Função de utilidade indireta
Função de utilidade indireta
Exemplo: preferências Cobb-Douglas
Função de utilidade:
U
(
x
1,
x
2) =
x
1ax
2bFunção de demanda:
(
x
1∗(
p
1,
p
2,
m
)
,
x
2∗(
p
1,
p
2,
m
)) =
a
a
+
b
m
p
1,
b
a
+
b
m
p
2Função de utilidade indireta:
V
(
p
1,
p
2,
m
) =
a
a
+
b
m
p
1 ab
a
+
b
m
p
2 b=
a
p
ab
p
bm
a
b
Exemplo: substitutos perfeitos
Função de utilidade:
U
(
x
1,
x
2) =
ax
1+
x
2Função de demanda:
x
∗(
p
1,
p
2,
m
) =
n
m p1,
0
o
caso
p
1<
ap
2{
(
x
1,
x
2) :
p
1x
1+
p
2x
2=
m
}
caso
p
1=
ap
2n
0,
pm2o
caso
p
1>
ap
2Função de utilidade indireta:
V
(
p
1,
p
2,
m
) =
a
pm1caso
p
1<
ap
2a
pm1=
pm2
caso
p
1=
ap
2m
p2
caso
p
1>
ap
2=
am
Exemplo: complementares perfeitos
Função de utilidade:
U
(
x
1,
x
2) = min
{
ax
1,
x
2}
Função de demanda:
x
∗(
p
1,
p
2,
m
) =
m
p
1+
ap
2,
am
p
1+
ap
2Função de utilidade indireta:
V
(
p
1,
p
2,
m
) = min
a
m
p
1+
ap
2,
am
p
1+
ap
2=
m
Algumas propriedades da função de utilidade indireta
Homogênea de grau zero;
não decrescente em relação à renda;
não crescente em relação aos preços;
quase convexa: quaisquer
p
0>
0,
m
0>
0,
p
1>
0,
m
1>
0 e
0
< α <
1, se
V
(
p
0,
m
0)
≥
V
(
p
1,
m
1)
, então
V
αp
0+ (
1
−
α
)
p
1, α
m
0+ (
1
−
α
)
m
1≤
V
(
p
0,
m
0);
se ela for diferenciável,
x
∗i
(
p,
m
) =
−
∂V(p,m)∂pi ∂V(p,m)
∂m
Identidade de Roy e quase convexidade
Considere
ˆ
p
≫
0 e
m
ˆ
quaisquer.
Denote
ˆ
x
=
x
∗(ˆ
p,
m
ˆ
)
de sorte que
V
(ˆ
p,
m
ˆ
) =
U
(ˆ
x
)
.
Para qualquer outro vetor de preços
p
≫
0, se a renda for dada por
m
=
p
·
ˆ
x,
V
(
p,
m
)
≥
U
(ˆ
x
=
V
(ˆ
p,
m
ˆ
))
.
Assim,
ˆ
p
resolve o problema de minimizar
V
(
p,
m
)
dada a restrição
m
=
p
·
ˆ
x.
O lagrangeano desse problema é
Identidade de Roy e quase convexidade (continuação)
As condições de mínimo de primeira ordem devem ser verificadas
para
p
= ˆ
p:
∂
∂
p
iL
=
0
⇒
∂
∂
p
iV
(ˆ
p,
m
) +
λ
ˆ
x
i=
0,
para
i
=
1, . . . ,
L
e
∂
∂
m
L
=
0
⇒
∂
∂
m
V
(ˆ
p,
m
)
−
λ
=
0
Combinando as duas, obtemos
x
∗(ˆ
p,
m
ˆ
) = ˆ
x
=
−
∂V(ˆp,mˆ)∂pi ∂V(ˆp,mˆ)
Identidade de Roy e quase convexidade (continuação)
A condição de mínimo de segunda ordem também deve ser atendida
em
p
= ˆ
p.
Esta requer, que a função objetivo,
V
(
p,
m
)
seja localmete
quase-convexa no ponto
p,
ˆ
m
ˆ
.
Como esse resultado é válido para quaisquer
p
ˆ
≫
0 e
m
>
0, a
função de utilidade indireta é globalmente quase convexa.
Identidade de Roy: ilustração gráfica com
p
2=
1
.
x
1x
2 ˆ m ˆ p1U(x)=U(ˆx1,xˆ2)=ˆu
ˆ
p1
ˆ x2
ˆ
x1
p
1m
ˆ m
m=ˆx2+p1ˆx1
V(p,m)=ˆu
Inclinação da linha cinza éˆx1. Inclinação da curva laranja é− ∂
∂p1V(p,m) ∂
∂mV(p,m) .
Assim, em(ˆp1,mˆ)devemos terx ∗
1(ˆp1,1,mˆ) = ˆx1=− ∂
∂p1V(p,m) ∂
Exemplo: preferências Cobb Douglas
V
(
p
1,
p
2,
m
) =
a
p
1 ab
p
2 bm
a
+
b
a+b∂
∂
p
1V
(
p
1,
p
2,
m
) =
−
a
a
ap
a1+1b
p
2 bm
a
+
b
a+b∂
∂
m
V
(
p
1,
p
2,
m
) = (
a
+
b
)
a
p
1 ab
p
2 bm
a+b−1(
a
+
b
)
a+b−
∂ ∂p1 ∂ ∂m=
a
a
+
m
m
p
1=
x
∗
Exemplo: complementares perfeitos
V
(
p
1,
p
2,
m
) =
p
am
1+
ap
2∂
∂
p
1V
(
p
1,
p
2,
m
) =
−
am
(
p
1+
ap
2)
2∂
∂
m
V
(
p
1,
p
2,
m
) =
a
p
1+
ap
2−
∂ ∂p1
∂ ∂m
=
m
p
1+
ap
2=
x
∗
Função de utilidade indireta
O problema da minimização do gasto
Considere o problema de escolher a cesta de bens
x
para uma
consumidora de modo a minimizar o custo com a aquisição dessa
cesta,
p
·
x
atendendo a um requisito de utilidade mínima
U
(
x
)
≥
u
¯
O problema de minimização de gasto
O lagrangeano do problema é
L
=
p
·
x
−
λ
[
U
(
x
)
−
u
¯
] +
LX
i=1
µ
ix
iAssumindo não saciedade local, as condições de 1ª ordem implicam
U
(
x
) = ¯
u
e
λ
=
p
i+
µ
iMinimização de gasto: propriedades da solução
Caso na solução
x
i,
x
j>
0,
λ
=
p
iUMg
i=
p
jUMg
j⇒
UMg
iUMg
j=
p
ip
jλ
é o custo marginal da utilidade. Caso na solução
x
i=
0 e
x
j>
0,
λ
=
p
i+
µ
iUMg
i=
pj
UMg
j(µi≥0)
−−−−→
UMg
iUMg
j≤
p
iSolução gráfica
x1
y1
p1
p2
h2
h1
As curvas de nível da função objetivo têm a forma
p1x1+p2x2=gem quegé um
parâmetro que corresponde ao gasto.
Elas são chamadas de linhas de iso custo ou de iso gasto.
Quanto menorg, mais abaixo e à
esquerda estão essas linhas.
Sua inclinação ép1/p2.
A curva de indiferença associada ao nível de utilidadeu¯é a restrição do
Função de demanda compensada
A função
h
(
p
,
u
) = (
h1
(
p
,
u
)
, . . . ,
h
L(
p
,
u
))
que retorna a cesta de
bens que resolve o problema de minimização do gasto é denominada
função de demanda compensada
ou
função de demanda hicksiana
.
O componente
h
i(
p
,
u
)
,
i
=
1, . . . ,
L
, é denominado função de
A função dispêndio
A
função dispêndio
, notada por
e
(
p
,
u
)
, é a função que determina o
gasto ótimo associado ao problema de minimização de gasto. Ela é
definida por
Exemplo: preferências Cobb Douglas
U
(
x
1,
x
2) =
x
1ax
2bCondições de primeira ordem:
|
TMS
|
=
p
1p
2⇒
a
b
x
2x
1=
p
1p
2e
U
(
x
1,
x
2) =
u
⇒
x
a
1
x
2b=
u
Resolvendo para
x
1e
x
2encontramos
h
1(
p
1,
p
2,
u
) =
u
1a+b
p
2p
1a
b
a+bbe
h
2(
p
1,
p
2,
u
) =
u
1a+b
p
1p
2b
a
Exemplo: preferência Cobb Douglas (continuação)
A função de dispêndio é obtida aplicando-se sua definição
e
(
p
1,
p
2,
u
) =
p
1h
1(
p
1,
p
2,
u
) +
p
2h
2(
p
1,
p
2,
u
)
e
(
p
1,
p
2,
u
) =
p
1u
1a+b
p
2p
1a
b
a+bb+
p
2u
1a+b
p
1p
2b
a
a+abOu, após algumas manipulações algébricas,
e
(
p
1,
p
2,
u
) = (
a
+
b
)
u
1a+b
p
1a
a+abp
2b
A lei da demanda compensada
Considere
p
0,
p
1, e
u
quaisquer. Por definição
U
(
h
(
p
0,
u
)) =
u
=
U
(
h
(
p
1,
u
))
. Então,
p
0·
h
(
p
0,
u
)
≤
p
0·
h
(
p
1,
u
)
⇒ −
p
0·
h
(
p
1,
u
)
−
h
(
p
0,
u
)
≤
0
e:
p
1·
h
(
p
1,
u
)
≤
p
1·
h
(
p
0,
u
)
⇒
p
1·
h
(
p
1,
u
)
−
h
(
p
0,
u
)
≤
0
Somando as duas desigualdades, obtemos
(
p
1−
p
0)
·
h
(
p
1,
u
)
−
h
(
p
0,
u
)
A lei da demanda compensada
(
p
1−
p
0)
·
h
(
p
1,
u
)
−
h
(
p
0,
u
)
≤
0
Reescrevendo com notação de somatória, obtemos
L
X
i=1
(
p
i1−
p
i0)(
h
i(
p
1,
u
)
−
h
i(
p
0,
u
))
≤
0
Considere um bem
k
qualquer e assuma que, para todo
i
6
=
k
,
p
ii
=
p
0i. Nesse caso, a expressão acima se reduz a
(
p
k1−
p
0k)[
h
i(
p
1,
u
)
−
h
i(
p
0,
u
)]
≤
0,
Propriedades da função dispêndio
Não cecrescente em relação aos preços:
p
1>
p
0⇒
e
(
p
1,
u
)
≥
e
(
p
0,
u
)
Homogênea de grau 1 em relação aos preços, isto é
∀
α >
0:
e
(
αp,
u
) =
α
e
(
p,
u
)
Não decrescente em relação à utilidade:
Propriedades da função dispêndio (continuação)
Côncava em relação aos preços, ou seja, para qualquer 0
< α <
1,
e
(
αp
0+ (
1
−
α
)
p
1,
u
)
≤
α
e
(
p
0,
u
) + (
1
−
α
)
e
(
p
1,
u
)
Lema de Shephard
∂
Lema de Shephard: ilustração gráfica com
p
2=
1
.
x
1x
2 ˆ m ˆ p1U(x)=U(ˆx1,ˆx2)=ˆu
ˆ
p1
ˆ h2
ˆ
h1
p
1m
ˆ m
m=ˆh2+p1ˆh1
m=e(p,ˆu)
Inclinação da linha cinza éˆh1. Inclinação da curva laranja é ∂ ∂p1e(p,ˆu). Assim, em(ˆp1,mˆ)devemos terh
∗
Identidades importantes
x
1x
2x
1x
2p1
p2
p1
p2
m p2
e(p,u) p2
x∗
2(p,m) h2(p,u)
h1(p,u)
x∗
1(p,m)
U(x)=V(p,m)=u U(x)=u=V(p,m)
Exemplo: preferências Cobb-Douglas
A função de utilidade indireta
V
(
p
1,
p
2,
m
) =
a
p
1 ab
p
2 bm
a
+
b
a+bFunção dispêndio:
V
(
p
1,
p
2,
e
(
p
1,
p
2,
u
)) =
u
a
p
1 ab
p
2 be
(
p
1,
p
2,
m
)
a
+
b
a+b=
u
e
(
p
1,
p
2,
u
) = (
a
+
b
)
u
1a+b
