Despertando o interesse e o prazer pela Matem´
atica com
problemas de Olimp´ıadas
Problema
Um trimin´o ´e um retˆangulo 3 × 1 e um monomin´o ´e um ´unico quadrado 1 × 1. Quais s˜ao as poss´ıveis posi¸c˜oes de um monomin´o na cobertura de um tabuleiro 8 × 8 usando 21 trimin´os e 1 monomin´o?
Problema
Um trimin´o ´e um retˆangulo 3 × 1 e um monomin´o ´e um ´unico quadrado 1 × 1. Quais s˜ao as poss´ıveis posi¸c˜oes de um monomin´o na cobertura de um tabuleiro 8 × 8 usando 21 trimin´os e 1 monomin´o?
Problemas de Empacotamento
Como arranajar o maior n´umero poss´ıvel de retˆangulos, ortogonalmente e sem sobreposi¸c˜ao, em um retˆangulo maior?
Figuras extra´ıdas de https://www.ime.usp.br/ egbirgin/packing/
Problemas de Empacotamento
Como arranajar o maior n´umero poss´ıvel de retˆangulos, ortogonalmente e sem sobreposi¸c˜ao, em um retˆangulo maior?
Problema
(Extra´ıdo da Olimp´ıada Chinesa) Encontre o n´umero de subconjuntos de {1, 2, 3 . . . , 2000} tal que a soma dos elementos ´e divis´ıvel por 3.
Considere o polinˆomio
p(x ) = (1 + x )(1 + x2)(1 + x3) . . . (1 + x2000).
(1 + x )(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 1 + x + x2+ 2x3+ 2x4+ 2x5+ 2x6+ 2x7+ x9+ x10.
Problema
(Extra´ıdo da Olimp´ıada Chinesa) Encontre o n´umero de subconjuntos de {1, 2, 3 . . . , 2000} tal que a soma dos elementos ´e divis´ıvel por 3.
Considere o polinˆomio
p(x ) = (1 + x )(1 + x2)(1 + x3) . . . (1 + x2000).
(1 + x )(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 1 + x + x2+ 2x3+ 2x4+ 2x5+ 2x6+ 2x7+ x9+ x10.
Problema
(Extra´ıdo da Olimp´ıada Chinesa) Encontre o n´umero de subconjuntos de {1, 2, 3 . . . , 2000} tal que a soma dos elementos ´e divis´ıvel por 3.
Considere o polinˆomio
p(x ) = (1 + x )(1 + x2)(1 + x3) . . . (1 + x2000).
(1 + x )(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 1 + x + x2+ 2x3+ 2x4+ 2x5+ 2x6+ 2x7+ x9+ x10.
Problema
(Extra´ıdo da Olimp´ıada Chinesa) Encontre o n´umero de subconjuntos de {1, 2, 3 . . . , 2000} tal que a soma dos elementos ´e divis´ıvel por 3.
Considere o polinˆomio
p(x ) = (1 + x )(1 + x2)(1 + x3) . . . (1 + x2000).
(1 + x )(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = 1 + x + x2+ 2x3+ 2x4+ 2x5+ 2x6+ 2x7+ x9+ x10.
Parti¸c˜oes de Inteiros Positivos
O n´umero de parti¸c˜oes de n como soma n˜ao ordenada de inteiros positivos ´e denotado por p(n). Por exemplo, p(4) = 5, pois ´e poss´ıvel escrever 4 das seguintes formas:
4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.
Outros exemplos: p(10) = 42, p(20) = 627 e p(50) = 204226.
Seja p(O, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes ´ımpares. No exemplo anterior, p(O, 4) = 2.
Seja p(D, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes distintas. No exemplo anterior, p(D, 4) = 2.
Teorema (Euler, 1748)
Para todo inteiro positivo n,
p(O, n) = p(D, n)
Parti¸c˜oes de Inteiros Positivos
O n´umero de parti¸c˜oes de n como soma n˜ao ordenada de inteiros positivos ´e denotado por p(n). Por exemplo, p(4) = 5, pois ´e poss´ıvel escrever 4 das seguintes formas:
4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.
Outros exemplos: p(10) = 42, p(20) = 627 e p(50) = 204226.
Seja p(O, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes ´ımpares. No exemplo anterior, p(O, 4) = 2.
Seja p(D, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes distintas. No exemplo anterior, p(D, 4) = 2.
Teorema (Euler, 1748)
Para todo inteiro positivo n,
Parti¸c˜oes de Inteiros Positivos
O n´umero de parti¸c˜oes de n como soma n˜ao ordenada de inteiros positivos ´e denotado por p(n). Por exemplo, p(4) = 5, pois ´e poss´ıvel escrever 4 das seguintes formas:
4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.
Outros exemplos: p(10) = 42, p(20) = 627 e p(50) = 204226.
Seja p(O, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes ´ımpares. No exemplo anterior, p(O, 4) = 2.
Seja p(D, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes distintas. No exemplo anterior, p(D, 4) = 2.
Teorema (Euler, 1748)
Para todo inteiro positivo n,
p(O, n) = p(D, n)
Parti¸c˜oes de Inteiros Positivos
O n´umero de parti¸c˜oes de n como soma n˜ao ordenada de inteiros positivos ´e denotado por p(n). Por exemplo, p(4) = 5, pois ´e poss´ıvel escrever 4 das seguintes formas:
4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.
Outros exemplos: p(10) = 42, p(20) = 627 e p(50) = 204226.
Seja p(O, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes ´ımpares. No exemplo anterior, p(O, 4) = 2.
Seja p(D, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes distintas. No exemplo anterior, p(D, 4) = 2.
Teorema (Euler, 1748)
Para todo inteiro positivo n,
Parti¸c˜oes de Inteiros Positivos
O n´umero de parti¸c˜oes de n como soma n˜ao ordenada de inteiros positivos ´e denotado por p(n). Por exemplo, p(4) = 5, pois ´e poss´ıvel escrever 4 das seguintes formas:
4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.
Outros exemplos: p(10) = 42, p(20) = 627 e p(50) = 204226.
Seja p(O, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes ´ımpares. No exemplo anterior, p(O, 4) = 2.
Seja p(D, n) o n´umero de partici¸c˜oes de n com todas as partes distintas. No exemplo anterior, p(D, 4) = 2.
Teorema (Euler, 1748)
Para todo inteiro positivo n,
p(O, n) = p(D, n)
p(D, n) = [xn] ∞ Y i =0 (1 + xi) = [xn] ∞ Y i =0 1 − x2i 1 − xi = [xn] ∞ Y i =0,i ≡1 (mod 2) 1 1 − xi = [xn] ∞ Y i =0,i ≡1 (mod 2) (1 + xi + x2i + . . .) = p(O, n).
p(D, n) = [xn] ∞ Y i =0 (1 + xi) = [xn] ∞ Y i =0 1 − x2i 1 − xi = [xn] ∞ Y i =0,i ≡1 (mod 2) 1 1 − xi = [xn] ∞ Y i =0,i ≡1 (mod 2) (1 + xi + x2i + . . .) = p(O, n).
Mais problemas sobre fun¸c˜oes geradoras e parti¸c˜oes
1 Mostre que o n´umero de partici¸c˜oes de n em que nenhuma parte par ´e repetida ´e
igual ao n´umero de parti¸c˜oes de n em que nenhuma parte par ocorre mais que 3 vezes e tamb´em igual ao n´umero de parti¸c˜oes em que nenhuma parti¸c˜ao ´e divis´ıvel por 4.
2 Mostre que o n´umero de partici¸c˜oes de n em que nenhuma parte ocorre mais que
d vezes ´e igual ao n´umero de parti¸c˜oes de n em que nenhum termo ´e um m´ultiplo de d + 1.
Mais problemas sobre fun¸c˜oes geradoras e parti¸c˜oes
1 Mostre que o n´umero de partici¸c˜oes de n em que nenhuma parte par ´e repetida ´e
igual ao n´umero de parti¸c˜oes de n em que nenhuma parte par ocorre mais que 3 vezes e tamb´em igual ao n´umero de parti¸c˜oes em que nenhuma parti¸c˜ao ´e divis´ıvel por 4.
2 Mostre que o n´umero de partici¸c˜oes de n em que nenhuma parte ocorre mais que
d vezes ´e igual ao n´umero de parti¸c˜oes de n em que nenhum termo ´e um m´ultiplo de d + 1.
[Hardy-Ramanujan, 1918] Dado um inteiro positivo n, seja p(n) o n´umero de parti¸c˜oes n˜ao ordenadas de n. Ent˜ao
p(n) ∼ 1
3n√3e
[Hardy-Ramanujan, 1918] Dado um inteiro positivo n, seja p(n) o n´umero de parti¸c˜oes n˜ao ordenadas de n. Ent˜ao
p(n) ∼ 1
3n√3e
π√2n/3.
[Hardy-Ramanujan, 1918] Dado um inteiro positivo n, seja p(n) o n´umero de parti¸c˜oes n˜ao ordenadas de n. Ent˜ao
p(n) ∼ 1
3n√3e
Problema
Sejam O(n) e E (n) respectivamente as parti¸c˜oes de n em uma quantidade ´ımpar e par de inteiros positivos. DO(n) denota o n´umero de parti¸c˜oes de n em que todas as partes s˜ao ´ımpares distintos. Mostre que |O(n) − E (n)| = DO(n).
Problema
Sejam O(n) e E (n) respectivamente as parti¸c˜oes de n em uma quantidade ´ımpar e par de inteiros positivos. DO(n) denota o n´umero de parti¸c˜oes de n em que todas as partes s˜ao ´ımpares distintos. Mostre que |O(n) − E (n)| = DO(n).
Problema (O Problema das Damas em um Tabuleiro Inifinito, J.H.Conway)
Arranje exatamente um pe¸ca sobre cada ponto (x , y ), de coordenadas inteiras, de algum conjunto finito de pontos do semiplano y ≤ 0. Uma pe¸ca pode capturar uma outra saltando sobre ela na vertical ou horizontal para uma casa que esteja vazia. Mostre que nenhuma pe¸ca para atingir o semiplano y ≥ 5.
Problema (O Problema das Damas em um Tabuleiro Inifinito, J.H.Conway)
Arranje exatamente um pe¸ca sobre cada ponto (x , y ), de coordenadas inteiras, de algum conjunto finito de pontos do semiplano y ≤ 0. Uma pe¸ca pode capturar uma outra saltando sobre ela na vertical ou horizontal para uma casa que esteja vazia. Mostre que nenhuma pe¸ca para atingir o semiplano y ≥ 5.
Teorema (Klarner)
Sejam m, n, p inteiros positivos dados. Se podemos cobrir um tabuleiro m × n usando pe¸cas 1 × p, sem sobras ou superposi¸c˜oes de pe¸cas, ent˜ao p divide m ou p divide n.
Teorema (Bruijn)
Se um paralelep´ıpedo A1× A2× . . . × An pode ser coberto com blocos
a1× a2× . . . × an, ent˜ao para cada i , ai divide algum Aj.
Teorema (Bruijn)
Suponha que o bloco a1× a2× . . . an satisfaz as rela¸c˜oes de divisibilidade
a1 | a2 | . . . | an. Ent˜ao o paralelep´ıpedo A1× A2× . . . An pode ser preenchido com o
bloco se, e somente se, ´e um m´ultiplo do bloco.
Teorema (Klarner)
Sejam m, n, p inteiros positivos dados. Se podemos cobrir um tabuleiro m × n usando pe¸cas 1 × p, sem sobras ou superposi¸c˜oes de pe¸cas, ent˜ao p divide m ou p divide n.
Teorema (Bruijn)
Se um paralelep´ıpedo A1× A2× . . . × An pode ser coberto com blocos
a1× a2× . . . × an, ent˜ao para cada i , ai divide algum Aj.
Teorema (Bruijn)
Suponha que o bloco a1× a2× . . . an satisfaz as rela¸c˜oes de divisibilidade
a1 | a2 | . . . | an. Ent˜ao o paralelep´ıpedo A1× A2× . . . An pode ser preenchido com o
Teorema (Klarner)
Sejam m, n, p inteiros positivos dados. Se podemos cobrir um tabuleiro m × n usando pe¸cas 1 × p, sem sobras ou superposi¸c˜oes de pe¸cas, ent˜ao p divide m ou p divide n.
Teorema (Bruijn)
Se um paralelep´ıpedo A1× A2× . . . × An pode ser coberto com blocos
a1× a2× . . . × an, ent˜ao para cada i , ai divide algum Aj.
Teorema (Bruijn)
Suponha que o bloco a1× a2× . . . an satisfaz as rela¸c˜oes de divisibilidade
a1 | a2 | . . . | an. Ent˜ao o paralelep´ıpedo A1× A2× . . . An pode ser preenchido com o
bloco se, e somente se, ´e um m´ultiplo do bloco.
Teorema (Klarner)
Sejam m, n, p inteiros positivos dados. Se podemos cobrir um tabuleiro m × n usando pe¸cas 1 × p, sem sobras ou superposi¸c˜oes de pe¸cas, ent˜ao p divide m ou p divide n.
Teorema (Bruijn)
Se um paralelep´ıpedo A1× A2× . . . × An pode ser coberto com blocos
a1× a2× . . . × an, ent˜ao para cada i , ai divide algum Aj.
Teorema (Bruijn)
Suponha que o bloco a1× a2× . . . an satisfaz as rela¸c˜oes de divisibilidade
a1 | a2 | . . . | an. Ent˜ao o paralelep´ıpedo A1× A2× . . . An pode ser preenchido com o
Algumas referˆencias
https://sites.google.com/site/ufbasamuel/palestras
Algumas referˆencias
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