a) Quais os intervalos de pre¸co que fazem a empresa trabalhar no preju´ızo? b) Qual o intervalo de pre¸co em que a empresa opera com lucro?
c) Qual o pre¸co que propicia o maior lucro? Qual ´e este lucro?
30. Uma loja de CDs adquire cada unidade por $R 20 e a revende por $R 30. Nessas condi¸c˜oes, a quantidade mensal que consegue vender ´e 500 unidades. O propriet´ario estima que, reduzindo o pre¸co de venda para $R 28, conseguir´a vender 600 unidades por mˆes.
a) Obtenha a fun¸c˜ao de demanda admitindo seu gr´afico linear. b) Qual o pre¸co que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal?
31. O propriet´ario de uma barbearia verificou que, quando o pre¸co do corte de cabelo era $R 20, o n´umero de clientes era 100 por semana. Verificou tamb´em que, quando o pre¸co passava para $R 15, o n´umero de clientes dobrava.
a) Obtenha a fun¸c˜ao de demanda admitindo seu gr´afico linear. b) Que pre¸co deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?
32. O n´umero de habitantes de uma popula¸c˜ao ´e hoje igual a 40 mil habitantes e que haja um crescimento populacional de 2% ao ano.
a) Qual o n´umero de habitantes daqui a 8 anos? b) Qual o n´umero de habitantes daqui a 30 anos?
33. A popula¸c˜ao de uma cidade ´e de 450000 habitantes e cresce 1.43% ao ano. Determine a express˜ao da popula¸c˜aoP como fun¸c˜ao do tempot, isto ´e,P =f(t).
34. Para um carro cujo valor inicial ´e de $R 35000, constatou-se uma deprecia¸c˜ao no valor de 12.5% ao ano. Determine a express˜ao do Valor V como fun¸c˜ao do tempot, isto ´e,V =f(t).
35. Um trator tem seu valor dado pela fun¸c˜aoV(x) = 125000×0.91x, ondexrepresenta o ano ap´os a compra do trator ex= 0 o ano em que foi comprado o trator.
a) Calcular o valor do trator ap´os 1, 5, 10 anos da compra?
c) Esboce o gr´afico deV(x).
d) Ap´os quanto tempo o valor do trator ser´a $R 90000?
36. O n´umero de habitantes de uma popula¸c˜ao ´e hoje igual a 7000 e cresce `a taxa de 3% ao ano. Daqui a quanto tempo a popula¸c˜ao dobrar´a? (dados: log 2 = 0.3010 e log(1.03) = 0.0128)
Exerc´ıcios de Aprofundamento:
1. Resolva as seguintes desigualdades e expresse o conjunto solu¸c˜ao em nota¸c˜ao de intervalo: a) 2x+ 1≥x−5 b) 5x+ 3<2x+ 7 c) 2x+ 16>8 d) 4−x≥2x−5 e) 19x+ 5≥ −3x f) x+2
5 −
x+3
2 ≥1 g)
x−1 2 −
x
3 ≥4 h)
y−5 2 −
y−2 3 ≥4
i) 5
x <
3
4 j) x
2≤9 k)x2−3x+ 2>0 l) 1−x−2x2≥0
m) x+1 2−x <
x
3+x n) (x
2−1)(x+ 4)≤0 o) x
x−3 <4 p)
2
x−2 ≤
x+2
x−2 ≤1
q) 4(2x−3)>2(x−1) r) x+2 5 −
x+3
2 ≥1 s)
3y−5
2 −
y−2
3 ≥4 t)|x|<1
u)|7x−4|<10 v)|3x+ 4| ≤2 w)|1−5x|<5 x)|2x+1 2 |>5
y)|3x−1| ≤x z) |12−x|< 1
2 aa)|
2−x
3 |<20 bb)x4≥x2
cc) 4x−3<6x+ 2 dd) |x−3|<2 ee)|2x−3|<1 ff) 3x+ 1<x3
gg)x3−2x2>0 hh) x4−3x3≥0 ii) (x−1)2(x−2)>0 jj) (x−3)2(x+ 1)2≥0
2. Resolver os seguintes sistemas de forma gr´afica.
a){(x, y)∈R2/y≤ −3x+ 1} b){(x, y)∈R2/−2y≥3}
c){(x, y)∈R2/2x
3 + 5y
4 ≥1} d){(x, y)∈R
2/y <2x+ 10, y >−x+ 30}
e){(x, y)∈R2/y≤x+ 3, 2y≤ −x+ 10, −y≥ −2} f){(x, y)∈R2/2x+y≤8, 1≤y≤3, 2≤x}
g){(x, y)∈R2/2x+ 5y≥10, 5x+ 3y≤15, x−y≤4, y≥0} h){(x, y)∈R2/x≥y+ 1, 3x+ 2y≤6, −x≥1 i){(x, y)∈R2/−2< x≥5, −3≤y <4 j){(x, y)∈R2/−1≤x≤4, −2≤y≤6}
3. A fun¸c˜ao piso, denotada por⌊x⌋, associa a cada n´umero realxo maior inteiro menor ou igual ax. Determine D(f), Im(f) e construa seu gr´aficoG(f).
4. A fun¸c˜ao teto, denotada por⌈x⌉, associa a cada n´umero realxo menor inteiro maior ou igual ax. Determine D(f), Im(f) e construa seu gr´aficoG(f).
5. Quais das defini¸c˜oes a seguir s˜ao fun¸c˜oes do dom´ınio no contradom´ınio indicado? Quais s˜ao fun¸c˜oes injeto-ras? Quais s˜ao fun¸c˜oes sobrejetoras? Descreva a fun¸c˜ao inversa das fun¸c˜oes bijetoras.
a)f :Z→N, ondef ´e dada porf(x) =x2+ 1 b)g:N→Q, ondeg´e dada porg(x) = 1
x
c)h:Z×N→Q, ondeh´e dada porh(z, n) = n+1z d)f :{1,2,3} → {p, q, r}, ondef ={(1, q),(2, r),(3, p)}
e)g:N→N, ondeg´e dada porg(x) = 2x f)h:R2→R2, ondeh´e definida porh(x, y) = (y+ 1, x
g)f :N3→N, ondef ´e dada porf(x, y, z) =x+y−z
6. Defina f :R→ Rpor f(x) =xn, onde n´e um inteiro positivo fixo. Para que valores de n a fun¸c˜aof ´e bijetora?
7. Para cada uma das bije¸c˜oesf :R→Ra seguir, encontref−1.
a)f(x) = 2x b)f(x) =x3 c)f(x) =x+4 3
8. Calcular todas as fun¸c˜oes trigonom´etricas para 15o,75o,120o,165o,285o 9. Simplifique:
a) sen(2cos(2xx)+cos(4)+cos(4xx)) b)
sen(5x)−sen(x)
cos(5x)−cos(x) c) sen(2x)−2 sen(x) cos(3x) d) 1 + 1
[1] Flemming, D. M., Gon¸calves, M. B.: C´alculo A: Fun¸c˜oes, Limite, Deriva¸c˜ao e Integra¸c˜ao. 6a
Edi¸c˜ao Ampliada. Pearson Prentice Hall, 2006.
[2] Hazzan, S; Morettin, P; Bussab, W.: Introdu¸c˜ao ao C´alculo para Administra¸c˜ao, Economia. Saraiva, 2009. [3] Leithold, L.: O C´alculo com Geometria Anal´ıtica. Volume I e II, Ed. Harbra, 1994.
[4] Swokowski, E. W.: C´alculo com Geometria Anal´ıtica. Volume I e II, Ed. Makron Books, 1995. [5] Guidorizzi, H. L.: Um Curso de C´alculo. Volume I, Ed. LTC, 2000.
[6] Boulos, P.: C´alculo Diferencial e Integral. Volume I e II, Ed Makron Books 1999.
[7] Silva, E. M.; Silva, E. M.; Silva, S. M.: Matem´atica B´asica para Cursos Superiores. Ed. Atlas 2002. [8] Stewart, J.: C´alculo. Volume I, Ed Pioneira/Thomson Learning, 2005.
