Estrategia de ajustamento ao choque do petroleo

1

1

..

,

•

..

,

~DAÇÃO

GETULJO VARGAS

Praia de Botafogo, nO 190/10" andar - Rio de Janeiro - 22253-900

Seminários de Pesquisa Econômica 11

(la

parte)

II

MODELO DE CRESCIMENTO

ÓTIMO DE DOIS SETORES EM

ECONOMIAS FECHADAS

11

SAMUEL PESSOA

USPeFGV/SP

i I

·

•

•

•

•

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇAO E

CONTABILIDADE

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA

,

ESTRATEGIA DE AJUSTAMENTO

_,

AO CHOQUE DO PETROLEO

SAMUEL DE ABREU PESSÔA

Orientador: Prof. Dr. Affonso Celso Pastore

Tese apresentada junto ao Departamento de Economia da

Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da

Universidade de São Paulo, para a obtenção do Título de

Doutor em Economia.

São Paulo

1994

"

•

..

Notação

ã é a derivada temporal de a, isto é, ~~.

Ô/~:,y)

_L

é a derivada parcial de J(.,.) com relação ao segundo argumento, mantendo-se o primeiro argumento fixo. O uso do sinal

L

para designar a variável que é mantida constante é optativo, conforme a circunstância, para maior clareza.

J(xla).

Neste caso considera-se que a é um parâmetro. Como a função tem uma vari~vel a derivada é escrita ~. No entanto faz sentido

1:;

(deslocamento paramétrico de 1).

;1f

19

é a inclinação da curva

q

= cte no plano q x k.

;k

_{ar q,q}

I.

é a variação em k quando o parâmetro _. a varia, mantendo-se q fixo (ou, "ao longo de uma vertical (ou horizontal) sobre

q"),

ao longo da curva

q =

cte.

As expressões são numeradas da seguinte maneira: por exemplo (2.6.5) é a quinta ex-pressão, da sexta seção do capítulo 2, e, (AIOA) é a quarta expressão do décimo apêndice. Ao longo da exposição o número sempre aparece entre parênteses e a utilização de alguma palavra (expressão, equação, função, etc) na frente do número é opcional.

re-•

•

•

LISTA DE SÍMBOLOS1

Ki - emprego de capital no i-ésimo setor

Li -

emprego de trabalho no i-ésimo setor

11 11

Fi - emprego de petróleo no i-ésimo setor. No capítulo 6 significa a função de produção

do i-ésimo setor ₁₁

Gi - função de produção do i-ésimo setor. No capítulo 6 significa o emprego de petróleo no i-ésimo setor

l'i -

produto do i-ésimo setor

ai - quantidade de petróleo por unidade de produto do i-ésimo setor

Pi - preço do bem produzido no i-ésimo setor

w - remuneração nominal do trabalho

r - remuneração nominal do capital

11 11 12 12 12 12

PP - preço do petróleo em unidades monetárias e em unidades do bem doméstico a partir do capítulo 6

Pi -

valor adiclonado na i-ésima indústria

P -

valor adicionado relativo

PAi - produto adicionado na i-ésima indústria

P - preço relativo 12 13 13 13 13

P - ponto da fronteira de possibilidade de produção (FPP) na qual a economia localiza-se (figura 2.3.1)

fi -

ponto da FPP-líqüida na qual a economia localiza-se (figura 2.3.1) Yi - produto per capita do i-ésimo setor

li - fração do emprego total no i-ésimo setor

lPara os símbolos da seção 2.2 (pgs 7-11) deve-se recorrer diretamente ao texto.

14 14 15 15

•

•

fi -

relação petróleo/trabalho no i-ésimo setor. A partir do capítulo 4 representa o produto por trabalhador do i-ésimo setor

ki - relação capital/trabalho no i-ésimo setor

Zi - produto adicionado per capita no i-ésimo setor

Ci - consumo per capita da i-ésima mercadoria

w, -

remuneração do trabalho em unidades do i-ésimo bem

ri - remuneração do capital em unidades do i-ésimo bem

w - remuneração relativa dos fatores

15 15 15 15 18 18 19

Yt - produto nominal per capita líqüido da conta petróleo (a partir do capítulo 3 é medido

em unidades da segunda mercadoria) 20

u - função utilidade do consumidor típico 24

T - transferência per capita em unidades do segundo bem 24 Ll - símbolo utilizado para identificar o jacobiano de um sistema de equações 25 Ll: - determinante utilizado para encontrar :: por regra de Cramer, a partir de um sistema de equações

6 - hessiano orlado da função utilidade com sinal negativo

'Ir p - preço do petróleo em unidades da segunda mercadoria

() - taxa de preferência intertemporal do consumidor típico

Ct - consumo per capita no instante t

n - taxa de crescimento populacional

6 - taxa de depreciação do capital

À-25 25

28

34

34

35

35

35

•

•

•

per capita

Uo - utilidade intertemporal do consumidor

H - hamiltoniano de problemas de otimização dinâmica

37

38 38

q - preço sombra no instante t em unidades de utilidade, do bem de capital. A partir do capítulo 5 representa o preço sombra no instante

t,

do capital instalado, em unidades do

capital não instalado ₃₈

B - valor da utilidade marginal no limite em que o consumo

é

zero (somente na seção

4.2)

₄₀

p -

preço relativo a partir do qual a economia especializa-se na produção de bens de

capital (ver figura A5.1 e A5.2)

₄₀

l!. -

máximo preço relativo que mantém a economia especializada na produção de bens de consumo (ver figura A5.1 e A5.2)

q-ki -

relaçâo capital/trabalho de estado estacionário no i-ésimo setor p. - preço relativo de estado estacionário

mi - estoque de capital per capita instalado no i-ésimo setor

h·-

I

mi -

estoque de capital per capita instalado no i-ésimo setor em t = O

v - fração dos novos bens de capital instalado no segundo setor

ç-k -

(ver figura 4.3.8)

bt - estoque per capita de dívida externa

T - custo de instalação de capital por unidade (ver pg 81)

b_{o - estoque inicial da dívida externa}

40

40

40

41 41 41

56

60

65

65

71 71

78

78

81

•

•

81

Pt - preço sombra em t do bem de capital não instalado em unidades do bem de

consumo ₈₁

4> - investimento por unidade de capital 82

Q - valor da utilidade marginal do consumo em unidades do bem de consumo 82

k* - estoque per capita de capital no estado estacionário 83

f3 -

utilidade marginal do consumo no modelo da seção 5.2.1 90

ii - investimento per capita no i-ésimo setor 96

qi - preço sombra no instante t do capital instalado no i-ésimo setor, em unidades de

capital não instalado ₉₆

100 100

mi -

estoque de capital per capita instalado no i-ésimo setor no estado estacionário 104

9i - relação petróleo/trabalho no i-ésimo setor ₁₀₇

•

•

• •

4

Acumulação de capital ótima numa economia com

dois setores

4.1

Introdução

Este capítulo, relativamente extenso, é dedicado aos modelos de crescimento ótimo de dois setores numa economia fechada sem custos de instalação. Após esta investigação, no capítulo 5 estuda-se estes modelos em economia aberta, para analisar-se o choque externo do ponto de vista dinâmico. Dois casos serão aqui abordados: quando o capital é perfeitamente móvel e quando é perfeitamente imóvel. Os trabalhos originais são Uzawa (1964) e Ryder (1969). Ambos utilizam a hipótese de utilidade marginal do consumo constante, que é indesejável pois permite trajetórias de acumulação com consumo zero durante um intervalo finito de tempo. O capítulo 6 de Hadley e Kemp (1973) desenvolve ambos os modelos com a hipótese

limu'(c) = 00

c-o

que dado o custo de oportunidade de consumo zero elimina a possibilidade de especiali-zação na produção de bens de investimento. No entanto, há inúmeros erros ao longo da exposição. O objetivo da próxima seção é refazer os modelos corrigindo as imperfeições.

Uzawa (1964) investigou a trajetória ótima de acumulação de capital, no modelo neoclássico de dois setores com dois fatores de produção, capital e trabalho, perfeita-mente móveis. Por comodidade, o Apêndice 5 apresenta os principais resultados da solução estática, ou do equilíbrio de curto prazo, deste modelo.

Seja o primeiro setor produtor de bens de consumo e o segundo setor, produtor de bens de investimento. O problema de Uzawa consiste em encontrar a trajetória ótima de acumulação de capital para o programa:

• 'I

onde:

k(O) - ko conhecido.

Yi oferta per capita do i-ésimo setor;

Ct consumo per capita em t ;

,\ _ 8+n;

8 taxa de depreciação do capital;

n - taxa de crescimento populacional;

e

taxa de preferência intertemporal.

(4.1.2) ( 4.1.3)

A figura 4.1.1 apresenta a solução para este problema quando a primeira indústria é capital intensiva e a figura 4.1.2 para o caso em que a segunda indústria é capital intensiva (respectivamente correspondem às figuras 3 e 6 do trabalho de Uzawa).

Esta solução é chamada de solução "bang-bang". Durante um intervalo de tempo finito a economia especializa-se na produção de bens de investimento. Quando a primeira indústria é capital intensiva e o estoque inicial de capital é menor do que kH8 _{(figura 4.1.1)}

a economia especializa-se na produção de bens de investimento, até atingir o estoque

e ..

+8.

•

•

• •

•

ur .c~~ ____ ~ __________ ~____________________ K KiII FIGURA

4.'.'

~~~--~---~~---K FIGURA 4.1.2

até atingir o estado estacionário.

Do ponto de vista matemático, estas trajetórias têm estabilidade de ponto de sela. Em um sistema dinâmico com duas equações, (neste caso, uma para k e outra para w),

quando a estabilidade é de sela, há um braço estável e um braço instável. Conforme a primeira indústria é mais ou menos intensiva em capital do que a segunda, o braço estável passa a ser o instável e vice versa.

Este capítulo tem a seguinte organização. Na próxima seção, o problema de Uzawa é resolvido para o caso em que a utilidade marginal do consumo é decrescente. Na seção seguinte, o mesmo problema é resolvido para o caso em que o capital é específico.

4.2

Capital perfeitamente móvel

Investiga-se a trajetória de acumulação de capital de uma economia que produz dois bens. O primeiro é o bem de consumo e o segundo o bem de investimento. Os fatores de produção são móveis e deslocam-se de maneira a igualar as respectivas produtividades marginais entre os setores. Os indivíduos maximizam o valor presente das utilidades futuras. Em todos os instantes do tempo as equações (A5.9) - (A5.16) são satisfeitas41.

Seja Y

==

Yl

+

PY2 (4.2.1) e _ PY2 s = - (4.2.2) Y

f

..

•

o

programa de maximização solucionado pelo planejador central benevolente42 •43 é max U_o

=

r~

e-etu«l - s)y) dt

{s(t)}~o

lo

(4.2.4)

sujeito a:

k(t)

=

s(~{~~t)

_ Àk(t)

onde À

=

6

+

n

_(4.2.5)

o

~

s(t)

~ 1 para todo t

_(4.2.6)

e k(O) = ko conhecido,

(4.2.7)

onde Jl é a taxa de depreciação do capital e n é a taxa de crescimento populacional.

Escolhendo-se

s(t)

determina-se em que ponto da fronteira de possibilidades de pro-dução a economia irá trabalhar; determina-se, portanto,

p(t).

Dado

p(t)

e

k(t),

que é um estoque acumulado no passado, resolve-se o modelo estático do Apêndice 5. O hamiltoniano será

H(k(t»

= e-et

{ul(l -

s)y]

+

q ( ; -

Àk) }

Solucionando (4.2.8) segue três possibilidades"":

s

=

1 =}

aH / as

2:

o

a economia especializa-se na produção de Y2;

o

<

s

<

1 =}

aH/as

= O a economia produz ambas as mercadorias;

s

=

O =}

aH/as

~ O a economia especializa-se na produção de Yl.

Como

aH

as

( u Yl - -'( ) DYl _ap dp _ds

+

q - -DY2 _Dp dP) _ds e -Ot

(4.2.8)

42Planejador central benevolente é aquele cuja função objetivo é a função utilidade do consumidor típico.

43Como não há externalidade a economia planejada reproduz a economia descentralizada. Ver, por exemplo, Toledo (1985), pp. 35-39.

44Em uma primeira leitura, ou os leitores mais interessados com o problema central tratado nesta tese, podem ir diretamente para a seção 4.2.3, onde as principais conclusões são apresentadas.

•

•

8 = 1

=>

u'(ydp ~ q

0<8<1

=>

U'(Yl)P = q (4.2.9)

8=0

=>

u'(ydp ~ q

onde na derivação de (4.2.9) usou-se (A5.28). A interpretação de (4.2.9) é a seguinte: sempre que o preço de oferta do bem de capital (u'(yt)p) for menor (maior) do que o preço de demanda (q), a economia especializa-se na produção do bem de investimento (consumo).

Para solução interior (4.2.9) define implicitamente

p =p(k,q) (4.2.10) com "( ) 8Yl 1 8p

I

= _

pu Yl 8k P >< O - conforme k1(w) ~ k2(W) 8k q 8Yl U'(Yl)

+

PU"(Yl) 8p

Ik

( 4.2.11). e 8p 1

a

1k

₌

8

>

O. q U'(Yl)

+

PU"(Yl) ; ;

Ik

(4.2.12).

Após encontrar a solução de curto prazo segue a análise dinâmica. A equação de Euler para q(t) é

cj(t)

=

(8

+

-\)q(t) - u'(yd

~;

I" -

q

~;

I" .

( 4.2.13) As equações (4.2.5) e (4.2.13) assumem formas diferentes nos três casos46

•

•

•

{

~(t)

=

(O

+.\ -

f;(k))q(t)

( 4.2.14)

s==l

k(t) == h(k) - Àk(t) _{( 4.2.15)}

{ 4(t)

=

(O

+.\ -

f;(k,))q(t)

_(4.2.16)

O<s<l

k(t) == Y2(P(Q, k), k) - Àk(t) _{( 4.2.17)}

{

~(t) =

(O

+

.\)q(t) - u'(!t(k))J:(k)

_(4.2.18) 8==0 k(t) == -Àk(t) . _(4.2.19)

Obtém-se (4.2.14) e (4.2.18) a partir de (4.2.13) substituindo-se (A5.34) e (A5.35) e supondo para (4.2.14) que lim u'(Yd~'.t == 047

• A equação (4.2.16) segue da substi-Yl-O

tuição de (4.2.9) e (A5.29) em (4.2.13).

A dinâmica será diferente conforme k1(w) ~ k2(w).

É

necessário analisá-las

separada-mente.

4.2.1 O bem de consumo é capital intensivo

O primeiro passo para o estudo da dinâmica é definir no diagrama de fase as três regiões, isto é, quando a economia está especializada na produção de um dos bens e quando produz ambos os bens. Inicialmente supõem-se que48 _{lim U'(Yl) == B49}

_<

_{00. Lembrando que}

Yl-O

para cada k há um par50 (E(k),p(k)) que demarca as regiões, decorre de (4.2.9):

e

q == Bp(k) _(4.2.20)

(4.2.21 ) 41Para que isto não aconteça é necessário que lim U'(Yl) = 00. Neste caso a economia não se especializa

111- 0

na produção do bem de investimento e, portanto, s = 1 está eliminada.

48Nota_se que o primeiro bem é o bem de consumo e o segundo bem é o bem de investimento.

49 Analisa-se o caso intermediário entre o problema de Uzawa (utilidade marginal constante) e a

especi-ficação tradicional (utilidade marginal decrescente e tendendo a infinito quando o consumo se aproxima de zero). Toma-se utilidade marginal decrescente mas finita quando o consumo é zero.

•

•

• dq dp(k) dk = B-;n;-

>

O e -= dq

=

u ,dp -=

+

E( k)u " ,

f

(1..-) > < O

dk

dk

1

(ver (A5.37)) e

q

>

9.

(visto que B

>

u'(fl(k») e p(k)

>

E(k»). Com estas informações pode-se construir as três regiões (figura 4.2.1). Entre as duas regiões a economia produz ambas as mercadorias, acima especializa-se na produção do bem de investimento e abaixo na produção do bem de consumo.

Se a economia está especializada na produção do bem de investimento

Seja k), definido por h(k),) - >'k), = O o máximo estoque de capital per capita que é sustentável.

Em

toda a região acima de

q

e à esquerda de k), o estoque de capital cresce. Em toda a região abaixo de

9.,

o capital decresce. Por continuidade das funções, a curva

k

= O está no interior de ambas as regiões até o ponto A quando torna-se a vertical sobre

Quando a economia está especializada na produção do bem de consumo a curva

q

= O

é a curva u'f{(k)

=

(8

+ >.)q,

de onde segue que

dq _

u"J{

+

u'

1:'

dk

14=0 -

O

À

<

O •

J/2=0

+

( 4.2.22) Quando a economia está especializada na produção do bem de capital a curva

ti

= O é a curva f~(k>'+8) = À

+

O, uma reta vertical sobre a abscissa k),+8

<

k)" pois a função de produção é crescente, côncava e cruza a origem. No caso da produção de ambas as mercadorias a curva

q

= O é a curva f~(k2) =

>.

+0. A relação capital-trabalho no segundo setor está fixado no nível ki que é aquele valor cuja produtividade marginal é À +0. Como a relação capital-trabalho em cada um dos setores só depende do preço relativo, ao longo

•

•

•

..

Juntando todas estas informações segue a figura 4.2.2.

A dinâmica é estável para k e instável para q, produzindo uma trajetória padrão de ponto de sela, negativamente inclinada 51 •

Resta determinar o comportamento do preço relativo e da relação das remunerações fatoriais. Ao longo do caminho de crescimento a economia intercepta infinitas curvas p = cte. (por exemplo a curva

AB).

Segue de (4.2.11) e (4.2.12) que p é crescente.

Pode-se agora colocar a trajetória no plano (w X k) que foi o originalmente utilizado por Uzawa (figura 4.2.3).

Para finalizar a análise é necesário estudar o caso em que

lim

U'(Yl)

= +00 ,

Yt-O ( 4.2.24)

isto

é,

quando toma-se o limite para B -+ 00 . Neste caso, a curva q(k) coincide com o

eixo das ordenadas e não

é

mais possível conhecer o comportamento da curva !l( k) quando

k aproxima-se de zero.

É

necessário um estudo mais cuidadoso da curva

k

=

o.

A curva

k = O é o conjunto de pares

(q,

k) para os quais

cuja inclinação: Y2(p(q, k), k) - >'k

=

O

fui

ôk p

+

fui

ôp k ôk q -~I

>.

Ô_Y2 1

ô

_P I ôp k ôq k ( 4.2.25) (4.2.26)

não possui sinal bem definido, pois um aumento de k diminui Y2 pelo teorema de Rybczynski-Samuelson, este mesmo aumento de k aumenta p, que por sua vez aumenta Y2. O efeito

líqüido é ambígüo. Supondo que o efeito direto seja maior do que o indireto, a inclinação da curva

k

= O é positiva, mas a princípio esta afirmação não pode ser feita .

Apesar da indeterminação na inclinação de k

=

O é possível estabelecer uma com-paração entre as inclinações das curvas k

=

O e

q

=

o.

Substituindo-se (4.2.11) e (4.2.12)

•

•

q .'

q(K)

>

q (K)

<

~~~---L--

______________

K FIGURA 4.2.1

r

•

•

f • q _{q (K)} - - - q ( K ) ~~----~--~---L---

_____

K KO ,,+9 K'" K FIGUR A 4,2.2

•

• •

*

w UT O FIGURA 4.2.3

•

a

•

em (4.2.26) e utilizando (A5.28) e (A5.29), segué2 :

(4.2.27)

Substituindo-se (A5.29) em (4.2.27) segue:

dq_l. ::::

(aY2)-I

[('+

"aYI )

(.,x-

ÔY2)]

+ "(

)ÔYI

dk k=O ap U pu ôp ôk pu YI ôk ( 4.2.28)

donde

*Ik:o - *Iq=o

>

O que é o resultado que garante a unicidade global do estado estacionário. A figura 4.2.4 apresenta uma ilustração53,54

Ao comparar a figura 4.2.2 com a figura 4.2.4 fica evidente que a vertical sobre k>.

e sobre k>'+8 são respectivamente as assímptotas das curvas

k ::::

O e

q ::::

O. Conforme toma-se o limite

B

--+ 00 a curva

q

gira no sentido anti-horário, "carregando" consigo os

pontos

C

e D. Como

*Ibo

>

*Iq=o

é garantida a existência do estado estacionário. A dinâmica é estável para k e instável para q produzindo um caminho de ponto de

sela. Nota-se que a economia nunca especializa-se na produção do bem de investimento. Novamente, pode-se desenhar a trajetória no diagrama w x k e compará-la com a trajetória obtida por Uzawa em seu trabalho original. Uzawa utilizou a hipótese u'(yd

=

1

de tal forma que q = p. As curvas

q ::::

O e

k ::::

O podem ser desenhadas neste plano. As figuras 4.2.5 e 4.2.6 comparam o resultado de Uzawa com o de Hadley e Kemp. Note, no entanto, que se quiser utilizar o plano w x k como espaço de fase, po<le-se cometer inúmeros erros. Este assunto é tratado no apêndice 7.

Apesar das curvas k :::: O e

q ::::

O serem as mesmas, a dinâmica é completamente distinta. A introdução de um potencial infinito nas proximidades da curva k2 ( w) funciona

para manter a trajetória sempre abaixo desta curva. 52Ver Apêndice 6, item 6.1.

53Nota-se que a curva

k

=

O não pode econtrar a curva í(k). Caso contrário ocorreria uma descon-tinuidade em

k.

•

.

•

q

.

K=O - -_ _ _ - 9 (K) UL __ - L __ ~ ________________ ~___________________ K FIGURA 4.2.4

•

• • v.r_o ~o ~~~ __ L-~ ______ ~ ____________

L-__________

K FIGURA 4.2.5 UZAWA 1964. ~~ ____ -L~ ______ ~ ____________

L-__________

K FIGURA 4.2.6

•

•

•

Refazendo passo a passo o desenvolvimento para o caso anterior segue: os limites para as três regiões obedecem às mesmas equações, no entanto, dado a inversão no sinal de

*

e

~

segue55:

ãq - Bdp(k) O

dk - dk

<

e _dk d!l = u,de _dk

+

c n(k)u"f' 1

<

O

e novamente

q

>

~ (ver a figura 4.2.7).

Nas regiões acima de !L a curva

q

=

O é a curva p

=

de. (ver (4.2.15) e (4.2.17)), com inclinação positiva entre as regiões (ver (4.2.22)) e abaixo de ~ a inclinação será negativa (ver (4.2.23)). Esta curva está graficada na figura 4.2.7.

A curva k = O exige um pouco de reflexão. Na região abaixo de !L a economia encontra-se especializada na produção do bem de consumo e, portanto,

k

é negativo, inclusive na fronteira. Quando a economia está especializada na produção do bem de capital, a direita de k>. o estoque de capital diminui e à esquerda de k>. ele aumenta. Pela continuidade das funções a curva k

=

O corre entre as duas regiões até A, quando torna-se a vertical sobre

k>.. A figura 4.2.8 resume as principais informações. A dinâmica é analisada a partir de

{

~ = {()

+

À - f~

[

k2 ( W (p( q, k) ) )

1 }

q(

t)

k

=

Y2(p(q,k),k) - Àk(t).

( 4.2.29) ( 4.2.30) Como ~ Ik

>

O e ~ Ik

>

O a dinâmica é instável para k. Como ~ Ik

>

O, ~;

< O

se

k

1

<

k2 e k~

>

O,

um aumento de q, mantendo k fixo, diminui k2 e, portanto, aumenta f~

•

"

•

q q FIGURA 4.2.7 q FIGURA 4.2.8 q K

.,

•

•

•

dq dq (ÔY2 )-t ( I I/ÔYt ) ( k ÔY2)

dk1k=o - dk1ti=o

==

ôp u

+

pu ôp ). 1- Y2 ôk

<

O (4.2.31) pois ~

W

>

1 se kt(w)

<

k2(W) 58 •

Quando toma-se o limite B -+ 00 a curva

q

é "jogada" para cima, carregando consigo

os pontos A e B (ver figura 4.2.8). Segue, portanto, que as verticais sobre k>'+B e k>' são respectivamente as assímptotas de

q

=

O e

k

=

O. Para desenhar a curva

k

==

O sabe-se que ela tem por assímptota k>., que é sempre menos inclinada do que

q

==

O e que não

intercepta~. Estas condições são suficientes para garantir a existência e unicidade do

estado estacionário. Ver figura 4.2.9.

Como ~Ik

>

O, ao longo da trajetória a economia intercepta curvas p

=

cte., por

exemplo AIBt e A2B2' sucessivamente para valores menores de p. Logo,

p

<

O e, portanto,

w

>

O, conforme a economia acumula capital. A figura 4.2.10 ilustra a solução no diagrama

W x k.

Comparando a solução encontrada nesta seção com a solução de Hadley e Kemp (1973) várias incorreções saltam à vista. No caso em que a primeira indústria é relativamente capital intensiva (comparar a figura 4.2.4 com a figura 6.3(a) da p. 339 da referência) eles consideraram a curva

k

==

O encontrando-se com a fronteira g,( k) (~( k) em seu texto), produzindo uma descontinuidade em

k

no diagrama de fase. Este erro tem origem na crença de que a curva

k

=

O é sempre positivamente inclinada e que cruza a origem (como no caso em que ela é graficada no diagrama w x k). Não notaram - comparar a p. 342 da referência com a expressão (4.2.26) - que quando aumenta-se o estoque per capita de capital o produto da segunda indústria pode cair mas que há um efeito indireto, através

•

•

q FI GU RA 4.2.9 q=

o

K=O ----r-__ q K

,

7

r

•

UT O .'

q

= O. ~~

__

~

____________

~

________ -L______

K

K*

FIGURA 4.2.10

."

•

•

A chave para encontrar a solução correta foi fornecida pelo trabalho de Shell (1967) que refêz o trabalho de Uzawa no diagrama de fase correto, isto é, para (q x k) e não para

(w X k) (ver também Intriligator, (1971), capítulo 11 e apêndice 2) e, também, procurar a solução em etapas: primeiro para B

<

00 e só depois tomar o limite. Desta forma, a

construção do diagrama de fase torna-se natural.

4.2.3 Conclusão

As figuras 4.2.2 e 4.2.4 apresentam a trajetória ótima de acumulação de capital quando a indústria de bens de consumo é capital intensiva, respectivamente para os casos em que a utilidade marginal de consumo zero é finita e infinita. Em ambas o preço sombra do bem de investimento decresce e o estoque de capital cresce ao longo do tempo. No primeiro caso é possível que a economia durante um intervalo finito de tempo esteja especializada na produção de bens de investimento, isto é, a trajetória pode localizar-se acima da curva

q(k). Análise análoga segue das figuras 4.2.8 e 4.2.9 para o caso em que a indústria de bens de investimento é capital intensiva. A única diferença é quanto ao comportamento do preço relativo do bem de investimento contra o bem de consumo. No caso em que a indústria de bens de consumo é capital intensiva a trajetória de p é crescente; no outro caso é decrescente.

As figuras 4.2.11 e 4.2.12 mostram três trajetórias, respectivamente para k}

>

k2 e

k}

<

k2 , para as três possibilidades: quando a utilidade marginal do consumo é constante

(caso estudado por Uzawa); quando ela é decrescente, mas no limite para o consumo tendendo a zero é finita; e o caso em que este limite é infinito.

.

.

,

~ UT

•

UJ" K)..+9 FIGURA 4.2.11

•

K K 2 (W") K K 1 (\U")

~---"

.

.

• •

4.3

Capital perfeitamente imóvel

4.3.1 Introdução

Até agora trabalhou-se com a hipótese de que o capital é perfeitamente móvel. Nesta secção, inverte-se a hipótese. Supõem-se que o capital seja perfeitamente imóvel; uma vez instalado em uma das duas indústrias não pode ser realocado para outra indústria.

Este modelo foi estudado por Ryder (1969), com a suposição de utilidade marginal do consumo constante. Hadleye Kemp (1973) refizeram o modelo supondo que a utilidade marginal é decrescente e que lim u'(c)

=

+00.

Ambos os trabalhos são confusos e possuem

c-o

diversas incorreções. Nesta secção os modelos são reformulados.

Quando o capital é específico a variável de estado deixa de ser o estoque de capital per capita e passa a ser o estoque de capital per capita de cada setor. Nesta introdução resolve-se o problema solucionado na resolve-seção 4.2 explicitando a variável relevante, isto é, o estoque de capital per capita de cada setor. Como será visto, a solução com capital específico reproduz, para uma das configurações possíveis, a solução com perfeita mobilidade de capital. No entanto, e adiante ficará claro, a solução com capital específico produz uma indeterminação; e a maneira de contorná-la é transpor as soluções, isto é, tomar como trajetória solução a trajetória com perfeita mobilidade (conforme o princípio de "equações iguais, soluções iguais"59). Para fazer tal transposição é necessário construir a trajetória com perfeita mobilidade, isto é, a solução da seção 4.2, no diagrama de fase apropriado. Isto

é

o que será feito nesta introdução.

Seja ml e m2 o estoque de capital per capita do i-ésimo setor e 12 a fração do emprego

no segundo setor. O programa de maximização (4.2.4) - (4.2.7) é escrito como:

(4.3.1) (4.3.2)

•

·

•

•

(4.3.3)

(4.3.4)

(4.3.5)

com m2 e l2 variáveis de controle e k variável de estado.

o

hamiltoniano para este problema é

(4.3.6)

Este problema foi resolvido na seção anterior. Deseja-se construir a trajetória de acu-mulação de capital no plano ml x m2, que serão as variáveis de estado quando o capital for específico.

Supondo solução interior, as condições para o equihbrio de curto prazo são:

'( ) [f

k - m2

fI]

[I

m2 ,]

U · 1 - 1 _ l2 1

=

q 2 -

f;

f2

(4.3.7)

e

u'(·)!:

=

qf~

(4.3.8)

que podem ser resolvidas para m2 e f.2 em função de q e k, uma vez qu~ o jacobiano

(Apêndice 8) tem sinal bem definido 60,61.

•

·

•

..

Tabela 1 END m2 12 mI II EXO k1

>

k2

-

-

+ +

k k}

<

_k2

_{+ +}

-

-q

_{+ +}

-

-Seja k~ e ki a alocação de estado estacionário. Lembrando que a curva

q -

O é a curva62 p = cte., segue que a reta

q

= O é representada pela equação

m} m2

- + - = 1 .

k* _} k* ₂ (4.3.9)

A curva k = O cruza a origem e k>. quando a economia está especializada na produção da segunda mercadoria (ver, por exemplo, as figuras 4.2.6 e 4.2.10). Da solução de Uzawa sabe-se que a curva

q

=

O é o braço estável de ponto de sela quando k1

>

k2 e o braço

instável quando k}

<

k2 (ver figuras 4.1.1 e 4.1.2). As figuras 4.3.2

e

4.3.3 ilustram,

respectivamente, os casos em que k}

>

_k2 e k1

<

k2.

No entanto, para encontrar por onde passa o outro braço de ponto de sela para a solução de Uzawa, é necessário proceder a uma construção mais complexa.

Quando a economia não está especializada, as equações de movimento são:

q(t) = (O

+ ,\ -

f~(k2))q(t) (4.3.10) e

(4.3.11) Para descrever a dinâmica no plano m1 X m2 temos que escrever k2 e f₂ em função de

m} e m2. Esta construção é complicada e está parcialmente feita em Ryder (1969) e em 62Por exemplo, segue de (4.2.16) que

ti

=

O :} f~(k2)

=

B

+

>. e, portanto, para

ti

= O, k₂ está fixada. Mas se k é fixa ao longo da curva

ti

= O é porque o preço relativo do bem de investimento contra o bem

- - -

---•

•

·

•

Hadleye Kemp (1973). Dado que k2 é uma função de w, o primeiro passo é encontrarmos

a dependência entre

w

e m} e

m2.

Seja h}(w)

=

1 - ~ e h2(W)

=

1;".

Dadas as propriedades da função k_i

(w)63

sabe-se que: e

h1(O)

= -00, h1(00)=1, h2(O)

=

+00, h2(00) =0, h~(w»O h~(w)

<

O de tal forma que há um único

w

que satisfaz h1

(w)

=

h

2 (w)64.

ml m2 Como

+

= 1, segue kl(w(ml'

m2))

k2(w(ml' m2))

8w

I

1

[mlk~(w) m2k~(w)1-1

O 8mi mj = k_i k?

+

k~

>

i = 1,2. m2 Como 12

=

segue

k2(w(ml' m2))

As equações dinâmicas podem ser reescritas como:

e

(4.3.12)

( 4.3.13)

(4.3.14)

(4.3.15) A dinâmica para q é imediata. Uma redução de ffil e/ou m2 reduz w, que por sua vez

reduz k2 e consequentemente aumenta f~, tornando

q

<

O. A dinâmica para k é um pouco mais complicada. Supõem-se que seja reduzido ml, mantendo m2 fixo. Calculando:

que é negativo pois

k2*

<

1. Logo, uma redução de mil mantendo-se m2 fixo aumenta

k.

•

Quadro 1 - Dinâmica para kl

>

k2

Região 8m,

aq

q

+8m2

ale

k =m2

8mt

_aq

q

+8mt

_ale

k = ml

1

₊

₊

2

₊

₊

₊

₊

3

₊

₊

₊

₊

₊

₊

4

₊

₊

₊

₊

1

₊

?

₊

? 2

₊

₊

₊

3

₊

?

₊

? 4

₊

₊

₊

Quadro 2 - Dinâmica para kl

<

k2

Região

am2

_aq

q

+am2

_ale

k

₌

_m2

aml

_aq

_q

+amt

_k

₌

_ml

ale

1

₊

₊

2

₊

₊

₊

₊

3

₊

₊

₊

₊

₊

₊

4

₊

₊

₊

₊

1

₊

₊

₊

2

₊

?

+

? 3

₊

₊

₊

Para o caso estudado por Uzawa pode-se analisar conjuntamente este estudo da dinâmica com as informações contidas na Tabela 1 para obter os quadros 1 e 2 (ver

•

regiões nas figuras 4.3.2 e 4.3.3). Nestes quadros, a partir do conhecimento da dinâmica : para q e para k em cada uma das regiões e, a partir da informação contida na tabela

•

•

1 pode-se determinar a dinâmica para mI e m2 em cada região. Procede-se da seguinte

Além destas informações, sabe-se que a reta

q =

O é o braço estável do caminho de sela quando kI

>

k2 e o braço instável quando kI

<

k2 • Com estas informações (ver as

direções do movimento nas figuras 4.3.2 e 4.3.3), é possível afirmar que o outro braço do ponto de sela encontra-se respectivamente nas regiões 1 e 3 quando kI

>

k2 e 2 e 4 quando

kI

<

k2 , pois são nessas regiões que a dinâmica é indefinida66•

Recapitulando, toda esta construção foi feita para obter as figuras 4.3.2 e 4.3.3. Sabe-se da Sabe-seção 4.2, que conforme a utilidade marginal para consumo zero aumenta, o valor de k2 para o qual a economia deixa de estar especializada na produção de bens de

in-vestimento reduz-se (ver as figuras 4.2.11 e 4.2.12). No limite em que B -+ 00 nâo há

especialização na produção da segunda mercadoria. Os três casos estão graficados em 4.3.4 e 4.3.5. Graficamente, conforme a utilidade marginal de consumo zero aumenta, o caminho de aproximação de ponto de sela "entorta" no sentido anti horário, tornando-se menos negativamente inclinado. Este fato terá uma profunda implicação para a dinâmica, como será visto na próxima seção67

•

65Abel e Blanchard (1983) utilizam procedimento análogo em outro contexto. 66Ver as interrogações nos quadros 1 e 2.

• FIGURA o K=O 4.3.2

•

_q=O t<',

>

K ₂

• • • • • -=~---~~--- Ml FIGURA 4.3.4

-

K o ~~---~~---Ml FIGURA 4.3.5

•

•

Tendo discutido a dinâmica para capital móvel no diagrama ml X m2 pode-se atacar o

problema com capital específico. Neste caso o planejador central soluciona68_:

(4.3.16) sujeito a: (4.3.17) ( 4.3.18) ( 4.3.19) O~v~1 ( 4.3.20) 0< 12 < 1 . (4.3.21)

A novidade é a introdução da variável de controle v (compare com (4.3.1) e (4.3.2)). Como uma vez investido o capital é imóvel, é necessário especificar qual a fração dos novos bens de capital que será investido nesta ou naquela indústria.

A primeira desigualdade de (4.3.21) impede a especialização da economia na produção de bens de investimento. Quando o capital é imóvel e há algum capital alocado na indús-tria de bens de investimento a economia também não pode especializar-se na produção de bens de consumo, pois neste caso o produto marginal do trabalho na indústria de bens de investimento é infinito.

A partir do hamiltonian069

•

·

..

•

• quando {O

~

:

!

1 }

v=O

( 4.3.22)

a;:

= -u'(·)

(fI - lm1ef:)

+

[ql(1- v) +q2V]

(h -

~2 f~)

=

O. (4.3.23) As equações de Euler para as variáveis de estado m1 e m2 são:

ql

= -u'(·)n

+

(À

+

6)q1

limt_oo e-etmi(t)qi(t) = O i = 1,2.

Conforme (4.3.22) três situações particulares são possíveis:

Situação 1: se ql

>

q2 então v

=

O

e, de (4.3.23), u'(·)

(fI -

en)

= ql

(h -

Tf~)

e as equações dinâmicas:

ml -

ih

(~2)

-

'\ml

m2 - - Àm2

Situação 2: se ql

<

q2 então v

=

1

e, de (4.3.23), u'(·)

(fI -

F-iI:)

=

q2

(h - T

f~)

e as equações dinâmicas:

ml

-

-'\ml

m2

ih

(~2)

-

'\m2 ql

-

-u'(·)f;

+ (,\ +

O)ql q2 -q2(J~ - ,\ - O) . Situação 3: se ql

=

q2 então O

<

v

<

1 (4.3.24) (4.3.25) (4.3.26) (4.3.27) (4.3.28) (4.3.2~) ( 4.3.30) (4.3.31) (4.3.32)' (4.3.33) (4.3.34) ( 4.3.35) (4.3.36) (4.3.37) (4.3.38) (4.3.39)

,

.

• e, de (4.3.23), u'(·)

(JI-

f!tJ{)

=

q2 (12 -

TJ~)

_(4.3.40) e as equações dinâmicas: ml

-

(1 - V)lJ2

(~2)

- ÀmI ( 4.3.41) m2

_-

vlh

(~2)

- Àm2 (4.3.42) ql

_-

-u'(·)J:

+

(À

+

O)q (4.3.43) q2

-

-q(J~ -

>. -

O) . (4.3.44)

Para as situações 1 e 2 a descrição de Ryder está bem feita. Segue abaixo apenas sua reprodução. Na primeira situação, todo o investimento é alocado para a primeira indústria e, portanto, m2

<

O. Um caso extremo é quando a economia está especializada na produção de bens de investimentos, e, portanto l

=

1. Segue ml

=

h(m2) - Àml e a reta ml = O é a reta ml = À - I f2(m2) (figura 4.3.6). Quando l

<

1 a curva m = O

desloca-se para a esquerda, mantendo a origem corno ponto fixo (curvas tracejadas na figura).

Para a situação 2 utiliza-se o mesmo argumento. Quando f. = 1 a curva m2 = O satisfaz h(m2) - >.m2 = O ou m2

=

k).. Quando l

<

1, m2 torna-se menor. Os dois casos estão ilustrados na figura 4.3.7.

É

importante que esteja claro que esta análise, apesar de satisfatória, não é rigorosa. Isto porque o plano ml X m2 não constitui um legítmo diagrama de fase. Para o problema

em questão, o diagrama de fase envolve três variáveis: mI, m2 e q, onde q = max(qI, q2).

Por exemplo, a solução rigorosa para a situação 1 é a seguinte. A partir de (4.3.28) encontra-se a função

•

I

.

..

..

formam um conjunto de três equações. Esta construção tem que ser entendida corno um "caminho das pedras" para evitar as dificuldades envolvidas no trato com diagramas de fase em três dimensões.

Para a terceira situação, corno ql

=

Q2, segue que

ql

=

q2 e, portanto,

(4.3.45) que substituindo-se em (4.3.36) segue:

fi ml f2 m2

w

=

f; -

1 - f.::: f~

-

T .

(4.3.46)

Neste caso a trajetória reproduz urna economia com mobilidade perfeita de capital. Toda a construção da seção 4.3.1 é válida. Transpondo as soluções, isto é, considerando-se a solução do problema análogo com mobilidade de capital, as figuras (4.3.4) e (4.3.5) ilustram a trajetória da acumulação. Para que a economia situe-se sobre este caminho duas condições devem ser satisfeitas: as relações entre os estoques de capital em cada setor têm que guardar uma razão apropriada e a restrição (4.3.20) tem que ser satisfeita. Se uma dessas duas condições não é verificada, a dinâmica é descrita pelas situações 1 ou

2.

Antes de continuar é pertinente uma observação. As condições de equilíbrio de curto prazo não permitem escrever v = v(mt,m2,Q). Observa-se este fato em (4.3.23). Como ql = q2 os termos em v se cancelam. Este fato é conseqüência do teorema do envelope; em primeira ordem, como as produtividades marginais do capital entre os setores são iguais, é indiferente em que setor o investimento é efctuado70• Para determinar v ternos que

trabalhar com ordens de grandeza superior. De (4.3.23) sabe-se que f

=

f( m., m2, q) e da introdução que kl = k.(w(m.,m2)) e k2 = k2(w(m.,m2))i1. Substituindo-se em (4.3.45)

segue

7°Esta é a indeterminação mencionada na seção 4.3.1. ilVcr (4.3.12).

•

..

-

...

,

.' M1 =

o

l~l /

/

/ / ~~---Ml FIGURA 4.3.6 V=O

,.,

/ K,. IE--~"=",,,,---'li:---J~----

M1

=

O

---...

/ ... / ... /

....

'- / ~

--

... . / -....

--<

"

. " ,

"-'\ '\ \

que derivando contra o tempo obtem-se:

• ( 4.3.48)

!

onde

lO Ai _ -Ullflaal

+ull(1-l)f~k~aaw +u'f~'k~aaw -qf~'k~aaw

mi mi mi m2

•

f

i

li!

ai

B -

2

+

u laq'

Substituindo-se (4.3.41) - (4.3.43) em (4.3.48) obtem-se v. Numericamente o modelo admite a seguinte solução: dado ml, m2 e q, a partir de (4.3.40) e (4.3.48), encontra-se l e

v, que substituindo-se nas equações dinâmicas obtem-se as variáveis de estado um período

adiante. Por interações súcessivas atinge-se o estado estacionário12_•

A dinâmica será um misto das três dinâmicas descritas. Sobrepondo as figuras 4.3.6, 4.3.7 e 4.3.4 ou 4.3.5 obtem-se a configuração da figura 4.3.8. É evidente a posição relativa

d~ cürvas Til l = O e

m2

= O, respectivamente, para v = O e v = 1, e a curva

k

=

o.

É importante notar que se as duas curvas se encontram em algum ponto este encontro dar-se-á sobre a reta de 45°. A curva O A representa o caminho de aproximação de ponto de sela. Acima da curva OA a economia está superacumulada no segundo setor (ql

>

Q2,

u'f~

>

qf~ e v

=

O) e abaixo de OA a economia está superacumulada no primeiro setor

(ql

<

q2, u'J:

<

qf~ e v

=

1). Com estas informações pode-se estudar a dinâmica (figura 4.3.9).

Sempre que a economia está fora da curva OA, caminha em sua direção até alcançá-la; a partir deste ponto a economia caminha sobre a trajetória de ponto de sela até atingir o estado estacionário. Na figura faz-se a suposição que ao longo de OA a restrição (4.3.20) é atendida. Se a curva O A for positivamente inclinada, se não houver crescimento populacional e se a depreciação for zero a restrição é automaticamente atendida. De

72 A transposição de soluções permitiu a solução do problema sem a necessidade de enfrentar a equação

•

•

·

..

e

m2

= vlf2

(~2)

uma vez que).

=

O por hipótese. Logo:

por hipótese. De onde segue:

e, portanto, (4.3.20) é at~.ndida.

1

O<v=--<l

l+ç

Esta dinâmica é bem diversa da dinâmica encontrada por Ryder (1969). Ryder estudou acumulação ótima em um modelo de dois setores, com capital fixo, utilizando a hipótese de Uzawa, isto é, utilidade marginal do consumo constante. Neste caso, quando k₁

>

k2 , a curva

q

= O torna-se o caminho de aproximação de ponto de sela73

• A figura 4.3.10

investiga a dinâmica neste caso. Nota-se que a economia não consegue caminhar o tempo todo sobre a curva

q

=

o.

Acima de A a fração do investimento na primeira indústria é maior do que um e abaixo de B a fração do investimento na segunda indústria é maior do que um. Isto é, somente no trecho AB do caminho de sela é que a restrição (4.3.20) é atendida. Nos trechos entre A e k>'+8 e entre B e Te dois motivos se somam para que (4.3.20) não seja atendida: por um lado a economia tem muito capital de um tipo e pouco do outro tipo e, por outro lado, a economia está aumentando muito rapidamente o capital do tipo que tem pouco e reduzindo rapidamente o do outro tipo. Desta forma

•

•

•

.

,

•

4.3.10) a variável v decresce de um até zero; a fronteira de separação das duas dinâmicas deve estar abaixo da trajetória de sela à esquerda de A e acima à direita de B .

A economia tem uma trajetória do tipo "bang-bang". Esta dinâmica é bem maIS complexa do que a anterior. Segundo Ryder74:

"É claro que a introdução de capital específico introduz considerável complexidade na

política ótima."

Verdadeiramente, esta complexidade está mais associada à inclinação negativa do caminho de sela. Esta, por sua vez, é devido à hipótese de utilidade marginal constante. A origem da patologia está nesta hipótese: quer o capital seja móvel, quer seja imóvel, ela produz uma solução "bang-bang". A introdução da hipótese de utilidade marginal decrescente e muito elevada, quando·o consumo é muito baixo, entorta o caminho de ponto de sela tornando-o menos decrescente.

Ryder em seu trabalho não mostra de onde surgiram as curvas s = O e s = 1 (s

corresponde à variável

V)15.

Hadleye Kemp cometem erro mais grave. Apesar de estarem estudando o caso da utilidade marginal decrescente, o diagrama de fase (figuras 6-1O(a) e 6-10(b) nas p. 358 e 359) mostra a dinâmica para o caso de Uzawa. Neste caso a curva

~j = O (qj = O na notação aqui adotada) constitui o caminho de sela! Por exemplo, não há compatibilidade entre essa figura e a figura 6.3(a) da p. 359. Novamente Hadley e Kemp não fazem a pergunta a respeito de origem da dinâmica patológica (ver suas figuras 6.1l(a) e 6.1l(b)).

4.3.3 Conclusão

A figura 4.3.9 apresenta as principais características da trajetória. A curva OA representa o caminho de aproximação de ponto de sela. Este caminho é idêntico ao encontrado para 74Ryder, 1969, p. 685. A dinâmica descrita na figura 4.3.10 é diferente da encontrada por Ryder, que descreveu a dinâmica com padrão cíclico .

•

•

•

o caso em que há perfeita mobilidade de capital. A economia, sempre que possível, isto é, sempre que 4.3.20 seja satisfeita, caminha ao longo de DA. Para pontos acima (abaixo) de DA a economia está com excesso de capital no segundo (primeiro) setor e, portanto, todo o investimento é concentrado no primeiro (segundo) setor. Não é possível garantir que a curva DA seja positivamente inclinada. De fato, para o caso estudado por Uzawa a inclinação é negativa (ver figura 4.3.10).

•

•

11

•

• • o A ~~---~~~---~1 K FrGURA 4.3.8

•

•

•

•

m,

FIGURA 4.3.9

•

•

•

•

m 2 K ').+ e L -____ ~ __ ~~ ______ ~ ____ ~~ ____ ~~~~---

m,

m*

₁ FIGURA 4.3.'0

•

•

•

Referências

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·

•

..

•

- ~-

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,.

•

•

Apêndice 5: O modelo estático básico

Os modelos de crescimento serão construídos tendo como base o modelo neoclássico de dois setores e dois fatores em concorrência perfeita (Kemp, 1969, capítulo 1).

As principais equações são:

onde .'

Yi

=

Ldl(k.) }2

=

L2!2(k2 ) W = !1(k1) - k1f{(kt} w =

p(J2(k2) -

k2!~(k2))

Yi

...

produto do primeiro setor;

Y2

produto do segundo setor;

L dotação de trabalho da economia;

f( ..• dotação de capital da economia;

Li . .. serviços de trabalho no i - ésimo setor;

J(i ... serviços de capital no i - ésimo setor;

r - ... remuneração do capital; (A5.1) (A5.2) (A5.3) (A5.4) (A5.5) (A5.6) (A5.7) (A5.8)

e as funções de produção satisfazem as condições tradicionais de Inada:

•

_fIO>

_o,

_ff'(·)

_<

_{O, fi(O) =}

_o,

_{f:(O) = 00,}

•

• Em termos per-capita as equações podem ser reescritas:

UI = f1fl(kd (A5.9) Y2 = f2!2(k2) (A5.1O) fI

+

_{f 2} = 1 (A5.11) f1k l

+

f2k2 = k (A5.12) r = ft(k.) (A5.13) .- r = pf~(k2) (A5.14) w = _{fl(k l ) - k1ff(k}1 ) (A5.15) w = p(J2(k2 ) - k2f~(k2)) (A5.16) d _}ti

Li

J( on e Ui =

L'

fi

=

L

e k

=

L·

O sistema (A5.9) - (A5.16) é resolvido para Yb Y2, _{fI, f2, k}, k2,} w e r em função de

k e p, que são exógenos. A solução padrão é a seguinte. Divide-se (A5.7) por (A5.5) e (A5.8) por (A5.6). Obtém-se:

(A5.17) que solucionando para ki segue

ki

=

ki(w) (A5.18)

onde

dki

f?

O

dw = -

fi/r> .

(A5.19)

O preço relativo de oferta é definido por

• •

....

"

_"

,

_,

---~~---r_---ur~---~---K 1 (l\r) ---~---~~--UT~----~---~~---K' p----__ L-~ ________ _ L _ _ _ _ _"~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , p FIGURA A5.1

,

I I I ---+---~-~ ---~~~---__t~

---'"

-'"-'"

"

K

•

que é a relação entre os custos médios. Fatorando r e LI e r e L2 nos numeradores segue:

• p = W

+

k2 ( w) / W

+

k1 ( W)

- h(k2(w)) fl(k1(w))

•

• que estabelece uma relação entre a remuneração relativa dos fatores e o preço relativo. Derivando obtém-se: wdp w p dw = w

+

_{k2( w)} w > > k ( ) < O conforme k1(w) < k2(W) .

W+

lW (A5.2I)

Graficamente, esta solução do subsistema (A5.5) - (A5.S) é representada nas figuras (A5.I) e (A5.2): dado um preço relativo obtém-se uma remuneração fatorial relativa e, dada esta, segue uma alocação fatorial. Dados k1 e k2 de (A5.1I) e (A5.12) encontra-se II e l2 e finalmente de (A5.9) e (A5.IO) segue VI e V2' No entanto, para uma dada dotação fatorial relativa, não são todas as alocações que são possíveis. Para que haja pleno emprego de fatores é necessário que k1(w) ~ k ~ k2(W) ou k2(W)

<

k

<

k1(w); são excluídos os casos em que k

>

k1(w)

>

k2(W) ou k1(w) ~ k2(W) ~ k. Para estes casos (A5.12) nunca pode ser satisfeita.

Para dado k (figuras A5.1 e A5.2) é evidente que w ~ w

<

w. Quando p

>

p

ou p

< l!.

a economia encontra-se especializada na produção de um dos bens.

As funções oferta de cada setor são:

(A5.22)

(A5.23)

Os principais resultados de estática comparativa estão derivados em Kemp (1969), capítulo 1. Por comodidade são aqui reproduzidos:

i;

~

O conforme k.(w)

~

k2(W)

i:

~

O conforme k.(w)

~

k2(W)

(A5.24)

• • onde (A5.26) e (A5.27) (A5.28) e (A5.29)

Finalmente, para um dado valor de k2 encontra-se um único valor de k1 possível:

.' (A5.30)

com

(A5.3I)

dado (A5.19).

Quando P ~ 15 a economia especializa-se na produção da segunda mercadoria e quando

P:::;

1!.

especializa-se na produção da primeira mercadoria. Nestes casos

e

onde

ÔYl = O

Yl(P, k)

=

!l(k) e Y2(P, k)

=

O para P

<

1!.

Yl(P, k)

=

O e Y2(P, k)

=

h(k) para P

>

15

ÔYl = f'(k) ÔY2 = O e ÔY2

=

O para P

<

l!.

(A5.32)

(A5.33)

•

..

•

·

•

Ao longo da trajetória de acumulação de capital os parâmetros (p,2,) e (w, w) vão variar da seguinte maneira:

ãw dk

>

0, dw dk

>

O (A5.36) e (A5.37)

•

.

Apêndice 6

A6.1 Derivação da expressão (4.2.27) .

Deseja-se estudar a inclinação da curva.

k

= O no plano q x k. Segue do texto:

dql __

~Ip

+

~lk~lq

-.x

dk k=o -

21l2.1

2:e

I

8p k 8 q k

(A6.1)

Substituindo-se (4.2.11) e (4.2.12) segue:

_ _ (ôY2)

-1

(UI

+

pullÔYll ) [ÔY21 _ ÔY21

pul/w-I

p

-.x]

ôp

ôp

k

ôk

p

ôp

kU

I

+

pull~1

• ôp k

_ _ (ÔY2)"

-1

[UI

(-.x

+

ÔY2)

+

pUllÔY1

(-.x

+ ôY2) _ pullÔYl ÔY2]

ôp

ôk

ôp

ôk

ôk ôp

Substituindo-se

(A5.28):

Substituindo-se

(A5.29):

~1Lo

=

(~;)

- I

lu'

(À -

~;)

-

p'u"~;

(À -

/;(k2ll]

A6.2 Estudo do estado estacionário

{

Y2(p*(k*, q*), k*) - .xk* = O (A6.3)