Publicações do PESC Redução de Dimensionalidade em Programação Dinâmica Estocástica Aplicada ao Planejamento da Operação de Sistemas Hidrotérmicos

REDUÇÃO DE DIMENSTONALIDADE EM PROGRAMAÇ&O D I N ~ I C A ESQOC~STICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA O P E R A Ç ~ O DE STSTENAS H I D R O T É ~ I C O S '

CLAUDIA

DE BARROS C O T I A

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE POS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSARIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIENCIAS

( M . S c . )

A p r o v a d o por: (I ( p r e s i d e n t e )

/

d

g

/

*

R O N a D CESAR RINHO P E R S I A N O R I O DE J A N E I R O

-

R J

-

B R A S I L

A C T - 8 2

COTIA,

CLAUDIA

DE BARROS Redução d e D i m e n s i o n a l i d a d e e m ~ r o g r a m a ç ã o ~ i n h i c a E s t o c á s

-

t i c a A p l i c a d a a o P l a n e j a m e n t o d a o p e r a ç ã o d e S i s t e m a s ~ i d r o t é r

_-

mitos ( R i o d e J a n e i r o ) 1982. V I 1 1 7 9 p . 29,7 cm (COPPE-UFRJ, M.Sc., E n g e n h a r i a de S i s t e m a s , 1982) T e s e

-

Univ. F e d e r a l do Rio d e J a n e i r o , F a c . d e E n g e n h a r i a 1. Assunto: P l a n e j a m e n t o d a o p e r a ç ã o d e S i s t e m a s Hidrotérmims I . COPPE/UFRJ 11. ~ i t u l o ( S é r i e )

i v

Agradecimentos

Ao P r o f . J e r s o n Kelman p e l a s v a l i o s a s c r í t i c a s e su- g e s t õ e s .

Ao engenheiro Mario Veiga F e r r a z P e r e i r a , c o - o r i e n t a

-

d o r d e s t e t r a b a l h o , p e l o c o n s t a n t e a p o i o , i n c e n t i v o e colabo

-

r a ç ã o .

Ao Centro d e P e s q u i s a s de E n e r g i a ~ l é t r i c a (CEPEL)pe

-

l a o p o r t u n i d a d e d e r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o .

Aos c o l e g a s do Departamento de Sistemas do CEPEL pe

-

10 i n c e n t i v o d u r a n t e o desenvolvimento d a t e s e .

A Ana Maria Costa D a n i e l l i p e l o e f i c i e n t e e p a c i e n

-

t e t r a b a l h o de d a t i l o g r a f i a .

Finalmente um agradecimento e s p e c i a l a meus p a i s , Mauro e Yolanda p e l o c a r i n h o com que sempre acompanharam meus e s t u d o s .

RESUMO

O problema do planejamento da Operação de Sistemas

~ i d r o t é r m i c o s c o n s i s t e em e n c o n t r a r uma e s t r a t é g i a que minimi

-

ze o v a l o r esperado do c u s t o de operação (despesas com térmi

-

c a s e p r e j u í z o s com e v e n t u a i s d e f i c i t s no suprimento de ener- g i a ) ao longo do h o r i z o n t e d e planejamento.

Atualmente o S e t o r ~ l é t r i c o b r a s i l e i r o tem determina

-

do a p o l í t i c a Ótima de operação de um S i s t e m a ~ i d r o t ~ e o a t r a

-

v é s do emprego do a l g o r i t m o de ~ r o g r a m a ç ã o ~ i n â m i c a ~ s t o c á s t i -

ca ( P D E ) . O s i s t e m a em e s t u d o é r e p r e s e n t a d o de maneira s i m

-

p l i f i c a d a por um Sistema E q u i v a l e n t e que agrega a s u s i n a s h i - d r o e l é t r i c a s num Único bloco gerador de e n e r g i a .

E s t a metodologia não pode s e r f a c i l m e n t e e s t e n d i d a pa

-

r a o c á l c u l o da p o l í t i c a Ótima de operação de subsistemas i n

-

t e r l i g a d o s r e p r e s e n t a d o s por d o i s Sistemas Equiva1entes:a memó r i a e o tempo de CPU n e c e s s á r i o s à otimização ( p e l a PDE) c r e s

-

cem exponencialmente com o número de v a r i á v e i s de e s t a d o envol

-

v i d o s .

O o b j e t i v o d e s t a t e s e é o desenvolvimento de esquemas que permitam r e d u z i r a dimensionalidade do espaço de e s t a d o s do a l g o r i t m o da PDE quando a p l i c a d a ao Planejamento da Opera ção de Sistemas ~ i d r o t é r m i c o s de maneira a a b r i r um p o s s í v e l caminho p a r a a v i a b i l i z a ç ã o do c á l c u l o da p o l í t i c a ótima de operação d e s i s t e m a s i n t e r l i g a d o s .

ApÕs breve d e s c r i ç ã o do algoritmo r e c u r s i v o da PDE de

-

r i v a - s e a s condições n e c e s s á r i a s à redução a n a l í t i c a do espaço de e s t a d o s . Sugere-se a s e g u i r o c á l c u l o da p o l í t i c a Ótima de operação de um Sistema Hidrotérmico p e l o a j u s t e de funções ana

-

l i t i c a s m u l t i v a r i a d a s à s t a b e l a s d e c u s t o f u t u r o da Programa

-

ção ~ i n k i c a .

Finalmente desenvolve-se um a l g o r i t m o que c a l c u l a a p o l í t i c a Ótima a t r a v é s de redução do espaço de e s t a d o s seguida de a j u s t e de função u n i v a r i a d a . Apresenta-se r e s u l t a d o s e d e s

-

creve-se a s p e r s p e c t i v a s de r e s o l u ç ã o de s i s t e m a s i n t e r l i g a d o s com a a p l i c a ç ã o do a l g o r i t m o desenvolvido.

v i

ABSTRACT

The problem of O p e r a t i o n P l a n n i n g i n h y d r o t h e r m a l s y s t e m s i s t o d e t e r m i n e an o p e r a t i n g p o l i c y t h a t minimizes t h e e x p e c t e d s y s t e m o p e r a t i n g c o s t Lcomprising f u e l c o s t s f o r t h e t h e r m a l u n i t s and p e n a l t i e s f o r d e f i c i t s i n energy supply) a l o n g t h e p l a n n i n g p e r i o d .

The o p t i m a l o p e r a t i n g p o l i c y o f t h e b r a z i l i a n system i s p r e s e n t l y c a l c u l a t e d t r o u g h a s t o c h a s t i c dynamic prograMning r e c u r s i o n (SDP)

.

The h y d r o e l e c t r i c s y s t e m under s t u d y i s r e p r e s e n t e d i n a s i m p l i f i e d way by a n e q u i v a l e n t system which a g g r e g a t e s t h e h y d r o p l a n t s i n t o one e q u i v a l e n t e n e r g y - s t o r a g e r e s e r v o i r . T h i s methodology c a n n o t b e d i r e c t l y e x t e n d e d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e o p t i m a l o p e r a t i n g p o l i c y of two i n t e r m e c t e d s u b s y s t e m s r e p r e s e n t e d by two e q u i v a l e n t r e s e r v o i r s b e c a u s e c o r e and CPU r e q u i r e m e n t s i n c r e a s e e x p o n e n t i a l l y w i t h t h e number o f s t a t e v a r i a b l e s .

The a i m of t h i s t h e s i s i s t h e development o f schemes f o r t h e r e d u c t i o n of d i m e n s i o n a l i t y i n t h e s t a t e s p a c e o f t h e SDP a l g o r i t h m , which w i l l e v e n t u a l l y a l l o w t h e c a l c u l a t i o n o f o p t i m a l o p e r a t i n g p o l i c i e s f o r i n t e r c o n n e c t e d s y s t e m s .

I n t h e f i r s t p a r t o f t h e t h e s i s , t h e SDP a l g o r i t h m i s o u t l i n e d and c o n d i t i o n s f o r t h e a n a l y t i c a l r e d u c t i o n of t h e s t a t e s p a c e a r e d e v e l o p e d . The f i t t i n g of multivariate analytical f u n c t i o n s t o t h e e x p e c t e d f u t u r e c o s t t a b l e s i n the SDP recursion i s t h e n t r i e d . F i n a l l y

,

a n a l g o r i t h m combining s t a t e - s p a c e reduction ' and u n i v a r i a t e a n a l y t i c a l f u n c t i o n f i t t i n g i s d e v e l o p e d _and t e s t e d w i t h t h e b r a z i l i a n s o u t h and s o u t h e a s t s y s t e m s . _The e x t e n s i o n of t h i s methodology t o o p e r a t i o n of two i n t e r c o n n e c t e d s y s t e m s i s d i s c u s s e d .

CAPÍTULO I11

-

REDUÇÃO A N A L ~ T I C A DO ESPAÇO DE ESTADOS DO ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO

DINAMI

CA

ESTOCAS

-

T I C A

CAPTTULO

I V

-

CALCULO

DA P O L ~ T I C A

TIM MA

DE OPERAÇÃO P E - LO A J U S T E DE FUNÇÕES A N A L ~ T I C A S

AS

TABELAS DE CUSTO FUTURO I V . 1

-

D e s c r i ç ã o G e r a l I V . 2

-

A j u s t e P o l i n o m i a i s I V . 2 . 1

-

A j u s t e P o l i n o m i a l s e m R e s t r i ç õ e s I V . 2 . 2

-

A j u s t e P o l i n o m i a l c o m ~ e s t r i ç õ e s I V . 3

-

A j u s t e s E x p o n e n c i a i s I V . 3 . 1

-

A j u s t e de uma E x p o n e n c i a l I V . 3 . 2

-

A j u s t e de c o m b i n a ç ã o de E x p o n e n c i a i s I V . 4

-

l n t e r p o l a ç Õ e s L i n e a r e s C A P ~ T U L O V

-

C O N C L U S ~ E S E PERSPECTIVAS DE UTILIZAÇÃO DO ALGORITMO PROPOSTO NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS INTERLIGADOS

Um s i s t e m a h i d r o t é r m i c o de geração de e n e r g i a e l é t r i - ca é composto de um s i s t e m a térmico ( u s i n a s t e r m e l é t r i c a s con

_-

v e n c i o n a i s e/ou n u c l e a r e s ) e de um s i s t e m a h i d r á u l i c o ( u s i n a s h i d r e l é t r i c a s com ou sem r e s e r v a t Õ r i o s ) , l i g a d o s aomercado con

_-

sumidor por um s i s t e m a d e transmissão e l é t r i c a :

USINAS

I

Figura I . 1- O c u s t o de Esquematização de um Sistema de ~ e r a ç ã o de Energia E l é t r i c a operação das u s i n a s h i d r e l é t r i c a s é d e s p r e

_-

z í v e l j á que são u t i l i z a d a s a s vazões n a t u r a i s dos r i o s p a r a a c i o n a r t u r b i n a s acopladas a geradores e l é t r i c o s que produzem e n e r g i a . Por sua v e z , a s u s i n a s t e r m e l é t r i c a s u t i l i z a m combus- t í v e i s p a r a aquecer c a l d e i r a s onde s e produz vapor a a l t a tem

_-

p e r a t u r a e p r e s s ã o . É a expansão d e s t e vapor que a c i o n a a s t u r

-

b i n a s a c o p l a d a s a o s g e r a d o r e s e l é t r i c o s . O s c o m b u s t í v e i s q u e i

-

mados ( c a r v ã o , Óleo, g á s , u r â n i o ) tem em g e r a l pr,eços a l t o s tor

-

nando a s u s i n a s t e r m e l é t r i c a s o p e r a c i o n a l m e n t e o n e r o s a s .

Embora a s u s i n a s h i d r e l é t r i c a s tenham c u s t o d e o p e r a -

ç ã o d e s p x e z i v e l , o d e p l e c i o n a m e n t o d e s e u s r e s e r v a t ó r i o s deve ser cuidadosamente p l a n e j a d o . A a l e a t o r i e d a d e d a s v a z õ e s a f l u

-

e n t e s impede um conhecimento p r é v i o d a s e q u ê n c i a d e a f l u ê n c i a s q u e o c o r r e r á nos próximos meses. Eventualmente p o d e r á o c o r r e r uma s i t u a ç ã o d e a f l u ê n c i a s t ã o d e s f a v o r á v e i s q u e , c a s o não ha- j a e s t o q u e s u f i c i e n t e n o s , r e s e r v a t Ó r i o s , o mercado consumidor não p o s s a s e r s a t i s f e i t o nem p e l a g e r a ç ã o c o n j u n t a d e t o d a s h i -

d r e l é t r i c a s e t é r m i c a s d i s p o n í v e i s .

N ~ O é s i m p l e s a v a l i a r o i m p a c t o na economia d o merca- do consumidor o c a s i o n a d o p e l a o c o r r ê n c i a d e d e f i c i t s no f o r n e - cimento d e e n e r g i a . O que é p o s s i v e l a f i r m a r com c e r t e z a é que e s t e i m p a c t o pode ser enorme, s e n d o p o r t a n t o n e c e s s á r i o e s t a b e -

l e c e r um n í v e l d e g a r a n t i a d e s u p r i m e n t o do mercado que d e v e r á ser o b e d e c i d o no p l a n e j a m e n t o do s i s t e m a g e r a d o r . Uma p o s s í - v e l m a n e i r a d e e s t a b e l e c e r e s t e n í v e l é c o n s i d e r a r o d e f i c i t como s e fosse -uma térmica de a l t í s s i m custo. Desta maneira, na . medida

em que s e procura: minimizar os gastos ccnn a s unidades t e ~ m e l é t r i c a s , o s d e f - i c i t s de energia estarão ,senpre que pssZvel, sendo e v i t a d o s .

Pode-se d i z e r e n t ã o q u e o o b j e t i v o do p l a n e j a m e n t o d a o p e r a ç ã o d e um s i s t e m a h i d r o t é r m i c o é - r e s p e i t a n d o - s e a s res- t r i ç õ e s f í s i c a s d e s e u s componentes- a t e n d e r a um mercado con -

sumidor d e e n e r g i a a c a d a i n s t a n t e d e um p e r í o d o d e planejamen

-

t o com um c e r t o g r a u d e c o n f i a b i l i d a d e e a um c u s t o e s p e r a d o & - nimo d e o p e r a ç ã o . Na o p e r a ç ã o d e s i s t e m a s g e r a d o r e s h i d r o t é r m i c o s deve

-

- s e e n t ã o d e c i d i r , a d e t e r m i n a d o s i n t e r v a l o s d e tempo, e n t r e p r o d u z i r uma m a i o r q u a n t i d a d e d e e n e r g i a n a s u s i n a s t é r m i c a s , e com i s t o i n c o r r e r e m d e s p e s a s cam c o r n b u s t i v e i s , ou u t i l i z a r a água em e s t o q u e nos r e s e r v a t ó r i o s . Na p r i m e i r a a l t e r n a t i v a , a e n e r g i a p o t e n c i a l d e origem h i d r á u l i c a economizada p o d e r á ser u s a d a p o s t e r i o r m e n t e , numa h i d r á u l i c i d a d e d e s f a v o r á v e l , p a r a

a s s e g u r a r o atendimento da carga ou para s u b s t i t u i r a geração d a s u s i n a s térmicas mais onerosas. E n t r e t a n t o , s e houver abundância nos r e c u r s o s h i d r á u l i c o s f u t u r o s pode haver v e r t i - mento, ou s e j a , a água economizada e s t a r á irremediavelmente p e r d i d a p a r a a geração. A segunda a l t e r n a t i v a , d e u t i l i z a ç ã o do estoque h i d r á u l i c o , a t u a no s e n t i d o de p o s t e r g a r a geração térmica o que em caso de a f l u ê n c i a s b a i x a s f u t u r a s poderá obri

-

g a r à operação das térmicas mais d i s p e n d i o s a s , ou mesmo l e v a r

à o c o r r ê n c i a de d e f i c i t s . No e n t a n t o , devido â pequena espe -

rança de o c o r r ê n c i a d e s t a s a f l u ê n c i a s b a i x a s , e s t a a l t e r n a t i

-

va pode l e v a r a uma economia de combustível na operação f u t u

-

r a . Naturalmente a melhor solução s e c o n s t i t u i r á num compro -

misso econômico e n t r e e s t a s p o s s i b i l i d a d e s .

Deseja-se então a determinação,ao longo do horizon- t e de estudo considerado, d e uma p o l í t i c a de operação p a r a a q u a l o c u s t o t o t a l esperado e a t u a l i z a d o de operação s e j a _{m í}

_-

nimo levando em consideração o n í v e l de g a r a n t i a no f o r n e c i

-

mento de e n e r g i a .

O c á l c u l o da p o - í t i c a Ótima .de operação é f e i t o a t u -

almente a t r a v é s da agregação do s i s t e m a em estudo em um

-

S i s - tema Equivalente e p o s t e r i o r a p l i c a ç ã o do algoritmo r e c u r s i

-

vo da ~ r o g r a m a ç ã o ~ i n â m i c a ~ s t o c ã s t - i c a (PDE)

.

O c a p í t u l o I1 d e s t e t r a b a l h o descreve brevemente o Sistema Equivalente e o a l g o r i t m o da PDE r e s s a l t a n d o as d i f i c u l d a d e s de a p l i c a ç ã o d e s t e algoritmo em sistemascommais de duas v a r i á v e i s de e s t a d o . Dado que s e d e s e j a o c á l c u l o da p o l í t i c a ótima m a ç ã o p a r a s i s t e m a s i n t e r l i g a d o s (.mais de duas v a r i á v e i s ) , a s s u n t o que na r e a l i d a d e u l t r a p a s s a o e s

_-

copo da p r e s e n t e t e s e que s e r v e apenas como i n t r o d u ç ã o -o t e

_-

ma, o c a p í t u l o I11 s e propõe a uma a n á l i s e mais d e t a l h a d a do algoritmo r e c u r s i v o da PDE, visando uma redução a n a l í t i c a do número de v a r i á v e i s de e s t a d o .

O c a p í t u l o I V s u g e r e o c%culo da p o l í t i c a Ótima de operação p e l o ajus.te d e fu-nções a n a l l t i c a s 2s t a b e l a s de cus- t o f u t u r o da PDE. propõe também um algoritmo que c a l c u l a a po -

l í t i c a Ótima a t r a v é s de uma redução das v a r i á v e i s de e s t a d o s e

-

guida d e a j u s t e de função u n i v a r i a d a . Apresenta-se r e s u l - t a d o s .

F i n a l i z a n d o , o c a p í t u l o V d e s c r e v e a s p e r s p e c t i v a s de r e s o l u ç ã o de s i s t e m a s i n t e r l i g a d o s com a a p l i c a ç ã o do a l g o r i t - mo proposto.

O problema do planejamento da operação do sistema h i

-

drotérmico b r a s i l e i r o , composto de elevado número de usinas h i d r á u l i c a s com ou sem r e s e r v a t ó r i o s (correspondentes a 81% do p o t e n c i a l i n s t a l a d o ) e de u s i n a s t e r m e l é t r i c a s , é extrema -

mente complexo. E x i s t e um grande número de v a r i á v e i s envolvi

-

das na formulação matemática do problema, sendo algumas d e l a s a l e a t ó r i a s . Além d i s s o , há que s e c o n s i d e r a r a s r e s t r i ç õ e s f í s i c a s dos componentes do s i s t e m a .

Por exemplo, suponha um s i s t e m a composto de h u s i n a s h i d r e l é t r i c a s e t t e r m e l é t r i c a s . Admita que o h o r i z o n t e de planejamento s e j a de 1 0 anos e que a s d e c i s õ e s devam s e r toma

-

das mensalmente.

Algumas das v a r i á v e i s envolvidas são:

-+ armazenamento no m ê s i do r e s e r v a t ó r i o j

h x 1 2 0 v a r i á v e i s

-+ a f l u ê n c i a t o t a l no mês i a u s i n a j

h x 1 2 0 v a r i á v e i s

-t quantidade de água t u r b i n a d a no m ê s i pela usina j

h x 1 2 0 v a r i á v e i s

-+ número de unidades geradoras em funcionamento no

m ê s i na u s i n a j

h x 1 2 0 v a r i á v e i s

-+ evaporação no m ê s i no r e s e r v a t ó r i o j

Algumas das r e s t r i ç õ e s envolvendo e s t a s v a r i á v e i s são:

.

equação de balanço X

-

-

X i j + a i j - W - v i+l, j i j i j h x 1 2 0 r e s t r i ç õ e s (11.1) v

-

v e r t i m e n t o no mês i na j-ésima u s i n a . i j

.

l i m i t a ç ã o nos armazenamentos máximo e mínimo dos r e s e r v a

-

t ó r i o s :

x ( . i )

5

x i j ( ~ ( i )

jmin jmax

2 x h x 1 2 0 r e s t r i ç õ e s ( 1 1 . 2 ) x ( i ) = volume morto = volume de água que não po

_-

jmin _{de s e r u t i l i z a d o na geração}

_-

_{m ê s i , r e}

-

s e r v a t ó r i o j

.

x ( i ) = capacidade máxima de armazenamento do

jmax

r e s e r v a t ó r i o j no m ê s i .

.

l i m i t a ç õ e s de vazão t u r b i n a d a máxima e mínima:

W

jmin

5

Wi j

5

Wjmax ( . i , j ,x i j ) 2 x h x 1 2 0 r e s t r i ç õ e s

W

jmin = mínima vazão o b r i g a t ó r i a p a r a e v i t a r o secamento e x c e s s i v o do r i o a j u s a n t e e manter a s condições de n a ~ e g a ç ã o .

Wjmax ( i , j ,xi ) = máxima vazão p e r m i t i d a a t r a v é s das t u r b i n a s , sendo

W

.

equação da c a s c a t a :

+

h.ik

+

vik)

k&M ( j )

Y i j

-

a f l u ê n c i a i n c r e m e n t a l no mês i a u s i n a j . M(.j)- conjunto das u s i n a s ime

-

diatamente a montante de j .

F i g u r a 11.1- Usinas em Cascata

~ n t ã o , supondo h = 30, a t é agora o problema j á envol

-

ve ( 5 x 30 x 1 2 0 ) = 18000 v a r i á v e i s e ( 6 x 30 x 1 2 0 ) = 21600 r e s t r i ç õ e s , sendo que, e n t r e o u t r a s , a i n d a devem s e r i n c l u i - das a s v a r i á v e i s e r e s t r i ç õ e s r e l a t i v a s às u s i n a s t e r m e l ê t r i - c a s

.

Do exposto, depreende-se que o problema do p l a n e j a -

mento da operação do s i s t e m a h i d r o t é r m i c o b r a s i l e i r o é de grande p o r t e além de não l i n e a r ( a e n e r g i a gerada em uma h i - d r e l é t r i c a é o produto da quantidade de água t u r b i n a d a p e l a a l t u r a d e queda) e e s t o c á s t i c o ( a s vazões a f l u e n t e s aos r e s e r

-

v a t õ r i o s que p a r t i c i p a m do s i s t e m a gerador s ã o v a r i á v e i s a l e a

-

t ó r i a s ) . A conjunção d e s s e s f a t o r e s i n v i a b i l i z a a a p l i c a ç ã o de t é c n i c a s de otimização na busca de uma s o l u ç ã o a n a l í t i c a

.

O s r e q u i s i t o s de memória e tempo de CPU n e c e s s á r i o s imple- mentação dos a l g o r i t m o s s ã o de t a l maneira elevados que t o r - nam i n d i s p e n s á v e i s v á r i a s s i m p l i f i c a ç õ e s na r e p r e s e n t a ç ã o do parque g e r a d o r .

A construção de um Sistema E q u i v a l e n t e p ã r a r e p r e s e n

-

t a ç ã o de um parque h i d r o t é r m i c o tem como f i n a l i d a d e a t e n d e r ao o b j e t i v o i n i c i a l de s i m p l i f i c a ç ã o propiciando a busca da melhor solução p a r a o problema exposto.

O Sistema E q u i v a l e n t e agrega a s u s i n a s h i d r e l é t r i c a s em um r e s e r v a t ó r i o e q u i v a l e n t e de e n e r g i a . U t i l i z a - s e ener

-

g i a já que uma h i d r e l é t r i c a a p r o v e i t a a d i f e r e n ç a de e n e r g i a p o t e n c i a l e n t r e d o i s n í v e i s p a r a g e r a r e l e t r i c i d a d e - A s s i m , não b a s t a acumular volumes d ' á g u a no r e s e r v a t ó r i o e q u i v a l e n t e

4

j á que e s t a informação não e s u f i c i e n t e _pa

r a d e f i n i r a s p o s s i b i l i d a d e s de geração do s i s t e m a .

e

p r e c i -

s o s a b e r como o estoque d e água d e cada r e s e r v a t ó r i o pode s e r u t i l i z a d o sendo n e c e s s á r i o , por exemplo, o conhecimento da p o s i ç ã o r e l a t i v a das u s i n a s em c a s c a t a . A e n e r g i a armazena- da no r e s e r v a t ó r i o e q u i v a l e n t e a cada i n s t a n t e do período d e planejamento r e p r e s e n t a , aproximadamente, o armazenamento d e e n e r g i a do conjunto de u s i n a s h i d r e l é t r i c a s i n d i v i d u a i s . A e n e r g i a a f l u e n t e ao r e s e r v a t ó r i o r e p r e s e n t a o v a l o r t o t a l em e n e r g i a d a s descargas a f l u e n t e s aos v á r i o s r e s e r v a t ó r i o s .

A s u s i n a s t e r m e l é t r i c a s com c a r a c t e r í s t i c a s semelhan

-

t e s são r e u n i d a s em uma Única c l a s s e de geração temelétrica. em que a capacidade de geração e a s r e s t r i ç õ e s o p e r a t i v a s s ã o , aproximadamente, e q u i v a l e n t e s à s r e s p e c t i v a s capacidades e r e s t r i ç õ e s o p e r a t i v a s do conjunto daquelas u s i n a s t e r m e l é t r i - c a s

.

A demanda d e e n e r g i a e l é t r i c a é s u p o s t a concentrada e m um Único l o c a l , considerando-se uma perda c o n s t a n t e na transmissão de e n e r g i a p a r a o seu suprimento a cada i n s t a n t e do período de estudo.

A p a r t i r d e s t e t i p o d e r e p r e s e n t a ç ã o do sistema h i - d r o t é r m i c o , a perda d e r i g o r na modelagem é compensada p e l a s i m p l i f i c a ç ã o do problema, v i a b i l i z a n d o sua solução. Uma d e s c r i ç ã o d e t a l h a d a do Sistema Equivalente pode s e r encontra- da em [ I ] .

~ i s p õ e - s e e n t ã o de um problema d e decisks s e q u e n c i a i s em que a o t i m a l i d a d e da d e c i s ã o tomada h o j e depende do conjun

-

t o de acontecimentos f u t u r o s . A s s i m , uma d e c i s ã o de manter o r e s e r v a t ó r i o e q u i v a l e n t e com determinado armazenamento, X de- plecionando

u m

volume

w

poderá t e r s i d o a c e r t a d a ou não depen

-

dendo da sequência d e afluências que chegue ao r e s e r v a t ó r i o e da e s t r a t é g i a que s e u t i l i z e p a r a sua operação.

Um a l g o r i t m o adequado p a r a a r e s o l u ç ã o de problemas d e s t e t i p o é o da programação ~ i n ã m i c a . Dividindo-se o p e r í o - do d e e s t u d o em i n t e r v a l o s - e s t á g i o s - , a t r a v é s de um c á l c u l o r e c u r s i v o e n c o n t r a - s e , p a r a cada p o s s í v e l s i t u a ç ã o -estado- do s i s t e m a em estudo, a "melhor" d e c i s ã o de acordo com o b j e t i v o s pré-fixados. A r e c u r s ã o é r e a l i z a d a no s e n t i d o i n v e r s o do tem

-

po, abrangendo assim a s p o s s í v e i s sequências de a f l u ê n c i a s e d e c i s õ e s em s i t u a ç õ e s f u t u r a s .

A ( s ) v a r i á v e l ( i s ) d e e s t a d o deve(m) r e p r e s e n t a r o s i s

-

tema em estudo. No caso de operação d e s i s t e m a s hidrotérmicos escolhe-se o n í v e l do r e s e r v a t ó r i o e q u i v a l e n t e como (uma d a s ) componente(s) do v e t o r d e e s t a d o .

A s decisÕes,que em cada e s t á g i o são d e f i n i d a s p a r a ca

-

da um dos p o s s í v e i s e s t a d o s do s i s t e m a , s e referem ao n í v e l de geração t é r m i c a .

Supondo que o período em e s t u d o s e j a d i v i d i d o em in- t e r v a l o s mensais, num determinado mês k,sendo o mercado e a

configuração do sistema conheci dos,^ armazenamento ao fim do

m ê s ( i n í c i o do próximo m ê s ) -x

-

e o e v e n t u a l d e f i c i t -Dk

-

k+ 1

ficam determinados quando s e conhece:

-

o armazenamento i n i c i a l Xk

-

a a f l u ê n c i a do mês a k

-

a d e c i s ã o térmica tomada ao i n í c i o do mês u k

OU s e j a :

E n t r e t a n t o , quando a decisão térmica u _k

6

tomada, a a f l u ê n c i a do m ê s -a

-

não é conhecida. Uma a l t e r n a t i v a s e r i a

k

escolher um modelo e s t o c á s t i c o para produzir p o s s í v e i s sequên

-

tias de a f l u ê n c i a s para o período de planejamento. Assim, pg r a cada estado xk em cada e s t á g i o k , s e r i a tomada a decisão uk que em média f o s s e menos onerosa, considerando-se a s d i - v e r s a s sequências h i d r o l õ g i c a s . Neste caso a af l u ê n c i a men-

s a l no mês k é considerada uma v a r i á v e l a l e a t ó r i a de média p k e desvio padrão a _k ( f i g u r a 1 1 . 2 ) .

porém, sabe-se que a s decisões em cada estado x s e

k

-

r ã o t a n t o mais a c e r t a d a s quanto maior f o r o volume de informa

_-

ções u t i l i z a d a s no seu c á l c u l o . Por exemplo, para uma mesma s i t u a ç ã o de armazenamento, porém d i a n t e de p e r s p e c t i v a s de a f l u ê n c i a s f u t u r a s muito d i f e r e n t e s , é n a t u r a l que sejam i n d i -

cadas d i f e r e n t e s decisões de operação térmica: caso h a j a e s -

perança de a l t a s a f l u ê n c i a s é razoável que s e u t i l i z e a água em estoque para e v i t a r g a s t o s com térmicas; caso c o n t r á r i o , p g derã s e r mais econômico r e s e r v a r o estoque para uso poste- r i o r , em s i t u a ç õ e s mais desfavoráveis.

~ n t ã o , uma vez selecionado o modelo e s t o c á s t i c o de a f l u ê n c i a s , uma boa a l t e r n a t i v a s e r i a a p r o v e i t a r informações de a f l u ê n c i a s passadas e u t i l i z á - l a s explicitamente para f o r - necer a d i s t r i b u i ç ã o de probabilidades r e l a t i v a s 2s afluên- c i a s p o s s í v e i s no mês condicionada p e l a s a f l u ê n c i a s observa- das anteriormente. Neste caso, a d i s p e r s ã o da d i s t r i b u i ç ã o das a f l u ê n c i a s p o s s í v e i s no mês é menor ( f i g u r a 11.3) j á que s e r e s t r i n g e o universo de a f l u ê n c i a s f u t u r a s , admitindo-se a e x i s t ê n c i a de uma "&ndência hidrolÓgica" que condiciona e s

_-

t a s a f l u ê n c i a s .

F i g u r a 11.2- Densidade d e P r o b a b i l i d a d e d e Ak

F i g u r a 11.3- Densidade d e P r o b a b i l i d a d e Condicionada d e (Ak/Ak-l= a i )

O Modelo a S i s t e m a E q u i v a l e n t e (MSE.) [ l ] d e s e n v o l v i d o em 1977, u t i l i z a e s t e f a t o . Seus a s p e c t o s t e ó r i c o s podem ser agrupados s o b t r ê s i t e n s p r i n c i p a i s :

-

r e p r e s e n t a ç ã o d o s i s t e m a h i d r o t é r m i c o c o n s i d e r a d o p o r um s i s t e m a e q u i v a l e n t e , conforme mencionado a n t e r i o r m e n

-

t e .

-

e s t a b e l e c i m e n t o d e um modelo e s t o c k t i c o d e a f l u ê n c i a s c a p a z d e d e s c r e v e r e m t e r m o s p r o b a b i l í s t i c o s o comporta

-

mento d a e n e r g i a a f l u e n t e a o s i s t e m a a o longo do p e r í o do d e p l a n e j a m e n t o .

-

determinação, no h o r i z o n t e de e s t u d o considerado, d e uma e s t r a t é g i a de operação p a r a a q u a l o c u s t o esperado de operação s e j a mínimo. O c á l c u l o da p o l í t i c a ótima de ope

-

r a ç ã o c o n s i s t e no c o n f r o n t o dos r e q u i s i t o s da c a r g a com a s v á r i a s p o s s i b i l i d a d e s de atendimento p e l a geração das u s i n a s h i d r á u l i c a s com e sem r e s e r v a t ó r i o e d a s d i f e r e n

-

t e s u s i n a s t é r m i a a s . P a r a t a n t o , o modelo e m p r e g a m r e c u r s ã o de ~ r o g r a m a ç ã o ~ i n â m i c a ~ s t o c á s t i c a que u t i l i z a e x p l i c i t a m e n t e o modelo e s t o c á s t i c o e s t a b e l e c i d o para f o r

-

necer a d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e r e l a t i v a à s a f l u ê n

-

tias no

mês

condicionada p e l a a f l u ê n c i a observada no mês a n t e r i o r (modelo a u t o r e g r e s s i v o l a g 1 ) . E'k onde : ak

-

e n e r g i a t o t a l a f l u e n t e no m ê s k . bk

-

c o e f i c i e n t e d e r e g r e s s ã o l i n e a r de ordem 1, r e l a t i - vo ao k-&imo mês do ano.

-

v a r i á v e l a l e a t ó r i a de d i s t r i b u i ç ã o log-normal de t r ê s p a r h e t r o s , correspondente ao k-ésimo mês do ano.

n k

-

v a r i á v e l a l e a t ó r i a log-norma1,com média O e des

-

v i o padrão 1. p k

-

média d a s a f l u ê n c i a s no mês k . 2 a

-

v a r i â n c i a d a s a f l u ê n c i a s no m ê s k . k P k

-

c o e f i c i e n t e de c o r r e l a ç ã o e n t r e a f l u ê n c i a s do

m ê s

k e do m ê s k-1.

~ n t ã o a d i s t r i b u i ç ã o c o n d i c i o n a d a g (A /A - a ) t e m

k k k-1- k-1

media e v a r i â n c i a o*2, onde k

A s s i m a af l u ê n c i a d o m ê s a n t e r i o r a

_r

_{k-1" é i n c o r p o r a d a} a o v e t o r d e e s t a d o . P a r a um m ê s k q u a l q u e r , supondo-se q u e se p a r t a d e um e s t o q u e xk e sendo a

k-1 a a f l u ê n c i a t o t a l do mês a n t e r i o r - e s t a d o ( x k t a ) sendo o mercado conhecido e

k- 1 uma v e z e s c o l h i d a a d e c i s ã o t é r m i c a u k , j tem-se q u e o n í v e l f i n a l d e r e s e r v a , x k + l f e a e n e r g i a a l f u e n t e no p r ó p r i o

mê%

ak s ã o v a r i á v e i s a l e a t ó r i a s c o n d i c i o n a d a s p o r a k-1' A f i g u - r a a b a i x o i l u s t r a a s i t u a ç ã o : \ . P ' ' k ' Ak-l) F i g u r a 1 1 . 4 - Condicionamento d e x k + l e a k p e l o conhecimento d e a k

-

P a r a uma mesma d e c i s ã o , o c o r r e n d o uma a f l u ê n c i a a k e l e v a d a , o n í v e l f i n a l x

k+ 1 será consequentemente mais e l e v a

-

d o ( p o n t o A ) do que o q u e se v e r i f i c a n a h i p ó t e s e d e uma b a i

-

xa a f l u ê n c i a ( p o n t o B ) . A c u r v a AB r e p r e s e n t a o l u g a r geomé

-

t r i c o dos e s t a d o s ( x ~ + ~ , a k ) a o f i m do

mês.

Supondo q u e s e c o n h e c e , p a r a c a d a e s t a d o no f i m do

mês,

o c u s t o d e o p e r a ç ã o f u t u r a ( d o p e r í o d o a t u a l

a t é

o f i m do h o r i z o n t e d e p l a n e j a m e n t ~ ) f ~ + ~ [ x ~ + ~

,

a k ]

,

O c u s t o t o t a l atua

-

l i z a d o e e s p e r a d o no i n í c i o do mês k a s s o c i a d o a o e s t a d o é dado p o r : onde : L é o c u s t o d i r e t o d e o p e r a ç ã o a s s o c i a d o a j-ésima d e c i s ã o t é r m i c a no

mês

k ; d b k l

-

é O c u s t o d e um d e f i c i t d e v a l o r Dk;

%+l'%'ak~%

,

j'

-

é a f u n ç ã o d e b a l a n ç o d i r e t o ;

%'%'%'%,

j'

-

é a f u n ç ã o d e d e f i c i t ; E ( * )

-

é o o p e r a d o r " e s p e r a n ç a m a t e m á t i c a " ; l / a

-

é o f a t o r d e d e s c o n t o .

Caso o s c u s t o s fk+l correspondam a uma o p e r a ç ã o o t i -

mizada d o s meses s e g u i n t e s a t é o f i m do h o r i z o n t e d e p l a n e - jamento, e n t ã o , a p l i c a n d o - s e o p r i n c í p i o d e o t i m a l i d a d e d a programação d i n â m i c a , é p o s s í v e l d e t e r m i n a r f k ( x k , ak-l)

,

O

c u s t o e s p e r a d o d e o p e r a ç ã o f u t u r a a p a r t i r do mês k e do es- t a d o ( x k f ak-l) :

A expressão acima p e r m i t e d e t e r m i n a r p a r a cada

mgs

k a melhor d e c i s ã o a s e r tomada a p a r t i r d e todo e s t a d o [ x p , - l ] v i á v e l e o v a l o r esperado a t u a l i z a d o do c u s t o f u t u r o a s s o c i a - .do.

Realizados o s c á l c u l o s p a r a o m ê s k , a r e c u r s ã o po- d e r á desenvolver-se em mais uma e t a p a , determinando e n t ã o a s d e c i s õ e s Õtimas p a r a o

mês

k-1.

A r e c u r s ã o , f e i t a no s e n t i d o i n v e r s o do tempo, s e i n i c i a em um m ê s N q u a l q u e r , s u f i c i e n t e m e n t e d i s t a n t e no f u t u

-

r o , com uma t a b e l a q u a l q u e r de c u s t o s f N (xN,

%-1)

.

S u f i c i e n

-

temente d i s t a n t e no s e n t i d o de que a p o l í t i c a ótima de d e c i - s õ e s p a r a um f u t u r o mais imediato s e j a independente d e s t a t a - b e l a a r b i t r a d a . I s t o é p o s s í v e l devido à a l e a t o r i e d a d e das a f l u ê n c i a s a l i a d a 2 e x i s t ê n c i a d e uma t a x a d e a t u a l i z a ç ã o f i

-

n a n c e i r a na r e c u r s ã o , que t e n d e a d e s v a l o r i z a r no p r e s e n t e o s c u s t o s f u t u r o s . Uma observação i m p o r t a n t e s e r e f e r e ao c r i t é r i o e s t a

-

b e l e c i d o p a r a d e t e r m i n a r o n í v e l de g a r a n t i a d e fornecimento de e n e r g i a . O c r i t é r i o u t i l i z a d o p e l o s i s t e m a MSE é a e s p e c i

-

f i c a ç ã o i n d i r e t a do n í v e l de g a r a n t i a a t r a v é s do e s t a b e l e c i

-

mento de uma função de c u s t o s de d e f i c i t s .

A s v a r i á v e i s e n v o l v i d a s na r e c u r s k são d i s c r e t i z a d a s quando d a implementação c o m p u t a c i o n a l . A s s i m , no f i m do p r o

-

c e s s o , d i s p õ e - s e , p a r a c a d a mês k do h o r i z o n t e d e planejamen

-

t o d e uma t a b e l a d e c u s t o s f u t u r o s q u e f o r n e c e p a r a c a d a p a r ( x k , ak-l) c o n s i d e r a d o ( f r u t o d a s d i s c r e t i z a ç õ e s d a s v a r i á

-

v e i s xk e a 1 o v a l o r e s p e r a d o e a t u a l i z a d o do c u s t o d e k- 1 o p e r a ç ã o a p a r t i r d e s t e e s t a d o a t é o f i m do h o r i z o n t e d e p l a

-

nejamento d e a c o r d o com a p o l í t i c a Õtima ( d e mínimo c u s t o d e o p e r a ç ã o ) o b t i d a . O p r o c e s s o d e o b t e n ç ã o d a p o l f t i c a Ó t i m a pode s e r e s q u e m a t i z a d o d a s e g u i n t e m a n e i r a :

r

P e r c o r r e p e r í o d o e m e s t u d o k no s e n t i d o i n v e r s o do tempo. P e r c o r r e a f l u ê n c i a s do m ê s a n t e r i o r a k

-

P e r c o r r e g r e l h a d e e n e r g i a armazenada x k P e r c o r r e d e c i s õ e s t é r m i c a s u , ( e s c o l h e n - J d o a m e l h o r ) P e r c o r r e a f l u ê n c i a s do

m ê s

a k

r

Faz b a l a n ç o mensal F i g u r a 11.5

-

~ s q u e m a t i z a ç ã o do c á l c u l o d a p o l í t i c a Õ t i m a d e o p e r a ç ã o

O s i m p l e s exame d o esquema acima e v i d e n c i a o enor- m e t r a b a l h o c o m p u t a c i o n a l i n e r e n t e e m g e r a l

3

programação d i

_-

n h i c a . P o r exemplo, p a r a um p e r í o d o d e 10 anos ( 1 2 0 meses), p a r a uma d i s c r e t i z a ç ã o d e 1 0 i n t e r v a l o s d e e n e r -

g i a armazenada, p a r a 10 p o s s í v e i s d e c i s õ e s s í v e i s a f l u ê n c i a s no mês, s e r ã o r e a l i z a d o s

t é r m i c a s e 1 0 pos-

6

120 x 10 x 100 x 1 0 x 1 0 = 1 2 x 1 0 b a l a n ç o s (11.13)

sendo que e s t e número, assim como a memória n e c e s s á r i a 2 i m - plementação do a l g o r i t m o crescem exponencialmente com o núme- r o d e v a r i á v e i s d e e s t a d o .

Dadoque a c o n s t r u ç ã o de um r e s e r v a t ó r i o e q u i v a l e n t e r e q u e r s i m p l i f i c a ç õ e s t a i s como o enchimento (esvaziamento) s i

-

multâneo d e t o d o s o s r e s e r v a t ó r i o s componentes do parque g e r a

-

d o r , não é a c o n s e l h á v e l a r e p r e s e n t a ç ã o d e r e g i õ e s com d i f e r e n -

t e s regimes h i d r o l ó g i c o s por um ú n i c o r e s e r v a t ó r i o e q u i v a l e n - t e . Supondo e n t ã o um s i s t e m a com d o i s r e s e r v a t ó r i o s equiva

-

l e n t e s , I e 11, a s v a r i ã v e i s de e s t a d o s e r i a m :

~ n t ã o a f i g u r a 11.5 d e v e r i a s e r complementada: devem s e r p e r c o r r i d a s a s g r e l h a s d e e n e r g i a armazenada e e n e r g i a a f l u e n t e do mês a n t e r i o r do segundo s i s t e m a . Supondo uma d i s

-- v -

-

L I

c r e t i z a ç ã o d e 100 n í v e i s d e xL1e 10 i n t e r v a l o s de _k o nÚ-

c

mero d e b a l a n ç o s mensais do exemplo dado aumentaria de 1 2 x l o V p a r a 1 2 x 106 x 1 0 0 x 10 = 1 2 x 10'. A implementação do a l g o

-

r i t m o t o r n a - s e e n t ã o i n v i á v e l .

Visando a r e s o l u ç ã o de s i s t e m a s i n t e r l i g a d o s , o pró- ximo c a p í t u l o s e propõe ã _{uma a n á l i s e mais d e t a l h a d a d a s p a r} t i c u l a r i d a d e s da programação dinâmica e s t o c á s t i c a com o i n t u i

-

t o d e v i a b i l i z a r sua a p l i c a ç ã o n e s t e s c a s o s mais complexos.

S e j a f k ( . x k , ak-l) O c u s t o f u t u r o d e o p e r a ç ã o no

mgs

k

p a r a o e s t a d o ( x k , a k - l ) .

E

f á c i l n o t a r q u e , p a r a a _{k- 1} f i - x a , f d e v e d e c r e s c e r à medida que xk c r e s c e : se e x i s t e mais

k

e n e r g i a armazenada d i s p o n í v e l , p a r t e d a s t é r m i c a s q u e p o r v e n t u

-

r a e s t e j a m l i g a d a s ou q u e viriam a ser l i g a d a s podem não ser ne

-

c e s s á r i a s .

Analogamente, é também f á c i l d e e n t e n d e r o que acon

-

t e c e a f k , quando, p a r a xk f i x o , a k- 1 c r e s c e : um v a l o r m a i s a l t o d e a f l u ê n c i a no

mês

a n t e r i o r i n d i c a uma e s p e r a n ç a d e va- l o r e s mais e l e v a d o s d e a f l u ê n c i a s no f u t u r o . Maiores a f l u ê n

-

c i a s n a t u r a l m e n t e a c a r r e t a r ã o e m maior armazenamento e p o r t a n - t o f k também d e c r e s c e quando ak

-

c r e s c e . xk

A

Afk

DECRESCE ~ ~ D E ~ E S C E

+

w O k - 1 F i g u r a 111.1- Comportamento d e f k com a v a r i a ç ã o d e x e a k k-1

Pode-se e s p e r a r e n t ã o que h a j a uma "compensação" en- t r e um c e r t o Ax e um Aa

k-1' Compensação no s e n t i d o d e e s t a -

k

. -

d o s t a i s como (.xk, ak-l) e ( x k

+

Axk, a

k-1

-

Aak-l) t e r e m o mesmo v a l o r e s p e r a d o d e c u s t o f u t u r o ,

Caso s e j a p o s s í v e l d e r i v a r a n a l i t i c a m e n t e a r e l a ç ã o e n t r e Ax k e Aak-lI OU s e j a , s e f o r p o s s í v e l o b t e r a expressão

a n a l í t i c a das curvas de n í v e l da função f k , o e s f o r ç o envolvi- do no c á l c u l o r e c u r s i v o da p o l í t i c a Ótima de operação pode s e r grandemente atenuado p o i s b a s t a e n t ã o c a l c u l a r o s v a l o r e s de f k ( x k I ak-l) p a r a um determinado v a l o r de a k-1: Flgura 1 1 1 . 2 - Curvas de ~ i v e l de f ( x a ) k k' k-1 P a r a qualquer o u t r o e s t a d o , ( x k , ak-l) I a p a r t i r de x e Aa

k k - 1 = a k- 1

-

a;-l

,

poder-se-ia c a l c u l a r Axk t a l que

onde

f k (xk

-

AxkI a* ) é conhecido. k-1

E s t e procedimento,já.aplicado a n t e r i o r m e n t e Por Pronovost p a r a o Sistema Canadense

1

1

2

1,

e q u i v a l e a uma redu

_-

ção do espaço de estados:sendo f i x o , o v e t o r de e s t a d o s s e resume a um Único componente, '{x ) , o que reduz s i g n i f i c a t i -

k

vamente o e s f o r ç o computacional no c á l c u l o r e c u r s i v o da p o l i t i

_-

ca ótima de operação.

C o n s i d e r e N o filtimo

mês

do h o r i z o n t e d e planejamento. Suponha

( p a r a o u l t i m o e s t ã g i o , a f u n ç ã o d e c u s t o f u t u r o só

depende do armazenamento f i n a l do r e s e r v a t ó r i o ) .

S e j a Smin o armazenamento mznimo p e r m i t i d o no r e s e r v a

-

t ó r i o e q u i v a l e n t e e S o armazenamento máximo.

max

De uma m a n e i r a s i m p l i f i c a d a , a equação 11.12 para k =N pode s e r e s c r i t a como onde !3 = d e n s i d a d e d e p r o b a b i l i d a d e d e x ~ c o n d i c i o - + ~ XN+1 nada a o conhecimento d e %-1 X N c o n h e c i d o

V a ~ -

i v a r i á v e l a l e a t ó r i a d e s c r i t a no c a p í t u l o I1 d ( ~ + ~ ) é a f u n ç ã o c u s t o d e d e f i c i t ,

f ~ + l ( X ~ + l ) é a f u n ç ã o a r b i t r a d a p a r a o e s t á g i o N + 1 :

~ n t ã o fN (xN,aN-l ) pode s e r e s c r i t a como f u n ç ã o d e a p e

-

n a s uma v a r i á v e l ,

U t i l i z a n d o - s e 1 1 . 8 , 11.9 e 11.10

1 1 2 2

Suponha a g o r a d o i s e s t a d o s ( x N , aN-l) e (xN

,

%-1) t a i s

q u e

Observando-se a equação 1 1 1 . 7 , c o n c l u i - s e que p a r a o s e s t a d o s d e f i n i d o s em 111.8 a d e c i s ã o Ótima (que minirniza a e x p r e s s ã o )

,

u i , é a mesma. _Logo, Quanto à s c u r v a s d e n í v e l , c o n s t a n t e = f ( x a =

$

(xN+

bN%-l) N N ' N - 1 (111.11) -1 h ( c o n s t a n t e ) = ~ ~ + b ~ a ~ - ~ N CIII, 1 2 ) Logo, p a r a o e s t á g i o N , a s c u r v a s d e n í v e l da função s ã o r e t a s d e c o e f i c i e n t e a n g u l a r -bN=-o o / o N N N-1: Passando ao e s t á g i o N - 1 :

C

Como p a r a e s t e e s t á g i o não e p o s s í v e l e x p r e s s a r

£N-l como combinação l i n e a r d a s duas v a r i á v e i s de e s t a d o , xN-l e a

N-2' c o n s i d e r e

O e s t a b e l e c i m e n t o d a s curvas d e n í v e l da função não é mais i m e d i a t o , dependendo da forma a n a l í t i c a das funções w e z .

E n t r e t a n t o , caso não fossem considerados os l i m i t e s f í s i c o s do r e s e r v a t ó r i o . e n t ã o Smin+-m,

'max + + a , desaparecen

-

do a p a r c e l a s d ( x e d (x ) d a s equações 1 1 1 . 4 e I I I . l 4 , r e s

N+ 1 N -

pectivamente. Desta maneira os c á l c u l o s seriam extremamente

P a r a e s t a d o s t a i s que a d e c i s ã o ótima o b t i d a a p a r t i r de 1 1 1 . 2 1 6 a mesma. ~ n t ã o , E ainda ~ n t ã o a s curvas de n í v e l da função de c u s t o f u t u r o no e s t á g i o N - 1 s ã o r e t a s de c o e f i c i e n t e angular Continuando o c á l c u l o r e c u r s i v o p a r a os e s t á g i o s an

_-

t e r i o r e s , c o n c l u i - s e que sob a h i p ó t e s e d e r e s e r v a t ó r i o i n f i - n i t o , p a r a qualquer e s t á g i o k , a s curvas de n í v e l da função seriam r e t a s de c o e f i c i e n t e angular

Uma observação i n t e r e s s a n t e s e r e f e r e ã s curvas de ní

_-

Sabe-se que p a r a um e s t a d o ( ~ ~ , a ~ - ~ ) no est.ágio k , a d e c i s ã o Ótima ( d e menor c u s t o ) uc é t a l que

1

Mas de acordo com 1 1 1 . 9 e 1 1 1 . 1 9 , e s t a d o s ( x k , a i - l ) 2 2

e ( ~ ~ , a ~ - ~ ) t a i s que

correspondem à mesma d e c i s ã o t é r m i c a Ótima e p o r t a n t o tem o mesmo v a l o r de c u s t o f u t u r o i n c r e m e n t a l .

Logo, p a r a a h i p ó t e s e e ~ t a b e l e c i d a ~ p a r a qualquer e s

-

t á g i o k a s curvas d e n í v e l d a função de c u s t o f u t u r o i n c r e - mental s ã o i d ê n t i c a s a s da função de c u s t o f u t u r o t o t a l : _{r e}

_-

t a s de c o e f i c i e n t e a n g u l a r

6

onde .

Bk

é dado p e l a equação k

1 1 1 . 2 2 ) .

Cabe v e r i f i c a r a adequação da h i p ó t e s e p a r a o caso b r a s i l e i r o . A r e l a ç ã o l i n e a r e n t r e a e n e r g i a armazenada e a e n e r g i a a f l u e n t e j á f o i d e r i v a d a a n t e r i o r m e n t e por Pronovost

1 2 1

p a r a o s i s t e m a canadense considerando o r e s e r v a t ó r i o i n f i n i t o . E n t r e t a n t o , n e s t e p a í s a h i p ó t e s e pode t e r v a l i d a d e j á que h á importação e exportação d e e n e r g i a e p o r t a n t o a t e n d ê n c i a e não a t i n g i r o s l i m i t e s s u p e r i o r e i n f e r i o r do r e s e r v a t ó r i o . Por exemplo, em s i t u a ç õ e s de armazenamento elevado com pecs- p e c t i v a de a l t a s a f l u ê n c i a s , é r a z o á v e l que s e i n i c i e a expor -

t a ç ã o a fim de p r e v e n i r um e v e n t u a l v e r t i m e n t o . Analogamente, em s i t u a ç õ e s d e s f a v o r á v e i s , a importação pode e n t r a r em v i g o r p a r a e v i t a r d e f i c i t s de e n e r g i a , extremamente onerosos.

P a r a o s i s t e m a b r a s i l e i r o , a p a r t i r do p l a n o 81-90 da r e g i ã o S u d e s t e o b t i d o p e l o MSE Capgndice

r)-,

foram p l o t a -

das c u r v a s d e nEvei da função d e c u s t o f u t u r o i n c r e m e n t a l p a r a d i v e r s o s meses do p e r í o d o de planejamento.

Em g e r a l o a s p e c t o d a s curvas o b t i d a s f o i o s e g u i n -

t e :

(Mw médio)

F i g u r a 111.3- Curvas de ~ í v e l da

unção

d e Custo F u t u r o I n c r e m e n t a l

-

M ~ S 1

Obs.: Foram u t i l i z a d a s d i f e r e n t e s e s c a l a s p a r a o s e i x o s do g r á f i c o .

F i g u r a 1 1 1 . 4 - Curvas de ~ í v e l da ~ u n p ã o de Custo

Futuro Incremental

-

Mes 7

Pode-se p e r c e b e r que a s l i n h a s s ã o r e t a s aproximadamen

-

t e p a r a l e l a s na r e g i ã o c e n t r a l da f i g u r a " e n t o r t a n d o " a medida que s e aproximam a s r e g i õ e s s u p e r i o r ( r e s e r v a t ó r i o c h e i o com pos

-

s i b i l i d a d e de y e r t i m e n t o ) e i n f e r i o r ( r e s e r v a t Ó r i 0 vazio,com r i s -

co de d e f i c i t .

P a r a v e r i f i c a ç ã o da h i p ó t e s e d e r e s e r v a t ó r i o i n f i n i t o , u t i l i z o u - s e a equação 1 1 1 . 2 2 no c á l c u l o r e c u r s i v o de c o e f i c i e n - t e s a n g u l a r e s p a r a o s 1 2 0 meses do plano de operação 81-90 da r e g i ã o Sudeste.

A s f i g u r a s a s e g u i r comparam a s curvas de e q u i c u s t o ob

-

t i d a s a n t e r i o r m e n t e ( a p a r t i r das t a b e l a s de c u s t o f u t u r o ) com a s r e t a s o b t i d a s sob a h i p ó t e s e de r e s e r v a t ó r i o i n f i n i t o . A com

-

paração i n d i c a que, devido aos l i m i t e s f í s i c o s e x i s t e n t e s , ~ que s e pode e s p e r a r é que o s e r r o s d e c o r r e n t e s da u t i l i z a ç ã o dos c o e f i c i e n t e s " t e ó r i c o s " acumulados ao longo da r e c u r s ã o da PDE tornem o s r e s u l t a d o s não c o n f i á v e i s . Em o u t r a s p a l a v r a s : a h i

-

p ó t e s e d e r e s e r v a t ó r i o i n i f i n i t o não é v á l i d a p a r a o caso b r a s i -

" r e a l "

(Mw med)

(Mw' med)

A c u r v a s u p e r i o r da f i g u r a 111.7 a s e g u i r m o s t r a o -1 comportamento do a n g u l o 8 " t e f r r i c o " ( t a n

(6

" t e ó r i c o " ) ) a o l o n g o d e 2 4 meses d o p l a n o d e o p e r a ç ã o 81-90 p a r a a r e g i ã o S u d e s t e ( j a n e i r o 81

-

dezembro 8 2 ) . O f o r m a t o d a c u r v a é con - s e q u ê n c i a d a s d i f e r e n t e s s a z o n a l i d a d e s d e pk e o k , o q u e p r o

-

duz c i c l o s não s u a v e s , conforme m o s t r a d o n a s f i g u r a s 1 1 1 . 8 , 111.9 e 1 1 1 . 1 0 . A c u r v a i n f e r i o r d a f i g u r a a p r e s e n t a o com- p o r t a m e n t o d o c o e f i c i e n t e a n g u l a r médio " r e a l " , e s t i m a d o a d i

-

r e t a m e n t e d a s t a b e l a s da PDE.

Figura 111.8

-

Comportamento de p k durante 24 Meses

MES ( k )

Figura 111.9

-

Comportamento de ak durante

u k d u r a n t e

Figura 1 1 1 . 1 0 - Comportamento de p

-

2 4 Meses Ok-1

Pode-se observar que o angulo médio es-

timado é sempre i n f e r i o r ao angulo " t e ó r i c o " . I s t o tem e x p l i c a ç ã o no f a t o de que na operação " r e a l " (considerando os l i m i t e s f í s i c o s do r e s e r v a t ó r i o ) o cuidado é maior ao t r o c a r

-

- s e e n e r g i a armazenada d i s p o n í v e l h o j e por uma esperança de a f l u ê n c i a s no f u t u r o devido à p o s s i b i l i d a d e da o c o r r ê n c i a de d e f i c i t s . E s t a o c o r r ê n c i a é extremamente penalizada a t r a v é s da a t r i b u i ç ã o de um a l t í s s i m o c u s t o a cada unidade de e n e r g i a não f o r n e c i d a ao mercado consumidor.

No caso de r e s e r v a t ó r i o i n f i n i t o não e x i s t e a p o s s i - b i l i d a d e de o c o r r ê n c i a de d e f i c i t s .

Uma observação i n t e r e s s a n t e s e r e f e r e aos v a l o r e s ob

-

t i d o s p a r a o s c o e f i c i e n t e s angulares ( " t e ó r i c o s " e estimados).

Suponha um s i s t e m a e s t a c i o n á r i o :

Neste c a s o , a equação ( 1 1 1 . 2 2 ) pode s e r s i m p l i f i c a d a :

2 N-k+l

= p

+

p

+

p 3

+

...+

p N-k+l-

-

p-p (-111.28)

1- P Para N + 1 > > k ,

€Ik (Graus)

Tabela 111.1- Comportamento de B e B k com p

k

A t a b e l a 111.1 i l u s t r a a importância de s e c o n s i d e r a r a c o r r e l a ç ã o e n t r e a l f u ê n c i a s no c á l c u l o da p o l í t i c a Ótima de operação de um Sistema ~ i d r o t é r m i c o . Pode-se o b s e r v a r , p o r exem

-

p l o , q u e a p a r t i r de p=.5 o ângulo B k 6 maior que 45O indicando que um acréscimo de uma unidade na e n e r g i a a f l u e n t e do mês an- t e r i o r tem o mesmo v a l o r em termos de v a l o r esperado de c u s t o f u t u r o que um ganho de mais de uma unidade d e e n e r g i a armazena

-

da no p r e s e n t e m ê s .

CALCULO

DA P O L ~ T I C A

TIM MA

DE OPERAÇÃO PELO AJUSTE DE FUNÇÕES ANAL~TICAS A S TABELAS DE CUSTO FUTURO

Uma aproximação p a r a o c ã l c u l o d a p o l z t i c a Ótima d e o p e r a ç ã o d e um s i s t e m a com v - v a r i á v e i s d e e s t a d o f o i i n i c i a l - mente s u g e r i d a p o r ~ a l l 1 3 1 . _{Sendo z o v e t o r d e estado ( a t é agg}

?.. r a , z = ( x k , a k - l ) ) , suponha q u e a f u n ç ã o d e c u s t o s f u t u r o s -k i n c r e m e n t a i s f

'

( z )

-

,

r e p r e s e n t a d a a t é e n t ã o p o r uma t a b e l a d e c u s t o s f u t u r o s q u e f o r n e c e p a r a c a d a v e t o r d e e s t a d o - d e t e r m i - nado p e l a d i s c r e t i z a ç ã o d e s e u s componentes - o c ~ s t o f u t u r o d e o p e r a ç ã o , p o s s a ser r e p r e s e n t a d a p o r d e t e r m i n a d a f u n ç ã o ou f a m í l i a d e f u n ç õ e s . Em o u t r a s p a l a v r a s , suponha q u e p a r a c a - d a mês k do h o r i z o n t e d e p l a n e j a m e n t o , k = 1, 2 ,

...,

N , e x i s - t a um c o n j u n t o d e p a r â m e t r o s pk t a i s q u e P a r a o c a s o já d e s c r i t o , Uma v e z d e t e r m i n a d o s e s t e s p a r â m e t r o s , a r e c u r s ã o d a ~ r o g r a m a ç ã o ~ i n â m i c a ~ s t o c á s t i c a p o d e r i a f a c i l m e n t e s e r a p l i - c a d a s i m p l e s m e n t e p e l a s u b s t i t u i ç ã o d a s t a b e l a s d e c u s t o f u t u - r o p e l a s f u n ç õ e s d e c u s t o f u t u r o . P o r exemplo, no c á l c u l o d e ( z ) d e a c o r d o com a equação ( 1 1 . 1 2 ) , o s v a l o r e s d e f k ( z ) , f k - l

-

-

a o i n v é s d e serem l i d o s ou i n t e r p o l a d o s da t a b e l a , s e r i a m c a l - c u l a d o s d i r e t a m e n t e a t r a v é s d a f u n ç ã o ,

Como vantagens d e s t a r e p r e s e n t a ç ã o , podem s e r c i t a _- das :

A t a b e l a d e c u s t o s f u t u r o s deve a b r a n g e r , para cada mês, t o d a s a s p o s s í v e i s combinações das v a r i á v e i s e s c o l h i d a s p a r a compor o v e t o r de e s t a d o . Por i s s o , o número d e pontos n e c e s s á r i o s p a r a sua composição [ou s e j a , o número d e e s t a _- dos considerados) é extremamente elevado. No caso de a j u s t e de f u n ç õ e s , e s t a abrangência não é n e c e s s á r i a j á que uma vez determinada sua forma a n a l í t i c a , e l a pode s e r c a l c u l a d a q u a i s quer que sejam o s v a l o r e s das v a r i á v e i s de e s t a d o .

A cada mês k , o número de e s t a d o s considerados deve s e r t a l que permita a determinação de sua forma a n a l í t i c a , o u s e j a , a estimação d e seus parâmetros. Aplica-se a equação 1 1 . 1 2 m vezes, obtendo-se os v a l o r e s de f V k ( z ) . Por algum

C<

método de estimação e uma vez a r b i t r a d a a forma da função, c a l c u l a - s e o s p a r h e t r o s a p a r t i r dos m p a r e s (.z, f k ( z ) ) .

F ,-

r a z o á v e l e s p e r a r que o numero m de estados neces

_-

s á r i o s p a r a a estimação dos parâmetros s e j a menor do que o número d e e s t a d o s n e c e s s á r i o s p a r a r e p r e s e n t a r o u n i v e r s o de p o s s i b i l i d a d e s das v a r i á v e i s a cada mês k , ou s e j a , e s p e r a - s e que o número de balanços e f e t u a d o s a cada

m ê s

diminua s e n s i - velmente.

Por tudo i s t o , o v e t o r de e s t a d o s poderá t e r dimen

_-

s ã o maior que 2 sem um aumento excepcional do e s f o r ç o compu

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t a c i o n a l . O número de e s t a d o s p e r c o r r i d o s s e r á sempre ape- nas o n e c e s s ã r i o p a r a e s t i m a r o s parâmetros. Com o aumento da dimensão do espaço d e e s t a d o s , o nümero de parâmetros _au

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menta mas o número de pontos p a r a a sua estimação não deve

aumentar exponencialmente, como acontece no enfoque t r a d i c i o

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n a l .

Uma vantagem a d i c i o n a l é que a s v a r i á v e i s de e s t a d o poderão s e r consideradas c o n t i n u a s nos c á l c u l o s do c u s t o f u -

t u r o d e operação, não sendo p o r t a n t o n e c e s s á r i o o uso d e i n

_-

t e r p o l a ç õ e s . ~ t a g o r a , a d i s c r e t i z a ç ã o d a s v a r i á v e i s d e e s é

-

tado acarretava problemas pois o estado final de cada balan- a ) não precisava ser necessariamente Gol (xk+l ( ~ ak ~1 1uk) 1 k

um dos pontos da grelha dos estados do próximo mês para os quais se possuia os custos f calculados no passo ante-

k+l

rior da recursão. Realizava-se então uma

interpelação

linear entre os quatro pontos da grelha circunvizinhas ao estado fi na1 obtido. Para o novo enfoque sugerido, o prodi~ento nao

é mais necessário.

Por esses motivos, resolveu-se aplicar este esquema de ajuste de funções inicialmente -ao sistema MSE conforme des

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crito anteriormente

-

apenas um reservatório equivalentee pro

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gramação dinâmica com duas variáveis de estado

-

e verificar seus efeitos. O problema consistia então em encontrar a fun

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ção ou família de funções que representasse convenientemente a superfície de custos futuros. As figuras IV.l e IV.2 a se- guir apresentam dois formatos típicos da superfície:

Figura IV.1- superfície de Custos Futuros Incrementais

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~ ê s com Baixa Probabilidade de Deficit- (mês 1

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janeiro 81)

F i g u r a IV.2- S u p e r f í c i e d e C u s t o s F u t u r o s I n c r e m e n t a i s

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~ ê s com A l t a P r o b a b i l i d a d e d e D e f i c i t

-

(mês 7

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j u l h o 81) Em s e u t r a b a l h o , ~ a l p ] recomenda a u t i l i z a ç ã o d e polinÔmios. E s t a recomendação b a s e i a - s e no f a t o d e a j u s t e s p o l i n o m i a i s envolverem a r e s o l u ç ã o d e s i s t e m a s d e equações li

-

n e a r e s , e m g e r a l m u i t o mais s i m p l e s e r á p i d o s d e serem r e s o l - v i d o s do q u e s i s t e m a s não l i n e a r e s . Como um d o s o b j e t i v o s d o a j u s t e d e f u n ç õ e s às t a b e l a s d e c u s t o f u t u r o é a a g i l i z a ç ã o d o a l g o r i t m o r e c u r s i v o d a PDE no s e n t i d o d e a b r i r p o s s i b i l i d a -

d e s p a r a s u a a p l i c a ç ã o e m s i s t e m a s mais complexos (mais d e d u a s v a r i á v e i s d e e s t a d o ) , n ã o f a z s e n t i d o a r e s o l u ç ã o , a c a d a m ê s do h o r i z o n t e d e p l a n e j a m e n t o , d e s i s t e m a s d e equações ex - tremamente complexos. ai a p r e f e r ê n c i a p o r a j u s t e s l i n e a r e s Devido a o conhecimento do a s p e c t o d a s c u r v a s d e n í - v e l d a fungão d e c u s t o f u t u r o

-

r e t a s

-

o p t o u - s e p o r a j u s t e d e f u n ç õ e s ( p o l i n o m i o s ) que embutissem o c o n c e i t o d e r e l a ç ã o l i n e a r e n t r e as e n e r g i a s armazenada e a f l u e n t e , com a l i v r e

determinação do c o e f i c i e n t e angular p e l o mgtodo de estimação adotado. Em o u t r a s p a l a v r a s , optou-se p e l a u t i l i z a ç ã o de funções biunívocas com argumento (bkxk

+ Ckak-l

+

z k )

,

c u j a s curvas de n í v e l são r e t a s de c o e f i c i e n t e angular -ck/bk:

O procedimento e s t a b e l e c i d o p a r a v e r i f i c a ç ã o da ade

-

quação do a j u s t e ( p o l i n o m i a l ou qualquer o u t r o que s e j u l g a s

_-

s e conveniente) f o i o s e g u i n t e : p a r a cada mês k , k=1,2,

...

N,

e s t i m a r os parãmetros da função p r o p o s t a d i r e t a m e n t e das t a _- b e l a s de c u s t o s f u t u r o s i n c r e m e n t a i s o b t i d a s p e l a ~ r o g r a m a ç ã o ~ i n â m i c a ~ s t o c â s t i c a " u s u a l " ( P D E ) . A s e g u i r , simular o de

_-

sempenho do s i s t e m a ao longo'do h o r i z o n t e de planejamento

(Programa de simulação do Balanço ~ n e r g é t i c o do Sistema MSE) u t i l i z a n d o a s funções r e s u l t a n t e s . Comparar os r e s u l t a d o s o b t i d o s com o s da simulação " u s u a l " , ou s e j a , a simulação a p a r t i r das t a b e l a s da P D E .

Naturalmente, e s t e s e r á o l i m i t e s u p e r i o r do desem- penho do método. Quando da a p l i c a ç ã o do algoritmo r e c u r s i v o , os parâmetros do m ê s k s e r ã o c a l c u l a d o s a p a r t i r da funçso determinada p a r a o mês k + l e a s imprecisões e x i s t e n t e s s e r ã o acumuladas podendo l e v a r a d i s t o r ç õ e s e r e s u l t a d o s não con

-

f i á v e i s . Logo, s e o desempenho da função não f o r considera

_-

do s a t i s f a t õ r i o n e s t e t e s t e i n i c i a l , i s t o s i g n i f i c a r á q u e e l a

No caso de bom desempenho,^ próximo passo s e r i a a i m

-

plementação do algoritmo r e c u r s i v o da programação ~ i n â m i c a E s -

t o c á s t i c a com a função p r o p o s t a e a comparação dos r e s u l t a d o s o b t i d o s com o s do método " u s u a l " a t r a v é s de simulação.

Seja:

A s curvas de n f v e l da função s ã o r e t a s de c o e f i c i e n

-

t e angular -ck/bk.

O método u t i l i z a d o p a r a a determinação dos parâme -

t r o s da r e g r e s s ã o f o i o 'Stepwise Regression Method', d e s c r i

-

t o em

1:

4

]

já que a r e g r e s s ã o é l i n e a r nos parâmetros.

O t e s t e i n i c i a l de adequação d e s c r i t o em I V . l obteve r e s u l t a d o s s a t i s f a t ó r i o s . A f i g u r a I V . 3 exemplifica o f a t o mostrando um ' c o r t e ' da s u p e r f í c i e de c u s t o s f u t u r o s i n c r e

-

mentais

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p a r a um v a l o r de a k- 1 f i x a d o , p e r c o r r e - s e os d i - v e r s o s n í v e i s de armazenamento: