Capítulo 2
A experiência recomenda que receber certa quantia de dinheiro no presente é melhor do que receber essa mesma quantia no futuro.
Esse bom senso é mais bem exposto com o objetivo de maximização da riqueza do dono do capital, tendo
presente que a remuneração do dinheiro é afetada pelo
prazo, pela inflação e pelo risco associado ao destino dado a esse dinheiro.
No Capítulo 1 foi mostrado que o verdadeiro custo de uma decisão não é apenas o valor do desembolso e sim o custo de oportunidade do que deve ser abandonado pela conveniência de tomar uma decisão.
Este capítulo resume conceitos e procedimentos de
Matemática Financeira orientados à avaliação de projetos de investimento considerando que os participantes conhecem com certeza o que ocorrerá no futuro ou que todos se
Como também foi mostrado no Capítulo 1, a incerteza do fluxo de caixa do projeto não invalida o procedimento de avaliação do projeto com o VPL ou a taxa esperada
considerando uma taxa requerida.
Nesse caso, a construção do fluxo de caixa é realizada com o valor esperado das estimativas, e com o resultado da
avaliação do projeto se obtém o valor esperado E[VPL] do VPL.
Sendo este capítulo uma revisão de matemática financeira com exemplos de projetos de investimento, a denominação de taxa efetiva e de taxa requerida, bem como a de série de capitais e fluxo de caixa, são utilizadas como sinônimos.
Suponha que você investiu $15.000 por 6 anos com
pagamento anual de juro calculado com a taxa de juro de 8% ao ano, o que gera anualmente $1.200 de juro.
Ao receber o pagamento de juro no final de cada ano, você tem três alternativas:
manter essa quantia sem remuneração,
investi-la até completar o prazo de 6 anos, simplesmente consumir os $1.200 cada ano.
A tabela mostra os resultados das duas primeiras alternativas. Nas duas primeiras colunas foram registrados,
respectivamente, o tempo em anos e os juros anuais recebidos.
A terceira e a quarta coluna da tabela mostram os efeitos de manter os juros anuais sem remuneração até completar o
prazo de 6 anos, quando serão incorporados ao capital inicial totalizando o resgate final de $22.200, resultado da soma do investimento de $15.000 mais os seis juros acumulados de $7.200.
O procedimento de acumular os juros sem reinvestir é denominado regime de juros simples.
As duas últimas colunas da tabela mostram os efeitos de
reinvestir os juros mensais até completar o prazo de 6 anos com a mesma taxa de juro de 8% ao ano.
A quinta coluna registra para cada ano os juros anuais
acumulados nessa data, por exemplo, no final do primeiro ano o juro recebido de $1.200 é investido na mesma data com a taxa de juro anual de 8%.
A seguir, no final do segundo ano o juro acumulado é
$2.496, resultado da soma do juro investido no final do primeiro ano, $1.296, mais o juro do segundo ano, $1.200.
A última coluna da tabela registra o futuro para cada ano
considerando a operação como terminada nessa data, por exemplo, o futuro no final do sexto ano é $23.803,11,
resultado da soma do investimento inicial $15.000 mais os juros acumulados, $8.803,11.
O procedimento de reinvestir os juros é denominado
De forma geral, a operação financeira no regime de juros compostos com prazo n, capital inicial P, capital futuro F, e taxa de juro i com período 1/n coincidente com o período de geração de juros 1/n se rege com a equivalência:
A premissa dessa equivalência é que o capital cresce somente pela geração de juro, pois durante o prazo da operação não há nenhuma entrada nem saída de capital, havendo somente a capitalização do juro no final de cada período durante o prazo n.
O período da taxa de juro i é a do período de geração dos juros, ou do período de capitalizações dos juros.
Na resolução dos exemplos e problemas de juros compostos o leitor pode utilizar a planilha de Excel Juros Compostos incluída na pasta Capítulo 2, que faz parte do CD-Rom que
(1 )n
Retomemos o investimento de $15.000 pelo prazo de 6 anos com pagamento anual de juro de $1.200 calculado com a taxa de 8% ao ano.
Dos resultados da tabela, na primeira alternativa de
acumulação dos juros sem remuneração até completar o
prazo de 6 anos, o resgate final é $22.200 e a taxa efetiva de juro dessa operação é 6,75% ao ano, resultado obtido com:
Reinvestindo os juros anuais de $1.200 até completar o prazo de 6 anos com a mesma taxa de juro de 8% ao ano, o resgate final é $23.803,11 e a taxa efetiva de juro dessa operação é 8% ao ano resultado obtido com:
1/ 6 $22.200 1 0,0675 $15.000 i 1/ 6 $23.803,11 1 0, 080 i
COMENTÁRIO
Na terceira alternativa de consumir os juros anuais no final de seis anos será resgatado o valor inicial de $15.000 e a taxa efetiva de juro dessa operação será 0% ao ano.
Como conclusão inicial, a taxa anual de retorno do capital
investido, $15.000, dependerá do destino dado anualmente ao juro de $1.200.
De outra maneira, para remunerar anualmente o capital investido durante seis anos com a taxa de 8% ao ano, cada juro anual deverá ser reinvestido com a taxa de 8% ao ano até completar o prazo de seis anos.
Tendo presente que nessa análise o capital $15.000
permaneceu investido, a conclusão final é que para garantir a rentabilidade de 8% ao ano sobre o capital investido durante o prazo de seis anos, tanto os juros anuais quanto o capital inicial devem ser reinvestidos com a mesma taxa de juro de 8% ao ano até completar o prazo de seis anos.
De forma geral, se durante o prazo da operação financeira com juros compostos forem gerados n juros com taxa variável de juro com período igual ao período de geração dos juros, tem-se:
JUROS COMPOSTOS COM TAXA VARIÁVEL
1 2 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n F F P i i i P i i i 1 1 (1 ) (1 )
n j n j j j F F P i P iPerceba que o produto dos n fatores n pode ser representado pela taxa total de juro i igual a:
1 2
1 i (1 i ) (1 i ) (1 in)
1 2
(1 ) (1 ) (1 n) (1 )
F P i i i F P i
Dessa maneira, a equivalência se transforma em:
O período da taxa total de juro i é igual ao prazo da operação, ou igual à soma dos períodos das n taxas de juro. Ou seja, na sua essência, o cálculo de F é realizado com:
Exemplo 2.10. Do investimento realizado durante três anos foram resgatados $250.000. Calcule o valor investido na data inicial considerando as taxas de juros 13%, 13,5% e 13,9% ao ano no regime de juros compostos.
Solução. O investimento foi $171.136,24 resultado obtido com: 1 2 3 (1 ) (1 ) (1 ) $250.000 $171.136, 24 (1 0,13) (1 0,135) (1 0,139) F P i i i P
A taxa requerida é a taxa mínima de juro que a empresa exige para aceitar um projeto, conhecida também como custo de
oportunidade do projeto.
O projeto é aceito se o capital investido durante certo prazo de análise for recompensado pelo valor do dinheiro no
tempo, a inflação esperada e o risco associado ao destino desse capital.
Esses três fatores medidos como taxas de juro e
adequadamente compostos formam a taxa requerida do projeto.
Para compreender a formação básica da taxa requerida do
projeto, inicialmente consideramos um ambiente de certeza e, portanto, livre de inflação e de risco.
Nessa situação, a taxa de juro das operações do mercado de 6% ao ano, por exemplo, é regida pela taxa real livre de risco TRLR que variará com a percepção dos indivíduos sobre as oportunidades de investimento no mercado.
Entretanto, percebendo um aumento do nível dos preços, o investidor exigirá uma taxa de juro maior denominada taxa nominal livre de risco TNLR, por exemplo, 7,5% ao ano sendo 1,5% ao ano a taxa esperada de inflação.
Por último, se o investidor observar que há incerteza no
retorno a receber, ele também exigirá um prêmio pelo risco a assumir PR, por exemplo, 12% ao ano sendo 4,5% a taxa que representa o prêmio pelo risco.
Portanto, a expressão da taxa requerida k pode ser formada pela soma da taxa real livre de risco TRLR mais o prêmio pelo risco PR ou pela soma da taxa nominal livre de risco TNLR mais o prêmio pelo risco PR.
A primeira parcela das duas expressões de taxa requerida é comum a todos os projetos, enquanto que a segunda parcela do risco é própria de cada projeto. Além disso, a diferença entre as duas expressões é a inclusão de inflação esperada na taxa nominal livre de risco TNLR. Nos dois casos é utilizado o mesmo símbolo k para a taxa
requerida.
k TRLR PR k TNLR PR
Como a primeira expressão da taxa requerida não considera a
inflação esperada, essa taxa deve ser utilizada para avaliar o fluxo de caixa do projeto construído em moeda constante,
cujas estimativas monetárias não incluem a correção futura dos preços devido à inflação, sendo as variações dos retornos
provenientes somente do ciclo do produto e das reações esperadas do mercado.
Nesse caso, a taxa requerida utilizada na avaliação do
projeto será do tipo real ajustada ao risco do projeto
k=TRLR+PR.
De forma equivalente, como a segunda expressão da taxa
requerida considera a inflação esperada, essa taxa deve ser
utilizada para avaliar o fluxo de caixa do projeto construído em moeda corrente, cujas estimativas monetárias incluem a
correção futura dos preços devido à inflação e as variações dos retornos provenientes do ciclo do produto e das reações
esperadas do mercado.
Para um mesmo nível de risco do projeto, a diferença entre as
duas expressões de taxa requerida é a inflação incluída na taxa nominal livre de risco.
Dessa maneira, a taxa requerida do projeto também se pode
expressar pela taxa de inflação j e a taxa real ajustada ao risco do projeto e compostas:
Nessa expressão, a taxa requerida k é o resultado da
composição da taxa de inflação j e da taxa real ajustada ao risco do projeto , as três taxas têm o mesmo período.
Resumindo, sendo as estimativas do projeto realizadas em
moeda constante, a taxa requerida será a própria taxa real ajustada ao risco do projeto, ou k=.
Nos dois casos, é utilizado o mesmo símbolo k para a taxa
requerida que pode ou não incluir a estimativa de inflação.
(1 ) (1 ) 1
Da forma como foi estabelecida uma relação de equivalência
entre dois capitais, também se estabelece uma relação de
equivalência entre um único capital e o fluxo de caixa ou série de capitais da mesma operação financeira, por exemplo, os
retornos periódicos de um projeto e seu presente na data inicial.
Nesse caso, também se conhece com certeza o que vai
acontecer no futuro e não há oportunidades de arbitragem.
O fluxo uniforme 2.3 é formado de n capitais uniformes A.
Seu presente P na data zero e a taxa de juro i com período igual à periodicidade dos capitais representa a operação denominada amortização.
A característica importante dessa operação é que P ocorre um
período antes do primeiro capital da série denominada
PRESENTE DO
0 1 2 3 n-1 n A A A A A i P 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) n n P A i A i A i i P A i
Exemplo 2.14. A economia anual proveniente da automação de uma parte do processo foi estimada em $12.500 por ano. Considerando o prazo de análise do projeto de cinco anos e a taxa requerida de 14% ao ano, determine o valor do projeto. Solução. O valor do projeto é $42.913,51, resultado obtido
com:
Esse resultado também se obtém com as teclas financeiras da calculadora financeira HP-12C. [f] [FIN] 12500 [PMT] 5 [n] 14 [i] [PV] 42.913,51 5 1 (1 ) 1 (1 0,14) $12.500 $42.913,51 0,14 n i P A i P
Como conclusão importante, considerando a taxa de juro de 14% ao ano, o presente $42.913,51 na data zero é equivalente ao fluxo de cinco capitais postecipados distribuídos
anualmente no prazo de análise do projeto do Exemplo 2.14 e, vice-versa, os cinco capitais da série são equivalentes a um único capital $42.913,51 na data zero.
Aplicando conceitos apresentados no Capítulo 1, para o
projeto do Exemplo 2.14 criar valor para a empresa o custo inicial do investimento deverá ser menor do que o presente da economia anual, $42.913,51, gerado durante os cinco anos de prazo de análise.
O valor criado pelo projeto será igual ao resultado da diferença ($42.913,51I), sendo I o custo inicial do projeto.
Por exemplo, se o custo inicial for $34.500, a aceitação do projeto gerará o valor de $8.413,51 para a empresa.
Exemplo 2.17. O investimento de $100.000 gerará três retornos anuais iguais e seguidos estimados em $43.440. Calcule a taxa esperada i do investimento.
Solução. Como não é possível obter a taxa esperada i de forma analítica, é utilizado um procedimento de tentativa e erro. Substituindo os dados do investimento na expressão de P, sendo i* a taxa esperada desconhecida:
O objetivo é encontrar a taxa esperada i* tal que o resultado do segundo membro seja igual a $100.000.
12 1 (1 0,0115) $1.950 0,0115 $21.740,82 P P
No procedimento de tentativa e erro se começa por definir uma taxa de juro inicial que será testada. Por exemplo, com i*=12%, obtém-se P=$104.335,5503, resultado obtido com:
Como o resultado é maior do que $100.000, a nova tentativa deve ser realizada com um valor de taxa maior.
Por exemplo, testando a taxa de juro i*=14%, obtém-se o novo presente $100.851,6953, registrado na tabela
seguinte.
Como o resultado continua sendo maior do que $100.000, será necessário testar uma taxa de juro maior. Por
exemplo, com i*=16%, obtém-se P=$97.561,4416.
Os resultados dessas duas tentativas mostram que a taxa de juro se encontra entre 14% e 16%, mais próximo de 14% do que de 16%. 3 1 (1 0,12) $43.440 $104.335,5503 0,12
Realizando uma interpolação linear entre as taxas 14% e 16%, obtém-se a taxa esperada de 14,52% ao ano, um resultado aproximado obtido com:
Diminuindo o intervalo dos valores de i*, será possível se aproximar do resultado exato i=14,5069%, obtido com a calculadora financeira HP-12C. [f] [FIN] 43440 [CHS] [PMT] 100000 [PV] 3 [n] [i] 14,5069% $100.851, 69 $100.000 14% 2% 14,517% $100.851,69 $97.561, 44
Os financiamentos são utilizados na compra de uma casa, de um carro, de eletrodomésticos, de roupas etc. como também para realizar uma viagem, fazer um curso, assegurar um carro etc.
Os financiamentos de médio e longo prazo são definidos numa planilha com a periodicidade dos pagamentos,
registrando o juro, a devolução parcial do valor financiado (denominado amortização) e o saldo devedor na data de
pagamento de cada parcela, ou prestação, recebendo o nome de Plano de Financiamento.
Na preparação de um plano de financiamento há duas regras que orientam e facilitam a construção de sua planilha.
A primeira regra estabelece que cada prestação do plano se refere a um determinado período de tempo. Por exemplo, um mês, um trimestre, um ano etc. e o valor de cada prestação PR do plano é o resultado da soma da amortização AM mais o juro J do período a que se refere a prestação: PR = AM + J. A segunda regra estabelece que a uma determinada taxa de
juro, o juro de cada prestação é sempre calculado sobre o
saldo devedor do financiamento no início do período a que se refere a prestação, por exemplo, o juro da primeira prestação é calculado sobre o valor financiado na data zero do plano. Por último, adiciona-se uma condição de estrutura do plano
de financiamento. Por exemplo, o plano de prestação
constante, de amortização constante, com prestação variável com gradiente linear etc.
Exemplo 2.19. Foram financiados $100.000 que serão
devolvidos em três prestações anuais. Considerando a taxa de juro de 14% ao ano, construa o plano de financiamento: 1) com prestações constantes postecipadas, e 2) com
amortização variável de $20.000, $30.000 e $50.000.
Solução. No primeiro caso, as três prestações constantes e postecipadas são iguais a $43.073,15, resultado obtido com a calculadora financeira HP-12C, e os restantes resultados
estão registrados na tabela. Essa tabela foi construída
aplicando as duas regras descritas e a estrutura de prestação constante do plano.
Na prestação de $43.073,15 do final do primeiro ano está
incluído o pagamento do juro $14.000 sobre o financiamento $100.000 considerando a taxa de juro de 14% ao ano, sendo que a outra parte da prestação, $29.073,15, amortiza o
financiamento resultando no saldo devedor de $70.926,85. No pagamento da prestação $43.073,15 no final do segundo
ano está incluído o pagamento do juro de $9.929,76 sobre o saldo devedor $70.926,85, sendo que a outra parte,
$33.143,39, amortiza o valor financiado resultando no saldo devedor $37.783,46.
Por último, na terceira e última prestação, de $43.073,15, está incluído o pagamento do juro $5.289,68 sobre o saldo
devedor $37.783,46 e é completada a devolução do
O segundo plano com as três amortizações variáveis de
$20.000, $30.000 e $50.000 e os restantes resultados estão registrados na tabela a seguir.
A prestação de $34.000 do final do primeiro ano é formada do
pagamento do juro de $14.000 sobre o financiamento de $100.000 mais a amortização de $20.000 do financiamento, resultando no saldo devedor $80.000.
A segunda prestação de $41.200 no final do segundo ano é
formada do pagamento do juro de $11.200 sobre o saldo
devedor $80.000 mais a amortização de $30.000, resultando no saldo devedor $50.000.
No final do terceiro ano, o pagamento da prestação de $57.000
Os resultados dos dois planos de financiamento do Exemplo 2.19 mostram que depois do pagamento de uma prestação honrada no seu valor, na data e no mesmo dia, o juro do período é zerado e o saldo devedor é igual à parte do financiamento ainda não amortizada.
Ao mesmo tempo, o valor de cada prestação deve ser igual ou maior do que o juro devido nessa data, pois nenhuma
prestação do plano de financiamento pode ser menor do que o juro calculado sobre o saldo devedor no início do período ao que se refere à prestação.
Essas conclusões se aplicam a qualquer plano de
financiamento, seja com periodicidade uniforme ou variável. No plano de financiamento com prestações constantes, os
resultados da amortização e do saldo devedor de cada
O projeto é aceito se o presente dos futuros retornos for maior do que o custo inicial, considerando certa taxa
requerida. De outra maneira, se o VPL for maior do que zero o projeto deve ser aceito, pois o capital será recuperado,
remunerado com a taxa requerida e o projeto ainda criará valor.
Se o VPL for igual a zero, o capital será recuperado e
remunerado com a taxa requerida, no entanto, não criará nem destruirá valor.
O Exemplo 2.21 mostra os resultados internos do juro, da amortização do custo inicial e do saldo do projeto quando o VPL é igual a zero ou, de forma equivalente, resultados
obtidos com a taxa esperada do projeto.
Exemplo 2.21. O projeto com prazo de análise de três anos e custo inicial de $100.000 gerará três retornos anuais de
$43.073,15. Analise a formação interna dos três retornos considerando a taxa esperada do projeto que deverá ser determinada.
Solução. A taxa esperada do projeto é 14% ao ano, resultado obtido com a calculadora financeira HP-12C. Como regra, cada retorno anual do projeto deve ser suficiente para
remunerar o saldo do projeto e amortizar parte do custo
inicial igual a $100.000 com sinal negativo para identificar o desembolso inicial.
O retorno $43.073,15 no final do primeiro ano remunera o juro $14.000 calculado com a taxa esperada de 14% ao ano sobre o capital inicial $100.000, e a parcela restante
$29.073,15 amortiza parte do custo inicial reduzindo o saldo do projeto para $70.926,85.
O retorno $43.073,15 no final do segundo ano remunera o juro $9.929,76, calculado sobre o saldo do projeto
$70.926,85, e a parcela restante, $33.143,39, amortiza parte do custo inicial reduzindo o saldo do projeto para
$37.783,46.
De forma equivalente, o retorno $43.073,15 no final do terceiro ano remunera o juro $5.289,68, calculado sobre o
saldo do projeto $37.783,46, e a parcela restante, $37.783,46, amortiza o restante do custo inicial reduzindo o saldo do
Os resultados numéricos da tabela do financiamento do Exemplo 2.19 com o plano de prestações constantes e do projeto do Exemplo 2.21 são iguais.
A diferença está no significado de cada parcela interna e no ponto de vista, de financiamento e de investimento.
A tabela das parcelas internas dos retornos será utilizada na análise do reinvestimento dos retornos do projeto e no
significado da taxa interna de retorno apresentado no Capítulo 6 do livro.
No Comentário dos Juros Compostos baseado no
investimento da tabela da Figura 2.2 deste capítulo foi mostrado que a taxa anual de retorno do capital investido depende do destino dado ao juro gerado anualmente.
A conclusão final é que para garantir a rentabilidade de 8% ao ano sobre o capital investido durante o prazo de
seis anos, tanto os juros anuais como o capital inicial deve ser reinvestido com a mesma taxa de juro de 8% ao ano até completar o prazo de seis anos.
No caso do projeto do Exemplo 2.21, o investimento de
$100.000 realizado na data inicial e os três retornos anuais e diferentes definem a taxa esperada do projeto de 14% ao ano.
COMENTÁRIO
Ao receber o retorno de cada ano a empresa poderá manter cada retorno sem remuneração, investi-lo até completar o prazo de três anos ou consumir cada um dos três retornos com taxa periódica de rentabilidade do capital inicial
diferente.
Tendo presente que cada retorno anual do projeto é suficiente para remunerar o saldo do projeto e amortizar parte do
investimento, para garantir que a rentabilidade do capital investido seja a taxa esperada do projeto durante o prazo de três anos, os retornos do projeto deverão ser reinvestidos com a mesma taxa esperada até completar o prazo de três anos.
Removendo a característica de uniformidade do valor dos retornos, tem-se o fluxo variável.
Começamos com a equivalência do presente do fluxo variável na data zero cujo procedimento de cálculo e as
conclusões obtidas se aplicam a qualquer tipo de fluxo, pois os fluxos apresentados até este momento estão incluídos no fluxo variável.
Exemplo 2.26. O fluxo dos cinco retornos do projeto está registrado na tabela a seguir. Calcule o presente dos retornos na data zero com a taxa requerida de 14% ao ano.
Solução. O presente P dos retornos na data zero é $12.003,37:
Com procedimento cash-flow da calculadora HP-12C. [f] [REG] 0 [g] [CFo] 3000 [g] [CFj] 4000 [g] [CFj] 4000 [g] [CFj] 3000 [g] [CFj] 3500 [g] [CFj] 1 2 5 1 2 5 1 2 3 4 5 1 1 1 $3.000 1,14 $4.000 1,14 $4.000 1,14 $3.000 1,14 $3.500 1,14 $12.003,3663 P A i A i A i P
Exemplo 2.31. Devido às interrupções de produção
provocadas pela falha do sistema de ar condicionado, foi preparado o projeto de substituição do compressor de refrigeração por um modelo mais moderno que também gerará economias de energia e redução do custo de
manutenção. O fluxo de caixa do projeto incluindo o custo inicial para compra e instalação do compressor na data zero e as economias anuais geradas durante cinco anos estão
registrados na tabela s seguir. Verifique se esse projeto deve ser aceito considerando a taxa requerida de 12% ao ano.
Solução. Nesse projeto, a periodicidade dos capitais é anual e o período da taxa de juro é anual. A soma dos presentes dos cinco retornos é $12.576,56, resultado obtido com:
Como o presente dos cinco retornos anuais na taxa requerida de juro de 12% ao ano, $12.576,56, é maior que o custo
inicial, $10.000, o projeto deve ser aceito.
1 2 5 1 2 5 1 2 3 4 5 1 1 1 $4.000 1,12 $4.000 1,12 $3.500 1,12 $3.000 1,12 $2.500 1,12 $12.576,56 P A i A i A i P P
Exemplo 2.32. Repita o Exemplo 2.31 utilizando o VPL.
Solução. O VPL do investimento é $2.576,56, resultado obtido com:
O VPL com o procedimento cash-flow da calculadora HP12C. [f] [REG] 10000 [CHS] [g] [CFo] 4000 [g] [CFj] 4000 [g] [CFj] 3500 [g] [CFj] 3000 [g] [CFj] 2500 [g] [CFj] 12 [i] [f] [NPV] 2.576,5563 1 2 5 0 1 2 5 1 2 3 4 3 1 1 1 $10.000 $4.000 1 0,12 $4.000 1 0,12 $3.500 1 0,12 $3.000 1 0,12 $2.500 1 0,12 $2.576,5563 VPL A A i A i A i VPL VPL
O procedimento de cálculo do VPL de um projeto é o mesmo que o do presente de uma série, apenas que o VPL identifica que o fluxo de caixa tem um capital na data zero, em geral um desembolso.
Mostraremos que a diminuição da taxa requerida aumenta o VPL do projeto e, vice-versa, o aumento da taxa requerida diminui o VPL.
Essa constatação prepara a definição e o procedimento de determinação da taxa interna de retorno do projeto.
Exemplo 2.33. O fluxo de caixa do projeto está registrado na tabela seguinte. Construa a tabela do VPL em função da taxa requerida de juro de 0% a 40% ano, com intervalo de 5%.
Solução. Na construção da tabela do VPL em função da taxa de juro i é utilizada a expressão do VPL incluindo o fluxo de caixa do projeto e a taxa de juro i como variável
independente. 1 2 3 4 5 6 7 $10.000 $1.500 1 $2.000 1 $3.000 1 $3.500 1 $4.500 1 $5.000 1 $6.000 1 VPL i i i i i i i
Substituindo os diversos valores de taxa requerida nessa expressão, obtém-se a seguinte tabela.
A análise dos resultados da tabela mostra que a taxa de juro tem forte influência no VPL do projeto, pois o VPL muda de sinal de positivo para negativo no intervalo de 20 e 25% onde há um valor de taxa de juro que anula o VPL.
Relacionando com o apresentado no Capítulo 1 e repetido neste capítulo, a taxa efetiva que anula o VPL é a taxa
esperada do projeto que também se denomina taxa interna de retorno ou TIR cujo valor se encontra no intervalo de 20% a 25%, mais próxima de 25% que de 20%.
O gráfico Perfil do VPL mostra a relação entre o VPL do projeto e a taxa de juro já antecipada na tabela anterior.
O projeto do Exemplo 2.33 é denominado simples porque o
VPL diminui com o aumento da taxa requerida.
O perfil do VPL desse tipo de projeto é sempre decrescente e
há características dessa curva que interessa destacar.
Por exemplo, para a taxa requerida igual a zero o VPL é
igual a $15.500, resultado da soma algébrica do custo inicial e dos retornos do projeto.
Aumentando a taxa requerida, há um valor de taxa que
anula o VPL sendo denominada taxa interna de retorno
TIR, tema desta parte do capítulo que é abordado com mais
detalhe no Capítulo 5 do livro.
Continuando a aumentar a taxa requerida, o VPL do
projeto tende ao valor do investimento inicial, pois o VPL é uma função decrescente da taxa requerida.
É importante que seja verificado esse tipo de perfil de VPL
por dois motivos. Primeiro, porque identifica o projeto do tipo simples com uma única mudança de sinal e, segundo, garante
Para garantir que o projeto crie valor para a empresa a condição de que a TIR seja maior que a taxa requerida é necessária, porém, não suficiente.
Porque para assegurar que a taxa de rentabilidade periódica do investimento seja a própria TIR, durante o prazo de
análise do projeto será necessário reinvestir todos os retornos gerados pelo projeto em outros projetos com a mesma TIR. No projeto do tipo simples a TIR é a taxa efetiva de juro do
fluxo de caixa e, conseqüentemente, a soma de todos os capitais de seu fluxo de caixa na data zero é sempre igual a zero, propriedade importante e útil.
Como essa propriedade pode ser estendida para qualquer data do fluxo de caixa do projeto, considerando a TIR a soma de todos os capitais em qualquer data do fluxo de caixa é
O procedimento de cálculo da TIR se fundamenta na sua
própria definição, a taxa de juro que anula o VPL do fluxo de caixa. Portanto, partindo do VPL:
Impondo a condição VPL=0, obtém-se a TIR procurada:
A taxa de juro que anula o VPL é um ponto de reversão da decisão de investimento, pois para valores de taxa requerida maiores do que a TIR o VPL do projeto do tipo simples é negativo e o projeto não deve ser aceito.
Entretanto, sendo a taxa requerida menor do que a TIR o VPL do projeto é positivo e o projeto deve ser aceito.
CÁLCULO DA TIR
1
2
0 1 1 2 1 1 n n VPL A A i A i A i 1 2 0 1 1 2 1 1 0 n n A determinação da TIR de um fluxo de caixa com n capitais é o cálculo das raízes de um polinômio de grau n.
Para n=2 o procedimento é bastante trabalhoso porque se obtém duas soluções das quais apenas uma solução
interessa e para n=3 é ainda mais trabalhoso.
Para uma série com n > 4 foi demonstrado que não é
possível expressar por meio de uma fórmula as raízes de uma equação de grau superior ao quarto quando os
coeficientes do polinômio são arbitrários.
Dessa maneira, para calcular a TIR é utilizado um
procedimento de tentativa como o do Exemplo 2.17 deste capítulo, ou um procedimento automático de tentativa e erro como o da calculadora financeira HP-12C ou da função
A desvantagem maior de um procedimento de tentativa e erro é a demora
para alcançar o resultado desejado com uma determinada tolerância predefinida.
O procedimento de tentativa e erro denominado método de
Newton-Raphson consegue em poucas tentativas alcançar o resultado desejado com a tolerância predefinida.
Para calcular a TIR também é utilizado um procedimento
automático de tentativa e erro como o da calculadora financeira HP-12C ou da função financeira TIR do Excel. Continuando com o projeto do Exemplo 2.33, o resultado exato da TIR igual a 23,40% utilizando o procedimento de cálculo do VPL, exceto a última instrução: [f] [REG] 10000 [CHS] [g] [CFo] 1500 [g] [CFj] 2000 [g] [CFj] 3000 [g] [CFj] 3500 [g] [CFj] 4500 [g] [CFj] 5000 [g] [CFj] 6000 [g] [CFj] [f] [IRR] 23,40%
Com a função financeira TIR do Excel, registrando numa
célula vazia de qualquer planilha do Excel a fórmula matricial =TIR({10;1,5;2;3;3,5;4,5;5;6};0,1) obtém-se a TIR do projeto igual a 23,40%. Verifique que, depois de dividir por 1.000 os valores dos capitais, o fluxo de caixa desse projeto está
A seguir são registradas algumas conclusões importantes dos
temas expostos que são dirigidas para a avaliação de projetos. No resultado do VPL do projeto há a premissa implícita de reinvestimento dos retornos do fluxo de caixa com a taxa requerida. Multiplicando e dividindo parte da expressão do
VPL por (1+i)n e depois de simplificar a expressão obtém-se a
segunda expressão:
O resultado do numerador da segunda parcela é a soma dos
futuros dos retornos no final do prazo de análise do projeto, o que põe em evidência a premissa implícita de reinvestimento dos retornos do projeto com a taxa requerida. Essa premissa explícita transcende o âmbito teórico, pois tem conseqüências práticas na avaliação de projetos de investimento como se
COMENTÁRIO
1 2
0 1 2 1 2 1 2 0 (1 ) 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n n n i VPL A A i A i A i i A i A i A VPL A i Depois de aceitar o projeto e durante seu prazo de análise os gerentes se empenharão para que as estimativas desse projeto se tornem realidade e se obtenha o VPL estimado.
Comprometer-se para que as estimativas se cumpram é uma condição necessária, porém, não é suficiente porque será necessário reinvestir todos os retornos gerados pelo projeto em outros projetos com a mesma taxa requerida.
Portanto, os gerentes deverão procurar novos projetos para reinvestir os retornos gerados pelo projeto anteriormente
aceito com a mesma taxa requerida e assim garantir a criação de valor estimado na aceitação desse projeto.
Depois de analisar o significado do resultado monetário do VPL, agora é a vez de analisar o significado da taxa TIR quanto à rentabilidade do capital investido.
Uma explicação foi obtida na conclusão do Comentário da Análise do Fluxo de Caixa do Projeto deste capítulo quando foi mostrado que para garantir que a rentabilidade do capital investido seja a taxa esperada do projeto durante o prazo de três anos, os retornos do projeto deverão ser reinvestidos com a mesma taxa esperada até completar o prazo de três anos. Outra explicação é obtida a partir da premissa implícita do
VPL como se pode ver no Capítulo 5 e a seguir também em um resumo.
Como a TIR é a taxa requerida que anula o VPL do projeto, para garantir o VPL nulo durante o prazo de análise do
projeto será necessário reinvestir todos os retornos gerados pelo projeto em outros projetos com a mesma TIR.
Se os retornos anuais forem remunerados com uma taxa menor do que a taxa esperada ou TIR, então o capital
investido também será remunerado com uma taxa menor do que a TIR.
De forma equivalente, se os retornos anuais forem
remunerados com uma taxa maior do que a TIR, então o capital investido também será remunerado com uma taxa maior do que a TIR.
Portanto, para garantir que a rentabilidade do capital
investido seja a TIR durante o prazo de análise, os retornos do projeto deverão ser reinvestidos até completar o prazo de análise com a mesma TIR.
Como um resumo, e antecipando outros métodos de avaliação de projetos, para garantir o VPL os retornos
deverão ser reinvestidos durante o prazo do projeto com a mesma taxa requerida utilizada para calcular o VPL.
Para garantir que a rentabilidade periódica do capital
investido seja a própria TIR do projeto os retornos deverão ser reinvestidos durante o prazo do projeto com a mesma TIR.
Como nem sempre será possível reinvestir os retornos do projeto com a taxa requerida desejada, o valor presente líquido integral VPLI apresentado no Capítulo 4 avalia o projeto considerando uma taxa de reinvestimento diferente. Da mesma maneira, a taxa interna de retorno integral TIRI
apresentada no Capítulo 5 avalia o projeto considerando uma taxa de reinvestimento diferente.
Antes de avaliar com a TIR se deve verificar se o projeto é do tipo simples, pois essa condição garante a existência de uma única TIR, por exemplo, como o projeto do tipo (, +, +, ..., +) do Exemplo 2.33, ou do tipo (,...,, +, ..., +) do projeto do Exemplo 4.7 do Capítulo 4 com mais de um desembolso seguido a partir da data zero.
Se o fluxo de caixa do projeto apresentar mais de uma
mudança de sinal do tipo (, +, , +, ..., +) do Exemplo 2.36 o projeto poderá ter mais de uma TIR.
A seguir é mostrado como determinar a existência e o
número TIR´s começando pela determinação da TIR de um projeto simples aplicando o procedimento analítico.
Exemplo 2.35. Determine a TIR do fluxo de caixa registrado na tabela.
Solução. Considerando que a TIR zera o VPL do fluxo de caixa, pode-se registrar a seguinte expressão:
1 2 0 1 2 0 (1 ) (1 ) A A A TIR TIR 2 0 1 2 2 (1 ) (1 ) 0 1.000 (1 ) 1.100 (1 ) 260 0 A TIR A TIR A TIR TIR 1 2 0,30 1, 20 TIR TIR
As duas raízes são soluções matemáticas da equação de segundo grau, entretanto, como solução financeira deve-se aceitar somente a TIR1=30%. A TIR2=120% não é solução financeira, pois é menor do que 100%, como mostrado no início deste capítulo.
O perfil de o VPL mostra a existência de uma única TIR maior do que 100%.
Exemplo 2.36. Determine a TIR do fluxo de caixa registrado na tabela.
Solução. Aplicando o procedimento de resolução do Exemplo 2.35 tem-se: 1 2 2 $2.550 $1.610 $1.000 0 (1 ) (1 ) 1.000 (1 ) 2.550 (1 ) 1.610 0 TIR TIR TIR TIR 1 2 15% 40% TIR TIR
Seja o fluxo de caixa com pelo menos um capital com sinal diferente dos restantes capitais.
Multiplicando os dois membros por (1+TIR)n se obtém o
polinômio P(1+TIR)=0:
DETECÇÃO DE MAIS DE UMA TIR
1 2 0 2 0 1 (1 ) (1 ) n n A A A A
TIR TIR TIR
1 2
0 (1 )n 1 (1 )n 2 (1 )n n 0
Nesse polinômio P(1+TIR)=0 de grau n:
Os coeficientes do polinômio são números reais, positivos ou negativos.
O polinômio tem n raízes de (1+TIR) que podem ser reais ou complexas. Como em matemática financeira deve-se atender à condição TIR > 1, ou de forma equivalente (1+TIR) > 0, se deduz que desse polinômio interessam somente as raízes reais e positivas.
O projeto do Exemplo 2.35 tem duas raízes reais (1+TIR1)=1,30 e (1+TIR2)=-0,20, porém, apenas a primeira é uma raiz real e positiva.
O projeto do Exemplo 2.36 tem duas raízes reais e positivas (1+TIR1)=1,15 e (1+TIR2)=1,40.
Como foi antecipado, antes de calcular a TIR deve-se verificar se o projeto é do tipo simples com uma única
mudança de sinal, pois garante a existência de uma única TIR maior do que 100%.
De outra maneira, antes de calcular a TIR deve-se verificar se o polinômio que representa o projeto tem mais de uma
solução real e positiva.
A regra dos sinais de Descartes aplicada ao fluxo de caixa do projeto ajuda a determinar o número possível de TIR’s, pois em um fluxo de caixa com coeficientes reais, o número de raízes (1+TIR) reais e positivas não é maior do que o número de mudanças de sinal dos capitais do fluxo de caixa e, se for menor, o será de um número par.
Aplicando a regra de Descartes, o fluxo de caixa do Exemplo 2.35 tem uma mudança de sinal (-, +, +) e pela regra dos
sinais há no máximo uma TIR que cumpre com a condição (1+TIR) > 0.
Da mesma forma, o fluxo de caixa do Exemplo 2.36 tem duas mudanças de sinal (-, +, -) e, pela regra dos sinais, há duas TIR’s ou nenhuma TIR maior do que -100%.
Com a regra dos sinais de Descartes se consegue determinar o número possível de TIR´s maiores que -100%, no entanto, não se consegue determinar quantas são, pois a quantidade de mudanças de sinal dos capitais nem sempre garante a
De forma complementar, a regra de Norstrom é um
procedimento útil para detectar a existência de uma única TIR real e positiva, ou TIR 0.
Para aplicar essa regra, primeiro se constrói a tabela seguinte para o fluxo de caixa de n capitais registrados nas duas
primeiras colunas da tabela.
Depois, em cada linha da terceira coluna são registradas as somas algébricas S dos capitais do fluxo de caixa da data
O fluxo de caixa do projeto terá uma única TIR real e
positiva, TIR 0, se forem atendidas simultaneamente as três seguintes condições:
O custo inicial do fluxo de caixa A0 deve ser negativo, S0<0.
A soma dos capitais Sn no final do prazo de análise n deve ser positivo, Sn>0.
O fluxo das somas S deve ter uma única mudança de sinal.
Exemplo 2.37. Verifique se os projetos dos Exemplos 2.35 e 2.36 têm uma única TIR positiva utilizando a regra de
Norstrom.
Solução. As duas primeiras colunas das duas tabelas
seguintes registram o fluxo de caixa do projeto indicado, e a terceira coluna as somas algébricas S dos capitais do fluxo de caixa da data inicial zero até o período em que a soma está sendo realizada.
A série de somas do projeto do Exemplo 2.35 mostra que o fluxo de caixa desse projeto tem uma única TIR real e
positiva.
Foram atendidas simultaneamente as três condições da regra de Norstrom, o capital inicial do fluxo de caixa é negativo $1.000, a soma dos capitais no final do terceiro ano é positiva e igual a $360, e a série de somas tem uma única mudança de sinal.
Da mesma maneira, a série de somas do projeto do Exemplo 2.36 não tem uma única TIR real e positiva, pois não foram atendidas as duas últimas condições da regra de Norstrom.
Nossos antepassados acreditavam que prever o futuro era tarefa
reservada aos deuses.
Com o lento transcorrer do tempo, a contínua observação e a
experiência acumulada foram mostrando que alguns eventos podiam ser previstos devido a sua regularidade de ocorrência, por exemplo, o dia e a noite, ciclos de calor e frio, fases da lua, movimentos do mar etc. dando origem a grandes avanços na agricultura, na navegação e outros.
De vez em quando alguma dessas regularidades era
interrompida, porém, depois retomava seu curso conhecido,
mostrando que a regularidade não devia ser aceita como certeza absoluta.
O desvio dessas regularidades deve ter alertado que os
resultados esperados dependiam também de outros fatores, por exemplo, o resultado da colheita na agricultura depende do tipo da terra de cultivo, da qualidade das sementes, da habilidade do agricultor, da demanda e da oferta do produto, da concorrência dos agricultores vizinhos e depois de outras cidades, outros
Citando Peter Bernstein “... A idéia revolucionária que define a
fronteira entre os tempos modernos e o passado é o domínio do risco: a noção de que o futuro é mais do que um capricho dos deuses e de que os homens e mulheres não são passivos ante a natureza. Até os seres humanos descobrirem como transpor essa fronteira, o futuro era um espelho do passado ou do domínio
obscuro de oráculos e adivinhos que detinham o monopólio sobre o conhecimento dos eventos previstos.... Ao mostrar ao mundo como compreender o risco, medi-lo e avaliar suas
conseqüências, (um grupo de pensadores cuja visão notável
revelou como pôr o futuro a serviço do presente) converteram o ato de correr riscos em um dos principais catalisadores que
impelem a sociedade ocidental moderna... Ao definir um processo racional de enfrentar riscos, esses inovadores
forneceram o ingrediente faltante que impeliu a ciência e as
empresas ao mundo da velocidade, do poder, das comunicações instantâneas e das finanças complexas, típicos de nossa
De forma geral, um resultado é incerto se pode ser diferente do esperado. Por exemplo, na prática, os retornos realizados do projeto podem ser diferentes dos retornos esperados
utilizados na avaliação.
Por conseguinte, a incerteza está relacionada com o desvio do fluxo de caixa esperado do projeto, seja favorável ou desfavorável.
Na análise qualitativa da incerteza dos retornos do projeto: Os retornos maiores que os esperados são bem recebidos
porque o valor presente líquido VPL também será maior que o esperado.
Entretanto, os retornos menores que os esperados não são bem recebidos porque o VPL será menor que o esperado. É por isso que os gerentes se preocupam com o desvio
desfavorável da incerteza, com a possibilidade de o retorno realizado ser menor que o esperado.
A incerteza dos retornos do fluxo de caixa provoca a
incerteza do VPL do projeto, manifestado na variabilidade dos resultados do VPL ao redor de seu valor esperado.
A variação favorável que aumenta o VPL esperado não incomoda. No entanto, a variação desfavorável preocupa porque o VPL do projeto será menor do que o esperado, podendo até ser negativo.
Assim sendo, a incerteza de não conseguir o VPL esperado é o que qualifica o projeto como arriscado, mas se o VPL
esperado for alcançado e superado a incerteza dos resultados não torna o projeto arriscado.
Portanto, na avaliação do projeto se inclui a análise e a medição do risco do desvio adverso do VPL ou da TIR. O procedimento de cálculo do VPL apresentado neste
Como vimos anteriormente, na avaliação do fluxo de caixa incerto o procedimento de cálculo do VPL pode ser mantido considerando as estimativas do projeto como variáveis
aleatórias definidas por uma distribuição de probabilidades com valor esperado e desvio-padrão.
Dessas estimativas aleatórias anuais obtêm-se os retornos aleatórios anuais do fluxo de caixa identificados por uma distribuição de probabilidades com valor esperado e desvio- padrão correspondentes.
Dos retornos aleatórios anuais e da equação do VPL obtém-se a nova variável aleatória VPL identificada por uma
distribuição de probabilidades com valor esperado e desvio- padrão correspondentes, medidas utilizadas na decisão de investimento.
Com a inclusão de uma medida de risco a avaliação do projeto adquire maior significado, pois se determina a
probabilidade do VPL ser positivo, maior ou menor do que um determinado valor etc.
No método de avaliação, o VPL esperado positivo orienta a aceitar o projeto e, ao mesmo tempo, a probabilidade de que isso ocorra aumenta a compreensão da avaliação.
Sendo a inclusão de uma medida de risco atraente para aumentar a compreensão da avaliação do projeto, é
apresentada, a seguir, uma revisão de conceitos da disciplina Estatística.
Sendo cada estimativa do projeto uma variável aleatória com certa distribuição de probabilidades ela é representada pelo seu correspondente valor esperado e desvio-padrão, ou
variância.
O valor esperado E[X] da variável aleatória discreta X com os valores {x1, x2, ..., xn} e correspondentes probabilidades
associadas {p(x1), p(x2), ..., p(xn)} é obtido com:
VALOR ESPERADO
1 1 2 2 1 [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
n n n j j j E X x p x x p x x p x E X x p x Exemplo 2.39. O gerente está analisando o projeto de modernização do sistema de informação com prazo de
análise de um ano. Da experiência e dos possíveis cenários futuros da economia, as estimativas do VPL do projeto e suas correspondentes probabilidades de ocorrência dos três
cenários Retração, Estável e Expansão estão registradas na tabela. Calcule o VPL esperado desse projeto.
Solução. O valor esperado E[VPL] da variável aleatória discreta VPL com três valores {$80.000, $150.000,
$230.000} e correspondentes probabilidades associadas
{0,25, 0,50, 0,25} é igual a $152.500, resultado obtido com:
[ ] $80.000 0, 25 $150.000 0,50 $230.000 0, 25
A soma ponderada do quadrado dos desvios se utiliza para definir a variância e o desvio-padrão da variável aleatória. Conhecido o valor esperado E[X] da variável aleatória X, a variância de X é obtida com:
O resultado da variância é sempre positivo e sua unidade de medida não tem nenhum significado prático, pois é o
quadrado da unidade de medida da variável.
Para a análise é mais conveniente utilizar o desvio-padrão da variável aleatória X definido como o resultado da raiz
quadrada positiva da variância, e cuja unidade de medida é a da própria variável.
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( )
X n n n X j j j x E X p x x E X p x x E X p x x E X p x 2 Exemplo 2.40. Calcule a variância e o desvio-padrão do VPL do projeto de modernização do sistema de informação do
Exemplo 2.39.
Solução. Conhecido o valor esperado E[VPL]=$152.500 da variável aleatória VPL, a variância de VPL é igual a
2.818.750.000, resultado obtido com:
O desvio-padrão da variável aleatória VPL é igual a $53.091,90, resultado obtido com:
2 2 2 2 2 ($80.000 $152.500) 0, 25 ($150.000 $152.500) 0,50 ($230.000 $152.500) 0, 25 2.818.750.000 VPL VPL 2.818.750.000 $53.091,90 VPL
Exemplo 2.41. As três estimativas da taxa interna de retorno TIR
e suas respectivas probabilidades de ocorrência dos cenários Retração, Estável e Expansão do novo projeto estão registradas na tabela. Calcule o valor esperado e o desvio-padrão da TIR desse projeto.
Solução. O valor esperado E[TIR] é igual a 14,90%:
A variância da TIR é igual a 0,0007690, resultado obtido com:
[ ] 0,10 0, 20 0,15 0,50 0,18 0,30 [ ] 0,1490 E TIR E TIR 2 2 2 2 2 (0,10 0,1490) 0, 20 (0,15 0,1490) 0,50 (0,18 0,1490) 0,30 0, 0007690 TIR TIR
A regra seguinte define a proporção de dados da variável que se encontram dentro de um, dois e três desvios-padrão ao
redor do valor esperado e também mostra uma maneira de analisar o significado do desvio-padrão.
Numa distribuição simétrica com forma de sino, a
probabilidade de que os valores da variável aleatória se distribuam no intervalo de um desvio-padrão ao redor do valor esperado é 68%. Ou, de outra maneira, 68% dos
valores da variável aleatória se distribuam no intervalo de um desvio-padrão ao redor do valor esperado.
Numa distribuição assimétrica com acentuada
inclinação para um lado, essa probabilidade se aproxima de 90%.
Numa distribuição simétrica com forma de sino, a
probabilidade de que os valores da variável aleatória se
distribuam no intervalo de dois desvios-padrão ao redor do valor esperado é 95%.
Numa distribuição assimétrica com acentuada inclinação para um lado essa porcentagem se aproxima de 100%.
Para todas as distribuições, a probabilidade de que os
valores da variável aleatória se distribuam no intervalo de três desvios-padrão ao redor do valor esperado é 100%.
Como primeira conclusão dessa regra, o desvio-padrão é uma
medida absoluta e considera que os desvios se distribuem ao redor da média.
A segunda conclusão importante é que todos os valores da
variável aleatória se encontram no intervalo de três desvios-padrão ao redor do valor esperado, pois a probabilidade de que os valores da variável aleatória se distribuam no intervalo de três desvios-padrão ao redor do valor esperado é 100%.
O Exemplo 2.41 mostra que o valor esperado e o
desvio-padrão da TIR são iguais a, respectivamente, 14,90% e 2,77%. Considerando que a distribuição dos três cenários da TIR seja
simétrica, 68% dos resultados da TIR variam no intervalo de um desvio-padrão ao redor do valor esperado, ou no intervalo de 12,13%=14,90%2,77% a 17,67%=14,90%+2,77%.
Além disso, 95% dos resultados da TIR variam no intervalo de dois desvios-padrão ao redor do valor esperado, ou no
intervalo de 9,36% a 20,44%.
Por último, 100% dos possíveis resultados da TIR variam no intervalo de três desvios-padrão ao redor do valor esperado, ou no intervalo de 6,59% a 23,21%.
Finalmente, todos os valores da TIR se encontram no intervalo de variação de 16,62%=6×2,77% correspondente a seis
A avaliação do projeto pode ser realizada com duas medidas, o valor esperado e o desvio-padrão do VPL ou da TIR.
Quanto à primeira, se o valor esperado do VPL do projeto for maior do que zero o projeto deve ser aceito e, de forma
equivalente, se o valor esperado da TIR for maior do que a taxa requerida o projeto simples deve ser aceito.
O desvio-padrão do projeto pode ser utilizado, por exemplo, na seleção do melhor projeto de um grupo de projetos
mutuamente excludentes, e para determinar a probabilidade do VPL do projeto ser maior ou menor do que certo valor, e de forma equivalente com a TIR.
Sejam os projetos A, B e C com o mesmo prazo de análise e cujo valor esperado e desvio-padrão da taxa interna de
retorno TIR estão registrados na tabela.
O projeto A é melhor que o B, pois a igualdade de retorno, o desvio-padrão de A é menor que o do B, ou o risco do projeto A é menor que o do B.
Como foi mostrado, considerando dois desvios-padrão ao redor do valor esperado, o intervalo da TIR do projeto A é 0% a 24% e o do projeto B é 12% a 36%.
Na comparação entre os projetos A e C ou B e C não deve ser utilizado o desvio-padrão, pois o valor esperado dos projetos é diferente.
Portanto, a comparação de dois projetos pelo simples
confronto de seus desvios-padrão nem sempre é possível, salvo que seus valores esperados sejam iguais. Entretanto e de forma geral, dois projetos podem ser comparados com o coeficiente de variação CV determinado com:
Como o coeficiente de variação CV mede a variabilidade ou risco por unidade de valor esperado, quanto menor for CV menor também será o risco.
Portanto, quanto menor o coeficiente de variação do projeto menor é seu risco.
[ ] X X CV E X
Com os coeficientes de variação dos três projetos registrados na terceira linha da tabela se pode ordenar os três projetos, de menor a maior risco, C, A e B.
Na comparação de dois projetos, o risco do projeto com menor CV é menor que o risco do projeto com maior CV.
Comparando os coeficientes de variação dos projetos A e C se deduz que o projeto C tem menor risco que o projeto A, pois apresenta menor risco por unidade de valor esperado.
Os coeficientes de variação dos projetos B e C mostram que o risco do projeto C é menor que o do projeto B.
A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística e sua vantagem reside na
facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, o valor esperado e o desvio-padrão da distribuição.
Por exemplo, a curva da distribuição normal f(x) com valor esperado 40, e desvio-padrão 10 e valores da
variável aleatória no intervalo de seis desvios-padrão (10, 70) é mostrada na Figura 2.10.
Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros é possível realizar inferências, por exemplo, a
percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre dois
valores definidos etc.
Para qualquer valor do desvio-padrão, na distribuição normal
praticamente 100% dos possíveis resultados da variável aleatória se distribui no intervalo de três desvios-padrão ao redor do valor esperado.
Portanto, se para o mesmo valor esperado o desvio-padrão
aumentar a base da distribuição normal será maior e,
conseqüentemente, sua altura será menor para manter a área de 100%. Da mesma maneira, para o desvio-padrão menor a base da distribuição diminui e sua altura aumenta.
Portanto, para cada par de parâmetros, valor esperado e
desvio-padrão há uma curva diferente de distribuição normal.
Embora não haja apenas uma única distribuição normal e sim
uma família de distribuições normais, elas mantêm algumas propriedades em comum como a porcentagem de resultados ao redor do valor esperado.
Em qualquer distribuição normal 68,27% dos valores da
variável X se distribuem no intervalo de um desvio-padrão ao redor o valor esperado, 95,45% dos valores se distribuem no intervalo de dois desvios-padrão, e 99,73% se distribuem no
Suponha que a TIR do projeto tem distribuição normal com valor esperado de 20% ao ano e desvio-padrão de 9%.
Numa primeira análise se deduz que 50% dos valores da TIR do projeto será igual ou menor a 20% e as restantes 50% será igual ou maior a 20%, pois o valor esperado de 20% divide a distribuição normal em duas áreas iguais e com a mesma
probabilidade de 50%.
Outra dedução importante é que todos os possíveis resultados se encontram no intervalo de três desvios-padrão,
39%=27%, ao redor do valor esperado de 20% e, portanto, a TIR do projeto é um valor entre 7% e 47% ano.
Como esses resultados mostram que a TIR pode ser menor que a taxa requerida positiva e até ser negativa, como
investidor seria útil avaliar a probabilidade da TIR superar o valor da taxa requerida do projeto.
A mesma análise se pode realizar com o VPL do projeto como mostra o Exemplo 2.43.
Exemplo 2.42. O VPL do projeto tem distribuição normal com valor esperado $1.000 e desvio-padrão $450. Calcule a probabilidade de o VPL ser maior do que zero.
Solução. O VPL do projeto com distribuição normal, valor esperado $1.000 e desvio-padrão $450 mostra que 50% dos resultados do VPL do projeto será igual ou menor a $1.000 e os restantes 50% será igual ou maior a $1.000, pois o valor esperado de $1.000 divide a distribuição normal em duas áreas iguais e com a mesma probabilidade de 50%.
Como todos os possíveis resultados do VPL se encontram no intervalo de três desvios-padrão, 3$450=$1.350, ao redor do valor esperado de $1.000, o VPL do projeto é um valor no
intervalo de $350 a $2.350.
Esse intervalo mostra que o VPL do projeto pode ser menor que zero e até negativo e seria útil determinar a probabilidade do VPL ser negativo ou, de forma
Com a fórmula =1DIST.NORM(0;1000;450;VERDADEIRO)
registrada numa célula vazia de qualquer planilha Excel se obtém o resultado 0,987 que é a probabilidade de VPL > 0.
De forma complementar, a probabilidade de o VPL ser
negativo é 0,013 ou 1,3%.
Ao resultado do VPL esperado $1.000 do projeto é adicionada a
probabilidade do VPL ser positivo igual a 98,7%.
Se a gerencia considerar, por exemplo, que $860 seja o
mínimo VPL do projeto que se deva aceitar, a probabilidade de que o VPL do projeto seja menor do que $860 é 37,8%
resultado obtido com
=DIST.NORM(860;1000;450;VERDADEIRO).
A redução das incertezas das estimativas do projeto diminui o
desvio-padrão do VPL do projeto. Por exemplo, se em vez de
$450 o desvio-padrão do VPL for igual a $225, a probabilidade do
VPL ser positivo é 1005, e a probabilidade do VPL ser menor do
que $860 é 26,7%.
