Prevalência da ergocidade

Maria Alice Ribeiro Ramos Oliveira

Prevalência da Ergodicidade

Maria Alice Ribeiro Ramos Oliveira

Prevalência da Ergodicidade

Departamento de Matemática Pura

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 2003

Maria Alice Ribeiro Ramos Oliveira

Prevalência da Ergodicidade

Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de mestre em Matemática - Fundamentos e Aplicações

Departamento de Matemática Pura

Prevalência da ergodicidade.

INTRODUÇÃO

A teoria ergódica estuda sistemas dinâmicos que preservam uma medida, isto é, para os quais é igualmente provável que um ponto e a sua imagem estejam num conjunto mensurável arbitrário. Muitos fenómenos da natureza e das ciências experimentais são modelados por este tipo de sistemas. O exemplo historicamente mais notável veio da Física: os sistemas hamiltonianos, que descrevem a evolução de dinâmicas conservativas na mecânica newtoniana, são descritos por fluxos que preservam uma medida natural, a medida de Liouville.

Em mecânica estatística, os cientistas estão especialmente interessados em propriedades válidas em média no tempo. Boltzmann. no seu trabalho sobre teoria cinética dos gases, e a partir da hipótese de que cada superfície de energia constante é preenchida por uma única curva solução, deduziu que as médias temporais de certas funções de observação (pressão, temperatura, etc) ao longo das órbitas do fluxo do gás coincidem com as respectivas médias espaciais na superfície. Mais tarde verificou-se que aquela hipótese era falsa (depois substituída pela hipótese de Rosenthal de existência de órbita densa), mas vem dessa altura a designação de sistema ergódico para as dinâmicas em que esta permuta entre médias temporais e médias espaciais é válida. Uma discussão abrangente sobre condições suficientes para a igualdade destas duas médias ocorreu nos anos trinta do século XX e dela resultou a prova de von Neumann e Birkhoff de que as médias temporais existem para quase todas as condições iniciais e de que, a menos de conjuntos de medida zero, a permuta entre médias temporais e espaciais é possível se a dinâmica não admitir dois conjuntos invariantes disjuntos ambos com medida positiva.

Com alguma surpresa, em meados dos anos cinquenta, Kolmogorov exibiu exemplos de sistemas hamiltonianos que não são ergódicos, resultado generalizado por Arnold e Moser para dinâmicas conservativas bastante diferenciáveis, na que é hoje designada teoria KAM. Contudo eram conhecidos desde os anos trinta, contributo de Hedlund e Hopf, exemplos importantes de sistemas hamiltonianos ergódicos, os fluxos geodésicos em superfícies de curvatura negativa. Estes motivaram um estudo análogo por Anosov, nos anos sessenta, em variedades de dimensão qualquer e dinâmicas globalmente hiperbólicas (hoje conhecidas como sistemas de Anosov), e posteriormente o trabalho de Bowen, Ruelle e Sinai de construção de medidas de Gibbs para difeomorfísmos uniformemente hiperbólicos (Axioma A).

Neste contexto, o maior problema é o de decidir se uma dinâmica é ergódica relativamente a uma medida natural e interessante para o sistema e o domínio onde actua; em particular, porque nem todos os espaços admitem homeomorfismos transitivos e esta propriedade é consequência da ergodicidade se a probabilidade invariante é positiva em abertos não vazios. Birkhoff e Hopf expressaram a convicção de que uma dinâmica típica deveria misturar bem as órbitas e portanto deixar invariantes poucos conjuntos. Este carácter aleatório do sistema significa que, escolhendo um ponto ao acaso, a sua órbita deve distribuir-se de modo que, dado conjunto mensurável arbitrário, a frequência de visitas da órbita a este conjunto é proporcional à medida do conjunto. O artigo [O-U] de Oxtoby e Ulam, que inspirou esta

Prevalência da ergodicidade.

dissertação, confirma esta conjectura na família dos homeomorfismos, definidos em poliedros de IR", que preservam a medida de Lebesgue: na topologia C , dada pela métrica da convergência uniforme, os ergódicos são genéricos, isto é, formam conjunto de 2a categoria denso. Convirá enfatizar que esta resposta é apenas topológica. nada se

deduz sobre a prevalência da ergodicidade em topologias C, com r > 1. A demonstração serve-se essencialmente do facto desta família de homeomorfismos com esta métrica ser topologicamente completa e da técnica, implícita no teorema de Baire sobre espaços métricos completos, para detectar objectos com certa propriedade que se possa reformular como intersecção numerável de abertos densos (é o caso da ergodicidade, através da caracterização de von Neumann usando funções de L").

A demonstração que detalhamos neste texto é parte pequena do conteúdo do artigo de Oxtoby e Ulam, que nas inúmeras digressões revela uma combinação muito rica de métodos de topologia e teoria da medida. Foi necessário seleccionar o que nele se relaciona com a prova da densidade dos homeomorfismos ergódicos, compilar cuidadosamente cada parcela da prova e apresentá-la bem motivada e sem a dificuldade de leitura que um artigo extenso de 1941 naturalmente apresenta. O argumento foi planificado para os homeomorfismos do quadrado unitário do plano, com a vantagem de nele a medida de Lebesgue ser normalizada e de se tratar de um conjunto convexo, mas a estratégia é idêntica num contexto mais geral.

O capítulo I tem o propósito de uniformizar a notação e tornar familiares os modos mais usuais, em topologia ou teoria da medida, de catalogar um conjunto como grande. O capítulo II é dedicado à transitividade: a existência de homeomorfismos transitivos do quadrado unitário e a sua predominância entre os que preservam a medida de Lebesgue são aqui consequências directas do teorema de recorrência de Poincaré e do teorema de Baire. No capítulo III, num argumento longo e complexo que segue de perto o artigo [O-U], o conjunto de homeomorfismos do quadrado unitário ergódicos para a medida de Lebesgue é descrito como intersecção numerável de abertos densos. Os pré-requisitos para os três capítulos são apenas as noções básicas de topologia e teoria ergódica; sempre que se dispensar a demonstração de algum resultado, sugere-se bibliografia complementar.

No conjunto dos homeomorfismos do quadrado unitário que deixam invariante a medida de Lebesgue, m, há essencialmente duas topologias induzidas pela medida que são úteis e naturais neste contexto. [H]. Trata-se da topologia fraca e da topologia uniforme, ambas metrizáveis, a primeira mais fina que a segunda. Uma sucessão (/?„)„ de homeomorfismos que preservam m converge na topologia fraca para um hoineomorfismo h se e só se, para todo o boreliano E, a sucessão

[m(hn(E) A /7(E))]„

converge para zero, onde Á representa o operador de diferença simétrica. Em [H] prova-se que com esta topologia, a família de homeomorfismos que preprova-servam m é um espaço completo e

• o subconjunto dos homeomorfismos mixing é de Ia categoria;

• o subconjunto dos homeomorfismos fracamente mixing (que são ergódicos) é de 2" categoria.

Prevalência da ergodicidade.

Da comparação entre a topologia fraca e a topologia C não resulta que os fracamente mixing formem um conjunto denso na topologia C .

Um comentário final: seria conveniente analisar o carácter residual da ergodicidade através de uma medida no espaço das transformações que preservam a medida de Lebesgue. mas até ao momento não se conhece nenhum candidato natural para esta medida.

Prevalência da ergodicidade.

ÍNDICE

Introdução 1 índice 4 Capítulo I - Propriedades genéricas 5

Teorema de Cantor, Teorema de Baire e aplicações do Teorema de Baire.

Capítulo II - Homeomorfismos de [0, 1] transitivos (T) 17 Existência de homeomorfismos transitivos; homeomorfismos de [0, I]2 (#): ^"com a métrica

uniforme (D) não é completo, (Jí, D) é topologicamente completo e Té de primeira categoria em Tf; homeomorfismos de [0, l]2 que preservam a medida de Lebesgue (íW): (íW, D) é

topologicamente completo e Té de segunda categoria em M ■y

Capítulo III - Homeomorfismos de [0, 1] ergódicos (s) 37 S está contido em Tc S é denso em M.

Apêndice 48 Demonstração do Lema A.

Prevalência da ergodicidade.

CAPÍTULO I

Propriedades genéricas

Esta é uma secção preliminar, onde se pretende essencialmente tornar familiar o uso do teorema de Baire como mecanismo de detecção de objectos em espaços métricos completos. Começaremos por realçar as diferenças entre conjunto denso, magro e de segunda categoria, noções que o leitor informado poderá consultar abreviadamente, para finalmente nos demorarmos em alguns exemplos de aplicação deste teorema de existência.

No que se segue, X designará um espaço topológico, frequentemente dotado de uma métrica.

Definição 1.1

Dado um conjunto E c X, x é ponto de acumulação de E se qualquer vizinhança de x contém um ponto de E diferente de x.

Definição 1.2

A aderência de um conjunto E c X é a união de E com todos os seus pontos de acumulação.

Definição 1.3

Dado um subconjunto E c X, E é denso em X se a sua aderência é X.

Por exemplo, o conjunto dos números racionais é denso no conjunto dos números reais. De facto, dados reais x < v, como IN não é majorado (consequência do Axioma do Supremo), existe um natural n tal que n > . Seja z o maior inteiro menor ou igual a

y-x

nx. Então z < nx < z + 1 e, como ny > nx + 1, deduzimos que nx < z + 1 < nx + 1 < z+1 z+\

ny, logo x < < y e e um racional entre x e v. n n

Prevalência da ergodicidade.

Definição 1.4

Um subconjunto de X é magro se a sua aderência tem interior vazio. Por exemplo:

1) O conjunto vazio é magro.

2) Um conjunto finito de números reais, com a métrica euclidiana, é magro. De facto, se C é um tal conjunto, então o subconjunto dos pontos de acumulação de C é vazio, pelo que a aderência de C é igual a C, e portanto, não contém intervalos abertos não vazios. Logo a aderência de C tem interior vazio.

3) São igualmente subconjuntos de IR magros o conjunto (infinito numerável) dos inteiros e o conjunto (infinito, não numerável) ternário de Cantor. Pelo contrário, o conjunto (infinito numerável) dos racionais não é magro.

Definição 1.5

Um subconjunto de X diz-se de Ia categoria se é união de uma família numerável de

conjuntos magros.

Por exemplo, qualquer conjunto magro é de Ia categoria. O conjunto dos números

racionais também é de Ia categoria em IR porque, sendo numerável, é união numerável

dos seus pontos e cada um destes conjuntos singulares é magro. E portanto a união dos racionais com o conjunto ternário de Cantor (que produz subconjunto não numerável e denso em IR) é de Ia categoria.

Definição 1.6

Um conjunto que não é de Ia categoria diz-se de 2a categoria.

Note-se que, como o vazio é de Ia categoria, um conjunto de 2a categoria é sempre não

vazio.

Definição 1.7

O diâmetro de um subconjunto limitado de um espaço métrico é o supremo da distância entre dois quaisquer dos seus pontos.

Prevalência da ergodicidade.

Por exemplo, o diâmetro de uma circunferência plana de raio r é 2r. Note-se que este supremo pode não ser máximo, mas é-o sempre que se trate de um subconjunto compacto.

Dados dois conjuntos Ei e E2 tais que Ei 3 E2 e E2 * 0 , então E| n E2 é não vazio

porque é E2. Argumento análogo vale para família finita Ei D E2 D ... ZD Ek (k e IN) de

'conjuntos encaixados se Ek ^ 0 . O mesmo não se passa para famílias infinitas. Por exemplo,

1 se, para cada n e IN, En 0,

n , então nE„ = 0 ; _n=i se E„ = [n,+oo[, do mesmo modo f]En = 0 ;

n = \

se E„ =<xe Q x - v 2 < — >, então f| (E,, n Q) é também vazia. "J n = \

Mas

Teorema de Cantor:

Se {E„}nsiN é uma família de conjuntos fechados e não vazios de um espaço métrico completo tais que En z> E„+i para todo o n e o diâmetro de En tende para zero, então a

intersecção de todos os E„ é não vazia (e contém exactamente um ponto).

Note-se que, nos exemplos anteriores, falha alguma destas três hipóteses.

Demonstração:

Como, para cada natural n, o conjunto E„ é não vazio, escolha-se um ponto qualquer x„ de E„. A sucessão (x„)„ é de Cauchy uma vez que, se m > n, então xme E„ e portanto

d(x„, xm) < diâm E„ que tende para zero. Como o espaço é completo, a sucessão (x„)„

converge. Se fixarmos um E„, então, para todo k > n, tem-se que Xk e E„, logo o limite da sucessão (x„)„ pertence a E„, dado que este conjunto é fechado. O que significa que o limite está em todos os E„. Finalmente note-se que não podem existir dois pontos

Prevalência da ergodicidade.

distintos que estejam na intersecção dos E,„ uma vez que o diâm E„ é, por definição, maior ou igual à distância entre esses dois pontos e a sucessão (diâm E„)„ converge para zero. D

O Teorema de Cantor fornece um método para provar que um conjunto em que estejamos interessados é não vazio. Basta que ele se reescreva como intersecção encaixada de compactos não vazios em espaço métrico completo. Mas de facto podemos dispensar a exigência da sucessão ser encaixada, substituindo-a por outras propriedades dos conjuntos E„. É esse o conteúdo do Teorema de Baire.

Teorema de Baire:

Num espaço métrico completo a intersecção de uma família numerável de conjuntos abertos densos é densa (logo é não vazia).

Reformulemos o enunciado anterior.

Afirmação: O Teorema de Baire é equivalente a: Um espaço métrico completo é de 2" categoria.

De facto, seja E um espaço métrico completo e admita-se provado o primeiro

oo

enunciado. Então E não é união numerável de magros, caso contrário, se E= \JAn onde

n = l ° OO _ 00

An = 0 , então teríamos E = [}An , logo 0 = fl CAn , intersecção numerável de abertos

densos, e portanto 0 seria denso em E.

Reciprocamente, seja E um espaço métrico completo e suponhamos provado o segundo enunciado. Consideremos uma família numerável de abertos densos, (E„)„ e vejamos que fl-^,, é densa em E. Seja eeE e consideremos uma vizinhança V de e.

n = \

Prevalência da ergodicidade.

métrico completo. Logo é de 2a categoria e portanto não é igual à união numerável de

fechados de interior vazio definida por \J[CEn n B(e,r)j. Como n = \ B(e,r) = B(e,r)n ir, \ ( °° ^

fl£„

n^

tem de existir z e B(e,r) n fl£„ • Logo z E ^ n fl-Ê„ , o que conclui a prova de ( » A \n=\ ) V"=l y

que- [\En é densa em E. D n = \

Provemos agora o teorema de Baire, no seu segundo enunciado, como corolário do teorema de Cantor.

Demonstração:

Pretende-se mostrar que se um espaço métrico E é completo, então não pode ser igual à união de uma família de conjuntos magros; ou seja, se (E„)„ é uma família de subconjuntos magros de um espaço métrico completo E, então existe pelo menos um ponto em E que não está em nenhum dos E„.

A ideia da demonstração é a seguinte: como Ei é magro, o seu complementar contém uma bola fechada Ni com interior não vazio e raio r\\ como E2 é magro, Ni contém uma

bola fechada N>, com interior não vazio, contida no complementar de E2 e com raio

r\

r2 < — ; e assim sucessivamente. Deste modo obtemos uma família (Nk)k numerável de fechados, com diâmetro a convergir para zero, encaixados e disjuntos de todos os E„. Um ponto comum a todos os (Nk), que existe pelo Teorema de Cantor, não pode

pertencer a nenhum E„. Vejamos agora este argumento em detalhe.

Prevalência da ergodicidade.

Como Ei = 0 , CE, é aberto denso em E e contido em CE]. Sejam Mi bola aberta centrada em p, de raio si>0, contida em CE, c CE, e Nj uma bola fechada centrada em

s\

p, de raio r, = —, e portanto contida em Mi e em CEj. o

Como E2 = 0 , CE2 é denso em E e está contido em CE2; e portanto existe um

° o ponto x0 e CE2 n Ni. E existe M2 bola aberta contida em N i n C Ë2, centrada em x0,

S s

de raio s2 < Si; seja N2 bola fechada centrada em x0, de raio r9 = — < —, I020 contida

2 4 em M2, em CEi e em CE2.

Continuando este processo, construímos fechado não vazio Nk tal que

N p N2D . . . D Nt

diâm Nk < —

2k

N,. c C E , n C E , n . . . n C E1

Pelo teorema de Cantor, existe x e HNk . Um tal x e CE, n . . . n C Ek para todo o k,

k = l logo x e C í » A UE„

V«=i J

. D

Vejamos de seguida algumas aplicações do teorema de Baire. Ia: O conjunto dos números irracionais é de 2a categoria.

O teorema de Baire garante que o conjunto dos números reais é de 2a categoria, logo,

como o conjunto dos números racionais é de Ia categoria, o conjunto dos números

Prevalência da ergodicidade.

2a: Não existe nenhuma função real de variável real que seja contínua só nos

racionais.

Seja/: IR -» IR uma função. Para qualquer intervalo I de IR. a oscilação defem 1 é dada por

a>G) = S u p / ( * ) - I n f / ( x ) podendo esta diferença ser infinita.

Para um real x fixo, a função a>((x-ô,x + d)) decresce com ô e existe o limite Ú){X) = \im co((x - õ,x + ô)), que se designa oscilação de f em x. A função oscilação

ô->0

num ponto é especialmente útil para detectar descontinuidades: a oscilação de uma função é nula num ponto se e só se a função é contínua nesse ponto.

Suponhamos que existe uma função /definida em IR e com valores reais que seja contínua só nos racionais. Para cada natural n, seja A„ = lx:co(x) > — >. Cada um destes conjuntos é fechado em IR e o conjunto Q formado pelos pontos de

CO

descontinuidade d e / p o d e representar-se como a união UA„ . Estamos a supor que 17=1

Q = IR\Q. Então os conjuntos A„ são fechados de interior vazio, por serem

CO

subconjuntos de IR\Q. Assim, os conjuntos A„ são magros e consequentemente (J A;7 é

um conjunto de Ia categoria, isto é, Q é de Ia categoria. Mas isto contradiz o facto de

IR\Q ser um conjunto de 2a categoria.

Recorde-se que, pelo contrário, existem funções reais de variável real contínuas só nos irracionais. Vejamos um exemplo ([S]).

Seja/: IR -» IR a função periódica de período 1 definida em [0,1] por 0, se x é irracional

/ ( * ) = 1 p p

—, se x - —, onde — é fracção irredutível q q q

/ e s t á bem definida uma vez que a escrita de cada racional em fracção irredutível é única.

Prevalência da ergodicidade.

Lema: Para todo o real a, Hm f{x) - 0.

x—>a

Demonstração:

Dado s > 0, existe natural n suficientemente grande tal que — < s, para este n tem-se: n

k M l > I

r

t i 2 . I l . i 2 3 4. .1 rtd

Este conjunto, A, contém fracções irredutíveis — tais que 0 <p < q, p e Z, g e I N e 1 < q <n. Como este conjunto é finito, existe apenas um número finito de valores de x em [0, 1] que não satisfazem a condição \f(x)\ < — <s.

Seja ô = min |x - a\. Tem-se que ô > 0 porque A é finito e x * a. Se 0 < \x - a\ < ô,

xeA\{a}

então x <£A logo \f(x)\ < s. O que prova que lim/(x) = O.D

Resulta deste lema que/é contínua em a se e só se a<£Q uma vez que aeQ se e só se f(a)>0.

3a: Existem funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto.

Seja C o conjunto das funções contínuas de [0,1] em IR com a métrica d : C x C. -» IR+, onde d(f,g) = máx\f(x) - g(x)\.

Uma sucessão de funções converge nesta métrica se e só se converge uniformemente em [0,1], o que garante que (C, d) é espaço métrico completo.

Designemos por E o conjunto formado pelas funções de C diferenciáveis em pelo menos um ponto, isto é,

í r i , - f(x + h)-f(x) . ,

. 1

E = ^ f eC:3xe[0,\\: hm — ' J — existe e é finito ^

Prevalência da ergodicidade.

Para cada natural n, seja

E„= / G C : 3 X E 0 , 1 -

f(x + h)-f(x)

-n

Se para algum x e [0, l],/tem derivada à direita finita emx, então/e E„ para algum n.

,+

Logo E c Y <= C : (/') (x) é finita para algum X\Œ \J E

n = 1

Vejamos que os conjuntos E„ são magros, pelo que a sua união forma um conjunto de Ia categoria. Como C é um espaço métrico completo, é um conjunto de 2a categoria

pelo teorema de Baire. Sendo assim conclui-se que C é diferente da união dos conjuntos E„, ou seja, existe uma função contínua/que não está em nenhum E„. Logo/não está em E e portanto não é diferenciável em nenhum ponto.

Provemos que cada E„ é fechado e o seu complementar é um conjunto denso.

Vejamos primeiro que E„ é fechado. Sejam / e E„, {fk)k uma sucessão em E„ tal que Wk)k -> / e (xk)k sucessão em [0, 1] tal que 0 < X £ < l - i e

1 \fk(xk +h)-fk(xk)\<nh V0<h<l-xk. Como 0 , 1

-L ".

é compacto, (**)*• tem uma subsucessão convergente, para x, o qual pertence ao intervalo _0.1-1

n

Dado 0 < h < 1-x, as desigualdades 0 < h < l-xk são válidas para k suficientemente grande. Então

|/(x + h)-/(x)| < | / ( x + A ) - f(xk + A)j + | / ( x , +h)-fk(xk + h)\ +

+ \fk (xk +h)~fk (xk )| + \fk (xk ) - f(xk )| + \f{xk ) - /(x)| < ^ | / ( * + A) - / ( ^ + A)| + | / ( x , + /z) - fk {xk + h)\ + nh +

+|A(**)-/(**)|+|/(**)-/(4

E portanto, quando A: -> oo, como/é contínua em x e em x + /J e (fk)k - > / obtém-se |/(x + h) - /(x)| < nft V 0 < / 7 < l - x e portanto fe E„.

o

Falta provar que E„ = 0 , ou seja, que C(E„) é denso. Para isso basta mostrar que dada uma função poligonal contínua g e s > 0 existe h e C(E„) com d(g, h) < s, uma vez que

Prevalência da ergodicidade.

toda a função contínua/de C se pode aproximar arbitrariamente, na métrica d por uma função contínua linear por pedaços. [Bo].

Sejam g: [0, 1]—» IR função contínua linear por pedaços e M = máx {|declives| dos segmentos que constituem o gráfico de g}.

Considere-se um natural m tal que me > n + M e sejam O:IR—>IR, ®(x) = min{x-[xj,[x] + l - x } e h(x) = g(x) + e <3>(mx).

Em cada ponto x de [0, 1), h tem derivada lateral direita maior do que n (em módulo). De facto, como para x e [0, 1 [ se tem (e O(mx))' = ±s m, e ( g ' ( x ) ) < M , então

(h\x))+ (g'(x))++(fO(mx)), + > ms - M > n. Logo h e C(E„). Além disso,

d(h,g) = máx\h(x) - g(x)| = máx s <î>(mx) < —. a

0<*<1 0<x<l 2

Por ser aplicação do teorema de Baire, o argumento anterior apenas garante a existência de função contínua não derivável em nenhum ponto. Mas é possível exibir um exemplo, seguindo a estratégia de Weierstrass.

Seja O a distância de x ao inteiro mais próximo como acima e considere-se a função 1

/ IR -> IR definida por f(x) = £ O 10"x «=il0"

Para cada natural n e real x, seja / (x) = O 10"x . Como / (x) < para todo 10" ^ J " 10"

o x e 2 é convergente (trata-se de uma série geométrica de razão — ) então pelo

„=i10" 1 0

teste de Weierstrass ([S]), S / converge uniformemente para/; como as funções/,

n = 1

são contínuas em IR,/também é. Mostremos que esta função não é diferenciável em nenhum ponto.

Prevalência da ergodicidade.

Fixemos a G IR; atendendo a que O é periódica de período 1 e à definição de f, basta considerar valores de a tais que 0 < a < 1. Como a * 0, a tem uma única expansão decimal finita; suponhamos que é dada por a = 0,a a a ... onde #, e {0, 1, ..., 9}, e que h = m 10""' se a í 4 e a ^ 9 m m ■10"'" se a = 4 ou a =9 m m

Tem-se então que lim hm = 0 e que

,, , ,

, , î — 4l0"(a + / 2

) ) - I — O(l0"a

= s ±io''

cD(l0"(a + /? m))-o(l0',a)=cD(l0"a + 10"(±10-'"))-cD(l0"a) =

= o(l0"tf)-o(l0"a)=0

uma vez que O é periódica de período 1 e 10" "" eIN0. E portanto, a série acima é de

facto uma soma finita.

Se n < m, então tem-se

I0"a = \0" x0,aaa^...a a a ...a ...

1 2 3 n n+l n+2 m

= inteiro + 0,a a ...a ...

n + \ n + 2 m

e, pela escolha de hm,

10n(a + hm) = l0na±l0"-"'

= inteiro + 0,a a ...a ...±10""'" n + 1 n + 2 m

= inteiro+ 0, o a ...(a +1).

(Note - se que se am =9 então hm = -10"" "\peloquea +1 < 10).

Suponhamos agora que 0,a„+1 a„+2 ...am ...< Vi. Então a definição de hm garante que 0,o„+i a„+ 2...(ãm±l)...< !4.

Prevalência da ergodicidade.

Analogamente, se 0,a„+i an+2 ...am...>V2, então 10" {a + h,„) também é maior ou igual a

l/2.

Daqui resulta que

<Í>n0n(a + hj)-<S>(l0"a) = 10n(a + hm)-\0"a =

= 0,a ,a a - - O ±l)...-0,tf.,a a ...a ...=

n i M n + 2 « + 3 x m ' " + 1 n + 2 n + 3 m

= ±10f

Assim, se n < m, tem-se

10' _{O\l0"(a + h ) -<D 10"a = 10}m-'7(±10"-'") = ±l,logo

f(a + h)-f(a) m-i

s =

E±l.

« = i

Se m é ímpar, então m-\ é par, pelo que esta soma é igual a um número par. Se m é par então 777-1 é ímpar, pelo que esta soma é igual a um número ímpar. Daqui conclui-se que a sucessão

h não converge uma vez que só toma valores inteiros e é alternadamente par e ímpar. E portanto/não é derivável em a.

4a : Existem funções contínuas / : IR ^ IR que não são monótonas em nenhum

intervalo.

Uma vez que uma função monótona num intervalo [a,b], a < b, é derivável em algum ponto ([R-N]), a função de Weierstrass que acabámos de detalhar e as que resultam da 3a aplicação são exemplos de funções que não são monótonas em nenhum intervalo não

Prevalência da ergodicidade.

CAPÍTULO II

Homeomorfismos transitivos

Um homeomorfismo de um espaço topológico X é transitivo se existir um elemento xeX cuja órbita seja densa em X, isto é. se qualquer aberto não vazio de X tiver pelo

menos um iterado de x.

Alguns espaços métricos não admitem homeomorfismos transitivos. Por exemplo, em S as rotações irracionais são transitivas, mas não existe nenhum homeomorfismo de [0,1] que seja transitivo. De facto, seja / um homeomorfismo de [0, 1]. Como / é contínua e injectiva, pelo teorema do valor intermédio fé monótona e a sua inversa tem o mesmo tipo de monotonia. Suponha-se q u e / é estritamente crescente (o caso dual é análogo) e fixemos Xo e [0, 1] .

Se xo =/(xo), então/" (xo) = xo V« e Z, logo x0 não tem órbita densa.

Se xo >/(xo) então, como por hipótese/é estritamente crescente, tem-se que: . - >f'2 (*o) >./""' (xo) > xo >/(x„) >f2 (x0) > /3 (x0) > ...

Assim, a vizinhança de x0 dada por ]/(x0). /"' (x0) [ não contém nenhum iterado de x„

para além de XQ, logo xo não tem órbita densa.

Se x0 </(xo) então a órbita de x0 é sucessão estritamente crescente

- <f~2 (xo) </"' (xo) < xo </(xo) <f2 (xo) </' (xo) < ...

e a vizinhança de Xo dada por ] / ' (xo),/(xo) [ não contém nenhum iterado de x0 para

além de xo, logo x0 não tem órbita densa. E portanto o homeomorfismo / não é

transitivo.

Besicovitch ([B]) apresentou em 1937 um exemplo de um homeomorfismo transitivo do plano, mas não se conhece nenhum homeomorfismo transitivo de [0,1]2. O teorema

de Baire garante contudo que existe como veremos. Provaremos que no conjunto dos homeomorfismos do quadrado unitário, os homeomorfismos transitivos formam um

Prevalência üa ergoüicidude.

conjunto de Ia categoria, mas que no conjunto dos homeomorfismos do quadrado

unitário que preservam a medida de Lebesgue. os homeomorfismos transitivos formam um subconjunto de 2a categoria, em particular, não vazio.

Comecemos por reformular o problema de encontrar um homeomorfismo transitivo do quadrado unitário em termos de iterados positivos.

Proposição 2.1

Seja X um espaço métrico completo, separável e sem pontos isolados e T: X —> X um homeomorfismo. Se existirem em Xpontos com órbita densa, então os pontos com semi-órbita positiva densa formam um conjunto de 2" categoria.

Demonstração:

Como X é um espaço métrico separável, possui uma base numerável de abertos que designaremos por { Uj, i = 1, 2, ...]. Sejam

co oo

Gj= UT""U,,j = l,2,.., E=riGi e x e X

n = 0 .1 = 1

Dizer que x e E equivale a dizer que a semi-órbita positiva de x é densa em X (ou seja que a sua semi-órbita positiva visita todos os abertos de uma base e portanto todos os abertos não vazios), uma vez que

co x e E o x e nG| <=> <=>x€Gj,Vj = 1,2,3,... co o x e UT'nU,,Vj = 1,2,3,... n = 0 « Vj = 1,2,3....3neIN0 :xeT""Uj <=>VjeIN 3 n e I N0: T " ( x ) e Uj

Note-se que cada G, é um aberto por T ser contínua e portanto E é intersecção numerável de abertos.

Prevalência da ergodic idade.

Basta agora mostrar que cada Gj é denso. Por hipótese, podemos escolher z()eX com

órbita densa. Fixemos i e j inteiros positivos quaisquer e seleccionemos inteiros m e k tais que T~mr0 e U , e T ' :0e U : .

Se m > k. então m- k > 0. logo, sen = ni-k tem-se T"m-() e U, eTn(T"mz0) =

= Tm"k(T"m-0) = T "kz06 U|, l o g o TnU , n U| * 0 .

Daqui resulta que U, n Gj ■* 0 uma vez que TnU , n U , ^ 0 » 3 x £ Ü , i f i e U ,

o B x e U j : x e T ^ ' U , c$ 3x e U ; : x e G |

Sem < k. então k - m > 0. logo sen = k - m tem -se T" z0 e \J ■ eT"(T" :( l) =

= Tk"m(T"k-0) = T "mz0G Ul, l o g o TnU|n U , * 0 .

Como T é um homeomorfismo, T " Uj n Uj é um aberto não vazio e portanto contém infinitos pontos da órbita de Zo. Logo existem inteiros distintos // e h, digamos // < h, tais que h -lié arbitrariamente grande (maior que n) e os respectivos iterados por T de zo estão em T " Uj n Uj. Se Z| é o primeiro destes iterados e L = / ? - / / , então z\ e T L (zi) estão em T " Uj n Uj. Assim, como T (zi) está em T " Uj, temos que z\ pertence

a T" ' L Uj, ou seja, Z| e Uj e Z| pertence a T" * L Uj. O que significa, dado que L > n, que Z| e U, e zi G G j .

Logo G, é um conjunto denso. Pelo teorema de Baire, E é um conjunto de 2'' categoria e portanto, no espaço métrico completo X é não-.vazio e até denso.

Há algumas dificuldades na aplicação desta proposição ao conjunto dos homeomorfismos. Seja Jf o conjunto dos homeomorfismo de [0.1]" com a métrica

Prevalência da ergodicidade.

uni forme, isto é, se S. Te 3Í então D(S,T)= máx | S ( X ) - T ( X | . onde ||.|| designa a xe[o.i]2

norm a euclidiana no plano. Com esta métrica 9-Cnão é completo. De facto, considere-se a seguinte sucessão de funções de [0.1] em [0,1]'

G„(x,j/) = 2(1 -)x,y \ n + \ se 0 < x < ? ( x - l ) + l,v se - < x < l n +1 ) 2

O gráfico da l:i componente de G„ é a união do segmento de recta que une o ponto

(0, 0) ao ponto e do segmento de recta que une este ponto ao ponto ( 1. 1 ). ^2 n + \J

Trata-se de uma sucessão de Cauchy em Jíque converge, na métrica D. para a função g definida por: 1 g(x,y) = * (2x,y) se 0 < x < (l,v) s e - < x < l i

que não é injectiva logo não está em Jí.

Contudo, como veremos, se uma sucessão de homeomorfismos converge na métrica D para um homeomorfismo, então a sucessão das inversas também converge nesta métrica.

Definição 2.1

Duas métricas dizem-se equivalentes se induzirem a mesma topologia, isto é. se tiverem os mesmos abertos.

Prevalência da ergodicidade.

Lema 2.1

As métricas D(f,g) = máx\\f(x)-g{x)\\ e d ( / , g ) = D ( / , g ) + D(/"1,g"1) são

equivalentes em K Demonstração:

Note-se que, na métrica d, a convergência de uma sucessão de homeomorfismos significa convergência uniforme desta sucessão e convergência, também uniforme, da sucessão das inversas.

Considerem-se fe % r > 0 e os abertos Bd (f, r) e BD if, r) para as métricas d e D,

respectivamente, onde:

B

(f,r) = {geX:d(f,g)<r}eB

(f,r) = {geX:V(f,g)<r}.

Seja g 6 Bd {f, r). Como Dtf, g) > 0 e D(f', g']) > 0, então

Dtf, g) < D(f, g) + D(f', S "') = à(f, g) < r,

logo g e BD ( / » e portanto Bd (f, r) ç BD (/", r). Como a pré-imagem de BD (/; r) por

Id: (#; d) ->•(#; D) é igual a BD (/", r), que é uma vizinhança d e / e m ( ^ d) dado que

BD if, r) 2 Bd (/", r), então Id: (#; d) -> {% D) é uma aplicação contínua.

Vejamos agora que Id: (9Í, D) -> {% d) também é contínua. Seja {J„)n uma sucessão de elementos de Jí que converge na métrica D para um homeomorfismo / de 'K. Pretende-se mostrar que a sucessão de termo geral Id (fy =f„ converge para Id (/) = / n a métrica d, isto é, que (/„"' J também converge na métrica D. Ora

D ( / ;, 5r,)= DU " ' °f»>f~l °f") Vorquefn ésobrejectiva, = D ( l d , r ' o / „ )

= D ( /_ 1 ° / , / " ' ° /* ) „_>„ >0 Parque /„ - > / e f~X é contínua.

Como (/„)„ e (/„"' )„ convergem em ( ^ D), isto é, D(£,J0-»O e D(/„-;,/"0->O,

(/„ )„ converge em (9Í, d), D

Proposição 2.2 (H, d) é completo.

Prevalência da ergodicidade.

Demonstração:

Seja (/„)„ uma sucessão de Cauchy para a métrica d. Como -I r-\

D ( . / ; , , / , j < D ( . / „ . . / ; „ ) + D(./i;-'../„;') = d(./i?, ./;„).

(/„)„ uma sucessão de Cauchy para a métrica D. Por outro lado. como D C . / ;1 ,./„-') < D(./;,. /■„) + D C / ;1 , / ; ' ) = %/„*/„)

[f~ J é também uma sucessão de Cauchy para a métrica D.

Sejam / e g os limites das sucessões (f„)n e \f~ I respectivamente. Como o espaço

das funções contínuas é completo para a métrica D , / e g são funções contínuas. Além disso, para todo n e IN, tem-se ( fn o f~ ) = ld e ( f~ o fn) = Id, e portanto, como

(./„ ° /«"' ) ->■ (./' ° f ) » (/«"' ° /« ) -> (g ° / ) e ° l i m i t e é u n i c o' (./' ° g) = lim (./'„ ° ./„"' ) = Id e (g o / ) = lim (./;' o //;) = ld.

11 —> » n —> cc

Destas duas igualdades resulta q u e / é bijectiva: 1) fixados x,v e [0,1 J ,

/'(.v) = /'(3O CÍ> g(f(x)) = g(f(y)) <=> A- = 3/, logo / é injectiva; 2) dadoye[0,1] , como / o g = Id.;; =f(g(y)) e portanto /'é sobrejectiva.

Assim, a função / e um homeomorfismo,/"' = g e consequentemente 'Jíé completo com a métrica d.

Note-se que a sucessão de funções (G„)„ considerada anteriormente não é de Cauchy para a métrica d. De facto, para « e I N , tem-se

G„ (x,v) = < n + \ 2n n + ] 1 x,y \ ( A - - 1 ) + 1.V se 0 < x < 1 1 se n + \ < x < 1

Prevalência da ergodicidade. D(G ~ ' (x, y), G J (x, 7)) - móx > «7ÓX G„ ( X , ^ ) - G ; (X,V) rt + 1 (x-\) + l,y V y 772 + 1 \ ■ ( x - l ) + l,v V x — l . n — m 1 = max (n — m) = > —. 2 2 2

Como as métricas d e D são equivalentes em 'K e (J£ d) é completo, então (X D) é topologicamente completo, pelo que continuaremos a trabalhar com a métrica D.

O próximo lema indica que a transitividade não é uma propriedade aberta na métrica D. Trata-se de, na topologia dada pela métrica D, criar por pequena perturbação uma órbita periódica atractora, que é persistente e impede o homeomorfismo que assim se obtém de ser transitivo.

Lema 2.2

Sejam T um homeomorfismo transitivo de [0,1] e p > 0. Existe um homeomorfismo S tal que SoT não é transitivo, D(SoT, T) < pe os homeomorfismos D -próximos deSoT também não são transitivos.

Demonstração:

Seja X = [0, l]2, T um homeomorfismo transitivo e x um ponto interior a X cuja

semi-órbita positiva é densa. Consideremos s > 0 suficientemente pequeno de tal modo que a bola centrada em x e de raio s, B(x, s), está contida em X.

Como x tem semi-órbita positiva densa, existe um natural n tal que Tn x e B(x, s).

Logo está bem definido N = min {n e IN: ||x - Tn x|| < s}. Escolha-se um disco aberto

U, com centro em x e raio menor do que s, de tal modo que TNx e U ,

T x , T2x , . . . , TN" ' x e X \ Ü .

Como Tx e X \ U, existe si > 0 tal que B(Tx,^j ) n U = 0 , e como T é contínua, existe ÔT > o tal que T(B(x, ôT)) c B(Tx, si).

Fazendo o mesmo raciocínio para Tk, com k = 2, ..., N-l, obtém-se Sk > 0 tal que

Prevalência da ergodicidade.

B(Tkx,£k ) n U = 0 , e por continuidade de Tk, existe 6jk > 0 que verifica

Tk(B(x,8T k))cB(Tkx,£k).

o

Por outro lado. como TN(x) s U, existe 8N > 0 tal que B(TN(x), eN) c U, e por

continuidade de TN, podemos escolher ÔTN > 0 que satisfaça

TN(B(x,ôTN))c=B(TN(x),fN).

Seja x = mini-,ôT,...,ôTN \ >O.Tem-seque :

Tk( B ( x , r ) ) c X \ Ü , p a r a k = l,2,...,N-l

e

TN( B ( x j ) ) c U .

Seja (D um disco fechado de centro x e raio menor do que y. Por construção, tem-se <D,TN(©)cU e

T(©),T2($))!...JN"1(®)cX\U.

Seja S o homeomorfismo de X definido por: \x se x e X \ U

|C(x) se x e U

onde C(x) é a contracção radial que transforma TN(<D) num subconjunto interior a <D.

Vejamos como é a acção de S em <D. Fixemos z e <D.

Uma vez que T(z) í U, T2 (z) <£. U,..., TN"' ( z ) í U , concluímos que

(S°T)(z) = S(T(z)) = T(z) (S ° T)2 (z) = (S o T)((S o T)(z)) = (S o T)(T(z)) = S(T2 (z)) = T2 (z) N - 2 , ^ /o W T N " 2 ^ - W T N - 1 I (S o T)"'1 (z) = (S o T)((S o T)N'2 (z)) = (S o TXT*-' (z)) = SfT " (z)) = TN-'(z) o e (S o T)N (z) = (So T)((S o T)N"' (z)) = (S o T)(TN-' (z)) = S(T1N (z)) e ©, porque TN(z) 6 U.

Prevalência da ergodicidade.

Ou seja, (S°T) (<£>) c <D, logo S o T não é transitivo, se uma órbita por S o T entra em © permanece em ©. Além disso, como a perturbação induzida por S só ocorre em (D, que tem diâmetro menor ou igual a p, garantimos que D(T, SoT)<p.

Resta ver que também não é transitivo qualquer homeomorfismo que esteja suficientemente próximo de S o T. Como (S o T)(<D) e d<D são dois conjuntos compactos que não se intersectam, então a distancia de (S o T)(<D) ao bordo de <D é positiva, digamos ô > 0. Ora, se D(/, S o T) < - então, para cada x e <D temos

4

distância (/(x),ô(D) > - distância (/(*), (S o T)(x)) + distância ((S ° T)(x),ô<D) > > — + ô = - ô > 0

4 4 o

\ogofx) G (D , e portanto/não é transitivo, D

Note-se que S pode ser construído de modo a ser aplicação derivável várias vezes, mas como S tem de contrair um pequeno disco, a norma da sua derivada neste disco tem de ser muito pequena. E portanto não está garantido que SoT e T estejam próximos em topologia que envolva a diferença das normas das suas derivadas até certa ordem.

Teorema 2.1

Os homeomorfismos transitivos formam um conjunto de 1" categoria de (%D). Demonstração:

Vejamos que os homeomorfismos transitivos formam um conjunto magro, isto é o

{transitivos} = 0 pelo que se trata de um conjunto de Ia categoria.

o

De facto, se {transitivos} * 0 , então existe/e {transitivos } e ô > 0 tais que

B ( f) c {transitivos}. Assim, como/e {transitivos }, Br (/) n {transitivos} * 0 . Mas,

pelo lema 2.2, se T e Br (/) n {transitivos}, então existe S tal que S o T está em B8 (/),

não é transitivo e os homeomorfismos de uma vizinhança aberta V c Bg (/) de S o T

Prevalência da ergodicidade.

também não são transitivos. Logo V n {transitivos} = 0 , o que contradiz o facto de B s ( / ) c {transitivos}.D

Como os homeomorfismos transitivos formam um conjunto de Ia categoria em (H, D), não está garantida a sua existência por este argumento topológico. Sabemos

contudo que, se um homeomorfísmo deixa invariante uma probabilidade de [0,1] positiva em abertos, então as órbitas recorrentes não periódicas são densas e com elas podemos, por perturbação pequena na métrica D, ligar dinamicamente dois quaisquer abertos. Deste modo provaremos que entre os homeomorfismos do quadrado unitário que preservam a medida de Lebesgue, os transitivos são densos.

Designe-se por M o subconjunto dos homeomorfismos do quadrado unitário que preservam a medida de Lebesgue em [0,1]2, que designaremos por m, com a métrica D

induzida de Jf. Lema 2.3

9A é um subconjunto fechado de (Jf,D).

Demonstração:

Seja (Tn)n uma sucessão em 9A que convirja uniformemente para T e K Pretende-se

mostrar que T e M, isto é, que T preserva a medida de Lebesgue. Como Tn e M, para

qualquer função/ X -» IR contínua, temos} / dm = J / o Tn dm.

Fixemos uma t a l / Como (Tn)n converge uniformemente para T e / é contínua, então (fo Tn)n converge uniformemente para/o T. E portanto, como cada Tn preserva m

j / o T dm = lim J / ° Tn dm = lim J / dm = {/ dm, ou seja, T preserva a medida m. n

n—>=c n->°o

Corolário 2.1

Prevalência da ergodicidade.

Demonstração:

É consequência imediata de (#",D) ser topologicamente completo e <M fechado de 9ín

No que se segue concluiremos que há homeomorfismos transitivos em íW. Para isso provaremos que, em M, formam subconjunto de 2a categoria.

Seja {Uj} uma base numerável de abertos de X e, para quaisquer inteiros positivos i ej, definam-se Ek = jTe M :Uj nT"kUj * 0 ] e Ey = UEk.

k = l

Note-se que se T e pjEy, então todo o aberto da base tem órbita positiva densa por U

T. Ora esta propriedade é equivalente, por T ser função contínua em espaço métrico compacto logo completo, à transitividade de T.

Proposição 2.3 ([W])

Se TeClEy , então Té transitivo,

•j

Demonstração:

x k

Seja T G riEjj. Fixados naturais i e j , existe natural k tal que Uj n U T U, * 0 ; e

i,j ' k = 1

00 k

portanto o conjunto aberto Gj = U T Uj é denso no quadrado unitário, uma vez que k = l

intersecta todos os elementos da base de abertos.

CO

Assim o conjunto f|Gj é uma intersecção de abertos densos logo, pelo teorema de

j=i

Baire, é denso e, em particular, não vazio.

CO

Seja x e flGj. Uma vez que para todo o natural j , x e Gj, fixado j e IN, existe

j=i

natural k tal que Tk x e Uj, o que significa que a semi-órbita positiva de x por T é

densa, a

Prevalência da ergodicidade.

Se provarmos que, para todo o i e j , o conjunto E- é aberto e denso de *M, então f|Ejj é densa e portanto existe homeomorfismo transitivo em íM.

i-j

Proposição 2.4

Para lodo o i ej, E,j é um conjunto aberto em %.

Demonstração:

Vejamos que. para todo o k, Ek é um conjunto aberto em !M, pelo que Ey, como união de abertos, também o é.

Fixe-se um natural k e seja T e Ek. Existe xo £ Ui tal que T Xo e Uj.

Pretende-se encontrar s > 0 tal que B(T, s) c Ek, isto é, tal que se S e B(T. s) então existe x\ e Ui tal que S> (x\) e Uj.

COnsidere-se o caso k = 1 e seja x0 e U-, tal que T(x'o) e Uj. Como Uj é aberto existe

S > 0 tal que B(T(x0), 5) c Uj. Seja 5 e ^ tal que D(5, T) < S. Então ||5(x0) - T(x0)|| < Ô.

logo S(xo) 6 B(T(x0), ô) c Uj, e portanto x0 e Ui n 5"'Uj. Assim, para k = 1 podemos

escolher s = 5.

Se k •= 2 seja x0 e U\ tal que T2 (x0) e Uj. Como Uj é aberto existe ô > 0 tal que

s

B(T2 (xo), S) c Uj. Seja 5 e M tal que D(5, T) < - . Então, em particular, tem-se

\\S(S(x0))-T(S(x0))\\<-. (1)

Além disso, aplicando a desigualdade triangular, tem-se

\\S2 (xo)-T2 (xo)|| = ||S(5(xo))-T(T(xo))|| < ||5(5(x0))-T(5(x0))|| + ||T(5(x0))-T(T(x0))||. (2)

Por outro lado, como T é uniformemente contínua, V;/ > 0 3 íT > 0 : \\z - y\\ < ÇT => ||T(z) - T(y)\\ < TJ

Prevalência da ergodicidade.

Seja rj = - ; existe Çj > O tal que

\\z-y\\<ÇT =>p:(z)~T(y)\\<--. (3)

Assim, se D(5, T) < - e D(S, T) < £T, então por (1) e (3) resulta em (2) que

| S ( S ( x0) ) - T ( T ( x0) ) | < - + - = ô

logoS2(x0) e B(T2(x0),ô) c Uj se portanto x0 e U, nS"2U j .

Assim, para k = 2, podemos escolher s = min< - , ^ x ■

Considere-se agora k = 3. Sejax0 e Uj tal que T3 (x0) e Uj. Como Uj é aberto, existe

S > 0 tal que B(T3 (x0), S) c Uj.

8 • ,

Seja S € ÍW tal que D(5, T) < - . Então, em particular, tem-se que

||5(52(xo))-T(52(xo))||< - (4)

Aplicando a desigualdade triangular obtemos

US3 (xo) - T3 (xo)|| = \\S(S> (xo)) - T(T2 (x0))|| <

< \\SiS2 (xo)) - TOS2 (xo))|| + IITCS2 (xo)) - T(T2 (x0))||. (5)

Usando analogamente que T é uniformemente continua, a - podemos associar tj > 0 tal que

|z-^|<fr=H|T(z)-TO0||<-.

E a — corresponde um Çj > 0 tal que 2

| | z - y [ < | T ^ [ T ( z ) - T ( ^ | | < ^ . (7) Logo, se D(5, T) < |"T então, em particular, ||5 (x0) - T(x0)|| < çT, logo por (7) vem

||T(S(x0)) - T(T(x0)) < — . Se, além disso, D(S, T) < ~-, então garantimos que

2. ^

Prevalência da ergodicidade.

||S(5(xo))-T(5(xo))||<Ç-.

Daqui resulta que

H52 (x0) - T2 (xo)|| < ||S(S(xo)) - T(5(xo))|| + ||T(5(x0)) - T(T(x0))|| < - ^ + -f <T

Mas então, por (6), vem

\\T(Sí(xo))-T<Jl(xo))\\<-. (g)

Aplicando (4) e (8) a (5), resulta

||53(xo)-T3(xo)||<- + - = S

-3

logo, 5a (xo) e B(T3 (x0), S) c Uj, e portanto x0 e Uj O 5" Uj.

Ou seja, para k = 3, podemos tomar s = mm< - , £T, - — >.

Prosseguindo o raciocínio deste modo para k qualquer, surgem condições adicionais do tipo anterior sobre D(S, T) mas o argumento é idêntico aos casos anteriores, a

O objectivo é agora provar que, para todo o i e todo o j , o conjunto Ey é denso.

Defmam-se, para cada par de naturais i e j , Py = { T e ÍM : TJx = x Vx e U(} e P = IJPy ■

i.j

Note-se que, se T e Py, T não é transitivo uma vez que todos os pontos de um aberto não vazio são periódicos de período que divide j .

Lema 2.4

Para todo o i ej, Py é fechado em CM

Demonstração:

Sejam T e l e (Tn)n uma sucessão de elementos de Py que convirja para T.

Prevalência da ergodicidade.

todo n, todo o i e todo x e UÍ5 Tnjx = x. Como Tn -» T, então TnJ -> TJ, logo, dado x e U„ tem-se que T'x = lim Tn'x = lim x = x, e portanto T e Py. D

n —> co n —> oo

Lema 2.5

Se/fl TePy. fic/ííe wm tfïsco (D contido em Uit com um raio arbitrariamente pequeno, tal

que, para algum natural k (divisor dej), os conjuntos © T(<D), .... "&'(<D) são disjuntos, Jk((D)=(DeJk\cD=Id.

Demonstração:

Seja T e Pij e xo 6 U,. Como Tj (x0) = x0, x0 tem órbita periódica por T de período

que divide j . Consideremos disco B centrado em x0 e contido em Uj. Então TJ (x) = x,

para todo x e B. O conjunto l ^eIN:T,f =Id l é não vazio porque j lhe pertence. Seja

k = min j ^eIN:T,c =Id l. Então TkB = B,T,k = Id e, se k > 1, podemos reduzir B de

l l

J

modo a obter disco © c B tal que <D, T(<D),.... Tk"' ((D) são disjuntos (existe tal disco ©

uma vez que as disjunções exigidas são em número finito).D Lema 2.6

Para todo o i e oj, Pij é um conjunto magro.

Demonstração:

Fixemos i tj e consideremos T e P,y . Seja S um homeomoríismo que preserva a

medida de Lebesgue em [0,1]2 e que efectua uma rotação irracional de algum anel

concêntrico com o conjunto (D do lema anterior sendo igual à identidade no complementar de (D. Por exemplo, S pode ser definido do seguinte modo: consideremos irracional 0O de ]0, 1 [ e r0, ri e]0, 1 [ tais que r0 < n < R, onde R é o raio de ©.

Defina-se s(x0 +re'e)= x0 +re,{0+a(r)),0 < 6 < 2n, onde

Prevalência da ergodicidade. air) 0 se O < r < r\ ^ _ ( , - - R ) se r i < r < R R-r\ O se r > R

S restrito ao anel determinado por r0 e r\ é rotação irracional e no complementar de © é

a identidade. Além disso, S preserva a medida de Lebesgue: em coordenadas polares,

' (

l

°V

S(r, 6) = (r, 0+cc(r)) e portanto o determinante de DS(r, 9) é det - 1 , com

excepção dos pontos das curvas r = r, e r = R, onde S não é derivável (mas é contínua) mas que constituem subconjuntos de medida de Lebesgue zero. Como uma rotação irracional tem todas as órbitas densas, SoTgP,y.

Por outro lado, D(S o T, T) é arbitrariamente pequena, uma vez que, para x £ © se tem (S o T) (x) = T(x) e, para x e <D, ||(S o T) (x) - T(x)|| < diâmetro (D e diâmetro de © é tão pequeno quanto se queira. Assim Py é um conjunto fechado com interior vazio, logo magro. G Corolário 2.2 P é um conjunto de Ia categoria em <M. u Corolário 2.3 <M\P éde 2" categoria. Demonstração:

Como 5W é um espaço métrico completo, pelo teorema de Baire é um conjunto de 2a

categoria. Por outro lado, pelo lema anterior, P é um conjunto de Ia categoria. Se M \ P

fosse de Ia categoria então 94. também seria. D

Se TeM\ P então, para todo o i existe XGUJ tal que TJ(xj ^ x para todo o j . Isto é, T é

homeomorfismo que preserva a medida de Lebesgue e tem órbita não periódica em todo o aberto não vazio do quadrado unitário. O que permite concluir que o conjunto de órbitas periódicas de T é pequeno e provar que

Prevalência da ergodicidade.

Teorema 2.2

Para todo o i e oj, Ey é um conjunto denso em CH\P.

Demonstração:

Fixados i, j e IN, T e í W \ P e e > 0 , construa-se uma função S do seguinte modo. Una-se um ponto de Uj com um ponto de Uj através do segmento de recta com os extremos nesses pontos. Escolham-se pontos distintos pls p2, - , PN+I nesse segmento de

tal modo que: Pi e Ui

PN+I 6 Uj

|Pk-Pk+il< - parak=l,...,N.

Considere-se um número positivo 5 < - m i n |pk - pk+i| de forma a que as

8-vizinhanças de p, e pN+i estejam contidas em Ui e Uj respectivamente. Seleccione-se um

ponto x, não periódico por T na ô-vizinhança de pi que tenha algum ponto da sua semi-órbita positiva na mesma vizinhança; seja Tn' (x,) o primeiro retorno. Note-se que tal

escolha é possível, uma vez que, atendendo a que T preserva a medida de Lebesgue que é probabilidade em [0, l]2, podemos aplicar o teorema de recorrência de Poincaré e

concluir que o conjunto dos pontos recorrentes por T tem probabilidade total e portanto é denso, e de facto é de 2a categoria.

Por outro lado, o conjunto dos pontos cuja órbita por T é não periódico é denso e é também de 2a categoria. De facto, se Per(T) designa o conjunto de pontos periódicos por

T, então Per(T) = l)Perk(T), onde Perk (T) designa o conjunto de pontos periódicos

k = l

por T de período menor ou igual a k; e fixado k, temos: (i) Perk (T) fechado.

Seja (x„)„ uma sucessão de elementos de Perk (T) que tende para x0; T " (x„) = x„

com p„ e {1, ..., k}. Escolha-se subsucessão (xmn )„ de (x„)n com p„ constante, digamos igual a p (existe porque os valores que os períodos podem tomar estão em conjunto

Prevalência da ergo die idade.

finito). Então (x )„->x0, Tp (x,„n ) = x,„? Vrc e portanto Tp (x0) = x0 por continuidade

de Tp. Logo xo e Perk (T).

(2/) Perk (T) tem interior vazio.

Como T G <M \ P, para todo U aberto não vazio de [0, l]2, existe z e U cuja órbita

por T é não periódica.

De (/') e (20 resulta que os conjuntos Perk (T) são magros, pelo que Per(T) é de Ia

categoria. Logo Rec(T) n {pontos não periódicos por T} * 0 por serem ambos de 2a

categoria.

Analogamente, para k = 2, ..., N+l, escolha-se ponto não periódico xk na

vizinhança de pk que tenha algum ponto da sua semi-órbita positiva na mesma ô-vizinhança; seja Tn k (xk) com nk > 0 o Io retorno. Além disso, podemos considerar xk

de tal modo que não pertença à órbita de nenhum dos pontos xi, x2,..., xk-i.

Tem-se então que os pontos do conjunto F = {Tn xk : 0 < n < nk, 1 < k < N+l}

são todos distintos e, para k = 1, 2,..., N,

|Tl l kxk - xk + 1| < | Tn kxk -pk| + |pk-Pk+i| + |Pk+i-xk +i|<ô+ - + 5 < s .

Logo, para k = 1, ..., N existem abertos disjuntos Ri, R2, ..., RN, com diâmetro menor do

que s, tais que Rk n F = { Tn kxk, xk+i}: cada Rk pode ser tomado como sendo a

vizinhança de um arco que una T k xk a xk+[.

Seja S e M o homeomorfismo definido por

x se x e X \ ( R , u . . . u RN)

S(x) - \ n

xk+1 sex = T kxk,comk = 1,...,N

O homeomorfismo S o T leva xi em xN+i ao fim de m + ... + nN iterados, isto é

Prevalência da ergodic idade. e que (SoT)(xi) = SCTxj) = TX] porqueT(x,) £ R, u . . . u RN ( S o T )2^ ) = (SoTXSoTXxj) = (801X1x0 = S(T2xO = T2X] porque T2( x , ) í R , u . . . u RN (SoT)n'-1(x1) = S(Tni-1x1) = Tn' -1( x1) p o r q u e Tni -1( x1) í R i U . . . u RN m a s ( S o T )n' ( ^ ) = (S°TXSoT)n>-1(x1) = (SoTXTn i-1(x1) = S(Tn'x1) = x-2. Analogamente,

(SoT)"1 + 1(*i) = (SoTXSoT)"' (*i) = (SoT)(x2) = S(Tx2) = Tx2

porque T ( x2) £ Rj U . . . u RN

(SoT)n> + 2( x , ) = (SoT)(SoT)n i + 1(xi) = (SoTXTx2) = S(T2x2) = T2x2

porque T2( x2) ^ R1 u . . . u RN

( S o T )n'+ n 2( x , ) = S ( Tn 2x2) = x3

( S o T )n1 +n2 +. . .+nN ( x i ) = s ( TnN x N ) = X N + ]_

Concluímos que S o T pertence a Ey.

Por outro lado, S o T e T só diferem em Ri u ... u RN e portanto

D(S o T, T) < máx {diâmRi,..., diâmRk} < s.

Daqui resulta que Ey é denso em ÍW \ P. D

Como ÍM \ P é denso em íW, Corolário 2.4

Para todo o i e oj, Ey é um conjunto denso em ÍM D

Prevalência da ergodicidade.

Da proposição 2.4 e do teorema 2.2 abertos densos, logo, pelo teorema de vazio, D

resulta que flEy é intersecção numerável de i-J

Prevalência da ergodicidade.

CAPÍTULO III

Homeomorfismos ergódicos

No que se segue, X designará o quadrado unitário, Xo o seu interior, m a medida de Lebesgue definida na a-álgebra <B dos borelianos de X, L](X, <B, m) a classe das funções

mensuráveis tais que | / | é integrável e L (X, <B, m) a classe das funções mensuráveis tais que \f | é integrável.

Um homeomorfismo T: X —» X que preserve m diz-se ergódico se não existirem dois subconjuntos T-invariantes disjuntos ambos com medida m positiva. Provaremos neste capítulo que genericamente, na topologia dada pela métrica do supremo, os homeomorfismos de X que preservam a medida de Lebesgue tendem a misturar bem as órbitas e por isso a ser ergódicos. Note-se que, como m é positiva em abertos não vazios, da ergodicidade de T resulta que T tem órbita densa. E portanto o conteúdo do capítulo anterior é consequência imediata do que neste estabeleceremos. Mas, como é de esperar em argumentos que envolvam medida, dinâmica e topologia, a prova de Oxtoby e Ulam que aqui detalharemos, sobre a densidade dos homeomorfismos ergódicos, é muito mais elaborada que a do capítulo anterior. Essencialmente utilizará a descrição da ergodicidade em termos das funções de L2(X, <B, m), através do teorema

ergódico de von Neumann, o teorema de Poincaré para detectar recorrências não triviais, o teorema da densidade de Lebesgue sobre pontos de densidade total em borelianos de medida positiva e uma técnica de perturbação na família dos homeomorfismos que preservam a medida de Lebesgue (cujos detalhes estão em apêndice por serem muito extensos) que permite alterar uma dinâmica no sentido de controlar a distribuição de parte significativa da órbita de um conjunto fechado fixado. Definições 3.1 Seja T: X—>X um homeomorfismo.

a) m é invariante por T se e só se VAe<B, 77?(T"'A) = m(A). b) Ae <Be invariante por T se e só se T ''(A) = A.

c) Uma função/: X -> IR é invariante por T se e só s e / o T = /

Prevalência da ergodicidade.

Note-se que um conjunto A é invariante por T se e só se a função característica de A, XA , é invariante por T.

d) m é ergódica (ou T é ergódico por m) se e só se todo o boreliano T-invariante tem medida m igual a zero ou um.

Recordemos que a noção de medida invariante ergódica num espaço métrico compacto pode ser verificada usando funções de L2(X, (B, m), do seguinte modo:

Lema 3.1 ([W]):

Seja T:X—>Xum homeomorfismo que preserva a medida m.

(a) T é ergódica se e só se para todos os pares de funções <pey/de L (X, <B, m) se tem

1 »-' k

lim — X \ç-y/(T )dm = \<pdm ■ \y dm.

«->«> n A-=O

(b) As condições seguintes são equivalentes: (i) m é ergódica;

(ü) Para toda a função f: X —> IR de L2(X, (8, m), o limite de Birkhoff

1 "~] ( \

lim — y\f\TJ ) é constante m q.t.p., igual a ff dm e a convergência dá-se «-►GO n . „

7 = 0

na norma de L2(X, (8, m). D

A proposição seguinte relaciona ergodicidade com transitividade.

Proposição 3.1

Seja Te9A.. Se T é ergódico, então T é transitivo. Demonstração:

Seja (£/„)„ e IN base numerável de abertos de X. Fixemos naturais / e j e consideremos as funções características xjj • e XU ■ ■ Como m é probabilidade em X, estas funções

Prevalência da ergodicidade.

1 "- l /. 1 "~l

lim - I \xu, -XU (_{A = 0} T )d m = l i m - £ í/77 r^T-k(TI \dm =

= l i m - " l m ( t /(. nT~kUj)

/7-+CO/7 A- = 0

= (/#£/. dw)- \jXUj dmr m(Ui)-m(Uj)

que é positivo uma vez que m é positiva em conjuntos abertos não vazios. Assim, para n suficientemente grande, os termos da sucessão

V>n=o JneiN sao

positivos, logo existe k e IN tal que m(Uj n T {Uj)) > 0; mas tal acontece só se Ui n T* (Uj) * 0 . E portanto T e U ty e M : U, n A'iC/y * 0 } .

£=1

Como i ej são inteiros positivos quaisquer, então, pela proposição 2.3, Té transitivo, a

Designemos por £ o subconjunto dos homeomorfismos que preservam a medida de Lebesgue e são ergódicos. O objectivo é provar que £ é denso.

Como X é espaço métrico compacto, L2(X, ®, rrí) é separável e portanto contém um

conjunto numerável denso, que designamos por Z ={<j>i, (j)2, ... ò„, ...}. Com Z e o teorema de von Neumann podemos descrever o conjunto £ do seguinte modo:

Proposição 3.2 +00 +00 +00 í = í l í l \j€iJn,onde , = 1 j=\ n = \ SVn=<heM:

-m{h

)-\^dm

Seja hez. Para todo o natural i temos, pelo lema 3.1, na norma de L2(X, <2, m), que

lim — S 0,- (^ (*)) = M (x)í/m na nomia L e para quase todo x e X, ou seja «-><» n k=o

Prevalência da ergodicidade.

\/õ>0 3pelN:Vn>p

3p e IN : Mn > p -l -1 . ..*, - S <Pi(h )-\(f>idm <Õ. 1 "-' k rik=ü 1 < — 2 J + 0 0 +O0 + 0 0

logo a função h pertence a £ jjp e portanto pertence a f| fl U £",■,„ •

,' = 1 j=\ n = \

Reciprocamente, suponha-se que g preserva a medida m mas não é ergódica. Então existe A e <3 que é invariante por g e O < /«(A) < 1. Assim, a função y/ = %A é invariante por g, mas não é constante m q. t. p.: se y/ fosse constante, então y/ = O ou

^ = 1, o que implicaria que m(A) = O ou m(A) = 1, respectivamente, o que é absurdo. Daqui resulta que, no espaço L (X,(B,m), a distância de y/ao conjunto fechado das funções constantes é positiva. Designe-se essa distância por A. Escolha-se um inteiro

1 A A positivo /o tal que — < — . Como Z é denso, dentro da bola de centro y/t raio — existe

7o 2 2

uma função de Z, que designamos por </>; . Como y/ e m são invariantes por g, para todo o k,

HAg )-¥ HÁS )~¥(g ) = <t>u -¥ < — . A 2 2

Assim, para a média de Birkhoff, 1 "-' k

- ZfaAg )-w

#

(g

W

Daqui resulta que, para todo o natural n, a distância da função — Y. <t>i {g ) ao «*=o °

conjunto das funções constantes é maior ou igual a —. Como j ^z- dm é função

constante, devemos ter 1 "-z1 . . *

n k=o

+O0 +00 +co

A 1

> —> — , logo, g g £"/ ; n, para todo n, e portanto 2 7 o

Prevalência da ergodicidade.

Proposição 3.3

Para todo i, j e n, ■%„ é aberto.

Demonstração:

Atendendo a que um conjunto é aberto se e só se o seu complementar é fechado, vai-se mostrar que, fixados io,jo, e no, M^^LLm & fechado. Seja (hk)k uma sucessão de homeomorfismos em 94 \ £\ y n que convirja, na métrica D, para h e 94. Pretende-se concluir que A G 94 \ £iQj0nQ ■

Por hipótese, para todo k, tem-se

1 " O "1 — I (/>i (hk)-\(j>i dm nQ ,=o 1 " O "1 í — I <PiQ(h'k)-í<t>i0dm dm "O i = 0

^K

Sy^-Por outro lado, a sucessão

1 " O "1 — Z ^/ (^')> l°g° a sucessão «n /-O ° ^ * ttn-1 _{1 " 0 "}

£*„(**)

converge, na métrica D, para / * 1 "(H — I <t>iQ(h'k)-\<j>iodm «o '=0 converge, na mesma

n

Daqui resulta, atendendo a que D é a métrica da convergência uniforme, que a

sucessão f r■ . i2 1 " O " 1 í — £ <f>io(h'k)-\</>iodm dm n0 /«o i / ^ v converge para / * / r- -|2 ^ / 2 1 " O " 1 í — S tiQ(h')-l0j dm dm .Logo 1 " 0 "1 — I </>iQ(h)-\</>i0dm «o í=0 1 " O "1 — I 0jo(h')-\<f)iodm 2 } dm > — 1 41 ll\

Prevalência da ergodicidade.

e, portanto, h e <M \ Si Í - .o

Proposição 3.4

+30

Para cada i ej, o conjunto U 8ljn é denso.

n = \

Demonstração:

Fixemos z'0,7'0 e seja g e 9d \ £; ,■ n. Então para todo « G IN 1 "-' k - I <PiAg )-\<t>iJm n k=o 2 1 > — • 1 ""' k

Pelo teorema de Birkhoff, o limite lim— X^/ (g )(x) existe para m quase todo o x e X, e o integral da função <fi; que define é igual a } <fij dm .

Se <f>i for constante, então \<j>;dm = <j>\ , e portanto 1 "-> A

lim — X ^; (g )(x) = \<pj dm, o que contradiz a desigualdade anterior. Assim, fa

n^>x>n/i = o

não é constante.

Consideremos agora os borelianos:

TC, = \x e X : &Q (x) > \</>ÍQ dm) e 7 C2= { x e X : ^o( x ) < J ^oJ m } .

Note-se que, como <f>i é g-invariante,

x 6 g"' (3d ) <^ g(x) 6 3Cj « 4>i0 (gO)) > \<j>iQ dm <=> $ÍQ (X) > \<PÍQ dm » x e 3C,

e. portanto, ?G é invariante por g. De forma análoga se mostra que %2 é invariante por g.

Prevalência da ergodicidade.

Lema 3.2

0 < m ( X i ) < l o u O < m ( X2) < l

-Demonstração:

Para os valores das medidas destes borelianos temos quatro possibilidades: 1. m{%x) = 0 e mCK2) = 0.

Neste caso <j>i seria constante uma vez que m q. t. p. valeriam as desigualdades

K -\K

K -$K

Neste caso, em m q. t. p. <pf <\<f>f dm, logo \(f>f dm^\(j)i dm, o que contraria o teorema de Birkhoff.

3. 777(70) = 1 e rnCfo) = 0.

Analogamente ter-se-ia (j); > \<p; dm, logo \<f>; dm * J^( dm .

4. m{%1)=\ tm{Kj)=\.

Como 70 n % - 0 , ter-se-ia m(7(i u TQ) = 2, o que é impossível num espaço de probabilidade. □

Suponhamos que se verifica a primeira condição, isto é 0 < m(70) < 1 (argumento análogo se aplica se for válida a segunda condição).

Lema 3.3 (Teorema da densidade de Lebesgue, [R-N]):

Se um boreliano 7C verifica m(lQ > 0, então existe um ponto a e K com densidade 1, ,. m(línB(a;d)) , , n, _x , .

w/o é, to/ g«e hm T—; rr— = 1, onde B(a, o ) designa a bola centrada em a e õ-*o m(B{a;ô))

raio 5 . D