Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT Dissertação de Mestrado

Caoticidade dos Atratores

Hiperb´

olicos-singulares

K´

atia Silene Ferreira Lima Rocha

Salvador-Bahia

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K´

atia Silene Ferreira Lima Rocha

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar R. Pinto Varandas.

Co-orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro.

Salvador-Bahia

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K´atia Silene F.Lima Rocha. – Salvador: UFBA, 2011. 76 f. : il

Orientador: Prof. Dr. Paulo Cesar R. Pinto Varandas. Co-orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2011.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas Dinâmicos. 2. Atratores. 3. Expansividade. 4. Teoria Ergódica. 5. Medidas S.R.B. I. Varandas, Paulo César R. Pinto. II. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. III. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. IV. T´ıtulo.

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K´

atia Silene Ferreira Lima Rocha

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 25 de Fevereiro de 2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Co-orientador) UFBA

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Embora possam dizer que disserta¸cão tenha uma finalidade puramente acadêmica, há contribui¸cões diversas que não podem deixar de serem real¸cadas, como sentimentos e vibra¸cões que a tornaram poss´ıvel. Por essa razão, reservo esse texto para não somente agradecer à todos que me ajudaram neste novo projeto, quero trazer para dentro do meu texto aqueles que já o percorreram nas entrelinhas. Afirmo que não será tarefa fácil, por esta razão serei o mais seletiva poss´ıvel.

A Deus, por me amparar nos momentos dif´ıceis e me proporcionar paz e for¸ca interior para superar dificuldades.

A CAPES pela bolsa concedida durante os dois anos de curso.

Aos amigos acadêmicos, pela ajuda prestada na elabora¸cão deste ou de alguma forma no meu percurso nesses dois anos, os quais partilharam comigo idéias, fomentaram discussões, dentre eles, Ângela Soldatelli, Felipe Antônio, Luiz Alberto, Marcus Morro, Roberto Sacramento, Rodrigo von Flach e Tiago Bomfim. E de uma forma especial à aqueles que por muitas vezes deram sentido ao meu sorriso, Caio(Cainho), Ela´ıs(a frô), Fran(Framba soneca), Tina(a grossa), Reni(Rn_{) e Andressa(I love you Brasil).}

Continuando minha lista seletiva não poderia deixar de citar à aqueles que fizeram parte da minha vida escolar e acadêmica, lembrarei do in´ıcio, Dourilé Nunes, Efigênia, Maria José, Nelson e Zilda Paiva. E parte da minha fam´ılia UEFS: Andiara, André Mandolesi, Arleide, Claudiano Goulart, Fab´ıola Lima, Hildete, Jean Fernandes, João Cardeal, Joilma Carneiro e Marcos Grilo.

A todos os funcionários do IM-UFBA, pela disposposi¸cão e profissionalismo. Em especial a Dona Tânia, Dona Zezé, Jairo, Cleber, Douglas e Sr. Gilmar.

A todos os professores da PGMAT do IM-UFBA, pela dedica¸cão, Enaldo Ver-gasta, por ter me acolhido de bra¸cos abertos, Ta´ıse Santiago, que por muitas vezes foi muito além de ser professora, pelo carinho e conselhos e a Armando Castro, seu pensar acadêmico é um exemplo a ser seguido.

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com rigor e disciplina. Suas sugestões e manuscritos levaram a sucessivas revisões, cujas eventuais falhas que permanecem é de inteiramente responsabilidade da autora, teriam sido inúmeras não fosse por suas interven¸cões incisivas. Sua dedica¸cão me fez um profis-sional diferente.

Ao Prof. V´ıtor Araújo por aceitar participar da comissão julgadora de minha disserta¸cão, pela prestatividade e agrade¸co-o ainda pelas corre¸cões e aconselhamentos.

`

Aqueles que nossa longa história de amizade é sempre fonte de inspira¸cão, obri-gada por terem sido e por serem, simplesmente meus amigos, Van, Miss, Baixinha, Iran´ı, Dudú, Lan, André Luiz, Jonathas Maicon, Thy, D´ı, Flavinho, Gily, Dan, Juthá, tia Izis, Gávila, Fá, Nina(irmã preta e companheira de casa “blanca”). Bel, Wagner e C´ıntia pelo abrigo durante o primeiro verão e a Didi pelo apoio.

A minha fam´ılia porto seguro em todos os momentos.

Meus irmãos, caminhoneiros pelo Brasil, não sou a mesma sem tê-los por perto. Meu Pai(Painho) que cedo partiu deixando órfãs páginas de minha vida, o que me resta neste momento é lembrar do quão pouco precisava fazer para ser motivo de orgulho, lembro-me bem quanto orgulho em dizer aos seus amigos que sua filha já sabia ler e escrever... continuarei sonhando no dia em que enfim me dirás novamente : “Amo-te, desde quando nem sabias a cor dos meus olhos. Amo-te, desde quando eu sequer sabia, se eras um menino ou uma menina. Amo-te, desde quando sequer existias e apenas era um sonho do meu desejo de pai”.

Minha Mãe(Mainha) de uma forma muito carinhosa, quanto por mim já fez e faz cuidando de mim sem se importar com o amanhã. És minha companheira diária, teus ensinamentos carrego sempre comigo e o ser humano que sou devo a senhora; sem-pre empenhada em nossa educa¸cão e que por muitas vezes abdicou de viver para nos proporcionar dias melhores. Te amo.

A Neva, minha sempre Cunhada/irmã pelo carinho e inestimável apoio familiar que por vezes preencheu minha ausência. Aos meus sobrinhos pela ternura sempre pre-sente apesar do “débito de aten¸cão”e muitas vezes falta de paciência, fruto do desgaste diário. Espero que o entusiasmo, seriedade e empenho que ponho no trabalho lhes possa servir de est´ımulo para fazerem sempre “mais e melhor”.

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terioso passar´a pela vida sem ver nada.”

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Provaremos que um atrator Hiperbólico-singular de um fluxo 3-dimensional é caótico sob dois pontos de vista diferentes. Primeiro provaremos que o fluxo é expansivo, isto é, se dois pontos permanecem próximos por todo tempo, então suas órbitas coincidem. O segundo objetivo é a existência de uma medida f´ısica suportada no atrator.

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We prove that a singular-hyperbolic attractor of a 3-dimensional flow is chaotic from two different perspectives. The first is that the flow is expansive, that is, if two points remain close for all time, then their orbits coincide. The second is the existence of a physical measure supported on the attractor.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Nota¸c˜oes, Defini¸c˜oes e Ferramentas 4

1.1 Nota¸c˜oes e Defini¸c˜oes . . . 4

1.2 Ferramentas . . . 7

1.3 Conjuntos Hiperb´olicos-singulares . . . 9

1.4 Modelo Geom´etrico para as equa¸c˜oes do Lorenz . . . 11

1.5 Expansividade segundo Komuro versus Expansividade segundo Bowen . . . 14

2 Expansividade 17 2.1 Se¸c˜ao transversal e Mapas de Poincar´e . . . 18

2.1.1 Folhea¸cões Estáveis em se¸cões transversais . . . 18

2.1.2 Hiperbolicidade dos mapas de Poincar´e . . . 20

2.1.3 Se¸c˜ao transversal adaptada . . . 23

2.2 Vizinhan¸ca de Singularidade . . . 28

2.3 Prova de Expansividade . . . 30

2.3.1 Conclus˜ao da Demonstra¸c˜ao do Teorema (A) . . . 32

2.3.2 Prova do Lema T´ecnico - Controle de ˆangulos . . . 33

2.3.3 Prova do Teorema de Expansividade para o Futuro . . . 34

2.4 Expansividade robusta . . . 44

3 Medida S.R.B. 45 3.1 Medidas de probabilidade invariantes absolutamente cont´ınuas para a aplica¸c˜ao unidimensional . . . 46

3.1.1 Mapa de Poincar´e Global . . . 46

3.1.2 Redu¸cão do Mapa de Poincaré Global a um mapa unidimensional f, existência e finitude de medidas de probabilidades f-invariantes absolutamente cont´ınuas . . . 49

3.2 Constru¸c˜ao de medidas invariantes para a transforma¸c˜ao R . . . 52

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3.4.2 Hiperbolicidade da medida f´ısica . . . 65

4 Trabalhos recentes e Perspectivas futuras 67 4.1 Expansividade e hiperbolicidade singular . . . 67

4.2 Transforma¸c˜oes expansoras por peda¸cos com singularidades . . . 68

4.2.1 Medida misturadora e decaimento de correla¸c˜oes . . . 68

4.2.2 Parti¸c˜ao de Markov . . . 69

4.3 Decaimento de correla¸c˜oes para fluxos hiperb´olicos-singulares . . . 70

4.4 Especifica¸c˜ao . . . 71

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1.1 Fluxo na vizinhan¸ca de um ponto fixo - C´uspides . . . 12

1.2 Modelo Geom´etrico do Lorenz . . . 13

1.3 Aplica¸c˜ao unidimensional para o Lorenz . . . 13

2.1 Se¸c˜ao transversal imagem de um quadrado por um difeomorfismo . . . 20

2.2 Se¸c˜ao transversal δ-adaptada . . . 24

2.3 Constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversalδ-adaptada de um ponto regular x . . . . 26

2.4 Existência de Variedades estáveis para o mapa de Poincaré . . . 28

2.5 Se¸c˜oes transversais adaptadas na vizinhan¸ca de uma singularidade . . . 29

2.6 Conjunto A . . . 31

2.7 Prova de expansividade . . . 31

2.8 Posi¸cão relativa das variedades estáveis e órbitas no argumento da redu¸cão do Teorema(A) para Teorema de Expansividade para o futuro . . . 33

2.9 Controle de ˆangulos . . . 34

2.10 Caixa de fluxo . . . 35

2.11 Constru¸cão de mapas de Poincaré entre variedades estáveis . . . 37

2.12 Interse¸c˜ao em mesma componente conexa . . . 39

2.13 Entrada em uma caixa de fluxo de uma singularidade . . . 39

2.14 Mapa de Poincar´e definido com o fluxo induzido . . . 42

2.15 . . . 42

2.16 Expans˜ao . . . 43

3.1 Holonomia . . . 50

3.2 Proje¸c˜ao ao longo das folhas . . . 51

3.3 Rela¸cão de equivalência para o fluxo de suspensão . . . 57

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Em termos gerais Sistemas Dinâmicos estão relacionados com a descri¸cão do comportamento da maioria das órbitas da maioria dos sistemas, especialmente quando o tempo tende ao infinito. Além disso, estamos interessados em saber quando e em que sentido este comportamente é robusto quando submetido a perturba¸cões.

A teoria de dinâmica uniformemente hiperbólica foi iniciada por volta de 1960 por Smale, em cerca de dez anos toda uma teoria ergódica foi desenvolvida para esses sistemas. Um subconjunto fechado H de uma variedade compacta é hiperbólico se é invariante e existe uma decomposi¸cão do seu fibrado tangente em dois subfibrados invariantes, onde um deles contrai e o outro expande sob a a¸cão da derivada do fluxo.

Os sistemas uniformemente hiperbólicos apresentam comportamentos caóticos, contudo admitem uma descri¸cão precisa do seu comportamento, pois podem ser decompos-tos em subconjundecompos-tos invariantes Λ1,Λ2, ...,Λn que são transitivos (possuem óbita densa) e

quase todas as órbitas futuras desses sistemas se acumulam em um deles, ou seja, embora a dinâmica próxima a esses atratores possam ser bastante “caóticas”são surpreendente-mente “bem comportadas”do ponto de vista estat´ıstico.

Por volta de 1962 o meteorologista Edward Norton Lorenz buscava um modelo para previsão do clima e acabou encontrando, através de um sistema de equa¸cões diferen-ciais, o atrator de Lorenz. As equa¸cões de Lorenz destacam o de fato que para sistemas de tempo cont´ınuo, dinâmica robustamente transitiva pode ocorrer fora do contexto da hiperbolicidade uniforme. Neste caso, a origem é singularidade com decomposi¸cão do espa¸co tangente em soma direta de um subespa¸co estável de dimensão dois e um su-bespa¸co instável de dimensão um, em qualquer outro ponto a decomposi¸cão é dada por um subespa¸co instável, um subespa¸co estável e uma dire¸cão central ambos com dimensão um, logo não é uniformemente hiperbólico. Apesar da hiperbolicidade nos fornecer mo-delos caóticos, robustos e estáveis, ela exige propriedades muito r´ıgidas, excluindo muitas dinâmicas importantes que não satisfazem seus presupostos.

Isso motivou a busca de uma generaliza¸cão da no¸cão de hiperbolicidade uniforme abrangendo todos os sistemas de tempo cont´ınuo com comportamento dinâmico robusto. O passo fundamental para tal abrangência foi realizado por Morales, Pac´ıfico e Pujals

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[MPPuj98], com o estudo da classe de sistemas dinâmicos hiperbólicos-singulares, que são sistemas com todas as singularidades hiperbólicas e admitindo uma decomposi¸cão invariante dominada. Informalmente, um conjunto Λ compacto e invariante é dito ser hiperbólico singular se existe uma decomposi¸cão do fibrado tangente em dois subfibrados invariantes, onde um deles tem um comportamento contrativo e o outro, sendo dominado pelo primeiro, expande volume.

O primeiro exemplo, dentre outros, de conjunto hiperbólico singular é o atrator de Lorenz e seus modelos geométricos.

Um passo natural é tentar entender quais as consequências da dinâmica de hiper-bolicidade singular dos conjuntos invariantes do ponto de vista da dinâmica, geometria, estat´ıstica; sendo que muitos problemas permanecem em aberto. Este trabalho é base-ado no artigo “Singular-Hyperbolic Attractors are Chaotic”[APPujV07], uma importante contribui¸cões para tal teoria.

Inicialmente vamos provar que um atrator hiperbólico-singular é expansivo, ou seja, qualquer duas órbitas que permanecem perto em todos os momentos devem coincidir. A defini¸cão que usaremos foi introduzida por Komuro em [Kom84]. O primeiro resultado principal da disserta¸cão é o seguinte:

Teorema (A) Seja Λ um atrator hiperbólico-singular. Então Λ é expansivo.

Uma caracter´ıstica comum em dinâmica caótica é a dependência sens´ıvel às condi¸cões iniciais, que de forma geral significa que pequenas diferen¸cas são rapidamente aumentadas com o passar do tempo. Como expansividade implica dependência às condi¸cões iniciais com a prova do Teorema (A) conclu´ımos a prova de caoticidade dos atratores hi-perbólicos-singulares.

Dizemos que uma propriedade ´e Cr_-robusta, _r _≥ _{1, se ela vale num aberto de}

classe Cr _{no espa¸co} _X_(M_{) dos campos vetoriais que cont´em um dado campo} _X.

Teorema (B) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular ´eC1 _robustamente

expan-sivo.

Isto significa que seX ∈X(M) tem um atrator hiperbólico-singular Λ, então além de Λ ser expansivo (Teorema A), os conjuntos maximais invariantes numa vizinhan¸ca de Λ para campos C1 _{próximas a} _X _{são também expansivos.}

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f´ısica. De forma mais precisa,

Teorema (C) Seja Λ um atrator hiperb´olico-singular. Ent˜ao Λ suporta uma ´

unica medida de probabilidade f´ısica µ que é ergódica, hiperbólica e sua bacia coincide com a bacia de atra¸cão de Λ: B(µ) = Ws_{(Λ)Lebesgue,} _{mod 0 .}

Observando que nossos argumentos são preservados por pequenas pertuba¸cões, provamos também a seguinte versão.

Teorema (D) Numa C2 _{vizinhan¸ca de} _X _{com atrator hiperb´olico-singular} _Λ_,

o maximal invariante do campo de vetores Y ∈ U numa vizinhan¸ca de Λ admite um n´umero finito de medidas f´ısicas µ1, µ2, ..., µk cuja uni˜ao das bacias cobre a bacia de

atra¸c˜ao lebesgue-q.t.p.: B(µ1)∪...B(µk) = Ws(Λ), Lebesgue mod 0 .

A disserta¸cão está organizada da seguinte forma. No primeiro cap´ıtulo, listamos alguns conceitos e resultados de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias, Teoria da Medida e Te-oria Ergódica, necessários para uma boa compreensão no decorrer do texto. Apresentamos as defini¸cões e principais propriedades de conjuntos hiperbólicos e hiperbólicos-singulares. Estudando o Modelo Geométrico para as equa¸cões do Lorenz definimos a aplica¸cão do Lorenz unidimensional e por fim, estabelecemos os conceitos de expansividade segundo Bowen e Komuro.

O segundo cap´ıtulo é destinado a prova do Teoremas A e B. Tais provas são baseadas na análise de mapas de retorno de Poincaré para uma se¸cão transversal conve-niente, onde reduzimos a propriedade de expansividade para expansividade para o futuro de mapas de Poincaré.

No terceiro cap´ıtulo, provamos os Teoremas C e D. A prova tem como principais instrumentos técnicos a constru¸cão da se¸cão transversal e sua folhea¸cão invariante con-trativa para um mapa de Poincaré global, que nos permite reduzir a dinâmica do fluxo em certas transforma¸cões unidimensionais expansoras por partes, e a extensão do mapa de Poincaré global a seu semi-fluxo com a fun¸cão altura sendo determinada pelo tempo de retorno de Poincaré.

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Nota¸c˜

oes, Defini¸c˜

oes e Ferramentas

Ao longo dessa disserta¸cão M designa variedade compacta 3-dimensional sem bordo, fixada alguma estrutura Riemaniana suave e uma forma de volume, m, que cha-mamos de medida de Lebesgue. Além disso, escrevemosdistpara a distância induzida em M. Na primeira se¸cão desta disserta¸cão recordaremos alguns conceitos e resultados básicos de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias, Teoria da Medida e Teria Ergódica que facilitarão a compreensão da teoria que será desenvolvida no decorrer deste. Na segunda se¸cão esta-beleceremos as principais ferramentas utilizadas ao longo deste texto, as demonstra¸cões dos fatos aqui anunciados podem ser encontrados em [C04], [M83] e [PM77] . Na terceira se¸cão apresentaremos as defini¸cões de conjuntos hiperbólico e hiperbólico-singular e suas principais propriedades. Enquanto na quarta se¸cão construiremos um dos exemplos mais representativos de atrator hiperbólico-singular, o atrator do Lorenz geométrico. Por fim, na quinta se¸cão estabeleceremos as defini¸cões de expansividade segundo Bowen e Komuro, que denominaremos Bowen-expansividade e Komuro-expansividade.

1.1 Nota¸c˜

oes e Defini¸c˜

oes

Um campo de vetores de classe C1 _em _M _{´e uma aplica¸c˜ao com a topologia} _C1

X :M → R3 _{que, a cada ponto} _p_∈_M_{, associa um vetor} _X(p)_∈_T_p_M _{.Isso corresponde}

a uma aplica¸cão C1 _X _:_M _→_{T M}_{, onde TM é o fibrado tangente associado à variedade}

M. Denotemos por X1(M) o conjunto dos campos de vetores C1 _em _M_.

Um fluxo de classe C1 _{´e uma fam´ılia (X}

t)t∈R de difeomorfismos de classe C1 que

satisfazemX0 =Id:M →M eXt+s =XtoXs para quaisquer t, s ∈R. Dado um campo

de classeC1_{, desde que}_X _{é definido em}_M_{, com}_M _compacta, _X _{é limitado, então existe}

um único fluxo e Xt definido para todo t ∈ R associado ao campo, solu¸cão da equa¸cão

diferencial d

dtx=X(x) sujeita a uma condi¸c˜ao inicial.

Defini¸c˜ao 1.1.1 (Conjuga¸c˜ao de campos). Sejam X : U → Rn _e _Y _: _V _→ Rn_campos

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vetoriais de Rn_{, e sejam} _ϕ _:_D _→_U _e _ψ _{: ˆ}_D _→_V _{os fluxos gerados respectivamente por}

X e Y. Diz-se queX ´e topologicamente conjugado a Y quando existe um homeomorfismo

h : U → V tal que h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)), ∀(t, x) ∈ D. h é dita conjuga¸cão topológica entre X e Y.

Dizemos que p∈M ésingularidade para X se X(p) = 0, ou um ponto fixo para o fluxo Xt, isto é, Xt(p) =p para qualquer t ∈R. Caso contrário, p é dito ponto regular

para o campo X.

Defini¸c˜ao 1.1.2 (Singularidade hiperb´olica). Dado um campo de vetores Ck_, _X _: _U _→

Rm_{, uma singularidade} _p_∈_U _de _X _{é dita hiperbólica se a equa¸cão determinada pela sua}

parte linear DX(p) ∈ L(Rm₎ _{é hiperbólica(isto é, se os autovalores de} _DX_(p) _{têm parte}

real n˜ao nula).

Umaórbita de um pontoq∈M é o conjuntoO(q) = {Xt(q);t∈R}. Umaórbita

periódica de X é uma órbita O(p) tal que XT(p) =p para algum número m´ınimo T >0.

Umaórbita fechada deX é uma singularidade ou uma órbita periódica de X.

Sep∈M e [a, b]⊂R_{ent˜ao um}_{segmento de orbita} _{_X_t_(p);_a_≤_t _≤_b_}_{´e denotado}

porX[a,b](p).

O conjunto ω−limite de um ponto p ∈ M,ω(p), é o conjunto { q ∈ M: q = limtn→∞Xtn(p) para alguma sequência tn}. O conjunto α−limite de um ponto p, α(p), é o ω−limite dep para o campo−X.

Um conjunto Λ⊂M ´e:

• Invariante , se Xt(Λ) = Λ, ∀t ∈R;

• Transitivo, se Λ =ω(p) para algump∈M;

• Não trivial, se Λ não é uma órbita fechada de X;

• Isolado, se existe uma vizinhan¸ca compacta U de Λ tal que

Λ = ΛX(U) =

\

t∈R

Xt(U)

U ´e chamado bloco isolante;

• Sumidouro, se este ´e isolado e tem um bloco isolante positivamente invariante U, isto ´e,

Xt(U)⊂U ∀t >0

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Uma aplica¸cãoF :A→M,A⊂R2_{, de classe}_C2_{é uma}_{se¸cão transversal local} _ao

campoX seDF(a)R2 _e_X(F_{(a)) geram}R3 _{para qualquer}_a_∈_{A. Dizemos que Σ =}_F_(A)

é a se¸cão transversal quando F :A →F(A) é uma bije¸cão e sua inversa de classe C2_{, ou}

seja, disco mergulhado C2 _{transversal a}_X _{em todo ponto.}

Um Mapa de Poincaréé um mapa cont´ınuo R: Σ→Σ′ entre se¸cões transversais Σ e Σ′ que associa cada x∈Σ o seu primeiro retorno Xt(x)(x) à se¸cão Σ

′ .

Seja X um conjunto e A ⊂ P(X),A 6=∅,A ´e uma σ−algebra se e s´o se:

i) ∅ ∈ A

ii) Se A1, A2 ∈ A ent˜ao A1∪A2, A1∩Ac2 ∈ A

iii) X ∈ A

Além disso, se tais uniões e interse¸cões acima podem ser enumeráveis dizemos queA é uma σ−álgebra.

Seja X um conjunto e A σ−´algebra. Seja µ uma aplica¸c˜ao definida em A, µ :

A →[0,∞], satisfazendo as seguintes propriedades:

i) µ(∅) = 0

ii) µ(S∞_i₌₁Ai) = P∞_i₌₁µ(Ai), comAi ∈ A ∀i e disjuntos dois a dois.

Dizemos que a aplica¸cão µ definida acima é uma medida em X e chamamos a terna (X;A;µ) de espa¸co de medida. Uma medida µé σ−finita se podemos escrever X como uma união enumerável X = S_n₌₀An, com µ(An) < ∀n ∈ N. Quando µ(X) = 1,

dizemos que µé medida de probabilidade e (X;A;µ) é um espa¸co de probabilidade. Dizemos que T : X → X é uma transforma¸cão mensurável se T−1_(A) _{∈ A}

∀A ∈ A. Quando µ(T−1_{(A)) =} _µ(A) _∀_A _{∈ A}_{, dizemos que} _T _{preserva medida} _ou

simplesmente queµ´eT−invariante.

Seja (X;A;µ) um espa¸co de medida e seja T uma transforma¸cão que preserva medida. Um conjunto A ∈ A é dito T−invariante se T−1_{(A) =} _{A. Dizemos que} _T _é

ergódica(ou que a medida é ergódica em rela¸cão a T) se e só se todo conjuntoT−invariante possui medida 0 ou 1.

Uma propriedade se diz satisfeita em quase todos os pontos (q.t.p.), se o conjunto dos pontos onde a propriedade n˜ao ´e satisfeita tem medida nula.

Seja (X;A;µ) um espa¸co de medida, (X′;A′) um espa¸co mensur´avel e T :X →

X′ uma aplica¸cão mensurável. A medida transportada deµporT é a medidaµ′ :=T∗µ:

A′ →[0; +] definida por:

µ′(A′) :=µ(T−1(A′)), A′ ∈ A′

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Sejam µ e ν duas medidas num espa¸co mensurável (X;A). Dizemos que ν é absolutamente cont´ınua com respeito a µ se µ(A) = 0 implica ν(A) = 0, qualquer que seja A o conjunto mensurável. Neste caso escrevemos ν ≪ µ. Caso tenhamos µ(A) = 0 se e somente seν(A) = 0, dizemos que µé equivalente a ν e escrevemosµ∼ν.

Chamamos suporte da medida µo conjunto dos pontos tais que toda vizinhan¸ca tem medida positiva para µe este ´e denotado por

supp(µ) ={x; para todo abertoV ∋x;µ(V)>0}.

Quandoµ´e invariante para Xt a bacia deµa qual denotamos por B(µ) ´e o conjunto dos

pontos tais que

lim

t→∞

1 t

Z t

0

h(Xs(x))ds =

Z

hdµ

para toda fun¸c˜ao cont´ınuah:X →R_{. Note que a bacia sempre ´e um conjunto invariante.}

Uma probabilidade invariante µ ´e uma medida S.R.B.( Sinai-Ruelle-Bowen ), conhecida tamb´em como medida f´ısica do fluxo {Xt}t∈R se os pontos que satisfazem a

m´edia de Birkoff tem medida de Lebesgue positiva, isto ´e, Leb(B(µ))>0.

1.2 Ferramentas

Nesta se¸c˜ao apresentaremos as principais ferramentas utilizadas no decorrer do texto. Para maiores detalhes sobre os resultados aqui apresentados o leitor poder´a con-sultar [C04] e [M83].

O Teorema abaixo descreve o comportamento local das ´orbitas na vizinha¸ca de um ponto regular.

Teorema 1.2.1 (Fluxo Tubular). Seja p um ponto n˜ao singular de um campo X : U →

Rn _{de classe} _Ck_{.Ent˜ao, existe uma vizinhan¸ca} _V _de _p _em _U _{e um difeomorfismo} _Ck

F : (−ǫ, ǫ)×B →V, ondeǫ >0e B é uma bola emRn−1 _{tal que} _F _{é uma}_Ck_{-conjuga¸cão}

entre o campo constante Y : (−ǫ, ǫ)×B →Rn _{dado por} _Y _≡_(1,_{0, ...,}₀₎_∈Rn _{e o campo}

X |V .

O próximo resultado responde todas a questões relativas à dinâmica assintótica das solu¸cões de equa¸cões diferencias ordinárias autônomas em variedades compactas de dimensão dois.

Teorema 1.2.2 (Poincar´e-Bendixson). Seja Sejam M uma variedade compacta de di-mens˜ao dois, X ∈X(M2₎_{, um campo de vetor com um n´}_{umero finito de singularidades e}

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1. ω(p)´e uma ´unica singularidade;

2. ω(p)é uma única órbita periódica;

3. ω(p)consiste de um n´umero finito de singularidadesσ1, σ2, ..., σn e ´orbitas regulares

γ ∈ω(p) tais que α(γ) = σi e ω(γ) =σj para algum i, j = 1,2, ..., n.

O passo seguinte é apresentar o resultado mais geral de classifica¸cão topológica de campos em vizinhan¸ca de singularidades.

Teorema 1.2.3 (Grobman-Hartman para campos). Seja X :V ⊂Rm _→ Rm _{um campo}

Ck_(k _≥₁₎_e _p_{uma singularidade hiperb´olica de}_X_{. Seja} _L₌_DX

p. Ent˜aoX ´e localmente

topologicamente conjugado a L, em vizinhan¸ca de p e 0∈Rn_{, respectivamente.}

Seja Cc(X) ={f :X →R;f cont´ınua com suporte compacto} e o suporte de f

´e o conjunto supp(f) = f echo(x∈X;f(x)6= 0).

Teorema 1.2.4 (Riesz-Markov,[C04]pág.136). Seja X um espa¸co métrico localmente compacto σ-compacto. Seja Φ : Cc(X) → R um operador linear positivo. Então, existe

uma ´unica medida borelianaµ em X tal que Φ(f) =R_Xf dµ,∀f ∈Cc(X).

Teorema 1.2.5 (Oseledets). Seja µ uma medida (Xt)t∈R-invariante e erg´odica. Ent˜ao

existek ≥0 tal que TxM =Ex1⊕Ex2⊕...⊕Exk para x q.t.p. tal que

lim

t→∞

1

t logkDXt(x)vk=λi∀v ∈E

i_\_0.

Os valores λ1, ..., λn s˜ao ditos expoentes de Lyapunov para (Xt, µ) e os espa¸cos

Ei

x s˜ao invariantes pela DXt e variam mensuravelmente com x. A decomposi¸c˜ao acima

TxM =Ex1 ⊕Ex2 ⊕...⊕Exk é chamada de decomposi¸cão de Oseledets. Uma medida µ é

dita ser hiperbólica para o fluxoXt se todos os expoentes de Lyapunov são não nulos.

Um dos grandes objetivos dos sistemas dinâmicos estão relacionados com o estudo do comportamento das órbitas de algumas transforma¸cões. Esse estudo pode ser feito com o aux´ılio de alguma fun¸cão.

Dada uma transforma¸cão T que preserva medida de um espa¸co (X,A, µ) e uma fun¸cão integrávelϕ :X →R_{, em quais condi¸cões o limite}

lim

n→+∞

ϕ(x) +ϕ(T(x)) +...+ϕ(T−1_(x))

n (1.1)

existe e ´e o mesmo em q.t.p.?

(22)

Teorema 1.2.6 (Teorema Ergódico de Birkhoff). Sejam (X;A;µ) um espa¸co de medida e T :X uma transforma¸cão que preserva medida. Então, o limite

ˆ

ϕ(x) = lim

n→∞ 1 n n−1 X j=1

ϕ(Tj_(x))

existe em µ−q.t.p. x∈X dada qualquer fun¸c˜ao integr´avel ϕ:X →R_.

Assim, sob tais condi¸cões, podemos dizer que, para qualquer fun¸cão integrável, a media temporal sobre toda órbita, ˆϕ(x), coincide com a média espacial,R_Xϕdµ, da fun¸cão. Além disso, a próxima proposi¸cão garante, entre outras coisas, que se µ é uma medida ergódica, então

ˆ ϕ = 1

µ(X)

Z

X

ϕdµ.

Proposi¸cão 1.2.7 ([M83]pág. 130). As seguintes propriedades são equivalentes: 1. T é ergódica;

2. Se ϕ ∈L1(X)é T−invariante então ϕ é constante em q.t.p.; 3. Se ϕ ∈Lp_(X)_é _T₋_{invariante então} _ϕ _{é constante em q.t.p.;}

4. Para todo A, B ∈ A vale lim1_nPn−_m₌₀1 µ(T−m_(A)_∩_{B) =} _µ(A)µ(B)_;

5. Para toda ϕ∈ L1_(X)_, _ϕ_ˆ₌ 1

µ(X)

R

Xϕdµ q.t.p.

Teorema 1.2.8(Teorema Erg´odico de Birkhoff para fluxos). SejamXt:R×M →M um

fluxo de uma campo de vetores completo X, e µ uma medida de probabilidade invariante e ergódica para Xt. Então para cada fun¸cão h integrável

Z

hdµ= lim

t→∞

1 t

Z t

0

h(Xs(x))ds µ−q.t.p. x∈M.

1.3 Conjuntos Hiperb´

olicos-singulares

Defini¸cão 1.3.1. Um conjunto compacto invarianteH ⊂M de X é hiperbólico se existe uma decomposi¸cão continua e DXt-invariante do fibrado tangente de M sobre H

THM =EHs ⊕E c H ⊕E

u H

e existem constantes K >0 e 0< λ <1 tais que

• kDXt|Esk≤Kλt,∀t >0;

• kDX−t|Euk≤Kλt,∀t >0;

• Ec

(23)

Nestas condi¸c˜oes dizemos que o subfibrado Es _{´e (K, λ)- contrator enquanto o}

subfibrado Eu _{´e (K, λ)-expansor.}

Defini¸c˜ao 1.3.2. O conjunto

Wss(p) = {q∈M :dist(Xt(q), Xt(p))→0; quando t →+∞}

´e chamado Variedade Est´avel forte do ponto p para o campo X.

Teorema 1.3.3(Teorema da Variedade Est´avel). SejaX ∈Xk_(M)_{. Seja} _H _{um conjunto}

hiperb´olico invariante para X. Ent˜ao existe um ǫ > 0 tal que para cada p ∈ H existem discos mergulhados Wss

ǫ (p) e Wssǫ (p) os quais s˜ao tangente a Eps e Eps respectivamente.

O conjunto Wss

ǫ (p) ´e chamado variedade est´avel local de p para o campo X que

´e um conjunto Wss

ǫ (p) ={q ∈M :dist(Xt(q), Xt(p))→0; quando t →+∞e dist(Xt(q), Xt(p))≤ǫ}

Al´em disso, a variedade est´avel forte de um ponto ppara um campo X pode ser obtida como

Wss(p) = [

t≥0

X−t(Wssǫ (Xt(p)))

Agora, definimos avariedade est´avel do pontoppara o campo X como o conjunto Ws_{(p) =} [

t∈R

Xt(Wssǫ (p))

que ´e tangente aEs_⊕_Ec _{e depende continuamente com respeito a} _p.

Analogamente, definimos variedades instáveis forte,instável local e instável. Uma órbita fechada de X é hiperbólica se é um conjunto hiperbólico visto como um conjunto compacto invariante deX. Um conjunto hiperbólicoHé tipo sela se Es

x6= 0

eEu

x 6= 0 para todo x∈H. Um exemplo simples de um conjunto hiperb´olico tipo sela de

um fluxo 3-dimensional ´e a suspens˜ao do difeomorfismo ferradura de Smale em S2, para maiores detalhes consultar [PT93].

Defini¸c˜ao 1.3.4. Seja Λ ⊂ M um conjunto compacto e invariante por X. Uma de-composi¸c˜ao cont´ınua e DXt-invariante do fibrado tangente de M sobre Λ, da forma

TΛM =EΛs⊕EΛcu´e uma decomposi¸c˜ao dominada, se existem constantesC >0e0< λ <1

tais que

kDXt|Es

xkkDX−t|E_Xtcu(x)k≤Cλ

t

,∀x∈Λ,∀t >0

Defini¸cão 1.3.5. Um conjunto compacto invariante Λ de X é parcialmente hiperbólico, se este exibe uma decomposi¸cão dominada TΛM =EΛs ⊕EΛcu tal que

kDXt |Es

xk≤Cλ

t

(24)

Defini¸c˜ao 1.3.6. Dizemos que um conjunto Λ parcialmente hiperb´olico expande volume no subfibrado central, se |det(DXt)|Ecu

x |≥C

−1_λ−t _para _x_∈_Λ _e _{t >}₀_.

Defini¸cão 1.3.7. Um conjuntoΛcompacto invariante deXcom singularidades é singular-hiperbólico paraX se Λ é parcialmente hiperbólico, expande volume no subfibrado central e cada singularidade em Λ é hiperbólica.

O exemplo mais representativo de conjunto singular-hiperbólico é o atrator de Lorenz geométrico, gra¸cas a Tucker que provou em [T99] que as equa¸cões do Lorenz exibem um atrator singular-hiperbólico para certos valores representativos dos parâmetros.

1.4 Modelo Geom´

etrico para as equa¸c˜

oes do Lorenz

Nesta se¸cão, descreveremos rapidamente a constru¸cão do Modelo Geométrico do Lorenz. Consequentemente definiremos a aplica¸cão unidimensional do Lorenz, enunciando suas principais propriedades. Para maiores detalhes ver [GH90] e [S82].

O atrator do modelo geométrico do Lorenz, ou simplesmente atrator geométrico do Lorenz, é um atrator emR3_{∪ {∞}} _{(3-esfera) que tem como bloco isolante um bitoro}

sólidoU em R3_{. O modelo geométrico do Lorenz é motivado pelo campo de Lorenz}

       ˙

x(t) = −σx+σy σ= 10 ˙

y(t) = ρx−y−xz ρ= 28 ˙

z(t) = xy−βz β = 8₃

numa vizinhan¸ca da origem. Pelo Teorema de Hartman-Grobman, as equa¸cões são con-jugadas por um difeomorfismo às equa¸cões linearizadas numa vizinha¸ca da origem dadas por        ˙

x(t) =ax ˙

y(t) =−by ˙

z(t) =−cz

com a = λu ≈ 11,83, b = −λss ≈ 22,83 e c = −λs ≈ 2,66. Assim, as solu¸c˜oes das

equa¸cões linearizadas com condi¸cões iniciais (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0) são dadas por

      

x(t) =x0eat

y(t) = y0e−bt

z(t) =z0e−ct

(25)

algum z1 fixado, at´e o momento em que x(t) seja igual a algum ±x1 fixado. Para isso,

considere as se¸c˜oes

Σ ={(x, y, z1) :|x| ≤A e|y| ≤A},

Σ′ = Σ\{(x, y, z1) :x= 0}

e

S± ={(±x, y, z) :|y| ≤B e|z| ≤B}

Sejam (x, y, z1) ∈ Σ

′

e T o primeiro tempo positivo para o qual a órbita de (x, y, z1) intercepta o planoS =S+∪S−, então T é determinado por

|x|eaT =x1 ⇔eT = (

x1

|x|)

1

a

portanto

      

x(T) =x1

y(T) =y0(x_|x|1)

−b a

z(T) =z0(x_|x|1)

−c a

Com isso, a aplica¸c˜ao de Poincar´e, P1 : Σ

′

→S ´e dada por

P1(x, y) = (y(T), z(T)), onde y(T) e z(T) est˜ao descritos acima .

Note que se x > 0, ent˜ao P1(x, y) ∈ S+ e se x < 0, ent˜ao P1(x, y) ∈ S−. Como

os autovalores da aplica¸cão P1, na origem, são os mesmos autovalores das equa¸cões do

Lorenz e gra¸cas a forte contra¸cão na dire¸cão de y as regiões quadradas {(x, y, z0) : 0 <

x≤A,|y| ≤A} e{(x, y, z0) : −A≤ x <0,|y| ≤ A} s˜ao levadas para regi˜oes no formato

de c´uspides em S+ _e _S− _{respectivamente. Ver figura 1.1.}

Figura 1.1: Fluxo na vizinhan¸ca de um ponto fixo - C´uspides

Agora assuma uma aplica¸c˜ao de Poincar´e P2 definida em S que volta para Σ

levando linhas x= x1 em linhas z =z1 em tempo finito. Seja P =P2◦P1, P : Σ

′

→Σ.

(26)

Figura 1.2: Modelo Geom´etrico do Lorenz

(27)

Portanto a aplica¸c˜ao P1 leva um segmento de linha, com os mesmo valores de x

em Σ′, para um segmento de linha, com os mesmos valores de z em S e `a aplica¸c˜ao P2

leva um segmento de linha, com os mesmos valores de z em S de volta a um segmento com os mesmos valores dex em Σ. Assim, a aplica¸c˜ao P ´e da forma

P(x, y) = (L(x), G(x, y))

tal que para um ponto x2 fixado a aplica¸cão G é uma contra¸cão na dire¸cão do eixo y e

|L′(x)|> 1, tendo assim uma decomposi¸cão hiperbólica, visto que P tem uma folhea¸cão estável invariante Ws_{(q) para} _q _∈ _Σ′_{, formada por curvas com valores de} _x _constantes

sobre Σ. Como P envia Ws_{(q) em W}s_(P_{(q)) possivelmente em um valor de} _x _diferente,

constru´ımos classes de equivalˆencia com os pontos de Σ que se situam sobre o mesmo segmento de linha Ws_(q).

Escolhendo um representante de cada classe de equivalência como a coordenada x do pontoq em [−A, A] obtemos a aplica¸cão π : Σ→ [−A, A]. Consequentemente, P e π induzem uma aplica¸cãof : [−A, A]\{0} →R_{. Ver figura 1.3.}

Assim a aplica¸cão unidimensional f é tal que f(−x) = −f(x), tem uma única descontinuidade em x = 0, f(0−_{) = lim}

x→0−f(x) = A, f(0+) = lim_x→₀+f(x) = −A,

f(0−_{) = lim} x→0f

′

(x) = ∞ e 0 < f2_(A) _{< f}_(A) _{< A, portanto 0}_{> f}2₍₋_A)_{> f}₍₋_A) _>

−A.

1.5 Expansividade segundo Komuro versus

Expansi-vidade segundo Bowen

Bowen e Walters, em [BW72] introduziram a defini¸c˜ao de expansividade para fluxos que, em variedades compactas e conexas sem bordo, n˜ao admitem singularidades.

Sejam C(R_,R_{) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas} _h _: R_→ R _{e B =}_{_h _∈

C(R_,R_{) :}_h(R_{) =} R_{, h(s)}_{> h(t), para todo s > t, e h(0) = 0}_}_.

Defini¸c˜ao 1.5.1. Dizemos que um fluxo Xt ´e Bowen-expansivo se para cada ǫ >0existe

δ >0 tal que para quaisquer x, y ∈M, se existe h∈B tal que

dist(Xt(x), Xh(t)(y))≤δ para todo t∈R,

ent˜ao

y ∈X[−ǫ,ǫ](x) := {Xt(x) :−ǫ≤t≤ǫ}.

(28)

Para provar que os fluxos Bowen-expansivos em variedades sem fronteiras n˜ao admitem singularidades precisaremos do seguinte resultado:

Lema 1.5.2. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes para um fluxo Xt:

i) Xt ´e Bowen-expansivo;

ii) Para todo ǫ >0, existe δ >0tal que se x, y ∈M s˜ao tais quedist(Xt(x), Xα(t)(y))< δ

para todo t∈R _{e alguma}_α _∈_B_{, ent˜ao} _y₌_X_t

0(x) para algum t0 ∈[−ǫ, ǫ];

iii) Para todoǫ >0, existeδ >0tal que se x, y ∈M s˜ao tais quedist(Xt(x), Xα(t)(y))< δ

para todo t∈R _{e alguma} _α_:R_→R _{cont´ınua com} _{α(0) = 0}_{, ent˜ao} _y ₌_X_t

0(x) para algum t0 ∈[−ǫ, ǫ];

Prova: Ver [O90].

Teorema 1.5.3. Seja X um campo vetorial Bowen-expansivo. Ent˜ao X n˜ao admite singularidades.

Demonstra¸cão: A demostra¸cão é por contradi¸cão. Suponha queXadmite singularidade p∈M, então pé ponto fixo para o fluxo, isto é, Xt(p) =p para todo t∈ R. Fixe ǫ >0.

ComoM ´e variedade compacta, para todo δ >0 existe q∈M tal que 0< dist(p, q)< δ. Para aplicar o Lema anterior, devemos encontrar uma fun¸c˜ao α : R _→ R _{cont´ınua com}

α(0) = 0 tal quedist(Xt(p), Xα(t)(q))< δpara todot∈R. Definaα:R→Rporα(t) = 0

para todo t ∈ R_{, ent˜ao} _dist(X_t_{(p), X}_α₍_t₎_{(q)) =} _{dist(p, q)} _{< δ} _{para todo} _t _∈ R_{, pelo item}

iii) Lema anteriorq =Xt0(p) para algumt0 ∈[−ǫ, ǫ], masp´e uma singularidade, portanto

p=q, contradi¸c˜ao, visto que 0< dist(p, q).

A pergunta natural que segue ´e:

Questão 1.5.4. Podemos estender a no¸cão de expansividade dada por Bowen para outra defini¸cão que admita pontos fixos?

A resposta é positiva, em [Kom84] Komuro extendeu a defini¸cão proposta por Bowen para outra que tem o atrator geométrico do Lorenz como exemplo e então, admite singularidades.

SejaK={h∈C(R_,R_{) :}_h(R_{) =} R_{e h(s)}_{> h(t)}_{para todo s > t}_}_.

Defini¸c˜ao 1.5.5. Dizemos que um fluxoXt´e Komuro-expansivo se para cadaǫ >0existe

δ >0 tal que para quaisquer x, y ∈M, se existe h∈ K tal que

dist(Xt(x), Xh(t)(y))≤δ para todo t∈R,

ent˜ao podemos encontrart0 ∈R tal que

(29)

Al´em disso, dizemos que um campo vetorial ´e Komuro-expansivo se o fluxo gerado por esse campo for Komuro-expansivo.

(30)

Expansividade

Como já foi dito acima Komuro [Kom84] provou que o atrator geométrico do Lorenz é expansivo. Um dos principais resultados apresentados aqui generaliza essa ex-pansividade para qualquer atrator hiperbólico-singular.

Teorema 2.0.6 (A). Seja Λ um atrator singular-hiperbólico. Então Λ é expansivo.

O objetivo principal deste cap´ıtulo é a prova deste teorema, tal prova é baseada na análise de mapas de Poincaré, que são mapas cont´ınuos

R: Σ→Σ′ x7→Xt(x)(x)

para se¸c˜oes transversais convenientes.

A seguir, Λ é um atrator singular hiperbólico de X ∈ X(M) com decomposi¸cão invarianteTΛM =Es⊕Ecu com dimensão de Ecu igual a dois.

Afirma¸cão 2.0.7. Existe uma extensão cont´ınua da decomposi¸cão deTΛM,Ees⊕Eecu,para

pequena vizinhan¸ca invarianteU0 de Λ.

De fato, pelo Teorema de extensão de Tietze-Urysohn aplicado às fun¸cões co-ordenadas existe tal extensão cont´ınua para uma vizinhan¸ca U0, por conveniência essa

vizinha¸ca pode ser tomada estritamente invariante, isto ´e, Xt(U0) ⊂ U0∀t > 0.

Con-sideremos em cada ponto q ∈ U0 a dire¸c˜ao formada pelos vetores que s˜ao fortemente

contra´ıdos pelaDXt parat positivo, tais vetores formam Ees que ´e invariante, ver [PT93]

. Mas, em geral, Eecu _{não é invariante, então consideremos um campo de cones em torno}

de U0, Cacu(x) = { v = vs +vcu; vs ∈ Eexs e vcu ∈ Eexcu com k vs k 6 a k vcu k }, que

é invariante para a > 0 . Além disso podemos tomar a > 0 arbitrariamente pequeno reduzindo U0 se necessário.

△

(31)

Por um abuso de nota¸c˜ao no que se segue denotaremos Ees _e _E_ecu _por _Es _e _Ecu

respectivamente.

2.1 Se¸c˜

ao transversal e Mapas de Poincar´

e

Nesta se¸cão construiremos se¸cões transversais Σ que têm folhea¸cão de codimensão um, definida dinamicamente pela interseçcão da se¸cão transversal com as variedades estáveis para o fluxo. Posteriormente, verificaremos que tais folhas são uniformemente contratativas e a aplica¸cão de PoincaréR : Σ→Σ′ é uniformemente expansiva na dire¸cão transversal. Em seguida, provaremos que tal folhea¸cão é invariante (assumindo uma se¸cão transversal adaptada) pela aplica¸cão de Poincaré P, mostramos também a robustez da existência de se¸cões adaptadas, isto é, existe

2.1.1 Folhea¸c˜

oes Est´

aveis em se¸c˜

oes transversais

Defini¸c˜ao 2.1.1. Dado qualquer x∈U0 defina o conjunto

Wss(x) ={y∈M :dist(Xt(x), Xt(y))→0quando t→+∞}.

Dado ǫ > 0 tome Iǫ = (−ǫ, ǫ) e denote por E1(I1, M) o conjunto de mapas

f :I1 →M dotado com a topologiaC1. Seja x∈U0 ponto regular, a pr´oxima proposi¸c˜ao

afirma que existe localmente variedades forte-estável invariantes e centro-instável definidas em x, que são discos mergulhados tangentes aEs

x e Excu respectivamente.

Proposi¸cão 2.1.2 (Variedades forte estáveis e centro-instável locais). Existem mapas cont´ınuos φss _: _U

o → E1(I1, M) e φcu : Uo → E1(I1 × I1, M) tal que dado qualquer

0< ǫ < 1 e x∈Uo, se chamarmos Wǫss(p) =φss(x)(Iǫ) e Wcuǫ (p) = φcu(x)(Iǫ×Iǫ),

1. TxWǫss(x) =Es(x);

2. TxWǫcu(x) = Ecu(x);

3. Wss

ǫ (x)´e uma vizinhan¸ca de x dentro de Wss(x);

4. y∈Wss_(x)_⇐⇒ _exist _T _≥₀ _{tal que} _X

T(y)∈Wssǫ (XT(x));

5. d(Xt(x), Xt(y))< Kλtd(x, y)para todo t >0ey∈Wssǫ (x). Onde C >0e0< λ <1

são as constantes consideradas na defini¸cão 1.3.4 e a distância d(x, y) é a distância entre dois pontos na variedadeWss

ǫ (x), dada pelo comprimento da menor curva suave

contida em Wss

(32)

Demonstra¸c˜ao: Ver [HPS77] O conjunto Wss

ǫ (x) ´e chamadovariedade forte est´avel local dex para o campoX

que ´e um conjunto Wss

ǫ (x) ={q∈M :dist(Xt(q), Xt(p))→0; quando t →+∞e dist(Xt(q), Xt(p))≤ǫ}

e o conjunto Wcu

ǫ (x) ´e chamado variedade forte centro-inst´avel local de x para o campo

X.

Assim avariedade est´avel forte de um pontoxpara um campoX pode ser obtida como

Wss(x) = [

t≥0

X−t(Wssǫ (Xt(x)))

Agora, definimos avariedade est´avel do pontoxpara o campo X como o conjunto Ws_{(x) =} [

t∈R

Xt(Wssǫ (x))

que ´e tangente aEs_⊕_Ec _{e depende continuamente com respeito a} _x.

Seja Σ se¸c˜ao transversal ao fluxo. Para cada x ∈ Σ definimos Ws_(x,_{Σ) como}

componente conexa de Ws_∩_{Σ que cont´em} _{x. Com isso definimos uma folhea¸c˜ao} _Fs

Σ de

Σ em subvariedades de classeC1_.

Observa¸cão 2.1.3.Dada uma se¸cão transversalΣe um pontoxem seu interior, podemos sempre encontrar uma se¸cão transversal menor, com x em seu interior, que é imagem de um quadrado[0,1]×[0,1]por um difeomorfismohdotada da topologia C2 _{que envia linhas}

horizontais em folhas deFs

Σ, isto ´e, linhas horizontais[0,1]×ηs˜ao mapeadas pelo conjunto

Ws_(y,_Σ)_{. Denotaremos por} _∂s_Σ _{o espa¸co est´avel imagem de} _[0,_1]_{× {}_0,₁_} _{e por} _∂cu_Σ _o

espa¸co centro inst´avel imagem de {0,1} ×[0,1]. No que segue as se¸c˜oes transversais Σ

satisfazem tal propriedade e est´a contida em U0, de modo que a cada x∈Σ, ω(x)⊂Λ.

Observa¸cão 2.1.4.Em geral, não podemos escolher a se¸cão transversal tal queWs_(x,_Σ)_⊂

Wss

ǫ (x) mas podemos considerar uma se¸c˜ao tansversal pequena em rela¸c˜ao ao ǫ, escolher

qualquer curva γ ⊂ Σ atravessando transversalmente todas as folhas de Fs_Σ e considerar um mapa de Poincar´e

PΣ : Σ→Σ(γ) =

[

z∈γ

Wssǫ (z)

com tempo de Poincar´e perto de zero. Ver Figura 2.1.

Este ´e um homeomorfismo sobre sua imagem, pr´oximo da identidade tal que

RΣ(Ws(x,Σ)) ⊂ Wssǫ (RΣ(x)). No que se segue se¸cões transversais são as se¸cões

(33)

Figura 2.1: Se¸c˜ao transversal imagem de um quadrado por um difeomorfismo

2.1.2 Hiperbolicidade dos mapas de Poincar´

e

Seja Σ uma pequena se¸cão transversal ao campo X e seja R : Σ(Σ′) → Σ′ um mapa de Poincaré definido porR(y) =Xt(y)(y) para outra se¸cão (possivelmente Σ = Σ

′ ). R não precisa corresponder ao primeiro encontro na se¸cão Σ′. Onde,Σ(Σ′) denota o dom´ınio do mapa de PoincaréR de Σ para Σ′, isto é,

Σ(Σ′) ={x∈Σ :R(x)∈Σ′}.

Como assumimos a se¸c˜ao transversal Σ⊂U0 a decomposi¸c˜ao Es⊕Ecu sobre U0

induz uma decomposi¸c˜aoEs

Σ⊕EΣcu do subfibrado tangente TΣ para Σ definida por:

Es

Σ =Ecs∩TΣ e EΣcu =Ecu∩TΣ,

isto é,TyΣ =EΣs(y)⊕EΣcu(y). A próxima proposi¸cão afirma que para o tempo de Poincaré

suficientemente grande a decomposi¸cão do subfibrado tangente TΣ define uma decom-posi¸cão hiperbólica para o mapa de PoincaréR em Σ|Λ.

Observa¸cão 2.1.5. No que se segue, K é uma nota¸cão genérica para uma constante grande que depende apenas do limite inferior dos ângulos entre as se¸cões transversais e dire¸cão do fluxo. Em todas as aplica¸cões, todos esses ângulos e normas serão uniforme-mente limitados por zero e infinito, portanto no que segue K e t1 podem ser tomados de

maneira uniforme.

Proposi¸cão 2.1.6. Seja R : Σ → Σ′ o mapa de Poincaré. Então DRx(EΣs(x)) =

Es

Σ′(R(x)) para todo x ∈ Σ e DRx(E

cu

(34)

disso para0< λ <1 dado existe t1 =t1(Σ,Σ

′

, λ)>0 tal que se t(.)> t1 em cada ponto,

ent˜ao kDR |Es

Σ(x)k< λ e kDR |EΣcu(x)k>

1

λ em todox∈Σ.

Prova: A diferencial do mapa de Poincar´e para qualquer ponto x∈Σ ´e dada por

DR(x) = PR(x)◦DXt(x)|TxΣ

onde PR(x) ´e a proje¸c˜ao ao longo do campo de vetor, que envia ERcu(x) para EΣcu′. Com

isso, provamos a invariância do subespa¸co estável e do subespa¸co centro-instável, porém a invariância do subfibrado centro-instável é restrito ao atrator Λ, visto queEcu _{em geral}

n˜ao ´e invariante como dito antes.

Agora provaremos a contra¸cão e expansão da aplica¸cão R. Come¸cemos por notar quekPR(x)k ≤K.

Considere uma base {_kXX(₍x_x)₎_k, eu

x} deExcu de vetores unit´arios, onde eux ´e um vetor

unit´ario na dire¸c˜ao deEcu

Σ(x). Como a dire¸cão do fluxo é invariante, a matriz deDXt|(Ecu x ) em rela¸cão a essa base é dada por:

DXt(x) |Ecu x =

kX(R(x))k kX(x)k ⋆

0 △

!

Al´em disso, 1

K det(DXt(x) |Excu)≤det(DXt(x) |Excu)≤Kdet(DXt(x)|Ecux )

m

1

m

1

K|det(DXt(x) |Excu)| ≤ |

kX(R(x))k

kX(x)k △ |

| {z }

≤K|det(DXt(x) |Ecu x )|

⇓

| △ | ≥ 1

K3|det(DXt(x)|Excu)| Ent˜ao,

kDR(x)eu

xk=kPR(x)(DXt(x)(x)eux)k=kPR(x)(△eux)k=k △e u

xk=| △ |ke u

xk=| △ |

≥ 1

K3|det(DXt(x) |Excu)| como o subfibradoEcu

x expande volume temos

1

K3|det(DXt(x)|Ecux )| ≥ 1 K3λ

−t(x) _≥ 1

K3λ

(35)

para t′1 suficientemente grande temos que K13λ−t

′

1 > 1

λ. Portanto kDR(x)e u

xk > 1λ como

quer´ıamos mostrar.

Agora vamos provar quekDR |Es

Σ(x)k< λ. Considere os vetores unit´ariose

s x ∈Exs

e ˆes

x ∈EΣs(x) e escrevaesx =axeˆsx+bx X(x)

kX(x)k, ent˜ao

kDR(x)ˆes

xk=kPR(x)(DXt(x)(x)ˆesx)k=kPR(x)(DXt(x)(x)(

1 ax

(es x−bx

X(x)

kX(x)k))k=

= 1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)(esx−bx

X(x)

kX(x)k))k=

1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)esx−DXt(x)bx

X(x)

kX(x)k)k=

= 1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)esx)k.

Uma vez que∢(Es

x, X(x))≥∢(Exs, Excu) (∢(Exs, Excu) ´e uniformemente limitado pelo zero)

temos que|ax| ≥k para algumk que depende apenas do fluxo. Então como há contra¸cão

do fibradoEs

x por DXt

1

|ax|

kPR(x)(DXt(x)esx)k ≤

K kλ

t(x) _≤ K

k λ

t′′₁

⇓

kDR |Es

Σ(x)k ≤

K k λ

t′′₁

.

Portanto , para t′′₁ suficientemente grande temos que K kλ

t′′₁ _{< λ. Para concluir tome}

t1 = max{t

′

1, t

′′

1}.

Dada uma se¸cão transversal Σ, um número positivoρpequeno e um pontox∈Σ definimos o cone-instável de largura ρ em x por

Cρu(x){v =v s

+vu :vs∈E_Σs(x), vu ∈E_Σcu(x) e kvsk ≤ρkvuk}.

Em consequˆencia da proposi¸c˜ao anterior assumiremos a vizinha¸ca U0 escolhida

suficientemente pequena, dependendo deρ e do limite sobre os ângulos entre o fluxo e as se¸cões transversais. Por tanto segue o seguinte corolário.

Corol´ario 2.1.7. Para qualquerR: Σ→Σ′ como acima, comt(.)> t1, e qualquerx∈Σ,

temos DR(x)(Cu

ρ(x))⊂Cuρ

2(R(x)) e kDRx(v)k≥

5 6λ

−1 _k_v _k _{para todo} _v _∈_Cu ρ(x).

Prova: Inicialmente note que a estimativa de expansão conclusão do corolário já é ga-rantida pela proposi¸cão anterior, basta que ,como feito anteriormente, tomar t′₁ tal que K−3_λ−t1 _> 5

(36)

Para pontos do atrator Λ a prova está conclu´ıda, visto que pela proposi¸cão an-terior temos que DRx(Cρu(x)) está contido num cone de largura menor que ρ (supor que

seja ρ₄) em torno de DR em rela¸c˜ao a decomposi¸c˜ao TR(x)Σ

′

=DR(x)(Es

Σ(x))⊕DR(x)(EΣcu(x))

onde Es

Σ ´e mapeado para EΣs′ e E

cu

Σ ´e mapeado para EΣcu′, para pontos do atrator como

visto anteriormente.

Para provar o caso geral, temos que mostrar que DR(x)(Ecu

Σ (x)) pertence a um

cone-inst´avel de largura menor que ρ₄ em torno de Ecu

Σ′(R(x)).

Considere um campo de cones em torno de Ecu

x como na afirma¸c˜ao 2.0.6, assim

paraa >0 temos a invariˆancia dada porDXt(Cacu(x))⊂ Cacu(Xt(x)) para todot >0. Por

outro lado

DXt(x)(EΣcu(x))⊂DXt(x)(Excu)⊂DXt(x)(Cacu(x))⊂ C cu

a (R(x))

⇓

DR(x)(E_Σcu(x)) =PR(x)◦DXt(x)(EΣcu(x))⊂PR(x)(Ccua(R(x))).

Como P mapeia Ecu

R(x) para EΣcu′(R(x)) e tem sua norma limitada por alguma constante

K, concluimos que DR(x)(Ecu

Σ (x)) est´a contido em um cone de largura b em torno de

Ecu

Σ′(R(x)), onde b depende de a e K e pode ser tomado t˜ao pequeno quanto queira,

reduzindo a, que por sua vez ser´a pequeno reduzindo U0. Portanto, reduzindo U0 se

necess´ario, podemos tomar a pequeno tal que b < ρ₄.

2.1.3 Se¸c˜

ao transversal adaptada

Visto que, pelos resultados anteriores já garantimos a hiperbolicidade dos mapas de Poincaré, o próximo passo é expor variedades estáveis para tais mapas. Os candidatos naturais são as interse¸cões Ws_(x,_{Σ) definidas anteriormente como componente conexa de}

Ws_∩_{Σ que s˜ao tangentes aos subespa¸cos} _Es

Σ. A existˆencia destas variedades ´e garantida

pela escolha da extens˜ao Efs _DX

t−invariante, para garantir a invariˆancia pela aplica¸c˜ao

Rprecisaremos restringir a classe de se¸cões tranversais a uma classe cuja fronteira centro-instável é disjunta de Λ, isto é, d(Λ ∩ Σ, ∂cu_Σ) _{> δ, que denominamos como se¸cões}

transversaisδ-adaptadas. Ver Figura 2.2.

A fim de provar a existência de tais se¸cões transversais, precisaremos dos dois seguintes resultados, a demostra¸cão de tais fatos podem ser encontrados em [MPPuj04].

(37)

Figura 2.2: Se¸c˜ao transversal δ-adaptada

acumulada por ´orbitas regulares deX em Λ. Al´em disso, se verifica o seguinte para X ou

−X: cada singularidade acumulada σ de Λ ´e do tipo Lorenz e satisfaz

Λ∩Wss(σ) ={σ}.

Além disso foi provado que os conjuntos compactos invariantes sem singularidades contidos num conjunto hiperbólico-singular são hiperbólicos. Mais precisamente.

Proposi¸cão 2.1.9 ([MPPuj04] Proposi¸cão 1.8). Seja Λ um conjunto hiperbólico-singular deX e Λ′ ⊂Λ um conjunto invariante para X tal que Λ′ não tenha sigularidades. Então

Λ′ é hiperbólico. Em particular qualquer órbita periódica de X em Λ é hiperbólica de tipo sela.

Lema 2.1.10. SeΛé um atrator hiperbólico-singular, então qualquer x∈Λ está no fecho de Wss_(x)_\_Λ_.

Prova: A prova é por contradi¸cão, vamos supor que existe x ∈ Λ tal que x está no interior de Ws_(x,_{Σ). Seja} _α(x)_⊂_{Λ seu conjunto} _{α-limite. Uma vez que qualquer parte}

compacta da variedade forte est´avel de z ´e acumulada por iterados passados de toda vizinha¸ca pequena de x dentro de Wss_{(x), temos}

Wss(z)⊂Λ para todo z ∈α(x)

então, pelo TeoremaB z, não é uma singularidade. Comozé arbitrário, α(x) não contém qualquer singularidade. Portanto, pela Proposi¸cão 1.8 o conjunto invariante α(x) ⊂ Λ é hiporbólico. Por outro lado, como

(38)

temos

S = [

y∈α(x)

Wss_(y)_⊂_{Λ que também não contém qualquer singularidade} _.

Considere agora uma órbita de y para tempo passado densa em Λ. Por um lado seu conjuntoα-limite é Λ e por outro α(y)⊂S, conclu´ımos assim que Λ⊂S, que é uma contradi¸cão, pois Λ contém singularidades.

Corol´ario 2.1.11. Para qualquer x ∈Λ existem pontos x+ _∈_/ _Λ _e _x− _∈_/ _Λ _{em diferentes}

componentes conexas de Wss_(x)_\{_x_}_.

Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao. Por um lado suponha que existe x+ _∈ _{Λ na mesma}

componente conexa de Wss_\{_x_}_{, ent˜ao existiria um segmento inteiro da variedade forte}

est´avel inteiramente contido em Λ. Considere um ponto no interior deste segmento, chegar´ıamos a uma contradi¸c˜ao pelo Lema 2.1.10. Repita o mesmo argumento parax− _∈

Λ, finalizando assim a demonstra¸c˜ao.

O próximo Lema exibe a constru¸cão da se¸cão transversal δ-adaptada para x∈Λ regular.

Lema 2.1.12. Seja x∈Λum ponto regular, isto ´e, tal que X(x)6= 0. Ent˜ao existe δ >0

para o qual existe uma se¸c˜ao transversal δ- adaptada Σ em x.

Prova: Tome ǫ > 0 como na proposi¸cão 2.1.2. Como visto na subse¸cão 2.1.1 qualquer se¸cão transversal Σ0, para x suficientemente pequena com respeito a ǫ > 0, é folheada

pela interse¸c˜ao Ws

ǫ(x,Σ0). Pelo corol´ario acima, podemos encontrar x+∈/ Λ ex− ∈/ Λ em

cada componente conexa de Ws

ǫ(x,Σ0). Como Λ ´e fechado, seu complementar ´e aberto,

ent˜ao existem vizinhan¸casV± _de _x± _{disjuntos de Λ de raio} _{δ. Seja} _γ _⊂_Σ

0 alguma curva

passando por x transversal a Ws

ǫ(x,Σ0). Podemos encontrar uma fam´ılia cont´ınua de

segmentos dentro de Ws

ǫ(y,Σ0) com y∈γ com parˆametros contidos em V±. Ent˜ao, tome

Σ como a se¸c˜ao transversal formada pela uni˜ao dos segmentos Ws

ǫ(y,Σ0) limitados por

∂cu_{Σ passando pelos pontos} _x± _com _y_∈_{γ, ver figura 2.3.}

Agora que já garantimos a existência de se¸cões δ-adaptadas, provaremos a pro-priedade de invariância das folhea¸cões Ws_(x,_{Σ)pela aplica¸cão} _R.

Lema 2.1.13. Dado δ > 0 e Σ,Σ′ se¸c˜oes transversais δ-adaptadas, ent˜ao existe t2 =

t2(Σ,Σ

′

)>0 tal que seR : Σ(Σ′)→Σdefinido por R(z) = Rt(z)(z)´e o mapa de Poincar´e

(39)

Figura 2.3: Constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversalδ-adaptada de um ponto regular x

1. R(Ws_(x,_Σ)) _⊂_Ws_(R(x),_Σ)

2. d(R(y), R(x))≤ 1

2d(y, z) para y,z ∈W

s_(x,_Σ) _e _x_∈_Σ(Σ′₎_.

Prova: Seja ˆes

x ∈EΣs como na proposi¸c˜ao 2.1.6, ℓ denotando o comprimento de curvas e

K = sup{ℓ(Ws_(x,_{Σ)), x}_∈_Σ_}_ent˜ao

kDR(x)ˆesxk ≤

K k λ

t′′₁

o que implica que a dire¸c˜ao da tangente de cada Ws_(x,_{Σ) ´e contra´ıdo a uma taxa}

expo-nencial. Por outro lado como Σ ´e uma se¸c˜ao δ-adaptada temos que sup{ℓ(Ws_(x,_{Σ)), x}_∈_Σ_}_{> δ}

⇓

escolhat′₂ suficientemente grande tal que 1

kλ

t′₂_sup_{_ℓ(Ws_(x,_{Σ)), x}_∈_Σ_}_{< δ}

⇓

1 kλ

t′₂_{K < δ}

portanto

kDR(x)ˆes xk ≤

K k λ

t′′₁ _≤ K

kλ

t′₂ _{< δ.}

Concluindo assim a prova do item (1), para a prova do item (2) basta considerar t′′₂ suficientemente grande tal que K

kλ t′′₂ _< 1

2. Para conclus˜ao da prova tome t2 = max{t

′

2, t

′′

2}.

(40)

Observa¸c˜ao 2.1.14. Podemos tomar t2 > t1, e t2 pode ser tomado de maneira uniforme

como t1, ver observa¸c˜ao 2.1.5.

Por fim o pr´oximo resultado conclui a prova de que Ws_(x,_{Σ) s˜ao variedades}

est´aveis para a aplica¸c˜ao R.

Lema 2.1.15. Seja Σ uma se¸c˜ao δ-adaptada. Ent˜ao, dada R₊ _∋ _{r >} ₀ _existe _ρ _{tal que}

dist(y, z) < ρ implica que d(Xs(y), Xs(z)) < r para todo s > 0, cada y, z ∈ Ws(x,Σ) e

cada x∈Λ∩Σ.

Prova: Sejam y, z ∈Ws_(x,_{Σ), como assumimos se¸c˜oes transversais tais que W}s_(x,_Σ)_⊂

Wss

ǫ (x), podemos encontrarz

′

=Xτ(z)∈Wss(y) satisfazendo

1

Kd(y, z)≤dist(y, Xτ(z))≤Kd(y, z) e |τ| ≤Kd(y, z) Ent˜ao, dado ǫ >0

dist(Xs(y), Xs(z)) ≤ dist(Xs(y), Xs(z

′

)) +dist(Xs(z

′

), Xs(z))

≤ Ceγs_{dist(y, z}′_{) +}_dist(X

s(Xτ(z)), Xs(z))

≤ Ceγs_{Kd(y, z) +}_dist(X

s+τ(z), Xs(z))

≤ Ceγs_{Kd(y, z) +}_|_τ_|

≤ Ceγs_{Kd(y, z) +}_K_|_τ_|

≤ CKd(y, z) +K|τ| ≤ CKd(y, z) +KKd(y, z)

≤ (CK +K2)d(y, z) < (CK +K2)ρ < r

sempre que ρ < r

(KC+K2₎.

Para cada se¸c˜ao Σ δ-adaptada temos o seguinte:

Lema 2.1.16. Dada uma se¸c˜ao Σ δ-adaptada para o campo X existe vizinhan¸ca U0 _em

X1(M) do campo X tal que para todo campo de vetores Y ∈ U0 _{a se¸c˜ao transversal} _Σ _´e

δ

2-adaptada ao campo Y em rela¸c˜ao ao sumidouro ΛY(U).

Prova: Precisamos mostrar que dada uma se¸cão Σ δ-adaptada para o campo X, esta mesma se¸cão é também adaptada para o campoY ∈X1(M) suficientementeC1 _próximo

de X. Pelo Lema 2.3 em [AP10] ΛX(U) e ΛY(U) est˜ao perto na distˆancia de Hausdorff

se X e Y estão perto na distância C0_{. Assim, se Σ é uma se¸cão} _{δ-adaptada podemos}

encontrar uma vizinhan¸ca U0 _em _X1_(M_{) de} _X _{tal que Σ ´e uma se¸c˜ao} δ

2-adaptada para

todo fluxoYt gerado pelo campo emU0.

(41)

Figura 2.4: Existência de Variedades estáveis para o mapa de Poincaré

2.2 Vizinhan¸ca de Singularidade

Nesta se¸c˜ao analisaremos o fluxo perto das singularidades por meio das se¸c˜oes transversais apresentando os principais resultados.

Defini¸cão 2.2.1. Uma singularidade σ de um campo X é do tipo Lorenz se seus autova-lores associados λ1,λ2,λ3 são reais e em alguma ordem satisfazem a seguinte rela¸cão:

λ2 < λ3 <0<−λ3 < λ1.

Uma singularidade do tipo Lorenz ´e hiperb´olica, e assim, Wss_{(σ), W}u_{(σ) e W}s_(σ)

existem.

Como já citado anteriormente, por [MPPuj04] temos que num atrator singular-hiperbólico todas as singularidadesσk são do tipo Lorenz e Wss(σk)∩Λ ={σk}.

Para algum δ >0 podemos escolher se¸c˜oes transversais δ-adaptadas contidas em U0 de pontos regulares

• Σ0,± _{nos pontos} _y± _{em difentes componentes conexas de W}u

loc(σk)\σk;

• Σi,± _{nos pontos} _x± _{em difentes componentes conexas de W}s

loc(σk)\Wssloc(σk).

e mapas de Poincar´eR±_{: Σ}i,±_\_ℓ±_→_Σ0,+_∪_Σ0,−_{com tempo}_τ±

σk, ondeℓ

± _{= Σ}i,±_∩_Ws loc(σk)

satisfazendo

(42)

2. Os mapas R± _{ligam difeomorficamente cada componente de Σ}i,±_\_ℓ± _{dentro de}

di-ferentes se¸cões transversais Σ0,± _{preservando as folhea¸cões estáveis e cones instáveis}

correspondentes.

As se¸c˜oes transversais Σ0,± _{e Σ}i,± _{podem ser tomadas como planares em rela¸c˜ao a algum}

sistema de lineariza¸c˜ao de coordenadas perto deσk, por exemplo, para δ pequeno

Σ0,±={(x, y, z) :|x| ≤δ,|y| ≤δe|z| ≤δ}

e

Σi,±={(x, y, z) :|x| ≤δ,|y| ≤δe|z| ≤δ}

onde o eixo-x corresponde a variedade inst´avel de σk, o eixo-y a variedade forte-est´avel

e o eixo-z a variedade est´avel fraca da singularidade σk, que por sua vez est´a na origem.

Ver Figura 2.5.

Figura 2.5: Se¸cões transversais adaptadas na vizinhan¸ca de uma singularidade Reduzindo a se¸cão transversal, se necessário, garantimos que o tempo de Poincaré é maior que t2. De modo que as mesmas conclusões da se¸cão anterior são consequências

aqui. E assim como foi feita na se¸cão 1.3 é fácil determinar o tempo que uma órbita leva para sair da se¸cão Σi,± _{até chegar em Σ}0,±_{, determinando assim, a expressão do mapa de}

Poincar´e,R±_{, e o seu tempo,τ}± σk .

Afirma¸c˜ao 2.2.2. τ∓

σk ´e integr´avel com respeito a medida de lebesgue em Ξ.

Como vimos anteriomente, podemos facilmente determinar o tempo de poincar´e na vizinhan¸ca de uma singularidade, tal tempo ´e dado por τσ∓k =

−log|x1|

λ1 . Assim,

−1 λ1

Z a

0

logxdm= lim

x→0

1 λ1

[1 x+c]

a

(43)

Para ǫ >0 pequeno definimos a caixa de fluxo por

[

σk

= [

x∈Σi,±

\ℓ±

X(−ǫ,τ±₍_x₎₊_ǫ₎(x)

[

(−δ, δ)×(−δ, δ)×(−1,1) (2.1)

que é uma vizinha¸ca aberta deσk, ondeσk é o único zero de X |∪_σk.

2.3 Prova de Expansividade

Nesta se¸cão provaremos o Teorema (A), tal prova é por contradi¸cão: Suponha que existe ǫ > 0, dada uma sequência δn → 0 existem sequências de pontosxn, yn em Λ

ehn sequˆencia de fun¸c˜oes emK tais que:

dist(Xt(xn), Xhn(t)(yn))≤δn para todo t∈R mas

Xhn(t)(yn)∈/ X[t−ǫ,t+ǫ](xn) para todo t∈R Vamos usar a seguinte afirma¸c˜ao:

Afirma¸cão 2.3.1. Existe um conjunto A de pontos regulares pertencentes a Λ que são acumulados por uma sequência ω(xn).

De fato, como o espa¸co ambiente é compacto existem pontos de acumula¸cão, e estes pertencem ao conjunto, e além disso, se o conjuntoω(xn) contém uma singularidade

σk, ent˜ao eles acumulam pelo menos em dos ramos inst´aveis, que consiste de pontos

regulares pertencentes a Λ. Portanto existe um conjuntoA contido no ramo instável que são acumulados por uma sequênciaω(xn). Ver figura 2.6 △

Fixe um ponto z ∈ A, e para cada n considere a subsequˆencia zn ∈ ω(xn) tal

quezn→z e para δ pequeno considere Σ uma se¸c˜ao transversal δ-adaptada em z tal que

(reduzindo δ e mantendo a mesma se¸c˜ao transversal)z est´a no interior de Σδ ={y ∈ Σ :

d(y, ∂Σ)> δ}. Como zn ∈ω(xn), a ´orbita de xn retorna infinitas vezes na vizinhan¸ca de

zn que est´a perto dez. Assim, a ´orbita de xn intersecta Σ infinitas vezes, sejatno tempo

de primeira interse¸c˜ao.

Considere yn ∈ Λ tais que dist(Xt(xn), Xhn(t)(yn)) ≤ δn∀t ∈ R e substitua xn, yn, t e hn respectivamente por x(n) = Xtn(xn), y(n) = Xtn(yn), t

′

= t−tn e h

′

n(t

(44)

Figura 2.6: Conjunto A