Programação por objetivos aplicada ao planejamento da produção

UNIVERSIDADE

FEDERAL DE

SANTA

CATARINA

PROGRAMAÇÃO

POR

OBJETIVOS

APLICADA

AO

PLANEJAMENTO

DA

PRODUÇÃO

AGREGADA

DISSERTAÇÃO

SUBMETIDA

A

UNIVERSIDADE

FEDERAL

DE

SANTA

;

— > /

CATARINA

PARA

OBTENÇÃO

DO

GRAU

DE

MESTRE

EM

ENGENHARIA

CELSO AUGUSTO COELHO

r~ i nn T n u n n m t r« rLut\iH^uruLio

SANTA CATARINA - BRASIL

DEZEMBRO - 1976

cs_i 00 O) O i <T es

APLICADA

AO

PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO AGREGADA

D D_» U W IL D

CELSO

AUGUSTO

COELHO

ESTA DISSERTAÇAO FO I JULGADA

PARA OBTENÇÃO DO TITULO DE

MESTRE

EM

ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E APROVADA EM SUA FORMA

F IN A L PELO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO

PROF. RAUL VALENTIM DA S,ILV A M ,Sc.

COORDENADOR

APRESENTADA PERANTE A BANCA EXAMINADORA COMPOSTA DOS

PROFESSORES:

.

y

/ C ^ P R P I F I F n M A - B f í r f F M Q C I T M D . , P.

t « w i i u i - u M H i \ i y v u n w L i i i ; 1

ORIENTADOR

Dedicado â

- M e m ó r i a de meu p a i , Celestino - Minha m ã e , Celina

- Meus irmãos, Célia, Cecília,

Cidãlia, Clélia, Celestino e

De uma maneira muito especial ao Prof. Leonardo Ensslin, P h . D . , p e la orientação durante a el a bo r a ç ão deste trabalho.

à m i nh a mãe e meus irmãos que, com estímulos e

sacrifícios, p o ss i b il it ar am a realização do curso de m e s ­

trado.

Ao CNPq e BNDE p el o auxílio financeiro, através

do qual, tornaram possível a realização do curso e a elabo ração desta tese.

Aos Srs. Aldo, Mario, Armin, O smar e, em e s p e c i ­

al ao Sr. Udo Dohler, que p o s s i b i l i t a r a m a efetiv a çã o da

aplicação p r át ic a deste trabalho ao deixar livre acesso pa ra a obtenção de dados.

A todos que, de uma m aneira ou de outra, contri- b u i r a m p a r a a execução desta tese, o m eu muito obrigado.

V

I N D I C E

I. INTRODUÇÃO . . . ... .... ... ... .

CONFRONTO ENTRE PROGRAMAÇÃO POR OBJETIVOS E P R O ­

GRAMAÇÃO LINEAR . ... ... . PROPÕSITO DO ESTUDO . . ... .... ... LIMITAÇÕES DO ESTUDO ... ... ... IMPORTÂNCIA DO ESTUDO ... , . ... . . ... .... . ESTÁGIO ATUAL DE CONHECIMENTO ...

II. -ANÁLISE M A T EM Á T I CA DE P R OGRAMAÇÃO P O R OBJETIVOS

"A. Simples objetivo com m úl tiplos subobjetivos ..

° A.l. Restrições aos subobjetivos ....

B. M úl tiplos objetivos com m úl ti p lo s subobjetivos

. B.l. Listagem e ponderação dos m úl ti pl os o b j e ­

tivos ... ... . ... . ..> • • •

C. Analise dos desvios e v ar ia çõ es da função obje tiva . . ... ... ... C.L. M inimização de (d + d + ) ...

C. 2 . Minimização de d ... ... ...

C. 3. M inimização de d + ... ... C . 4. Minimização de '(d -d+ ) . ... C . 5. Minimi z aç ão de (d+ -d ) ... II. FORMULAÇÃO DO M ODELO GERAL DE P R O G RA MA ÇÃ O POR O B ­

JETIVOS PARA O P LANEJAMENTO DA P RO DUÇÃO A GR EGADA

A. ELEMENTOS E NOTAÇÃO U TI LI ZA DO S NO M OD EL O .... 1 P / N n r + o n f o r

X • V j V i U l - U J l l v. V J

2. Variáveis ... ... . 3. Objetivos da administração acerca da p r o d u ­

ção agregada e suas p r io ri d ad es ... 1 3 7 7 9 11 14 14 15 17 18

21

2. Relação entre as demandas, produção e .esto- .

1 que de produtos acabados ... .. 32

3. Restrições de capacidade dos centros p r o d u ­ tivos ... ... 34 .

4. Restrições de operação em horas extras .... 35

5. Restrições de n ão -n eg at iv id ad e ... . .. 36

6. P o s s i b i l i d a d e ‘de subcontratação ... ..36

IV. 'APLICAÇÃO PRÁTICA NA INDÜSTRIA TEXTIL ______________ 38. 1. D ES C RIÇÃO DO PROBLEMA DE P LA NE J AM EN TO DA PRODU *"• ÇÃO A G R EG A DA ... . . ... ... _____ ‘____ __39 2. M OD EL O M AT EM Á TI CO DE P R OGRAMAÇÃO POR OBJETIVOS 43 A. Notação e elementos utilizados no m odelo .. 49

1. Constantes ... . ... 49

2. Variáveis .... . ... .... 50

3. Objetivos e prioridades ... ... ...50

B. Formulação do m od el o ... ...50

1. Formulação das restrições ... ... ..50

a. Relação entre demanda, produção e e s­ toque àe produtos acabados .... . .... 50

a.l) 1° período ... ..51

a . 2) 2 ? período ...51

b. Restrições de capacidade regular de produção e de operação em horas -ex-+• _{ti ao} «-> r _{o L}0 b.l) 1 ° período ... ..52

b.1.1. U t il iz aç ão de capacidade regular de produção .... ..52

b.1.2. Operação em horas extras 53

b.2) 2? p e ríodo ... 53

b.2.1. Utilização de capacidade . .. . .. regular de produção ... -53

t

3. SOLUÇÃO OBTIDA POR COMPU T AD OR ... ... . .. 60

4. ANÁLISE. DE SENSIBILIDADE DA SOLUÇÃO ... 67 •

A. Alterações na função objetiva ... . 67

1. Variações nos pesos d i ferenciais de importância ... 67

2. Mudanças nos fatores de p rioridade .. 68

B. Alterações nos coeficientes tecnolõgicos 63 C. Alterações nos recursos disponíveis 1 ou níveis de objetivos ... . 69

5. C ONCLUSÕES DA AP LI CA ÇÃ O P R ÁTICA . . . ... 70

V.. CONCLUSÕES E R E CO MENDAÇÕES ... . ... 71

CONCLUSÕES . > ... . . ... 71

R E C O M E N D A Ç Õ E S ... ... . . . . ... ... 71

APÊNDICE - LISTAGEM DO P RO GRAMA DE C O MP UT AD OR PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PROGR AM AÇ Ã O POR O B ­ J E TIVOS ... ... ... . ... 75

BIBLIO G RA FI A . ... ... , . ... 87 V j i

RESUMO

O problema de p lanejamento da produção agregada

cfiz respeito a resposta dos decisores para um modelo de d£

í ■ ■ .

manda ^ariãvel com o tempo. Especificamente, d a d o ’demandas

previstas, qual a mais eficiente utiliz aç ão dos recursos

produtivos disponíveis, de modo a satisfazer as restrições funcionais ambientais, bem como, a p o lítica organizacional

acerca do nível d e ' e m p r e g o , nível de estoque, capacidade

de produção e uso de capacidade externa, sobre um multipe- riodo horizonte de planejamento.

A principal ênfase deste trabalho é a conceptua-

lização, desenvolvimento e aplicação de um m o de lo de P r o ­

gramação por Objetivos para a analise de decisões em . p l a ­

nejamento da produção agregada, p a rt i c ul ar iz ad a para o s e ­ tor têxtil.

Programação por Objetivos ê uma técnica de P e s ­

quisa Operacional para a analise de situações lineares com

plexas. Ela representa uma m od i fi ca çã o e extensão de P r o ­

gramação Linear.

Com o intuito de ilustrar a aplicação do modelo

p roposto e, posterior análise dos resultados exibidos pelo computador, ê apresentado um exemplo enfocando uma empresa do ramo industrial têxtil.

ABSTRACT

Aggregate production planning is concerned with

optimizing the utiliz a t io n of available p ro du ct i o n c a p a c i ­ ty, man-power and stocks to meet overall organi za t io n t a r ­ gets. It is characterized by the need to accomodate w ithin

the plan varying demand patterns over time and also the

need to consider different planning horizons. - .

In this thesis the aggregate p r o d uc t io n planning process in the textile industry is studied and in order to ais decision taking a goal p ro gr am mi ng model is developed. Goal programming is an extension of linear programming.

A description of the appli c at io n of the proposed

A -huma ni da de vive sujeita a uma serie de fatores e .forças que m ol d a m seu comportamento de forma i nc o nt e s t á­ vel.

Um dos principais motivos que conduzem o homem

à busca do saber ê o problema econômico dev satisfazer dese

jos humanos ilimitados com recursos limitados - este tem

sempre sido o mais impertinente dos problemas econômicos

impostos â humanidade.

A mplia m- se cada vez mais as necess id ad es h u m a ­

nas. Seria preciso dar expansão p ar al el a aos bens d i s p o n í ­ veis, e isso não foi possível, pelo menos na p r op or ç ão d e ­

sejada. Por conseguinte, torna-se necess ár io aos t o m a d o ­

res de decisões agirem economicamente, isto ê, obter c m á ­

ximo de satisfação de necessidades humanas com o m í nimo

de recursos disponíveis. Isto implica na p rocura de

conhe-/ ‘ . . . .

c i m e n t o s , que capacitem o decisor a utilizar os recursos

escassos existentes, na m a i s : eficiente dentre a.s possíveis

opções, de modo a satisfazer suas necessidades.

Decisões administrativas estão tornando-se mais

importantes e conclusivas, devido a crescente complexida

de dos negocios contemporâneos.

Desde que a m ai o ri a -desses p ro blemas envolve mui

tas variáveis e muitas inter-relações entre tais v a r i á ­

de difícil percepção, torna-se bastante difícil para um d£ cisor lutar intuitivamente contra a complexidade do ambien te organizacional.

0 administrador, subjetivamente, sem o auxílio

de técnicas científicas de otimização, d i ficilmente identjL

ficara as melhores alternativas decisórias. Isto deve-se

ao porte e inter-relacionamento existente entre os fatores intervenientes em problemas como os formulados neste traba lho, que impossibilitam, a analise destes casos sem o a u x í­

lio dos conhecimentos científicos hoje colocados a d i s p o ­

sição dos administradores.

Os decisores de hoje, mais e mais, estão a procu ra de soluções para uma extensa v ar iedade de complexos pro blemas de negócios, por meio de modelos matemáticos.

Informações devem ser compiladas, de tal forma

que seja possível traduzir as relações entre as variáveis,

dentro de uma formulação m a t em á t i ca capaz de descrever o

problema e todas as relações entre as mesmas.

Uma característica importante de um modelo ê que

ele simplifica a situação real, pela não consideração de

algumas de suas especificações. A escolha do que deve ser

incluído no m odelo ê ditada pela natureza das perguntas a

serem respondidas e pelo grau de precisão requerido nas

respostas. Portanto, para que um m odelo seja eficaz, ele

deve englobar elementos de dois atributos conflitantes, a

saber, realismo e simplicidade. Se por um lado, o modelo

ja impossível compreendê-lo e manipulá-lo.

A técnica linear, provavelmente', possui a mais

simples estrutura matemática, dentre as técnicas â dispos.i

ção para a formulação do modelo m a te má ti co para a r e s o l u ­

ção de problemas de esquema pratico, associados com o p r o ­ pósito da humanidade em otimizar seus desejos. As simplifi

cações e o abandono de certas c aracterísticas da r e a l i d a ­

de são tão necessários na aplicação de técnicas lineares,

como elas o são no uso de qualquer ferramenta científica

na resolução de problemas.

A técnica linear é a que mais facilmente se adajo

ta a tais problemas de otimização pois, felizmente, a l i ­

nearidade assumida ê, freqüentemente, uma aproximação b a s ­ tante concisa de condições reais, tal que pode prover solu

ções m uito úteis, desde que u t il iz ad a apropriadamente, ou

seja, antes e depois de usar esta ferramenta, o decisor de

*

ve estar profundamente conscientizado das limitações e

aproximações envolvidas na formulação do p ro bl em a e das

dificuldades contidas na. interpretação da solução.

CONFRONTO ENTRE PROGR AM AÇ ÃO POR OBJETIVOS E PRO-.

GRAMAÇÃO LINEAR. . • .

Programaçao por Objetivos ("Goal Programming") é

tuações lineares complexas. Ela foi p ro posta por Charles e Cooper e, posteriormente, estudada por Y. Ishiri. Represen ta uma m od if i ca çã o e extensão de Programação Linear.

Em Programação Linear, somente um objetivo ê i n­ corporado ã função objetiva para ser otimizado (maximizado ou minimizado). Se houver mais de u m objetivo, este ou e s ­

tes vão ser tomados como restrições do p ro bl em a e são t o ­

talmente desvinculados da função objetiva. 0 resultado o b ­ tido, então, satisfará inteiramente todas as restrições do p roblema e otimizará sua função objetiva.

Freqüentemente, no entanto, a admin is tr aç ão alme

ja otimizar simultaneamente mais de um objetivo e, quase

sempre, ê necess á ri o considerar inter-relações de várias

espécies entre tais objetivos. Por exemplo, alguns objeti.

vos podem ser complementares, tais como aqueles que seriam

beneficiados em parti l ha r dos recursos que neces si ta ri am

ser providos para qualquer um deles. Outros podem ser indc;

pendentes, quando a. satisfação de um deles nao acarretar

mudanças nas condições associadas aos outros; caso c o n t r á ­ rio, são ditos dependentes. Certos objetivos são compatí --

veis, quando a satisfação de qualquer um deles não i m pl i ­

car na impossibilidadè de obtenção simultânea dos demais;

em caso contrário, os objetivos são denominados incompatí

veis ou mutuam e nt e exclusivos, os quais consti tu em um caso extremo de dependência, posto que, "’ao satisfazer um deles,

estar-se-á anulando as estimativas dos demais, já que e s ­

ob-rem previamente satisfeitos ou se ocorreob-rem condições p a r ­ ticularmente favoráveis, tem-se um caso de objetivos conco mitantemente rejeitados ou contingentes. Alguns podem a i n ­

da ser pelo menos competitivos, no sentido que a realiza

ção de u m reduz os benefícios que r es ul ta r ia m de também

empreender qualquer dos outros. Alguns ou todos os o b je t i ­

vos podem ser concorrentes por certos recursos limitados,

tais como, capital, bens e mão-de-obra. Outrossim, estes

objetivos p od e m ser incomensuráveis entre si. Desta forma, a resolução de um problema requer o e st ab elecimento de uma hierarquia de importância entre esses objetivos inter-rela

cionados, de modo que os objetivos de baixa ordem sejam

considerados depois dos objetivos de maior ordem serem s a ­ tisfeitos ou terem alcançado um ponto, além do qual nenhum aperfeiçoamento adicional ê desejado.

Se a administração pode p ro vi d en ci ar uma relação

ordinal de objetivos, em termos de suas contribuições ou

importância para a organização, e todas as restrições e ob jetivos estão em relações lineares, o problema pode ser re solvido por Programação por Objetivos. Deve-se, outrossim,

distinguir o significado entre o termo "objetivo", que se

faz referir aos desejos dos decisores, da expressão "res

trição", que diz respeito as condições funcionais sob as

quais se tomam as decisões.

problemas de decisão que tratam com simples objetivo com

múltiplos s u b o b j e t i v o s , bem como problemas com múltiplos

objetivos com múltiplos s u b o b j e t i v o s . Em adição, a função

objetiva de um modelo de Programação por Objetivos pode

ser composta de unidades de m edida não homogêneas, tais co

mo kg e C r $ , ao inves de um so tipo de unidade, ã qual

estamos sujeitos em Programação Linear.

Em Programação por Objetivos, todos os objetivos são conjugados na mesma função objetiva, e somente as c o n ­ dições funcionais reais são tratadas corno restrições.

Em Programação Linear, a função objetivo ê c o n s ­

tituída de variáveis "reais", que compõem o problema, e o

enfoque ê orientado no sentido de otimizá-la segundo um

critério objeti%To. De forma diferente, a função- objetiva

do modelo de Programação por Objetivos ê usualm en te consti. tuída de variáveis de desvio, que r epresentam cada tipo de objetivo ou subobjetivo. A variável de desvio ê representa

da em duas dimensões na função objetiva; u m desvio posit2_

vo e um negativo de cada objetivo, subobjetivo e / o u ;restri

ção. Então, a função objetiva passa a ser a m in im iz aç ão

desses desvios, baseada na prioridade a eles atribuída ou

na importância relativa. A função objetiva assim constituí

da faz com que as variáveis de desvio guiem os valores

das variáveis "reais". •

Desde que se faça necessário, ê 5'bvio' a po ss ib i­

lidade de inclusão das .variáveis "reais" na função o b j e t i ­ vo.

temente a Programação por Objetivos pode ser aplicada para a resolução de problemas de Planejamento, da Produção A g r e ­

gada. É proposto m os trar que a Programação por Objetivos

contêm todas as vantagens dos m étodos bãsicos existentes e,

em adição, supre muitas de suas deficiências. Ao invés de

necessitar de informações de custos, que muito d i f i c i l m e n ­ te são estimados com precisão, a Programação por Objetivos requer, apenas, o e stabelecimento de uma h i er ar qu ia de i m­ portância entre os vãrios objetivos i n te r- r elacionados,pro p orcionando flexibilidade suficiente para refletir as p r e ­

ferências da administração ou políticas na solução, ao con

trãrio do que ocorre com os outros m ét odos bãsicos, dos

quais nada se pode afirmar acerca da compatibilidade, ou

não, da solução com as metas traçadas pelos a d m i n i s t r a d o ­

res.

LIMITAÇÕES DO ESTUDO

As limitações deste trabalho são inerentes ãs li­ mitações de Programação por Objetivos. Toda e qualquer téc nica quantitativa, obviamente, que possui limitações. Além das relativas â sua condição de técnica linear, m e re c e m re

alce as limitações deA^ido ãs c a ra cterísticas particulares

de Programação por Objetivos. • .

As limitações atribuíveis ã condição básica de

1. Linearidade

Como visto anteriormente, Programação por O b ­ jetivos ê uma extensão de Programação Linear.

-Ç Isto implica que a função objetiva,

restri-I ções e relações de objetivos devem ser l in ea ­

res. Significa que a.medida de obtenção dos

objetivos e utilização dos recursos devem sa­ tisfazer as p r opriedades de aditividade e h o ­ m ogeneidade na função objetiva e restrições.

2. Divisibilidade

A solução õtima de um p r oblema de Programação por Objetivos, freqüentemente, apresenta valo res não inteiros para as variáveis "reais".

3. Determ in ís ti co . '

No problema comum de Programação por O b j e t i ­

vos, todos os coeficientes de m odelo devem

ser constantes, ou seja, o p ro bl e m a requer

uma solução em um meio de decisão determinís- tico, o que, na r e a l i d a d e , não a c o n t e c e .

As limitações inerentes ãs características part^

culares são: ' . .

Quando da sua utilização para a resolução de

problemas de P l anejamento da Produção Agregada, a t é c n i ­

ca de Programação por Objetivos não substituirá os a s p e c ­

tos subjetivos de tomada de decisão com relação ã cônside-

ração de objetivos não econômicos que, por natureza, . são

A Programação por Objetivos impõe r e s p o n s a b i l i ­

dades adicionais ao decisor, por forçã-lo a analisar .al­

guns .aspectos do probl e ma que tenham sido antes abandona

dos.

Em face de Programação por Objetivos basear-se

em objetivos e suas importâncias relativas para a o r g a n i ­

zação, ainda permenece o problema de estabelecer p r i o r i d a ­ des para tais objetivos conflitantes. Usualm e nt e não ê po£ sível, para o cientista responsável pela aplicação de P r o ­ gramação por Objetivos, estar completamente ciente dos o b ­

jetivos da organização, desde que estes são quase sempre

implícitos na filosofia de administração, ao invés de esta belecidos explicitamente. Também, alguns resultados de uma

decisão contêm aspectos que são relevantes aos objetivos

da organização, mas não podem ser facilmente avaliados por

tais cientistas, em termos de certos critérios de o b j e t i ­

vos. Muitas destas vitais informações p o de m ser obtidas

somente da alta cüpula administrativa. Portanto, o cientis

ta deve obter a total cooperação e confiança dos deciso-

res, de m an e ir a que sua filosofia e dados confidenciais

possam ser refletidos no modelo. A menos que contenha tais

informações, a solução derivada' pelo m od el o pode simplejs

mente ser um exercício dispendioso, que nunca seria i m p l e ­ mentado pelo tomador de decisão.

IMPORTÂNCIA DO

ESTUDO-P a r a t o d a c í|tis.j.c|üc

. e m p r e s a , e e x

r erri8.

nen

6

-

10

poníveis, satisfazendo as restrições impostas pelas c o n d i ­ ções funcionais ambientais, bem como pela p ol ít ic a o r g a n i ­ zacional acerca do nível de emprego, nível de estoque, c a ­ pacidade de produ ç ã o e uso de capacidade externa (por exem pio, subcontratação).

0 problema de Planejamento da Produção Agreg ad a

diz respeito ã resposta dos decisores para um modelo de de manda variável com o tempo. Especificamente, dado demandas

previstas, como podem os recursos produtivos, m ã o- de - ob ra

e bens, serem m elhor utilizados, de modo a respeitar as

restrições ambientais e, satisfazer os objetivos da . adm_i

nistração acerca de contratação e dispensa temporária de

mão-de-obra; operação em horas extras e ociosidade dos cen

tros produtivos; estoque de produtos acabados e falta de

atendimento das demandas dos c o n s u m i d o r e s ; alterações dos

níveis de produção; subcontratação de capacidade produtiva,

de produtos semi-acabados e produtos acabados, sobre um

m ultip er ío do horizonte de planejamento.

Flutuações na demanda p od em ser absoriridas pela

adoção de uma das combinações das seguintes estratégias:

- A ju star o nível de emprego, através da c o n t r a ­ tação ou demissão temporária de empregados;-- Permitir trabalho extra o.u ociosidade, m a n t e n ­

do constante o nível de emprego;

- A lt erar o nível de subcontratação, • mantendo

- A j ustar a capacidade produ t iv a da empresa.

'? Obviamente, cada uma das estratégias acima impl^L

ca em um conjunto de custos tangíveis, os quais p odem ser

custos direto e/ou de oportunidade, bem como, intangíveis,

quais s e j a m o moral dos empregados e a imagem pública da

organização. - ■ ■

Se for suposto, contudo, que a administração ê

capaz de p rovidenciar uma m edida ordinal para os vãrios

custos considerados no Planejamento da Produção Agregada,

então será possível usar uma estrutura analítica para r e ­

solver o problema. Este estudo sugere que P rogramação por

Objetivos pode prover um modelo aperfeiçoado para resolver problemas de Planejamento da Produção Agregada.

ESTÁGIO ATUAL DE C ONHECIMENTO

Existem três métodos básicos sugeridos como p o s ­

síveis soluções para o Planejamento da Produção Agregada.

São eles: o Método de Transportes de P r og ra ma ça o Linear, o

M etodo Simplex de Programação Linear e o M odelo de Regra

Linear de Decisão.

0 Método de Transportes de Programação ' Linear

tem sido criticado por:

- Ignorancia dos custos associados com m udança

no nível de produção e penali d ad es inerentes

-- Inabilidade em prover a inclusão dé um limite sobre o nível de estoques;

- U ni di me ns ionalidade da capacidade produtiva.

“ Na pratica, pode não ser possível a redução de

m ultip ro du to s para unidades, u tilizando a d_i

m ensão simples da capacidade produtiva.

0 M odelo de Regra Linear de Decisão traz consigo a deficiência da capacidade unidimensional.

A dificuldade da u tilização do M od el o de P r o g r a ­

m ação Linear não ê tanto sua inabilidade para representar

as complexidades realistas, mas repousa no fato que sua

aplicação requer informações de. custos, que são f r e q ü e n t e ­

mente muito difíceis de conseguir. Por' exemplo: custos de

contratar ou demitir temporariamente não são ficeis de d e ­ terminar, quando os custos intangíveis implicados são c o n ­

siderados. Pode ser igualmente difícil determinar os c u s ­

tos corretos de transportar o estoque. Por outro lado, p o ­

de apresentar extrema dificuldade a estimativa de custos

por oportunidades próprias, por capital empatado em e s t o ­

ques .

Métodos científicos s a ti sf a t o r ios não estão d i s ­

poníveis, para determinar custos de uma m a n e i r a eficaz, e

o procedimento usual seguido é solicitar ã administração

providenciar uma "melhor estimativa" de custos. Eventual - mente, gerentes capazes de fazer estimativas concretas des ses custos são difíceis de encontrar.

los heurísticos, os quais, porem, se deparam com dificulda

c. es críticas análogas às do método de Programação Linear :

a incoipensurabilidade dos vários objetivos.

Nesta situação, não se pode usufruir dos modelos acima citados.

Por eliminar as inconveniências críticas e x p os ­

tas e, ainda, apresentar flexibilidade suficiente para

consideração das preferências dos administradores na s o l u ­

ção, a técnica de Programação por Objetivos apresenta-se

como m el ho r situada para análise de decisões em Planejamen to d a c Produção Agregada.

CAPÍTULO II

ANÁLISE M AT EM ÁT I C A DE PROGRA MA ÇÃ O POR OBJETIVOS

P rogramação por Objetivos é uma técnica utiliza-•v ,

da n a analise de situações lineares c o m p l e x a s , que

envol-I

vem um único objetivo com múltiplos subobjetivos, bem como

aquelas com múltiplos objetivos com múltiplos subobjeti-

v o s.

Ai Simples Objetivo com Múltiplos Subobjetivos Neste caso, um objetivo.pode ser satisf ei to atra

vés da obtenção simultânea de um conjunto de subohjetivos

* x 2 * • • • • » •

f (x , x 2 , . xn ) = a 1x 1 + &2x 2 + **• an xn =b (2 o 1)

onde: .

-a ^ , -a ^ , an são números reais.

E m forrna matricial, a equação (2.1) pode ser e x ­ p ressa como:

ax, = b (2.2)

onde x é um vetor coluna com componentes x^(i=l,...., n)

e a. é um vetor linha constituído de a^, a 2 , . - . ,

0 modelo de P r o g r a m a ç ã o . po.r Objetivos pode ser

formulado como:

M i n „ Z = d" + d+ . (2,3)

ax + d - d+ = b

x , d , d+ > 0

!

I

d" . d+ = 0 |

onde d e d representam as variáveis de desvio do o bj e­

tivo. H á a consideração da condição de não n e g a t i v i d a d e ,

xsto e: x , d , d > 0 . A s vari aveis de desvio sao

comple-, mm ■ +

mentares entre si, Se d assumir um v a l o r .p o s i t i v o , d s e ­

rá zero e vice-versa; logo d „ d+ = 0 pois, sempre, pelo

menos um dos desvios será zero. b representa o objetivo a

ser satisfeito.

No modelo (2.3), uma solução será p e sq ui s ad a p a ■ ,

ra tentar satisfazer completamente o objetivo, de modo que

ax = b , isto é, a função objetiva sempre guia os valores

de d e d+ a zero. Quando o objetivo e inatingível em

s ua plenitude, assegura-se que a abordagem será tão c on t í­ gua quanto possível.

A.l. Restrições aos Subobjetivos

No modelo (2.3) , a única restrição imposta aos

subobjetivos foi simplesmente r elacionada ã condição de

não negatividade (x > 0) . Contudo, freqíientemente s o ambi­

ente organizacional impõe restrições adicionais sobre os

subobjetivos, tais como:

Bx < h (2.4)

onde o n úmero de restrições definirá o tamanho da matriz B e vetor h, e a quanti fi ca ç ão das restrições caracterizara

os componentes de B e h. Entào, o modelo de P rogramação p or Objetivos pode ser e xp resso como segue:

Min. Z = (d" + d+ ) (2.5) 'V-v' S u j e i t o a : f ' ax + d + d = b Bx < h x, d", d + > 0

Pelo acima exposto, torna-se evidente que, ao

tratar-se com um simples p r oblema de decisão, onde s o m e n ­

te um objetivo e envolvido, o modelo de Progra ma çã o p or

Objetivos n ão e substancialmente diferente de u m modelo de

P rogramação Linear, desde que ambos u se m o mesmo, critério

para otimização.

E m P rogramação p o r Objetivos, a filosofia e o r i ­

entada no sentido de otimização de uma m a neira indireta,

ao inves de tentar maximizar diretamente o critério objet_i v o , como n o caso de P rogramação

Linear-No modçlo de Programação Linear, as variáveis de

desvio são ditas variáveis "de f o lg a ” . A introdução d eS ”

ses desvios representados em'duas dimensões e a idéia c h a­ ve de Programação por Objetivos.

Tal enfoque liberta o a dm inistrador da responsar

bilidade de quanti fi ca r acuradamente informações de custo

ou valor de um -objetivo ou subobjetivo. 0 administrador po

ou utilidade de um objetivo, mas, freqüentemente, estã apto a e s tabelecer limite superior ou inferior, o que e ne

cessãrio e suficiente quando da abordagem de Programação

por Objetivos. Cada objetivo seria e s ta be le ci do como:

ax £ b

onde :

x > 0

B. Múltiplos Objetivos com Múltiplos Subobjeti-

vos

Quando a administração estã e m pe nh ad a n a o b te n ­

ção simultânea de múltiplos objetivos, o m o de lo de P r o g r a ­ mação por Objetivos pode ser formulado m atematicamente co­ mo: m ' + Min Z = Z (d, + d i ) " (2.6) i = 1 sujeito a: Ax + Id” - Id+ ---■ b x, d", d + > 0

onde b é um vetor coluna de m componentes, que e x p r e s ­

sam os n í ve is dos m objetivos considerados, os quais p o ­

dem ser satisfeitos através de combinações de n subobje-

íivos variáveis, representados por vetor coluna x de n

componentes, A e uma matriz- m x n que expressa, a r e la ­

18

res coluna de m componentes, representando os desvios

dos objetivos, e I é a matriz identidade m-dimensional.

No modelo acima, cada restrição esta relacionada com um objetivo. A l é m da condição de n ã o - n e g a t i v i d a d e , qua se sempre, restrições adicionais são impostas aos subobje-

tivos. Considerando-se k restrições adicionais impostas

aos s u b o b j e t i v o s , o modelo de P rogramação por Objetivos se rã formulado como: m - + M m . Z = z (d- + d.) (2.7) i = l 1 1 sujeito a: Ax + Id" - I d + = b Bx £ h x , d , d+ £ 0

onde B e uma matriz k x n e h é u.m vetor coluna cons_

tituído de k elementos.

B.l. Listagem e Ponderação dos Múltiplos Objeti- vos

No mundo real de decisões, quase sempre não é

possível satisfazer cada objetivo na extensão desejada 'pe­ la administração, pois a m a i o r i a dos objetivos são competi tivos, em termos de necessidade p or .recursos escassos, i s ­

to é, são alcançáveis somente ãs custas do sacrifício de

in-comensuráveis entre si. Torna-se necessário, então, ao ad­ ministrador, com ou sem P rogramação por Objetivos, baseado em seu julgamento acerca da importância relativa dos o b j e ­

tivos individuais, estabelecer prioridade para a obtenção

dos vários objetivos, de modo que os objetivos de baixa or

dem sejam considerados depois dos objetivos de m a io r o r ­

dem serem satisfeitos na extensão desejada. Se h ouver obje

tivos em r níveis de p r i o r i d a d e , fatores de prioridade

PjCj = 1» 2 , . . . , r) serão atribuídos âs variáveis de d es ­ vio n eg a ti va e/ou positiva. Os fatores de prioridade p o ss u

em a relação P. >>> P - + 1 » o que .implica em que, multipli-

cando-se P- + i P°r um valor finito m a io r do que se pode

imaginar, nunca o resultado será maior ou igual a P j .

Há, dentre os múltiplos objetivos, alguns que

são comensuráveis entre si; então, a análise de suas atri­

buições ou impor tâ nc ia relativa p ar a a organização pode

ser verificada segundo um fator comum. Estes objetivos c o ­ mensuráveis estarão, portanto, situados num mesmo nível de

prioridade e, desde que se faça desejável uma certa h i e ­

rarquia, pode-se atribuir aos desvios, através de d e t e r m i ­ nado critério, denominador comum, pesos diferenciais fini­

tos (a), os quais, multip l i ca nd o P-, mostrarão esta

hie-j rarquia.

Seja, então, c um vetor linha, com 2m c om p o­

nentes, cujos elementos são produtos de. e. a, tal que:

20

onde (i = 1, 2, . .., 2m; j- = 1, 2, r) são os f a ­

tores de prioridades, com sendo o mais alto fator, e

(i = 1, 2, 2m) sao números reais. Tome-se d como

uiv, vetor coluna com 2m componentes, cujos elementos são

d ' s e i d+ ’s , tal q u e :

d — (d-^ , d

2

Então, o problema de Programação por Objetivos,

envolvendo múltiplos objetivos i n t e r - r e l a c i o n a d o s , pode

ser formulado como:

Miri. Z = cd - (2.10)

su j eito,, a : . '

Ax + Rd - b

Bx <: h -..

x , d ^ 0

onde R ê uma matriz m x2m, c onstituída dos elementos

a^j = 1 quando j = i ; j = m + i , e a — = 0, em caso

contrario, e os outros elementos (A, B, x, c, b, d e h) con forme definidos anteriormente.

A função objetiva consiste de variaveis de d e s ­

vio com fatores de prioridade P j 's para listagem ordinal e

pesos diferenciais a ' s , para ponderações no mesmo ní\rel

de prioridade.

satisfa-jetivos serã aquela que minimiza o número de obsatisfa-jetivos não

satisfeitos"em sua plenitude. •

C. Analise dos Desvios e Variações da Função O b ­ jetiva

0 tomador de decisões deve analisar o sistema e

investigar se todos os seus objetivos estão expressos no

modelo de Programação por Objetivos. Quando todas as r e s ­

trições e objetivos estão completamente identificados no

modelo, o decisor deve analisar cada objetivo em termos de se sobre ou subobtenção do objetivo é s a tisfatória ou não. Baseado nesta analise, ele pode alocar variáveis de desvio

para as restrições regulares e/ou de objeti\ros. Se sobre

obtenção ê desejável, desvio positivo do objetivo pode ser

eliminado da função objetiva. Por outro lado, se a subob-

tenção de um certo objetivo e aceitável, desvio negativo

não seria incluído na função objetiva. Se a exata obtenção do objetivo é desejado, ambos os desvios - posit i vo e nega tivo - devem ser representados na função objetiva.

Uma ou ambas as variáveis de desvio de cada r e s ­

trição devem aparecer na função objetiva. Se ‘n enhum d e s ­

vio aparece na função objetiva, ê possível que ambos terird

nem na base, e a restrição d ^ . . d* = 0 não será saldada.

eti-O

L. Lé

0 modelo geral de Programação por Objetivos foi

apresentado através de (2.10), no qual a função objetiva ê

simplesmente a função m inimização de variáveis de desvio,

obm certos fatores de prioridade e pesos atribuídos a

elas. Variações na funçao objetiva podem ser assumidas de

E

t

acordo com a estrutura d.e objetivos da análise de d e c i ­

sões, como seguem:

C.l. Minimização de (d + d + )

Dado que a restrição de objetivos é expressa por

Ax + d - d + = b , a m inimização de d + d + m i ni mi za rá o

valor .absoluto de Ax - b. Como visto anteriormente, pelo

menos uma variável de desvio será zero, dependendo do n í ­

vel de° objetivos e praticabilidade técnica do sistema. Por

exemplo, se Ax > b , então d = 0 ^e- d + = Ax - b , ao pas-

so que,, se Ax < b , entao d = 0 e d = b - A x . Se Ax = b ,

o objetivo é alcançado exatamente como desejado; . logo,

d" = d + = 0. .

C . 2. M inimização de d

. S e a função objetiva é construída para minimizar

o desvio negativo d do objetivo e se soluções são poss_í

veis, as mesmas consistirão dè todos x ’s tal que.Ax > b,

minimizando d a zero. Se não ê possível minimizar d a

zero, o conjunto solução consistirá de todos os x's que.

minimizem (b - Ax) â extensão possível.

C . 3. M inimização de d +

soluções são possíveis. Se o modelo não pode m in imizar d +

.a.\>zero, a solução consiste de todos os x's os quais mini.

m i ze m ;(Ax - b) para a mais completa extensão possível,

f

_. —

-f-C . 4. Minimizaçao de (d • - d )

,-L. — -{■

A minimi z aç ao de (d - d ) tem o mesmo efeito

— -L ^

de maximizar Ax. Se for denotado d = (d - d ) , a. varia-

vel de desvio d e irrestrita em sinal. Então, o modelo

de Programação por Objetivos pode ser escrito como: .

Min. d (2.11)

sujeito a:

Ax + d - b x ., d è 0

Como d = b - A x , pode-se transformar a' função

objetiva para m in im iz ar (b - Ax) . Como b é uma c o n s t a n ­

te, a função é equivalente à maximização de Ax. Na prãti^

ca, contudo, a m a ximização de Ax pode também ser obtida

se b for estabelecido como um número muito grande, e m i ­

nimizar d . Portanto, na maioria dos casos, a função de

"minimizar d - d + " é usada raramente.

C . 5. M i nimizaçao de (d+ - d )

0 efeito da função para m i ni mi za r (d+ - d") é

equivalente ã minimização de A x . Se se tomar d = d + - d ” ,

c o m o :

Min. d (2.12)

sujeito a:

Ax - d = b

x , d ^ 0

Como d .= Ax - b e b ê uma constante, a função

objetiva ê equivalente a m in i mizar Ax. Na m a i o r ia dos

problemas do mundo real, dificilmente ê usada a função p a ­

ra minimizar (d+ - d ), pois resultado;, idêntico pode ser

obtido minimi za nd o d + e tomando b s ubstancialmente p e ­

CAPÍTULO III

F ORMULAÇÃO DO M ODELO GERAL DE PROGRAMAÇÃO POR OBJETIVOS PA RA O PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO A GR EGADA

K. ELEMENTOS E NOTAÇÃO UTILIZADOS NO MODELO

* Para a formulação do modelo geral, considerando

um m u ltiperíodo produto, ê necessário, p r i m e i r a m e n t e ,. defi^ nir os vários elementos que dele fazem parte.

. i = produto i = 1, 2, ..., m

t = período t = l , 2 , . . . , n

k = centro produtivo k = 1, 2, . . . , p

1. Constantes ■

1^(0) = estoque inicial do produto i

I^(t) = estoque de fechamento desejável do produto i,

no fim do período t(t e W ) , onde W ê um c o n ­

junto ciajos elementos repres en ta m os p e r í o ­

dos nos quais se deseja que toda á demanda

dos períodos anteriores seja satisfeita.

Tais períodos são ditos "Períodos de A j u s t a ­

mento", e deverão ser definidos previamente

pela administração.

E(D^(t)) = demanda p.revista do'produto i no período t.

Logo, t

X E(D, (j))

3 = 1

é a demanda prevista do produto i ate o pe

ríodo t ( in c lu s i v e) .

k

3^ = numero de horas requeridas no centro produti.

v o ' k, para produzir uma unidade do produto

i.

'? C^(t) ~ ‘ = capacidade de produção regular disponível (em

T V

j unidades de medida de tempo; no modelo a uni.

dade utilizada ê horas) do centro produtivo

k, no período t.

B (t) = limite superior de horas extras do centro

k

produtivo k no período .t. (B (t) ê normalmen k

te uma dada fraçao de C ( t ) , mas não n e c e s ­

sita ser a mesma para todos os períodos e,

tampouco, para todos os centros produtivos.

3^ 1c

B (t) assume seu limite inferior (B (t) = 0),

caso a empresa em questão esteja operando

com sua capacidade m a xi ma instalada, isto ê,

trabalhando cento e quarenta e quatro (144)

horas semanais, ou a administração c o n s i d e ­

re desinteressante a operação em horas ex-

k

-t r a s . B (-t) -tera í^ssumido seu limi-te s u p e r i ­

or mãximo quando se igular ao total máximo

disponível de horas extras do centro produti_

vo k no' período t).

b^ : = lucro bruto unitário do p roduto i,

c^ = custo padrão do produto i.

As informações relativas ao custo padrão e lucro

bruto unitário de cada produto elaborado p od em ser " fa.cil.

mente quantificáveis e serão utilizadas, neste estudo., c o ­ mo fator ponderador de importância em um determinado nível

de prioridade, na funçao objetiva.

2. Variáveis

q^(t) = quantidade do produto i, produzida no

perío-l

v, do t. Logo,

í t ■

>:

q C j )

j=i

ê a quantidade do produto i produzida até o

período t - ( in cl us iv e) .

dt(t) = estoque de fechamento do produto i, no f:i.m

do período t , isto é :

+ 1 t

djL (t) = 1 ^ ( 0 ) + Z Q i (j) j - | Z E ( D ± (j)) |

j=1 i =1

dT Ct:^ = demanda do produto i que se deixou de a t e n ­ der até o período t, isto é:

t t

dT(t) = | Z- E (D i (j )) j - | Ii (0) + Z q i (j)|

j=1 J 1

d ^ t ) = quantidade do produto i que excede o estoque

de fechamento desejável Ij (t) , no fim do p e ­

ríodo t (t e W)

t t

dn (t) = | Ii C0) + Z q.(j)| - | Z E(D.(j)) + I± (t) |

j=l j = i

•' k + ■ ■ • ~

x. (t) = total de horas extras de operaçao no. centro

p rodutivo k no período t.

...

x (t) = total de horas nao utilizadas (total de subü

tilização) da capacidade regular de produção

do centro produtivo k no período t.

1c 6 “ -*•

28

utilizada do centro p r o d u t i v o k no período

t

x k e ‘ (t) = (Ck (t) + B k (t)) - Z 3k q,(t)

i = 1 lc 6 +

x (t) = total de horas extras que excede o limite s u ­ perior de horas extras d isponível ou estabele eido pela administração, para o centro p r o d u ­ tivo k, no período t.

v <=>+ m v v v

■ X (t) = E af q,(t) - (CK (t) + B (t)) i = l

Do acima exposto, pode-se f acilmente deduzir o inter - r e l a c i o n a m e n t o existente entre as qua tro (4) últimas variáveis definidas, como s e ­ gue :

x k e "(t) - x k e + (t) = x k (t) - x k + (t) + B k (t)

3. Objetivos da A d m i n i s t r a ç ã o acerca da Produção A g r e g a d a e suas Prioridades

Objetivos organi z a c i o n a i s v a r i a m de acordo com as características, tipo, filosofia de ad m i n i s t r a ç ã o e par ticulares condições ambientais da organização. Em fa.ee da inexistência de uma estrutura un i v e r s a l de objetivos para o p l a n ejamento da p r odução agregada, tomar- s e - ã a s e g u i n ­ te estrutura de objetivos como a mai-s adequada, levando-se em consideração os aspectos operacionais e socio-econômi- cos, e os rumos da indústria têxtil' brasileira'.

Para a c o n s i deração dos objetivos e respectivas prioridades, c o n s i d erou-se a relação abaixo discriminada,

em ordem decrescente de grandeza, tomando como referencia uma unidade de produto fabricada.

1. Custo incorrido na falta de atendimento das demandas previstas

2 . Custo de subcontratar

3. Custo de capital imobilizado mais custo de estocagem 4. Custo de ociosidade dos centros p rodutivos

5. Custo de operação em horas extras dos centros produti vos

O B J E T I V O S P R I O R I D A D E S Satisfazer a demanda corres p o n d e n t e aos

produtos ou consumidores classificados co

. mo - e s p e c i a i s ... 1

Satisfazer a demanda não consi d e r a d a a c i ­

ma 2

Evitar a subcontratação. A a d ministração considera mais interessante fazer uso das horas extras disponíveis do que s u b c o n ­ tratar, isto é, so subcontratar em caso de as horas extras excederem ao m ã ximo . disponível. Tal objetivo pode ser satis feito através da tentativa de m i n imiza- ção das horas extras ao limite superior estabelecido

'v

3

M i n i mizar o capital empatado em estoques' 4 Evitar a subutilização da capacidade regu

lar de produção em cada .centro p r o d utivo 5 Minimizar as horas extras de operação 'em

B. M O D E L O GERAL

A definição dos vãrios e l e m e n t o s , a c i m a permite a formulação do m o d e l o geral. 0 alvo ê a m i n i m i z a ç ã o de d e s ­

vios de objetivos, com p r é -fixados fatores de prioridades.

1. Função O b jetiva Min Z = P t Z m 1 ~ Z b. d i (j) (p/t j-l i=l ieE W) t m + P. Z Z b, d. (j) (p/t t W) + j=l i=l if£ E n • p ke + + P-7 £ Z x (t) + P , ò t=l k=l m + Z c. d. (t) (p/t i W) i=l m + Z c i d j x (t) (p/t e W) i = l 11 P k-Pr Z Z X (t b t=l k=l n p k+ + P r Z Z x (t) 0 t=l--k=l

E = Conjunto dos índices das demandas corre s p o n d e n t e s aos produtos especiais.

A função objetiva indica que os dois mais i m p o r ­ tantes objetivos da a d ministração se fazem referir ã obten ção do mãximo possível de vendas. Dentre estas, preocupa, -se, primeiramente, com o atendimento da demanda correspon dente aos p r odutos especiais. Not a - s e que tais demandas es> Deciais sao as ooTresnnnrifintes aos produtos cujos índices representativos são os elementos do conjunto E.

do lucro bruto por unidade para cada produto, b^.

Em seguida, a adminis t r a ç ã o deseja restr i n g i r o trabalho em horas extras ao limite superior estabelecido. Para tal objetivo, ê alocada a terceira prioridade.

Com p rioridade quatro (4), a ad m i n i s t r a ç ã o d e s e ­ ja mi n i m i z a r o capital empatado em estoques. Logicamente, dentro desta prioridade, a alocação de i m p ortância r e l a t i ­ va ê feita em função do custo padrão por uni d a d e do p r o d u ­ to i, c^. Poder-se-ia ter u t i l izado pesos d i f e r enciais o b ­ tidos pela m u l t i p l i c a ç ã o dos fatores c o r r e s p o n d e n t e s ao custo de capital, custo de estocagem e custo padrão de fa­ b r i c a ç ã o .. Como o custo de capital, que ê obtido através da adição dos fatores referentes â r e n t a b i l i d a d e do capital da empresa (taxa de rentabilidade) e taxa d.e inflação do período, ê o 'mesmo para todos os produtos, e o custo de es_

tocar uma unidade (p,ex. metro, metro quadrado, etc.) do produto final pode-se tomar, no setor têxtil, como sendo um valor constante, independente do tipo do produto, pod_e -se, sem sacrifício dos resultados do modelo, desprezar

tais fatores. . . •

A quinta, .prioridade, P,., ê atribuída ao desvio negativo da capacidade regular, de produção, x ‘c~(t), isto ê, a . a d ministração desej a m i n i m i z a r a. subutili.zação da c a ­ pacidade normal dos centros produtivos.

32

m e j a m i n i m i z a r as horas extras de operaçao dos centros pro dutivos, mas somente depois de alcançar a total u tilização da capacidade regular. Em uma empresa com uma linha de pro dução d i v e r s ificada e com capacidade p r o d u t i v a m u l t i d i m e n ­ sional , ê extremamente difícil obter o b a l a n c e a m e n t o de ca pacidade dos centros produtivos. D esta forma, foi a t r i b u í ­ da maior importância para a m i n i m i z a ç ã o de subutilização do que de horas extras, com o intuito de se tentar c o n s e ­ guir total utili z a ç ã o de capacidade produtiva, mesmo que isto implique na neces s i d a d e de operação em horas extras em alguns centros produtivos.

A menção, para os períodos não pert e n c e n t e s ao conjunto W, p/t £ W, nas p r i oridades 1 e 2 da função o b j e ­

tiva, deve-se ao fato de a formulação do modelo jã i m p l i ­ car na satisfação das demandas para os per í o d o s p e r t e n c e n ­ tes ao conjunto W, t e W.

2. Relação entre as demandas, p r odução e estoque de p r o d u ­ tos acabados. t ■ ' ■ + - t li(O) + E q± O D - ^(t) + d (t) = I E(Di (j)) j=l j=l • (t i W; i •= *1, 2, ... , m) . t. • t

^(0) + E qt (j) - di-.(t) = E E(Di (j)) + I^t)

j=l j=l

No modelo, e assumido que a p erda de vendas em um período pode ser coberta em períodos posteriores, bem co mo ê p e r m i t i d a a p rodução em um per í o d o e entrega em perío dos subseqUentes. É suposto também que, em períodos prev i a m ente definidos pela a d ministração (t e W ) , toda a demanda dos períodos anteriores ê satisfeita.

0 p r imeiro conjunto de equações das restrições

acima (i. e., p/t £ W) estabelece que o estoque inicial,

1^ (0), mais a p r odução cumulativa no p e r í o d o t,

--

7 E _

J = 1

menos o estoque de fechamento do período, d.*(t), mais a fal_ ta no período, d^(t), deve igualar a dema n d a pr e v i s t a acumu lada no período t, , ■

t

■ E E(D, (j)) ■

j = l

0 segundo conjunto de e q u a ç õ e s .estabelece que,

para t e W, o estoque inicial, 1^ (0), mais a pro d u ç ã o c u m u ­

lativa no período t,

t

2 q, (j) , .1 = 1

menos a quantidade que excede o estoque de fechamento d e s e ­ jável, d ^ ( L j , deve igualar' a demanda p r e v i s t a cumulativa no período t,

34

t

£ E(D,(j)), 3 = 1

mais o estoque de fechamento desejável no perí o d o t, I^(t). Logicamente, através de tal formulação, garante-se para tal período (t e W) que, além da satisfação da demanda dos p e ­ ríodos anteriores, haverã, no mínimo, um excesso de p r o d u ­ ção correspondente ao estoque de fechamento desejável, I^(t), cuja quantif i c a ç ã o fica a critério dos decisores, conforme a pos s i b i l i d a d e de eventuais pedidos extras de consumidores especiais e/ou pedidos de urgência.

Pela condição de n ã o - n e g a t i v i d a d e , tem-se que

+ '

dii(t) > 0; por .s.ua na t u r e z a quantitativa, I^(t) ^ 0. A t r a ­ vés do terceiro conjunto de equações das restrições m o s t r a das acima, conclui-se que não haverã falta nos p eríodos de ajustamento (t e W) , pois d^(t) = 0 , e que o estoque d.e f e ­

chamento, d*.(t) , eni tais períodos, no mínimo, se igualará ao estoque de fechamento desejável. I^(t).

3. Restrições de capacidade dos centros produ t i v o s

m k , k- k+^j_s k E q^(t) + x (t) - x (l) = c (t.) i=l

- (k = 1, 2 , ... . , p ; t = 1 , 2 , ... , n)

Estas restrições mos t r a m que a capacidade util i z a k

da. em um centro produtivo, £ 3^- q^(t), mais 0 total de subu

k-tilização, x \ ( t ) , menos as horas extras de operaçao,

}ç 4- ' •*.

■ k centro produtivo, c ( t).

4. Restrições de operação em horas extras

xk+(t) <: 5^ (1)

(k = 1, 2 , ..., p; t = 1, 2, ..., n)

Tais restrições estipulam que a operação em horas

k +

extras, no centro p r o d utivo k, no período t, x ( t ) , deve k ser menor ou igual ao limite superior estabelecido, B (t). Considerando que o total de horas extras que exceder o limi­ te superior estabelecido ser.ã subcontratado, e que o objetl vo da a d ministração com p rioridade 3 e a m i n i m i z a ç ã o de

subcontratação de capacidade d.os centros produtivos, as res trições acima p odem ser estabelecidas da seguinte forma:

■ ví r\k , k e + k e + ^ . k,-.-. nkr. Z 3 • q- (t) + x (t) - x (t.) = c (t) -I- B (t)

i=l ■ *

(k = 1,'2, ..., p ) ; (t = 1, 2 , ..., n)

Estas restrições indicam que a capacidade ut i l i z a d a

k •

em um centro produtivo, Z 9^ q^(t), mais o total de capaci-

^ ^ 0

dade disponível nao utilizada-, x (t) , m enos o total de ho ras extras que excede o limite- superior e s t a b elecido . ou

■** lv 0

disponível, x ( t ) , iguala-se a capacidade regular de o p e ­ ração, ck (t), mais o limite superior de horas extras do cen tro produtivo k no período t, B k (t’) < .

5. Restrições de r.ao-negatividade. Qj^t), d7(t), xk~(t), xkH(t)', xke~(t), xke+(t) > 0, íÍ.i, - .. V p/ t = 1, 2, . , . , n ^ d^Ct) > 0, p/ t e W (i = 1, 2, .,. , m; k = .1 , 2, ..., p)

6 . Possibilidade de Subcontratação (Confronto entre u t i l i ­

zação de horas extras, s u b c ontratação e aumento da c a p a ­ cidade regular de p r o d u ç ã o ) .

A ' p e c u l i a r i d a d e de m a n u f a t u r a do produto como . um. "todo" apresentada pelo setor têxtil torna um tanto c o m p l e ­ xa a consideração de pos s i b i l i d a d e de subcontratação em um

modelo matemático. *

• - A possibi l i d a d e mais gen e r a l i z a d a de atuação, no ra mo industrial têxtil, ê o p r ocesso p r o d utivo que. envolve a

utilização de m a t é r i a prima natural (malva, juta, algodão, etc.) e a transformação em um produto de u t i l i z a ç ã o i m e d i a ­ ta pela sociedade (vestuário, sacos de juta, etc.). A sub- .contratação de capacidade de um centro produtivo, p. e x . ,

fiação., praticamente, implica na subcon t r a t a ç ã o de todos os centros produtivos que se fazem referir ãs etapas do pro cesso produtivo anteriores ã fiação. Como exceção., no tocan te ã viabilidade prática, mencionar-se-i.a a tinturaria de fios, engomagem, e os centros p rodutivos c o r r e s pondentes ãs etapas do processo produtivo p o s teriores ã tecelagem.