1.1. Conceitos primitivos - Cap. 1. Ponto Reta e Plano PDF

CAPÍTULO 1:

PONTO, RETA E PLANO

1.1. Conceitos primitivos

Neste capítulo descreveremos os primeiros fatos básicos sobre pontos, retas e planos. Estes entes geométricos não os definiremos e, portanto os consideraremos como conceitos primitivos. Qualquer pessoa, mesmo sendo leiga, tem a noção exata do que esses entes representam. Por exemplo, um ponto pode ser representado pela marca produzida pela ponta fina de um lápis quando pressionada sobre uma folha de papel; podemos imaginar um plano como a superfície de uma parede que se estende indefinidamente em todas as direções e parte de uma reta pode ser desenhada com a ajuda de uma régua.

Ao conjunto formado por todos os pontos chamaremos de espaço.

Usaremos letras maiúsculas como A, B, C,..., etc para denotar os pontos, e letras minúsculas como r, s, t,..., etc para designar as retas. Os planos serão denotados por letras do alfabeto grego como , , ,..., etc.

r

 A

Ponto A Reta r Plano 

1.2. Primeiras propriedades

Apresentaremos a seguir algumas propriedades envolvendo pontos, retas e planos.

Postulado 1: Por dois pontos distintos do espaço, passa uma única reta.

B 

A 

 Exercício 1: Quantas retas podemos traçar passando por pares de pontos distintos de cada um dos conjuntos abaixo?

a) {A, B, C} é um conjunto de pontos alinhados;

b) {A, B, C, D} é um conjunto de pontos no qual três quaisquer deles não estão alinhados; c) {A, B, C, D} é um conjunto de pontos não coplanares.

Definição 1.1: Quando duas retas têm pelo menos um ponto em comum diz-se que elas se interceptam.

Quando uma reta e um plano têm pelo menos um ponto em comum diz-se que eles se interceptam. Quando dois planos têm pelo menos um ponto em comum diz-se que eles se interceptam.

Enunciaremos a seguir o primeiro teorema deste capítulo. Diante de um teorema há que se destacar duas partes distintas: a hipótese e a tese. A hipótese é um conjunto de condições que se supõem verdadeiras e a tese é a verdade que se pretende demonstrar como conseqüência da hipótese estabelecida. Portanto um teorema é uma proposição tal que se um determinado fato é

verdadeiro, então um outro também será. Evidentemente, os postulados são semelhantes aos teoremas, exceto que eles não são demonstrados. Naturalmente não há necessidade de escrevermos os teoremas sempre na forma "se ... então". Entretanto é importante, qualquer que seja a forma em que o mesmo esteja escrito, que saibamos distinguir sua hipótese e sua tese.

 Exercício 2: Destaque a hipótese e a tese em cada um dos seguintes enunciados:

a) Se dois ângulos a e b não congruentes, são complementares, então cada um deles é agudo.

b) Em todo poliedro convexo com F faces, V vértices e A arestas vale a seguinte igualdade: F + V = A + 2.

c) Se dois ângulos a e b são congruentes e suplementares, então cada um deles é um ângulo reto.

 Exercício 3: Escreva cada um dos seguintes enunciados na forma “se ... então_”: a) Em todo poliedro convexo com F faces, V vértices e A arestas tem-se F + V = A + 2.

b) A interseção de dois planos é uma reta.

c) Três pontos quaisquer não alinhados determinam um plano.

Teorema 1.1: Se duas retas distintas se interceptam, então a interseção contém um ponto apenas. Prova:

Hipótese: r e s são retas que se interceptam e r  s.

Tese: O ponto de interseção é único.

r Q s

P

Suponhamos que as retas r e s se interceptem em dois pontos distintos P e Q. Desta forma

teríamos traçado duas retas distintas por esses pontos, o que contraria o Postulado 1.

■

Definição 1.2: Quando duas retas têm apenas um ponto em comum, elas são ditas concorrentes.

Postulado 2: Dada uma reta do espaço, existem pontos que pertencem a reta e pontos que não pertencem a reta.

r P 

Postulado 3: Se uma reta tem dois de seus pontos em um plano, então ela está contida neste plano. r

B  A  r e A    B  r e B  

A   r  .

Como conseqüência deste postulado, temos o seguinte teorema.

Teorema 1.2: Se uma reta intercepta um plano que não a contém, então a interseção contém um ponto apenas.

Prova:

Hipótese: A reta r intercepta o plano  ( r    ) e r não está contida em  (r  ). Tese: O ponto de interseção é único.

r





Se a interseção de r com  contivesse dois pontos, então pelo Postulado 2 a reta estaria contida no plano o que contradiz a hipótese.

_■

Definição 1.4: Diz-se que os pontos de um conjunto estão alinhados ou são colineares se existe uma reta que os contém.

    r A B C D

Os pontos A, B, C e D da figura acima são colineares.

 Exercício 4: Dê um contra-exemplo para mostrar que é falsa a sentença:

"Uma infinidade de pontos alinhados é uma reta".

 Exemplo 1.1: A figura seguinte é um cubo. Os pontos A, B, C e D são coplanares. Os pontos A, B, C e F não são coplanares. O que se pode dizer dos pontos M, N e P? E dos pontos M, F e P?

E F

H G

M N  P

D C

A B

Postulado 4: Dados três pontos quaisquer não colineares, então existe um único plano que os contém.

Mais brevemente, diremos que três pontos não colineares determinam um plano.

B  

A  C

 Exercício 5: Consideremos o prisma triangular ABCDEF (figura abaixo). Quantos planos distintos são determinados, passando por três vértices desse prisma?

D F

E

A C

B

 Exercício 6: Quantos planos distintos são determinados pelos vértices do paralelepípedo ABCDEFGH abaixo?

F G

E F

B C

Postulado 5: Dado um plano  qualquer, existem pontos que pertencem a  e pontos que não pertencem a .

P 

 A  

P  

A 

Teorema 1.3: Dados uma reta e um ponto não pertencente a ela, existe um único plano que os contém.

Mais brevemente, diremos que uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.

Prova:

Hipótese: A é um ponto não pertencente à reta r (A



r A  C   B 

Existência: Sejam B e C dois pontos distintos sobre a reta r. Pelo Postulado 4, existe um único plano  contendo os pontos A, B e C. Como a reta r possui dois pontos em tal plano, pelo Postulado 3, ela está contida nesse plano.

Unicidade: Este plano  é único, pois qualquer outro plano que contenha a reta r e o ponto A conterá também os pontos B e C e pelo Postulado 4 só existe um plano contendo A, B e C, no caso, o plano .

_■

 Exercício 7. Prove que se três pontos estão alinhados então eles são coplanares. Sugestão: Considere a reta que os contém e um ponto fora dela e use o Teorema 1.3.

Teorema 1.4: Se duas retas são concorrentes, então existe um único plano que as contém.

Mais brevemente, diremos que duas retas concorrentes determinam um plano.

Prova:

Hipótese: As retas distintas r e s se interceptam ( r  s = {A} ). Tese: Existe um único plano que as contém.

s C  A



Prova: Existência: Seja A o ponto de interseção das retas r e s. Seja B outro ponto da reta r e C outro ponto da reta s. Sendo A, B e C não colineares (por quê?), existe um único plano  que os contém, segundo o Postulado 4. Como, as retas r e s possuem cada uma delas, dois pontos em tal plano então elas estão contidas nele.

Unicidade: Se existisse outro plano  contendo r e s, este conteria os pontos A, B e C e pelo Postulado 4,  coincide com .

_■

Retas não coplanares são denominadas reversas.

Definição 1.6: Um conjunto A chama-se convexo, se para cada dois pontos X e Y de A, o segmento

XY

B

X A

Y

Conjunto convexo:

XY

XY

 Exemplo 1.2: i) Uma reta é um conjunto convexo. ii) Um plano é um conjunto convexo.

iii) Se retirarmos um ponto de uma reta, o conjunto restante ainda é convexo? iv) Se retirarmos um ponto de um plano, o conjunto restante ainda é convexo?

Postulado 6: (Postulado da separação do plano)

Toda reta contida em um plano divide-o em duas regiões, as quais são convexas, denominados semi-planos. Ademais, se X e Y são pontos de um mesmo semi-plano, o segmento

XY

intercepta a reta; se os pontos X e Y estão em semi-planos distintos, o segmento

XY

reta.

A reta considerada chama-se arestade cada um dos semi-planos.

X

r

X’ A

Y Y’



XY

X

_'

Y

_'

 Exercício 8: Qual o número máximo de regiões em que um plano fica dividido por três retas distintas do mesmo?

Postulado 7: (Postulado da separação do espaço)

Todo plano separa o espaço em duas regiões cada uma das quais é convexa, denominadas semi-espaços. Ademais, se X e Y são pontos de um mesmo semi-espaço, o segmento

XY

intercepta o plano; se os pontos X e Y estão em semi-espaços distintos, o segmento

XY

plano.

O plano considerado chama-se face de cada um dos semi-espaços.

X’

X

Y’



A

XY

X

_'

Y

_'

Y

 Exercício 9: Qual o número máximo de regiões em que o espaço fica dividido por três planos

que se interceptam?

Teorema 1.5: Se dois planos distintos se interceptam, então a interseção deles é uma reta.



Resulta deste teorema, que dois planos distintos ou têm uma única reta comum (e neste caso são ditos secantes e a reta comum denomina-se a interseção dos dois planos), ou não têm ponto algum em comum; neste caso, os planos são ditos paralelos.

 Exercício 10: Sejam  e  dois planos que se interceptam segundo a reta

MN

e D pertencem a  e C pertence a  mas não pertence a . Prove que as diagonais do quadrilátero

ABCD não se interceptam.

Sugestão: Suponha que elas se interceptam e use o Teorema 1.4 e Postulado 4.

 C

M

N

A D

B



 Exercício 11. Sejam r e s duas retas reversas. A é um ponto de r e B um ponto de s. Qual é a interseção do plano  definido por r e B com o plano  definido por s e A?

 Exercício 12: Consideremos uma pirâmide quadrangular de base ABCD e vértice V. As arestas

laterais opostas

VA

VC

VB

VD

Qual é a interseção de  com ?

 Exercício 13: Duas retas r e s são concorrentes em um ponto O. Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer. Qual é a interseção do plano  definido por r e P com o plano  definido por s e P?

 Exercício 14: A figura abaixo é um tetraedro. Para desenhá-lo basta considerar quatro pontos não coplanares e uni-los. Os segmentos determinados por esses pontos chamam-se arestas do tetraedro. Os quatro triângulos formados são denominados faces do tetraedro.

A

C

B

D

 Exercício 15: Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Três pontos distintos são colineares. b) Três pontos quaisquer são coplanares.

c) Quatro pontos distintos determinam quatro retas. d) Por quatro pontos distintos pode passar uma só reta.

e) Dados quatro pontos distintos dos quais três são colineares, pode-se traçar quatro retas distintas. f) Três pontos distintos são sempre colineares.

g) Se quatro pontos são coplanares, então eles estão alinhados. h) Dois pontos quaisquer são colineares.

i) Dois pontos quaisquer são coplanares. j) Dois pontos distintos determinam um plano. l) Dois pontos distintos determinam uma reta. m) Três pontos distintos determinam um plano. n) Quatro pontos distintos são coplanares. o) Por uma reta passam infinitos planos.

p) É convexo o conjunto constituído por dois pontos apenas. q) Um triângulo separa o plano em duas regiões convexas. r) Três pontos quaisquer pertencem no mínimo a um plano. s) A reta tem infinitos pontos.

t) Uma infinidade de pontos alinhados é uma reta. u) Duas retas distintas, podem não ter pontos em comum.

v) Duas retas distintas, ou não se interceptam, ou se interceptam num só ponto.

RESPOSTAS

01. a) uma; b) seis; c) seis

02. a) Hip.: a  b e a + b = 90o_{. Tese: a e b são agudos;}

b) Hip.: O poliedro é convexo e tem F faces, V vértices e A arestas. Tese: F + V = A + 2.

c) Hip.: a = b e a + b = 180o. Tese: a = b = 90o.

03. a) Se um poliedro é convexo e tem F faces, V vértices e A arestas então F + V = A + 2; b) Se dois planos se interceptam então a interseção dos mesmos é uma reta.

c) Se três pontos quaisquer não são colineares então eles determinam um plano.

05. 11 06. 20 08. 7 09. 8 11. A reta

AB

12. A reta

VE

13. A reta

PO

14. a) 6;

AB

AC

AD

BC

BD

CD

AB

CD

AC

BD

AD

BC

c) 4;

ABC

ABD

ACD

BCD