Teoria da Homotopia

(1)

GUSTAVOGRANJA Contents 1. Introdução 2 História 3 Pré-requisitos 3 Agrade imentos 4 2. Preliminares 4 EspaçosTopológi os 4 Complexosem adeia 4 3. Fibraçõese obrações 6 Cobrações 7 Fibrações 13 Espaçospontuados 21

Relaçãoentre su essõesdebraçãoe obração. 27

4. Gruposdehomotopia 31

Gruposdehomotopiarelativos 33

Dependên iadopontodebase 36

5. Teoriadehomotopiade omplexos elulares 41

TeoremasdeAproximação 42

Ex isãoparagruposdehomotopia. 51

OhomomorsmodeHurewi z 65

6. (Co)homologiadebrações. 72

Su essõesespe trais 72

Asu essãoespe traldeum omplexoltrado 75

Asu essãoespe traldeSerre 81

Extensõesdasu essãoespe traldeSerre 91

ClassesdeSerredegruposabelianos. 92

Asu essãoespe tralde ohomologia 97

ÁlgebrasdeHopf 103

Gruposdehomotopiadeesferas 109

Maisapli ações 117

7. Teoriadeobstrução 123

SistemasdeMoore-Postnikov 135

FormulaçãodualdaTeoriadeObstrução 139

8. Fibrados, lasses ara terísti ase

K

-teoria. 140

Deniçõeseexemplos 140

Classi açãodebrados 150

A onstruçãodeMilnor 156

(2)

Classes ara terísti as 159

Adeniçãode

K

-teoria 166

9. SugestõesdeLeitura 170

Referen es 170

1. Introdução

Duas apli ações ontínuas

f, g : X → Y

dizem-se homotópi as se existe uma

apli ação ontínua

H : X × [0, 1] → Y

tal que

H(x, 0) = f (x)

e

H(x, 1) = g(x)

. Esta relação de homotopia é uma

re-lação deequivalên iano onjunto dasapli ações ontínuas. Éfá il veri arque a

omposiçãodefunçõesestábemdenidanas lassesdehomotopia. Istopermitea

denição da ategoria de homotopia

1

ujos obje tos são os espaçostopológi ose

osmorsmosas lassesdehomotopiadeapli ações ontínuas.

Numaprimeiraaproximação,podedizer-sequeaTeoriadeHomotopiaéoestudo

da ategoria dehomotopia, e em parti ular odesenvolvimento de ferramentas de

ál ulodos onjuntos

[X, Y ]

de lassesdehomotopiadefunçõesentredoisespaços

X

e

Y

.

Umarazãoporqueesteestudoteminteresseéqueassoluçõesdemuitos

proble-masinteressantesdeoutrasáreasdaMatemáti a(notavelmenteproblemasde

las-si açãoemÁlgebraeGeometria)sereduzemao ál ulode onjuntosde lassesde

homotopia.

Umbomexemplo éoda lassi açãodevariedadesdiferen iáveis ompa tas a

menos de obordismo

2

que, por um famosoresultado de Thom [Th℄, sereduz ao

ál ulodosgrupos

[S

n+k

_{, M O(k)]}

para ertos espaços

M O(k)

om

k

su ientemente grande. Foi esta redução que

permitiu a lassi ação das variedades a menos de obordismo. Outro exemplo

nosmesmosmoldes (mas omum níveldesosti açãobastantemais elevado)é o

da lassi açãodevariedadessimplesmente onexas om urvaturaes alarpositiva

porStefanStolz[St℄( ulminandotrabalhodeGromoveLawson).

Damesmaforma,muitosproblemasde lassi açãoemálgebrapodemser

traduzi-dos em problemas de ál ulo de lassesde homotopia, um ponto de vista quese

revela frequentemente proveitoso. Exemplos sãoa lassi açãode extensõese

de-formaçõesde váriostipos de obje tos algébri os. Um outroexemploque, embora

trivial, omuni a de forma satisfatória a ubiquidade da noção de homotopia na

Matemáti a,éofa todearelaçãode onjugaçãoentrehomomorsmosdegrupos

(e,em parti ular,entre elementos deumgrupo) poderservista deforma natural

omoumarelaçãodehomotopiaentreos homomorsmosemquestão.

1

Narealidade, o uso orre nte destetermo não oin ide oma denição quesesegue, omo

veremosmaistarde. Esteaspe toté ni opodeserignoradodemomento.

2

Duasvariedades

M

e

N

dedimensão

n

dizem-se oborda ntesseexiste umavariedade om bordo

W

dedimensão

n + 1

talque

∂W = M

`

(3)

A Teoria de Homotopia pode ainda ser des rita omo a álgebra dos espaços

topológi os. Otipodehomotopiadeumespaçoéumobje to de arizalgébri oe

ombinatório. Éeleafontedetodososoutrosinvariantesalgébri osquese ostuma

asso iara espaços (grupos de homologia, homotopia, et .) mas estes invariantes

dãoapenasumapálidaimagemdotipodehomotopia. ATeoriadeHomotopiaéo

estudoda"álgebra"dasoperaçõesquepodemserrealizadassobreosespaçoseque

sãoinvariantesdehomotopia.

Oestudoda ategoriadehomotopiadosespaçostopológi oséaorigemdaTeoria

daHomotopia,masé larodesdeotrabalhodeQuillen[Qu℄(por suavezbaseado

em trabalho anteriorde Kan) há er a de 40 anos quea Teoriade Homotopia é

algode muito mais geral,in luindo não só toda aTopologiaAlgébri ae Álgebra

Homológi a omo partes de várias outras áreas da Matemáti a. Este ponto de

vista abstra to tem ontribuído grandemente para odesenvolvimento re ente da

TopologiaAlgébri aeasuaintera ção omoutrasáreasdaMatemáti a.

Apesardaimportân iadesta perspe tivaabstra ta, pare e-nosque épreferível

teralgumafamiliariedade omoexemplodosespaçostopológi os(queédequalquer

maneiraoexemplouniversal [Ho℄) antes deestudaroassunto deformaabstra ta,

pelo que este urso lida quase ex lusivamente om espaços topológi os. Como

ompromisso, tentaremos desenvolverem paralelo(prin ipalmente nosexer í ios)

algumadateoriadehomotopiados omplexosem adeiademódulossobreumanel,

umexemploquejádeveseralgofamiliardoestudopréviodeTopologiaAlgébri a.

Alémdaimportân iaintrínse adesteexemplo,asuasimpli idadepermiteporsua

veziluminaralgunsdosfenómenosfundamentais emteoriadehomotopia.

Felizmente, nos últimos anos apare eram ex elentes livrosde texto sobre

Teo-ria de HomotopiaAbstra ta ([Ho℄ e [Hi℄) que re omendamos vivamente ao leitor

interessado. Parauma primeiraintroduçãore omendamos[DS℄.

Finalmente,paraumabrevedis ussãodaessên iaeestadoa tualdaTeoriade

Homotopia uja eloquên ia esabedoria seria difí il de superar re omendamos ao

leitorotextodeHaynesMiller[Mi℄.

História. Éusual datar[Wh℄ aorigemda Teoriade Homotopiaem 1930, om a

des obertaqueaapli açãodeHopf

S

3 _{→ S}

2

(oquo ientedaesfera

S

3 _{⊂ C}

2

pelaa çãodiagonalde

S

1

)nãoéhomotópi aauma

apli ação onstante.

Depois de um período de grande expansão nos anos 50 e 60 possibilitado em

parte pela introdução das su essões espe trais, esta área passou por um período

de relativoisolamento dasoutras áreas da Matemáti anos anos 70 e 80 até que

há er ade15anos ertosdesenvolvimentosinternosaliadosaumre onhe imento

do seupapelfundamental em outras áreas(por exemplo, ofenómeno de simetria

espelhoemgeometriasimplé ti ae omplexa;ateoriadehomotopiamotívi aque

permitiuaresoluçãodeváriosproblemasem

K

-teoriaalgébri aelevouàatribuição

da medalha Fields a Voevodsky em 2002; apli ações de teoria de homotopia a

álgebra omutativa)levaram aumaaproximaçãodesta áreaàsáreasnu learesda

Matemáti a...

(4)

[Mu℄) e um onhe imento bási o de teoriade homologia e ohomologia(ao nível

dos três primeiros apítulos de [Ha℄). Além disso assume-se familiariedade om

noçõesbási asdeálgebraealinguagemdas ategorias.

Agrade imentos. MuitoobrigadoaoRi ardoJoelAndrade,ThomasBaier,eRui

Carpentierpor muitas orre çõese omentáriosúteisaestasnotas.

2. Preliminares

EspaçosTopológi os. Es revemos

Y

X

ou

Map(X, Y )

paraoespaçodasfunções

ontínuasentre

X

e

Y

omatopologia ompa ta aberta. Oseguinte resultadode

topologiageralseráusadofrequentemente

Proposição 2.1 ([Mu℄Teorema46.11) . Se

Y

éum espaço lo almente ompa to e

Hausdor,então umaapli ação

F : X × Y → Z

é ontínuasseaapli açãoadjunta

F : X → Z

Y

denidapor

F (x)(y) = F (x, y)

é ontínua.

Noseguimentotenderemosanãodistinguirnanotaçãoentreapli açõesadjuntas.

A proposiçãoanterior expli a porque podemos en araruma homotopia

H : X ×

[0, 1] → Y

equivalentemente omoumaapli ação

H : X → Y

[0,1]

.

Aproposiçãoanteriordizqueaapli ação

Z

X×Y

→ Z

Y

X

éumabije çãose

Y

forlo almente ompa toeHausdor. Sealémdisso

X

é

Haus-dor,épossívelveri arqueestaapli açãoéumhomeomorsmo. A onveniên ia

de ter este último resultado sem restrições leva a que seja usual onsiderar em

topologiaalgébri auma ategoriadeespaçostopológi osdiferentedausual-ados

espaços ompa tamentegerados.

Umespaço

X

diz-se ompa tamente gerado se

•

para ada apli ação

f : K → X

om

K

ompa toeHausdor,

f (K) ⊂ X

éfe hado

3

,

• F ⊂ X

éfe hadossepara ada

f : K → X

om

K

ompa to eHausdor,

f

−1

(F ) ⊂ K

éfe hado.

Qualquer espaço pode ser substituído fun torialmente por um espaço

ompa ta-mentegeradosemqueosinvariantesusuaisemtopologiaalgébri asejamafe tados

por esta substituição. O preço a pagar pelas boas propriedades desta ategoria

é que as onstruções usuais (produtos, quo ientes, et .) têm de ser modi adas.

Ver[RF, Apêndi e 1℄e [M ℄ para mais informaçãosobre espaços ompa tamente

gerados.

Complexosem adeia. Emalgunsexemplosiremos onsideraroseguinteanálogo

algébri oda ategoriadosespaçostopológi os.

3

(5)

ne essári-Denição 2.2. Um omplexo em adeia

C

∗

de grupos abelianos onsiste numa su essão

{C

n

}

n∈Z

de gruposabelianos ehomomorsmos

d

n

: C

n

→ C

n−1

( hama-dos operadoresdebordo) tais que

d

n

d

n+1

= 0

. Oselementos

x ∈ C

n

dizem-seos elementos degrau

n

de

C

∗

ees revemos

|x| = n

. Ogrupodos i losde grau

n

é

Z

n

(C

∗

) = ker d

n

eogrupodos bordosde grau

n

é

B

n

(C

∗

) = im d

n+1

Os gruposdehomologiade

C

∗

são osgrupos

H

n

(C

∗

) = Z

n

(C

∗

)/B

n

(C

∗

).

Um morsmo (de grau

0

)

f : C

∗

→ D

∗

entre omplexos em adeia é uma su essão

f

n

: C

n

→ D

n

dehomomorsmosdegrupostaisque

f

n−1

◦ d

C

n

= d

D

n

◦ f

n

. Osmorsmos entre dois omplexos formam umgrupoabeliano. Uma homotopia

em adeia entre

f, g : C

∗

→ D

∗

éumasu essãodehomomorsmosdegrupos

H

n

: C

n

→ D

n+1

tal que

d

n+1

H

n

+ H

n−1

d

n

= f

n

− g

n

. Éfá ilveri arquearelaçãodehomotopia em adeia é uma relação de equivalên ia entre morsmos e que dois morsmos

homotópi osdeterminamapli açõesiguaisemhomologia. Es revemos

[C

∗

, D

∗

]

parao onjuntodas lassesdehomotopiaem adeia.

Exemplo 2.3. Se

X

éum omplexo CW,o omplexo elular de

X

éo omplexo

em adeiadenidopor

C

n

=

(

H

n

(X

n

, X

n−1

)

se

n ≥ 0

0

se

n < 0

omooperadordebordo

d

n

denido pela omposição

H

n

(X

n

, X

n−1

)

∂

−→ H

n−1

(X

n−1

) −→ H

n−1

(X

n−1

, X

n−2

).

Es revemos

I

∗

parao omplexo elulardointervalo

[0, 1]

omaestrutura elular usual. Expli itamente,

I

∗

éo omplexo

· · · ← 0 ← Z ⊕ Z ← Z ← 0 ← · · ·

on entradoem dimensões

0

e

1

om

d

1 (1) = (1, 0) − (0, 1).

Denição 2.4. O produtotensorialdos omplexos

C

∗

e

D

∗

éo omplexo

C

∗

⊗ D

∗

om

(C

∗

⊗ D

∗

)

n

= ⊕

k+l=n

C

k

⊗ D

l

omodiferen i aldenido por

(6)

Exemplo2.5. Se

X

e

Y

são omplexos elulares omaestrutura elularproduto

então

C

∗

(X × Y ) = C

∗

(X) × C

∗

(Y )

Exer í io 2.6. Verique que há uma orrespondên ia natural entre homotopi as

em adeiade

C

∗

para

D

∗

emorsmos

C

∗

⊗ I

∗

−→ D

∗

.

Tal omo podemos denir um espaço topológi o de apli ações entre espaços

topológi os,podemosdenirum omplexoem adeiademorsmosentre omplexos

em adeia.

Denição 2.7. O omplexo de morsmos entre dois omplexos em adeia

C

∗

e

D

∗

éo omplexo

Hom(C

∗

, D

∗

)

om

Hom(C

∗

, D

∗

)

n

=

Y

k∈Z

Ab(C

k

, D

k+n

)

onde

Ab(G, H)

denotaogrupoabelianodehomomorsmosentreosgruposabelianos

G

e

H

, omosoperadores de bordo denidospela fórmula

d

k

f = d

D

f + (−1)

k+1

f d

C

.

Com esta denição a adjunção análoga à da Proposição 2.1 é válida sem

re-strições:

Proposição2.8. Dados omplexosem adeias

A

∗

, B

∗

, C

∗

,háumisomorsmo nat-ural

Hom(A

∗

⊗ B

∗

, C

∗

) = Hom(A

∗

, Hom(B

∗

, C

∗

)).

Proof. Exer í io.

Exer í io2.9. (a) Mostreque

Z

0 (Hom(C

∗

, D

∗

))

éogrupoabelianodosmorsmos entre os omplexos

C

∗

e

D

∗

.

(b) Mostreque

H

0 (Hom(C

∗

, D

∗

)) = [C

∗

, D

∗

]

.

Exer í io2.10. Se

G

éumgrupoabeliano, es revemos

Σ

n

_G

parao omplexoem

adeia que onsiste nogrupo

G

em dimensão

n

om todos os operadores de bordo

0

. Seja

X

um omplexo elular. Mostreque

H

n

(X; G) = [C

∗

(X), Σ

n

G].

3. Fibrações e ofibrações

Umaestratégiabási aparao ál ulodos onjuntosdehomotopia

[X, Y ]

é

en aixá-losem"su essõesexa tas"queosrela ionam omoutros onjuntosdomesmotipo

ondeosespaços

X

ou

Y

sãomaissimples. Istofaz-sepormeiode ertasestruturas

fundamentais da ategoria da homotopia hamadas su essões de obrações e de

brações,queagorades revemos. Nestase çãoseguimos[Ma,Capítulos6a9℄.

4

Anãoserqueumdosfa torestenhaumnúmeronitode élulasouqueambostenhamum

(7)

Cobrações. A obra de uma apli ação

f : X → Y

é o quo iente

Y /f (X)

.

Podemos pensar na obra omo uma espé ie de onú leo de

f

. Em geral esta

operaçãonãoserela iona bem omarelaçãodehomotopia.

Exemplo 3.1. Seja

X = S

n

e

Y = D

n+1

,

f : X → Y

a in lusão,e

f

′

_{: X → Y}

umaapli ação onstante. Umavez que

Y

é ontrá til,

f

e

f

′

sãohomotópi as. A obra de

f

é

S

n+1

ea obrade

f

′

é

D

n+1

, pelo que nãotêm omesmotipode

homotopia.

Interessa identi ar as apli açõespara as quais estaoperaçãoé"bem

ompor-tada":

Denição 3.2. Diz-se que uma apli ação

i : A → X

é uma obração (ou que

tema propriedadedaextensãodashomotopias)sedada umaapli ação

f : X → Y

euma homotopi a

H

entre

f ◦ i

eoutraapli ação

g : A → Y

, a homotopi a

H

pode

ser estendida aumahomotopi a

H

˜

entre

f

e

g

˜

tal que

g ◦ i = g

˜

. Isto é,

(1)

A × {0}

i

//

X × {0}

_f

5

5 A × [0, 1]

i×id

//

H

**

U

X × [0, 1]

˜

H

$$I

I

Y

Estapropriedadedizessen ialmentequeaoperaçãoderestriçãodefunções

on-tínuasa

A

interage deformasatisfatória omarelaçãode homotopia. É laroda

deniçãoquea omposiçãodeduas obraçõeséuma obração.

Nota3.3. Usandoaadjunção2.1(eusandoamesmaletraparadesignarapli ações

adjuntas),estapropriedade pode ser es ritada seguintemaneira

A

i

H

// Y

[0,1]

p

X

_f

//

˜

H

_y

<<y

y

Y

onde

p

éaavaliação noponto

0

5

.

Exer í io3.4. (a) Mostre queas obrações são estáveis sobpushout. Isto é se

i : A → X

é uma obração e

f : A → B

é uma apli ação qualquer, então a apli ação anóni a

B → B

a

A

X

étambémuma obração.

(b) Mostreque se

A ⊂ X

éuma obraçãoentão

{A} ⊂ X/A

é uma obração.

6

.

5

Nestasituação diz-seque

i

temaproprieda dedo levantamento àesquerdaem relaçãoa

p

, ouque

p

temaproprieda dedo levantamentoàdireitaemrelaçãoa

i

. Emteoria dehomotopia abstra ta,esteresultadotorna-senumdosaxiomasdateoria

6

(8)

Exer í io 3.5. Mostreque se

A → X

é uma obraçãoe

A

é ontrá til, então a

apli açãoquo iente

X → X/A

éumaequivalên ia de homotopi a.

Notemos quena denição de obração(1), há uma es olhauniversal para

Y

.

Nomeadamente

i : A → X

é uma obração sse a propriedadeda extensão das

homotopias(1)severi aparao asoparti ularemque

Y

denotaopushout

Y = A × [0, 1]

a

A×{0}

X

e

f : X = X × {0} → Y

e

H : A × [0, 1] → Y

designamasapli ações anóni as.Isto

éuma onsequên iadapropriedadeuniversaldopushoutqueoleitordeveveri ar.

Exer í io 3.6. Mostre que uma obração

i : A → X

é ne essariamente um

mergulhoeque, se

X

éHausdor,

i

é umaapli ação fe hada.

Pelo exer í io anterior, toda a obração é uma in lusão de um subespaço

(fe hado se o odomínio é Hausdor). Dado um par de espaços

(X, A)

om

A

fe hadoem

X

háuma ara terizaçãomuitoútil dasin lusõesquesão obrações.

Denição3.7. Umpar

(X, A)

diz-seumparNDR

7

seexisteumafunção ontínua

u : X → [0, 1]

om

A = u

−1

₍₀₎

eumadeformação

H : X × [0, 1] → X

tal que

H(x, 0) = x

,

H(a, t) = a

para

a ∈ A

, e

H(x, 1) ∈ A

para

u(x) < 1

.

Adeniçãoanteriordizqueavizinhança

u

−1

_{([0, 1[)}

de

A

sedeformaem

A

mas

nãoqueestavizinhançaseretraipor deformaçãoem

A

umavez quenãoserequer

que a homotopia preserve a vizinhança

8

. Note-se que podemos es olher

u

de tal

formaque

u(x) < 1

paratodoo

x

sse

A

éumretratopordeformaçãode

X

.

Exer í io 3.8. Se

X

éum omplexo CWe

A

éum sub omplexo, então

(X, A)

é

um par NDR.

Exer í io 3.9. Se

(X, A)

é umpar NDR e

Y

é ompa to, então

(X

Y

_{, A}

Y

₎

é um

parNDR.

Proposição3.10.Se

(X, A)

e

(Y, B)

sãoparesNDR,então

(X ×Y, X ×B ∪A×Y )

éum parNDR.

Proof. Sejam

u : X → [0, 1]

e

v : Y → [0, 1]

,

H : X × [0, 1] → X

,

K : Y × [0, 1] → Y

omonaDenição3.7. Denimos

w : X × Y → [0, 1]

por

w(x, y) = min{u(x), v(y)}

e

L : X × Y × [0, 1] → X × Y

por

L(x, y, t) =







H(x, t), K

y, t

u(x)

_v(y)

se

u(x) ≤ v(y)

H

x, t

_u(x)

v(y)

, K(y, t)

se

v(y) ≤ u(x)

onde se entende que as fra ções designam 1 no aso em que o denominador (e

portanto tambémonumerador)seanula. A ontinuidadede

L

só nãoé laranos

pontosonde

u(x)

e

v(y)

seanulam,maséfá ilverquenessespontosa ontinuidade

7

NDRéaabreviatu radeneighborhooddeformationretra t.

8

Noentanto,se

X

énormal,existedefa toumavizinhançade

A

queseretra ipordeformação em

A

(ver[Du,TeoremaXV.7.4℄).

(9)

é uma onsequên ia de termos

H(a, t) = a

e

K(b, t) = b

para todo o

t ∈ [0, 1]

.

Claramente

w

−1

_{(0) = X × B ∪ A × Y}

e temos

w(x, y) < 1 =⇒ L(x, y, 1) ∈

X × B ∪ A × Y

oque on luiademonstração.

Proposição 3.11. Seja

(X, A)

um par de espaços om

A

fe had o. As seguintes

ondiçõessão equivalentes:

(i)

(X, A)

éum parNDR.

(ii)

X × {0} ∪ A × [0, 1]

éum retrato por deformaçãode

X × [0, 1]

.

(iii) Existeumaretra ção de

X × [0, 1]

em

X × {0} ∪ A × [0, 1]

.

(iv) Ain lusão

i : A → X

éuma obração.

Proof. (i) impli a (ii) pela Proposição 3.10. De fa to, para o par

([0, 1], {0})

podemos tomar

u(t) = t/2

na Denição 3.7. A função

w

na demonstração de

3.10é então sempre

< 1

eportanto oproduto dospares

(X, A)

e

([0, 1], {0})

é a

in lusãodeumretratopordeformação.

Claramente(ii)impli a(iii).

Se

r : X × [0, 1] → X × {0} ∪ A × [0, 1]

éuma retra ção,entãodados

f, H

omo

naDenição3.2temosque

(f

a

A

H) ◦ r : X × [0, 1] → Y

é uma extensão da homotopia

H

, pelo que (iii) impli a (iv). Por outro lado,

tomando

Y = X × {0}

` A × [0, 1]

e para

f, H

as apli ações anóni as vemos

que

H(−, 1)

˜

éuma retra çãode

X × [0, 1]

em

Y

peloque(iv)impli a (iii).

Finalmentevejamosque(iii)impli a(i): dadauma retra ção

r : X × [0, 1] → X × {0} ∪ A × [0, 1]

edesignandoasproje çõesde

X × [0, 1]

por

π

1

e

π

2

,podemostomarnaDenição 3.7,

H(x, t) = π

1 r(x, t)

e

u(x) = max{t − π

2 r(x, t) : t ∈ [0, 1]}

De fa to,

u

é ontínua pela ompa idade de

[0, 1]

e

u(x) = 1

sse

r(x, 1) ∈ X ×

{0}

pelo que

u(x) < 1 =⇒ H(x, 1) ∈ A

. Claramente,

u(x) ≥ 0

uma vez que

r(x, 0) = (x, 0)

, ese

u(x) = 0

então

r(x, t) ∈ A × [0, 1]

para ada

t > 0

eportanto

r(x, 0) = (x, 0) ∈ A × {0}

.

Exer í io 3.12. Dê um exemplo de uma in lusão de um subespaço fe hado que

nãoseja uma obração.

Pelopreçodesubstituiro ontradomínioporumespaçohomotopi amente

equiv-alente, qualquer apli ação

f : X → Y

pode ser substituída por uma obração

usandoa onstruçãodo ilindrodaapli ação

f

. Defa tosedenotarmospor

i : X = X × {0} → M

f

= X × [0, 1]

a

X×{1}

(10)

a in lusão de

X

em

M

f

e por

π : M

f

→ Y

a apli ação denida por

π(x, t) =

f (x), π(y) = y

,oseguintediagrama

(2)

X

i

//

f

B

M

f

π

Y

omuta, e

π

é uma equivalên ia de homotopia (na realidade a retra ção de um

retratopordeformação).

Se

f

éuma obração então a apli ação

π

em (2)é mais do queuma simples

equivalên ia de homotopia. É uma equivalên ia de homotopi a sob

A

no sentido

seguinte:

Dadoum espaço

A

, a ategoriados espaços sob

A

éa ategoria ujosobje tos

sãoapli ações

i : A → X

e ujosmorsmossãoapli ações

f : X → Y

tais queodiagrama

A

i

j

@

X

_f

// Y

omuta. Duas apli ações sob

A

,

f, f

′

_{: X → Y}

dizem-se homotópi as sob

A

se

existe uma homotopia

H : X × [0, 1] → Y

entre

f

e

f

′

tal que

H(i(a), t) = j(a)

.

Com esta denição de homotopia podemos denir a ategoria de homotopia sob

A

daformaóbvia. Umaequivalên iade homotopiasob

A

hama-setambém uma equivalên ia de homotopi a obrada. O seguinte exer í io mostra que o tipo de

homotopiada obradeumaapli açãoéinvariantemedianteequivalên iasde

ho-motopia obradas.

Exer í io3.13. (a) Mostrequeumaequivalên iadehomotopi adepares

f : (X, A) →

(Y, B)

induzumaequivalên ia de homotopi a

f : X/A → Y /B

.

(b) Con lua que se

i : A → X

e

j : A → Y

são espaços sob

A

e

f : X → Y

é

uma equivalên ia de homotopi a obrada, então

f

induz uma equivalên ia de

homotopiaentreas obrasde

i

e

j

.

Proposição 3.14. (a) Sejam

i : A → X

e

j : A → Y

obrações. Se

f : X →

Y

é uma apli ação sob

A

e uma equivalên ia de homotopia, então

f

é uma equivalên iade homotopi a obrada.

(b) Sejam

i : A → X

e

j : B → Y

obrações. Se asapli ações

f, g

no diagrama

omutativo

A

i

g

// B

j

X

_f

// Y

(11)

Proof. (a) Basta-nos mostrar quepara ada

f

nas ondições doenun iadoexiste

uma apli ação sob

A

,

g : Y → X

tal que

g ◦ f ≃

A

id

X

, isto é, tal que

g

é uminversodehomotopiasob

A

àesquerda para

f

. De fa to,setaléverdade

podemos apli ar oresultado a

g

para obter um inversoà esquerda sob

A

,

f

′

para

g

eentãoaequação

f

′

≃

A

f

′

◦ g ◦ f ≃

A

f

mostraque

f

′

éhomotópi oa

f

sob

A

eportantoque

g

étambémuminverso

dehomotopiasob

A

àdireitapara

f

.

Como

f

éumaequivalên iadehomotopia,existe

h : Y → X

talque

h ◦ f ≃

id

X

. Isto impli a que

h ◦ j ≃ i

, e estendendo a

X

uma homotopia entre

h ◦ j

e

i

obtemos uma apli ação

h

′

_{: X → X}

tal que

h

′

_{≃ h}

(e portanto

h

′

_{◦ f ≃ id}

X

)e

h

′

_{◦ j = i}

. Basta-nosagoradeterminar

e : X → X

sob

A

talque

e ◦ (h

′

_{◦ f ) ≃}

A

id

X

umavezqueestaequaçãomostraque

g = e ◦ h

′

éoinverso

àesquerdaquepro uramos.

Estamos portanto reduzidos ao aso em que

Y = X, j = i

, e

f ≃ id

X

. Aessên iadademonstraçãoéamaneira omoapropriedadedaextensãodas

homotopiasdeterminauminversoàesquerdasob

A

paraumtal

f

. Seja

H : X ×

[0, 1] → X

umahomotopiaentre

f

e

id

X

. Arestrição

H

|A×[0,1]

: A × [0, 1] → X

determinaumlaço

[0, 1] → X

A

baseadoem

id

A

9

. Seestelaçofosse ontrá til,

e

K : A × [0, 1] × [0, 1] → X

fosse uma nul-homotopia, poderíamos apli ar

a propriedadede extensão das homotopias ao par

(X × [0, 1], A × [0, 1])

e à

homotopia original

H : X × [0, 1] × {0} → X

entre

f

e

id

X

para obter uma homotopiarelativaa

A

entre

f

e

id

X

(per orrendo afronteirade

[0, 1] × [0, 1]

entre

(0, 0)

e

(1, 0)

aolongodostrêssegmentosquenão

[0, 1] × {0}

).

Em geral o aminho

H

|A×[0,1]

não será ontrá til. Podemos no entanto apli arapropriedadedaextensãodashomotopiasa

H

|A×[0,1]

ea

id

X

paraobter umaapli ação

e : X → X

om

e

|A

= i

, eumahomotopia

K : X × [0, 1] → X

entre

id

X

e

. Este

e

é o inverso de homotopia que pro uramos. De fa to, se on atenarmosahomotopia

K(f (x), 1 − t)

om

H

obtemosumahomotopia

entre

e ◦ f

e

id

X

talquearestriçãoa

A × [0, 1]

orrespondeaum aminho on-trá tilem

X

A

( omo

f

|A

= i

trata-sedeum aminhoseguidodoseuinverso)e podemosapli aroargumentoanteriorparaobterumahomotopiarelativaa

A

entre

e ◦ f

e

id

X

on luindoademonstração. (b) Exer í io(ouver[Ma,p. 47℄).

Comovimosem(2)qualquerapli ação

f : X → Y

podesersubstituídaporuma

obração

X

→ M

i

f

Se

f

éuma obração,a obrade

f

ede

i

têmomesmotipodehomotopia(pela

Proposição 3.14eExer í io3.13). Quando

f

nãoéuma obração,éa obrada

apli ação

i

que orrespondeao" o-nú leode

f

"( onformeoExer í io3.16)

9

Embora, omasnossas onvenç ões,ore ípro osósejaverdadese

A

élo almente ompa to eHausdor. Norestodademonstraçãovamosignoraranãovalidadedesta orre spondên iauma

(12)

Denição 3.15. A obradehomotopia,ou onedaapli ação

f : X → Y

dene-sepela equação

C

f

=

(X × [0, 1])

a

X

Y

!

/X × {0}

PSfragrepla ements

CX = X × [0, 1]/X × {0}

C

_f

f (X)

Y

Exer í io3.16. (a) Mostreque,es revendo

j : Y → C

f

paraain lusão anóni a, existeumasu essãoexa ta longade homologia

· · · → H

k

(X)

f

∗

→ H

k

(Y )

j

∗

→ H

k

(C

f

)

→ H

∂

k−1

(X) → · · ·

(b) Mostreque se

A → X

éuma obraçãoentão

H

∗

(X, A) = H

∗

(X/A)

.

A obra dehomotopiatemaseguinte propriedadeuniversal queéuma

onse-quên iadire tadadenição:

Proposição 3.17. Se

f : X → Y

éumaapli ação, dar umaapli ação

g : C

f

→ Z

equivale adar

•

Umaapli ação

h : Y → Z

,

•

Umahomotopiaentre

h ◦ f

euma apli ação onstante

X → Z

.

Esta ara terizaçãodasapli açõesapartirdeuma obratraduz-senofa tode

asu essãode onjuntosde lassesdehomotopia

(3)

[X, Z]

f

∗

← [Y, Z]

j

∗

← [C

f

, Z]

ser exa ta no sentido em que dada

h : Y → Z

, temos

f

∗

_([h])

é a lasse de uma

apli ação onstante sse

[h]

estánaimagemdarestrição

j

∗

.

Re orde-sequeasuspensão deumespaço

X

édenida pela fórmula

ΣX ∼

= (X × [0, 1])/ ∼

onde

∼

éarelaçãodeequivalên iageradapor

(x, 0) ∼ (x

′

_{, 0)}

e

(x, 1) ∼ (x

′

_{, 1)}

para todosos

x, x

′

_{∈ X}

. Estaoperaçãodeneumfun torda ategoriadosespaçosnela

própriadaformaevidente. Es revemos

−Σf : ΣX → ΣY

paraaapli ação

−Σf [(x, t)] = [(f (x), 1 − t)].

Háumaequivalên iadehomotopianatural

C

j

π

→ ΣX

dadapelo olapsodosubespaço ontrá til( f. Exer í io3.5)

CY = (Y ×[0, 1])/(Y ×

{0}) ⊂ C

j

,eportantodenotandopor

d : C

f

→ C

j

ain lusãonatural, olapsandoo subespaço ontrá til

CC

f

⊂ C

d

,temosumaequivalên ia

C

d

π

(13)

Exer í io 3.18. Mostre que, denotando por

l : C

j

→ C

d

a in lusão natural, o seguintediagrama omuta na ategoria de homotopi a

C

j

l

//

π

C

d

π

ΣX

_−Σf

// ΣY

Exer í io3.19. Mostrequehá umhomeomorsmonatural

10

ΣC

f

≃ C

Σf

.

Estes exer í ios mostram que, al ulando su essivamente as obras de

homo-topiadasapli açõesobtidaspelopro edimentoanteriorobtemosaseguintesu essão

innita deespaçoseapli açõesquedesempenhaumpapelfundamental em teoria

dehomotopia.

Denição 3.20. A su essãode obração asso iada à apli ação

f : X → Y

é a

su essão de espaços

X

→ Y

f

→ C

j

f

π

→ ΣX

−Σf

→ ΣY

−Σj

→ ΣC

f

−Σπ

→ Σ

2 _X

Σ

_{→ Σ}

2 f

2 _{Y → · · ·}

Tal omo em (3) onsiderando apli ações para um onjunto

Z

produz uma

su essãoexa talongade onjuntosdehomotopiaasso iadaàapli ação

f

. Veremos

embreveque,apartirdoter eiro,estes onjuntostêmumaestruturamultipli ativa

quepermitedarumsentidomaisforte à"exa tidãodasu essão".

Exer í io3.21. Mostrequese

f, g : X → Y

sãoapli açõeshomotópi as,entãoas

obras de homotopi asão homotópi amente equivalentes.

Exer í io3.22. Mostreque

f : X → Y

éumaequivalên ia dehomotopi a sse

M

f

seretrai pordeformaçãoem

X × {0}

.

Fibrações. A bra de uma apli ação

f : X → Y

sobre

y ∈ Y

é o subespaço

f

−1

_{(y) ⊂ X}

. Aoperaçãodetomarabradeumaapli açãopodeserinterpretada

omoo ál ulodo"nú leo"daapli ação. Éfá ilverqueestaoperaçãonãointerage

deformasatisfatória omarelaçãodehomotopia(dêumexemplo!).

Denição 3.23. Diz-se queumaapli ação

p : E → B

éuma bração,ouquetem

a propriedadedolevantamentodashomotopiasseemtodo odiagrama omutativo

(4)

X × {0}

f

//

E

p

X × [0, 1]

H

//

˜

H

;;v

v

B

existe olevantamento

H

˜

.

Esta denição diz que aoperaçãode proje ção

p : E → B

interage de forma

satisfatória omanoçãodehomotopia. Adeniçãotem omo orolárioimediatoo

seguinte resultado.

10

Devenotar-sequeestehomeomorsmotro aas oordenadasdo oneedasuspensãoe

(14)

Lema 3.24. (i) A omposiçãode duas braçõesé umabração.

(ii) Se

p : E → B

éumabraçãoe

g : A → B

éumaapli ação ontínua, entãoo

pullba k

g

∗

_{p : A ×}

B

E → A

éumabração.

Hávários exemplosjá familiaresde brações. A veri açãodapropriedadedo

levantamentodashomotopiasémuitosimplesedeixa-se omoexer í io.

Exemplo3.25. (i) Aproje ção

π

1 : B × F → B

éumabração. (ii) Se

p : E → B

éumrevestimento, então

p

éumabração.

(iii) Aapli ação

X

[0,1]

_{→ X}

determinadapelaavaliaçãoem

t = 0

éumabração,

hamadaabraçãodos aminhos.

11

A seguinte relação entre as noções de obração e bração é absolutamente

fundamental:

Proposição 3.26. Se

i : A → X

é uma obraçãoe

X

é lo almente ompa to e

Hausdor, aapli ação

Y

i

: Y

X

→ Y

A

éumabração.

Proof. Se

X

éHausdor,

A

éne essáriamente umsubespaçofe hadode

X

e

por-tantolo almente ompa toeHausdor. UsandoaProposição2.1podemoses rever

apropriedadedolevantamentodashomotopiasparaaapli açãoderestrição

Z

// Y

X

Y

i

Z × [0, 1]

H

// Y

A

naformaadjunta

Z × A

//

Z × X

wwppp

ppp

pp

Z × X × [0, 1]

&&N

N

Z × A × [0, 1]

66m

m

// Y

queéapropriedadedaextensãodashomotopiaspara

Z × i : Z × A → Z × X

. O

resultadopretendidoéportantouma onsequên iadaProposição3.10apli adaaos

pares

(Z, ∅)

e

(X, A)

.

Note-sequeademonstraçãoanterior onsistenumautilizaçãoformaldaadjunção

2.1. Seutilizarmosuma ategoriaadequadadeespaçostopológi os,oresultadoda

proposiçãoanterioréválidosemqualquerrestriçõesnatopologiade

X

.

Tal omono asodas obraçõeséútilformularapropriedade(4)deformadual:

uma apli ação

p : E → B

éuma braçãossepodemosen ontrar umaapli ação a

11

(15)

tra ejado fazendooseguinte diagrama omutativo(noqualasapli açõesverti ais

sãoasapli açõesdeavaliaçãoem

t = 0

)

B

[0,1]

E

[0,1]

p

[0,1]

oo

A

H

bbDD

_DD

DD

_DD

f

""E

E

˜

H

_z

<<z

z

B

oo

p

E

Tal omo antes, on lui-se desta formulaçãoquehá uma es olhauniversal para o

espaçodeteste

A

easapli ações

f

e

H

:

A = E ×

B

[0,1]

= {(e, α) : α(0) = p(e)},

f = π

1|A

,

H = π

2|A

Neste asouniversal,olevantamentodahomotopia

H

˜

designa-seumaapli açãode

levantamento eportantotemos oseguinte resultado

Lema 3.27. Uma apli ação

p : E → B

éuma bração sseexiste umaapli ação

Λ : E ×

B

[0,1]

→ E

[0,1]

tal que

Λ(e, α)(0) = e

e

p(Λ(e, α)(t)) = α(t)

.

Embreveser-nos-áútilumaligeirageneralizaçãodeste on eito. Considere-sea

apli açãodeavaliação

B

[0,1]

_{× [0, 1] → B}

.

Denição 3.28. Seja

p : E → B

uma apli ação ontínua. Umaapli ação

Λ : E ×

B

(B

[0,1]

× [0, 1]) → E

[0,1]

diz-se uma apli ação de levantamento estendida para

p

se

Λ(e, α, s)(s) = e

e

p(Λ(e, α, s)(t)) = α(t)

.

Lema 3.29. Uma apli ação

p : E → B

éuma braçãosse tem umaapli açãode

levantamento estendida.

Proof. Arestriçãodeumaapli açãodelevantamentoestendidaa

E ×

B

(B

[0,1]

_×{0})

é uma apli ação delevantamento no sentido usual. Por outro lado, se

Λ : E ×

B

[0,1]

_{→ E}

[0,1]

éumaapli açãodelevantamento, podemosdenir

˜

Λ : E ×

B

(B

[0,1]

× [0, 1]) → E

[0,1]

usandoaapli ação

Λ

paralevantaro aminho

α

apartirde

e

até

t = 1

,eparatrás,

apartirde

e

,até

t = 0

. Defa to,sees revermos

α

s

parao aminho

α

s

(t) =

(

α(t + s)

se

t ≤ 1 − s

α(1)

se

t > 1 − s

e

α

s

(t) =

(

α(s − t)

se

t ≤ s

α(0)

se

t > s

entãodenindo

˜

Λ(e, α, s)(t) =

(

Λ(α

s

, e)(t − s)

se

t ≥ s

Λ(α

s

, e)(s − t)

se

t < s

(16)

Vamosagorademonstrar(seguindo[Du,TeoremaXX.3.2℄)queapropriedadede

serumabraçãoéumapropriedadelo al. Istoé,queumaapli açãoqueserestringe

aumabraçãosobre adaumdosabertosdeuma oberturadabaseéaindauma

bração(desdequeoespaçodebase sejapara ompa to). Paraissopre isamosde

algunspreliminaresdeTopologiaGeral.

Denição 3.30. Uma obertura

U

de

X

diz-se lo almente nita se para todo o

x ∈ X

existe um aberto

V

ontendo

x

que interse ta apenas um número nitode abertosde

U

. Um onjuntoaberto

V ⊂ X

diz-seum onjunto o-zeroseexisteuma

apli ação ontínua

φ : X → [0, 1]

tal que

φ

−1

_{(]0, 1]) = V}

. Uma oberturaaberta

U

de

X

diz-seenumerávelseéuma oberturalo almentenitapor onjuntos o-zero.

Re orde-sequeumespaçosedizpara ompa tosetodaa oberturaabertaadmite

um renamento lo almente nito. Se

X

é para ompa to e Hausdor, então

X

é

normal[Mu, Teorema 41.1℄eé fá il verque então todaa obertura aberta de

X

admiteumrenamentoenumerável.

Exemplo3.31. Um omplexo elularéumespaçopara ompa toeHausdor(ver

[RF,Teorema1.3.5℄ou[Ha2,Proposição1.20℄).

Lema 3.32. (a) Uma interse ção nita de onjuntos o-zero é um onjunto

o-zero.

(b) A união de uma família lo almente nita de onjuntos o-zeroé um onjunto

o-zero.

( ) Se

J ⊂ [0, 1]

é fe hado e

U ⊂ X

éum onjunto o-zero, o onjunto

S(J, U ) =

{f ∈ X

[0,1]

_{: f (J) ⊂ U }}

é um onjunto o-zero.

(d) Se

U

é uma obertura de

X

por onjuntos o-zero e

U =

S

∞

n=1

U

n

om

U

n

famílias lo almentenitas,então

U

admiteum renamento enumerável.

Proof. (a) Se

c

k

: X → [0, 1]

sãotaisque

c

−1

k

(]0, 1]) = U

k

tome-se

c(x) = min{c

1 (x), . . . , c

n

(x)}.

(b) Dada uma família lo almente nita

{U

α

}

,

c(x) = max{c

α

(x)}

é ontínua e

c

−1

_{(]0, 1]) = ∪}

α

U

α

. ( ) Se

c

−1

_{(]0, 1]) = U}

, então a apli ação

c : X

[0,1]

_{→ [0, 1]}

denida por

c(α) =

min

t∈J

c(α(t))

é ontínuaesatisfaz

c

−1

_{(]0, 1]) = S(J, U )}

.

(d) Seja

W

n

= ∪U

n

. Pela parte (b), existe

c

n

: X → [0, 1]

om

c

−1

n

(]0, 1]) = W

n

. Tome-se

W

′

n

= {x ∈ W

n

: c

i

(x) < 1/n, i = 1, . . . , n − 1}

. Então

W

′

n

é um onjunto o-zeroe

{W

′

n

}

éuma oberturalo almentenita.

{U

n

∩ W

′

n

: n ∈ N}

éorenamentodesejado.

Teorema 3.33 (Hurewi z). Seja

p : E → B

uma apli ação ontínua. Se existe

uma oberturaenumerável

U = {U

α

}

de

B

talque

p : p

−1

_(U

α

) → U

α

éumabração para ada

α

, então

p

éumabração.

Proof. Seja

{U

α

}

uma oberturade

B

satisfazendoas ondiçõesdoenun iadoe

Λ

α

: p

−1

(U

α

) ×

U

α

(U

[0,1]

α

× [0, 1]) → E

[0,1]

apli açõesdelevantamento estendidaspara

p : p

−1

_(U

α

) → U

α

. Para ada

n

-tuplo deindí es

(α

1 , . . . , α

n

)

seja

W

α

1 ,...,α

n

= S([0, 1/n], U

α

1 )∩. . .∩S([(n−1)/n, 1], U

α

n

)

. Pelo Lema 3.32(a) e ( ) estes onjuntos são o-zero. Como

[0, 1]

é ompa to, a

imagemde ada

α ∈ B

[0,1]

(17)

que

U

n

= {W

α

1 ,...,α

n

}

é umafamília lo almente nita(masinfelizmente não uma obertura). A obertura

U = ∪U

n

de

B

[0,1]

estáportanto nas ondiçõesdoLema

3.32(d)eportanto podemoses olherumrenamentoenumerável

{V

µ

}

para

U

. Vamosagoradenirapli açõesdelevantamentoestendidas lo ais

Λ

µ

: E × (B

[0,1]

× [0, 1]) ∩ E × V

µ

× [0, 1] → E

[0,1]

Para ada

µ

, es olha-se

(α

1 , . . . , α

n

)

tais que

V

µ

⊂ W

α

1 ,...,α

n

. Dado

(e, α, t)

no domínio de

Λ

µ

tome-se

k

tal que

t ∈ [(k − 1)/n, k/n]

. Seja

α

j

oprolongamento por aminhos onstantesde

α

|[(j−1)/n,j/n]

aointervalo

[0, 1]

. Podemosdenir

β =

Λ

µ

(e, α, t)

indutivamentedaseguinte forma

β(s) =











Λ

β

k

(e, α

k

, t)(s)

se

(k − 1)/n ≤ t ≤ k/n

Λ

β

k−1

(Λ

β

k

(e, α

k

, t)((k − 1)/n), α

k−1

, (k − 1)/n)(s)

se

(k − 2)/n ≤ t ≤ (k − 1)/n

Λ

β

k+1

(Λ

β

k

(e, α

k

, t)(k/n), α

k+1

, k/n)(s)

se

k/n ≤ t ≤ (k + 1)/n

. . .

Éfá il veri arque estaapli açãoé ontínua,epordenição satisfazas equações

requeridas deuma apli açãode levantamento. No entanto, se

W

µ

∩ W

µ

′

6= ∅

não temos garantia que

Λ

µ

e

Λ

µ

′

estejam de a ordo na interse ção e portanto não temos aindaumaapli ação delevantamento globalmente denida. Este problema

resolve-seutilizandouma partiçãodaunidade paraa obertura

{W

µ

}

. Seja

c

µ

: B

[0,1]

_{→ [0, 1]}

taisque

c

−1

µ

(]0, 1]) = W

µ

e

X

µ

c

µ

(α) = 1

para todo o

α ∈ B

[0,1]

. Es olhamosuma ordemtotalpara o onjunto dosindí es

{µ}

e uma obertura de

B

[0,1]

por abertos

{U }

tais que adaaberto

U

interse ta

apenas umnúmeronitode abertos

W

µ

1 , . . . , W

µ

k

om

µ

1 < . . . < µ

k

. Denimos funções

t

i

: U → [0, 1]

para

i = 1, . . . , k

por

t

i

(α) = c

µ

1 (α) + . . . + c

µ

i

(α)

deformaque

t

k

(α) = 1

paratodoo

α ∈ U

. Denimosem

U

uma novafunçãode levantamento

Λ

U

: E ×

B

[0,1]

∩ E × U → E

[0,1]

que ombinatodasas funçõesdosabertos

Λ

µ

i

daseguinteforma

Λ

U

(e, α)(t) =











Λ

µ

1 (e, α, 0)(t)

se

0 ≤ t ≤ t

1 (α)

Λ

µ

2 (Λ

µ

1 (e, α, 0)(t

1 (α)), α, t

1 (α))(t)

se

t

1 (α) ≤ t ≤ t

2 (α)

. . .

É fá ilveri arqueesta apli açãoé ontínuano seudomínio. A suapropriedade

fundamental éque

Λ

U

(e, α)

dependeapenasdosabertos

W

µ

i

aque

α

perten e(e não do onjunto

U

) pois se

α 6∈ W

µ

i

então

t

i

(α) = t

i+1

(α)

. Isto mostra que se

α ∈ U ∩ V

, então

Λ

U

(α) = Λ

V

(α)

. Obtemos assim a apli açãode levantamento pretendida

Λ : E ×

B

[0,1]

→ E

[0,1]

atravésdafórmula

Λ(e, α) = Λ

U

(e, α)

para

U

umabertoqualquer ontendo

α

(18)

Uma onsequên iaimportantedesteteoremaéqueasapli açõesquelo almente

são produtos têm a propriedade do levantamento das homotopias (pelo menos

quandoabaseépara ompa ta).

Denição3.34. Umaapli ação

p : E → B

diz-seum brado ombra

F

seexiste

uma oberturaaberta

U = {U

α

}

de

B

talquepara ada

α

existeumhomeomorsmo

φ

α

fazendooseguintediagrama omutar

p

−1

_(U

α

)

p

##H

H

φ

// U

α

× F

π

1 {{ww

ww

w

U

α

Corolário 3.35. Se

p : E → B

éumbradoe

B

éumespaçopara ompa toentão

p

éumabração.

Dadoumespaço

B

,podemosdenira ategoria dos espaços sobre

B

ujos

ob-je tossãoasapli ações

E

→ B

p

e ujosmorsmossãoasapli ações

f : E → E

′

taisque

E

p

@

f

// E

′

q

~~}}

}}

}

B

omuta. Temosanoçãoóbviadehomotopiadeapli açõessobre

B

ea omposição

deapli açõesestábemdenida nas lassesdehomotopiapeloquepodemosdenir

a ategoriade homotopiade espaçossob

B

. Umisomorsmonesta ategoria

diz-seuma equivalên ia de homotopi a brada. Mais geralmente podemos deniruma

ategoriadeapli açãoesondeosobje tossãoasapli ações

p : E → B

eosmorsmos

sãoosdiagramas omutativos

E

p

f

// E

′

q

B

g

// B

′

omanoçãodehomotopiaóbvia. Osisomorsmosna orrespondente ategoriade

homotopia hamam-seequivalên iasdehomotopiade brações. Tal omo no aso

dualdas obrações,asbraçõestêmaseguintepropriedadeútil:

Proposição 3.36. (a) Se

p : E → B

e

q : E

′

_{→ B}

são brações e

f : E → E

′

é uma apli ação sobre

B

e uma equivalên ia de homotopia, então

f

é uma

equivalên iade homotopi a brada.

(b) Se

p : E → B

e

q : E

′

_{→ B}

′

são brações e

f : E → E

′

,

g : B → B

′

são

equivalên ia sde homotopiatais queodiagrama

E

f

//

p

E

′

q

B

g

// B

′

(19)

omuta então

(f, g)

éuma equivalên iadehomotopiadebrações.

Proof. Exer í io.

Qualquerapli ação

f : X → Y

podesersubstituídaporumabraçãodaseguinte

maneira. Dena-se

P

f

= X ×

Y

[0,1]

= {(x, α) ∈ X × Y

[0,1]

: f (x) = α(0)}

Temosumain lusãoeproje çãonaturais

i : X → P

f

i(x) = (x, c

f (x)

),

π : P

f

→ Y

π(x, α) = α(1)

(ondees revemos

c

a

para o aminho onstante em

a ∈ Y

) eo seguinte diagrama omuta (5)

X

i

//

f

A

P

f

π

Y

Exer í io3.37. (a)

i

éain lusãodeumretratopordeformação(eportantouma

obração).

(b)

π

éumabração.

Éuma onsequên iadaProposição3.36que,se

f : X → Y

éumabraçãoentão

aapli ação

i

éuma equivalên iadehomotopiabradaeem parti ularinduzuma

equivalên iade homotopiaentre as bras

f

−1

_(y)

e

π

−1

_(y)

para ada

y ∈ Y

. Isto

sugereaseguintedenição:

Denição 3.38. Abradehomotopiade uma apli ação

f : X → Y

sobre

y ∈ Y

,

éoespaço

F

f

= π

−1

(y) = {(x, α) ∈ X × Y

[0,1]

: α(0) = f (x), α(1) = y}

Tal omono asodualdas obraçõestemos laramenreaseguintepropriedade

universaldabradehomotopia:

Proposição 3.39. Daruma apli ação

g : A → F

f

entre

A

e abradehomotopia sobre

y ∈ Y

,equivale adar

•

Umaapli ação

h : A → X

,

•

Umahomotopiaentre

f ◦ h

eaapli ação onstante

A → {y} ⊂ Y

. Ditodeoutraforma,asu essãode onjuntos

[A, F

f

]

π

→ [A, X]

1∗

f

∗

→ [A, Y ]

éexa tanomesmosentidoque(3) . Notemosqueparaiterarestaoperaçãodetomar

abra,pre isamosdees olherumponto debaseem

X

sobreoqualtomarabra

de

π : F

f

→ X

. Assim as su essõesde bração denem-se naturalmente apenas na ategoriados espaçospontuados ujosobje tos onsistemempares

(X, x

0 )

om

x

0 ∈ X

,eosmorsmossãoasapli açõesquepreservampontosdebase.

Vamosagoraverqueapropriedadedolevantamentodashomotopiasnosdáuma

(20)

bração, e

α : [0, 1] → B

um aminho om

α(0) = b

e

α(1) = b

′

. Apli ando a

propriedadedolevantamentodashomotopiasaodiagrama

p

−1

_{(b) × {0}}

// E

p

−1

_{(b) × [0, 1]}

˜

H

α

55 j

j

_π

₂

// [0, 1]

α

// B

obtemosumaapli ação

M

α

: p

−1

(b) → p

−1

(b

′

)

denidapor

M

α

(e) = ˜

H

α

(e, 1).

Estaapli açãodependedaes olhadelevantamento

H

˜

α

,masdadosdois aminhos homotópi os

α ≃ α

′

, e dois levantamentos

H

˜

α

, ˜

H

α

′

: p

−1

_{(b) × [0, 1] → E}

, uma

apli açãodapropriedadedolevantamentodashomotopias

12 aodiagrama

p

−1

_{(b) × ([0, 1] × {0, 1} ∪ {0} × [0, 1])}

F

_//

E

p

−1

_{(b) × [0, 1] × [0, 1]}

˜

K

22 f

f

π

2 // [0, 1] × [0, 1]

K

// B

onde

K

designa ahomotopiaentre

α

e

α

′

,

F

éaapli açãodenida por

F (e, t, 0) = ˜

H

α

(e, t)

F (e, t, 1) = ˜

H

α

′

(e, t)

F (e, 0, t) = e

mostraqueaapli ação

p

−1

_{(b) × [0, 1] → p}

−1

_(b

′

₎

denidapor

(e, t) 7→ F (e, 1, t)

éumahomotopiaentre asapli ações

M

α

e

M

′

α

. Con luímosportantoquea lasse dehomotopiadaapli açãodemonodromia

M

α

: p

−1

(b) → p

−1

(b

′

)

estábem denidaedependeapenas da lassedehomotopiado aminho

α

.

Se

α

éum aminho onstante,podemos laramentetomar

H

˜

α

(e, t) = e

ese

α ∗ β

denotaa on atenaçãodedois aminhos,aexpressão

˜

H

α∗β

(e, t) =

( ˜

_H

_α

_{(e, 2t)}

se

0 ≤ t ≤

1

2 ˜

H

β

(M

α

(e), 2t − 1)

se

1

2 ≤ t ≤ 1

éumlevantamentode

α ∗ β

,mostrandoque

M

α∗β

≃ M

β

◦ M

α

.

Temosportantooseguinte resultado:

Proposição 3.40. Seja

p : E → B

umabração. A apli ação queasso ia a ada

ponto

b ∈ B

abra

p

−1

_(b)

, ea ada lassede homotopi a de aminhos

[α]

entre

b

e

b

′

_{∈ B}

a lasse de homotopi a

[M

α

] : p

−1

_{(b) → p}

−1

_(b

′

₎

éumfun tor ontravariante

M : Π(B) → Ho(T op)

dogrupóide fundamental de

B

paraa ategoriade homotopi a dosespaços

topológi- os.

12

Note-sequeopar

([0, 1] × [0, 1], [0, 1] × {0, 1} ∪ {0} × [0, 1])

éhomeomorfoaopar

([0, 1] ×

(21)

Corolário 3.41. Seja

p : E → B

uma bração. Se

b, b

′

_{∈ B}

perten em àmesma

omponente onexaporar osde

B

, asbras

p

−1

_(b)

e

p

−1

_(b

′

₎

sãohomotopi amente

equivalentes.

Corolário 3.42. Se

p : E → B

é umabraçãoe

b ∈ B

, temosumarepresentação

(ditade monodromia)

ρ : π

1 (B, b) → Aut

h

(p

−1

(b))

onde

Aut

h

(p

−1

_(b)

denotaogrupodeequivalên iasde homotopi adabra

p

−1

_(b)

. A

representação édenida por

ρ([α]) = [M

α

].

Exer í io 3.43. Nesteexer í io, assumaquea adjunção 2.1é válida paraos

es-paços que for onveniente. Seja

p : E → B

uma bração e seja

Aut

h

(p

−1

_(b))

o monóide topológi o das equivalên ia s de homotopi a de

p

−1

_(b)

( om o produto

denido pela omposição de apli ações). Promova a representação do Corolário

3.42 aumaapli ação

φ : Ω

b

B → Aut

h

(p

−1

(b))

queémultipli ativa amenosde homotopi a (Compareesteresultado oma

demon-straçãodaProposi ção3.14 no asoda bração

X

_{→ X}

A

.)

Espaços pontuados. Um espaço pontuado é um par

(X, ∗)

om

∗ ∈ X

. Uma

apli ação

f : (X, ∗) → (Y, ∗)

éuma apli ação

f : X → Y

quepreservaoponto de

base. Osespaçospontuados juntamente omestasapli açõesformam a ategoria

dosespaçospontuados. Dadoumespaço

X

es revemos

X

+

para oespaço

X

om umpontodebasedisjunto. A apli ação

X → X

+

é um fun tor da ategoria dos espaços para a ategoria dos espaços pontuados

(adjunto àesquerda dofun tor esque ido). Re orde-se queum espaçosediz bem

pontuado seain lusãodopontodebaseéuma obração.

O oprodutona ategoriadosespaçospontuadoséasomawedge , denidapor

X ∨ Y = (X

a

Y )/∗

X

∼ ∗

Y

Oprodutoéoproduto usual omoponto debase

(∗

X

, ∗

Y

)

edenimosoproduto smash pelafórmula

X ∧ Y = (X × Y )/(X ∨ Y ).

Exemplo3.44. Paratodoo

k, n ≥ 0

,

S

k

_{∧ S}

n

éhomeomorfoa

S

n+k

.

Oprodutosmashestásujeitoaalgumaspatologias omoéindi adonaprimeira

partedoseguinte exer í io.

Exer í io3.45. (a) Mostre que

Q

∧ (Q ∧ N) 6≃ (Q ∧ Q) ∧ N

.

(b) Mostrequese

X, Z

sãolo almente ompa toseHausdorentão

X ∧ (Y ∧ Z) ≃

(X ∧ Y ) ∧ Z

. Es revemos

Map

∗

(X, Y ) ⊂ Y

X

paraosubespaçode

Y

X

formadopelas apli açõesquepreservamoponto debase,

om ponto de base dado pela apli ação onstante no ponto de base de

Y

. Pela

propriedadeuniversaldoquo ientetemosumaapli ação

(6)

Map

(22)

que é uma bije ção se

Y

é lo almente ompa to e Hausdor (de a ordo om a

Proposição 2.1). Esta adjunção expli a arelevân ia do produto smash. Note-se

que numa ategoria adequada de espaços topológi os esta adjunçãoé válida sem

restriçõeseénarealidadeumhomeomorsmodeespaçostopológi osoqueimpli a

formalmenteaasso iatividadedoprodutosmash.

Anoçãonaturaldehomotopianesta ategoriaéadeumahomotopiaquepreserve

opontodebase,quepodemoses rever

H : X ∧ [0, 1]

+

→ Y

O onjuntodas lassesdehomotopiapontuadasentre

(X, ∗)

e

(Y, ∗)

es reve-se

[X, Y ]

∗

Note-sequeeste onjuntotemumpontodebasenatural(aapli ação onstanteno

pontodebase de

Y

).

Podemosdenir obraçõesebraçõesna ategoriadosespaçospontuados,pelas

propriedadesdaextensão elevantamentodas homotopias(pontuadas). Arelação

entre estes on eitos e os on eitos dis utidos anteriormente é a seguinte: Uma

obraçãoé uma obraçãopontuada (uma vez que oponto de base perten eao

subespaço). Se

(A, ∗) → (X, ∗)

é uma obração pontuada e

(A, ∗)

(e portanto

(X, ∗)

) é bem pontuado, então

A → X

é uma obração. Por outro lado uma bração pontuada é uma bração (uma vez que a propriedade do levantamento

dashomotopiaspontuadaspara

A

+

éomesmoqueapropriedadedolevantamento das homotopias para

A

) e uma bração tem ne essáriamente a propriedade do

levantamentodashomotopiaspontuadasrelativamenteaosespaçosbempontuados.

O ilindroreduzido deumaapli ação

f : (X, ∗) → (Y, ∗)

éoespaço

M

f

= (X ∧ [0, 1]

+

a

Y )/(x ∧ 1 ∼ f (x))

eo onereduzido oua obrade homotopia de

f

é

C

f

= M

f

/(X × {0}).

Asuspensãoreduzida de

(X, ∗)

é

ΣX = X ∧ S

1 _.

Éusualidenti ar

S

1

omoquo iente

[0, 1]/({0, 1})

ees rever

x ∧ t

om

t ∈ [0, 1]

paraumelementode

ΣX

.

Note-se que

M

f

, C

f

e

ΣX

obtêm-se dasversões não reduzidas olapsandoum intervalo

[0, 1]

. É fá il ver que se

X

e

Y

são bem pontuados, as in lusões deste

intervalo são obrações e portanto as apli ações quo iente são equivalên ias de

homotopia.

Oespaçodos aminhos de

(X, ∗)

éoespaçopontuado

P X = Map

∗

([0, 1], X)

em quedamosa

[0, 1]

opontodebase

0

. Temosumaapli açãonatural

e : P X → X

dadapor avaliaçãoem

t = 1

. Oespaço de laços de

(X, ∗)

éoespaçopontuado

ΩX = Map

∗

(S

1 , X).

Aadjunção(6)tem omo onsequên iaimediataaseguinte relação

[ΣX, Y ]

∗

= [X, ΩY ]

∗

Proposição 3.46.

[ΣX, Y ]

∗

é umgrupoe

[Σ

2 _{X, Y ]}

(23)

Proof. Amultipli açãoem

[ΣX, Y ]

éinduzidapelaapli ação

ΣX

→ ΣX ∨ ΣX

ν

que olapsao"equador"de

ΣX

. Mais pre isamente,identi ando omo

habitual-mente

S

1

om

[0, 1]/{0, 1}

,

ν(x ∧ t) =

(

x ∧ 2t ∈ ΣX ∨ ∗

se

0 ≤ t ≤ 1/2

x ∧ (2t − 1) ∈ ∗ ∨ ΣX

se

1/2 ≤ t ≤ 1

Utilizandooargumentojáfamiliarno asodogrupofundamental

13

,éfá ilverque

este produtoéasso iativo,que oelemento neutro édadopela lassedaapli ação

onstanteequea lassedaapli ação

−f : ΣX → Y

denida por

(−f )(x ∧ t) = f (x ∧ (1 − t)

éoinversode

[f ] ∈ [ΣX, Y ]

.

Paraverque

[Σ

2 _{X, Y ]}

éabeliano,notemosque

S

1 _∧S

1

éhomeomorfoa

[0, 1]

2 _{/∂([0, 1]}

2 ₎

.

Por denição,amultipli ação em

[Σ

2 _{X, Y ]}

efe tua-se on atenando as apli ações

nasegunda oordenada. Agura

PSfragrepla ements

→

∗

f

g

ilustraahomotopiaentre

[f ][g]

e

[g][f ]

.

Uma vez que

S

n

_{= Σ}

n

_S

0 _{= Σ}

2 _S

n−2

, as lassesde homotopia apartirde uma

esferadedimensãomaiorouiguala2formamumgrupoabeliano.

Denição 3.47. Seja

(X, ∗)

um espaço pontuado. Para ada

n ≥ 0

, dene-seo

n

-ésimo grupodehomotopiade

X

por

π

n

(X, ∗) = [S

n

, X]

∗

É laro que

π

0 (X)

éo onjunto pontuado das omponentes onexas por ar os de

X

,

π

1 (X, ∗)

éogrupofundamental. Para

n ≥ 2

,

π

n

(X, ∗)

éumgrupoabeliano omoobservámosa ima. Estesgrupossãoosinvariantemaisimportantesemteoria

dehomotopia,egeralmentequaisqueroutrosinvariantes(gruposdehomologiapor

exemplo) podem serinterpretados em termos deles. Note-se quesempre queseja

válida aadjunção2.1 temos

[Σ

n

_{X, Y ]}

∗

= π

n

(Map

∗

(X, Y ))

. Estes grupos são ex-tremamentedifí eis de al ularemgeral. Atéàdatanãosão onhe idososgrupos

dehomotopia de

S

2

(ounarealidade dequalquer omplexo elular nito quenão

sejaaesféri o

14

).

É larodadeniçãodamultipli açãonaProposição3.46quea omposição om

umaapli ação

g : (Y, ∗) → (Z, ∗)

determinaumhomomorsmodegrupos

[ΣX, Y ]

∗

g

∗

→ [ΣX, Z]

∗

,

eque

Σf : ΣX → ΣY

13

Note-sequeseassumirmosaadjunção2.1,temos

[ΣX, Y ] = π

1 (Map

∗

(X, Y ))

. 14