Integrabilidade completa colectiva segundo o Método de Thimm

Integrabilidade completa colectiva segundo

o método de Thimm.

Departamento de Matemática Aplicada

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Integrabilidade completa colectiva segundo

o método de Thimm.

Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Matemática Aplicada

Departamento de Matemática Aplicada

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Agradecimentos

Tenho a agradecer à professora Inês Cruz, orientadora deste trabalho, pela ajuda e dedicação que teve na elaboração desta tese. Saliento as atentas observações, as rigorosas correcções, as perspicazes dicas e os variados caminhos que me foi dando para resolver alguns problemas que iam aparecendo.

Agradeço à minha esposa pelo incentivo e força que me deu, especialmente, em retomar a elaboração desta dissertação.

À minha filha por não ter usufruído da companhia dopai como desejaria.

Resumo

Este trabalho resume-se a, dado um sistema Hamiltoniano invariante (pela acção de um grupo de Lie G), encontrar condições para que o sistema seja completamente integrável, ou seja, para que exista um número máximo de integrais primeiros em involução. Estes integrais primeiros em involução vão ser encontrados usando o método de Thimm [Thi].

Se um sistema Hamiltoniano numa variedade M é G-invariante, então o teorema de Nõether dá uma família (indexada por uma álgebra de Lie g) de integrais primeiros. Mas, geralmente, estes integrais não estão em involução.

O método vai consistir em passar o problema de M para g*, que é o dual da álgebra de Lie g, utilizando a aplicação momento. Seguidamente, através de uma forma bilinear, simétrica, G-invariante e não degenerada em g vai conseguir-se passar o problema para a álgebra de Lie g. Finalmente, projectando em subálgebras de g e compondo com funções invariantes nessas subálgebras, encontraremos tais integrais primeiros em involução.

Conhecer tal sistema máximo de integrais primeiros em involução é muito importante uma vez que as equações de Hamilton podem então ser resolvidas explicitamente por quadraturas (Teorema de Arnold-Liouville).

Abstract

In this thesis we study the problem of, given an invariant Hamiltonian system (by the action of a Lie group G), finding conditions for complete integrability, i.e., so that there is a maximum number of first integrals in involution. Such first integrals will be found using the "method of Thimm", [Thi].

If an Hamiltonian system on a manifold Mis G-invariant then Noether's theorem gives a family (indexed by a Lie algebra g) of first integrals. However, generally speaking, such integrals are not in involution.

Thimm's method consists in passing this problem from M to g (the dual of Lie algebra g), using the momentum map. Then, using a symmetric, bilinear, G-invariant and non degenerate form on g, one goes from the problem in g to the equivalent problem in g. Finally, projecting on Lie subalgebras of g and using compositions with invariant functions on such subalgebras, we will find such a set of first integrals in involution.

Knowing a maximum number of first integrals in involution is very important, since Hamilton's equations can then be explicity solved by quadratures (Arnold-Liouville's Theorem).

índice

1. Introdução 8 2. Preliminares 11

2.1 Notações e convenções 11 2.2 Campos de vectores e formas diferenciais 12

2.3 Variedades Simplécticas 14 2.4 Variedades de Poisson 17

2.5 Sistemas Integráveis 18 2.6 Acções de Grupos de Lie 19 2.7 Estrutura de Lie-Poisson em g 24

3. Método de Thimm 27

3.1 Álgebras de Lie e formas bilineares G-invariantes 28

3.2 Estrutura de Poisson em g 29 3.3 Funções Gj- invariantes 31 3.4 Método de Thimm 34

4. Exemplos 36

4.1 Acção de SO(3) em (IR6, co0) 36

4.1.1 Base para so(3) 36

4.1.2 Acção de SO(3)emIR6 37

4.1.3 Momento da acção y/. 42 4.1.4 Forma de Killing em so(3) 43

4.1.5 Determinação de B 44 4.1.6 Subálgebras de so(3) 45

4.1.6.1 Subálgebra de dimensão 1 45 4.1.6.2 Subálgebra de dimensão 2 45

4.1.7 Projecções ni e 712 47

4.1.8 Determinação das funções Ht C-invariantes 48

4.2 Acção de SO(4) em (IR8, o)0) 5 1

4.2.1 Base para so(4) 51

4.2.2 Acção de SO(4) em IR8 52

4.2.3 Momento da acção y/. 53 4.2.4 Forma de Killing em so(4) 54

4.2.5 Determinação de B 55 4.2.6 Subálgebras de so(4) 55

4.2.6.1 Subálgebra de dimensão 1 55 4.2.6.2 Subálgebra de dimensão 3 55

4.2.7 Projecções itu TÏ2 e 713 56 4.2.8 Determinação das funções H, C-invariantes 57

4.2.9 Integrais primeiros em involução 57

5. Conclusões e comentários 61

5.1 Método de Thimm e integrabilidade completa 61

5.2 Método de Thimm emso(n) 62

5.3 Futuros exemplos 62

Apêndice 64 Bibliografia 86

Capítulo I

Introdução

O objectivo principal deste trabalho é descrever uma técnica introduzida por A. Thimm em [Thi] que permite, sob certas condições, encontrar um número máximo de integrais primeiros em involução para sistemas Hamiltonianos com alguma simetria (dada pela acção de um grupo de Lie). Tais sistemas dizem-se completamente integráveis.

Uma motivação geométrica para esta definição é o Teorema de Arnold-Liouville, que diz que as curvas integrais de um sistema Hamiltoniano integrável (sob certas hipóteses adicionais) são quase periódicas, ou seja, são órbitas de um campo de vectores constante num toro invariante.

Durante os finais da década de sessenta e início da década de oitenta, os estudos dos sistemas Hamiltonianos integráveis voltaram a despertar interesse entre muitos matemáticos e físicos.

No século XIX, problemas mecânicos descritos por sistemas Hamiltonianos integráveis foram os únicos a serem tratados e solucionados com sucesso. A razão deste sucesso deve-se ao clássico teorema de Liouville:

Se for conhecido um número máximo de integrais primeiros em involução, então as equações de Hamilton podem ser resolvidas explicitamente por quadraturas.

Depois de Poincaré ter reconhecido que a integrabilidade era um fenómeno raro dos sistemas Hamiltonianos, e ter começado a estudar as suas propriedades qualitativas, o

interesse em sistemas Hamiltonianos integráveis desapareceu quase por completo e só recentemente é que se voltou a manifestar. Este "novo" interesse deve-se à importante descoberta de que, certas equações em derivadas parciais podem ser consideradas como sistemas Hamiltonianos integráveis de dimensão infinita.

Hoje em dia, o estudo dos sistemas Hamiltonianos integráveis desenvolveu-se por si próprio, principalmente no aspecto da descoberta de novos exemplos e na proveitosa inter relação entre diferentes ramos da Matemática, como a Geometria Diferencial, a Teoria das Álgebras de Lie e a Álgebra Linear e Geometria Analítica.

No Capítulo II apresentam-se notações, conceitos e resultados básicos que irão ser usados ao longo do trabalho.

A descrição do método de Thimm, propriamente dito, é apresentada no Capítulo III. De um modo geral, se um sistema Hamiltoniano numa variedade Mé invariante pela acção de um grupo de Lie G, isto é, tem as simetrias do grupo G, então o teorema de Nõether dá uma família (indexada à álgebra de Lie g de G) de integrais primeiros. Contudo estes integrais primeiros não estão, geralmente, em involução e não podem ser usados directamente para provar a integrabilidade.

Neste método, que será descrito detalhadamente, a integrabilidade é demonstrada usando uma classe mais geral de integrais primeiros, que são definidos do seguinte modo:

A álgebra de Lie dos integrais primeiros, originados pelo teorema de Nõether, pode ser equivalentemente definida pelo momento da acção de G, uma aplicação de M tomando valores em g '. Compondo a aplicação momento com funções arbitrárias de g temos sempre um integral primeiro, obtendo por esse meio, uma larga classe de integrais primeiros. Tais funções, composições de / e C°(g*) com o momento, chamam-se "funções colectivas". São elas que motivam o título deste trabalho.

A parte mais difícil em provar a integrabilidade completa em sistemas Hamiltonianos (/-invariantes, que não é demonstrada neste trabalho, consiste em demonstrar a independência das funções em questão. Contudo, nos exemplos apresentados a independência verifica-se localmente.

A procura de funções colectivas em involução será reduzida a um problema análogo na álgebra de Lie g, usando para esse efeito uma forma bilinear, simétrica, G-invariante e não degenerada, que permite identificar g com g*. O problema em g reduzir-se-á à procura de subálgebras gt de g, não degeneradas, e de funções G>-invariantes nelas. Para tais subálgebras

gu g2, — encontraremos condições simples garantindo que os integrais primeiros gerados por

subálgebras gi cz g2 c... c g„.i = g. Toda a família de integrais primeiros obtida pelo

processo descrito estará em involução.

No Capítulo IV irão considerar-se sistemas Hamiltonianos invariantes pela acção dos grupos SO(3) e SO(4). No caso SO(3) isto quer dizer que tal sistema é invariante por rotações. Mostra-se que o processo descrito permite obter integrabilidade completa em IR e em IR , respectivamente.

No último Capítulo apresentam-se alguns comentários e algumas conclusões do trabalho.

Capítulo II

Preliminares

Nesta secção apresentar-se-ão notações, conceitos e resultados básicos que irão ser usados ao longo de todo o trabalho. Optou-se por omitir a maior parte das demonstrações por estas constarem de qualquer livro sobre cálculo diferencial em variedades simplécticas. A título de exemplo poderemos indicar [AbMa], [McSa] e [LiMa].

2.1. Notações e convenções

Designar-se-á por :

• M uma variedade diferenciável de dimensão finita m.

• %(M) o conjunto dos campos de vectores diferenciáveis na variedade M. • C°° (M) o conjunto de todas as funções F:M -» IR diferenciáveis.

• Dif(M) o conjunto das aplicações </> : M -> M tais que ^ e ^'são diferenciáveis. Às aplicações 0 chamam-se difeomorfismos.

• Qk(M) o conjunto das Mormas diferenciais em M.

• Ak(V) o conjunto das £-formas algébricas no espaço vectorial V.

• G um grupo de Lie conexo, g a sua álgebra de Lie eg*o dual de g.

2.2 Campos de vectores e formas diferenciais

Lema 2.1 Dado um campo de vectores X e %(M)podemos associar-lhe uma aplicação: X:C°(M)^>CX(M)

F^>X(F)=dF(X) com as seguintes propriedades:

1) X é IR-linear: X(aF + bG) = aX(F) + bX(G). 2) X(1)=0.

3) X(FG) = X(F)G + FX(G). Diz-se que X é uma derivação em (Cx (M), •)■

Se {JC,,... ,xm} são coordenadas locais e m ¥ e l = l , —— +... + Xm —— então:

— ôF ôF

X(F) = dF(X) = —Xl+... + —Xtt

õx, õxm

Definição 2.2 SejaX um campo de vectores em Me {xx,...,xm} coordenadas locais em M.

Consideremos a equação diferencial associada a X:

Xi=X,(x), i = l(l)m. (1)

Então Fe C°(M) diz-se um "integralprimeiro de (1) " se — = 0, para qualquer dt

solução x(t) de (1).

Por outras palavras, se x(t) é solução de (1) então x(t) está contida numa superfície de mvel de

F. Os integrais primeiros são importantes pois permitem restringir as soluções a

subvariedades de dimensão inferior.

Definição 2.3 Sejam X, Y e %(M). Define-se o parêntesis de Lie de X e Y como sendo o campo de vectores [X, Y] cujo o valor em F e ^(M) é:

PZY] (F) = Y(X(F))-X(Y(F)).

Lema 2.4 A aplicação

[ , ]: x(M)x x(M)-> x(M)

tem as seguintes propriedades: 1) anti-simetria,

[X,Y] = -[Y,X], VXJeX{M).

2) IR-bilinearidade,

[aX+bY.Z] = a[X,Z]+b[Y,Z], VX,Y,Z s x(M), V a,b elR. 3) satisfaz a identidade de Jacobi,

[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X]JJ=0, VX,Y,Zex(M).

O lema 2.4 afirma que (x(M) >[ J) é uma álgebra de Lie real, a que se chama "álgebra de Lie

dos campos de vectores em M".

Definição 2.5 Seja a e Qk(M). Então diz-se que:

a) o) é "fechada" se dû) = 0.

b) co é "exacta " se existe uma forma aem Q (M) tal que da = co.

Designa-se por Zk(M) o conjunto das ^-formas fechadas em M, ou seja,

Zk(M)={coeQk(M) : co é fechada}, k > 0

e por Bk(M) o conjunto das ^-formas exactas em M, ou seja,

í{0}, se k = 0

Bk(M) = V .

[{co € O (M) : co é exacta}, se k > 1.

Nota: Do facto que d ° d = 0 resulta que o conjunto das ^-formas exactas em Mesta contido

no conjunto das ^-formas fechadas em M, isto é,

Bk ( M ) ç Z*(M),V k>0.

Definição 2.6 Define-se em Zk(M) a relação de equivalência

Chama-se "grupo de cohomologia de De Rham de ordem k na variedade M" ao espaço quociente:

HKm{MJR) = Zk{M)l~

ou seja, ao conjunto constituído pelas formas fechadas que não são exactas.

Teorema 2.7 H*R (IR", IR) = [0], para todo k > 0, isto é, qualquer k-forma fechada em IRné

também exacta.

Definição 2.8 Seja X um campo de vectores em M. Então para todo o k inteiro não negativo

define-se "produto interior por X" como sendo a aplicação: ix: ak(M)->QM(M)

definida por:

1) ixF=0, seF<=a°(M),

2) (ixa)(Xi,..., Xhl) = cc(X, X,,..., Xk.j).

2.3 Variedades Simplécticas

Definição 2.9 Uma variedade simpléctica é um par (M,co) em que a> é uma 2-forma diferencial em M tal que:

(1) da = 0,

(2) a é não degenerada, isto é, ixo) = 0 => X =0.

Lema 2.10 Seja (M, có) uma variedade simpléctica. Então a aplicação

i:x(M)-^Q\M) X h-> ÍXCD é um isomorfismo.

Nota: Uma variedade simpléctica tem dimensão par (por ca ser não degenerada).

n

Definição 2.11 Seja (M, co) uma variedade simpléctica e seja <j>: M-> M um difeomorflsmo. <j> diz-se um "simplectomorfismo em M" se /co =co. Sp(M,(o) representa o conjunto dos

simplectomorfismos de M.

Teorema 2.12 (Darboux) Seja (M, co) uma variedade simpléctica. Dado p e M existem um aberto U de M contendo p e um sistema de coordenadas {xx,...,xn,yx,...,y„} em Utais que:

n

œ

\u =Z

Í &

'

A Í

^'-(=1

Às coordenadas {xx,..., xn, yx,...,yn} chama-se "coordenadas simplécticas ".

Definição 2.13 Seja (M,co) uma variedade simpléctica e i o isomorfismo associado. Então X, um campo de vectores em M, diz-se:

(1) "simpléctico" se ix<o e Z'(M), isto é, d(ixco) = 0, e escreve-se:

Xe Xs(M, co),

(2) "Hamiltoniano " seixco e B1 (M), isto é, ixo) = dF, F € Cœ (M), e escreve-se:

Xe XH(M, co).

Lema 2.14 X é simpléctico se e só se o seu fluxo cp 'e Dif(M) é um simplectomorfismo de (M, co), para cada t onde está definido.

O lema de Poincaré diz que, localmente, qualquer forma fechada é também exacta. Por esta razão os campos simplécticos são "localmente Hamiltonianos".

Se X € XH ( M, (ò ) então existe F e C00 (M) tal que ixco = dF. Note-se que F não é

única, uma vez que F + k satisfaz a mesma identidade, qualquer que seja k e IR. Reciprocamente, dada F G C* (M), dFe ü\M), logo:

3'Xex(M):ixû> = dF.

Definição 2.15 Dada F e C " (M) chama-se "campo Hamiltoniano de F" ao campo Xp que satisfaz ix co = dF.

Exemplo: Seja M = IR2n, {xx,..., x„,yx,...,yn} coordenadas em M e co0 = j ] dxk A dyk *=i

" ô d

Dados F e C " f M> e X= Y X, — + y; — e ^(M) verifica-se facilmente que

" õ ô

(=i ÕX; dy>

^-Tfa+XJy,,

M

Pelo que ixC0o=dF se e só se

x,=^

Y.=- dF_ õx, ,i = l (1) n. A . v ^ ÔF õ ÕF õ Assim Xp = > (2)

Definição 2.16 Seja (M, co) uma variedade simpléctica, F e G e C'iM). Então define-se o " parêntesis de Poisson de F com G " como sendo a função:

{F,G} = a>(XF ,XG) = iXf O)(XG ) = dF(XG ).

Teorema 2.17 (C°° (M), { }) é uma álgebra de Lie.

No exemplo M=lR2n, co0= ^dxk A dyk, tem-se por (2):

ÕG õ ÕG õ k=\ XG

= 1

i=i dyi õxt õx, õyi pelo que tf dxt by, dyl dx, (3) Proposição 2.18 A aplicação Cœ(M) ->xM F^XF

(1) élR-linear: XaF+bG = aXF +bXG,

(2) preserva os parêntesis em C°(M) e z(W:

X{F,G} =[XF,XG

]-Teorema 2.19 Dado H e C°(M), seja XH o seu campo Hamiltoniano. Então F e C°°(M) é

um integral primeiro para as equações diferenciais associadas aXnse e só se {F,H}=0.

2.4 Variedades de Poisson

Definição 2.20 Seja M uma variedade diferenciável (não necessariamente simpléctica). Uma aplicação {,}: C°(M)x C°°(M) -> C°°(M) diz-se um "parêntesis de Poisson em Aí" se são satisfeitas as seguintes condições:

1) anti-simetria:

{F,G} = -{G,F}, VF,G eCœ(M),

2) IR-bilinearidade:

{aF+bG,HJ = a{F,H}+b{G,H}, VF,G,H e C°°(M), Va,beIR, 3) identidade de Jacobi:

{{F>G},H}+{{G,H},F}+{{H,FlG}=0, VF,G,H e CW(M),

4) regra de Leibniz:

{F,GH}={F,G}H+G{F,H}, VF,G,H e CX(M).

Exemplo: Se (M,w) é uma variedade simpléctica então o parêntesis definido na definição 2.16

satisfaz as condições 1), 2), 3) e 4) da definição 2.20.

Teorema 2.21 Se {,} é um parêntesis de Poisson em Me {xj,... ,xm} coordenadas locais em

M, então:

Prova: Uma vez {., G} é uma derivação no primeiro argumento resulta que: V F,G € CX(M), {F,G} = £ — - faC?;=

-ZãT

f

"^ãT

M

'^

=

^ÕF ^ÕG f ,

tf Sx, >f&

;

Definição 2.22 Se/a/M /", j ; um parêntesis de Poisson em Mj, {, }2 um parêntesis de Poisson

emM2e <p : Mj —>■ M2 um difeomorfismo. Então ç> diz-se um difeomorfismo de Poisson se:

{Foç,Go(p}i = {F,G}2oç, VF,G eCœ(M2).

Nota: Se {, }i é um parêntesis de Poisson em Mi e ç : Mj -» M2 é um difeomorfismo então

existe um e um só parêntesis de Poisson {, }2 em M2 tal que ç é um difeomorfismo de

Poisson.

2.5 Sistemas Integráveis

Seja novamente (M, co) uma variedade simpléctica e seja 2n a sua dimensão.

Definição 2.23 Um "sistema completamente integrável" é um par (M,H), onde He C°(M)

e existem:

FhF2,...Fn=HeC°{M)

com as seguintes propriedades:

(1) Fi,F2,.,.,F„ são funcionalmente independentes, ou seja, f(dFi)p,(dF2)p, ... ,(dF^p}

é livre, V p eU, sendo U um aberto denso em M. (2) \Fi, Fj \ — 0, para todo o i ej.

Nota: Se (M,H) é completamente integrável então Fh ... , F„=H são n integrais primeiros para o fluxo de XH (ver teorema 2.19), já que:

{H,FiMFn,Fi}=0, Vi.

Qualquer curva integral de XH está pois contida numa superfície de nível de F-(Fi, ... .FJ, ou seja em:

Ec^{peM: Fi(p)=ch ..., F„(p)=c„}.

Exemplo: Consideremos uma partícula em movimento numa variedade N sob acção de uma força conservativa e a forma de Liouville. Então as equações do movimento são:

• õH xi = — ' , i=i (1) dim N õx, onde M H: T'N ~+IR

é a energia total escrita em função da posição x e do momento y da partícula. Estas equações são precisamente as equações associadas ao campo XH e x(M) (ver equação (2)).

Nota: Se (M,H) for completamente integrável então, sob certas hipóteses adicionais sobre Ic, é possível resolver as equações de Hamilton, por quadraturas. Este é o conteúdo do Teorema de Arnold-Liouville (enunciado no início do Capítulo V).

2.6 Acções de Grupos de Lie

Seja G um grupo de Lie conexo, e o seu elemento neutro, g = TeG â sua álgebra de Lie e

exp: g ->G

a aplicação exponencial. Sejam ainda Lg o produto à esquerda emGeRgo produto à direita.

Definição 2.24 Seja G um grupo de Lie e M uma variedade diferenciável. Chama-se "acção

de G em M" a uma aplicação:

tal que

(1) ¥e=ÍdM>

(2) y/gh=y/goWh, Vg,heG.

Definição 2.25 Chama-se "acção adjunta do grupo G na sua álgebra de Lie " à aplicação:

Ad : G -> Gl (g) = ff: g ->g, fé um isomorfismo} gh^Adg

onde

Adg^dfLgpR^U

Definição 2.26 Chama-se "acção adjunta da álgebra de Lie g em si própria " à aplicação: ad : g ->L(g) = {f: g -> g, fé linear}

Çv-^adç onde

adç :g-+ g

Lema 2.27 Vi <= IRVg e G V£ e g tem -se — Adexp(_tf)T}\/=0 = -ad{(n) = -[£,n].

Seja y/ uma acção de G em M. Então vamos associar a y/ uma aplicação

W ■ g -> Z(M).

Definição 2.28 Seja y/ uma acção de Gem M, definamos:

¥ '■ S -> Zitf) por

d i V(£)p = -rV«p(-ff)(/0|í-o€ rpM

-A ^(£) chama-se o "campo fundamental de Ç\ e pode provar-se pelo lema 2.27 que:

• • •

Definição 2.29 Seja G um grupo de Lie conexo, (M, a) uma variedade simpléctica e y/ uma acção de G em M. Então a acção y/ diz-se "simpléctica" se:

y/g e Sp(M, co), Vg e G, isto é,

y/*g(0 = (0, VgeG

Lema 2.30 Seja y/ uma acção simpléctica de G em M. Então

isto é, y/(J;) é um campo de vectores simpléctico, para todo S, eg.

Prova: Basta notar que o fluxo de y/{Ç) é ^exp^a > e u s a r ° le m a 2-14.

Definição 2.31 Uma acção simpléctica y/ de G em (M, co) diz-se "quase-hamiltoniana" se:

V{Ç)eXn(M><°)>vÇe8

isto é, se dado £,eg existe J(<%) e C°°(M) tal que

k&

-*»

Nota: Se J(£) existir então não é única. De facto, qualquer que seja C(0 e IR tem-se

também:

íK#) - Xj(o+c(o ■

Lema 2.32 Se y/ é uma acção quase-Hamiltoniana de G em (M, a) então para todo o £,deg, é possível escolher C(^) em IR de tal modo que a aplicação:

J:g->CM(M)

é IR-linear, isto é,

J(aÇ+b?])=aJ($+bJ(r]). A talJ chama-se "co-momento da acção y/".

Definição 2.33 Uma acção quase-Hamiltoniana de G em M diz-se "Hamiltoniana " se for possível escolher J de modo a ser um homomorfismo de álgebras de Lie, isto é:

(1) J é IR-linear,

(2) J[£ rj] =

{J(Q,J(ri)}-Se y/ é quase-Hamiltoniana e a aplicação

é o seu co-momento, então de:

• •

resulta que

ou equivalentemente (ver Proposição 2.18):

X{J(£),J(m=X

MrÙ-Proposição 2.34 Seja y/ uma acção simpléctica de G em (M, co). Então se : (a) Hxm{M,IR)=[0]

ou

(b) [g,g] = g, isto é, VÇeg3ri,T€g:Ç = [tj, r] a acção é quase-Hamiltoniana.

Prova: (a) Se HXDR(M,IR) = [0]então %s(M,a>)/ = rQ], i s t o é> t o d o s o s c a m p 0s

simplécticos são Hamiltonianos. Por hipótese, para todo £ se y/{Ç) é um campo simpléctico então y/(J;) é um campo Hamiltoniano. Logo y/ é quase-Hamiltoniana.

(b) Suponhamos que \gg] = g. Dado ^ G gsejetm Jje re g tais que £ = [TJ, TJ. Logo:

h& = kfa ti) = [ kv), ht) ]- x . . .

Mas então y/(Ç) e ;#/(% û}). ♦

Definição 2.35 Dada uma acção simpléctica y/ de G em (M,(o), He C°(M) diz-se G-invariante se:

A H chama-se por vezes "Hamiltoniano" G-invariante.

Teorema 2.36 (versão Hamiltoniana do teorema de Nõether) Se y/ é uma acção quase-Hamiltoniana, dada He C°(M) G-invariante tem-se:

{J($,H}=0, VÇeg,

isto é, J(# é um integral primeiro para as equações diferenciais associadas

aXn-Prova: De H°y/g - H,\/geG resulta que:

Ho^M_t,)(p) = H(p),VteIR. Logo: o que equivale: isto e: -JtHoV^-tS)(P%=o=0' dHp{—y/^t()(p)\t=0) = 0, v

dH

p

(^)

f

) = 0,

XJ(.S) ou seja: dH(XJ^)) = 0 o {H,J(Ç)} = 0,VÇeg.

Logo J(^)é um integral primeiro para as equações diferenciais em Xfj. ♦

Definição 2.37 Seja y uma acção quase-Hamiltoniana de G em (M, &). Então chama-se

"momento de y/" à aplicação:

H-.M-tg*

P ^M

definida por

2.7 Estrutura de Lie-Poisson em g*

Defina-se um parêntesis de Poisson em Cœ( g*), que é derivado da estrutura simpléctica de Konstant-Kirillov nas órbitas coadjuntas.

Definição 2.38 Dadas fhf2 e C°(g*) define-se

por:

{fi.tiuM = <z \dfx(z),df2(z)}>

onde dfi(z) denota a derivada defi no ponto z de g*, usando a identificação g S (g*)*.

Notar que, para Çlt Ç2 pertencentes a (g*)* = g o parêntesis de Lie-Poisson, {^,^2}L, coincide com o parêntesis de Lie usual, [£/,£?] de g. Pode-se então mostrar que o parêntesis assim definido satisfaz as identidades algébricas da definição 2.20. A este parêntesis chama-se "parêntesis de Lie-Poisson em g*". Além disso, segue que:

Teorema 2.39 Seja y/: G-> Sp(M, co) uma acção Hamiltoniana de G em M com momento ju..

Então // é uma aplicação de Poisson, isto é,

1 / P /2}£ °P = lf °M,f2 °M] - Vfi.fi € Cœ(g).

Prova: Basta provar que:

l/i °PJi °P} = l/i'/aL °V para /i>/2 e (S*f * 8

Seja então E]t E2, ..., Er uma base de g e et pertencente a (g ) elemento identificado com £,, isto é,

{ei,z) = {z,Ei),\/zeg* (5)

Então:

{e,, e, \L o {i(p) =< pip), [EÍJEJ] >=

=J([Ei,Ej])(p)={J(Ei),J(Ej)}(p). Vejamos agora que J(Ei ) = et o //. De facto:

Teorema 2.40 Seja:

yr : G^Sp(M,co) uma acção Hamiltoniana com momento

ju : M ->g . Seja H e C°°(M) um Hamiltoniano G-invariante. Então:

{foju,H}-0, VfeC°°(g).

Prova: Seja J: g-> C°°(M) o co-momento. Então sabemos já que: {J(&,H}=0, VÇeg.

Fixemos {£/, E2, ... , 2v}uma base para g e seja {z/, Z2, ... , zr} a base dual de g (isto é,

<Zj,Ej>=Sij. Seja et pertencente a (g*)* o elemento identificado com Eh isto é, (5) tem lugar.

Notemos que {eu ..., erj são coordenadas lineares em g.

Dadas x, r, coordenadas em M, tem-se:

{foju,H}(p) = f^JÙ.

{p){Xii

H}{p) =

,=i \k=\ dek õx _{i )} onde juk = ek ° p,, isto é, r pa- f In a„ k=\ oek \_\i=i M _—,• oxj

= í~-(M(pMM

k

MK

P

).

Mas ftk (p) =< ek, p(p) > = < //(/>), £t > = J ( £ , )(/?) . l°g° Pt = ^ t )

.-. {fo

M

,H}(p)=J;-T-O«(P)).U(^X^1(P)=o.

Corolário 2.41 Seja y/ uma acção Hamiltoniana de G sobre M e H e C°(M) um

Hamiltoniano G-invariante. Então para cada ft de C°(g),fi° /j é um integral primeiro de XH.

Além disso sefi,f2 € C°(g) satisfazem {fufiji^O, tem-se também:

{ / i ° y " , / 2 ° y " }= 0

-Este corolário permite-nos passar o problema de procurar funções em involução em M para o mesmo problema em g .

Capítulo III

Método de Thimm

Seja (M, a>) uma variedade simpléctica de dimensão 2n e G um grupo de Lie actuando sobre M por simplectomorfismos.

Assumamos que a acção y/ d e f i e m M é Hamiltoniana com momento ju.

Seja H € C°(M) um Hamiltoniano G-invariante. Pretendemos construir um grande conjunto de integrais primeiros do sistema Hamiltoniano XE, com vista a obter integrabilidade completa de (M,H).

Desse grande conjunto de integrais primeiros pretende-se encontrar um número máximo que esteja em involução, ou seja, tal que o parêntesis de Poisson de quaisquer dois deles seja identicamente nulo. A condição de independência, como já foi referido na introdução, não vai ser demonstrada. Caso exista tal sistema, o par (M,H) é completamente integrável.

Os integrais primeiros de XJJ podem ser construídos usando a acção de G em M. Vimos no Capítulo II (teorema 2.36) que a (7-invariância de H implica que, para cada S, pertencente ag, J(Q é um integral primeiro do sistema

XH-Do ponto de vista dual temos a aplicação momento // : M —>■ g*, que é um "integral primeiro" de XH, com valores em g*. Além disso, qualquer / em C°°(g*), gera um integral

primeiro de XH, mais precisamente foju em C°(M). A uma função do tipo fo/u chama-se "função colectiva".

Tentaremos ver como podemos, por este método, encontrar integrais primeiros de XH, em involução.

3.1 Álgebras de Lie e formas bilineares G-invariantes

Definição 3.1 Dada uma álgebra de Lie real g, uma forma bilinear B : g xg —>IR diz-se:

i) simétrica se:

B(Ç,T1)=B(T1,Q, VÇíjeg.

ii) não degenerada se:

B(Ç,j?) = 0VT?eg=> Ç=0. iii) G-invariante se:

B(AdgÇ, Adgt})= B(£ m), V4, f?eg.

Lema 3.2 Se B é G-invariante então

B([$rjj,Tj+BfofÇ,T])=0, Vi7j,reg.

Formas bilineares, simétricas e G-invariantes existem:

Teorema 3.3 Em qualquer álgebra de Lie existe uma forma bilinear, simétrica e

G-invariante, a que chamamos forma de Killing, definida por : B:gxg->IR

(E,,T]) v^> Tr(ad£,°adn).

Mas para o caso que vamos estudar tal forma tem que ser não degenerada.

Definição 3.4 A álgebra de Lie g diz-se "semi-simples" se a sua forma de Killing é não

degenerada.

Seja B uma forma bilinear, simétrica, G-invariante e não degenerada numa álgebra de Lie g. Então podemos identificar g com g através da aplicação:

definida por:

<B(arj>=B^,7j).

Nota: Sendo B não degenerada, B é um isomorfismo de espaços vectoriais.

3.2 Estrutura de Poisson em g

A partir de agora B denotará uma forma bilinear, simétrica, (7-invariante e não degenerada em g. Consideremos as identificações:

(g*)* = g, isto é, (5) tem lugar,

e:

B-g^g*

como acima.

Na secção 2.7 definimos em g o parêntesis de Lie-Poisson, que se representa por {, }i do seguinte modo:

ífi,f2}L(z) = <z ,[dfx(z),df2(z)]>,Vfhf2 eC°°(g).

Ainda na secção 2.7 vimos que, dada uma acção Hamiltoniana de G em M, a aplicação momento // é de Poisson, isto é, satisfaz a seguinte condição:

{fi o lift ofi} = {fi J2}iPH Vfi ,f2 e Cx(g*).

— - i *

A aplicação B vai-nos permitir passar o problema de encontrar funções em involução em g (ver final do Capítulo II) para g do seguinte modo: definimos um parêntesis de Poisson em g,

{, }g, de modo que, B (e portanto B ) seja um isomorfismo de Poisson, ou seja,

{fio B,f2oB}g = {fiMioB, Vfuf3eC°(g).

Lema 3.5 Para toda a função H : g -> IR, linear, tem-se:

— í

HoB (z)=<z,B (H)>, Vzeg , isto é,

HoB~XsB~l(H) (6)

Prova: Seja H : g —> IR linear, ou seja, H pertence a g . Seja £ e g tal que B{£,) = H.

— - i * — - i

Ora H oB : g -> IR é também linear, o que equivale a dizer que H oB pertence a

Portanto, dado z e g tem-se:

HoT\z) = <B($,T\z)> =B(Ç,T\z))= B(B~\z),Ç) =

=<B (B -\z)XÇ > = <z,Ç >=< z,Tl(H) > . ♦

Em particular, para todo o i / e m C^ig), e para Ç € g, tem-se:

dHçoT

1

=B~

X

(dHj,

já que dHf g ->IRé linear.

Vejamos agora qual o parêntesis de Poisson em g.

Lema 3.6 Dadas Hj, H2 e Cœ(g) seja:

{Hi,H

2

}

g

(® = B(Ç,[T (dH

x 4

), T (dH

2

tf).

Então {, }g define um parêntesis de Poisson em g tal que:

{f1oB,f2oB}g = {fhf2}LoB, Vf,f2eC°°(g), (7)

isto é, B é um isomorfismo de Poisson.

Prova: Assumamos de momento que (7) tem lugar. Como B é um isomorfismo e {, }i é um

parêntesis de Poisson, automaticamente {, }g é um parêntesis de Poisson.

Mostremos agora a identidade (7). Para £, e g tem-se:

{fi,f2hoB(9=<B(9, [df-m),df2-m)]>=B(Ç, [df-B^,df2-B(í)])

{fx o B, f2 oB,}g($=B($[B-1 (dHJ, B~l (dHh)]), onde Hi=fjo B, H2=f2o B. Mas _j Lemaî.5 _j —_j — —_\ B (dHl() = dEh oB =d(fl0B)çoB = df^-dBf.B =dfx~m) (dBç = B, pois B é linear) Portanto,

{f1oB,f2oB}g(® =B(£[dfl_ ,df2_ ]) ={fif2}LoB(&. ♦

Como consequência do Lema 3.6 temos:

y Hi, H2 € C°°(g) : {Hl0B~\ H2oBX }L = {Hh H2}g o T \

pelo que, se {Hi, H2}g = 0 também:

{H,oT\H2oB~l}L = 0

e também (corolário 2.41):

{H,oB~X oju,H2o B~l orf =0.

Temos pois uma aplicação de Poisson, B o ju, de M em g, que nos permite passar do problema de encontrar funções em involução em M para o mesmo problema em g.

3.3 Funções (^-invariantes

Lema 3.7 Seja gi uma subálgebra de Lie de g tal que B, é não degenerada e seja

tt-Ueg:B(èiiO-0, Vriiegj}, isto é, o ortogonal de gj em relação a B.

Nestas condições tem-se:

(a) [gi,gf]cgf e

Prova: (a) Seja £/ um elemento de gi e ÍJ um elemento de gf. O lema 3.2 implica que: B(fà,nJ,V)=0,V Tiegh

uma vez que [£/,r/] e gi Q rj e gf. Concluímos então que [Çi,rj\ e gf.

(b) Este resultado resulta do Lema da Decomposição ortogonal. De B gjXgj ser não degenerada

conclui-se que: Bx:g!^ g\ dada por é um isomorfismo linear. Dado S, e g seja < B^Xrj, >= ZJ(<f„7,) ^ s e r n a o

Bf.g^IR

T]x^B(Ç,ri,).

Porque Bç pertence a gt , existe precisamente um <f, e g, tal que 5^ = Bx (£, ). Por outras

palavras:

Vi;, €f t : 2?(<f,7,) = 5 ( ^ , 7 , ) , isto é, ( ç f - ç f , ) ^ .

Resulta que S, = £, + Ç, , com ( e j ; ,

Falta apenas mostrar que g, i^gf =0,o que não é mais do que a condição de B

degenerada. ♦

Em qualquer subálgebra gi de g, nas condições do lema anterior, podemos definir a projecção (ortogonal) iti. g -> g; associada à decomposição g= g}® gf ■

Lema 3.8 Seja gi uma subálgebra de g tal que BL x„ e «ão degenerada e seja Hi : gi —> IR

uma função Gi-invariante, sendo Gi o grupo de Lie (conexo e simplesmente conexo) de gj. Seja F] = Hi o ni.

Então têm-se as seguintes condições:

(a)B~\dF,\egït\/Çeg,

Prova: Seja gt uma subálgebra de g tal que 5 &xgi é não degenerada. Então

tem-se ( ^ )x = gj. Seja Hi : gi-^ IR Grinvariante, (isto é, H\0 Adgi (£, ) =Hifâ), para todo g/ de

G7 e para todo o £/ de #7). Seja Fi=Hiom : g -+IR. (a) Nestas condições dizer que:

— 1 _{- L \ l}

5 (dF

i

heg

I

=(gf)

é equivalente a mostrar que, V TJX e gj se tem:

B(?7x1,B~\dFx)£) = 0

ou equivalentemente:

5(F1(áP1)í,)7iL) = 0

^<W\dF

x

)

£

),vt>=^

o - <{dHx)£.(d7rx)£,t]x >=0,

uma vez que

Além disso:

(dFi)ç = d(Hiom)ç =dHu ldnx)£.

(dnx)£ = nx, pois itx é linear

logo < (dnx)£,rix > = <nx,t]x >= 0, pois i , é a projecção ortogonal.

-1 . j . ±

Conclui-se que 5 (áFj )^ e {g1 ) = g;.

(b) Comecemos por notar que, por (a):

[Çx,B~\dFx)£] 6 fgj.gjcg!.

Se mostrarmos que:

B([^,T\dFx)£],rjx)=0 VViegl (8)

então, de 5 ser não degenerada, concluiremos que:

[Çx,B~\dFx)£]=0.

Ora

Ba&,B~\dF,\\nù=-B(B~\dF

x

)

i

,\ë

xt

Ti

x

]) =

= -<B(T\dF

x

),,[Ç

x

,Tj

x

])> =

= -<(dFl)í,[Çl,TJl]>.

(dFx)s = dHx . (</»■,). - (<///, ),o*, e ^ ^ ^ ] = \gx,tjx].

Mas Hx:gj^> IR é (//-invariante, ou seja,

HïoAdgi=Hl,Vg1eG1

Fazendo gt - exp(-f£, ), derivando em ordem a / e fazendo / = 0 obtém-se

Logo ( ( ^ , )f, [ £ , ? i ] ) = ( ( ^ , )f l, | a , J 7 i J = 0 por ft ser ^/-invariante.

3.4 Método de Thimm

Finalmente o método de Thimm termina considerando duas subálgebras gi e g2 de g nas condições do lema 3.7.

Teorema 3.9 Sejam gi e g2 duas subálgebras nas condições do lema 3.7, m e 712 as respectivas projecções ortogonais, Hi e H2 funções Gj e G2- invariantes em C^igi) e Cœ(g2)

(respectivamente). Então, se [g1,g2]c: gi tem-se:

{Hxonx, H2on2] = 0.

Prova: Seja t, e g e decomponhamos £ = £, + E,x . Então:

<-»■> ' - V -1 eg; sgf

{H^

X

,H^7

2

} Œ) = B(Ç,[B~\dF

l

h,T\dF

2

)J) =

= Btfi,[B'\dFl)í ,B~\dF2)iJ) + B^x±,\l~\dFx),,B~\dF2),\ = e ? j = # 2 e * i =0 /ror <fe/\ de g,1

= B^,B~\dFx)4\B~\dF2)ç) = B(0,B~\dF2)() = 0. G-inv.deB lema 3.8

Como construir as funções Ht e C* (g,. ) ?

Lema 3.10 Seja gi uma subálgebra de g e Bi a forma de Killing de gj. Então: H}:g,^IR

é uma função (quadrática) Gj-invariante.

Prova: Como sabemos B\ é G7-invariante , logo:

Bx{AàJM„rÍ) = B^,ri), Vg, e G,, VÇ,r, e gl.

Logo

H^AdJ^H^XV&eG^VCeg,.

♦

Usando estas condições torna-se possível construir grandes conjuntos de funções em involução em C°°(g). Consideremos, por exemplo, uma cadeia de subálgebras em g,

gj c g2 cz... a gn_j =g tais que B é não degenerada, e funções G>-invariantes

Hie. C°°(g.) • Resuh"a do Teorema 3.9 ( porque \gi,gi+i\<= gi+i) que as funções Hioni estão em

involução em C°°(g), e compondo com a aplicação £ " ' e o momento /i obtém-se integrais primeiros em involução em M. Esquematicamente podemos considerar o seguinte:

gi—^IR Ky//g2 "2 >IR

^^g„-i=g^^>IR

Portanto, as funções Ft=Hto^toB ° ju , i = \,...,n-l, constituem um conjunto de funções

Capítulo IV

Exemplos

Neste capítulo iremos aplicar o método de Thimm, descrito no capítulo anterior, a dois exemplos. Vamos considerar a acção de SO(3) em (IR , Ú)Q) e a acção de SO(4) em (IR , coo).

4.1 Acção de SO(3) em (IR6,^

Consideremos o grupo de Lie:

G = SO(3) = {A e m3x3 A'A=Ie det A = 1}

e so(3) a sua álgebra de Lie, ou seja,

so(3) = {Çem3x3:Ç'+Ç=0}.

4.1.1 Base para so(3)

Consideremos a seguinte base para so(3)

{Ei,E2,E3}

T o i o"

" 0 0 - 1 "

" o o oT

- 1 0 0 , 0 0 0 0 0 1

Calculemos, em primeiro lugar, os parêntesis de Lie:

[E,,Ej],l<i,j<3.

Uma vez que o parêntesis de Lie é bilinear e anti-simétrico, basta calcular [EhE2], [Ei,E3],

[E2,E3J.

[Ei,E2] =E2Ei -EiE2=-E3

[Ei,E3] =E3E] -E1E3=E2 [E2,E3]=E3E2-E2E3= -Ei 4.1.2 Acção de SO(3) em IR6 3 Sejam {xx, x2, x3, yx, y2, y3} coordenadas em IR6 e í »0= ^ à , A dyt. Seja: i=i y/:SO(3)^Dif(IR6,a0)

a acção de SO(3) em IR6 dada por:

y/A: IR6 ->IR6

(x,y)\-^(Ax,Ay),

onde x = (xl,x2,x3) e y = (yl,y2,y3).

Em primeiro lugar vamos mostrar que a acção y/ é simpléctica, isto é,

y/A o)0= Ú)0, VA e SO (3). Seja Então A1 A = I é equivalente a: an a2X a 12 a 13 a 23 a. a 31 a. a2x a22 a 31 «22 «32 a 33 a 13 a 23 a32 a33 e SO(3). au «12 «13 « 2 1 a 22 « 2 3 a3i _{« 3 2 « 3 3} 1 0 0" 0 1 0 0 0 1 <^> « n + « 22i + « 32i «12«11 ~*~ «22«21 "*~«32«31 W n ü i I ™!~ (Ãyidyi l U r i í t r i «11«12 + #21«22 ~*~«31«32 2 2 2 «12 """ «22 "*" «32 «13«12 + «23«22 + ^ 3 3 ^ 3 2 «11«13 + «21«23 ~*~«31«33 «12«13 "*" «22«23 "*" «32«33 2 2 2 t-t i -i "T~ C / T T "T" t*^o

Uma vez que:

ú)o=dxiA(fyi+ dx2Ady2+ dxíAdy%

y/A Ú)0 (X, y) = (o0 (Ax, Ay),

então y/ é simpléctica se e só se co0 (Ax, Ay)= co0 (X, y). Mas Ax= axx ax2 aX3 «21 «22 «23 «31 «32 «33 fv \ VX3 7

' l(XA ]X-, "T (XyyX-y i d\-iX-y , £#21 1 22 2 23 3 ' 31 1 32 2 33 3 /

«11 « 1 2 « 1 3

M

« 2 1 « 2 2 « 2 3 J2 « 3 1 « 3 2 « 3 3 .

UJ

Ay= ■{axxyx +al2y2 + aX3y3,a2Xyx +a22y2 + a23y3,a3Xyx +a32y2 + a33j>3 )-Logo:

co, >0 (Ax, Ay) = d(axxxx +aux2 + a1 3x3) A d{anyx +auy2 + auy3) +

+ d(a2Xxx+a22x2+a23x3)Ad(a2Xyx +a22y2 + a23y3) +

+ d(a3Xxx+a32x2+a33x3)Ad(a3Xyx +a32y2 + a33y3) =

= (andxx +audx2 + ax3dx3) A (audyx +andy2 + aX3dy3) +

+ (a2Xdxx + a22dx2 + a23dx3 ) A {a2Xdyx + a22dy2 + a23dy3 ) +

+(a3Xdxx +a32dx2 + a33dx3)A\a3xdyx +a32dy2 +a33dy3) =

= axx dxx Adyx +axxaX2dxx Ady2 +axxaudxx Ady3 +aX2axxdx2 A dyx +ax2 dx2 Ady2 +

2 7

+aX2aX3dx2 Ady3 +ax3andx3 Adyx +aX3aX2dx3 Ady2 +aX3 dx3 Ady3 +a2l dxx A<iyx +

+ a2Xa22dxx A dy2 + a2Xa23dxx A dy3 + a22a2Xdx2 A dyx + a22 dx2 A dy2 + a22a23dx2 A dy3 +

+ a23a2Xdx3 Adyx +a23a22dx3 Ady2 +a23 dx3 Ady3 +a3x dxx Adyx +a3Xa32dxx Ady2 +

+a3Xa33dxx Ady3 +a32a3Xdx2 Adyx +a32 dx2 Ady2 +a32a33dx2 Ady3 +a33a3Xdx3 Adyx +

= (au2 + a2X2 + a3X2)dxx A(fyx + (anan + ana22 + a3la32)dx} /\dy2 + + (auaX3 + a2la23 + a3Xa33)dxx Ady3 + (aX2au + a22a2X +a32a3l)dx2 A ^ , + + (aX22 + a22 + a32 ) dx2 A dy2 + (ax2aX3 + a22a23 + a32a33 ) dx2 A dy3 + + (ax3an + a23a2X + a33a3X ) dx3 A dyx + (aX3an + a23a22 + a33a32 ) dx3 A dy2 + + [aX3 + a23 + a33 ) dx3 A dy3 = dxx A dyx + dx2 A dy2 + dx3 A dy3 pois ATA=I = ®o(x,y). :. y/ é simpléctica.

Como HkDR(IR6,IR)=[0] a Proposição 2.33 garante que a acção y é quase-Hamiltoniana. Por

outras palavras:

VÇeg, ^)eX„(M,co0),

ou seja,

3J(QeCx(M):'¥{^)=Xm.

Vamos então encontrar as funções J( Q.

def d | y/(g)(x,y)= -jWmV(-t^,y)\t^ =

= ±(e-'tx,e-'ty)\

t=0

=

dt

= 4e-'í

X

\

l

__

0

,^e-<íy)l_

0

) =

dt dt ou seja,

k& (*,y)=(-^), 4- - (^)

_{ar, ax:}2

4- - (^>3 4- - &\ 4- - <&)i 4- - (ôo

3 c

2 óx3 õyx ôy2 oy3

= -Z((^4r

+

W)i4-)-Recordemos que (exemplo página 16) dado:

X=X, + ... + Xn + Y, + ... + K

então:

X = XF o

r=-

ÕF_ _ÕX:

, i=l (1) n.

-i<x>/Tn6\ Portanto, o campo y/(Ç)é o campo Hamiltoniano de J(Ç) eC (IR) se

a/(<f)

õx,

=-(£),

=(&),

, i =1(1)3.

Integrando as equações —~- - -(£*),■ obtêm-se: &

J(& = -

1

Zy

i

m+C(Ç,x) =

i=\

= -y.(Çx) + C(Ç,x),

onde a.b representa o produto interno usual entre ae b em IR . Temos então: Ora: J(0 = -y.($c) + C(£x) -y-Gty + Cffr)-= yt(Çtx) + C($x) = = (Çy).x + C(ix). a /^). = ( ô, ) .+.a c^x> poisÇ =-Ç cbc. Sx,

logo as restantes equações são satisfeitas se e só se:

C(£,x) = £>(£).

Obtemos então:

J(Ç)(x,y) = (&).x + D(Ç).

Pretendemos agora escolher D: so(3) —> IR de modo a termos: (1) J: so(3) -» C°(IR6), IR linear. Ora:

J(aÇ+bi])=((aÇ+bîi)y).x + D (aÇ+bTj)= =a(^y).x+b(Tjy).x + D(aÇ+brj),

enquanto que:

aJ(§ + bJ(rù=a((&).x+D(Q)+b((rv).x+D(rù).

Portanto, Jé IR-lineax se e só se:

Dfâ+b TJ) =aD(§+bD(íj),

isto é, D tem que ser ZK-linear e: (2) 7 [ £ i , ^ W W ^ } , V l < z'</<3. Já vimos que: [Ej,E2] - - E3, [Ei,E3] = E2, [E2,E3] - - Ej.

Calculemos então J(0 em cada um dos elementos da base de so(3).

J(E,)(x,y) = (Eiy).x + D(E]) =x]y2-x2y, + D(E,)

J(E2)(x,y)= (E2y).x + D(E2) =-Xly3 + x3y} + D(E2)

J(E3)(x,y)= (E3y).x + D(E3) =X2y3-x3y2 + D(E3)

Da equação (3) do capítulo II, sabemos que

, „r X ±(dFÔG ÕFÕG.

tí õxt dyt dyt dxt

J([EhEJ) =J(-E3)={J(E1),J(E2)}

<=> -X&3 + x3y2 + D(-E3)={xíy2-x2y1 + D(Ej), -xiy3 + x3y} + D(E2)}

<=> -x2y3 + x3y2 + D(-E3)=y2x3-(-x2(-y3))+yix0-Xix0+0xxi

« -D(E3)=0 <Z>D(E3)=0.

J([E,,E3]) =J(E2HJ(Ej),J(E3)}

<^> -xiy3 + x3yi + D(E^={xiy2-X2yi + D(E2), xjys-xgb + D(E3)}

<s> -xiy3 + x3yi + D(E2)=-yi(-x3) -xiy3

J([E2,E3])=J(-E1)={J(E2),J(E3)}

o -xiy2 + X2yi + D(-Ej)={- xiy3 + x3yi + D(E2), x^-xw + D(E3)j

<=> -xiy2 + x&i + D(-Ei) =y, x2 -(-xi)(-y2)

<=> D(E])=0.

Logo J[Ei, EjJ = (J(Ei), J(Ej)} se e só se D(Et) = 0, Vi=l,2,S.

Conclui-se finalmente que J : so(3) —> C°(IR6) dada por:

J(õ(x,y) = (&).x

é um homomorfismo de álgebras de Lie, portanto y/ é uma acção Hamiltoniana.

4.1.3 Momento da acção y/ Consideremos a aplicação momento

jj : IR6 -> so(3f (x,y) \->n(x>y) onde: <ju(x,y),Ç> = (&).x. Seja Ç€so(3): Ç=Ç,E,+Ç2E2+Ç3E3. Então

=Çi{i(x,y)(E1)+ Ç2y.(x,y)(E2)+ &ju(x,y)(E3)=

= &(Eiy). x+ &(E2y). x+ Ç3(E3y). x=

=Ç,J(E,)(x,y)+ Ç2J(E2)(x,y)+ &(E3)(x,y)=

= Çi(xiy2-X2yi) + S,2Í~xiy3 + x3yi) + E,3 (x2y3-x3y2).

Consideremos { ej, e2, e3} a base para so(3) , dual de {Ei, E2, E3j (isto é, ei(Ej)=Sij). Vamos

escrever o momento nesta base, ou seja, ju = jujei+ p2e2+{i3e3. Ora:

M(x,y)(E])=//,e, (£, ) + ju2e2 (El ) + //3e3 (£, ) =///

" V V V

1 o o

Analogamente

H2=H(x,y)(E2)=(E2y).x =-xiy3 + x3y, e

^3=fi(x,y)(E3)=(E3y).x = X2y3-x3y2. Pelo que:

ju: IR6 -+ so(3)*

(xI,x2,x3,y1,y2,y3) H> (xiy2-x2y0 ei+(-xiy3 + x3yi) e2+(x2y3-x3y2) e3. Passaremos a escrever simplesmente:

fi(x,y) =(fii> JJ2, /d3).

4.1.4 Forma de Killing em so(3)

Consideremos a forma de Killing em so(3), ou seja,

B:so(3) xso(3) -+IR

(Ç, TJ) (-» Tr(ad S, ° ad JJ),

e encontraremos a sua expressão na base {Ei, E2, E3}. Como B é bilinear e simétrica basta calcular B(EhEj), l<i<j<3.

B(EltEi) = Tr (adEioadEi) = 0-1-1= -2

adEioadEi(Ei) = 0 adEioadEi(E2) = -E2

adEioadEi(E3) = -E3

B(EhE2) = Tr (adE10adE2) = 0+0+0 = 0

adEjoadE2(Ei) —E2

adEi o adE2(E2) = 0

adEj o adE2(E3) = 0

B(EhE3) = Tr (adEioadEi) = 0+0+0 = 0

adEj o adE3(Ei) = E3

adEi o adE3(E2) = 0

adEj o adE3(E3) = 0

B(E2,E2) = Tr (adE2oadE2) =-1+0-1 = -2

adE2oadE2(Ei) = -Ei

adE2oadE2(E2) = 0

adE2 o adE2(E3) = -JÇj

adE2oadE3(Ei) = O adE2oadE3(E2) = E3 adE2oadE3(Es) = O

B(E3,E3) = Tr (adE3oadE3) = -1-1+0

adE3 o adE3(Ei) = -Ej adE3 o adE3(E2) = -E2 adE3 o adE3(E3) = 0

= -2

Portanto a forma de Killing pode ser escrita na forma - 2 0 0 5 = onde: 4.1.5 Determinação de B 0 - 2 0 0 0 - 2 By - B(Ei,Ej).

Definamos agora a aplicação

B :so(3)->so(3f <B($,7j>=B(£??).

Sejam £ TJ e so(3), ou seja,

Ç = Ç1E1+&E2+Ç3E3 e rj= TjiEj+TJ2E2+ T}3E3. Então:

B(Ç,T])=B(Ç1E1+Ç2E2+Ç3E3, tjiEj+tfiEi+ri&J*

= Ç1rUB(Ei,E0+ ^rj2B(E2,E2)+ &TJ3

B(E^ES)-= -2£iTj1-2&Tj2-2 &173. Ora:

<B(&,ÎÎ>=-2Ç1TJ1-2Ç2JJ2-2Ç3TJ3 implica, escrevendo B (Q na base dual de {Ei,E2,E3}:

B (&-(-2&-2&-2&.

Logo:

B (Z)=(--ZÍ, Z1--Z3)

ou seja,

B : so(3f -> so(3)

Ziei+z2e2+z3e3 i-> — z j E i — z2E2— z3E3.

2 2 2

4.1.6 Subálgebras de so(3)

4.1.6.1 Subálgebra de dimensão 1

Podemos considerar, por exemplo a subálgebra^ gerada por Ei .Note-se que gi = so(2).

4.1.6.2 Subálgebra de dimensão 2

Vamos mostrar que não existem subálgebras de dimensão 2.

Suponhamos que existe uma subálgebra g2 de dimensão 2 gerada por efe ÍJ.

Ora, £= £;£/+££;?+££3, ?j= rj^i+rj^+^Es e [Ç,rj\=riÇ-Çí], pelo que g2 é subálgebra se

e só se:

rjÇ-Çrié da forma a^+br/, com a,b e IR.

Ora: #=

o #,

- #2" Ã o & & - & 0 e r)= 0 _{7i - 72 _} 7i 0 73 72 - 7 3 0 Logo: 1£TÍ\=VÇ-ÇV Enquanto que: aÇ+brj= 0 ^ 2 - #273 # 3 7 i - ^ 73 #i73-#37i £ i 7 2 - £27 i 0 0 a<^l+bTjl -aÇ2-brj2 -aÇx~brjx 0 aÇ3+brj3 aÇ2+bí]2 -aÇ3-b?]3 0 Assim [£//] = «^ + 67 se e só se: tf£+H =<f372-£273 <a42+br]2 =ÇXT]3-Ç3T]X « tf£+è73 = # 2 7 i - # i 7 2

< = > <i a =

<f,

+ * 72 =#l73-#37l»#l * 0 <^ <=> í _{& 6 # 2 -^2}273 -^^2^1 + * ^ 2 = ^l2/73 - í l ^ l *> <=> 4 -6<f2/7, + 6 ^ Í 72 = £2rç3 - l i £ > 7 i -^2^372 +^22'73 <^ <=> i b = '-ÇlTJl+Çtfl*0 ^ <=> Í a = #3?72 - ^ 3 #12?73 - #l&7l - #2#372 + £% 7l (íl'/2-Í2'/l) ■#27l+íl72 £ <=>

a =

gigsg

2

-ç^iViVi zMMÍi

+&WI

zÉMh

+

Ç&rf +^^^2-^1%

<=>

o ^

o

ÍMxVi-^x)

<=> <

a =

<=>

^h^fjhllBlfilÈí

+

^Á~hh\H - hh'ih

+

&l

^2~h\

V

2

-^i

-^VW

o s

2 „ 2

Zím - z & á ^ s +&m +ÇÍVÍ -2^%^

+Ç2TJ3

= -(-£#, + ^

2

)

<=> <

(^2 -Çimf+i^ni -Çtfif =-(6»7j -ÇiTJiY

<=> <

^2 = 4im

&12 = ^ l

Temos então que £e 77 são colineares, pelo que não podem gerar um espaço de dimensão 2. Portanto não existem subálgebras com dimensão 2. Temos então a subálgebra gj gerada por

Ei, com dimensão 1, e g2 = g = so(3).

4.1.7 Projecções 7ti e 712

Verifiquemos que a forma de Killing de g restrita a so(2) é não degenerada. Dados Ç, t] e

so(2) temos:

Ç=ÇiEi e Í]=TJJEJ

pelo que a condição:

B(Ç,T])=0, Vtjeso(2)

logo:

£ = 0,istoé, £ = 0 .

Portanto, #|sor2>so^ é não degenerada. Sendo B\SO(2)XSO(2) não degenerada cada elemento de

so(3) pode ser escrito de maneira única como soma de um elemento de so(2) com um

elemento do complemento ortogonal (em relação a B) de so(2). Ora

so(2)x ={Çeso(3):B(£ÍJ)=0, VT]GSO(2)}.

Seja 4 = Ç1E1+&E2+Ç3E3 e so(2)x e rj= T]1EI+TJ2E2+TJ3E3 e so(2). Então:

B(Ç,Í])=0, Vtj eso(2)

é equivalente a:

BfêEj) = 0

ou, equivalentemente:

6=0.

Conclui-se que so(2)L = <E2, E3>.

A projecção jgj pode defínir-se:

nx : so(3) -» so(2)

Para álgebra de Lie so(3) a projecção é a identidade, ou seja,

n2 : so(3) -» so(2)

Ç\E\ + hl^l + b3-^3 *""* b l ^ l + b2^2 + b3^3

4.1.8 Determinação das funções //, ^/-invariantes

Para a subálgebra so(2) a função

//, : so(2) -+ IR

pode ser qualquer, uma vez que a acção adjunta em so(2) é AdSO(2) = /dro^. Consideremos,

por exemplo:

#,(££,) = <?,.

P a r a s o l , consideramos //? como descrito no Lema 3.10, ou seja:

4.1.9. Integrais primeiros em involução

Esquematicamente podemos construir o seguinte diagrama:

t i /

/

IR6 -^so(3/ -^so(3)

*so(3)J>IR

Anteriormente determinamos o momento:

fi: IR6 -> so(3)*

(xi,x2,X3,yi,y2,y3) i-> ftei + ft e2 + ft e3,

a forma B , as projecções, e as funções G>-invariantes, B~l : so(3f -> so(3) zie1+z2e2+z3e3 \-^ — Z J E J — z2E2--z3E3, 2 2 2 7tx : so(3) —> so(2) ÇXEX+Ç2E2+Ç3E3\^ÇXEX n2 : so(3) —> so(3) Hx : so(2) -» /# #2 : S00) -► / # £ £ , + £2£2 + £ £ 3 ■-» - 2 ^2 - 2^22 - 2g.

Finalmente obtêm-se os integrais primeiros compondo estas aplicações, ou seja:

Fx(xx,x2,x3,yx,y2,y3) = Hx o ^ o f i o ju(xx,x2,x3,yx,y2,y3)

= (Hxo7TxoB ) (xiy2 - xzyi, - xjy3 + x3yh xy3 - x3y2)

- (Hl o nx ) ( - - (xiy2 - x2yi),--( -xjy3 + x3yi), - - (x&3 - x3y2) í 2 ^ =HX{-- (x1y2-x2yi)) = - - (xiy2-x2yi) 1 Podemos considerar

uma vez que, se a^O:

{aF,H}=0 => {F,H}=0.

Analogamente:

— i

F2( x1, x2, x3, j1, ^2, ^3) = / f2o ^2o 5 ° fi(xl,x2,x3,y1,y2,y3)

= {H2°n2°B ) fxij2 - xiyi, -XU3 + x3^i, *2V5 - x3^

= (H2o7T2)B (xjy2-x2yi,-xjy3 + x3yh X2y3-x3y2)

= (H2°7t2)(-- (xiy2 - x2yi), - - ( -xiy3 + x3yi), - - (x2y3 - x3y2) 2 2 2

= H2(n2(-- (xiy2 - x2yi), — (- Xjy3 + x3yi), - - (x2y3 - x3y2))

■ H2 ( - - (xiy2 - x2^/;, - - ( -xiy3 + x3yi), - — (x2y3 - x3y2)) 2 2 2 1 2 1 2 1 = - 2( - - (x;V2 - x^y/;; - 2 f— f -x/j3 + x3yi)) , - ! ( - - (x2y3 - x3y2)Y 2 2 2

=_2(_I^/-2r_If

/

/

2

)/-2r-i^/

2 2 2

Podemos considerar então:

F, = / / !2+ / /2 2+ / /3 2.

Temos então três integrais primeiros em involução: { F „ F2, / / } ,

sendo Hum Hamiltoniano SO(3)-'mvarimte.

Exemplo: Um exemplo de um Hamiltoniano S0^5)-invariante é o que corresponde ao

movimento de uma partícula de massa m num campo central, isto é,

H(x,y) = -(yi2 +y22 +y32) + U(R)

m

onde méa massa da partícula e ( / a energia potencial, com R = yjxl +x2 +x3 .O problema

de Kepler obtém-se fazendo U(R)= , k > 0.

R

4.2. Acção de SO(4) em (IB

8

, a*,)

Consideremos o grupo de Lie:

G = SO(4) = {A emM: A'A=Ie detA = 1}

e so(4) a sua álgebra de Lie, ou seja,

so(4)^{^em

4x4

:^+4

=

0}.

4.2.1 Base para so(4)

Consideremos a seguinte base para so(4):

{Ei,E2,E3,E4,Es,E6}= 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' - 1 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0" ' 0 0 0 0" 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 0 0 0 ' 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0

Calculemos, em primeiro lugar, os parêntesis de Lie:

[Ei,Ej\, l<i<j<6.

Os cálculos foram efectuados no Maple (ver apêndice). Os resultados foram os seguintes:

[E,,E5]=-E3, [E,,E6J=0, [E2,E3]=E6,

[E2,E4]= Eh [E2,E5J= O, [E2,E6J= -E3,

[E3,E4J=0, [E3,E5]=Eh [E3,E6]=E2,

[E4,E5]=E6, [E4,E6]=-E5, [E5,E6]=E4.

4.2.2 Acção deSO(4)emIR8 Sejam {x, ,x2,xi,x4,yl,y2,y3,y4} coordenadas em IR e co0 - V dx, A dyl. i=\ Seja: y/:SO( Av^y/A y/:SO(4)->Dif(IRs,co0)

a acção de SO(4) em IR dada por:

y/A : IR8 -^IR8

(x,y)h>(Ax,Ay),

onde x = (xl,x2,x3,x4) e y = (yl,y2,y3,yi).

Analogamente a sofi), mostra-se que y/ é simpléctica, isto é,

y/A(o0 = coo, VA e SO(4).

Uma vez que:

HkDR{IR\lR)=m

a acção y/ é quase Hamiltoniana, isto é,

VÇeg, v(Ç)eXH(M,0)o),

ou seja,

Vamos então encontrar as funções J(Q, para £, e so(4). Analogamente ao exempl conclui-se que:

M d*i Qy,

V(£) = XJ(o <*

" « > = - « . ) ,

, /=1(1)4.

õx,

Obtemos, de maneira análoga a so(3),

Escolhendo D de modo a termos:

(1) J : so(4) -» Cœ(M), IR linear, obtemos analogamente que D: so(4) -> IR deve ser

IR-linear.

Imponhamos ainda:

(2) J[E{,E^{J{E-)J(E-)},\/\< i<j<n.

Calculemos então J(S) em cada um dos elementos da base de g:

J(Ei)(Xty) = (Eiy).x) + D(Ei) =x1y2-x2y1 + D(Ej)

J(E2)(x,y) = (E2y).x + D(E2) =x;y3 -x3yi + D(E2)

J(E3)(X,y) = (E3y).x + D(E3) =x1y4-x4yi + D(E3)

J(E4)(x,y) = (E4y).x + D(E4) =x2y3-x3y2 + D(E4)

J(E5)(Xty) = (E5y).x + D(E5) =x2y4-x4y2 + D(E5)

J(E6)(x,y) = (E6y).x + D(E6) =x3y4-x4y3 + D(E6).

Analogamente a so(3) verifica-se que:

J([E,,Ej]) ^(EiXJÍEj)}, I<i <j <6,

se e só se: D(Et) = 0, l<i<6. Logo, J:so(4)->C°°(IR8) Ç v+J(Ç):IR8 ->IR (x,y)^> (£y).x

é um homomorfismo de álgebras de Lie. Portanto y/é uma acção Hamiltoniana.

4.2.3 Momento da acção y/

fi : IB? -> so(4) (x,y) K> fj(x,y)

isto é,

< fi(x,y),(Q>=J(Ç)(x,yMÇy).x.

Analogamente ao que foi feito em so(3), seja {ei,..., e^} a base dual de {Ei,... ,EÓ}. Então:

fi(x,y)=fnei+... + fi6e6,

onde

fii (x,y)=< fi(x,y),Eí> = (E(y).x.

A aplicação momento é pois definida do seguinte modo:

fi: IR8 -+ so(4)*

(x,y) h^fuei+... + fi6e6.

Onde:

Mi = x1y2-x2yi; fi2 = xjy3 -x3yi; fi3 = xiy4-x4yi;

fi4 = x2y3 - x3y2 ; fis = x2y4 - x4y2 e fi6= x3y4 - x4y3.

Escreveremos mais simplesmente:

fi(x,y) =( fii,..., fi6).

4.2.4 Forma de Killing em so(4)

Seja B a forma de Killing em so(4), ou seja,

B:so(4)xso(4)-+IR

(Ç, ri) h-> Tr(ad Ç ° ad rj).

O cálculo da forma de Killing foi efectuado no Maple, encontrando-se os cálculos no apêndice deste trabalho. A forma de Killing obtida pode ser escrita na forma

-4 0 0 0 0 0" 0 - 4 0 0 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 0 0 - 4 0 0 0 0 0 0 - 4 B onde: By - B(Ej,Ej).

—l

4.2.5 Determinação de B

Definamos agora a aplicação

B : so(4) -* so(4f <B($,?7>=B(Ç,ÍJ).

Facilmente se conclui que B é dada por:

B~X : so(4/ -» so(4)

Ziei+Z2e2+Z3e3+Z4e4+Z5es+Z6e6 h-> — z / £ / — ^ £ 2 — Z 3 Í S 3 —^£4—Z5E5,—Z(,E^

4 4 4 4 4 4

4.2.6 Subálgebras de so(4)

É fácil de verificar que podemos ter uma cadeia de subálgebras: gi cz g2 a g onde gi=<E]> tem dimensão um, g2=<Ei,E6> tem dimensão dois e g é so(4). Mas vamos escolher a cadeia

gi e g2 a g onde gi = so(2), g2 = so(3) egé so(4), uma vez que no exemplo anterior já temos

os cálculos para so(2) e so(3). Mais precisamente, gj = <Ei> eg2= <E\, E2, Ej>.

4.2.6.1 Subálgebra de dimensão 1

Tomemos então gj = <Ef> s so(2).

4.2.6.2 Subálgebra de dimensão 3

Consideremos a subálgebra g2 gerada por Ei, E2 e E4. É uma subálgebra pois [Ei, E2J = E4 ,

[Ei, E4] = -E2 e [E2, E4J = Ej. Além disso temos g2 = so(3).

Tomemos finalmente g3 = g = so(4). Notemos que, caso o método de Thimm seja aplicável teremos integrabilidade completa em IR .

4.2.7 Projecções 711,712 v 713

A forma de Killing de so(4) restrita a so(2) é não degenerada. De facto, sejam £ ?jeso(2), isto é, Ç=ÇiEi e Tj=TjiEi Ora: pelo que 5 ( £ 7; = 0 b?eíí>G), implica 77=0 isto é, 7 = 0.

Sendo B\ so(2)XSO(2) não degenerada, cada elemento de so(4) pode ser escrito como soma de um

elemento de so(2) com um elemento do complemento ortogonal de so(2) em relação a B. Verifica-se facilmente que so(2)1=<E2,... ,Eé>, logo a projecção m pode definir-se:

nx : so(4) -* so(2)

^A+.-. + ^E.^^E, '

Vejamos que a forma de Killing de so(4) restrita a so(3) é não degenerada. Para isso sejam: £ = &E/+ &E2+ Ç4E4

e

rj = 7jiEi+ T}2E2+ ÎJ4E4.

Então, se B(Ç, rj) = 0, V 77 e so(3) teremos:

-4Çi7]i-4Ç2ri2 -4B,4ri4 = 0, VTJ}, TJ2, r/4,

pelo que # = & = & = 0 .

Cada elemento de so(4) pode então ser escrito de forma única como soma de um elemento de so(3) com um elemento de so(3)L.

Ora:

so(3)L - {Ç e so(4) : B(<^, r/)-0 para todo t] e so(3)},

A projecção 712 é então dada por:

712 : so(4) -> so(3)

£ £ , +... + ^6£6 l-> &£, + <f2£2 + # A

Para gj = so(4[) basta considerar a identidade

;r3 : so(4) -» s o ^

4.2.8 Determinação das funções //, C/-invariantes

Para a subálgebra so(2) a função

Hx : so(2) -► 77?

pode ser qualquer. Por exemplo:

#,(££,) = £•

Para a subálgebra ítffi), utilizamos a forma de Killing B2 de S0{3J (calculada no exemplo anterior) e tomamos:

H2 : so(3) -+ IR

€&+£& +Ç4E4 » B2(U) = -2tf -^l -2^42.

Para so(4) vamos usar a forma de Killing em so(4), ou seja,

H3 : so(4) -» IR

Ç,EX +... + Ç6E6 ^ B(Ç,Ç) = -4<f,2 - m - Hl - Hl - Hl - Hl ■

4.2.9. Integrais primeiros em involução

Esquematicamente podemos construir o seguinte diagrama:

so(2) Hi > IR

■Kl/

IR8 —*-+ so(4/ r > so(4)Pto+> so(3) "* > IR