Análise de resíduos em modelos de tempo de falha acelerado com efeito aleatório

Texto

(1)Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exata e da Terra Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática Aplicada e Estat´ıstica. Elisˆ angela da Silva Rodrigues. An´ alise de Res´ıduos em Modelos de Tempo de Falha Acelerado com Efeito Aleat´ orio. Natal, Abril de 2013.

(2) Elisângela da Silva Rodrigues. An´ alise de Res´ıduos em Modelos de Tempo de Falha Acelerado com Efeito Aleat´ orio. Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre. ´ Area de Concentra¸caõ: Estat´ıstica. Orientadora:. Prof . Dr . Dione Maria Valen¸ca a. a. Co-orientador:. Prof. Dr. Julio da Motta Singer. Natal, Abril de 2013. Probabilidade e.

(3) Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET. . . Rodrigues, Elisângela da Silva. Análise de resíduos em modelos de tempo de falha acelerado com efeito aleatório / Elisângela da Silva Rodrigues. -- Natal, 2013. 71 f. il.: Orientadora: Profa. Dra. Dione Maria Valença. Co-orientador: Prof. Dr. Julio da Motta Singer. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística. 1. Análise de sobrevivência – Dissertação. 2. Modelo de tempo de falha acelerado – Dissertação. 3. Imputação – Dissertação. 4. Dados correlacionados – Dissertação. 5. Análise de resíduos – Dissertação. I. Valença, Dione Maria. II. Singer, Julio da Motta. III.Título. RN/UF/BSE-CCET. CDU: 519.24:61.

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(5) Dedicat´ oria Aos meus pais L´ ucia de F. da S. Rodrigues e Luiz Rodrigues da Silva pela forma¸caõ de caráter que eles me proporcionaram, pois sem eles não teria alcan¸cado meus objetivos pessoais e profissionais. Aos meus irmãos Eriverton e Elidiana, pela for¸ca, apoio e incentivo. Aos meus sobrinhos, Thawan Lucas, Leonardo e Kevin, como forma de incentivo ao longo da vida. Ao meu noivo Josemir R. de Almeida, pelo companheirismo e paciência de estar ao meu lado todos esses anos. Aos meus avós paternos, in memoriam, João Rodrigues da Silva e Regina Barbosa do Carmo. Aos meus avós maternos Francisco Rodrigues da Silva (in memoriam) e Maria Barbosa Filha. Aos meus padrinhos Ma de Lourdes e Josafá pelas ora¸cões e o apoio durante está jornada. ` minha amiga e cunhada Mercicleide Ramos, pelas conversas de incentivo e conA fian¸ca a mim transmitidas.. i.

(6) Agradecimentos A Deus por me conceder sa´ ude, coragem, perseveran¸ca e est´ımulo para desenvolver este trabalho. Aos meus pais, irmãos e sobrinhos, pelo amor, apoio e compreensão a mim dedicados durante essa jornada de estudo e trabalho. Ao meu noivo, pelo companheirismo, paciência, dedica¸cão e contribui¸cão em mais uma conquista juntos. ` professora Dione Maria Valen¸ca, pelos seus ensinamentos, orienta¸caõ, dedica¸cão e A principalmente, por ter confiado e acreditado em mim para a realiza¸cão deste trabalho. Ao professor Julio da Motta Singer, pela co-orienta¸caõ e contribui¸caõ significativa para o desenvolvimento deste trabalho. ` banca examinadora pelo aceite do convite em avaliar este trabalho de disserta¸cão, A bem como pelas sugestões e cr´ıticas que serão de grande valia para o aperfei¸coamento do mesmo. Aos professores do PPGMAE, especialmente aos professores, Bernardo, Carla, Débora, e Nir pelos seus ensinamentos e os professores Pledson e André Pinho pelo incentivo. A todos os colegas do PPGMAE, não só da minha turma (Alex, Aldemir, Ivanildo, Josemir, Jucimeire, Márcio e Rafaela), mas também das turmas anteriores e das turmas atuais. Em fim, a todos que, de forma direta ou indireta torcem pelo meu sucesso profissional. ` Capes pelo apoio financeiro concedido durante todo o per´ıodo do curso. A.

(7) ”Os ensinamentos das pessoas sábias são uma fonte de vida.” Provérbios 13.14.

(8) Resumo. Apresentamos técnicas de análise de res´ıduos para avaliar o ajuste de dados de sobrevivência correlacionados por meio de Modelos de Tempo de Falha Acelerado (MTFA) com efeitos aleatórios. Propomos um procedimento de imputa¸caõ para as informa¸co˜es censuradas e consideramos três tipos de res´ıduos para avaliar diferentes caracter´ısticas do modelo. Ilustramos as propostas com a análise do ajuste de um MTFA com efeito aleatório a um conjunto de dados reais envolvendo tempos entre falhas de equipamentos de po¸cos de petróleo.. Palavras-chave: Modelo de tempo de falha acelerado; Dados correlacionados; Imputa¸caõ de dados; Análise de res´ıduos.. iv.

(9) Abstract. We present residual analysis techniques to assess the fit of correlated survival data by Accelerated Failure Time Models (AFTM) with random effects. We propose an imputation procedure for censored observations and consider three types of residuals to evaluate different model characteristics. We illustrate the proposal with the analysis of AFTM with random effects to a real data set involving times between failures of oil well equipment.. Keywords: Accelerated failure time Model; Correlated data; Imputation; Residuals analysis.. v.

(10) Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao. 1. 2 An´ alise de Sobrevivˆ encia 2.1 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . 2.2 Modelos de Regressão . . . . . . . . . . . 2.2.1 MTFA para Dados Independentes 2.2.2 Dados Correlacionados . . . . . .. . . . .. 4 4 7 8 9. 3 Estima¸ c˜ ao, Predi¸ c˜ ao e Diagn´ ostico em Modelos Mistos 3.1 Modelo Linear Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Estima¸cão e Predi¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Análise de Res´ıduos para Modelos Mistos . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 10 11 14. 4 Modelo de Tempo de Falha Acelerado Weibull com Efeitos Aleat´ orios 4.1 Especifica¸cão do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Acomoda¸caõ de Observa¸cões Censuradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Imputa¸caõ dos Dados Censurados . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Simula¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 16 17 18 21. 5 Aplica¸ c˜ ao 5.1 Especifica¸cão do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Análise de Res´ıduos para o Modelo Ajustado . . . . . . . . . . . . . . .. 30 30 31. 6 Considera¸ co ˜es finais 6.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Pesquisas Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 36 37. A Esperan¸ ca condicional da distribui¸c˜ ao Weibull com covari´ aveis. 38. B Aspectos Computacionais. 41 vi. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

(11) Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao A extra¸cão de flu´ıdos em po¸cos de petróleo pode ocorrer de forma natural, por meio de po¸cos surgentes, ou artificial, utilizando métodos de eleva¸cão como Bombeio Mecânico (BM) ou Bombeio por Cavidades Progressivas [ver Thomas (2001), por exemplo]. No Brasil, essas técnicas são as mais empregadas na extra¸cão desse tipo de o´leo e são exploradas pela Petrobras na Unidade de Negócio de Explora¸caõ e Produ¸caõ do Rio Grande do Norte e Ceará (Bacia Potiguar). Nesse contexto, consideramos um estudo retrospectivo sobre tempos entre falhas em equipamentos de sub-superf´ıcie de uma amostra de po¸cos de petróleo, no per´ıodo de 2000 a 2006. O principal interesse do estudo é identificar po¸cos que necessitem manuten¸cão preventiva com base em suas caracter´ısticas (produ¸caõ, método de eleva¸cão, profundidade da bomba, idade do po¸co, região, etc.). Neste estudo foram registradas diversos tempos entre falhas para cada unidade amostral (po¸co-coluna). Por essa razão, espera-se uma dependência entre as observa¸cões referentes ao mesmo po¸co. Devido a` presen¸ca de censura nos dados, técnicas usuais de análise de regressão linear e modelos lineares mistos não podem ser utilizadas, sendo necessário o uso de técnicas de Análise de Sobrevivência. Uma das causas de censuras é o fato de alguns po¸cos terem sido desativados durante o per´ıodo de estudo e por isso deixaram de ser acompanhados. Uma segunda causa é pelo fato de, após uma manuten¸caõ preventiva, alguns po¸cos não voltaram a falhar até ao final do estudo. Alguns autores estudaram esses dados utilizando a modelagem estat´ıstica adequada para os tempos de funcionamento dos po¸cos até a ocorrência das falhas [ver Dantas et al. (2010), Santos e Valen¸ca (2012) e Carvalho et al. (2012)]. Em particular, o Modelo de Tempo de Falha Acelerado (MTFA) com efeitos aleatórios foi utilizado para identificar fatores que podem ser utilizados para prever o risco de falha dos po¸cos. Assim como nos modelos estat´ısticos usuais, as suposi¸cões do modelo ajustado pre1.

(12) 2 cisam ser verificadas para que os resultados obtidos sejam válidos. Para isso, pode-se utilizar técnicas de diagnóstico, como análise de res´ıduos. No entanto, a análise de res´ıduos em modelos de tempo de falha acelerado com efeitos aleatórios na presen¸ca de censura corresponde a uma abordagem ainda emergente na literatura. Técnicas gráficas são comumente utilizadas para verificar as suposi¸cões do modelo, detectar outliers e poss´ıveis observa¸co˜es influentes. Em particular, res´ıduos podem ser utilizados com essa finalidade. Cox e Snell (1968) apresentam uma defini¸caõ geral para res´ıduos oriundos do ajuste de modelos com uma u ńica fonte de varia¸caõ. Várias propostas de medidas e testes para avaliar o ajuste de modelos de regressão linear simples podem ser encontradas em Cook (1977) e Draper e Smith (1998). Paula (2012) apresenta um resumo de técnicas de diagnóstico utilizadas no caso de modelos lineares e modelos lineares generalizados. Nobre (2004) avalia métodos de diagnóstico para modelos lineares mistos. No modelo linear misto, existe mais de uma fonte de varia¸caõ, e consequentemente mais de um tipo de res´ıduo; portanto, a defini¸cão geral de res´ıduo não pode ser utilizada. Autores como Hilden-Minton (1995), Verbeke e Lesaffre (1996a) ou Pinheiro e Bates (2000), por exemplo, estendem tais ideias para definir três tipos de res´ıduos que acomodam essa fonte adicional de variabilidade. Um resumo destes resultados pode ser encontrado em Nobre e Singer (2007). Singer et al. (2013) revisam alguns resultados sobre a análise de dados longitudinais ou mais geralmente de dados com medidas repetidas por meio de modelos lineares mistos e discutem também diferentes métodos de diagnóstico, incluindo res´ıduos, influência local e global. Diversos tipos de res´ıduos têm sido propostos na literatura para avaliar o ajuste dos modelos de análise de sobrevivência paramétricos e semi-paramétricos (Regressão de Cox). Para detalhes, veja por exemplo, Lawless (2003) e Collett (1994). O objetivo principal deste trabalho é propor técnicas de análise de res´ıduos para avaliar o ajuste de MTFA com efeitos aleatórios em dados de sobrevivência correlacionados com censura aleatória, visando sua utiliza¸cão prática. Outro objetivo é aplicar as propostas de ajuste e de análise de res´ıduos a um conjunto de dados reais envolvendo tempos entre falhas de equipamentos de subsuperf´ıcie de po¸cos de petróleo. No Cap´ıtulo 2 apresentamos conceitos básicos de análise de sobrevivência e modelos de regressão para dados censurados. No Cap´ıtulo 3 descrevemos métodos utilizados na estima¸caõ, predi¸caõ e análise de res´ıduos em modelos mistos. No Cap´ıtulo 4 são discutidos os métodos apresentados no Cap´ıtulo 3 para avaliar MTFA com efeitos aleatórios, bem como um procedimento para a imputa¸caõ das observa¸cões censuradas. Uma aplica¸caõ a dados.

(13) 3 reais está apresentada no Cap´ıtulo 5. No Cap´ıtulo 6 estão as conclusões e poss´ıveis temas para pesquisas futuras..

(14) Cap´ıtulo 2 An´ alise de Sobrevivˆ encia A Análise de Sobrevivência tem como finalidade modelar o tempo até a ocorrência de um determinado evento de interesse, chamado de tempo de vida, tempo de sobrevivência ou tempo até a falha. Dados de sobrevivência são comuns em diferentes a´reas do conhecimento, como, Sociologia, Economia, Biologia, Medicina, Engenharia, etc. Lawless (2003), Kalbfleisch e Prentice (2002) e Collett (1994) são excelentes fontes para detalhes.. 2.1. Conceitos Fundamentais. Seja T uma variável aleatória cont´ınua e positiva com fun¸cão de distribui¸cão acumulada F . Na modelagem de dados de sobrevivência existem duas fun¸cões que estão diretamente relacionadas com a distribui¸caõ de T , a fun¸caõ de sobrevivência e a fun¸caõ de risco, sendo esta u ´ltima também conhecida como taxa de falha. A fun¸caõ de sobrevivência representa a probabilidade de uma unidade de um item ou indiv´ıduo sobreviver a um determinado tempo t e pode ser representada por: S(t) = P (T > t) =. Z. ∞. f (t)d(t) = 1 − F (t), t > 0. t. S(t) é uma fun¸caõ monótona decrescente e cont´ınua com S(0) = 1 e S(∞) = limt→∞ S(t) = 0. Em alguns contextos envolvendo sistemas ou vida u ´til de itens fabricados, S(t) é denominada de fun¸cão de confiabilidade. A fun¸caõ de risco especifica a taxa instantânea de falha no tempo t condicionada ao conhecimento de que o item não falhou antes do instante t, ou seja P (t < T ≤ t + ∆t|T > t) . ∆t→0 ∆t. h(t) = lim. 4.

(15) 2.1 Conceitos Fundamentais. 5. Se esta fun¸caõ for crescente, constante ou decrescente interpretemos respectivamente que a taxa de falha aumenta com o tempo (mostrando um efeito gradual do envelhecimento), não se altera com o passar do tempo ou diminui a` medida que o tempo passa, (Colosimo e Giolo, 2006). Outra fun¸caõ importante em análise de sobrevivência é a fun¸cão de risco acumulada dada por: H(t) =. Z. t. h(u)d(u). 0. Existem algumas rela¸co˜es matemáticas importantes entre as fun¸co˜es definidas anteriormente, dadas a seguir: h(t) =. H(t) =. f (t) d = − (log S(t)), S(T ) dt. Z. t. h(u)d(u) = − log S(t), 0. S(t) = exp{−H(t)} = exp{−. Z. t. h(u)d(u)}. 0. A esperan¸ca condicional de uma variável aleatória T pode ser expressa em termos da fun¸cão de sobrevivência. Para isso consideramos inicialmente a fun¸cão de distribui¸caõ condicional expressa como: P (c < T ≤ t) = P (T ≤ t|T > c) = P (T > c). Rt c. f (u)du , S(c). t > c.. (2.1). Derivando (2.1) em rela¸caõ a u, obtêm-se a densidade condicional de T dado T > c como: f (t|T > c) =. f (t) , S(c). t > c.. (2.2). A correspondente esperan¸ca condicional de T dado T > c é: E(T |T > c) =. Z. ∞. tf (t|T > c)dt = c. R∞ c. tf (t)dt . S(c). (2.3). Existe na literatura uma série de modelos probabil´ısticos utilizados para a modelagem de dados de sobrevivência. Algumas distribui¸co˜es ocupam uma posi¸caõ central por causa de sua utilidade em muitos problemas práticos. A distribui¸caõ Weibull, por exemplo, é bastante utilizada, pois apresenta uma grande variedade de formas..

(16) 2.1 Conceitos Fundamentais. 6. Sua taxa de falha pode ser decrescente, constante ou crescente conforme o parâmetro de forma, o que faz com que se torne bastante u ´til para modelar tempos de falha de equipamentos (Ho e Silva, 2005). Nesse contexto, apresentamos suas principais caracter´ısticas. Um modelo probabil´ıstico Weibull, aqui denotado T ∼ W eibull(α, γ), com α > 0 e γ > 0, apresenta fun¸caõ densidade, fun¸caõ de sobrevivência e fun¸cão de risco dadas, respectivamente, por: γ f (t) = α. γ−1 γ t t I(0,∞) (t), exp − α α. γ t S(t) = exp − I(0,∞) (t), α γ h(t) = α. γ−1 t I(0,∞) (t). α. A fun¸caõ de risco é monótona crescente se γ > 1, decrescente se γ < 1 e constante se γ = 1. A distribui¸caõ exponencial é um caso particular da distribui¸caõ Weibull quando γ = 1. A média e a variância da distribui¸cão Weibull são, respectivamente, E(T ) = αΓ[1 + (1/γ)] e V ar(T ) = α2 Γ[1 + (2/γ)] − Γ[1 + (1/γ)]2 .. Uma distribui¸caõ diretamente relacionada com a distribui¸cão Weibull é a distribui¸caõ Valor Extremo, também conhecida como distribui¸caõ Gumbel (Colosimo e Giolo, 2006). As respectivas fun¸co˜es densidade, de sobrevivência e de risco de uma variável aleatória Y com distribui¸cão Valor Extremo, denotada Y ∼ V E(µ, σ), em que Y e µ ∈ ℜ e σ > 0 são, respectivamente, 1 f (y) = exp σ. . y−µ σ . . S(y) = exp − exp 1 h(y) = exp σ. . − exp . . y−µ σ. y−µ σ. . y−µ σ. . . I(−∞,∞) (y),. I(−∞,∞) (y),. I(−∞,∞) (y)..

(17) 2.2 Modelos de Regressão. 7. A média e a variância da distribui¸cão de Y ∼ V E(µ, σ) são, respectivamente, E(Y ) = µ − υσ e V (Y ) = σ 2 π 2 /6, com υ = 0, 5772 (constante de Euler). Se µ = 0 e σ = 1 a distribui¸caõ de Y é chamada de distribui¸caõ Valor Extremo Padrão. Além disso, pode se mostrar que se T ∼ W eibull(α, γ) então Y = log T ∼ V E(µ, σ), com µ = ln α e σ = γ −1 . Em geral, dados de sobrevivência envolvem a presen¸ca de censura. A ocorrência de uma censura pode informar que o tempo até a falha foi superior ao tempo observado no estudo (censura a` direita), o tempo registrado é maior que o tempo de falha (censura a` esquerda) ou que o tempo de falha ocorreu em um certo intervalo de tempo (censura intervalar). Dados censurados não devem ser descartados, pois, mesmo contendo observa¸cões incompletas, as censuras carregam informa¸caõ sobre o tempo de vida da unidade amostral considerada. Desconsiderar as censuras na análise pode conduzir a conclusões enviesadas (Colosimo e Giolo, 2006). Observa¸co˜es incompletas ocorrem por diversas razões. A perda de acompanhamento de um paciente no decorrer de um estudo cl´ınico, a não ocorrência do evento de interesse até o final de um experimento ou a morte de um indiv´ıduo devido a uma causa diferente da estudada são exemplos bastante comuns. As diferentes causas de dados censurados podem ser utilizadas para a proposta de diferentes mecanismos de censura [ver Lawless (2003), por exemplo]. Consideramos em nosso estudo apenas censuras que podem ser representadas por variáveis aleatórias independentes do tempo de vida. Quando a distribui¸caõ da censura não depende de parâmetros de interesse, ela é denominada censura não informativa.. 2.2. Modelos de Regress˜ ao. Modelos de regressão têm sido cada vez mais utilizados para análise de sobrevivência devido a existência, na prática, de covariáveis relacionadas aos tempos de falha. Em nosso exemplo, o tempo até a ocorrência de falha dos po¸cos-colunas podem depender da profundidade da bomba ou do método de eleva¸caõ. Essas covariáveis podem explicar parte da heterogeneidade dos tempos de falhas. Em análise de sobrevivência existem duas classes importantes de modelos de regressão propostas na literatura: os modelos semi-paramétricos e os paramétricos. Os modelos semi-paramétricos especificam a dependência entre a fun¸caõ risco h(t) e as variáveis explicativas (x) parametricamente, mas deixam a distribui¸caõ real arbitrária (Lawless, 2003). O modelo de regressão semi-paramétrico mais conhecido é o modelo de riscos proporcionais introduzido por Cox (1972a). Para detalhes e aplica¸cões, veja por exemplo, [Hosmer e Lemeshow (1999), Allison (2010) e Klein e Moeschberger.

(18) 2.2 Modelos de Regressão. 8. (2003)]. Neste trabalho abordamos apenas os modelos de regressão paramétricos que são considerados mais eficientes, porém menos flex´ıveis.. 2.2.1. MTFA para Dados Independentes. Quando os dados são independentes, uma classe de modelos bastante utilizada é a de Modelos de Tempo de Falha Acelerado, também conhecidos como modelos de posi¸caõ-escala. Para detalhes ver, por exemplo, Collett (1994), Klein e Moeschberger (2003) e Kalbfleisch e Prentice (2002). Sendo x = (1, x1 , . . . , xp )⊤ um vetor de covariáveis, consideremos o modelo, log(T ) = µ(x) + σǫ, em que log(T ) se caracteriza por ter parâmetro de posi¸caõ µ(x), dependendo do vetor de covariáveis x e um parâmetro de escala, σ > 0, associado a um erro aleatório ǫ cuja distribui¸caõ não depende de x e determina a forma da distribui¸cão de log(T ). As distribui¸cões que pertencem a essa classe de modelos têm fun¸cão densidade de probabilidade e fun¸cão de sobrevivência dadas, respectivamente, por: 1 f (y; µ, σ) = g σ S(y; µ, σ) = g. . . y − µ(x) σ. y − µ(x) σ. . . , I(−∞,∞) (y),. , I(−∞,∞) (y).. Em geral, consideramos µ(x) = x⊤ β, em que β = (β0 , · · · , βp )⊤ é o vetor de parâmetros desconhecidos. O MTFA resultante é expresso na forma: log(T ) = x⊤ β + σǫ.. (2.4). ´ importante observar que esse modelo é log-linear relativamente a T , tendo como E caracter´ıstica um efeito multiplicativo do vetor de covariáveis x expresso na forma T = exp(µ(x)) exp(σǫ), na sua escala original, o que justifica o termo acelerado na sua denomina¸cão. A interpreta¸cão desse fato é que as covariáveis agem no sentido de acelerar ou desacelerar o tempo de falha. Um importante representante dessa classe de modelos é o modelo de regressão Weibull, obtido quando supomos uma distribui¸caõ Valor Extremo Padrão para ǫ. Nesse caso, log(T ) tem distribui¸caõ Valor Extremo e, consequentemente, T tem distribui¸cão Weibull. As rela¸cões entre os parâmetros dessas distribui¸cões são α(x) = exp(µ(x)) = exp(x⊤ β) e σ = γ −1 ..

(19) 2.2 Modelos de Regressão. 9. Para levar em conta o mecanismo de censura aleatória consideramos Ti e Ci variáveis independentes representando os tempos até a falha e até a censura da i-ésima unidade amostral, respectivamente. O que se observa para uma unidade amostral em estudo é, portanto, Ti∗ = min(Ti , Ci ). Definamos também δi = I(Ti ≤ Ci ), onde I representa a fun¸caõ indicadora e seja xi o vetor de covariáveis para a i-ésima unidade amostral. Uma amostra aleatória de tamanho n é representada por (Ti∗ , δi , xi ), para i = 1, · · · , n. Lawless (2003) apresenta mais detalhes sobre essa classe de modelos.. 2.2.2. Dados Correlacionados. Trabalhos sobre a análise de dados de sobrevivência correlacionados têm surgido com bastante frequência na literatura. Hourgaard (2000) apresenta uma ampla discussão sobre dados multivariados considerando dependência nos casos em que as unidades amostrais em estudo fazem parte de um mesmo tipo de agrupamento (natural ou artificial) ou quando o tempo de falha é observado mais de uma vez para a mesma unidade amostral (eventos recorrentes ou medidas repetidas). A análise de dados correlacionados está vinculada a` modelagem da estrutura de correla¸cão intraunidades amostrais. Com essa finalidade, vários autores propõem modelos que incluem um efeito aleatório para acomodar essa correla¸caõ. A inclusão de um efeito aleatório ao modelo (2.4) é estudada e avaliada do ponto de vista teórico e computacional em Bolfarine e Valen¸ca (2005), Lambert et al. (2004), Santos (2009), Carvalho (2010), Rondeau et al. (2012), por exemplo. No cap´ıtulo seguinte, faremos uma breve descri¸caõ de alguns métodos de estima¸cão dos parâmetros e da predi¸caõ dos efeitos aleatórios em modelos mistos, assim como, um método de diagnóstico para avaliar as suposi¸co˜es associadas..

(20) Cap´ıtulo 3 Estima¸c˜ ao, Predi¸c˜ ao e Diagn´ ostico em Modelos Mistos 3.1. Modelo Linear Misto. O modelo linear misto pode ser expresso como: Y i = X i β + Z i b i + ei ,. (3.1). em que Y i representa um vetor (ni × 1) de respostas da i-ésima unidade amostral, i = 1, 2, ..., k, X i é uma matriz (ni ×p) de especifica¸caõ (conhecida e de posto completo) dos efeitos fixos, β = (β0 , · · · , βp−1 )⊤ é um vetor com dimensão (p × 1) de parâmetros (efeitos fixos) desconhecidos, Z i é uma matriz (ni × q) de especifica¸caõ (conhecida e de posto completo) dos efeitos aleatórios, bi é um vetor (q × 1) de variáveis latentes não correlacionadas, comumente denominadas efeitos aleatórios, com médias zero e variâncias iguais (σb2 ), que refletem o comportamento individual da i-ésima unidade amostral, ei é um vetor (ni × 1) de erros aleatórios independentes, com médias zero, variâncias iguais (σe2 ) e não correlacionados com os bi . O modelo (3.1) pode ser representado, considerando um u ńico efeito aleatório, para q = 1, por: Y i = X i β + Z i bi + e i ,. (3.2). em que Z i = 1ni e bi um escalar. Em (3.2), os efeitos fixos (β) são usados para modelar o valor esperado da variável resposta enquanto que os efeitos aleatórios (bi ) são utilizados para modelar sua estrutura de covariâncias, em que a V ar(Yij ) = σb2 + σe2 , sendo σb2 e σe2 conhecidas como 10.

(21) 3.2 Estima¸caõ e Predi¸caõ. 11. componentes de variâncias. Este modelo tem como pressuposto a independência condicional entre as observa¸co˜es da i-ésima unidade amostral dado o efeito aleatório bi ; é chamado de modelo de independência condicional homocedástico e pode ser reescrito na forma matricial como: Y = Xβ + Zb + e,. (3.3). ⊤ ⊤ em que Y = (Y ⊤ é um vetor (n × 1) com Yi = (Yi1 , . . . , Yini )⊤ e n = 1 ,...,Y k ) Pk ⊤ ⊤ ⊤ i=1 ni contendo as respostas das k unidades amostrais. X = (X 1 , . . . , X k ) com Xi = (xi1 , . . . , xini )⊤ é uma matriz (n × p) de covariáveis, Z = ⊕ki=1 1ni uma matriz (n×k) de especifica¸caõ dos efeitos aleatórios, em que 1ni , i = 1, . . . , k, denota um vetor (ni × 1) com todos os elementos iguais a 1, b = (b1 , b2 , . . . , bk )⊤ é um vetor (k × 1) não observável de efeitos aleatórios com E(b) = 0 e V ar(b) = σb2 Ik , em que Ik é a matriz identidade de ordem k, e e, um vetor (n × 1) de erros aleatórios não correlacionado com b, com E(e) = 0, V ar(e) = σe2 In . Com base na defini¸caõ desse modelo, temos:. E(Y) = Xβ,. (3.4). V ar(Y) = V = σb2 ZZ⊤ + σe2 In , Cov(b, Y⊤ ) = C = σb2 Z⊤ . Mais detalhes sobre modelos lineares mistos podem ser encontrados em Searle et al. (1992) e Demidenko (2004), entre outros.. 3.2. Estima¸ c˜ ao e Predi¸ c˜ ao. Alguns métodos de estima¸caõ dos parâmetros do modelo encontram-se dispon´ıveis na literatura, dentre eles, podemos destacar, Máxima Verossimilhan¸ca (MV), Máxima Verossimilhan¸ca Restrita (MVR) e métodos Bayesianos [ver Robinson (1991) e Searle et al. (1992), por exemplo]. Os procedimentos mais utilizados para a obten¸cão do estimador dos parâmetros de efeitos fixos e do preditor dos efeitos aleatórios são o melhor estimador linear não enviesado - BLUE (Best Linear Unbiased Estimator ) e o melhor preditor linear não enviesado - BLUP (Best Linear Unbiased Predictor ). Os principais resultados envolvendo os estimadores e preditores BLUE e BLUP obtidos sob o modelo (3.3) serão apresentados a seguir, dada sua importância para as técnicas de diagnóstico..

(22) 3.2 Estima¸caõ e Predi¸caõ. 12. O BLUE e o BLUP de β e b são denotados por βˆ e ˜ b e apresenta as seguintes propriedades: • βˆ e ˜ b são fun¸cões lineares de Y; • βˆ e ˜ b são não enviesados para β e b, (E(βˆ − β) = 0 e E(˜ b − b) = 0). • βˆ e ˜ b são melhores, no sentido em que minimizam a variância amostral dentro da classe dos estimadores e preditores lineares não enviesados. O BLUE para β e o BLUP para b podem ser estimados e preditos simultaneamente por meio das equa¸co˜es de Henderson, ". X ⊤ Σ−1 X X ⊤ Σ−1 Z Z ⊤ Σ−1 X Z ⊤ Σ−1 Z + D −1. #". βˆ ˜ b. #. =. ". X ⊤ Σ−1 Y Z ⊤ Σ−1 Y. #. ,. (3.5). com Σ = σe2 In e D = σb2 Ik . Podemos ainda simplificar essas equa¸co˜es, na seguinte forma: ". X ⊤X X ⊤Z Z ⊤ X Z ⊤ Z + σe2 /σb2 Ik. #". βˆ ˜ b. #. =. ". X ⊤Y Z ⊤Y. #. .. (3.6). Pode-se mostrar que, condicionado ao conhecimento de V e C, o BLUE para β e o BLUP para b são dados, respectivamente, por: ˆ = (X⊤ V −1 X)−1 X ⊤ V −1 Y β. ˜ = CV −1 (Y − X β). ˆ e b. (3.7). Para modelos lineares mistos, a obten¸caõ do BLUE e do BLUP, sob o enfoque clássico como bayesiano, propriedades e aplica¸co˜es podem ser obtidas em Henderson (1975), Robinson (1991) ou Doganaksoy e Balakrishnan (1997), por exemplo. Na prática, os componentes de variância σb2 e σe2 são desconhecidos. Logo, é razoável utilizar o EBLUE (melhor estimador linear não enviesado emp´ırico) e o EBLUP (melhor preditor linear n˜ ao enviesado emp´ırico), em que σb2 e σe2 são substitu´ıdos por estimativas, em (3.6). Jiang e Verbeke (1998) apresentam propriedades importantes de métodos de estima¸caõ e predi¸caõ considerando o EBLUE e o EBLUP. Com rela¸caõ a estima¸cão dos componentes de variância, existem vários métodos dispon´ıveis na literatura, dentre os quais podemos destacar: Máxima Verossimilhan¸ca (MV), Máxima Verossimilhan¸ca Restrita (MVR), o Método da Análise de Variância, os Métodos de Henderson, MINQUE (minimum norm quadratic unbiased estimator ) e MIVQUE (minimum variance quadratic unbiased estimator ). Para mais detalhes, ver, Searle et al. (1992), por exemplo..

(23) 3.2 Estima¸caõ e Predi¸caõ. 13. Considerando que a estima¸caõ dos componentes de variância é um tópico muito extenso e complexo faremos um breve levantamento do procedimento para a estima¸caõ dos componentes de variâncias do modelo (3.3) por meio do MINQUE e MIVQUE. Rao (1971a) e Rao (1971b) descrevem métodos não paramétricos para estimar componentes de variância como o MINQUE, que é derivado de modo que o estimador minimize a norma euclidiana da matriz n´ ucleo, que seja uma forma quadrática das observa¸cões e que seja não enviesado e o MIVQUE, que tem a propriedade de ser não enviesado e de variância m´ınima. O MINQUE de (σe2 , σb2 ) do modelo (3.3) é obtido por meio das expressões:. σe2 = (u0 − s10 σb2 )/s00 σb2 = (s00 u1 − s10 u0 )/(s00 s11 − s210 ). (3.8). em que s00 = SESQ(P0 ), s01 = s10 = SESQ(P0 Z), s11 = SESQ(Z ⊤ P0 Z), u0 = SESQ(P0 Y ) e u1 = SESQ(Z ⊤ P0 Y ), com SESQ representando a soma dos quadrados dos elementos das matrizes correspondentes e P0 = V0 −1 − V0 −1 X(X ⊤ V0 −1 X)−1 X ⊤ V0 −1 ,. (3.9). sendo V0 uma estimativa de V , expressa em (3.4). O processo de obten¸caõ do MINQUE inicia-se com uma estimativa de V 0 a priori; como exemplo, os componentes de variâncias em V , obtendo V 0 . Em seguida adota-se um processo iterativo, que consiste em usar as estimativas MINQUE obtidas em cada itera¸cão como valores a priori na etapa seguinte, até que a diferen¸ca entre duas solu¸cões consecutivas seja menor que ǫ > 0, estipulado arbitrariamente. O valor obtido na convergência é a solu¸cão de 3.8 e é denominado de estimador quadrático não enviesado de norma m´ınima iterativo (I-MINQUE). Além disso, Brown (1976) mostra que sem suposi¸cão de normalidade sobre a variável resposta Y , as solu¸cões I-MINQUE têm propriedades de normalidade para grandes amostras. Para mais detalhes, ver Searle et al. (1992), por exemplo..

(24) 3.3 Análise de Res´ıduos para Modelos Mistos. 3.3. 14. An´ alise de Res´ıduos para Modelos Mistos. Métodos de diagnóstico compreendem técnicas cujo objetivo é investigar a plausibilidade e robustez das suposi¸cões do modelo adotado. Um dos métodos mais utilizados é a análise de res´ıduos que serve para avaliar as suposi¸co˜es sobre a distribui¸cão dos erros e detectar a presen¸ca de observa¸co˜es discrepantes. Nesta se¸caõ apresentaremos algumas propostas baseadas nos tipos de res´ıduos considerados por Nobre e Singer (2007) para a avalia¸cão de modelos lineares mistos. Sob o modelo (3.3) podem ser considerados três tipos de res´ıduos, nomeadamente, res´ıduos marginais, condicionais e EBLUP. Res´ıduos marginais Os res´ıduos marginais, ξˆ = Y − Xβˆ são preditores dos erros marginais, ξ = Y − E(Y) = Y−Xβ = Zb+e. Este tipo de res´ıduos é empregado para avaliar a linearidade dos efeitos fixos e também para detectar observa¸co˜es discrepantes. Uma padroniza¸caõ dos res´ıduos é dada por: b −1/2 ξ, b ci (ξ)] ξb∗ = [V. (3.10). b é o i-ésimo bloco diagonal da matriz V(ξ) b = [Vb − X(X ⊤ Vb −1 X)−1 X ⊤ ] e ci (ξ) em que V Vb corresponde a` estimativa obtida a partir de (3.4) referente a`s observa¸co˜es da i-ésima unidade amostral. Com base na proposta de Lesaffre e Verbeke (1998), Singer et al. (2013) definem 2 b −1/2 ξbi , em que ξbi representa os res´ıduos b iR b⊤ b Vi = kIni − R i k , i = 1, . . . , k, com Ri = Vi marginais da i-ésima unidade amostral. Quando os termos Vi estão próximos de zero, a estrutura de covariâncias dentro da unidade amostral é adequada e Vi pode ser utilizada como uma medida para identificar unidades para as quais a estrutura de covariâncias P proposta é inadequada. Singer et al. (2013) sugerem que gráficos de Vi∗ = Vi / ni=1 Vi , em fun¸caõ dos ´ındices i das unidades amostrais sejam constru´ıdos para permitir a compara¸caõ entre os diferentes modelos. Res´ıduos condicionais ˜ são preditores dos erros condicionais, ˆ = Y − Xβˆ − Zb, Os res´ıduos condicionais, e e = Y−E(Y|b) = Y−Xβ−Zb e servem para avaliar a hipótese de homoscedasticidade do erro condicional e verificar a existência de observa¸co˜es discrepantes. Nobre e Singer (2007) sugerem o uso dos res´ıduos condicionais padronizados descritos a seguir:.

(25) 3.3 Análise de Res´ıduos para Modelos Mistos. 15. p. (3.11). eˆ∗ij = eîj /. pîj ,. em que pîj representa o ij-ésimo elemento da diagonal principal da matriz V(b e). −1 −1 −1 Como V(b e) = Σ[Vb − Vb X(X ⊤ Vb X)−1 X ⊤ Vb ]Σ = ΣQΣ, sendo Q = V−1 − V−1 X(X⊤ V−1 X)−1 X⊤ V−1 e Σ = σe2 In , Singer et al. (2013) sugerem uma padronizab i (b b i (b e) é diagonal em blocos da ¸caõ mais adequada dada por b e∗i = [V e)]−1/2 ebi , em que V b e) associada a i-ésima unidade amostral. matriz V(b Quando o interesse é verificar a suposi¸caõ de normalidade dos res´ıduos, a utiliza¸caõ dos res´ıduos condicionais não é aconselhável, pois ele é confundido com b; os mesmos autores sugerem a utiliza¸caõ dos res´ıduos com confundimento m´ınimo [ver HildenMinton (1995) e Singer et al. (2013)]. EBLUP ˜ preditores dos erros aleatórios, Zb = E(Y|b) − E(Y) = Os efeitos aleatórios Zb, (Y − Xβ − Zb) − (Y − Xβ) refletem a diferen¸ca entre o valor predito para i-ésima unidade observacional e o valor médio populacional. Nobre e Singer (2007) sugerem ˜ ⊤ {V[ ˜ i ]}−1 b ˜ i , i = 1, . . . , k, em bb usar um gráfico da distância de Mahalanobis, Mi = b i fun¸cão dos ´ındices das unidades para detectar pontos discrepantes. Para permitir a compara¸caõ entre os diferentes modelos, esses autores sugerem P ainda o gráfico de Mi∗ = Mi / ni=1 Mi em fun¸cão dos ´ındices das unidades. Cada tipo de res´ıduos é u ´til para avaliar alguma pressuposi¸caõ do modelo (3.3) tal como resumido na Tabela 3.1, reproduzida de Singer et al. (2013). Tabela 3.1: Uso dos res´ıduos para diagnóstico proposto. Diagn´ ostico para. Tipo de res´ıduo. Linearidade para efeitos fixos (E(y) = Xβ) Presen¸ca de observa¸c˜ oes discrepantes Matriz de covariˆ ancia intra-unidades amostrais (Vi ) Presen¸ca de observa¸c˜ oes discrepantes Homoscedasticidade dos erros condicionais (ei ) Distribui¸c˜ ao dos erros condicionais (ei ) Presen¸ca de unidades discrepantes Normalidade dos efeitos aleat´ orios (bi ). Marginal Marginal Marginal Condicional Condicional Condicional EBLUP EBLUP. Gr´ afico ∗ ξî vs valores ajustados ∗ ξî vs ´ındices de observa¸cões Vi∗ vs ´ındices das unidades eˆ∗k vs ´ındices de observa¸cões eˆ∗k vs valores ajustados QQ para os res´ıduos condicionais Mi∗ vs ´ındices das unidades χ2q QQ para Mi∗.

(26) Cap´ıtulo 4 Modelo de Tempo de Falha Acelerado Weibull com Efeitos Aleat´ orios 4.1. Especifica¸ c˜ ao do Modelo. Uma abordagem paramétrica para tratar dados de sobrevivência correlacionados envolve um MTFA com efeitos aleatórios, expressos como: ln Tij = bi + xij β + σǫij ,. (4.1). em que Tij representa o tempo até a j-ésima falha da i-ésima unidade amostral, i = 1, 2, ..., k, j = 1, 2, ..., ni , bi , são variáveis aleatórias não observáveis independentes e identicamente distribu´ıdas (efeitos aleatórios) com média zero e variância comum σb2 , xij é um vetor com dimensão (1 × p) de covariáveis, β um vetor (p × 1) de parâmetros fixos (desconhecidos), σ é um parâmetro de escala e ǫij são erros aleatórios não observáveis independentes e identicamente distribu´ıdos com média e variância conhecidas. Além disso, assumimos que, i) Tij tem distribui¸caõ Weibull, ii) Cov(bi , ǫij ) = 0, iii) condicionalmente ao efeito aleatório bi , as respostas referentes à i-ésima unidade amostral são independentes, iv) os efeitos aleatórios bi são independentes dos tempos de censura. 16.

(27) 4.2 Acomoda¸cão de Observa¸co˜es Censuradas. 17. Alguns métodos de estima¸caõ dos parâmetros do modelo (4.1) como, Máxima Verossimilhan¸ca Marginal [Lambert et al. (2004)], Máxima Verossimilhan¸ca Penalizada [Santos e Valen¸ca (2012), Komárek et al. (2007)], métodos Bayesianos [Komárek e Lesaffre (2004), Komárek et al. (2007), Komárek e Lesaffre (2009)], podem ser encontrados na literatura. Como consequência de (ii) temos que ǫij ∼ V EP (0, 1) com V ar(ǫij ) = π 2 /6 Quando σb2 = 0, esse modelo se reduz ao modelo de tempo de falha acelerado usual [Bolfarine e Valen¸ca (2005)].. 4.2. Acomoda¸ c˜ ao de Observa¸ c˜ oes Censuradas. Na prática, existe censura na amostra, e por isso, a variável resposta ln Tij não é observada para todas as unidades amostrais. Na realidade, observa-se Yij = δij ln Tij + (1 − δij ) ln Cij ,. (4.2). sendo Cij o tempo até a j-ésima censura da i-ésima unidade amostral e δij = I(Tij ≤ Cij ) a fun¸caõ indicadora de falhas. Contudo, note que a utiliza¸cão de Yij no modelo (4.1) subestima o verdadeiro tempo entre falhas quando δij = 0. Para contornar este problema de forma a permitir tratar este modelo como um modelo linear misto usual estendemos a proposta de Ageel (2002) que sugere imputar observa¸co˜es censuradas em um modelo de regressão Weibull. A ideia é trocar Cij em (4.2) por um valor denotado por Tbij representando a estimativa de E(Tij |Tij > cij , bi , xij ), obtendo Yij∗ = δij ln Tij + (1 − δij ) ln Tbij. como variável resposta, i = 1, 2, ..., k e j = 1, 2, ..., ni . Fazendo Y∗ = (Y1∗⊤ , . . . , Yk∗⊤ )⊤ , com Yi∗ = (Yi1∗ , . . . , Yin∗ i )⊤ , i = 1, . . . , k, representamos o MTFA com efeitos aleatórios como um modelo linear misto, da forma Y∗ = Xβ + Zb + e,. (4.3). k ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ em que X = (X⊤ 1 , . . . , Xk ) , Xi = (xi1 , xi2 , . . . , xini ) , Z = ⊕i=1 1ni , b = (b1 , . . . , bk ) , E(b) = 0, V ar(b) = σb2 Ik . Além disso, e = σ[ǫ − E(ǫ)] é um vetor n × 1 de erros aleatórios não correlacionado com b, sendo ǫ um vetor n × 1, tendo como componentes P os erros aleatórios ǫij do modelo (4.1), com n = ki=1 ni . Desta forma temos, E(e) = 0, 2 V ar(e) = σe2 In , sendo σe2 = σ 2 π6 . Carvalho (2010) apresenta dois enfoques na predi¸caõ dos efeitos aleatórios para o.

(28) 4.2 Acomoda¸cão de Observa¸co˜es Censuradas. 18. modelo (4.3), sendo o primeiro um enfoque bayesiano através do estimador de Bayes emp´ırico (EBE) e o segundo, o melhor preditor linear não enviesado emp´ırico (EBLUP). Consideramos neste trabalho o segundo enfoque, ou seja, a estima¸caõ dos parâmetros (β) e a predi¸caõ dos efeitos aleatórios (b) dadas através das expressões (3.7), tendo em vista que desejamos propor aqui o uso de res´ıduos originalmente desenvolvidos para modelos lineares mistos, conforme descritos na Se¸cão 3.3. A estima¸caõ dos componentes de variância (σe2 , σb2 ) do modelo (4.3) é realizada por meio dos métodos MINQUE e IMINQUE descritos em (3.8).. 4.2.1. Imputa¸ c˜ ao dos Dados Censurados. Ageel (2002) propõe um método para imputar as observa¸co˜es censuradas em um modelo com censura aleatória à direita em modelos envolvendo distribui¸co˜es Weibull com 2 parâmetros com dados independentes. Generalizamos este procedimento para dados correlacionados e com covariáveis. O valor estimado para o tempo de falha da observa¸cão censurada pode então ser usado para substituir Cij . As fun¸cões densidade e de sobrevivência da distribui¸cão condicional de Tij dado bi são, respectivamente:. γ f (tij |bi , φ, xij ) = exp(bi + β ⊤ xij ). . tij exp(bi + β ⊤ xij ). γ−1. exp −. tij exp(bi + β ⊤ xij ). γ . e S(tij |bi , φ, xij ) = exp −. tij exp(bi + β ⊤ xij ). γ . I(0,∞) (tij ),. sendo o vetor de parâmetros φ = (β ⊤ , σ 2 , σb2 )⊤ e o vetor de covariáveis xij com γ = 1/σ > 0 denotando o parâmetro de forma e exp(bi + β ⊤ x) > 0, o parâmetro de escala. A fun¸cão densidade e o valor esperado relativos a` distribui¸cão condicional de Tij dado Tij > cij , e o vetor de efeitos aleatórios bi , são obtidos por meio de (2.2) e (2.3) [ver detalhes no apêndice A]. Como resultados temos:. I(0,∞) (tij ).

(29) 4.2 Acomoda¸cão de Observa¸co˜es Censuradas. 19. γ/[exp(bi + β ⊤ xij )] tij /[exp(bi + β ⊤ xij )] f (tij |bi , xij ) h f (tij |Tij > cij ; bi , φ, xij ) = = γ i S(cij |bi , xij ) exp − cij / exp(bi + β ⊤ xij ) h γ i exp − tij /[exp(bi + β ⊤ xij )] h × γ i , tij > cij exp − cij / exp(bi + β ⊤ xij ). γ−1. e. γ exp(bi + β ⊤ xij )Γ 1 + 1/γ, cij / exp(bi + β ⊤ xij ) h E(Tij |Tij > cij ; bi , φ, xij ) = , γ i ⊤ exp − cij / exp(bi + β xij ) (4.4) em que cij representa o tempo em que ocorreu a j-ésima censura para a i-ésima unidade γ amostral e Γ 1 + 1/γ, cij / exp(bi + β ⊤ x) denota a fun¸cão gama incompleta (Olver et al. (2010)) definida como, Γ(a, x) =. Z. ∞. ta−1 exp(−t)dt. x. Para obter a estimativa de E(Tij |Tij > cij ; bi , φ, xij ) consideramos inicialmente as estimativas do vetor dos parâmetros φ e os preditores de bi a partir da verossimilhan¸ca penalizada. Verossimilhan¸ ca Penalizada O método de Máxima Verossimilhan¸ca Penalizada é um processo de estima¸caõ em que a verossimilhan¸ca é aumentada por uma fun¸caõ de parâmetros desconhecidos (fun¸caõ de penaliza¸caõ). Pinto (2009) apresenta um estudo de métodos alternativos para a sele¸caõ de covariáveis em modelos de sobrevivência usando verossimilhan¸ca penalizada. Santos e Valen¸ca (2012) apresentam um estudo de simula¸caõ para para investigar a performance do método implementado no software R baseado na verossimilhan¸ca penalizada para estimar os parâmetros do MTFA com efeitos aleatórios. Nesse contexto, considerando o modelo (4.1) e o vetor de parâmetros desconhecidos φ, a verossimilhan¸ca condicional para toda a amostra dado o efeito aleatório para cada unidade amostral é dada por:.

(30) 4.2 Acomoda¸cão de Observa¸co˜es Censuradas. L(φ|b) =. ni k Y Y. 20. f (tij |bi , xij )δij S(tij |bi , xij )1−δij .. i=1 j=1. O logaritmo da fun¸caõ verossimilhan¸ca condicional para toda a amostra é da forma: l(φ|b) =. ni k X X. log f (tij |bi , xij )δij S(tij |bi , xij )1−δij .. (4.5). i=1 j=1. Na abordagem de verossimilhan¸ca penalizada, é necessário subtrair de (4.5) a fun¸cão de penaliza¸caõ. Assim, a log-verossimilhan¸ca penalizada é dado por lpen (φ|b) =. ni k X X. log f (tij |bi , xij )δij S(tij |bi , xij )1−δij − h(b; σb2 ),. (4.6). i=1 j=1. em que h(b; σb2 ) representa a fun¸cão de penaliza¸cão. Therneau et al. (2003), sugerem a fun¸cão de penaliza¸cão h(b; σb2 ) =. k 1 X 2 b, 2σb2 i=1 i. (4.7). quando a distribui¸caõ dos efeitos aleatórios é normal. Maximizando (4.6) obtemos o b∗ e estimador de máxima verossimilhan¸ca penalizada (EMVP) de φ denotado por φ preditores para bi denotado por ˜b∗i , i = 1, . . . , k. Detalhes sobre este método podem ser encontrados em Therneau et al. (2003), por exemplo. Procedimentos para a Imputa¸c˜ ao i) Consideramos o modelo (4.1). ii) Inicialmente assumimos a distribui¸caõ normal para os efeitos aleatórios (bi ). b∗ e os preditores ˜b∗ com base em (4.6) e (4.7). O software iii) Obtemos o EMVP φ i R (R Development Core Team, 2013) fornece procedimentos para a obten¸caõ deste resultado [ver Santos e Valen¸ca (2012)]. iv) Selecionamos as covariáveis significativas por meio de testes da Razão de Verossimilhan¸cas. v) Estimamos E(Tij |Tij > cij , bi , φ, xij ) por meio de b∗ , xij ) Tbij = E(Tij |Tij > cij , ˜b∗i , φ.

(31) 4.3 Simula¸caõ. 21. b∗ e ˜b∗ são obtidos na etapa anterior. em que φ i. vi) Calculamos. Yij∗ = δij ln Tij + (1 − δij ) ln Tbij. para i = 1, . . . , k e j = 1, . . . , ni , em que os valores censurados (δij = 0) são substitu´ıdos pelas estimativas Tbij .. vii) Após a imputa¸cão das observa¸co˜es censuradas, tratamos o vetor Y∗ = (Y1∗⊤ , . . . , Yk∗⊤ )⊤ como o vetor de respostas, assumimos o modelo (4.3), consideramos os métodos não paramétricos para estima¸caõ dos parâmetros (EBLUE) e predi¸caõ dos efeitos aleatórios (EBLUP), em que não assumimos distribui¸cão para os efeitos aleatórios. viii) Por fim, avaliamos o modelo através da análise de res´ıduos descrita na Se¸caõ 3.3.. 4.3. Simula¸ c˜ ao. Com o objetivo de verificar a eficácia da análise de res´ıduos considerando o procedimento de imputa¸caõ das observa¸cões censuradas, realizou-se um breve estudo de simula¸caõ considerando um MTFA com efeitos aleatórios. Para este estudo buscamos obter simula¸co˜es semelhantes aos dados reais estudados no Cap´ıtulo 5. Consideramos k = 200 grupos, o n´ umero de indiv´ıduos de cada grupo, ni , foi gerado a partir de uma distribui¸cão P oisson(6) (desconsiderando grupos de tamanho zero), i = 1, · · · , k. O tamanho da amostra obtido foi de 1.238. Consideramos uma u ńica covariável x cujos valores foram gerados a partir de uma distribui¸caõ Normal padrão e um vetor de efeitos aleatórios com distribui¸caõ Normal com média zero e variância σb2 = 0.35 (estimativa obtida a partir do ajuste dos dados reais). Os erros aleatórios foram gerados a partir de uma distribui¸caõ Valor Extremo padrão, o que resulta na distribui¸caõ Weibull para os tempos de falha. As observa¸cões censuradas foram geradas a partir de uma distribui¸caõ Uniforme (0, u), em que u varia de acordo com o percentual de censura requerido na amostra. Neste estudo, consideramos 0%, 20%, 30% e 50% de censura na amostra. Além disso, os valores dos parâmetros tomados como referência foram β0 = 7.5, β1 = 0.85 e σ = 1.15, obtidos a partir do ajuste dos dados reais..

(32) 4.3 Simula¸caõ. 22. Uma vez geradas as censuras, os tempos observados foram obtidos tomando yij = min(tij , cij ). Associado a cada tempo observado temos um indicador de falhas, δij = 1, se tij ≤ cij e δij = 0, se tij > cij . Após estas etapas, os dados gerados foram armazenados para a imputa¸caõ dos tempos de falhas correspondentes às observa¸cões censuradas conforme descrito na Se¸caõ 4.2. Para verificar a eficiência do procedimento de imputa¸cão comparamos os verdadeiros valores dos parâmetros com as estimativas obtidas a partir do EBLUE, considerando os tempos observados e os tempos com imputa¸caõ e usamos a análise gráfica de res´ıduos. Todas as simula¸cões e as análises de res´ıduos foram realizadas utilizando o software estat´ıstico R. Os resultados das análises são discutidos logo abaixo. O estudo de simula¸cão mostrou que as estimativas dos parâmetros (β0 , β1 ) obtidas a partir do EBLUE são mais próximas dos parâmetros de referência para todos os percentuais de censura quando o procedimento de imputa¸cão das observa¸co˜es censuradas é aplicado, o que sugere uma maior eficiência nas análises (ver Tabela 4.1). Tabela 4.1: Estimativas dos parâmetros para os tempos observados com β0 = 7.5 e β1 = 0.85. Censura. Parâmetros. 20%. β0 β1 β0 β1 β0 β1. 30% 50%. Método de Estima¸cão EBLUE sem imputa¸cão EBLUE com imputa¸cão 6.58 6.83 0.65 0.86 6.47 6.85 0.62 0.88 6.09 6.92 0.43 0.88. Com rela¸cão a análise de res´ıduos para esse conjunto de dados apresentada nos gráficos correspondentes as Figuras 4.1- 4.7 é poss´ıvel obter uma avalia¸cão adequada do ajuste do modelo considerando um percentual de censura inferior a 50%, ficando limitado o uso dessas técnicas para amostras censuradas acima desse percentual..

(33) 23. 1038 1050 567. 1117. 659 694 708 613. 1147 182. 669. 2 0 −2. Resíduos marginais padronizados ξij. 18. 0. Resíduos marginais padronizados ξij. 5. 4. 6. 4.3 Simula¸caõ. 1038 1050 1117. −4. −5. 567. 659 694 708 613. 1147 182. −6. 669. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 5. 6. 7. Valores preditos yi. 8. 9. 10. Valores preditos yi. (b) p = 20%. 1038 1050 1117. −4. 567. 659 694 708 613. 2 0 −2. Resíduos marginais padronizados ξij. 2 0 −2. 182 669. 464. 911. 1050 1038. 1147. 1117. 567. −4. Resíduos marginais padronizados ξij. 4. 4. (a) p = 0%. 659 694 708 613. 1147 182. 669. 5. 6. 7. 8. Valores preditos yi. (c) p = 30%. 9. 10. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Valores preditos yi. (d) p = 50%. ∗ Figura 4.1: Gráfico dos res´ıduos marginais padronizados (ξî ) vs valores preditos..

(34) 24. 0.3. Densidade. 0.0. 0.0. 0.1. 0.2. 0.2 0.1. Densidade. 0.3. 0.4. 0.4. 0.5. 4.3 Simula¸caõ. −6. −4. −2 0 Resíduos marginais padronizados ξij. 2. 4. −6. −4. 2. 4. 2. 4. (b) p = 20%. 0.4. Densidade. 0.3. 0.2. 0.2. 0.0. 0.1 0.0. Densidade. 0.4. 0.6. 0.5. (a) p = 0%. −2 0 Resíduos marginais padronizados ξij. −6. −4. −2 0 Resíduos marginais padronizados ξij. (c) p = 30%. 2. 4. −6. −4. −2 0 Resíduos marginais padronizados ξij. (d) p = 50%. ∗ Figura 4.2: Histograma dos res´ıduos marginais padronizados (ξî )..

(35) 25. 0.04. 169 109 104. 184. 111. 22. 0.02. 171 40 42. 91 97. 181. 163. 0.12 0.10 0.08 0.06. 109 104. 0. 171. 111. 22 68. 40. 8891. 50. 100. 150. 200. 0. 50. 181. 97 163. 100. Unidades. 150. 200. Unidades. (b) p = 20%. 29 169 109 104 111. 17 22 91. 40 42. 97. 163. 171. 184 181. 0.12 0.10 0.08 0.06. 17. 169. 109 104 22 40. 91. 68 76. 97. 184. 111 163 171. 181. 86. 0.00. 0.00. 76. 105. 29. 0.04. 0.05. 105. 0.02. 0.10. Medida de Lesaffre and Verbeke's padronizada ν*i. 0.15. 0.14. (a) p = 0%. Medida de Lesaffre and Verbeke's padronizada νi*. 184. 17. 0.00. 68 66. 169. 29. 0.04. 29. 17. 105. 0.02. Medida de Lesaffre and Verbeke's padronizada ν*i. 0.12 0.10 0.08 0.06. 105. 0.00. Medida de Lesaffre and Verbeke's padronizada νi*. 0.14. 4.3 Simula¸caõ. 0. 50. 100 Unidades. (c) p = 30%. 150. 200. 0. 50. 100. 150. 200. Unidades. (d) p = 50%. Figura 4.3: Gráfico da medida de Lesaffre and Verbeke’s padronizada (Vi∗ ) indexando as unidades..

(36) 26. 1 0 −3. −3. −2. −1. Resíduos condicionais padronizados eij. 2 1 0 −1 −2. Resíduos condicionais padronizados eij. 2. 3. 3. 4.3 Simula¸caõ. 4. 5. 6. 7 Valores preditos yij. 8. 9. 10. 4. 5. 7 Valores preditos yij. 8. 9. 10. (b) p = 20%. 1 0. −3. −2. −1. Resíduos condicionais padronizados eij. 1 0 −1 −2. Resíduos condicionais padronizados eij. 2. 2. 3. (a) p = 0%. 6. 4. 5. 6. 7 Valores preditos yij. 8. (c) p = 30%. 9. 10. 4. 5. 6. 7 Valores preditos yij. 8. 9. 10. (d) p = 50%. Figura 4.4: Gráfico dos res´ıduos condicionais padronizados (ˆ e∗k ) vs valores preditos..

(37) 27. 1 0 −3. −3. −2. −1. Resíduos condicionais padronizados eij. 2 1 0 −1 −2. Resíduos condicionais padronizados eij. 2. 3. 3. 4.3 Simula¸caõ. 0. 200. 400. 600. 800. 1000. 1200. 0. 200. 400. Indíces das observações. 600. 800. 1000. 1200. 1000. 1200. Indíces das observações. (b) p = 20%. 1 0. −3. −2. −1. Resíduos condicionais padronizados eij. 1 0 −1 −2. Resíduos condicionais padronizados eij. 2. 2. 3. (a) p = 0%. 0. 200. 400. 600. 800. Indíces das observações. (c) p = 30%. 1000. 1200. 0. 200. 400. 600. 800. Indíces das observações. (d) p = 50%. Figura 4.5: Gráfico dos res´ıduos condicionais padronizados (ˆ e∗k ) indexando as observa¸co˜es..

(38) 28. 0 −2. Resíduos Condicionais (eij). −6. −4. 0 −2 −4 −6. Resíduos Condicionais (eij). 2. 2. 4. 4.3 Simula¸caõ. −8. −6. −4. −2. 0. 2. −8. −6. Quantis teóricos Valor Extremo Pardão. −4. −2. 0. 2. 0. 2. Quantis teóricos Valor Extremo Pardão. (b) p = 20%. −2 −6. −4. Resíduos Condicionais (eij). 0 −2 −4 −6. Resíduos Condicionais (eij). 0. 2. 2. (a) p = 0%. −8. −6. −4. −2. 0. 2. −8. −6. −4. −2. Quantis teóricos Valor Extremo Pardão. Quantis teóricos Valor Extremo Pardão. (c) p = 30%. (d) p = 50%. Figura 4.6: QQ para os res´ıduos condicionais (ˆ eij )..

(39) 29. 0.04 0.03 0.00. 0.00. 0.01. 0.02. Distância de Mahalanobis's Μi. 0.03 0.02 0.01. Distância de Mahalanobis's Μi. 0.04. 4.3 Simula¸caõ. 0. 2. 4. 6. 8. 0. 2. Quantis teóricos Qui−quadrado (1). 6. 8. (b) p = 20%. 0.00. 0.04 0.03 0.02 0.00. 0.01. 0.01. 0.02. 0.03. Distância de Mahalanobis's Μi. 0.04. 0.05. 0.05. (a) p = 0%. Distância de Mahalanobis's Μi. 4. Quantis teóricos Qui−quadrado (1). 0. 2. 4. 6. Quantis teóricos Qui−quadrado (1). (c) p = 30%. 8. 0. 2. 4. 6. Quantis teóricos Qui−quadrado (1). (d) p = 50%. Figura 4.7: QQ para distância de Mahalanobis’s (Mi ).. 8.

(40) Cap´ıtulo 5 Aplica¸c˜ ao 5.1. Especifica¸ c˜ ao do Modelo. Aplicamos a metodologia desenvolvida nos cap´ıtulos anteriores aos dados do estudo descrito no Cap´ıtulo 1. Em particular, consideramos 2374 observa¸co˜es envolvendo 1811 tempos de falha e 563 censuras obtidos de 616 po¸cos de petróleo. As falhas são definidas como alguma anormalidade relacionada a equipamentos de subsuperf´ıcie que tenham ocasionado uma parada total de produ¸cão ou provocaram deficiência no funcionamento do po¸co-coluna. A não ocorrência do evento de interesse (falha) implica uma observa¸caõ censurada. Além dos tempos entre falhas, foram registradas diversas informa¸cões para cada po¸co-coluna, nomeadamente, i) Produ¸caõ (PROD) em m3 /dia; ii) Método de Eleva¸cão: Bombeio Mecânico (BM) ou Cavidade Progressiva (CP); iii) Idade do Po¸co (ID) em anos iv) Região: ARG, CAM, ET e RFQ; v) Profundidade da bomba de óleo (PROF) em m. Após a sele¸cão das covariáveis através do TRV considerando a log-verosimilhan¸ca penalizada (4.6) decidimos adotar o modelo:. 30.

(41) 5.2 Análise de Res´ıduos para o Modelo Ajustado. 31. ln Tij = bi + βprod P RODij + βbm BM + βid IDij + βcam CAM + βet ET + βrf q RF Q+ + βprof P ROFi + βprod∗cam P RODij ∗ CAM + βprod∗et P RODij ∗ ET + + βprod∗rf q P RODij ∗ RF Q + βprof ∗cam P ROFi ∗ CAM + + βprof ∗et P ROFi ∗ ET + βprof ∗rf q P ROFi ∗ RF Q + σǫij , (5.1) em que a forma da distribui¸caõ dos efeitos aleatórios (bi ) não foi especificada e assumiuse a distribui¸cão condicional Weibull para Tij condicionalmente aos efeitos aleatórios bi , i = 1, · · · , 616 e j = 1, · · · , ni . Após a imputa¸cão das observa¸co˜es censuradas, o EBLUE dos parâmetros e o EBLUP dos efeitos aleatórios foram obtidos a partir de (3.7) com os componentes de variância estimados através do método MINQUE (3.8) que podem ser observados na Tabela 5.1: Tabela 5.1: Estimativas (EBLUE e EBLUP) e Erros Padrões do Modelo 5.1 Parâmetros Estimativas β0 6.479 βprod -0.041 βbm 0.646 βid 0.092 βcam 1.455 βet 1.177 βrf q 1.950 βprof 0.002 βprod∗cam 0.041 βprod∗et 0.003 βprod∗rf q -0.027 βprof ∗cam -0.002 βprof ∗et -0.003 βprof ∗rf q -0.003 σ 1.078 2 σb 0.908. 5.2. EP 0.302 0.012 0.152 0.008 0.371 0.277 0.394 0.000 0.019 0.019 0.024 0.001 0.001 0.001 -. An´ alise de Res´ıduos para o Modelo Ajustado. Aplicamos as propostas de análise de res´ıduos discutidas no Cap´ıtulo 3 ao modelo (4.3)..

(42) 5.2 Análise de Res´ıduos para o Modelo Ajustado. 32. Os res´ıduos obtidos a partir do modelo (5.1) estão representados nas Figuras 5.15.7 e sugerem que: • A hipótese de linearidade dos efeitos fixos parece satisfatória (Figura 5.1) e a distribui¸caõ dos res´ıduos marginais apresenta uma assimetria a` esquerda (Figura 5.2). • A estrutura da matriz de covariâncias intraunidades proposta não é adequada para algumas unidades amostrais (Figura 5.3). • Não há evidências de observa¸cões discrepantes (Figura 5.4). • Há evidências de viola¸cão da suposi¸cão de homoscedasticidade dos erros condicionais (Figura 5.5). • Não há evidências contrárias a` suposi¸cão de que os res´ıduos condicionais seguem uma distribui¸cão Valor Extremo Padrão (Figura 5.6). • Há evidências de viola¸caõ da suposi¸caõ de normalidade para os efeitos aleatórios (Figura 5.7).. 2 0 −2. 1771 1766 1784. −4. Resíduos marginais padronizados ξij. 4. 6. As Figuras 5.6 e 5.7 sugerem que a ado¸cão do modelo Weibull para os erros condicionais é justificável mas que não há evidências para adotar uma distribui¸caõ Normal para os efeitos aleatórios.. 672 9721824183 31 843 1497 1445 1653 1648 1536 486 183 169 1690 875403 1443 1698 2120 1138 2093 387 461 455 418 15821600 120 303 956 126 739 734 2230 2340 1361 1282. −6. 2206 2084. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Valores preditos yi. ∗ Figura 5.1: Gráfico dos res´ıduos marginais padronizados (ξî ) vs valores preditos..

(43) 33. Densidade. 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 5.2 Análise de Res´ıduos para o Modelo Ajustado. −6. −4. −2 0 Resíduos marginais padronizados ξij. 2. 4. 3000 2500 2000 1500. 68. 580. 500. 1000. 99 102 100 322. 15 6 41 23 21 39 4. 90 91 92 81 73. 149. 238 245 257 240 186 185 216 226 247. 547. 343. 423 462 492 424 463481 482 407425 426 450 415 404 451 448 447 418 417. 386 378 288. 366. 586 548. 612 611. 568 593. 0. Medida de Lesaffre and Verbeke's padronizada ν*i. 3500. ∗ Figura 5.2: Histograma dos res´ıduos marginais padronizados (ξî ).. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. Unidades. Figura 5.3: Gráfico da medida de Lesaffre and Verbeke’s padronizada (Vi∗ ) indexando as unidades..

(44) 34. 2 1 0 −1 −2 −3. Resíduos condicionais padronizados eij. 3. 5.2 Análise de Res´ıduos para o Modelo Ajustado. 0. 500. 1000. 1500. 2000. Indíces das observações. 2 1 0 −1 −2 −3. Resíduos condicionais padronizados eij. 3. Figura 5.4: Gráfico dos res´ıduos condicionais padronizados (ˆ e∗k ) indexando as observa¸co˜es.. 5. 6. 7. 8 Valores preditos yij. 9. 10. 11. Figura 5.5: Gráfico dos res´ıduos condicionais padronizados (ˆ e∗k ) vs valores preditos..

(45) 35. 0 −2 −4 −6. Resíduos Condicionais (eij). 2. 5.2 Análise de Res´ıduos para o Modelo Ajustado. −8. −6. −4. −2. 0. 2. Quantis teóricos Valor Extremo Pardão. 0.015 0.010 0.005 0.000. Distância de Mahalanobis's Μi. 0.020. Figura 5.6: QQ para os res´ıduos condicionais padronizados (ˆ e∗k ).. 0. 2. 4. 6. 8. 10. Quantis teóricos Qui−quadrado (1). Figura 5.7: QQ para distância de Mahalanobis’s (Mi )..

(46) Cap´ıtulo 6 Considera¸co ˜es finais 6.1. Conclus˜ oes. Neste trabalho, consideramos o uso de técnicas de análise de res´ıduos originalmente desenvolvidas para modelos mistos em modelos de tempo de falha acelerado Weibull com efeitos aleatórios admitindo a ocorrência de censuras, sem suposi¸caõ sobre a forma da distribui¸caõ dos efeitos aleatórios. Propomos um procedimento de imputa¸cão para tratar das observa¸co˜es censuradas da amostra. Realizamos um breve estudo de simula¸caõ no qual verificamos que a proposta da análise de res´ıduos é aceitável quando os dados não apresentarem um percentual de censura muito elevado (menor que 50%). Utilizamos essas técnicas para avaliar o ajuste de tempos entre falhas de po¸cos de petróleo, possivelmente correlacionados e na presen¸ca de censuras. Quando avaliamos a hipótese de linearidade nesses dados, através dos res´ıduos marginais padronizados, identificamos que algumas observa¸co˜es ultrapassaram os limites estabelecidos. Estas ocorrências podem estar associadas a caracter´ısticas especiais de alguns po¸cos-coluna. Percebemos também que a estrutura da matriz de covariâncias intraunidades amostrais proposta não foi adequada para algumas unidades amostrais, sendo necessário uma modifica¸cão nessa estrutura, o que deixamos como proposta futura. Por meio dos res´ıduos condicionais identificamos que não há evidência contra à suposi¸caõ de que os erros seguem uma distribui¸caõ Valor Extremo Padrão. A falta de homogeneidade na distribui¸caõ dos res´ıduos condicionais mostra maior dispersão para os menores valores preditos. Isto sugere que a variância é maior para os tempos entre falhas menores. Com base na distância de Mahalanobis observamos que a suposi¸caõ de normalidade para os efeitos aleatórios parecem ser inadequada.. 36.

(47) 6.2 Pesquisas Futuras. 6.2. 37. Pesquisas Futuras. Para pesquisas futuras, existem alguns tópicos para serem explorados, como: • Avaliar a análise de res´ıduos considerando outras distribui¸co˜es para o efeito aleatório e para os tempos de falha. • Incorporar covariáveis no parâmetro de escala num MTFA com efeito aleatório e estudar o ajuste e diagnóstico de um modelo heterocedástico. • Estudar a extensão dos res´ıduos Martingale e de Cox-Snell para a avalia¸caõ de MTFA com efeito aleatório. • Realizar um estudo de simula¸cão extensivo para verificar a validade dos procedimentos..

(48) Referˆ encias Bibliogr´ aficas Ageel, M. I., 2002. A novel means of estimating quantiles for 2-parameter weibull distribution under the right random censoring model. Journal of Computational and Applied Mathematics, 149, 373–380. Allison, P. D., 2010. Survival Analysis Using SAS: A Practical Guide, 2nd Edition. NC: SAS Institute Inc, Cary, USA. Bolfarine, H., Valen¸ca, D. M., 2005. Testing homogeneity in weibull-regression models. Biometrical Journal, 47, 707–720. Brown, K. G., 1976. Asymptotic behavior of minque-type estimators of variance components. The Annals of Statistics, 4, 746–754. Carvalho, J. B., 2010. Predi¸c˜ ao em Modelos de Tempo de Falha Acelerado com Efeito Aleat´ orio para Avalia¸c˜ ao de Riscos de Falha em Po¸cos Petrol´ıferos. Disserta¸cão de mestrado, PPGMAE, UFRN. Carvalho, J. B., Valen¸ca, D. M., Singer, J., 2012. Prediction of failure probability of oil wells. Brazilian Journal of Probability and Statistics (a ser publicado). Collett, D., 1994. Modelling survival data in medical research. Chapman and Hall, New York. Colosimo, E. A., Giolo, S. R., 2006. Análise de sobrevivência aplicada. Edgard Bluncher, São Paulo. Cook, R. D., 1977. Detection of influential observations in linear regression. Technometrics, 19, 15–18. Cox, D. R., 1972a. Regression models and life tables (with discussion). Journal Royal Statistical Society B 34, 187–220.. 59.