Pensamento estatístico em uma atividade de modelagem Matemática: ressignificando o lançamento de aviões de papel

(1)

320 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018.

PENSAMENTO ESTATÍSTICO EM UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM

MATEMÁTICA

:

RESSIGNIFICANDO O LANÇAMENTO DE AVIÕES DE

PAPEL

STATISTICAL THINKING IN A MATHEMATICAL MODELING ACTIVITY: RESSIGNIFICATING THE LAUNCH OF PAPER AIRCRAFT

Rodolfo Eduardo Vertuan

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR/ Campus Toledo), rodolfovertuan@yahoo.com.br

Karina Alessandra Pessoa da Silva

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR/ Campus Londrina), karinasilva@utfpr.edu.br

Resumo

Neste artigo apresentamos resultados de uma pesquisa que busca evidenciar manifestações do pensamento estatístico reveladas na produção escrita de estudantes ao desenvolverem uma atividade de Modelagem Matemática. Fundamentamo-nos em aportes teóricos relativos ao pensamento estatístico, associado à ideia de variação, mais especificamente, à produção e à análise de dados e à tomada de decisão acerca dos mesmos; à Educação Estatística entendida como área preocupada na relação dos conceitos da Estatística e da Probabilidade com outros campos do conhecimento, bem como com situações em que os conceitos são utilizados; e à Modelagem Matemática considerada uma metodologia de ensino em que emergem conteúdos matemáticos a partir de uma situação não essencialmente Matemática. Analisamos uma atividade desenvolvida por um grupo de estudantes no contexto de uma disciplina de Modelagem Matemática do sétimo período do curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade federal do Paraná. Por meio de análise qualitativa de cunho interpretativo dos registros escritos dos estudantes, evidenciamos que o pensamento estatístico é manifestado desde o planejamento de ações para a coleta de dados, a coleta propriamente dita e a organização desses dados, a interpretação de dados via conceitos da Estatística Descritiva, bem como a utilização de diferentes representações para pensar o problema.

Palavras-chave: Educação Matemática. Educação Estatística. Pensamento Estatístico.

Modelagem Matemática.

Abstract

In this article we investigate statistical thinking manifestations revealed in the written production of students when developing a Mathematical Modeling activity. We base ourselves on theoretical contributions related to statistical thinking, associated with the idea of variation, more specifically, the production and analysis of data and the decision taken from them; to Statistics Education understood as an area concerned in the relation of the

(2)

321 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. concepts of statistics and probability with other fields of knowledge, as well as with situations in which the concepts are used; and to Mathematical Modeling considered a teaching methodology in which mathematics contents emerge from a situation not essentially mathematic. We analyze an activity developed by a group of students in the context of a Mathematical Modeling discipline of the seventh period of the degree course in Mathematics of a federal university of Paraná. We use qualitative analysis to investigate students' written records, we evidence that statistical thinking is manifested from the planning of actions for the collection of data, the collection itself and the organization of these data, the interpretation of data through statistics concepts descriptions, as well as the use of different representations to think about problem.

Keywords: Mathematics Education. Statistics Education. Statistical Thinking. Mathematical

Modeling.

Introdução

Articular conteúdos matemáticos a situações baseadas em dados provenientes da realidade é uma ação que tem sido empreendida por professores em sala de aula. Ao se referir à abordagem de conceitos estatísticos, Lopes (2008, p. 58) afirma que na formação dos estudantes é preciso levar em consideração “situações vinculadas ao cotidiano deles” a partir de problematização, “desencadeando o processo investigativo, o qual gera aprendizado e conhecimento” (LOPES, 2012, p. 163).

Pesquisadores da área da Educação Matemática têm se empenhado em abordar a necessidade da formação Estatística e Probabilística em sala de aula, principalmente no que se refere à formação da cidadania (LOPES, 2008, 2012, BATANERO; DÍAZ, 2005; GAL, 2002, 2005, GARFIELD; BEN-ZVI, 2005, CAMPOS; WODEWOTZKI; JACOBINI, 2011, FERREIRA et al., 2016, MENDONÇA; LOPES, 2011, 2017). O que, de forma geral, essas pesquisas revelam é que se deve delegar “ao ensino da matemática o compromisso de não só ensinar o domínio dos números, mas também a organização de dados, leitura de gráficos e análises estatísticas” (LOPES, 2008, p. 58).

Partir de situações próximas ao cotidiano dos estudantes em que se desencadeie um processo investigativo no qual dados são organizados, por meio de procedimentos matemáticos, de certa forma, são encaminhamentos presentes em atividades de Modelagem Matemática. Fundamentados em Almeida, Silva e Vertuan (2012), nosso entendimento sobre Modelagem Matemática está alicerçado no fato de esta ser uma metodologia de ensino que a partir de uma situação inicial obtém-se uma solução para um problema originário dessa situação em que procedimentos matemáticos se fazem presentes. Com isso, a modelagem tem “potencialidades enquanto oportunidade para os alunos compreenderem os objetos matemáticos, conhecer e relacionar as várias representações destes objetos e utilizá-los para interpretar fatos da realidade” (SILVA, 2017, p. 157).

Campos, Wodewotzki e Jacobini (2011), articulam teoria e prática de Educação Estatística em ambientes de Modelagem Matemática. Para os autores, “o ensino e a aprendizagem na perspectiva da modelagem matemática fornecem aos alunos a oportunidade de produzir seus dados, investigar, analisar, discutir, criticar, tornando-os

(3)

322 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. assim corresponsáveis pelo seu próprio aprendizado” (CAMPOS; WODEWOTZKI; JACOBINI, 2011, p. 56-57).

Em pesquisa do tipo Estado do Conhecimento sobre Educação Estatística realizada por Silva, Curi e Schimighel (2017) ao longo de dez anos de publicações de um periódico brasileiro revelou que o Ensino de Estatística e Probabilidade por meio de recursos e propostas é o foco temático do maior número de trabalhos. É neste cenário que se situa nossa investigação em que trazemos à baila reflexões sobre nossa questão de pesquisa: Quais manifestações do pensamento estatístico se revelam na produção escrita de estudantes ao desenvolverem uma atividade de Modelagem Matemática? As informações que subsidiam nossas reflexões foram obtidas com o desenvolvimento de uma atividade de modelagem por estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática quando investigavam, na disciplina de Modelagem Matemática, o seguinte problema: Qual a relação entre o ângulo da ponta de um avião de papel e o alcance, em metros, obtido pelo lançamento desse avião?

Neste contexto é que neste artigo apresentamos, inicialmente, nosso entendimento acerca de pensamento estatístico, bem como acerca da Modelagem Matemática e da Educação Estatística. Em seguida, tecemos considerações sobre nosso encaminhamento metodológico e descrevemos a atividade realizada pelos estudantes. A análise da situação, em termos dos registros escritos produzidos pelos estudantes e com vistas a discutir nosso problema de pesquisa, é apresentada na sequência. Seguem, por fim, as considerações finais do trabalho.

Pensamento Estatístico, Educação Estatística e Modelagem Matemática

Para além da preocupação em se trabalhar com os conteúdos da Estatística, o que se almeja em uma aula de Matemática é que os estudantes elaborem e resolvam problemas relacionados às situações do contexto social, interpretando, refletindo e avaliando criticamente informações estatísticas, bem como tomando decisões baseadas nos estudos que realizam.

Ao se engajar em aulas que demandam ações neste sentido, os estudantes têm a possibilidade de praticar e desenvolver o que entendemos por “pensamento estatístico”. Snee (1990, p.118, apud SANTOS; MARTINS, 2004), define o pensamento estatístico como um “[...] processo de raciocínio que reconhece que variação está em tudo ao nosso redor e presente em tudo que fazemos, que todo trabalho é uma série de processos interligados; e que identificar, caracterizar, quantificar, controlar e reduzir variação fornece oportunidades de melhoria”. Neste sentido, podemos associar o pensamento estatístico à ideia de variação, mais especificamente, à produção e à análise de dados e à tomada de decisão acerca dos mesmos.

Dessa perspectiva, é que a Estatística se constitui importante ferramenta para o exercício da cidadania e a Educação Estatística se apresenta essencial no contexto escolar, principalmente porque vivemos em um contexto de excessivo consumo de informações, muitas das quais são veiculadas/apresentadas por meio de pesquisas estatísticas.

(4)

323 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. Acreditamos que é necessário desenvolver uma prática pedagógica na qual sejam propostas situações em que os estudantes realizem atividades, as quais considerem seus contextos e possam observar e construir os eventos possíveis, por meio de experimentação concreta, de coleta e de organização de dados.

Isso porque, o desenvolvimento do pensamento estatístico em sala de aula, segundo Mendonça e Lopes (2011, p. 721), é favorecido “pela reflexão realizada com base em situações reais” em que os estudantes se envolvem. Essas situações podem ser oriundas do contexto em que os estudantes se encontram ou de outros contextos pelos quais tenham interesse.

O importante é que os estudantes sejam protagonistas das atividades que realizam e, para isso:

O processo educacional deve gerar conflito e dúvidas, exigindo que o estudante fique instigado a buscar respostas a situações problemas, criando, modificando e construindo seu próprio conhecimento. O importante é que o estudante sinta prazer em aprender. O aprender deve estar relacionado a aspectos sociais, afetivos, ao conhecimento prévio do estudante e suas ações. Constituindo-se em uma verdadeira ação-reflexão. E o processo de reflexão só é possível a partir do desequilíbrio (problematização) e não pela cópia ou memorização (PORCIÚNCULA; PINTO, 2011, p.2).

Em consonância com a abordagem supracitada, vislumbramos, assim como Campos, Wodewotzki e Jacobini (2011), articulação entre Modelagem Matemática e Educação Estatística. Para os autores,

[...] a modelagem matemática pode ser usada para o reconhecimento de configurações de modelos adequados para uma determinada situação da realidade. Essas considerações mostram-se relevantes no contexto da Educação Estatística, sobretudo em relação ao desenvolvimento das habilidades de raciocínio e pensamento estatísticos, uma vez que pressupõem o trabalho com situações reais que estimulam investigação, formulação de problemas, explorações, descobertas, interpretação e reflexão (CAMPOS; WODEWOTZKI; JACOBINI, 2011, p. 57).

Com isso, fundamentados no entendimento de que “Modelagem Matemática denota o processo de tradução, em ambas as direções, entre matemática e mundo extra-matemático”, envolvendo “todo o processo de resolução de problemas do mundo real por meio da matemática” (BLUM; BORROMEO FERRI, 2016, p. 65), defendemos sua implementação nas aulas de Matemática.

Cirillo et al. (2016, p. 6) afirmam que “a razão básica para modelar com a matemática é entender a realidade, ou algo sobre o mundo real”. Esse entendimento, todavia, se configura sob a ótica daqueles que estão modelando e, portanto, consiste em uma interpretação matemática da situação, uma representação simplificada. D’Ambrosio (2015, p. 43) afirma que na “representação a realidade é restrita a fatos e fenômenos selecionados e o resultado é um tipo de ‘realidade isolada e individualizada’”.

(5)

324 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. A representação matemática, modelo matemático, que emerge na modelagem pode incluir símbolos, diagramas, gráficos e expressões algébricas ou geométricas, enquanto um sistema conceitual, descritivo ou explicativo que tem como finalidade prover meios para descrever, explicar e mesmo predizer o comportamento do fenômeno (DOERR; ENGLISH, 2003).

Na busca por uma interpretação matemática da situação, desenvolvida via Modelagem Matemática, um conjunto de procedimentos e conceitos se faz necessário. Almeida, Silva e Vertuan (2012) configuram esses procedimentos em ações, tais como buscar informações sobre a situação inicial, identificar e selecionar variáveis, elaborar hipóteses, realizar simplificação, obter um modelo matemático, resolver o problema por meio de procedimentos adequados e analisar a solução. Bleiler-Baxter, Barlow, Stephens (2016, p. 57) afirmam que a simplificação consiste em um processo “crítico para que os alunos possam produtivamente avançar no mapeamento de relações matemáticas na situação”.

É nesse sentido que Mendonça e Lopes (2017) defendem que a característica investigativa possibilitada pela Modelagem Matemática converge com a Educação Estatística.

Encaminhamento metodológico e descrição da atividade

Para realizar a investigação, orientamos nossas análises em uma atividade desenvolvida no âmbito da disciplina de Modelagem Matemática do curso de Licenciatura em Matemática de uma instituição federal do oeste paranaense. Na referida disciplina, os estudantes discutem a Modelagem Matemática como metodologia de ensino e aprendizagem para a Educação Básica e, neste contexto, se dedicam a pensar atividades que possam ser empreendidas neste nível de ensino. Ao proceder assim, efetivam reflexões acerca da situação tanto na condição de docentes em formação, quanto na condição de estudantes que precisam elaborar, desenvolver e solucionar um problema que, por algum motivo, os interessa. Essas características, de alunos que desenvolvem atividades de Modelagem na condição de docentes em formação e com vistas a discuti-las como possibilidades para o contexto das salas de aula da Educação Básica, é que definiram a escolha da turma para a realização da pesquisa, sendo o professor da disciplina um dos autores deste artigo.

Embora o conjunto de dados da pesquisa tenha sido coletado no decorrer de um semestre letivo, neste artigo, devido às nossas intenções e à estrutura do texto, tratamos apenas de uma das atividades desenvolvidas por um grupo de estudantes que atentou, em sua resolução, para conteúdos da Estatística como instrumento de análise da situação investigada. Trata-se da investigação do “lançamento de aviões de papel”.

O tema surgiu do interesse dos estudantes em investigar se havia relação entre o alcance do voo de um avião de papel (em metros) e o ângulo da ponta desse avião (Figura 1). O tema, todavia, surgiu despretensiosamente em uma conversa informal do docente com a turma, sobre uma prova de maior alcance de um avião de papel em competições como gincanas escolares. Será que haveria como potencializar as chances de se vencer essa prova?

(6)

325 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. Figura 1 – Representação do ângulo da ponta do avião, considerado no

experimento. Fonte: Dos autores.

Diante do interesse dos estudantes e do reconhecimento, por eles, de que vários aspectos poderiam influenciar o alcance do voo do avião, os mesmos optaram por elencar um aspecto que consideraram essencial, no caso, o ângulo da ponta do avião, bem como realizaram um planejamento para a coleta de dados. Neste contexto, consideraram que seria importante construir e realizar o lançamento de diferentes tipos de aviões de papel, para eleger aquele que oferecesse maior alcance.

Para isso, realizaram pesquisas na internet de modo a conhecer diferentes métodos de dobradura que possibilitassem diferentes tipos de avião. Na aula seguinte, quatro estudantes (de uma turma de apenas 8 estudantes) trouxeram 5 construções de um mesmo tipo de avião para realizar a primeira parte do experimento. Segundo os estudantes, considerar 5 construções evitaria que tomassem por representativo o que acontecesse com apenas um avião, ou seja, se um avião tivesse um alcance muito diferente dos demais, poderiam descartar o resultado advindo do mesmo, por entenderem que na sua construção, possivelmente, algo influenciou seu alcance.

No primeiro momento da aula, os estudantes realizaram os lançamentos dos diferentes tipos de avião e anotaram os resultados. Segundo o planejamento realizado por eles, uma mesma pessoa é que deveria realizar todos os lançamentos, de modo a diminuir a influência do “jeito de lançar”. Essa pessoa tentou proceder do mesmo modo em todos os lançamentos.

Outro aspecto para o qual atentaram os estudantes referia-se ao impacto da resistência do ar no caso de o lançamento ser realizado em local aberto, com diferentes intensidades nas correntes de ar. De modo a dirimir esse impacto, os lançamentos foram realizados em um ginásio de esportes fechado. Essa ação se configura em uma necessidade de simplificação do fenômeno para a coleta de dados. A partir dela, os estudantes decidiram como “produtivamente avançar no mapeamento de relações matemáticas na situação” (BLEILER-BAXTER; BARLOW; STEPHENS, 2016, p. 57) para o desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática.

Findada a primeira parte do experimento, os estudantes elencaram o tipo de avião que se destacou entre os demais, devido ao seu alcance. A construção do referido avião segue na Figura 2.

(7)

326 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. Figura 2: Passos da construção do avião de maior alcance na primeira parte do

experimento.

Fonte: <http://midia.cmais.com.br/assets/image/original/7e5a2da17722089f8a672c4158e 6f7adbe454416.jpg>. Capturado em 09/11/2017.

Na segunda parte do experimento é que os estudantes focaram seus olhares para o ângulo da ponta do avião. Neste sentido, empreenderam a construção de aviões do tipo da Figura 2, mas alterando o referido ângulo, já que no apresentado na Figura 2, o ângulo é de 22,5º. Este, aliás, foi um momento interessante da atividade, uma vez que variar o ângulo da ponta do avião apenas por meio de dobraduras não foi tarefa imediata. Requereu dos estudantes ações de planejamento, análises e a efetivação de tentativas, até que aviões com ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º também passaram a constituir o experimento.

Desse modo, três lançamentos foram realizados para cada avião e os dados foram anotados em uma planilha. É nesse contexto que também se dá a descrição da Matemática presente na atividade, bem como são realizadas as inferências no que tange ao pensamento estatístico presente na situação, muito embora, do relato realizado, já seja possível identificar ações que caracterizam o referido pensamento.

A metodologia de pesquisa que adotamos fundamenta-se na abordagem qualitativa, que segundo Garnica (2004), tem como características:

(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma análise a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re) configuradas; e (e) a impossibilidade de se estabelecer regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas (GARNICA, 2004, p. 86). A análise dos registros escritos produzidos durante a atividade leva em consideração o referencial teórico estabelecido com relação ao pensamento estatístico, à Educação Estatística e à Modelagem Matemática. Essa articulação com o referencial teórico possibilita melhor compreensão do fenômeno em estudo.

(8)

327 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. Neste contexto, buscamos evidenciar aspectos da resolução que denotam e permitem inferir a realização, pelos estudantes, de ações referentes ao pensamento estatístico.

Análise da situação em termos dos registros produzidos pelos estudantes

Os registros escritos produzidos pelos estudantes no desenvolvimento da atividade constituem os dados desta pesquisa. Tais registros figuram em planilhas do Excel utilizadas com vistas a realizar anotações, bem como com vistas a possibilitar pensar sobre o problema, realizar cálculos e tomar decisões.

Em um primeiro momento, os estudantes realizaram os lançamentos de quatro tipos de avião de papel, de modo a identificar qual destes possibilitava maior alcance, em metros. Essa primeira parte do experimento foi realizada intentando identificar o tipo de avião que seria considerado no segundo momento da atividade, em que o foco passaria a ser o ângulo da ponta do avião. Isso corrobora com a afirmação de Mendonça e Lopes (2011, p. 703) de que “o aluno deve participar ativamente do processo investigativo, desde a geração até a análise dos dados e da tomada de decisão”.

Foram construídos cinco aviões de cada um destes 4 tipos. Uma mesma pessoa realizou o lançamento de cada avião. Os demais estudantes realizaram as medições, com fita métrica, e anotaram os resultados. Este momento de coleta e organização de dados, por si só, é considerado um importante momento no que tange à prática e ao desenvolvimento do pensamento estatístico. Mendonça e Lopes (2011), por exemplo, sugerem que as crianças passam a compreender melhor a funcionalidade da tabela e de outros instrumentos utilizados para a coleta de dados, quando passam a utilizar tais instrumentos em situações com dados reais, tomando-os em um contexto em que as ações são previamente planejadas.

Os dados advindos do primeiro momento do experimento constam no quadro apresentado na Figura 3.

Tipo 1 - A1 Tipo 2 - A2 Tipo 3 - A3 Tipo 4 - A4

Avião 1 - A1 11,22 Avião 1 - A2 8,7 Avião 1 - A3 13,77 Avião 1 - A4 14,3 6,46 7,66 11,86 12,02 6,35 9,61 12,82 13,96

Média _8,01 Média _8,6567 Média _12,8167 Média _13,4267 Desvio Padrão 2,2703 Desvio Padrão 0,7967 Desvio Padrão 0,7798 Desvio Padrão 1,0043

Avião 2 - A1 9,9 Avião 2 - A2 15,4 Avião 2 - A3 11 Avião 2 - A4 13,13 9,92 11,12 12,46 11,93 3,74 11,53 10,04 11,21

Avião 3 - A1 13,5 Avião 3 - A2 10,8 Avião 3 - A3 8,8 Avião 3 - A4 12,18 5,66 9,78 11,85 8,4 5,26 9,67 11 12,2

(9)

328 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. Avião 4 - A1 13,4 Avião 4 - A2 11,4 Avião 4 - A3 14,37 Avião 4 - A4 12,89 15,35 8,85 11,15 3,48 6,48 9,13 10,63 10,69

Avião 5 - A1 4 Avião 5 - A2 7,66 Avião 5 - A3 12,82 Avião 5 - A4 6,55 2,8 8,62 10,93 6,25 3,95 8,21 13,7 11,74

RESULTADO

Média Total 7,866 Média Total 9,876 Média Total 11,8133 Média Total 10,7287 D. Padrão Total 2,6665 D. Padrão Total 0,9538 D. Padrão Total 1,1739 D. Padrão Total 2,0244

Figura 3: Cálculo da média e desvio padrão do alcance, em metros, de cada tipo de avião. Fonte: Relatório dos estudantes.

Na Figura 3, é possível observar que cada avião de cada tipo foi lançado 3 vezes. Desse modo, os estudantes consideraram uma média do alcance de cada um dos aviões, bem como calcularam o respectivo desvio padrão. Isso porque, segundo os estudantes, o desvio padrão possibilitaria entender o quão dispersos, em relação à média, estariam os alcances deste tipo de avião, de tal modo que quanto menor fosse o desvio padrão, mais regular seria o alcance do avião, em metros. Por exemplo, o Avião 5 do tipo de Avião 2 (A2) foi o que apresentou menor variabilidade em torno da média.

As considerações dos estudantes estão em consonância com a caracterização de desvio padrão de Silva (2007):

O desvio padrão é útil para avaliar a homogeneidade das observações em relação à média aritmética. Quanto menor o valor do desvio padrão, mais homogêneas são as observações em relação à média, o que indica maior densidade das observações próximas à média aritmética (SILVA, 2007, p. 51).

Para decidir sobre qual tipo de avião utilizariam na segunda parte do experimento, os estudantes optaram por calcular uma média aritmética de todos os tipos de avião, bem como o desvio padrão correspondente. As duas últimas linhas apresentam os resultados advindos destes cálculos. A partir desses resultados e almejando considerar o avião com maior alcance, em metros, os estudantes optaram pelo avião do tipo 3 para o próximo momento da experimentação. Isso porque consideraram, também, que mesmo tomando o desvio padrão nesse caso, os alcances do avião tipo 3 seriam maiores do que os alcances do avião do tipo 2, na maior parte dos lançamentos.

O registro gráfico foi outra representação utilizada pelos estudantes para pensar sobre a variação dos alcances para cada tipo de avião (Figura 4). Para Coutinho, Silva e Almouloud (2011, p. 501) se faz necessário, “para o desenvolvimento do pensamento estatístico que o sujeito transite pelos diversos registros de representações”.

(10)

329 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. Figura 4: Representação gráfica dos estudantes, referentes aos lançamentos dos

diferentes tipos de avião. Fonte: Relatório dos estudantes.

Silva (2007) afirma que é interessante estabelecer relação da medida de variação com o formato do gráfico. No caso do gráfico de linha,

o estudante deve observar que cada ponto refere-se a uma observação e que, se as medidas de tendências central e dispersão forem agregadas ao gráfico, pode haver conexão entre a representação da distribuição e sua respectiva medida de variação (SILVA, 2007, p. 85).

O que podemos evidenciar é que os estudantes cercarem-se de “informações sobre essa situação [alcance do avião] por meio de coleta de dados quantitativos e qualitativos, seja mediante contatos diretos [com a experimentação] ou indiretos [pesquisa informativa]” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 15, inserções nossas).

Depois de os estudantes elencarem o avião tipo 3 – A3 – como o de maior alcance, passaram a focar a questão que objetivavam resolver desde o início da atividade, “qual a relação entre o ângulo da ponta de um avião de papel e o alcance, em metros, obtido pelo lançamento desse avião?”. Para isso, precisavam, por meio de dobraduras, construir aviões de papel do tipo 3, com diferentes ângulos “na ponta”.

Os estudantes construíram, então, aviões com ângulos de 22,5º (ângulo já utilizado no primeiro experimento), 30º, 45º, 60º e 90º. De modo proposital, o professor da turma construiu um avião com ângulo (x) desconhecido. A intenção era de que o modelo construído para relacionar os respectivos ângulos com os alcances de seus voos pudesse ser utilizado para inferir a medida desse ângulo x a partir da metragem alcançada por esse avião.

O intuito de realizar esse procedimento era construir um modelo matemático que para além de “descrever ou explicar o comportamento de outro sistema”, pudesse “permitir

(11)

330 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. a realização de previsões sobre este outro sistema” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 13).

Com os aviões construídos, um segundo momento de coleta e organização de dados, foi empreendido. De modo similar ao primeiro momento, um estudante lançava, agora, cada um dos seis aviões (cada um com um ângulo diferente na ponta), enquanto os demais anotavam os alcances de seus voos, em metros. Foram feitos 3 lançamentos de cada avião. De posse dos dados, os estudantes construíram novo quadro (Figura 5), calculando novamente a média e o respectivo desvio padrão em cada caso.

Figura 5: Dados sobre o lançamento de aviões com diferentes ângulos na ponta. Fonte: Relatório dos estudantes.

Segundo sugeria os dados, o avião de ângulo 22,5º apresentava maior alcance, em torno de 16 metros, embora fosse o avião de 90º, o que apresentava menor desvio padrão, o que é facilmente explicado pelo fato de o avião praticamente não sair do lugar depois do lançamento. O que se gerou com o desenvolvimento da atividade de modelagem foi “conflito e dúvidas, exigindo que o estudante fique instigado a buscar respostas a situações problemas, criando, modificando e construindo seu próprio conhecimento” (PORCIÚNCULA; PINTO, 2011, p. 2).

No entanto, faltava investigar, ainda, se era possível estabelecer uma relação entre o ângulo da ponta do avião e o seu alcance, denotando o “processo de tradução, em ambas as direções, entre matemática e mundo extra-matemático” (BLUM; BORROMEO FERRI, 2016, p. 65).

Para isso, os estudantes consideraram as medidas em graus desses ângulos como variável independente e os alcances, em metros, como variável dependente. Tomaram, para isso, os valores médios dos alcances. Fizeram, então, a construção de uma tabela e de um gráfico correspondente à situação. Obtiveram os dados que apresentamos na Figura 6.

Figura 6: Tabela e representação gráfica da relação ângulo e alcance do avião. Fonte: Relatório dos estudantes.

(12)

331 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. Frente à representação gráfica construída, os estudantes elencaram como hipótese que os dados poderiam ser ajustados via uma função polinomial do segundo grau. Como utilizavam, no momento, as funcionalidades do Excel, fizeram um ajuste de curvas no próprio software, já selecionando a linha de tendência polinomial de ordem 2. Obtiveram o modelo matemático: 15,156 + 2,088.x + 1,02.x -= A(x) 2

em que A representa o alcance do voo do avião, em metros, e x representa a medida do ângulo da ponta do avião (



xR/0ºx90º



).

Para obter a expressão algébrica que representasse a situação em estudo, o grupo de estudantes perpassou por diferentes tipos de representação (tabular e gráfica). Isso auxilia a interpretação matemática da situação, pois como afirmam Coutinho, Silva e Almouloud (2011, p. 499) se faz necessário o “uso simultâneo de mais de uma representação para se levantar o maior número de informações possíveis sobre a variável observada”.

Tomando esse modelo como representativo da situação investigada, os estudantes puderam inferir qual o ângulo do avião construído pelo professor e que teve o alcance médio de seu voo de 14,45 metros, o avião X. Substituindo A(x) por 14,45, os estudantes obtiveram 32,5º aproximadamente para o ângulo da ponta do avião (contra os 33,75º averiguados, posteriormente, via transferidor). Segue, na Figura 7, uma representação gráfica do modelo matemático já considerando as informações do avião X.

Figura 7: Representação gráfica do modelo matemático da situação. Fonte: Relatório dos estudantes.

Uma vez estabelecida uma possível relação entre o ângulo da ponta do avião de papel e seu alcance, em metros (A(x)), os estudantes puderam inferir qual distância alcançaria um avião deste tipo, com um ângulo qualquer construído por eles.

Com o desenvolvimento dessa atividade de modelagem pudemos inferir que os estudantes estabeleceram considerações “relevantes no contexto da Educação Estatística, sobretudo em relação ao desenvolvimento das habilidades de raciocínio e pensamento estatísticos” (CAMPOS; WODEWOTZKI; JACOBINI, 2011, p. 57). Isso foi possível, pois partiram de uma situação real e de interesse do grupo de estudantes, em que a

(13)

332 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. “investigação, formulação de problemas, explorações, descobertas, interpretação e reflexão” foram estimuladas (CAMPOS; WODEWOTZKI; JACOBINI, 2011, p. 57).

Considerações Finais

Quando nos propusemos a realizar uma investigação acerca de quais manifestações do pensamento estatístico se revelavam na produção escrita de estudantes ao desenvolverem uma atividade de Modelagem Matemática, tínhamos como intenção desenvolver uma série de atividades no âmbito de uma turma de um curso de Licenciatura em Matemática em que os estudantes pudessem, desde a coleta e organização de dados, até a busca por uma solução para o problema elencado, discutir conceitos de Estatística e, para além disso, vivenciar uma investigação estatística, no sentido de se dedicar a conhecer e analisar uma situação real, que por algum motivo, interessasse aos mesmos.

Dentre as diferentes situações, optamos por apresentar neste texto uma relacionada a uma brincadeira de criança que, segundo os alunos, nunca haviam parado para pensar no quão a atividade poderia estar envolta a estratégias e raciocínios. Ou seja, as pessoas podem até competir entre si no lançamento de aviões, por exemplo, mas alguém que investiga essa situação pode otimizar seus lançamentos e, a partir das reflexões possibilitadas por meio de conceitos da Estatística, colocar à prova seus conhecimentos.

Como os próprios alunos atentaram, isso pode acontecer em diferentes situações da vida, sempre que temos que tomar uma decisão cujas variáveis implicam diferentes desfechos. E é nesse sentido que a experiência possibilitou um “ressignificar” o lançamento de aviões de papel, via uma atividade de Modelagem Matemática, em que o pensamento estatístico, aliado ao pensamento algébrico, por exemplo, possibilitou novas leituras e novos olhares.

Segundo Mendonça e Lopes (2011, p. 703), “[...] o aluno deve participar ativamente do processo investigativo, desde a geração até a análise dos dados e da tomada de decisão”. Essa é também a premissa de um trabalho que considera a Modelagem Matemática como metodologia de ensino. Neste sentido, pensar a Modelagem Matemática aplicada à Educação Estatística, implica considerar “[...] uma forma eficiente de articulação da teoria com a prática e de aplicação dos conceitos didáticos importantes para o aprendizado da Estatística” (CAMPOS; WODEWOTZKI; JACOBINI, 2011, p. 127).

Embora não tenha sido o foco desta pesquisa, atentamos para o uso da tecnologia feito pelos alunos no decorrer da atividade. É mister salientar o fato de que os alunos, por serem seres tecnológicos, recorreram aos recursos de que dispunham, não apenas por uma necessidade advinda da resolução do problema, mas por ser esse o meio que utilizam para lidar com problemas quando as atividades escolares não os podam e impedem. Para muitos docentes, encarar a situação sob esta perspectiva, implica reconhecer a necessidade de mudança de paradigmas e reconhecer que o “fazer Matemática” e o “pensar estatisticamente” relaciona-se, intimamente, à liberdade de os alunos recorrerem e utilizarem instrumentos e meios de pensar, muitas vezes, para além do que dominam/conhecem os docentes. Trata-se de um pensar e aprender juntos! “Trata-se da superação da compreensão do computador [bem como de outras tecnologias] como uma máquina com fim em si próprio, concebendo-o como um ‘meio’ para a aprendizagem”

(14)

333 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. (ESTEVAM, 2010, p. 176) e como uma extensão do estudante que o possibilita a pensar sobre o problema.

Referências

ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação

Básica. São Paulo: Contexto, 2012.

BATANERO, C.; DÍAZ, C. El Papel de los Proyectos en la Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística. In: PATRICIO ROYO, J. (Ed.). Aspectos didácticos de las matemáticas, Zaragoza: ICE, p. 125-164.

BLEILER-BAXTER, S. K.; BARLOW, A. T. Moving beyond context: challenges in modeling instruction. In: NCTM. Mathematical Modeling and Modeling Mathematics. USA: APME, 2016. p. 53-64, 2005.

BLUM, W.; BORROMEO FERRI, R. Advancing the teaching of mathematical modeling. In: NCTM. Mathematical Modeling and Modeling Mathematics. USA: APME, p. 65-76, 2016. CAMPOS, C. R.; WODEWOTZKI, M. L. L.; JACOBINI, O. R. Educação Estatística: teoria e prática em ambientes de modelagem matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011. CIRILLO M.; PELESKO, J. A.; FELTON-KOESTLER, M. D.; RUBEL, L. Perspectives on modeling in school mathematics. In: NCTM. Mathematical Modeling and Modeling

Mathematics. USA: APME, p. 3-16, 2016.

COUTINHO, C. Q. S.; SILVA, M. J. F.; ALMOULOUD, S. A. Desenvolvimento do Pensamento Estatístico e sua Articulação com a Mobilização de Registros de Representação Semiótica. Bolema, v. 24, n. 39, p. 495-514, 2011.

D’AMBROSIO, U. Mathematical Modelling as a strategy for building-up systems of knowledge in different cultural environments. In STILLMAN, G. A.; BLUM, W.; BIEMBENGUT, M. S. (Eds.). Mathematical modelling in education research and

practice: Cultural, social and cognitive influences. Cham, Switzerland: Springer, p. 173-183,

2015.

DOERR, H. M.; ENGLISH. L. D. A modeling perspective on students’ mathematical reasoning about data. Journal of Research in Mathematics Education, v. 34, n. 2, p. 110-136, 2003.

ESTEVAM, E. J. G. (Res)Significando a Educação Estatística no Ensino Fundamental: análise de uma sequência didática apoiada nas Tecnologias de Informação e Comunicação. 2010. 211f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências e Tecnologia. Presidente Prudente - SP, 2010.

FERREIRA, D. H. L.; JACOBINI, O. R.; CAMPOS, C. R.; WODEWOTZKI, M. L. L. Reflexões sobre os erros em estatística: um estudo de caso em um curso de administração. REnCiMa,

v. 7, n. 2, p. 13-24, 2016.

GAL, I. Adult’s statistical literacy : meanings, components, responsabilities. International

(15)

334 REnCiMa, v.9, n.2, p. 320-334, 2018. GAL, I. Statistical Literacy: Meanings, Components, Responsibilities. In: BEN-ZVI, D.; GARFIELD, J. (Ed.). The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning and

Thinking, Kluwer Academic Publishers, New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow, p.

47-78, 2005.

GARFIELD, J.; BEN-ZVI, D. Research on Statistical Literacy, Reasoning, and Thinking: Issues, Challenges, and Implications. In: BEN-ZVI, D.; GARFIELD, J. (Ed.). The Challenge

of Developing Statistical Literacy, Reasoning and Thinking, Kluwer Academic

Publishers, New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow, p. 397-409, 2005.

GARNICA, A. V. M. História Oral e Educação Matemática. In: BORBA, M. C.; ARAUJO, J. L. (Orgs.). Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. 1. ed. Belo Horizonte: Autêntica, p. 77-98, 2004.

LOPES, C. E. A educação estocástica na infância. Revista Eletrônica de Educação, v. 6, n. 1, p.160-174, 2012.

LOPES, C. E. O ensino da estatística e da probabilidade na educação básica e a formação dos professores. Cad. Cedes, v. 28, n. 74, p. 57-73, 2008.

MENDONÇA, L. O.; LOPES, C. E. Modelagem Matemática: um ambiente de aprendizagem para a implementação da Educação Estatística no Ensino Médio. Bolema, v. 24, n. 40, p. 701-724, 2011.

MENDONÇA, L. O.; LOPES, C. E. Reflexões sobre a ação pedagógica no desenvolvimento da modelagem matemática. Zetetiké, v. 25, n. 2, p.305-323, 2017.

PORCIÚNCULA, M. M. da S.; PINTO, S. S. Tecnologias Digitais no Ensino de Estatística. In: XIII Conferencia Interamericana de Educación Matematica, 2011, Recife. XIII CIAEM, 2011.

SANTOS, A. B.; MARTINS, M. F. Pensamento estatístico: um componente primordial para o sucesso do programa de qualidade seis sigma. In: Encontro Nacional de Engenharia

de Produção, 24. 2004. Anais... Florianópolis, SC, Nov. 2004.

SILVA, C. B. Pensamento estatístico e raciocínio sobre variação: um estudo com professores de Matemática. 2007. 357 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade de São Paulo, São Paulo.

SILVA, J. F.; CURI, E.; SCHIMIGUEL, J. Um Cenário sobre a Pesquisa em Educação Estatística no Boletim de Educação Matemática – BOLEMA, de 2006 até 2015. Bolema, v. 31, n. 58, p. 679-698, 2017.

SILVA, K. A. P. Aspectos cognitivos em aulas com modelagem matemática na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Experiências em Ensino de Ciências, v. 12, n. 2, p.156-170, 2017.

Submissão: 30/10/2017 Aceite: 30/03/2018