Gabarito dos exercícios 88 e 121 da apostila
88.Suponha o modelo Novo Keynesiano de 2 períodos como descrito em Benigno (2009) para os países A e B:
𝐴𝐷𝐴 = 𝐴𝐷𝐵: 𝑦 = 𝑦̅𝑛+ (𝑔 − 𝑔̅) − 𝜎[𝑖 − (𝑝̅ − 𝑝) − (𝜏̅
𝐶− 𝜏𝐶) − 𝑙𝑛(1 𝛽⁄ )]
𝐴𝑆𝐴: 𝑝 = 𝑝̅ + 𝜅𝐴(𝑦 − 𝑦𝑛)
𝐴𝑆𝐵: 𝑝 = 𝑝̅ + 𝜅𝐵(𝑦 − 𝑦𝑛)
Logo, a AD das duas economias são idênticas, mas a AS não. Com base nessas equações, responda:
a. Explique quais são os microfundamentos da equação de demanda agregada, ou seja, da onde vem a relação entre y e p expressa pela curva AD. Explique também os determinantes do sinal e do tamanho da inclinação da AD.
A microfundamentação da relação entre y e p vem da otimização intertemporal do consumo. Quanto maior for o preço do consumo presente em relação ao consumo futuro [𝑙𝑛 (𝑃𝐶
𝑃𝐶̅) = 𝑖 − (𝑝̅ − 𝑝) − (𝜏̅𝐶− 𝜏𝐶)], menor será o consumo atual e assim menor será a demanda agregada, 𝑦, atual. Pode-se ver claramente da definição de 𝑙𝑛 (𝑃𝐶
𝑃𝐶̅), que um aumento de 𝑝 implica em uma queda de 𝜋, o que implica em um aumento da taxa real de juros e assim um aumento de 𝑙𝑛 (𝑃𝐶
𝑃𝐶̅) , levando a queda de 𝑦. A magnitude do efeito de 𝑝 sobre 𝑦 depende de da multiplicação de dois parâmetros:𝜎 = 𝜎̃𝑠𝐶. Quanto maior 𝜎̃, maior será a elasticidade de substituição intertemporal do consumo e assim, para uma dado valor de
𝑠𝐶, mais sensível será 𝑐 a variações de 𝑝, fazendo com que 𝑦 também seja mais sensível a variações de 𝑝. Quanto maior 𝑠𝐶, maior será a participação do consumo na demanda agregada. Assim, para uma dado valor de 𝜎̃, uma dada variação de 𝑝 que causa uma dada variação em 𝑐 irá causar uma maior variação em 𝑦. Logo, quando 𝜎̃ ou 𝑠𝐶 aumenta, maior será a variação de 𝑦 em relação a 𝑝. Porém, isso significa que menor será a variação de 𝑝 em relação a 𝑦. Como a AD é representada no plano 𝑦 𝑥 𝑝, então quando 𝜎̃ ou 𝑠𝐶 aumenta, mais horizontal tenderá a ser a curva AD.
não reage, explicando as diferenças de efeito do aumento de g em y e p nas duas economias.
𝑨𝑫′′ 𝐴𝑆𝐴 𝐴𝑆𝐴′ 𝑝𝐴′ 𝐴 𝐴𝑆𝐵 𝑝𝐵′ 𝑑𝑦𝑛 𝐵 𝐴𝑆𝐵′ 𝑝 = 𝑝̅
𝑑𝑔
𝐴𝐷′ 𝐴𝐷
𝑦 = 𝑦𝑛 𝑦𝑛′ 𝑦𝐴′ 𝑦𝐵′
Na economia A, como os preços são mais flexíveis o aumento de g gera um efeito maior em p e menor em y comparado com a economia B. Note que nas duas economias o produto cresce mais do que o natural (eficiente). Porém, a ineficiência do produto na economia A é menor, pois o mesmo sobe menos em relação ao nível eficiente do que na B. Em contrapartida, o nível de preços sobe mais em A do que em B.
c. Suponha agora que você está no comando do Banco Central das duas economias. Mostre qual seria a sua resposta de política monetária ao choque g justificando a sua decisão em termos de objetivos de política monetária. Explique em qual economia a resposta de política monetária seria mais agressiva ilustrando a sua resposta graficamente.
Como mostrado no gráfico acima, seria possível nesse caso o banco central estabilizar simultaneamente o 𝑝 em torno de 𝑝̅ e 𝑦 em torno de 𝑦𝑛 e
𝑦𝑒(nesse caso 𝑦𝑛 = 𝑦𝑒). Para isso, o banco central deveria deslocar a
possível estabilizar as duas variáveis, a resposta dos bancos centrais das economias A e B seriam diferentes.
121. Suponha dois casos distintos para a solução da política monetária ótima: discricionário (d) e com comprometimento (c). No caso discricionário (d), a autoridade monetária enfrenta o seguinte problema tomando a expectativa de inflação futura como dada:
𝑚𝑎𝑥𝜋𝑡,𝑥𝑡 −
1
2(𝜋𝑡2+ 𝛼𝑥𝑡2) + 𝐹𝑡 𝑠. 𝑎. 𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1+ 𝜆𝑥𝑡+ 𝑢𝑡
No caso com comprometimento (c), supõe-se que a autoridade monetária escolhe que o hiato do produto e a inflação sejam funções lineares do choque
𝑢𝑡. Nesse caso, a autoridade monetária enfrenta o seguinte problema:
𝑚𝑎𝑥𝜋𝑡,𝑥𝑡 −
1
2(𝜋𝑡2+ 𝛼𝑥𝑡2)𝐿𝑡 𝑠. 𝑎. 𝜋𝑡 =1 − 𝛽𝜌 𝑥𝜆 𝑡+1 − 𝛽𝜌𝑢𝑡 Com base nessas informações, responda as questões abaixo:
a) (1,0 ponto) Encontre a trajetória ótima da inflação e do hiato do produto no caso discricionário (𝜋𝑡𝑑, 𝑥𝑡𝑑) como função do choque 𝑢𝑡.
Lagrangeano:
𝐿 = −12(𝜋𝑡2+ 𝛼𝑥𝑡2) + 𝐹𝑡− 𝜙(𝜋𝑡− 𝛽𝐸𝑡𝜋𝑡+1− 𝜆𝑥𝑡− 𝑢𝑡)
Da resolução desse Lagrangeano, pode-se mostrar que no ótimo:
𝑥𝑡𝑑 = −𝛼 𝜋𝜆 𝑡𝑑 (1)
Substituindo essa CPO na restrição, temos:
𝜋𝑡𝑑 = 𝛽
1 + 𝜆𝛼2𝐸𝑡𝜋𝑡+1
𝑑 + 𝑢𝑡
1 + 𝜆𝛼2 (2)
Chutamos a seguinte solução para (2):
𝜋𝑡𝑑 = 𝑎 + 𝑏𝑢𝑡 (3)
Como:
Com as equações (3) e (4) podemos então concluir que o chute para 𝐸𝑡𝜋𝑡+1𝑑 será:
𝐸𝑡𝜋𝑡+1𝑑 = 𝑎 + 𝑏𝜌𝑢𝑡 (5) Substituindo (3) e (5) em (2), temos:
𝑎 + 𝑏𝑢𝑡 =𝛼 + 𝜆𝛼𝛽 2𝑎 +𝛼(1 + 𝛽𝜌𝑏)𝛼 + 𝜆2 𝑢𝑡 (6) Igualando o lado esquerdo e direito da equação (6), temos:
𝑎 =𝛼 + 𝜆𝛼𝛽 2𝑎 ⟶ 𝑎 = 0 (7)
𝑏 =𝛼(1 + 𝛽𝑏𝜌)𝛼 + 𝜆2 ⟶ [𝛼(1 − 𝛽𝜌) + 𝜆2]𝑏 = 𝛼 ⟶ 𝑏 = 𝛼
𝜆2+ 𝛼(1 − 𝛽𝜌) (8)
Substituindo (7) e (8) em (3), chegamos em:
𝜋𝑡𝑑 = 𝜆2+ 𝛼(1 − 𝛽𝜌) 𝑢𝛼 𝑡 (9)
Substituindo (9) em (1), temos:
𝑥𝑡𝑑 = −𝜆2+ 𝛼(1 − 𝛽𝜌) 𝑢𝜆 𝑡 (10)
b) (1,0 ponto) Encontre a trajetória ótima da inflação e do hiato do produto no caso com comprometimento (𝜋𝑡𝑐, 𝑥𝑡𝑐) como função do choque 𝑢𝑡.
Lagrangeano:
𝐿 = (𝜋𝑡2 + 𝛼𝑥𝑡2)𝐿𝑡− 𝜐 (𝜋𝑡−1 − 𝛽𝜌 𝑥𝜆 𝑡−1 − 𝛽𝜌)𝑢𝑡
Da resolução desse Lagrangeano, pode-se mostrar que no ótimo:
𝑥𝑡𝑐 = −𝛼(1 − 𝛽𝜌) 𝜋𝜆 𝑡𝑐 = −𝛼𝜆𝐶𝜋𝑡𝑐 (11) Aonde:
𝛼𝐶 = 𝛼(1 − 𝛽𝜌) < 𝛼
Substituindo essa CPO na restrição, temos:
𝜋𝑡𝑐 = 𝜆2+ 𝛼(1 − 𝛽𝜌)𝛼(1 − 𝛽𝜌) 2𝑢𝑡 = 𝛼 𝐶
𝜆2+ 𝛼𝐶(1 − 𝛽𝜌) 𝑢𝑡 (12)
Substituindo (12) em (11), temos:
c) (1,0 ponto) Mostre que apesar da inflação no longo prazo convergir para o nível ótimo tanto em a) quanto em b), o banco central com comprometimento será menos gradualista no combate à inflação do que o banco central discricionário.
Pode-se mostrar que:
𝐸𝑡𝜋𝑡+𝑖𝑑 = 𝜆2+ 𝛼(1 − 𝛽𝜌) 𝜌𝛼 𝑖𝑢𝑡
𝐸𝑡𝜋𝑡+𝑖𝑐 = 𝛼 𝐶
𝜆2+ 𝛼𝐶(1 − 𝛽𝜌) 𝜌𝑖𝑢𝑡 Das fórmulas acima pode-se facilmente perceber que:
lim
𝑖⟶∞𝐸𝑡𝜋𝑡+𝑖
𝑑 = lim
𝑖⟶∞𝐸𝑡𝜋𝑡+𝑖 𝑐 = 0
Logo, nos dois casos as expectativas de inflação de longo prazo convergem para a inflação ótima (=0), o que mostra que não há viés inflacionário de longo prazo por parte do banco central discricionário.
O grau de gradualismo pode ser visto pela derivada da inflação em relação ao choque u:
𝜕𝜋𝑡𝑐
𝜕𝑢𝑡 =
𝛼𝐶
𝜆2+ 𝛼𝐶(1 − 𝛽𝜌) <
𝜕𝜋𝑡𝑑
𝜕𝑢𝑡 =
𝛼
𝜆2+ 𝛼(1 − 𝛽𝜌) , 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝛼𝐶 < 𝛼
Modo alternativo de se resolver essa parte da questão: derivar a regra de juros para os dois casos e mostrar que a sensibilidade da taxa de juros a expectativa de inflação futura é maior no caso com comprometimento do que no caso discricionário.
d) (1,0 ponto) Explique intuitivamente porque a solução do item a) é ineficiente comparada a do item b). Supondo que o banco central tenha que ser discricionário, proponha uma possível solução para essa ineficiência.
O que está por trás desse ganho é que no caso com comprometimento a capacidade do banco central se comprometer crivelmente com planos futuros (credibilidade) faz com que os agentes levem em conta o comportamento futuro da política monetária na hora de projetar as inflações futuras e determinar a inflação do período atual. Como mostrado em c), isso faz com que o banco central tenha uma postura mais agressiva no combate à inflação. Essa postura mais agressiva de política monetária também vai ser levada em conta nas projeções atuais das inflações futuras, o que mais uma vez influenciará a determinação da inflação atual.
Em equilíbrio, haverá uma melhoria do trade-off de curto prazo entre inflação e hiato no caso com comprometimento. O fato dos agentes embutirem em suas expectativas futuras de inflação a política monetária futura, e a sua maior agressividade, fará com que a sensibilidade da inflação ao hiato seja maior no
caso com comprometimento do que no discricionário (𝜕𝜋𝑡𝑐 𝜕𝑥𝑡 =
𝜆 1−𝛽𝜌>
𝜕𝜋𝑡𝑑
𝜕𝑥𝑡 = 𝜆). Com isso, no caso com comprometimento um mesmo choque u>0 tem um efeito inflacionário/recessivo menor do que no caso discricionário, pois o efeito desse choque sobre a expectativa de inflação futura será menor (ancoragem das expectativas), gerando um menor deslocamento final da CP, o que fará com que essa economia apresente uma menor soma ponderada da volatilidade da inflação e do hiato do produto comparada a economia discricionária e, portanto, apresente um maior nível de bem-estar.
tendem a se descolar mais do seu valor de longo prazo. Isso significa que para um mesmo choque u>0, o deslocamento final da CP vai ser maior no caso discricionário do que no caso com comprometimento, gerando uma maior soma ponderada da volatilidade da inflação e do hiato do produto e, portanto, um menor nível de bem-estar.
