EG → BG para designar um brado ∞ universal.

Oseguinteteoremadáum ritériomuitoútilparaqueumbradoprin ipalseja

n

-universal.

Teorema 8.33. Um brado prin ipa l

ξ = {p : E → B, G}

n

-universal sse

πk(E) = 0

paratodo o

k ≤ n

Proof. Seja

ξ = {p : E → B, G}

um brado om

πk(E) = 0

para

k ≤ n

. Vejamos que

ξ

n

-universal. Seja

X

um omplexo elulardedimensão

≤ n

η

G

-brado

prin ipal sobre

X

. Pelo Corolário 8.28, dar um morsmo de brados prin ipais

ξ → η

equivale adaruma se çãode

η[E]

. Como

πk(E) = 0

para

k ≤ n

X

tem dimensão

≤ n

, não há obstruçõesà existên iade uma se ção. Istomostra que a

apli ação(38)

Tξ: [X, B] → KG(X)

ésobreje tiva. Para verqueéinje tiva,sejam

f, g : X → B

apli ações ontínuas,

η0

= f∗(ξ)

η1

= g

∗_(ξ)

, e

ϕ : η0

→ η1

um isomorsmo. Consideremos obrado sobre

X × [0, 1]

η = f∗(ξ) × [0, 1] = π∗(f∗(ξ))

onde

π : X × [0, 1] → X

designa aproje ção. Sendo

F : η0

→ ξ

G : η1

→ ξ

as apli açõesdebradosque obrem

f

g

respe tivamente,temos ummorsmo:

f∗_{(ξ) × {0, 1}}

F

G◦ϕ−1

// ξ

p

X × {0, 1}

f

g

// B

que,peloCorolário8.28 orrespondeaumase ção

s

η[E]

sobre

X × {0, 1}

. Uma

vezque

dim X ≤ n

πk(E) = 0

para

k ≤ n

,nãoháqualquerobstruçãoaprolongar estase çãoa

X ×[0, 1]

. Esteprolongamento orrespondeaummorsmodebrados

η → ξ

que obreumahomotopiaentre

f

g

,oquemostraque

Tξ

éinje tiva.

Finalmentesuponhamosque

ξ = {p : E → B, G}

n

-universal. Tendoem onta

aidenti açãoentremorsmosese ções,vemosquetodasasse çõesdeumbrado

trivial

{π1: S

k_{× E → S}k_{, G, E}}

sobre

S

k

sãohomotópi aspara

k ≤ n

. Mas uma

tal se ção orrespondede formanaturalauma apli ação

S

k

_{→ E}

eportanto isto

a onte esse

πk(E) = 0

para

k ≤ n

De a ordo om o resultado anterior, para determinar um brado

n

-universal

basta,essen ialmente,a harumespaço

n

- onexo omumaa çãolivrede

G

. Antes

devermosalgunsexemplosvejamosalgumas onsequên iasdoTeoremaanterior.

Proof. Umavez que

P BG

é ontrá til,odiagrama

P BG

π

##G

G

∗

// EG

p

||yyyy

yyyy

BG

omutaamenosdehomotopia. Umavezqueaapli ação

p

éuma bração,apro-

priedadedolevantamentodashomotopiaspermitesubstituiraapli ação onstante

∗

poruma apli açãode brações

f : P BG → BG

. Pela su essãoexa ta longade homotopia,

f

induzumaequivalên iafra aentreas bras

ΩBG

G

Proposição 8.35. Seja

G

um grupo topológi o e

H < G

um subgrupo tal que

G → G/H

éumbrado

. Entãose

ξ = {EG → BG, G}

éumbrado

∞

-universal,

ξ[G/H] = {EG → EG/H, H}

éum brado

∞

-universal. Em parti ularhá umasu essão de braçãonatural

G/H → BH → BG.

Proof. Exer í io.

Exemplo 8.36 (O brado universal omgrupo

O(k)

GL(k)

) . Seja

Vk,n

avar- iedadede Stiefel dos

k

-referen iaisortonormaisem

R

n

. Assim,

Vk,n= {(v1, . . . , vk) ∈ (Rn)k: vi· vj

= 0

para

i 6= j, kvik = 1}.

Ogrupoortogonal

O(n)

agetransitivamenteem

Vk,n

,esendo

{ei}

abase anóni a de

R

n

,ogrupodeisotropiade

(e1, . . . , ek) ∈ Vk,n

éosubgrupo

O(n − k) ⊂ O(n)

omin lusãodeterminadapelain lusãode

R

n−k_⊂

Rn

nasúltimas oordenadas. Temosportantoumabije ção ontínua

O(n)/O(k) → Vk,n

queéne essariamenteumhomeomorsmo. Háumaa çãonaturalde

O(k)

Vk,n

orrespondendoàs mudançasde baseno

k

-planodeterminadopor umreferen ial,

que é laramente livre. Não é difí il ver (exer í io) que há uma fatia para esta

a ção 71 elogo

Vk,n→ Gk,n

def

= Vk,n/O(k)

éum

O(k)

-brado prin ipal. Oespaço

Gk,n

hama-sea variedade de Grassmann dos

k

-planosem

R

n

Note-sequepara

k = 1

,temos

V1,n= S

n−1

O(1) = Z/2

G1,n= RP

n−1

Assu essõesexa taslongasdasbrações

O(n) → O(n + 1) → V1,n+1= Sn

mostramqueas in lusões

O(n) → O(n + 1)

G → G/H

éumbradosseaa çãode

H

G

portransla çãoàesquerdaadmiteumafatia. Porexemplo,se

G

éumgrupodeLie,esta ondiçãoéequivalentea

H

serumsubgrupofe hado -oqueésempreuma ondiçãone essária.

são

n − 1

-equivalên ias. Con lui-se que

O(n − k) → O(n)

é uma

(n − k − 1)

equivalên iaeportanto,que

Vk,n= O(n)/O(n − k)

(n − k − 1)

- onexo. DoTeorema8.33 on lui-seque

Vk,n+k+1→ Gk,n+k+1

éum

O(k)

-brado

n

-universal. Tomandoolimitequando

n → ∞

obtemoso

O(k)

bradouniversal

Vk,∞→ Gk,∞

dos

k

-referen iaisortonormadosem

R

∞

sobre oespaçodos

k

-planosem

R

∞

. Ou

seja, omanotaçãoa ima, temos

EO(k) = Vk,∞

BO(k) = Gk,∞.

OExemplo8.26sugerequenãoháqualquerdiferençaentre lassi açãodebra-

dos omgrupoestrutural

O(k)

GL(k)

eesseédefa too aso. Podemosrepetir

todaa onstruçãoa imausandoreferen iaisem vez dereferen iaisortonormados.

Sendo

Vk,n

⊂ R

nk

o espaço dos

k

-referen iais em

R

n

GL(k)

age livremente em

Vk,n

om quo iente

Gk,n

. É fá il ver dire tamente que esta a ção admite uma fatiaem adaponto(estamostambémnas ondiçõesdoTeorema8.11)eportanto

oTeorema8.33garanteque

Vk,∞→ Gk,∞

éo

GL(k)

-bradouniversal. Assim,

BGL(k) ≃ BO(k).

Alternativamente,podíamosdeduzir aequivalên iada Proposição8.35 edofa to

GL(k)/O(k)

ser ontrá til.

Note-seque o brado om bra

R

k

asso iadoa estes bradosuniversais éiso-

morfoaobradotautológi oquetemporbrasobre

S ∈ Gk,∞

oprópriosubespaço ve torial

S ⊂ R

inf ty

equeportanto estebradoéobradove torial universalno

sentidoóbvio.

O aso parti ular

k = 1

do exemplo anterior mere e um destaque parti ular.

Umbradove torial om bra

R

hama-se umbrado linha real. De a ordo om

o exemplo anterior, o espaço lassi ante para os brados linha reais é

G1,∞

≃

RP∞

_{≃ K(Z/2, 1)}

. Atendendo ao Teorema 7.7 dar um brado linha real sobre

X

equivale a dar uma lasse de ohomologia

x ∈ H

1_{(X; Z/2)}

, nomeadamente o

pullba kdogeradorde

H

1_(RP∞_{; Z/2)}

pela lassedehomotopia

f : X → K(Z/2, 1)

que lassi aobradolinha emquestão. Esta lasse hama-sea lasse de Stiefel-

Whitney dobradolinhareal

ξ

enota-se

w1(ξ)

. Temosportanto oseguinteresul- tado.

Teorema 8.37. Seja

X

um omplexo elular. Aapli ação

Nota 8.38. Éum orolário doTeoremade Peter-Weyl[BtD℄ ,quequalquer grupo

de Lie ompa to

K

admite uma representação el de dimensão nita. Equivalen-

temente,existe umhomomorsmo inje tivo

K → O(n)

paraalgum

n

, querealiza

K

omo um subgrupofe hado deum grupoortogonal. A

Proposi ção8.35 garanteentão que

Vn,∞→ Vn,∞/K

éum

K

-bradouniversal, istoé,

BK = Vn,∞/K

Exer í io 8.39. Enun ie e demonstre resultados análogos aos do Exemplo 8.36

parabrados om grupoestrutural

U (n)

GL(n; C)

Sp(n)

GL(n; H)

Novamenteo asodogrupo

U (1)

GL(1; C)

mere edestaque. Umbrado om

estegrupodeestruturaebra

C

hama-seumbradodelinha omplexo . Oespaço

lassi antedestesbradosé

CP∞= K(Z, 2).

Sendo

a ∈ H

2_(CP∞_{; Z)}

umgerador,podemosasso iara ada bradolinha om-

plexo

ξ

, lassi adopor uma lassede homotopia

f : X → K(Z, 2)

uma lassede

ohomologia

c1(ξ)

def

= f∗(a)

hamadaa lasse de Chern de

ξ

enovamentetemososeguinteresultado.

Teorema 8.40. Seja

X

um omplexo elular. Aapli ação

c1: KU (1)(X) → H2(X; Z)

queasso iaaum bradolinha omplexo asua lassede Cherné umabije ção.

Exemplo8.41(Revestimentosregulares) . Seja

G

umgrupodis reto. Umbrado

prin ipal omgrupodeestrutura

G

eespaçototal onexoporar osépre isamente

o que se hama um revestimento regular

. Pela lassi açãodos revestimentos,

umrevestimentoregularsobreumespaçodebase onexoporar os

X

orresponde

aumsubgruponormalde

N ⊳ π1(X, ∗)

omquo iente

π1(X, ∗)/N ≃ G.

Umtal homomorsmosobreje tivo orrespondepre isamenteauma lassede on-

jugação(em

G

)dehomomorsmossobreje tivos

π1(X, ∗) → G.

Se o espaço total do brado prin ipal om grupo de estrutura

G

não é onexo,

es olhendo uma omponente onexa, obtemos um subgrupo de

H < G

que age

transitivamente nasbrasdessa omponente onexa,eéfá ilverquetais revesti-

mentos orrespondembiunivo amentea lassesde onjugaçãodehomomorsmos

π1(X, ∗) → G

omimagemumsubgrupo onjugadoa

H

. Assim,emgeral,obtemosaseguintere-

laçãoparaumespaço

X

onexoporar os(esemi-lo amentesimplesmente onexo):

[X, BG] ≃ Hom(π1(X, ∗), G)/

onjugação

.

Exer í io8.42. Mostrequese

X

é um omplexo elular

[X, K(G, 1)]∗= Hom(π1(X), G).

A onstruçãodeMilnor. Vamosagoradaraprimeira onstruçãogeraldeumes-

paço lassi anteparaumgrupotopológi o,quesedeveaJohnMilnor. Começamos

porre ordarqueajunção dedoisespaços

X

Y

éoquo iente

X ∗ Y = (X × [0, 1] × Y )/ ∼

onde

∼

éarelaçãodeequivalên iageradapor

(x, 0, y) ∼ (x′, 0, y)

(x, 1, y) ∼ (x, 1, y

′_).

Amaneiradepensar em

X ∗ Y

é omo"as ombinações onvexasdepontosde

X

Y

",eé ostume es rever

tx + (1 − t)y = [(x, t, y)].

No documento Teoria da Homotopia (páginas 152-156)

EG → BG para designar um brado ∞ universal.

n

ξ = {p : E → B, G}

n

πk(E) = 0

k ≤ n

ξ = {p : E → B, G}

πk(E) = 0

k ≤ n

ξ

n

X

≤ n

η

G

X

ξ → η

η[E]

πk(E) = 0

k ≤ n

X

≤ n

Tξ: [X, B] → KG(X)

f, g : X → B

η0

= f∗(ξ)

η1

= g

∗(ξ)

ϕ : η0

→ η1

X × [0, 1]

η = f∗(ξ) × [0, 1] = π∗(f∗(ξ))

π : X × [0, 1] → X

F : η0

→ ξ

G : η1

→ ξ

f

g

f∗(ξ) × {0, 1}



F

G◦ϕ−1

// ξ

p



X × {0, 1}

f

g

// B

s

η[E]

X × {0, 1}

dim X ≤ n

πk(E) = 0

k ≤ n

X ×[0, 1]

η → ξ

f

g

Tξ

ξ = {p : E → B, G}

n

{π1: S

k× E → Sk, G, E}

S

k

k ≤ n

S

k

→ E

πk(E) = 0

k ≤ n

n

n

G

P BG

P BG

π

EG → BG para designar um brado ∞ universal.

∗_(ξ)

f∗_{(ξ) × {0, 1}}

k_{× E → S}k_{, G, E}}

_{→ E}

n−k_⊂