Modelos cosmológicos de energia escura: aspectos teóricos e vínculos observacionais.

(1)

Universidade Federal de Itajub´

a

Programa de Pós–Graduação em F´ısica

Modelos cosmol´

ogicos de energia escura: aspectos

te´

oricos e v´ınculos observacionais

Altimare Ma´ıres Ribeiro

(2)

Universidade Federal de Itajub´

a

Altimare Ma´ıres Ribeiro

Modelos cosmol´

ogicos de energia escura: aspectos

te´

oricos e v´ınculos observacionais

Disserta¸cão submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica como parte dos requisitos para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em F´ısica

´

Area de Concentra¸c˜ao: Astrof´ısica

Orientador: Prof. Dr. Armando Bartolome Bernui Leo

Julho de 2013 Itajub´a

(3)

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mauá

Bibliotecária Jacqueline Rodrigues de Oliveira Balducci- CRB_6/1698

R484

Ribeiro, Altimare Maíres

Modelos Cosmológicos de energia escura: aspectos teóricos e vínculos observacionais / Altimare Maíres Ribeiro. – Itajubá, (MG) : [s.n.], 2013.

86 p. : il.

Orientador: Prof. Dr. Armando Bartolome Bernui Leo. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Itajubá.

1. Parâmetros cosmológicos. 2. Energia escura. 3. Modelos cosmológicos. 4. Aceleração cósmica. I. Bernui Leo, Armando Bartolome, orient. II. Universidade Federal de Itajubá. III. Título.

(4)

Universidade Federal de Itajub´

a

Altimare Ma´ıres Ribeiro

Modelos cosmol´

ogicos de energia escura: aspectos

te´

oricos e v´ınculos observacionais

Disserta¸c˜ao aprovada por banca examinadora em 01 de julho de 2013, conferindo ao autor o t´ıtulo de Mestre em F´ısica

Banca Examinadora: Prof. Dr. Armando Bartolome Bernui Leo (orientador) Prof. Dr. Ribamar Rondon de Rezende dos Reis Prof. Dr. Agenor Pina da Silva Prof. Dr. Vit´orio Alberto De Lorenci

Itajub´a 2013

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Ao meu namorado Willian Pereira Nunes `

(6)

Agradecimentos

Ao professor Armando Bernui pela paciˆencia e por todo apoio no desenvolvimento desta disserta¸c˜ao.

`

A minha fam´ılia, em particular aos meus pais pelo apoio e dedica¸c˜ao.

Ao meu namorado Willian Pereira Nunes por todo amor, carinho, paciência e pelas importantes contribui¸cões para o desenvolvimento desta disserta¸cão.

A todos meus inestimáveis amigos do Laboratório de Microondas (UNIFEI), em espe-cial: Adhimar de Oliveira, Ana Lúcia, Caroline Felix, João Ider, Kallem Cristine, Marcos Amarante, Marcos Faria e Patr´ıcia Santos que comigo dividiram todos os momentos desta disserta¸cão.

`

A minha colega de mestrado e grande amiga Nath´alia Aparecida Lopes, exemplo de supera¸c˜ao.

Aos professores do Instituto de Ciˆencias Exatas (ICE) pelas disciplinas ministradas e pela aten¸c˜ao.

`

(7)

“A mente que se abre a uma nova ideia, jamais voltar´a ao tamanho original.” — Albert Einstein

(8)

Resumo

Desde a década de 1990 é bem conhecido que o universo entrou em uma recente fase de expansão acelerada. Para explicar a acelera¸cão cósmica, as duas maiores linhas atuais de pesquisa sugerem a presen¸ca de uma componente dominante no universo com propriedades exóticas como pressão negativa ou a Teoria da Relatividade Geral não se aplica à escalas cosmológicas.

Nesta disserta¸cão analisamos alguns modelos cosmológicos baseados na energia escura, entre eles, o modelo Cosmológico Padrão Lambda Cold Dark Matter (ΛCDM) e alguns concorrentes: XCDM e ωaCDM. Utilizamos amostras de supernovas tipo Ia (SNIa) compiladas pelo Supernovae Cosmology Project Union 2.1 e 19 estimativas observacio-nais do parâmetro de Hubble H(z) compiladas por [74]. Aplicamos o teste estat´ıstico de minimiza¸cão χ2 _{juntamente com a fun¸cão likelihood para vincularmos os parâmetros}

cos-mol´ogicos: Ωm, ΩΛ, Ωκ, ω0 e ωa. Nossos resultados mostram que o modelo ΛCDM fornece

um bom ajuste aos dados observacionais de SNIa e H(z). Dentro da região de confian¸ca de 68%, a análise combinada dos dados de supernovas com H(z) revelam que todos os modelos cosmológicos estudados se confundem com o modelo ΛCDM. Nesse sentido, os modelos cosmológicos que assumem a densidade de energia escura como fun¸cão do redshift no intervalo 0 < z < 2.0 não podem ser desconsiderados.

Em um segundo momento, investigamos a acelera¸cão cósmica utilizando a defini¸cão do parâmetro de desacelera¸cão q e o redshift de transi¸cão zt (desacelera¸cão - acelera¸cão).

Todos os modelos cosmol´ogicos analisados reproduzem bem a recente fase de expans˜ao acelerada do universo com q0 < 0 e zt≈ 0.65.

Palavras–chave: parâmetros cosmológicos, energia escura, modelos cosmológicos, acelera¸cão cósmica, cosmologia observacional

(9)

Abstract

Since the 1990 decade, it is well known that the universe came into a recent phase of accelerated expansion. In order to explain this behavior, the two main paths of research found in the literature suggest a new exotic component dominant in the universe with negative pressure or modifications applied to General Relativity Theory at cosmological scales.

We investigate some dark energy cosmological models among them, the standart Lambda Cold Dark Matter ΛCDM model, XCDM and ωaCDM models. We use The Supernovae Cosmology Project Union2.1 supernovae (SNIa) compilation and 19 observational Hubble parameter data compiled by [74]. We apply the minimizing a χ2 function and likelihood function to estimate the best fit of cosmological parameters: Ωm, ΩΛ, Ωκ, ω0 and ωa. Our

results show that the ΛCDM model provides a good fit to the observational data. At 68% confidence level, the combined analysis of supernovae data with H(z) data shows that all cosmological models reduce themselves to the ΛCDM model. Thus, the cosmological mo-dels with dark energy density as a function of redshift for 0 < z < 2.0 are not disfavored for current observational data.

At the end, we investigate the cosmic acceleration by setting the definition of the decceleration parameter q and transition redshift zt (decceleration - acceleration). All

cosmological models reproduces the cosmic acceleration with q0 < 0 and zt≈ 0.65.

Key–words: cosmological parameters, dark energy, cosmological models, cos-mic acceleration, observational cosmology

(10)

Conte´

udo

Resumo 4 Abstract 5 ´Indice 6 Lista de Figuras 8 Lista de Tabelas 12

Lista de Abrevia¸c˜oes 14

1 Os fundamentos da Cosmologia Moderna 15

1.1 O Princ´ıpio Cosmol´ogico . . . 15

1.2 As equa¸c˜oes de campo da Relatividade Geral e a m´etrica de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker . . . 16

1.3 Parˆametros Cosmol´ogicos . . . 20

1.3.1 Parˆametro de densidade cr´ıtica . . . 20

1.3.2 Parˆametro de densidade . . . 21

1.3.3 Parˆametro de desacelera¸c˜ao . . . 21

1.3.4 Parˆametro da equa¸c˜ao de estado . . . 23

2 A expans˜ao acelerada do universo 25 2.1 Hubble e a expans˜ao do universo . . . 25

2.2 O Modelo Cosmol´ogico Padr˜ao (MCP) . . . 26

2.2.1 A Nucleoss´ıntese Primordial . . . 27

2.2.2 A Radia¸c˜ao C´osmica de Fundo . . . 28

(11)

2.3.1 Supernovas . . . 31

2.3.2 Supernovas tipo Ia e suas implica¸c˜oes cosmol´ogicas . . . 33

3 Os Modelos Cosmol´ogicos de energia escura 39 3.1 As componentes do universo . . . 39

3.1.1 A mat´eria escura . . . 40

3.1.2 A energia escura . . . 42

3.2 O Modelo de Concordˆancia C´osmica ΛCDM . . . 43

3.3 O Modelo com ω constante XCDM . . . 44

3.4 A parametriza¸c˜ao Chevallier-Polarski-Linder ωaCDM . . . 45

4 Análise estat´ıstica dos modelos cosmológicos 46 4.1 Parâmetros Cosmológicos . . . 46

4.1.1 Parˆametro de Hubble . . . 46

4.1.2 As supernovas tipo Ia . . . 48

4.2 Descri¸c˜ao dos testes estat´ısticos . . . 49

4.2.1 Minimiza¸c˜ao χ2 _{e melhor ajuste . . . .} ₄₉

4.2.2 A fun¸c˜ao likelihood . . . 51

4.2.3 As regi˜oes de confian¸ca . . . 51

5 Resultados e Discussões 53 5.1 Análise comparativa dos modelos cosmológicos . . . 53

5.2 Regi˜oes de confian¸ca . . . 57

5.2.1 Parˆametros Ωm e ΩΛ . . . 58

5.2.2 Parˆametros ω e ωa . . . 58

5.2.3 Parˆametro Ωκ . . . 59

5.3 Consequências cosmológicas: parâmetro de desacelera¸cão e redshift de transi¸cão 69

6 Conclus˜oes 71

A Rotina completa 74

(12)

Lista de Figuras

2.1 Diagrama apresentado por Hubble (1929). Na escala, o eixo horizontal indica a distância das galáxias e o eixo vertical, a velocidade [9]. Observa-se o erro acidental cometido por Hubble: na figura aparece Km, Observa-sendo que o correto é Km/s para a unidade de velocidade. . . 27 2.2 Espectro da RCF obtido pelo FIRAS [21] . . . 29 2.3 Esquema de classifica¸cão das supernovas [30]. As duas principais classes de

supernovas são caracterizadas com base na ausência (Supernovas tipo I) ou presen¸ca (Supernovas tipo II) de linhas de hidrogênio no seu espectro. Em seguida, as supernovas de uma mesma classe são subdivididas com base na presen¸ca ou ausência de outros elementos no seu espectro. . . 32 2.4 Rela¸cão entre o pico de emissão de luminosidade com o decaimento da curva

de luz para supernovas próximas. O painel superior apresenta a curva de luz aproximadamente 50 dias após o pico de emissão das supernovas. O painel inferior apresenta a curva de luz do mesmo conjunto de supernovas depois do ajuste [33]. . . 34 2.5 Diagrama de Hubble com dados de SNIa do grupo SCP. Assumindo Ωκ = 0,

as quatro curvas tracejadas representam ajustes para diferentes valores de Ωm (listados a direita). As trˆes curvas s´olidas representam modelos com

Λ = 0 e diferentes valores para Ωm listados `a direita. Fonte:

http://www-supernova.lbl.gov. . . 35 2.6 No painel superior `a esquerda ´e apresentado o diagrama de Hubble com

supernovas em alto e baixo redshifts medidas através do método MLCS obtido pelo grupo HZT. No painel inferior é apresentado a diferen¸ca entre os dados e o modelo com Ωm = 0.20 e ΩΛ = 0. A direita estão representadas

(13)

3.1 Curva de rota¸cão da galáxia NGC3198 [48]. Os pontos representam as medidas da velocidade orbital em fun¸cão do raio galáctico. As curvas re-presentam as contribui¸cões da velocidade devido ao disco e ao halo. O comportamento não kleperiano para médios e grandes raios é explicado pela hipótese da existência do halo escuro. . . 42

4.1 Estimativas de H(z) compiladas por [74]. A linha s´olida representa o melhor ajuste para o modelo ΛCDM com Ωm = 0.27 e Ωκ = 0. . . 47

4.2 Módulo de distância (µ) em fun¸cão do resdhift (z) para as 580 SNIa do catálogo Union 2.1. A linha sólida representa o melhor ajuste para o modelo ΛCDM com ΩΛ = 0.729 ± 0.014 com 68% de confian¸ca [40]. . . 49

5.1 Evolu¸cão do universo H(z) em fun¸cão do redshift. O painel a esquerda repre-senta o ajuste dos modelos cosmológicos aos 19 dados de H(z) dispon´ıveis na Tabela 4.6. No painel a direita foi dado um zoom na figura para melhor visualiza¸cão do ajuste das curvas teóricas. As cores azul, verde, laranja, roxo e vermelha, representam os modelos ΛCDM, XCDM, ωaCDM, OΛCDM e OXCDM, respectivamente. . . 57 5.2 Módulo de distância (µ) em fun¸cão do redshift (z) ajustados aos dados de

SNIa dispon´ıveis no catálogo Union 2.1 [40]. A curva azul representa o modelo ΛCDM considerando as melhores estimativas para os parâmetros cosmológicos dispon´ıveis na Tabela 5.1. Os demais modelos aparecem so-brepostos ao modelo ΛCDM e por isso não são visualizados. . . 58 5.3 Regiões de 68.3% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de

con-fian¸ca dos parˆametros Ωm vs. ΩΛ (painel inferior a esquerda) do modelo

ΛCDM utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apre-sentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para Ωm (painel superior)

e ΩΛ (painel inferior a direita). As linhas tracejada e s´olida representam a

distribui¸c˜ao de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectiva-mente. . . 60

(14)

5.4 Regi˜oes de 68.3% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de con-fian¸ca dos parˆametros Ωm vs. ω (painel inferior a esquerda) do modelo

XCDM utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apresentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para Ωm (painel

su-perior) e ω (painel inferior a direita). As linhas tracejada e sólida repre-sentam a distribui¸cão de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectivamente. . . 61 5.5 Regiões de 68.3% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de

con-fian¸ca dos parˆametros Ωm vs. ω0 (painel inferior a esquerda) do modelo

ωaCDM utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apresentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para Ωm (painel

su-perior) e ω0 (painel inferior a direita). As linhas tracejada e s´olida

repre-sentam a distribui¸c˜ao de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectivamente. . . 62 5.6 Regi˜oes de 68% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de confian¸ca

dos parˆametros ωa vs. ω0 (painel inferior a esquerda) do modelo ωaCDM

utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apresentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para ωa (painel superior) e ω0

(painel inferior a direita). As linhas tracejada e sólida representam a distri-bui¸cão de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectivamente. 63 5.7 Evolu¸cão do parâmetro da equa¸cão de estado ω em fun¸cão do redshift para o

modelo ωaCDM. As curvas tracejada e sólida foram geradas considerando os melhores parâmetros cosmológicos do modelo (Tabela 5.3) a partir dos dados de H(z) e SNIa, respectivamente. . . 64 5.8 Regiões de 68.3% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de

con-fian¸ca dos parˆametros Ωm vs. Ωκ (painel inferior a esquerda) do modelo

OΛCDM utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apresentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para Ωm (painel

su-perior) e Ωκ (painel inferior a direita). As linhas tracejada e s´olida

repre-sentam a distribui¸c˜ao de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectivamente. . . 65

(15)

5.9 Regi˜oes de 68.3% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de con-fian¸ca dos parˆametros Ωm vs. ΩΛ (painel inferior a esquerda) do modelo

OΛCDM utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apresentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para Ωm (painel

su-perior) e ΩΛ (painel inferior a direita). As linhas tracejada e s´olida

repre-sentam a distribui¸c˜ao de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectivamente. . . 66 5.10 Regi˜oes de 68.3% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de

con-fian¸ca dos parˆametros Ωm vs. Ωκ (painel inferior a esquerda) do modelo

OXCDM utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apresentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para Ωm (painel

su-perior) e Ωκ (painel inferior a direita). As linhas tracejada e s´olida

repre-sentam a distribui¸c˜ao de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectivamente. . . 67 5.11 Regi˜oes de 68.3% (contorno interno) e 95.4% (contorno externo) de

con-fian¸ca dos parˆametros Ωm vs. ω (painel inferior a esquerda) do modelo

OXCDM utilizando dados de H(z) (lilás) e SNIa (verde). Também está apresentada a distribui¸cão de probabilidade (L/Lmáx) para Ωm (painel

su-perior) e ω (painel inferior a direita). As linhas tracejada e sólida repre-sentam a distribui¸cão de probabilidade usando os dados de H(z) e SNIa, respectivamente. . . 68 5.12 Evolu¸cão do parâmetro de desacelera¸cão q(z) em fun¸cão do redshift. As

curvas do painel à esquerda foram tra¸cadas considerando as melhores esti-mativas para parâmetros cosmológicos de cada modelo dispon´ıveis nas Ta-belas 5.1 a 5.5. No painel a direita foi dado um zoom na figura da esquerda para melhor visualiza¸cão do redshift de transi¸cão (zt) referente a cada

mo-delo. As cores azul, verde, laranja, roxo e vermelha, representam os modelos ΛCDM, XCDM, ωaCDM, OΛCDM e OXCDM, respectivamente. . . . 70

(16)

Lista de Tabelas

3.1 Melhores estimativas para os parˆametros cosmol´ogicos do modelo ΛCDM utilizando os resultados dispon´ıveis pelo WMAP 9 anos [17] e Planck [23]. 40

4.1 Estimativas de H(z) (em unidades de Kms−1_Mpc−1_{) e suas respectivas}

incertezas. . . 48 4.2 Resumo dos parâmetros livres estudados nos modelos cosmológicos. . . 50 4.3 ∆χ2 _{em fun¸cão dos n´ıveis de confian¸ca em fun¸cão do n´}_{umero de parâmetros}

livres (p). . . 52

5.1 Melhores parâmetros cosmológicos para o modelo ΛCDM com dados de H(z) e SNIa. . . 54 5.2 Melhores parâmetros cosmológicos para o modelo XCDM com dados de

H(z) e SNIa. . . 54 5.3 Melhores parˆametros cosmol´ogicos para o modelo ωaCDM com dados de

H(z) e SNIa. . . 55 5.4 Melhores parˆametros cosmol´ogicos para o modelo OΛCDM com dados de

H(z) e SNIa. . . 55 5.5 Melhores parˆametros cosmol´ogicos para o modelo OXCDM com dados de

H(z) e SNIa. . . 56 5.6 Melhores estimativas para os parˆametros cosmol´ogicos dos modelos ΛCDM,

XCDM e ωaCDM encontradas pelas referências [66, 67]. . . 56 5.7 Estimativas de q0 e zt calculadas através dos melhores parâmetros

cos-mol´ogicos dispon´ıveis nas Tabelas 5.1 a 5.5 para cada modelo. . . 69

6.1 Melhores estimativas para os parˆametros cosmol´ogicos de cada modelo con-siderando as estimativas observacionais de H(z). . . 72

(17)

6.2 Melhores estimativas para os parâmetros cosmológicos de cada modelo con-siderando as estimativas observacionais de SNIa. . . 72 6.3 Estimativas de q0 e zt calculadas através dos melhores parâmetros

(18)

Lista de Abrevia¸c˜

oes

RG = Relatividade Geral

FLRW = Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker RCF = Radia¸c˜ao C´osmica de Fundo

SNIa = Supernova tipo Ia

MCP = Modelo Cosmol´ogico Padr˜ao

WMAP = Wilkinson Microwave Anisotropy Probe ΛCDM = Lambda Cold Dark Matter

COBE = Cosmic Bakground Explorer

FIRAS = Far Infrared Absolute Spectrophotometer CAT = Cosmic Anisotropy Telescope

BOOMERanG = Ballon Observations of Millimetric Extragalactic Radiation and Ge-ophysics

LTB = Lemaitre-Tolman-Bondi SNII = Supernovas tipo II

SALT = Spectral Adaptive Lightcurve Template SCP = Supernovae Cosmology Project

HZT = High-z Supernovae Search Team MLSC = Multicolor Light Curve Shape BAO = Oscila¸cões Acústicas de Bárions CDM = Cold dark matter

HDM = Hot dark matter

(19)

Cap´ıtulo 1

Os fundamentos da Cosmologia

Moderna

Neste cap´ıtulo enfatizaremos os fundamentos da Cosmologia Moderna. O estudo da dinâmica do universo é embasado no Princ´ıpio Cosmológico e na Relatividade Geral (RG), que relaciona a matéria à geometria. Mostraremos como os resultados da RG aliados à métrica Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker (FLRW) conduzem às equa¸cões de Fried-mann que governam a expansão do universo. Finalmente, apresentaremos os parâmetros que podem ser determinados com os observáveis cosmológicos atuais.

1.1 O Princ´ıpio Cosmol´

ogico

O Princ´ıpio Cosmológico postula que em escalas suficientemente grandes o universo é homogêneo e isotrópico, ou seja, não existe nenhum referencial privilegiado no universo. A homogeneidade implica que o universo é o mesmo em todos os pontos. Já a isotropia indica que o universo é o mesmo em todas as dire¸cões. Obviamente, o Princ´ıpio Cosmológico não é exato. Em pequenas escalas, tais como galáxias e aglomerados, a matéria é distribu´ıda de forma altamente irregular. Entretanto, quando olhamos em escalas cada vez maiores, a distribui¸cão de matéria se torna mais uniforme. Os levantamentos de grande parte do céu revelam que pelo menos em escalas superiores a 100Mpc, o Princ´ıpio Cosmológico é válido [1]. A evidência mais contundente é o espectro da Radi¸cão Cósmica de Fundo (RCF) que apresenta flutua¸cões relativas de temperatura da ordem de ∆T /T ≈ 10−5 [2, 3].

(20)

1.2 As equa¸c˜

oes de campo da Relatividade Geral e a

m´

etrica de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker

As equa¸cões de campo de Einstein relacionam a distribui¸cão de matéria-energia do universo com a geometria do espa¸co-tempo 1_,

Gµν = 8πGTµν, (1.1)

onde o tensor Gµν se relacionam com a geometria do espa¸co-tempo, Tµν ´e o tensor

energia-momento e G a constante da gravita¸c˜ao universal. Assumiremos c = 1. No caso de um fluido perfeito,

Tµν = (p + ρ)uµuν − pgµν, (1.2)

sendo p é a pressão, ρ é a densidade, uµ é o quadri-vetor velocidade e gµν a métrica.

Para calcular as componentes do tensor de Einstein Gµν, precisamos inicialmente

de-terminar as componentes do tensor de Ricci, encontrar o valor para o escalar de curvatura e finalmente determinar as componentes do tensor energia-momento.

Tendo em vista o Princ´ıpio Cosmológico, consideraremos um espa¸co tridimensional homogêneo e isotrópico. Este espa¸co pode estar se expandindo ou se contraindo. A métrica mais geral que pode ser constru´ıda é a FLRW que tem a seguinte forma em coordenadas esféricas ds2 = dt2 _{− a(t)}2 dr2 1 − κr2 + r 2_(dθ2_{+ sin}2_θdϕ2₎ . (1.3)

Os parâmetros a(t) e κ da equa¸cão 1.3 representam, respectivamente, o fator de escala do universo e a constante de curvatura, que pode descrever três situa¸cões:

• κ = 0 para um espa¸co com geometria euclidiana;

• κ = 1 para um espa¸co com geometria esf´erica;

• κ = −1 para um espa¸co com geometria hiperb´olica.

Escrevendo

ds2 = gµνdxµdxν, (1.4)

onde gµν ´e o tensor m´etrico que descreve a geometria do espa¸co-tempo, µ e ν = 0, 1, 2, 3,

sendo: gµν = 0 ∀ µ 6= ν e gµν 6= 0 ∀ µ = ν. Comparando a equa¸c˜ao 1.3 com 1.4,

1

(21)

encontramos os coeficientes n˜ao nulos gµν

g00 = 1, g11 = −a 2

1 − κr2,

g22 = −a2r2, g33 = −a2r2sin2θ.

A trajetória das part´ıculas neste espa¸co tempo são denominadas geodésicas e descritas pela equa¸cão d2_xµ ds2 + Γ µ νλ dxν ds dxµ ds = 0. (1.5)

Os coeficientes de conexão Γµ_νλ são denominados s´ımbolos de Christoffel e s é um parâmetro afim ao longo das trajetórias. Para calcular estes s´ımbolos, consideraremos a Lagrangeana

L = 1 2gµνdx

µ_dxν_. _(1.6)

As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange para a Lagrangeana s˜ao d ds dL d ˙xµ − dL dxµ = 0, (1.7) com xµ

= {ct, r, θ, ϕ}. Substituindo a equa¸c˜ao 1.3 em 1.6 temos,

L = 1 2h ˙t

2

− a(t)2((1 − κr2)−1˙r2+ r2˙θ2+ r2sin2θd ˙ϕ2)i. (1.8)

O ponto na equa¸cão 1.8 denota a derivada com respeito ao parâmetro u. Considerando: x0 _{= ct, x}1 _{= r, x}2 _{= θ, x}3 _{= ϕ, podemos determinar as derivadas parciais da equa¸cão 1.8,}

dadas por: ∂L ∂ ˙x0 = ˙t, ∂L ∂ ˙x1 = −a2 (1 − κr2₎1˙r, ∂L ∂ ˙x2 = −a 2_r2_˙θ, ∂L ∂ ˙x3 = −a 2_r2_sin2_{θ ˙}_ϕ, ∂L ∂x0 = −a ˙a[(1 − κr 2₎−1_˙r2_{+ r}2_˙θ2_{+ r}2_sin2_{θ ˙}_ϕ2_], ∂L ∂x1 = −a 2 (1 − κr2)−2κr ˙r2_{− a}2r ˙θ2_{− a}2r sin2θ ˙ϕ2, ∂L ∂x2 = −a 2_r2_{sin θ cos θ ˙}_ϕ, ∂L ∂x3 = 0.

(22)

Susbtituindo as derivadas na equa¸c˜ao 1.7 obtemos ¨t+ a˙a[(1 − κr2₎−1_˙r2_{+ r}2_˙θ2_{+ r}2_sin2_{θ ˙}_ϕ2_{] = 0,} ¨ r + 2 ˙a a ˙t ˙r + κr(1 − κr 2₎−1_˙r2 − r(1 − κr2) ˙θ2_{− r(1 − κr}2) sin2θ ˙ϕ2 = 0, ¨

θ + 2a−1˙a ˙t ˙θ + 2r−1_{˙r ˙θ − sin θ cos θ ˙ϕ}2 = 0, ¨

ϕ + 2 ˙aa−1˙t ˙ϕ + 2r−1˙r ˙ϕ + 2cotgθ ˙θ ˙ϕ = 0.

Comparando os resultados acima com a equa¸c˜ao 1.5, determinanos os coeficientes n˜ao nulos Γµ_νλ

Γ0₁₁= a ˙a

(1 − κr2₎, Γ 0

22 = a ˙ar2, Γ033 = a ˙ar2sin2θ,

Γ1₀₁= ˙a a, Γ 1 11 = κr (1 − κr2₎, Γ 1 22= −r(1 − κr2), Γ133= −r(1 − κr2) sin2θ, Γ2₀₂ = ˙a a, Γ 2 12= 1 r, Γ 2 33 = − sin θ cos θ, Γ3₀₃ = ˙a a, Γ 3 13= 1 r, Γ 3 23 = cos θ sin θ.

Utilizando os s´ımbolos de Christoffel n˜ao nulos podemos calcular as componentes do tensor de Ricci, definido como

Rµν ≡ Γλµν,λ− Γλµλ,ν+ ΓλµνΓδλδ − ΓδµλΓλνλ. (1.9) Assim, encontramos R00 = − 3ä a , (1.10) R11= aä + 2 ˙a2_{+ 2κ} (1 − κr2₎ , (1.11) R22= r2(2 ˙a2+ aä + 2κ), (1.12)

R33 = r2sin2θ(2 ˙a2+ a¨a + 2κ), (1.13)

Rµν = 0, µ 6= ν. (1.14)

Uma vez determinadas as componentes do tensor de Ricci, obtemos o valor do escalar de curvatura R, dado por

R = gµνRµν, (1.15)

onde gµν _{corresponde `a matriz inversa de g}

µν. Assim,

(23)

R = −6 ¨a_a + ˙a 2 a2 + κ a2 . (1.16)

O tensor Gµν ´e definido como

Gµν ≡ Rµν−

1

2Rgµν. (1.17)

Utilizando os resultados obtidos, equa¸cões 1.10 a 1.16, é poss´ıvel calcular Gµν, equa¸cão

1.17, cujas componentes n˜ao nulas s˜ao

G00= 3 ˙a2 a2 + κ a2 , (1.18) G11 = − 1 1 − κr2 2¨a + ˙a2_{+ κ ,} _(1.19) G22= −r22¨aa + ˙a2+ κ , (1.20)

G33 = −r2sin2θ2¨aa + ¨a2 + κ . (1.21)

A equa¸c˜ao 1.2 define o tensor energia-momento para o fluido perfeito. No sistema de coordenadas com´oveis, uµ_{= δ}µ

0, e consequentemente,

uµ = gµνδν₀ = δ0µ. (1.22)

Lembrando que: δ0

µ = δ0ν = 1 se µ = ν = 0 e δµ0 = δν0 = 0 se µ = ν 6= 0. Assim, a equa¸c˜ao

1.2 pode ser reescrita como

Tµν = (ρ + p)δµ0δν0− pgµν. (1.23)

Utilizando os resultados de gµν, determinamos as componentes n˜ao nulas de Tµν

T00 = ρ, (1.24) T11= p a2 1 − κr , (1.25) T22 = pa2r2, (1.26) T33= pa2r2sin2θ. (1.27)

Substituindo os resultados encontrados, equa¸cões 1.18 a 1.21 e 1.24 a 1.27, na equa¸cão 1.1 determinamos as componentes não nulas apenas para µ = ν. Uma vez que as componentes T22 e T33 são idênticas à componente T11, temos

H2 _≡ ˙a 2 a2 = 8πGρ 3 − κ a2, (1.28) ¨ a a = −4πG 3 (ρ + 3p). (1.29)

(24)

Finalmente, as equa¸cões 1.28 e 1.29 são conhecidas como Equa¸cões de Friedmann.

Uma vez que o tensor energia-momento Tµν_{´e uma matriz diagonal, a inversa ´e a matriz}

Tµν. As equa¸cões de Einstein levam automaticamente às leis de conserva¸cão. Neste caso,

Tµν||µ = 0, (1.30)

onde o s´ımbolo || representa a derivada covariante. Em termos dos s´ımbolos de Christofell, temos Tµν |µ+ ΓµαµT αν _{+ Γ}ν αµT µα_{= 0,} _(1.31)

onde a nota¸cão | corresponde à derivada ordinária. Para a componente ν = 0 e utilizando os s´ımbolos de Christofell determinados acima, encontramos a equa¸cão de conserva¸cão do fluido

˙ρ + 3˙a

a(ρ + p) = 0. (1.32)

1.3 Parˆ

ametros Cosmol´

ogicos

Os modelos cosmológicos são bem representados em termos de seus parâmetros. Nas subse¸cões seguintes, abordaremos os parâmetros cosmológicos mais importantes para o nosso estudo 2_.

1.3.1 Parˆ

ametro de densidade cr´ıtica

Antes de definirmos densidade cr´ıtica, vamos reescrever a equa¸c˜ao 1.28 em termos da densidade de energia, ǫ(t).

H2 = 8πG 3 ǫ(t) −

κ

a2. (1.33)

Seja ǫc, a densidade cr´ıtica necess´aria para o universo assumir geometria euclidiana (κ = 0)

ǫc(t) ≡

3H(t)2

8πG . (1.34)

A equa¸cão 1.34 expressa o valor da densidade cr´ıtica para um dado valor de H(t). Se o valor de ǫ é maior que o expresso na equa¸cão 1.34, o universo é curvado positivamente, caso contrário, será curvado negativamente. Atualmente, o valor da densidade cr´ıtica é

ǫc,0(t) ≡

3H2 0

8πG. (1.35)

O sub-´ındice 0 se refere aàs atuais estimativas dos parâmetros cosmológicos.

2

(25)

1.3.2 Parˆ

ametro de densidade

A partir da densidade cr´ıtica, podemos determinar um parâmetro adimensional para cada componente do universo. O parâmetro de densidade para cada componente i é definido como

Ωi(t) ≡

ǫi(t)

ǫc(t)

. (1.36)

Em geral, Ωi é uma fun¸cão do tempo, desde que ǫi e ǫc sejam fun¸cões do tempo. O

atual valor para este parâmetro é denominado de Ω0. Nosso universo contém diferentes

componentes e esta nota¸cão pode ser usada para identificar cada uma delas. Assim, definimos os parâmetros: Ωm para matéria, Ωr para radia¸cão e ΩΛ para a energia escura.

O parâmetro de densidade total será definido pelo somatório

Ω(t) ≡XΩi. (1.37)

Com esta nota¸cão, podemos reescrever a equa¸cão de Friedmann. Lembrando que ρ(t) = ǫ(t) e substituindo o resultado encontrado em 1.36 na equa¸cão 1.33, temos

H2 = 8πG

3 ǫc(t)Ω(t) − κ

a2. (1.38)

Dividindo a equa¸c˜ao anterior por H(t)2_{, encontramos}

Ω(t) − 1 = _a2_H(t)κ 2. (1.39)

O caso em que Ω = 1 é especial, uma vez que nele, κ = 0 e desde que κ é uma constante em todo tempo, a equa¸cão anterior converte-se em Ω = 1 para todo tempo.

Em particular, definimos o parˆametro Ωκ relacionado com a curvatura

Ωκ ≡ −

κ

a2_H(t)2. (1.40)

Este parˆametro pode ser positivo ou negativo e usando a equa¸c˜ao 1.38 temos

Ω(t) + Ωκ = 1. (1.41)

1.3.3 Parˆ

ametro de desacelera¸c˜

ao

Até o final do século passado era conveniente assumir que o universo estava expandindo desaceleradamente, pois, era esperado que a atra¸cão gravitacional estivesse freando a ex-pansão. Neste sentido é necessário definir o parâmetro de desacelera¸cão com a finalidade de quantificar a taxa de expansão do universo.

(26)

Seja a expansão em série de Taylor de uma fun¸cão F (x) dada por F (x) = ∞ X n=0 fn_(a) n! (x − a) n , (1.42)

com n!, o fatorial de n e f (n) denota a n-ésima derivada de f em torno de a. Expandindo o fator de escala a(t), através da série de Taylor e mantendo os três primeiros termos, temos a(t) = a (0)_t 0(t − t0) 0! + a(1)_{(t − t} 0) 1! + a(2)_{(t − t} 0)2 2! . (1.43)

Dividindo a equa¸c˜ao 1.43 por a(t), a(t) a(t0) = 1˙a a + 1 2 ¨ a a(t − t0) 2_. _(1.44)

Usando a normaliza¸c˜ao a(t0) = 1, esta expans˜ao pode ser reescrita como

a(t) = 1 + H0(t − t0) −

1 2q0H

2

0(t − t0)2. (1.45)

O parâmetro q0 é denominado parâmetro de desacelera¸cão e é definido como

q0 ≡ − ¨aa

˙a2

t=t0

. (1.46)

O sinal negativo na defini¸c˜ao acima garantiria um valor positivo para q0 em um universo

com expans˜ao desacelerada. Em contrapartida, um valor negativo para q0sugere expans˜ao

acelerada.

O parâmetro de desacelera¸cão também pode ser expresso em termos do desvio espectral para o vermelho (redshift).

Antes de continuarmos, precisamos conceituar o redshift. Uma consequência do efeito Doppler aplicado às ondas eletromagnéticas é o redshift definido como

z ≡ λob_λ− λem

em

, (1.47)

sendo λob ´e o comprimento de onda da luz observada na Terra e λem o comprimento de

onda da luz emitida se o objeto estivesse em repouso. Se z > 0, esta quantidade é chamada de redshift, caso contrário, recebe o nome de blueshift. A maioria das galáxias possuem z > 0.

Seja H(t) = ˙a/a. Derivando, temos

˙

H = a¨a − ˙a

2

(27)

Sejam as quantidades a = 1 1 + z, (1.49) ˙ H = dH dt = dH dz dz dt, (1.50) ˙a = − 1 (1 + z)2 dz dt. (1.51)

Substituindo a equa¸c˜ao 1.51 em 1.50, temos ˙

H = ˙H(z)−˙a(1 + z)2_. _(1.52)

Igualando as equa¸c˜oes 1.55 e 1.48, encontramos

˙

H(z)−˙a(1 + z)2₌ a¨a − ˙a2

a2 . (1.53)

Resolvendo a equa¸c˜ao acima, resulta que (1 + z) ˙H(z)

H(z) − 1 = − a¨a

˙a2. (1.54)

Note que o lado direito da expressão 1.54 é equivalente à expressão 1.46. Finalmente, temos

q0 =

(1 + z) ˙H(z)

H(z) − 1, (1.55)

sendo H(z) denominado fun¸c˜ao de Hubble.

1.3.4 Parˆ

ametro da equa¸c˜

ao de estado

O parâmetro da equa¸cão de estado relaciona a pressão p com a densidade de energia ǫ de uma componente do universo

ωi =

p ǫi

. (1.56)

Podemos encontrar uma rela¸cão geral que relaciona o parâmetro da equa¸cão de estado, a densidade de energia e o fator de escala. Seja a equa¸cão 1.32 do fluido cósmico expressa em termos da densidade de energia

˙ ǫω+ 3

˙a

a(ǫω+ pω) = 0. (1.57)

Resolvendo esta equa¸c˜ao temos

˙ ǫω+ 3

˙a

(28)

A equa¸c˜ao 1.57 pode ser reescrita como dǫω dt 1 ǫω = −3(1 + ω) da dt 1 a. (1.59)

Integrando os dois lados da equa¸c˜ao 1.58 e supondo ω constante, temos Z _dǫ ω ǫω = −3(1 + ω) Z _da a , (1.60) ln ǫω = −3(1 + ω) ln a + ǫω,0, (1.61) ǫω = eln a −3(1+ω)+ǫω,0 , (1.62) ǫω = ǫω,0a−3(1+ω), (1.63)

sendo ǫω,0 uma constante.

Na Cosmologia baseada da RG, podemos destacar três cenários, que correspondem ao da radia¸cão, da matéria não-relativ´ıstica e da energia escura, abaixo detalhados:

• ωr = 1/3 para a radi¸c˜ao o que implica em ǫr = ǫm,0/a4;

• ωm = 0 para a mat´eria n˜ao-relativ´ıstica, o que implica em ǫm = ǫm,0/a3;

• ωΛ = −1 para a componente respons´avel pela expans˜ao acelerada do universo no

modelo ΛCDM 3_{, o que implica em ǫ}

Λ = ǫΛ,0.

3

(29)

Cap´ıtulo 2

A expans˜

ao acelerada do universo

Neste cap´ıtulo abordaremos inicialmente os estudos desenvolvidos por Hubble e a cons-tata¸cão de que o universo estava em expansão e consequentemente, o modelo cosmológico de Einstein foi substitu´ıdo. Em seguida, abordaremos os pilares do Modelo Cosmológico Padrão destacando seus êxitos e limita¸cões. Finalmente abordaremos as análises desenvol-vidas com as Supernovas tipo Ia (SNIa), na década de 1990, e suas implica¸cões no contexto da expansão acelerada do universo.

2.1 Hubble e a expans˜

ao do universo

Em 1917 Einstein propôs um modelo de universo com base na Teoria da Relatividade Geral (1915-1916) e no Princ´ıpio Cosmológico [8]. Este modelo era fundamentado na ideia, aceita na época, de que o universo era imutável. Contudo, os fundamentos da RG não permitiam tal solu¸cão, uma vez que toda matéria se atrai gravitacionalmente. Para conseguir um universo estático, Einstein inseriu uma constante corretiva em suas equa¸cões de campo para contrabalancear o efeito atrativo da gravita¸cão. Reescrevendo a equa¸cão 1.1 em termos desta constante, temos

Gµν − Λgµν = 8πGTµν, (2.1)

onde Λ ´e chamada de constante cosmol´ogica e tem unidade de [tempo]−2_{. Alguns autores}

incluem o termo c2 _{obtendo [comprimento]}−2_.

(30)

1.29, podem ser reescritas como H2 _≡ ˙a 2 a2 = 8Gπρ 3 − κ a2 + Λ 3, (2.2) ¨ a a = −4πG 3 (ρ + 3p) + Λ 3, (2.3)

Em 1929, Edwin Hubble (1889-1953) descobriu uma rela¸cão entre o redshift e a distância das galáxias até nós. Hubble estimou a distância de 20 galáxias. Seus resultados revela-ram uma rela¸cão linear entre o redshift z e a distância d, sendo que, quanto mais distantes estavam as galáxias mais veloz era o afastamento (Figura 2.1), conhecida hoje como lei de Hubble [9]

z = H0

c d, (2.4)

v´alida para z ≤ 1.0.

A descoberta de Hubble que as galáxias estavam se afastando da Via Láctea e, por consequência da homogeneidade do espa¸co, assumida no Princ´ıpio Cosmológico, elas se afastavam uma das outras, implicava que o universo estava em expansão. Tal constata¸cão fez Einstein abandonar sua constante cosmológica.

A primeira estimativa de H0 foi feita pelo Hubble que encontrou H0 = 500 Km/s

Mpc [9]. Desde ent˜ao, as medidas de H0 foram sensivelmente melhoradas. Os autores

da Ref. [10] determinaram h = 0.738 ± 0.024, já os autores da Ref. [11] encontraram h = 0.62 ± 0.013, onde h é uma parametriza¸cão da cosntante de Hubble e H0 = 100h

Km/s/Mpc. Ambos os autores utilizaram cefeidas e supernovas tipo Ia para estimar o valor de H0.

A constante de Hubble é um parâmetro importante para várias aplica¸cões em Cosmo-logia, tais como:

• calcular a idade do universo;

• determinar o tamanho do universo observ´avel; • estimar a densidade cr´ıtica do universo.

2.2 O Modelo Cosmol´

ogico Padr˜

ao (MCP)

O modelo que est´a na base do atual MCP foi proposto em meados de 1927, sendo finalmente aceito por volta de 1965. Segundo ele, o universo se originou de um estado de

(31)

Figura 2.1: Diagrama apresentado por Hubble (1929). Na escala, o eixo horizontal indica a distância das galáxias e o eixo vertical, a velocidade [9]. Observa-se o erro acidental cometido por Hubble: na figura aparece Km, sendo que o correto é Km/s para a unidade de velocidade.

densidade e temperaturas elevadas, T ≈ 1015_{K e ρ ≈ 10}25_g/cm3_{(Ver [12] e referˆencias nele}

contidas), em um volume relativamente pequeno. O modelo está assentado em três pilares: o Princ´ıpio Cosmológico (ver sessão 1.1), a Teoria da Relatividade Geral e a hipótese de que o conteúdo do universo pode ser bem descrito por um fluido perfeito. Atualmente, este modelo é bem corroborado por dados observacionais dos quais enfatizaremos nas subsessões seguintes: a Nucleoss´ıntese Primordial e a Radia¸cão Cósmica de Fundo.

2.2.1 A Nucleoss´ıntese Primordial

O conjunto de rea¸cões termonucleares que ocorreram no universo primordial e que foram responsáveis pela forma¸cão dos elementos leves é denominado de Nucleoss´ıntese Primordial. Gamov foi o primeiro a descrever o universo primordial. Ele supôs que a temperatura do universo primordial era elevada o suficiente para conter toda matéria decomposta em sua forma elementar [13]. Assim, ele considerou que o universo era ini-cialmente preenchido por prótons, nêutrons, elétrons, pósitrons, fótons e neutrinos. A s´ıntese dos elementos leves depende da rela¸cão entre a temperatura, a taxa de expansão e a taxa das rea¸cões fraca e nuclear. As rea¸cões regidas pela intera¸cão fraca determinam a interconversão entre nêutrons e prótons que por sua vez, determina a quantidade de 4_He

(32)

de bárions e a quantidade de fótons (a razão bárion-fóton η) e o número de neutrinos Nν.

A nucleoss´ıntese primordial 1 _{ocorreu, aproximadamente, entre os instantes t ≈ 0.01s}

e t ≈ 100s, quando a temperatura do universo variou de T ≈ 10MeV para T ≈ 0.1MeV . Neste per´ıodo foram sintetizados elementos leves, tais como: deut´erio (2_{H), h´elio-3 (}3_He),

hélio (4_{He) e l´ıtio (}7_{Li). Com a diminui¸cão da temperatura devida à expansão do universo,}

a pressão dos elementos bariônicos foi insuficiente para continuar a fusão nuclear no plasma primordial cessando a s´ıntese dos elementos leves. Assim, as fra¸cões dos elementos leves observadas hoje devem ser condizentes com a nucleoss´ıntese primordial. Os elementos mais pesados foram sintetizados posteriormente através das rea¸cões nucleares no interior das estrelas [16]. Segundo as previsões da nucleoss´ıntese, a parte bariônica do universo é constitu´ıda por cerca de 75% de hidrogênio (1_{H), 25% de hélio (He) e menos de 1% de}

outros elementos.

A estimativa da abundância dos elementos leves constitui um importante teste para os modelos cosmológicos. As análises dos dados obtidos pelo Wilkinson Microwave Aniso-tropy Probe (WMAP) permitiram realizar previsões acerca da nucleoss´ıntese. De acordo com o WMAP 9 anos, a abundância primordial do hélio era YHe = 0.3080.032_0.031 com 68% de

confian¸ca e a massa total dos neutrinos mν < 0.44eV com 95% de confian¸ca [17].

A análise da abundância dos elementos depende da razão bárion-fóton η = [2 − 6]10−10

e do n´umero efetivo de esp´ecies de neutrinos Nν = 3.26 ± 0.35 com 95% de confian¸ca

[17]. Com o aux´ılio da temperatura da Radia¸cão Cósmica de Fundo 2 _{é poss´ıvel estimar}

a densidade da mat´eria bariˆonica (Ωb) no universo. De acordo com o WMAP 9 anos:

Ωb = 0.0463 ± 0.0024 para o modelo Lambda Cold Dark Matter (ΛCDM) [17].

A teoria da nucleoss´ıntese est´a de acordo com os valores encontrados para Nν em

aceleradores Nν = 3.00 ± 0.02 [18]. Al´em disso, seus resultados podem ser empregados

para vincular outros parˆametros cosmol´ogicos.

2.2.2 A Radia¸c˜

ao C´

osmica de Fundo

A Radia¸cão Cósmica de Fundo (RCF) pode ser explicada considerando que o universo apresentava um estado primordial denso e quente. Neste sentido, a radia¸cão interagia constantemente com os elétrons e o universo era opaco, uma vez que o caminho livre médio era pequeno. Contudo, a medida que o universo se expandia, ele esfriava. Assim,

1

Outras informa¸c˜oes sobre a nucleoss´ıntese primordial podem ser encontradas em [14, 15].

2

(33)

quando a temperatura atingiu T ≈ 3000K [6], os ´ıons e os elétrons se combinaram for-mando átomos neutros. Quando o universo atingiu um número significativo de elétrons livres, a radia¸cão de fundo come¸cou a percorrer livremente o universo sem interagir mais com os elétrons. Esta época é conhecida como Recombina¸cão, quando o universo ficou transparente à radia¸cão. Gamov estimou a temperatura da RCF como sendo de T ≈ 5K [13]. A diminui¸cão da temperatura desta radia¸cão é uma consequência direta da expansão do universo 3_.

A RCF foi observada pela primeira vez em 1965 por Penzias e Wilson como sendo um sinal de fundo que não possuia uma dire¸cão privilegiada [19]. A interpreta¸cão cosmológica foi dada por Dick e colaboradores que reconheceram este sinal como sendo a RCF pre-vista por Gamov [20]. As condi¸cões de equil´ıbrio termodinâmico do universo primordial imprimiram o espectro de corpo negro à RCF.

Desde sua deteçcão, vários satélites foram lan¸cados com o objetivo de conhecer as pro-priedades da RCF. O primeiro deles foi o Cosmic Background Explorer (COBE), lan¸cado em 1989. A bordo do COBE estava o detector Far Infrared Absolute Spectrophotometer (FIRAS) que confirmou que a RCF tinha um acurado espectro de corpo negro (ver Figura 2.2) estimando a temperatura em (2.735 ± 0.06K) [21].

Figura 2.2: Espectro da RCF obtido pelo FIRAS [21]

Depois do COBE outros instrumentos foram constru´ıdos para estudar as propriedades

3

(34)

da RCF, dentre os quais destacamos 4_:

• Cosmic Anisotropy Telescope (CAT), 1994 - 1997: foi o primeiro interferˆometro constru´ıdo para medir as anisotropias da RCF.

• Balloon Observations of Millimetric Extragalactic Radiation and Ge-ophysics (BOO-MERanG), 1997-2003: um instumento lan¸cado a bordo de um bal˜ao com o objetivo de mapear a RCF. O primeiro voo mediu as anisotropias da RCF e o segundo mediu a temperatura e polariza¸c˜ao.

• WMAP, 2001 - 2012: é uma missão de explora¸cão da NASA com o objetivo de fazer o mapeamento do céu. Os primeiros resultados foram publicados em 2003 com atualiza¸cões em 2007, 2009 e 2011 5_{. Os resultados finais do WMAP 9 anos foram}

publicados em 2012 [17].

• Planck, 2009 - 2013: foi projetado pela Agência Espacial Européia com o objetivo de estudar o universo primordial. Em mar¸co de 2013 foram publicados os resultados atualizados desta missão [23].

2.3 Supernovas e a expans˜

ao acelerada do universo

O MCP passa por alguns testes observacionais, mas apresenta alguns problemas6_{. Uma}

das principais questões é a atual fase de acelera¸cão cósmica. Em 1998, as observa¸cões com SNIa indicaram que o universo se encontra em uma fase de expansão acelerada [24, 25]. As evidências revelaram também que a expansão come¸cou desacelerada e passou recentemente por uma transi¸cão para a fase acelerada. Este resultado é pass´ıvel de interpreta¸cões, tais como:

• a Relatividade Geral não se aplica à escalas cosmológicas. Atualmente existem di-versas teorias alternativas de gravidade f (R). Estas teorias surgem quando subs-titu´ımos o escalar de curvatura de Ricci R por qualquer fun¸cão f (R) não-linear (ver, por exemplo, [26]).

4

Para revis˜oes completas, consulte [12].

5

Revisões sobre as missões do WMAP podem ser encontradas em [22] e referências nele contidas.

6

(35)

• validade restrita do Princ´ıpio Cosmológico. Neste caso, o universo é regido pela métrica Lemaˆıtre-Tolman-Bondi (LTB) que descreve uma região centrada no obser-vador em expansão radial não homogênea (ver, por exemplo, [27]).

• a existência de outra componente, a energia escura, responsável pela expansão ace-lerada (ver por exemplo, [28]).

Nesta disserta¸cão abordaremos alguns modelos cosmológicos baseados na energia escura como explica¸cão para a acelera¸cão cósmica. Nas subse¸cões seguintes faremos um estudo das supernovas. Abordaremos os aspectos astrof´ısicos que as tornam excelentes candidatas a velas padrão e suas implica¸cões cosmológicas.

2.3.1 Supernovas

As supernovas s˜ao eventos explosivos. Elas liberam no momento da explos˜ao uma energia da ordem de 1050_{ergs, podendo atingir no pico de luminosidade valores equivalentes}

a 1010_L

Sol [15], que corresponde a uma fra¸c˜ao significativa da luminosidade total de uma

gal´axia.

A classifica¸cão das supernovas foi inicialmente feita com base na presen¸ca (superno-vas tipo II) ou ausência (superno(superno-vas tipo I) de linhas de emissão de hidrogênio no seu espectro. As supernovas tipo II (SNII), SNIb e SNIc são encontradas em galáxias espirais e irregulares. Estas supernovas são estágios finais de evolu¸cão de estrelas supermassivas (≥ 8MSol) que sofreram colapso gravitacional. As SNIa serão discutidas na próxima se¸cão.

A classifica¸cão das supernovas em subtipos é baseada na análise das propriedades f´ısicas e qu´ımicas dispon´ıveis no seu espectro 7_{, conforme ilustra a Figura 2.3.}

Antes de continuarmos precisamos conceituar distˆancia de luminosidade. A distˆancia de luminosidade, dl, relaciona a luminosidade L definida como a energia emitida pela fonte

por unidade de tempo e o fluxo F medido em nosso detector (energia emitida pela fonte por unidade de tempo por unidade de ´area).

O estudo da luminosidade das estrelas leva ao sistema de medir suas magnitudes. O sistema de magnitudes se originou na Grécia Antiga, onde as estrelas eram classificadas de acordo com seu brilho aparente. Este sistema de magnitudes é utilizado até hoje. Nele, a magnitude aparente bolométrica m 8 _{é definida com base em uma estrela referência.}

7

Estudo detalhado sobre as supernovas pode ser encontrado em [29] e referˆencias nela contidas.

8

(36)

Figura 2.3: Esquema de classifica¸cão das supernovas [30]. As duas principais classes de supernovas são caracterizadas com base na ausência (Supernovas tipo I) ou presen¸ca (Supernovas tipo II) de linhas de hidrogênio no seu espectro. Em seguida, as supernovas de uma mesma classe são subdivididas com base na presen¸ca ou ausência de outros elementos no seu espectro.

Atualmente adotamos a estrela Vega como referência tendo magnitude aparente nula. As estrelas mais brilhantes que Vega tem magnitude aparente negativa e uma estrela menos brilhante tem magnitude aparente positiva. Esta defini¸cão é expressa como

m ≡ −2.5log10

F Fα

, (2.5)

onde F e Fα representam o fluxo da fonte e da estrela referˆencia, respectivamente.

Utilizaremos também a magnitude absoluta M de uma estrela que é definida como a magnitude que a fonte apresenta quando se encontra a uma distância padrão de 10pc e a redshift igual a 0. Neste caso,

F10 =

L

4π(10pc)2. (2.6)

O fluxo F (dl) observado à distância dl está relacionado com o fluxo F (10pc) à distância

de 10pc por F10= F dl 10pc 2 . (2.7)

total que também é chamado fluxo bolométrico. A magnitude correspondente a esse fluxo integrado é conhecida como magnitude bolométrica.

(37)

Substituindo a equa¸c˜ao 2.8 em 2.6, temos M = m − 5log10 dl 10pc . (2.8)

Usualmente, podemos reescrever o resultado da equa¸c˜ao 2.9 na forma

m = 5log10 dl cH₀−1 + 5log10 cH−1 0 1pc − 5 + M, (2.9) m = 5log10dl+ A, (2.10)

sendo dl definido como

dl ≡ (1 + z)

Z z

0

dz′

H(z′₎. (2.11)

A quantidade A ´e definida como

A ≡ 42.38 − 5log10h. (2.12)

Finalmente, definimos a quantidade µ ≡ M − m, denominada m´odulo de distˆancia, ex-pressa por

µ = 5log10dl+ 42.38 − 5log10h. (2.13)

2.3.2 Supernovas tipo Ia e suas implica¸c˜

oes cosmol´

ogicas

As Supernovas tipo Ia (SNIa) são encontradas em praticamente todos os tipos de galáxias. Seu espectro é caracterizado pelas linhas de emissão dos elementos: cálcio, sil´ıcio e enxofre durante a fase de pico de luminosidade e ausência das linhas de hidrogênio, uma vez que, esgotaram toda a reserva desse elemento ao longo de sua evolu¸cão. O modelo mais aceito para explicar a explosão das SNIa sugere um sistema binário composto por uma anã branca que recebe matéria da estrela parceira. Esta transferência ocorre até o instante em que a anã branca alcan¸ca o limite de massa de Chandrasekhar 9_.

Uma vez que as condi¸cões iniciais são bem homogêneas para esta classe de supernovas, elas podem ser boas candidatas a velas padrão. As SNIa apresentam alta luminosidade, podendo ser detectadas a grandes distâncias (Mpc) e com dispersões de luminosidade da ordem de σ = 0.4 − 0.5 mag na banda B [2]. Esta classe de supernovas se tornou bastante popular nas últimas décadas devido ao seu amplo uso como velas padrão para a

9

O limite de Chandrasekhar representa a máxima massa poss´ıvel para uma estrela do tipo anã branca suportada pela pressão interna. Se uma anã branca exceder esta massa por agrega¸cão, entrará em colapso, devido ao efeito da gravidade.

(38)

Cosmologia, uma vez que com elas pode-se inferir distâncias em escalas cosmológicas. Em meados de 1977, Pskovskii [31] estudou a rela¸cão entre o brilho máximo e o decaimento da curva de luz das supernovas. Estudos posteriores confirmaram que a varia¸cão estava correlacionada com o tempo de crescimento e decl´ınio da curva de luz das supernovas (ver Figura 2.4): quanto mais lento o decl´ınio, maior a luminosidade absoluta [32]. Esta rela¸cão pode ser entendida no contexto do modelo da explosão de uma anã branca, pois a quantidade total de 56_{Ni produzido é proporcional à luminosidade máxima da supernova.}

Assim, quanto mais Ni for produzido, maior será a luminosidade da SNIa que também brilhará por mais tempo.

Figura 2.4: Rela¸cão entre o pico de emissão de luminosidade com o decaimento da curva de luz para supernovas próximas. O painel superior apresenta a curva de luz aproximada-mente 50 dias após o pico de emissão das supernovas. O painel inferior apresenta a curva de luz do mesmo conjunto de supernovas depois do ajuste [33].

(39)

O estudo com supernovas foi desenvolvido por dois grandes grupos: o The Supernovae Cosmology Project (SCP) entre os anos de 1980 e 1990 e o High-z Supernova Search Team (HZT), fundado em 1994. O SCP analisou a luminosidade em fun¸cão do redshift para 42 SNIa no intervalo 0.10 < z < 0.83 [25, 34]. Este resultado foi somado a um conjunto de 18 supernovas em baixos redshifts z < 0.1 [35] para a constru¸cão do diagrama de Hubble conforme ilustra Figura 2.5. O melhor ajuste encontrado pelo SCP para a densidade de matéria foi Ωm = 0.25 ± 0.36 para um universo plano favorecendo o modelo ΛCDM e

Ωm = −0.4 ± 0.15 para ΩΛ= 0 [25].

Figura 2.5: Diagrama de Hubble com dados de SNIa do grupo SCP. Assumindo Ωκ = 0,

as quatro curvas tracejadas representam ajustes para diferentes valores de Ωm (listados a

direita). As três curvas sólidas representam modelos com Λ = 0 e diferentes valores para Ωm listados à direita. Fonte: http://www-supernova.lbl.gov.

(40)

O grupo HZT estudou 42 SNIa em altos redshift 0.16 < z < 0.97 determinando as distˆancias de luminosidade por dois m´etodos de ajustes da curva de luz: o Template-fitting method ∆m15B 10 [36] e o The Multicolor Light Curve Shape Method (MLSC)11

[37]. Os resultados revelaram que as supernovas em redshifts z < 1.0 se ajustam melhor ao modelo cosmol´ogico com Ωm = 0.24 e ΩΛ = 0.76 [24] conforme ilustra a Figura 2.6.

Figura 2.6: No painel superior à esquerda é apresentado o diagrama de Hubble com supernovas em alto e baixo redshifts medidas através do método MLCS obtido pelo grupo HZT. No painel inferior é apresentado a diferen¸ca entre os dados e o modelo com Ωm = 0.20

e ΩΛ = 0. A direita est˜ao representadas as regi˜oes de 1σ, 2σ e 3σ de confian¸ca para Ωm e

ΩΛ [24].

10

O m´etodo utiliza uma rela¸c˜ao linear entre a luminosidade e taxa de decl´ınio ∆m15(B) das supernovas.

A quantidade ∆m15(B) corresponde à varia¸cão em magnitudes na banda B após um per´ıodo de 15 dias. 11

Este m´etodo utiliza a forma da curva de luz das supernovas para reduzir os efeitos da extin¸c˜ao interestelar.

(41)

Os autores também estimaram o parâmetro de desacelera¸cão (q0) admitindo que o

universo é composto pelas componentes Ωm e ΩΛ. Seja o parâmetro de desacelera¸cão

definido na equa¸c˜ao 1.42 e o parˆametro de Hubble medido hoje igual a

H0 =

˙a

a. (2.14)

Manipulando a equa¸cão 1.42 e utilizando a equa¸cão 2.15, o parâmetro de desacelera¸cão pode ser reescrito como

q0 = −

¨a aH2

0

, (2.15)

sendo ä, a acelera¸cão cósmica definida na equa¸cão 1.29. Lembrando que p = ωǫ, a equa¸cão 1.29 pode ser reescrita como

¨ a a = − 4πG 3c2 (ǫ + 3ωǫ) ⇒ ¨a a = − 4πG 3c2 X ω ǫω(1 + 3ω), (2.16)

onde ǫω representa a densidade de energia da componente com equa¸c˜ao de estado ω.

Multiplicando ambos os lados da equa¸c˜ao 2.17 por −1/H2

0, temos −¨a aH2 0 = + 4πG 3c2_H2 0 X ω ǫω(1 + 3ω). (2.17)

Lembrando que o parˆametro de densidade de uma componente do universo ´e dado por

Ωω ≡

ǫω

ǫc

, (2.18)

com Ωω correspondente ao parˆametro de densidade da componente com equa¸c˜ao de estado

ω e ǫc ≡ 3c2H02/8πG corresponde `a densidade cr´ıtica. Substituindo 2.19 em 2.18, temos

−¨a aH2 0 = −1 2 X Ωω(1 + 3ω). (2.19)

O lado esquerdo da equa¸cão 2.20 é equivalente a q0. Admitindo que o universo é composto

por matéria (Ωm) com ω = 0 e constante cosmológica (ΩΛ) com ω = −1, a equa¸cão 2.20

pode ser reescrita em termos das duas componentes

q0 =

1

2Ωm− ΩΛ. (2.20)

Descartando a possibilidade de uma densidade de matéria negativa, a acelera¸cão cósmica ocorre se

ΩΛ>

Ωm

2 . (2.21)

(42)

Este resultado vem sendo corroborado através de outros observáveis cosmológicos, tais como: RCF [38], Oscila¸cões Acústicas de Bárions (BAO) [39] e recentes catálogos de SNIa [40] 12_{. Admitindo um universo homogêneo e isotrópico e assumindo a validade da RG}

em escalas cosmológicas, precisamos da existência de uma energia escura para balancear a atra¸cão gravitacional, permitindo a expansão acelerada do universo. Os modelos cos-mológicos de energia escura serão analisados no próximo cap´ıtulo.

12

(43)

Cap´ıtulo 3

Os Modelos Cosmol´

ogicos de energia

escura

Neste cap´ıtulo faremos uma análise de alguns modelos cosmológicos fundamentados na energia escura. Apresentaremos o principal modelo para descrever a acelera¸cão cósmica baseado na Relatividade Geral, o modelo Lambda Cold Dark Matter ΛCDM juntamente com alguns modelos concorrentes: XCDM e ωaCDM.

3.1 As componentes do universo

Nesta sessão discutiremos os parâmetros cosmológicos do modelo ΛCDM, utilizando os resultados dispon´ıveis no WMAP 9 anos juntamente com os resultados obtidos através da missão Planck1_.

Os seis parâmetros básicos do modelo ΛCDM são:

• a densidade da mat´eria bariˆonica (Ωbh2);

• a densidade da mat´eria escura fria (Ωch2);

• a densidade de energia escura (ΩΛ);

• a amplitude das perturba¸c˜oes primordiais do escalar de curvatura (∆2 R);

• o ´ındice espectral da lei de potˆencia da densidade das perturba¸c˜oes primordiais (ηs);

1

Detalhes das miss˜oes juntamente com os trabalhos produzidos podem ser encontrados em: http://lambda.gsfc.nasa.gov/.

(44)

• e a reioniza¸c˜ao da profundidade ´optica (τ).

Destes parˆametros, podemos determinar:

• a idade do universo (t0);

• o parˆametro de Hubble (H0);

• a densidade de b´arions (Ωb);

• a densidade de mat´eria escura fria (Ωc);

• o redshift da equiparti¸cão matéria-radia¸cão (zeq);

• o redshift da reioniza¸c˜ao (zreion).

Os parâmetros cosmológicos de interesse nesta disserta¸cão para o modelo ΛCDM utili-zando os resultados do WMAP 9 anos e do Planck estão dispostos na Tabela 3.1.

Parˆametro cosmol´ogico WMAP 9 anos Planck Diferen¸ca Ωbh2 0.02264 ± 0.00050 0.02217 ± 0.00033 −0.00047

Ωch2 0.1138 ± 0.0045 0.1186 ± 0.0031 0.0048

ΩΛ 0.721 ± 0.025 0.693 ± 0.19 −0.028

H0Kms−1M pc−1 70 ± 2.2 67.9 ± 1.5 −2.1

t0 Ganos 13.74 ± 0.11 13.796 ± 0.058 56Mano

Tabela 3.1: Melhores estimativas para os parˆametros cosmol´ogicos do modelo ΛCDM utilizando os resultados dispon´ıveis pelo WMAP 9 anos [17] e Planck [23].

3.1.1 A mat´

eria escura

O parâmetro de densidade de matéria hoje, Ωm,0, compreende a contribui¸cão da matéria

bariônica e da matéria escura e influencia na determina¸cão de parâmetros cosmológicos, tais como o parâmetro de Hubble e a acelera¸cão do universo. A maior parte da densidade de matéria no universo é constitu´ıda pela matéria escura que não interage eletromagneti-camente. A deteçcão desta componente é feita de forma indireta analisando sua influência gravitacional sobre a matéria bariônica [42, 43, 44].

A primeira indica¸cão da matéria escura foi proposta por Zwicky na década de 30 ao analisar a dinâmica do aglomerado de Coma através da medida da velocidade de dispersão

(45)

das galáxias [45]. Supondo o aglomerado em equil´ıbrio dinâmico, Zwicky aplicou o teorema do virial para determinar a sua massa e concluiu que ele só poderia estar gravitacional-mente interagindo se sua massa total excedesse a soma das massas das galáxias que o compunha. Estudos posteriores desenvolvidos por Smith para o aglomerado de Virgo [46] confirmaram a proposta de Zwicky.

O estudo do comportamento das curvas de rota¸cão das galáxias espirais também for-nece evidências da matéria escura. As curvas de rota¸cão são obtidas através das medidas da velocidade circular orbital v(r) em fun¸cão do raio galáctico. Na década de 70, Rubin e Ford Jr. mediram a curva de rota¸cão da galáxia Andrômeda (M31) [47]. Uma vez que acreditava-se que a maior parte da massa da galáxia estivesse concentrada na região da matéria luminosa, o comportamento da curva deveria ser kepleriano para médios e grandes raios. Enquanto que para pequenas distâncias do centro galáctico, o comportamento da curva de rota¸cão foi confirmado, a medida que o raio aumentava a curva de rota¸cão não seguia a lei kepleriana permanecendo praticamente constante, indicando a existência de uma outra componente dominante formando um halo de matéria escura. Este comporta-mento foi evidenciado em outras galáxias. Como exemplo, mostramos a curva de rota¸cão esperada para a galáxia espiral NGC 3198 (Figura 3.1). A curva representada pelo termo disk descreve a velocidade de rota¸cão da galáxia admitindo a existência apenas da matéria bariônica. Note que, para a curva teórica ser compat´ıvel com a curva esperada para a referida galáxia é preciso assumir a existência de uma componente não bariônica no halo (representada pelo termo halo).

Para galáxias el´ıpticas a deteçcão da matéria escura como constituinte para a massa total é mais complicada, porque as órbitas das estrelas são mais complexas que em galáxias espirais. Contudo, evidências com medidas feitas a partir da emissão de raios-X revelam que a massa dos aglomerados destas galáxias também é dominada pela matéria escura [2]. Outro ponto relevante é saber se a matéria escura é fria ou quente, de onde surgem as denomina¸cões cold dark matter - CDM (matéria escura fria) constitu´ıda por part´ıculas não relativ´ısticas e hot dark matter - HDM (matéria escura quente) constitu´ıda por part´ıculas relativ´ısticas. A principal diferen¸ca entre os modelos com HDM e CDM está relacionada com a forma¸cão e evolu¸cão das estruturas. Os modelos com HDM apagam as flutua¸cões de pequenas escalas na época da forma¸cão das estruturas. Neste contexto, as estrutu-ras em grande escala foram formadas primeiro, enquanto que as galáxias foram formadas posteriormente através da fragmenta¸cão destas estruturas. Contudo, este cenário é

(46)

con-Figura 3.1: Curva de rota¸cão da galáxia NGC3198 [48]. Os pontos representam as medidas da velocidade orbital em fun¸cão do raio galáctico. As curvas representam as contribui¸cões da velocidade devido ao disco e ao halo. O comportamento não kleperiano para médios e grandes raios é explicado pela hipótese da existência do halo escuro.

traditório com as observa¸cões. Por exemplo, se observarmos uma galáxia e o quasar QSOs em redshift z ≈ 6, concluimos que a estrutura em pequena escala surgiu quando o universo tinha menos de 10% de sua idade atual. Portanto, a HDM é exclu´ıda como a componente dominante da matéria escura. Em contrapartida, a matéria escura fria consegue se acumu-lar em pequenas escalas formando as estruturas de forma hierárquica estando de acordo com as observa¸cões [49, 50].

3.1.2 A energia escura

Atualmente, a energia escura é considerada a componente responsável pela acelera¸cão cósmica. Além das evidências com supernovas (ver Cap´ıtulo 2), outras observa¸cões levam a inferir sua existência, entre as quais destacamos: o espectro de potência das anisotropias da RCF, BAO, observa¸cões em raios X de aglomerados de galáxias e rádio galáxias 2_.

Esta componente apresenta algumas propriedades [28]: • Não emite radia¸cão eletromagnética;

• Apresenta ao que parece, press˜ao negativa (ω ≡ p/ρ ≤ −1/3);

2

(47)

• Representa cerca de 2/3 da densidade total do universo;

• É homogênea e não se manifesta nas escalas dos aglomerados de galáxias. Nas se¸cões seguintes apresentaremos alguns modelos baseados na energia escura.

3.2 O Modelo de Concordˆ

ancia C´

osmica ΛCDM

O modelo Lambda Cold Dark Matter (ΛCDM) é considerado o atual paradigma da Cosmologia. Ele fornece um bom ajuste para as principais observa¸cões astronômicas como a estimativa da distância de luminosidade de SNIa, RCF e BAO 3_.

O modelo ΛCDM considera o universo homogêneo e isotrópico, constitu´ıdo basica-mente por matéria escura fria, matéria bariônica, fótons, neutrinos e energia escura sob a forma da constante cosmológica, com parâmetro de equa¸cão de estado ω = −1.

Utilizando os resultados do Cap´ıtulo 1: o valor da densidade cr´ıtica hoje (ǫc,0), equa¸c˜ao

1.35, o parˆametro de densidade (Ωi) de cada componente do universo, equa¸c˜ao 1.36,

junta-mente com o parêmetro de densidade total e a densidade de cada componente do universo em termos do parâmetro ω, equa¸cões 1.39 e 1,61, respectivamente, podemos reescrever a equa¸cão de Friedmann, equa¸cão 1.37, como

H2 = H₀2 Ωr,0 a4 + Ωm,0 a3 + ΩΛ −_aκ₂. (3.1)

Utilizando as equa¸c˜oes 1.40 que define o parˆametro Ωκ e 1.48 que relaciona o fator de

escala (a) com o redshift (z), temos

H2 = H₀2Ωr,0(1 + z)4+ Ωm,0(1 + z)3+ ΩΛ,0+ Ωκ,0(1 + z)2 , (3.2)

com parˆametros livres: Ωr,0, Ωκ,0 e Ωm,0.

A hipótese de que a constante cosmológica seja uma candidata convincente para des-crever a expansão acelerada tem reproduzido uma série de trabalhos na literatura (ver por exemplo: [53, 54, 55, 56, 57]).

A constante cosmológica, representada por Λ, é a candidata mais simples à energia escura. Ela foi introduzida por Einstein em 1917 para descrever um modelo cosmológico estático. No atual contexto cosmológico, a energia escura é representada por um fluido com densidade de energia

ρΛ=

Λ

8πG, (3.3)

3

(48)

e press˜ao

pΛ= −

Λ

8πG, (3.4)

sendo, neste caso, pΛ= −ρΛ.

Em complemento a esta visão, na Teoria Quântica de Campos o termo Λ poderia estar associado às flutua¸cões quânticas do estado do vácuo. Tais flutua¸cões podem ser demonstradas experimentalmente, por exemplo, através do Efeito Casimir 4 _{[58, 59].}

Di-ferentemente da visão clássica, onde o vácuo é entendido como uma região desprovida de matéria, radia¸cão ou qualquer outra forma de energia (tensor energia-momento é nulo Tαβ ≡ 0), na visão quântica o vácuo é entendido como o estado de m´ınima energia. Devido

às rela¸cões de incerteza, os campos flutuam em torno do zero, e apenas seus valores médios podem ser considerados nulos. Finalmente, a equa¸cão de estado de vácuo pvac = −ρvac,

ou seja, uma equa¸cão de estado idêntica a de uma constante cosmológica.

De fato, os resultados do WMAP 9 anos revelam que o universo ´e praticamente plano (Ωκ = −0.0027+0.0019−0.0038) [17], isso implica que a densidade total de energia deve estar pr´oxima

da densidade cr´ıtica. Assumindo que a densidade de energia do vácuo seja dada pela diferen¸ca entre a densidade cr´ıtica e a densidade de matéria e lembrando que a densidade de energia é dominante no universo hoje, temos [60, 61]

ρΛ,0≤ ρc,0 =

3H2 0

8πG ≈ 10

−29_g/cm3_. _(3.5)

Em contrapartida, o valor da constante Λ previsto pela teoria quˆantica de campos ´e

ρΛ,teor ≈ [1013− 1092]g/cm3 [60, 62]. Esta discrepˆancia da ordem de 45 a 120 magnitudes

entre o valor teórico e o observacional é denominada Problema da Constante Cosmológica (ver por exemplo, [63]) e tem motivado diversos modelos alternativos para a energia escura capazes de acelerar o universo e resolver este problema. Nas sessões seguintes abordaremos alguns desses candidatos.

3.3 O Modelo com ω constante XCDM

Este modelo é uma extensão do ΛCDM. Nele, a energia escura é descrita por um fluido homogêneo com o parâmetro da equa¸cão de estado ω = px/ρx, com ω < −1/3

para evidenciarmos a expans˜ao acelerada, px e ρx representam a press˜ao e a densidade do

4

O Efeito Casimir é conhecido pela for¸ca de atra¸cão que surge entre duas placas planas condutoras e descarregadas quando colocadas paralelamente uma sobre a outra no vácuo.