Contextualidade e grafos

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

RAFAEL FREITAS DOS SANTOS

Contextualidade e grafos

Campinas

2018

Contextualidade e grafos

Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada.

Orientador: Marcelo de Oliveira Terra Cunha

Este exemplar corresponde à versão

final da Dissertação defendida pelo

aluno Rafael Freitas dos Santos e

ori-entada pelo Prof. Dr. Marcelo de

Oli-veira Terra Cunha.

Campinas

2018

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Santos, Rafael Freitas dos,

Sa59c SanContextualidade e grafos / Rafael Freitas dos Santos. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.

SanOrientador: Marcelo de Oliveira Terra Cunha.

SanDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

San1. Física matemática. 2. Teoria quântica. 3. Teoria dos grafos. I. Terra-Cunha, Marcelo de Oliveira, 1973-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Contextuality and graphs Palavras-chave em inglês:

Mathematical physics Quantum theory Graph theory

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Mestre em Matemática Aplicada Banca examinadora:

Marcelo de Oliveira Terra Cunha [Orientador] Rafael Luiz da Silva Rabelo

Ricardo Antônio Mosna

Data de defesa: 15-03-2018

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). MARCELO DE OLIVEIRA TERRA CUNHA

Prof(a). Dr(a). RICARDO ANTONIO MOSNA

Prof(a). Dr(a). RAFAEL LUIZ DA SILVA RABELO

Nesta dissertação apresentamos uma abordagem operacional que formaliza matematica-mente medições que podem ser implementadas num sistema físico genérico, tal abordagem está incluída nas teorias de probabilidades generalizadas (GPT’s). Definido o palco das GPT’s, apresentamos o conceito de contextualidade, o conceito central desta dissertação e que responde algumas questões quanto a (não)classicidade da teoria quântica. Em seguida, apresentamos o conceito de localidade como um caso particular muito especial da não-contextualidade. E por fim, exibimos alguns resultados envolvendo teoria de grafos para estudar esses aspectos da teoria quântica.

In this dissertation we present an operational approach that formalizes matematicaly measurements that can be implemented in a generic physical system, such an approach is included in the generalized probability theories (GPT’s). Defined this scenario about GPT’s, we present the concept of contextuality, the central concept of this dissertation and that answer some questions about the (non)classicity of the quantum theory. Following, we show the concept of locality, such as a particular so special case of non-contextuality. And finally, we show some results involving graph theory to study these aspects inside the quantum theory.

Introdução . . . 10

1 TEORIAS DE PROBABILIDADES GENERALIZADAS . . . 12

1.1 Estados e medições . . . 12

1.2 Cenário de compatibilidade . . . 13

1.3 Algumas teorias probabilísticas . . . 18

1.3.1 Teoria clássica de probabilidades . . . 18

1.3.2 Teoria quântica de probabilidades . . . 20

1.4 A hipótese de não-contextualidade . . . 25

2 CONTEXTUALIDADE . . . 31

2.1 Sobre a hipótese de não-contextualidade . . . 31

2.1.1 Sobre o conjunto clássico . . . 38

2.1.2 Sobre o conjunto quântico . . . 40

2.2 Teorema de Bell-Kochen-Specker . . . 43

2.3 Outras demonstrações do Teorema de Bell-Kochen-Specker . . . 47

2.3.1 Algumas demonstrações multiplicativas . . . 48

3 LOCALIDADE . . . 52 3.1 Cenário de Bell . . . 52 3.1.1 Condição de não-sinalização . . . 54 3.1.2 Condição de localidade . . . 57 3.1.3 Conjunto quântico . . . 59 3.2 Cenário (2,2,2) . . . 60 3.2.1 Desigualdade CHSH . . . 60 3.2.2 Teorema de Bell . . . 61 3.2.3 Cota de Tsirelson . . . 63 4 GRAFOS E CONTEXTUALIDADE . . . 66 4.1 Grafo de Exclusividade . . . 66 4.2 Os invariantes de grafos . . . 70

4.2.1 O conjunto estável STAB(G) . . . 71

4.2.2 O Grötschel-Lovász-Schrijver theta-body TH(G) . . . 72

4.2.3 O conjunto QSTAB(G) . . . 74

4.3 Aspectos geométricos do STAB(G), TH(G) e QSTAB(G) . . . 76

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 84

Introdução

Ao lançarmos uma moeda podemos predizer com absoluta certeza se obteremos cara ou coroa? Esta pergunta ingênua pode trazer algumas reflexões quanto ao uso das probabilidades para descrever fenômenos físicos. Será que se conhecermos completamente o efeito de todas as variáveis que interferem nesse processo seríamos capazes de determinar o resultado?

Uma intuição nos induziria a pensar que sim, se conhecermos o efeito da distribuição da massa nessa moeda, das suas dimensões físicas, o efeito do lançador da moeda, da velocidade do vento, da temperatura e pressão do ambiente, ... etc, poderemos prever o resultado de um lançamento. Mas ainda assim, isso seria uma intuição. Numa descrição simplista, dizemos que a probabilidade de obter cara e coroa são iguais e, portanto, a probabilidade de cada resposta seria igual a 1/2. Aqui, as probabilidades surgem para descrição desse fenômeno físico devido a uma incapacidade de um completo conhecimento sobre o que está ocorrendo no processo de lançar uma moeda.

Mas será que somos capazes de obter total conhecimento sobre os eventos que ocorrem na natureza? Caso afirmativo, seria possível uma espécie de “completamento” dessa falta de informação total e, assim, alcançarmos uma descrição que seja consistente com essa intuição clássica? Ou, de fato, a natureza seria probabilística e máxima informação que podemos obter sobre ela são probabilidades?

Gostando ou não de “apenas” probabilidades, teorias sobre probabilidades se apresentam como excelentes descrições de fenômenos físicos. Motivo suficiente para a humanidade ao longo do tempo se esforçar no sentido de compreender melhor essas descrições. Nesse sentido, desde o fim do século XIX, a teoria quântica, uma das teorias de maior sucesso da história da humanidade, vem chamando bastante atenção por ser uma teoria probabilística e que, por diversas razões, incomoda bastante a comunidade científica.

Em grande parte, esse incômodo está associado ao fato de ela apresentar fenômenos contra-intuitivos que estão além de uma compreensão clássica. Mas em qual sentido ela apresenta essas propriedades além dessa intuição clássica? E será que de alguma forma ela pode ser consistente com uma descrição clássica? Ou, de fato, ela está além desse universo clássico? Pessoas de diferentes linhas de pensamento poderiam dar várias respostas a essas perguntas. No entanto, neste trabalho vamos olhar para a teoria quântica e a teoria clássica dentro de um mesmo palco, ambas como casos particulares de um cenário de teorias de probabilidades generalizadas (GPT) e explorar aspectos em contextualidade e não-localidade.

Fixando um cenário no qual várias teorias de probabilidades podem ser definidas, sejam elas clássicas, quânticas ou de qualquer outra natureza possível, podemos de alguma forma comparar essas classes de teorias. Nesse sentido, teoria de grafos vem se apresentando como uma estratégia para se estudar questões associadas a contextualidade.

No capítulo 1, apresentamos uma abordagem das teorias de probabilidades generalizadas, que é uma abordagem operacional capaz de apresentar as teorias clássica, quântica e outras classes de teorias como casos particulares. No capítulo 2 dissertamos sobre a hipótese de não-contextualidade e mostramos em que sentido a teoria quântica se apresenta como uma teoria contextual. No capítulo 3, apresentamos a localidade como um caso particular muito especial da não-contextualidade. E no capítulo 4 apresentamos uma abordagem via teoria de grafos que surge como uma estratégia para se explorar aspectos em contextualidade.

1 Teorias de probabilidades generalizadas

Neste capítulo vamos apresentar uma abordagem operacional. Tal abordagem é capaz de formalizar matematicamente um cenário que, de um modo conceitual, descreve um sistema físico genérico e medições que podem ser realizadas neste sistema. Definido esse palco, vamos apresentar os cenários de compatibilidade, que são os cenários cara-terizados pelas medições num sistema físico e suas relações de comensurabilidade. Feito isso, apresentamos as teorias de probabilidades clássica e quântica como casos particulares. E por fim, vamos apresentar a hipótese de não-contextualidade, a hipótese central para encararmos esse problema sobre a classicidade da teoria quântica.

1.1

Estados e medições

Vamos introduzir nesta seção uma abordagem operacional que descreve de um modo conceitual como caracterizar estados e medições em um sistema físico genérico. Para o leitor que deseja uma outra leitura sobre esse tipo de abordagem, veja (AMARAL; TERRA CUNHA,2018) e para leituras com outras abordagens semelhantes, veja (LIANG; SPEKKENS; WISEMAN, 2011) e (BARRET, 2007). Nesta seção, queremos basicamente responder a uma questão: Como descrever matematicamente estados e medições? Em outras palavras, quais objetos matemáticos podem caracterizar estados e medições?

Vamos supor aqui que nos experimentos que podem ser realizados em um sistema físico existem dois tipos intervenções possíveis: preparações e operações. As operações sobre um sistema precisam ser reprodutíveis, ou seja, deve ser possível repetir uma mesma operação sobre cópias de um sistema quantas vezes se queira, de forma que podemos contar as frequências relativas de determinadas respostas que o sistema retorna. Dessa forma, somos capazes de atribuir probabilidades para as saídas de determinadas operações. Preparações podem ser comparadas através das estatísticas associadas às operações, e assim, podemos definir um estado.

Definição 1.1 (Estado). Duas preparações são equivalentes se elas fornecem a mesma

ditribuição de probabilidades para todas as operações disponíveis. A classe de equivalência das preparações é chamada de um estado.

Toda operação pode ser classificada em dois tipos, ela pode ser uma transfor-mação ou uma medição. As medições podem ser definidas como:

Quando queremos obter qualquer informação possível sobre o estado de um sistema temos apenas as medições como um recurso para tal tarefa. São as medições que nos fornecem informação sobre o estado do sistema, já que elas são as únicas operações que fornecem uma resposta ao observador. Já as transformações apenas levam um estado a outro estado e não conseguimos inferir algo sobre o que exatamente acontece em tal processo. Inferir algo sobre uma transformação pode ser feito, indiretemente, mas apenas via preparações e medições.

Aqui vamos supor que a máxima informação que possa ser obtida sobre um sistema físico genérico sejam as probabilidades de saídas de um certo conjunto de medições que podem ser realizadas. Se dizemos que a probabilidade de um evento ocorrer é 1 ou 0, determinamos se tal evento ocorrerá ou não. Uma visão determinística não é automati-camente descartada quando assumimos que uma determinada teoria é probabilística, as probabilidades podem surgir como fruto de uma ignorância inerente à descrição do sistema e/ou medições.

Haja visto que o estado de um sistema tenta caracterizar a condição em que ele se encontra, condição esta que tenta incorporar todas as suas propriedades, e que as probabilidades são essa máxima informação que podemos obter, nada mais justo definir os estados como essa classe de equivalência. Se dois sistemas fornecem a mesma probabilidade para todas as saídas de todas as medições possíveis, então eles estão no mesmo estado, pois eles se inserem numa mesma classe de equivalência que não permite uma distinguibilidade entre eles. Vamos denotar por S o espaço de estados. Vamos nos preocupar neste trabalho em estudar o caso onde temos uma quantidade finita de operações e cada medição tem também um conjunto finito de saídas. Ou seja, a máxima informação que podemos obter de um estado é um vetor cujas entradas sejam probabilidades.

1.2

Cenário de compatibilidade

Essa abordagem operacional genérica na qual definimos estados e medições na seção anterior não é suficente ainda para estabelecermos uma teoria de probabilidades como gostaríamos aqui. Precisamos que nossos estados e medições apresentem mais algumas propriedades. Uma das propriedades mais cruciais está associada a repetibilidade das medições sobre um dado estado.

Definição 1.3 (Repetibilidade das medições). Uma medição A tem saídas repetíveis se

toda vez que a medição A é realizada em um sistema e uma saída i é obtida, uma medição subsequente de A no mesmo sistema retorna a mesma saída i com probabilidade 1.

Suponhamos, por exemplo, que tenhamos uma caixa com várias bolas, metade delas azuis e a outra metade branca. Aleatoriamente, vamos escolher uma dessas bolas

para “medir” sua cor. Aqui, o processo de medição consiste numa simples verificação da cor da bola escolhida e cada uma das duas possíveis saídas são associadas a uma das cores azul ou branco. Ao realizar essa operação, obtemos como saída a cor azul. Ao realizarmos, essa mesma medição sequencialmente nesta mesma bola, não podemos ter como saída nada diferente de azul, ou seja, uma medição subsequente nos retorna a mesma saída com probabilidade igual a 1.

Cabe aqui nos perguntarmos agora sobre um processo de medição de massa dessas bolas. Essa medição de massa, que pode ser realizada sobre o sistema, é completa-mente independente da medição da cor dessas bolas? Nossa intuição clássica, nos induz a pensar que sim. Se temos duas medições dintintas que podem ser realizadas sobre um mesmo sistema, a realização de uma delas pode inteferir na outra? Até que ponto podemos confiar em nossa intuição para responder uma pergunta desta natureza?

Suponhamos agora que a medição de cor que realizamos sobre o sistema das bolas dentro da caixa nos tivesse retornado como resposta uma cor branca. Será que uma medição de massa subsequente nos retornaria uma resposta diferente da que obtivemos na primeira medição de massa na bola azul? Como correlacionar essas medições?

Ao obtermos uma determinada saída após realizarmos uma medição A veri-ficamos que tal saída tem uma probabilidade não-nula de ocorrer e daí, ganhamos uma informação sobre o sistema. No entanto, se assumimos que tal medição respeita a proprie-dade de repetibiliproprie-dade podemos perder informação das possíveis saídas de uma medição B que poderia ser realizada sobre esse estado inicial. Ou seja, realizar uma medição A pode estar associado também a perdemos informação sobre um medição B.

Por outro lado, podemos usar essa propriedade da repetibilidade para preparar-mos estados no qual tepreparar-mos completa informação sobre uma medição A e, potencialmente, sobre um outro conjunto de medições que podem ser realizadas. Ou seja, podemos usar essa propriedade de um modo conveniente. Discutiremos isso em mais detalhes nas próximas sessões.

Para classificar medições que podem (ou não) ser realizadas conjuntamente, sem que umas afetem às outras, precisamos analisar as possíveis distribuições de probabilidade que elas nos fornecem. Uma das definições mais importantes nesse sentido está associada ao conceito de compatibilidade das medições.

Vamos denotar por ppi|Aq como a probabilidade da saída i ao ser realizada a medição A.

Definição 1.4 (Compatibilidade). Dadas as medições A1, A2, ..., An

(

com saídas re-petíveis, dizemos que elas são compatíveis se existe uma outra medição A com saídas

fip 1, ..., m(q e

ppk|Aiq “

ÿ

jPf_i´1pkq

ppj|Aq. (1.1)

A medição A é chamada de refinamento das medições A1, A2, ..., An

(

, medições estas que podem também ser vistas como coarse grainings da medição A.

Medições compatíveis são comensuráveis, ou seja, podem ser realizadas conjun-tamente sem que a realização de uma delas perturbe o resultado de outras. Ou simplesmente bastaria realizar a medição associada ao refinamento em comum e, se conhecida todas as relações de marginalização, calcular as probabilidades das saídas de todas as medições.

As relações de compatibilidade/incompatibilidade das medições tomam um papel relevante inserido no cenário de uma GPT. Num primeiro instante, a incompatibili-dade das medições pode soar como algo estranho, mas para o leitor acostumado com teoria quântica não é nenhuma novidade essa propriedade das medições, lá é a incompatibilidade que ganha um papel central. Nas próximas seções vamos exibir exemplos de teorias de probabilidade que apresentam medições dessas duas naturezas.

Dado um conjunto de medições que podem ser realizadas num determinado sistema físico, podemos definir um contexto por:

Definição 1.5 (Contexto). Um contexto é um conjunto de medições compatíveis.

E como um conjunto maximal de medições compatíveis:

Definição 1.6 (Contexto maximal). Dado um conjunto de medições, dizemos que um

contexto é maximal se nenhum outro contexto o contém propriamente.

Ou seja, fixado um conjunto de medições que podem ser implementadas num sistema físico, caracterizamos como um contextos maximais os respectivos subconjuntos maximais que podem ser medidos conjuntamente.

Diante de tais definições, podemos agora definir um cenário de compatibilidade como:

Definição 1.7 (Cenário de compatibilidade). Um cenário é definido como uma tripla `X, O, C˘, no qual o conjunto X é o conjunto de todas medições que podem ser

implemen-tadas com as suas respectivas sáidas O e o conjunto C é formado pelos subconjutos de X que formam os contextos maximais.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1.1. Seja o cenário definido pela tripla `X, O, C˘, na qual

O “ 1, ´1(;

C “ M1, M2(, M1, M3(, M2, M3((.

Ou seja, este cenário contem 3 medições, sendo que cada uma delas tem duas saídas distintas e elas são duas a duas compatíveis entre si.

Como um outro exemplo:

Exemplo 1.2. Consideremos o cenário definido pela tripla `X, O, C˘, na qual

X “ M1, M2, M3(;

O “ 1, ´1(;

C “ M1, M2, M3((.

Neste cenário temos também 3 medições, nas quais cada uma delas tem duas saídas distintas e todas elas formam conjuntamente um contexto maximal.

Dado um cenário, podemos representar as relações de compatibilidade via representações por grafos. Podemos assim definir um hipergrafo de compatibilidade como:

Definição 1.8 (Hipergrafo de compatibilidade). O hipergrafo de compatibilidade de um

cenário`X, O, C˘ é o hipergrafo H “ pX, Cq, cujos vértices são representados pelas medições X e as hiperarestas representadas pelos contextos maximais C.

As Figuras 1 e 2 apresentam os hipergrafos de compatibilidade dos cenários dos Exemplos 1.1 e 1.2, respectivamente. Nesta dissertação, em geral, as figuras de um hipergrafo serão compostas por vértices em azul e as hiperarestas serão elipsóides coloridos.

Figura 1 – Hipergrafo de compatibilidade do cenário do Exemplo 1.1

Figura 2 – Hipergrafo de compatibilidade do cenário do Exemplo 1.2

Definição 1.9 (Grafo de compatibilidade). O grafo de compatibilidade de um cenário

`X, O, C˘ é o grafo pX, Eq no qual os vértices são representados pelas medições X e dois

vértices são adjacentes se , e somente se, as respectivas medições são compatíveis.

Em outras palavras, um grafo de compatibilidade pode ser obtido pelo hipergrafo de compatibilidade mantendo os mesmos vértices e ligando por arestas dois vértices se, e somente se, existir algum contexto que os contém.

Vejamos, por exemplo, que os dois hiper-grafos de compatibilidade dos Exemplos

1.1 e 1.2 geram o grafo de compatibilidade da Figura 3 para ambos. Aqui, os vértices continuam sendo representados em azul, enquanto as arestas estarão em preto.

Figura 3 – Grafo de compatibilidade dos cenário dos Exemplos 1.1 e 1.2

Vejamos que os grafos que carregam informações sobre a compatibilidade das medições de um cenário não levam em consideração as informações associadas às saídas de cada uma das medições. Os grafos de exclusividade, que vamos definir no capítulo 4, incorporam essas informações que são essenciais em um dado cenário. Vamos discutir mais sobre esse assunto no capítulo 4.

Fixado um cenário de compatibilidade, queremos agora atribuir probabilidades às possíveis saídas de todas as suas medições. Mas como faremos isso? Qual teoria probabilística usaremos para tal tarefa? Na próxima seção vamos definir os modelos probabilísticos clássico e quântico. Nessa dissertação, eles serão dois modelos centrais de interesse.

1.3

Algumas teorias probabilísticas

Nesta seção apresentamos dois modelos probabilísticos de maior intesse nessa dissertação como casos particulares de uma teoria de probabilidades generalizadas.

1.3.1

Teoria clássica de probabilidades

Uma teoria de probabilidade clássica aqui é a teoria de probabilidades que foi axiomatizada por Kolmogorov na década de 1930, mais detalhes em (SHIRYAEV; WILSON, 1995). Queremos reescrever esses axiomas de Kolmogorov numa linguagem que se adapte à essa abordagem operacional para estados e medições que caracterizamos na seção 1.1. Em outras palavras, como vamos atribuir probabilidades às saídas de uma determinada medição M dentro dessa abordagem operacional?

Para definir uma medida de probabilidade clássica, precisamos definir um espaço mensurável pΩ, Σq, no qual Ω é um espaço amostral e Σ é uma σ-álgebra sobre esse espaço mensurável. Aqui, o nosso espaço amostral Ω será o espaço das possíveis saídas de uma medição M . Vejamos que o conjunto das partes de Ω, que inclui também o conjunto vazio, forma uma σ-álgebra Σ sobre esse espaço amostral.

Haja visto que neste trabalho nos restringimos a medições com um conjunto finito de saídas, a nossa σ-álgebra Σ terá 2n elementos, sendo n a cardinalidade do conjunto Ω, que é a quantidade de saídas da medição M . Podemos assim definir um espaço mensurável pelo conjunto pΩ, Σq.

Definição 1.10 (Medida de probabilidade clássica). Definimos uma medida de

probabili-dade µ num espaço mensurável pΩ, Σq como uma função µ : Σ Ñ r0, 1s tal que:

1. Se os elementos de uma coleção enumerável Ai de subconjuntos de Σ são disjuntos

par a par, então

µpď i Aiq “ ÿ i µpAiq. (1.2) 2. µpΩq “ 1. (1.3)

1.

µp∅q “ 0. (1.4)

2. Se A Ă B Ă Σ, então

µpAq ď µpBq. (1.5)

Definição 1.11 (Teoria clássica de probabilidades). Uma teoria de probabilidades clássica

é uma teoria tal que qualquer medição M está biunivocamente associada a uma partição Ai

do espaço amostral Ω dentro de sua σ-álgebra Σ e o estado é uma medida de probabilidade clássica µ sobre esse espaço mensurável pΩ, Σq. A probabilidade de uma saída i ocorrer caso a medição M seja realizada é dada por

ppi|M q “ µpAiq. (1.6)

Propriedade 1.1. Em uma teoria clássica de probabilidades todas as medições são

repetí-veis.

Teorema 1.1. Em uma teoria clássica de probabilidades todas as medições são compatíveis.

Demonstração. Seja um conjunto finito de medições M1, ..., Mk(, cada uma delas estará,

respectivamente, associada às partições A1, ..., Ak( de seu espaço amostral Ω dentro de

sua σ-álgebra Σ.

Para cada saída i1, ..., ik das medições M1, ..., Mk, respectivamente, definimos

um conjunto gerado pelas intersecções de cada partição A1_i

1, ..., A k ik como Ri1,...,ii “ A 1 i1 X ... X A k i1.

O conjunto dado por

Ril,...,im

(

onde il, ..., imestão associados a todas saídas para as medições M1, ..., Mk, respectivamente,

nos gera uma partição do espaço amostral Ω. Tal partição, está associada a uma medição que é um refinamento comum a todas as medições M1, ..., Mk. Todas medições M1, ..., Mk

podem ser vistas como coarse grainings de uma medição no espaço mensurável pΩ, Σq. Vale comentar aqui que esta demonstração apenas evidencia uma noção de que numa teoria clássica, as probabilidades conjuntas para as saídas de uma realização conjunta de todas as medições de um cenário já estão predeterminadas.

O hipergrafo de compatibilidade em um cenário clássico dado por um conjunto finito de medições apresenta apenas um único contexto maximal que inclui todas todas as medições. Na Figura 4apresentamos o grafo K7, que é o hipergrafo de compatibilidade de

Figura 4 – Hipergrafo de compatibilidade de um cenário obtido com 7 medições clássicas

1.3.2

Teoria quântica de probabilidades

Para definirmos os axiomas que regem a teoria quântica precisamos estabelecer um espaço de Hilbert complexo sobre o qual a teoria vai ser construída. Aqui, vamos necessitar de algum um espaço de Hilbert H de dimensão finita. Ou seja, H é isomorfo a algum Cd com o produto interno usual, denotamos esse isomorfismo por H – Cd.

Definição 1.12 (Operador Densidade). Um operador densidade ρ é um operador em H

tal que ρ ě 0 e T rpρq “ 1. Denotamos o conjunto dos operadores densidade em H por DpHq.

Definição 1.13 (Estado quântico). Um estado quântico está biunivocamente associado a

um operador densidade em H.

Aqui os estados têm essa caracterização bem peculiar à teoria quântica. Vejamos agora algumas propriedades sobre os operadores densidade:

Teorema 1.2. O conjunto DpHq é um conjunto convexo.

Demonstração. Sejam ρ1, ρ2 P DpHq, então o operador gerado por qualquer combinação

convexa entre ρ1 e ρ2

λρ1` p1 ´ λqρ2 ě 0 (1.7)

e

T rpλρ1` p1 ´ λqρ2q “ λT rpρ1q ` p1 ´ λqT rpρ2q (1.8)

“ λ ` 1 ´ λ “ 1. (1.9)

Definição 1.14 (Elementos extremais). Um elemento num espaço convexo é dito ser

extremal se ele não pode ser escrito como combinação convexa de outros dois elementos.

Definição 1.15 (Estados puros). Dizemos que um operador densidade está associado a

um estado puro quando ele é um projetor unidimensional em H. Caso contrário, dizemos que ele é misto.

Teorema 1.3. Os elementos extremais do conjunto de operadores densidade são estados

puros.

Demonstração. Como H é um espaço de Hilbert complexo com dimensão finita, qualquer

operador que seja definido sobre ele e que tenha uma positividade definida será hermitiano. Assim, todo operador densidade será hermitiano.

Todo operador hermitiano é diagonalizável e tem autovalores reais. Sabendo que os operadores densidade são definidos semi-positivos, eles terão como autovalores números reais não-negativos. Ou seja, existe uma base que é capaz de diagonalizar um operador densidade na seguinte forma:

» — — – λ1 ¨ ¨ ¨ 0 .. . . .. ... 0 ¨ ¨ ¨ λn fi ffi ffi fl (1.10)

em que λi P R com λi ě 0 e, como T rρ “ 1, λ1` ... ` λn “ 1. Um operador densidade

não pode ser escrito como uma combinação convexa de outros operadores densidade se, e somente se, ele tem um autovalor igual a 1 e todos os outros iguais a 0, caso em que ele é um projetor unidimensional.

Um dado estado misto pode ser escrito como combinação de outros estados puros de infinitas formas distintas, já os estados puros não podem ser escritos como combinação convexa de outros estados. Como veremos adiante, os estados puros são os estados que permitem obtenção de máxima informação.

Estabelecemos assim alguns dos conceitos e propriedades mais básicas que estão associadas à estrutura matemática dos estados quânticos. Para caracterizarmos completamente um modelo probabilístico quântico, precisamos também apresentar a estrutura associada às medições. Feito isso, podemos definir a regra de Born, a regra através da qual pode-se calcular as probabilidades de possíveis saídas de uma determinada medição sobre um dado estado.

Definição 1.16 (Medições projetivas1). Dada uma medição M com saídas 1, 2, ..., k(,

po-demos associar a cada uma dessas respectivas saídas um conjunto de operadores P1, P2, ..., Pk

(

1 _{As medições projetivas podem ser vistas com um caso particular bem especial das medições generalizadas,}

tal que

k

ÿ

i“1

Pi “ I (1.11)

onde I é o operador identidade em H e Pi são projetores ortogonais.

Podemos assim definir a regra de Born:

Definição 1.17 (Regra de Born). Dada uma medição projetiva M com saídas 1, 2, ..., k(,

com os respectivos projetores associados P1, P2, ..., Pk

(

, a probabilidade de uma saída i ocorrer é dada por

ppi|M q “ T rpPiρq (1.12)

E caso a saída i seja realizada, o estado em que o sistema vai se encontrar após a medição será

ρi “

PiρPi

T rpPiρPiq

. (1.13)

Teorema 1.4. A regra de Born respeita a condição de repetibilidade.

Demonstração. Suponhamos que ao ser realizada uma medição M sobre o estado ρ

obtivemos como resposta a saída i, então o estado após a realização dessa medição é dado por

ρi “

PiρPi

T rpPiρPiq

. (1.14)

Realizando sequencialmente essa mesma medição M sobre este estado resultante, a proba-bilidade de obtermos novamente i como resposta é

ppi|M q “ T rpPiρiq (1.15) ppi|M q “ T rp P 2 i ρPi T rpPiρPiq q (1.16) ppi|M q “ 1 T rpPiρPiq T rpPiρPiq “ 1. (1.17)

A compatibilidade das medições dentro da teoria quântica está relacionada à geometria dos projetores associados às saídas das medições. Vejamos que pela condição de repetibilidade da regra de Born, dependendo da ordem que dois projetores são aplicados

o Teorema de Neumark nos garante que medições projetivas já são suficientes para recuperarmos todas as possíveis distribuições de probabilidade para um cenário ao preço de termos alguma liberdade na dimensão do espaço de Hilbert em questão e, além disso, as medições projetivas fornecem uma noção mais clara da repetibilidade. Mais detalhes podem ser vistos nas notas de aula (WATROUS,2011)[Aula 5].

num determinado estado, tanto as probabilidades para as saídas das medições quanto os estados após a medição podem ser distintos. Tal propriedade está associada às relações de comutação entre os projetores.

Definição 1.18. Para dois operadores A e B definidos em um mesmo espaço denotamos

o comutador entre eles por

rA, Bs “ AB ´ BA. (1.18)

Dizemos que dois operadores comutam se o comutador entre eles é nulo.

Teorema 1.5. Para duas medições M e N cujos respectivos projetores associados as suas

saídas sejam P1, ..., Pk

(

e Q1, ..., Ql

(

são equivalentes as seguintes afirmações: 1. rPi, Qjs “ 0 , @i P 1, ..., k( e j P 1, ..., l(.

2. M e N são coarse grainings de uma outra medição. 3. M e N são compatíveis.

Demonstração. A equivalência entre as afirmações 2 e 3 segue da definição de

compatibi-lidade. Para enxergar que a afimação 1 é equivalente às afirmações 2 e 3, basta ver que operadores que comutam podem ser simultaneamente diagonalizados, o que implica que as medições associadas podem ser vistas como coarse grainings de uma outra medição. E se duas medições são compatíveis para todos os estados quânticos, então os projetores ortogonais associados às medições devem comutar, caso contrário, seria possível encontrar algum estado sobre o qual os projetores não comutariam entre si.

Temos aqui uma teoria de probabilidades em que nem todas as medições são compatíveis entre si. Basta ver que existem projetores que não comutam entre si e daí, podemos encontrar medições cujas saídas estejam associadas a esses projetores, tais medições não serão compatíveis. A incompatibilidade entre medições surge aqui na teoria quântica como um elemento essencial.

Uma medição projetiva pode ser associada também a um operador auto-adjunto no mesmo espaço de Hilbert em questão. As saídas de tal medição serão os autovalores desse operador auto-adjunto e os respectivos projetores são os projetores contidos na decomposição espectral de tal operador.

Vejamos, por exemplo, que um operador auto-adjunto A : H Ñ H - em que H – Cd - tem a seguinte decomposição espectral

sendo que λ1, ..., λk( são os autovalores do operador A e cada projetor Pi projeta no

N upA ´ λiIq ortogonalmente à ImpA ´ λiIq. No entanto, devido ao operador A ser

auto-adjunto, os autoespaços associados a autovalores distintos são ortogonais entre si, isso implica que os projetores P1, ..., Pk são ortogonais entre si e

P1` P2` ... ` Pk“ I. (1.20)

Dado um operador auto-adjunto A encontramos a medição M associada recu-perando naturalmente os projetores associados a cada saída via decomposição espectral. E dado os projetores associados a uma medição M , podemos encontrar um operador autoadjunto A construindo sua decomposição espectral.

Como um exemplo, consideremos o seguinte operador audto-ajunto σz : C2 Ñ

C2 que tem 1 e ´1 como autovalores. Ele pode ser diagonalizado por uma base ortonornal |0y, |1y( e podemos, em tal base, escrevê-lo como

σz “ « 1 0 0 ´1 ff (1.21) Vejamos que a decomposição espectral dessa matriz nos gera

σz “ |0yx0| ´ |1yx1|. (1.22)

Outras duas matrizes que também têm como autovalores 1 e ´1 nesse mesmo espaço são σx “ « 0 1 1 0 ff (1.23) σy “ « 0 ´i i 0 ff (1.24) As matrizes σx, σy, σz são conhecidas como as matrizes de Pauli. Além de

repre-sentarem operadores auto-adjuntos em C2, elas apresentam propriedades bem interessantes e vão surgir durante o texto com uma certa frequência.

Vejamos que via o operador adjunto A, podemos encontrar o valor esperado de uma medição simplesmente calculando o seguinte traço

T rpAρq “ T rppλ1P1` ... ` λkPkqρq (1.25)

“ T rpλ1P1ρ ` ... ` λkPkρq (1.26)

“ λ1T rpP1ρq ` ... ` λkT rpPkρq (1.27)

“ λ1ppλ1|M q ` ... ` λkppλk|M q. (1.28)

Aqui, podemos enxergar o valor esperado como uma média ponderada sobre as saídas na qual os pesos são as suas respectivas probabilidades.

Para outras leituras sobre essa estrutura da teoria quântica, veja (AMARAL; BARAVIERA; TERRA CUNHA, 2011), (NIELSEN; CHUANG,2000).

Como alguns exemplos de grafos de compatibildade associados a cenários que podem ser obtidos através de teoria quântica temos as Figuras 5 e 6. Vamos discutir em mais detalhes esses cenários ao longo dos próximos capítulos.

Figura 5 – Grafo de compatibilidade de um cenário

Tal cenário pode ser obtido via teoria quântica em um espaço de Hilbert de dimensão igual a 3.

1.4

A hipótese de não-contextualidade

Uma das maneiras de entender alguns aspectos contra-intuitivos (para aqueles que constroem uma intuição se baseando numa concepção clássica) da teoria quântica reside no fato de o modelo probabilístico que fornece as probabilidades para as saídas das medições não ser consistente com os modelos clássicos de probabilidade.

Sabemos que numa teoria clássica todas as medições formam conjuntamente o único contexto de um cenário. O que significa que todas elas são compatíveis entre si e que qualquer uma delas pode ser vista como um coarse graining de alguma medição completa. Como vimos na seção 1.3.1, existe um refinamento comum para qualquer uma de suas distribuições e, assim, tais distribuições de probabilidade são consistentes com uma noção ontológica de realismo.

Uma teoria realista é aquela na qual se pode garantir que o valor de uma saída independe do processo de medição. Ou seja, em tal teoria o processo de medição apenas revela um valor que já pré-existia independentemente da realização (ou não realização) da medição. Na teoria quântica, incompatibilidade entre medições existe e não podemos,

Figura 6 – Grafo de compatibilidade de um cenário

Tal cenário pode ser obtido via teoria quântica. Vamos discutir em mais detalhes no Capítulo 3.

num primeiro instante, dizer que ela é também consistente com essa noção ontológica de realismo.

É nesse sentido que a busca de um “completamento” de um modelo probabilís-tico surge. Nessa utopia de “completamento”, a probabilidade de uma determinada saída de qualquer medição acessível ocorrer é tomada como uma média sobre uma distribuição de probabilidades num espaço de variáveis extras Λ, que está acoplado ao espaço de estados S. Vamos chamar conjuntamente de espaço ôntico o conjunto Λ ˆ S.

Definição 1.19. Uma distribuição de probabilidades no espaço ôntico Λ ˆ S é definida

por

ppλ,ρ,Cqpj|Miq (1.29)

onde λ P Λ, ρ P S, Mi P C -sendo C um contexto maximal-, j é uma saída qualquer da

medição Mi e tais distribuições devem ser determinísticas:

ppλ,ρ,Cq pj|Miq P 0, 1(. (1.30) com ÿ j ppλ,ρ,Cqpj|Miq “ 1. (1.31)

O conjunto de “variáveis ocultas” Λ aqui cumpre o papel de determinar as saídas das uma determinada medição, um conhecimento completo acerca das distribuições de probabilidades nesse espaço ôntico seria capaz nos prever todas as possíveis distribuições de probabilidades para o cenário. Vejamos também que as Equações (1.30) e (1.31) nos dizem que dada uma medição qualquer Mi, uma variável λ P Λ determina uma e apenas

uma das saídas j de Mi. Assim, definimos um “completamento” como:

Definição 1.20 (“Completamento”). Dizemos que uma distribuição de probabilidades

para um cenário admite um “completamento” quando todas as probabilidades para um conjunto de medições M1, ..., Mk

(

que pertencem a um contexto maximal C podem ser escritas como pρ_Cpi1...ikq “ ÿ λPΛ ppλq k ź l“1 ppλ,ρ,Cq pil|Mlq (1.32) onde ppλ,ρ,Cq

pj|Miq é uma distribuição de probabilidades no espaço ôntico Λ ˆ S e ppλq é

uma distribuição de probabilidades restrita apenas ao espaço extra Λ.

Vale a pena ressaltar que, nessa construção, as probabilidades para as saí-das de uma medição dependem do contexto no qual a medição pertence. Assim, uma mesma medição pode ter probabilidades distintas se observada em contextos distintos. Tal construção realça a ideia de um determinismo, no entanto, devido a uma ignorância das probabilidades no espaço ôntico somos levados a distribuições de probabilidades que podem ser inconsistentes com uma noção de realismo. A fim de construirmos um “completamento” consistente com uma noção ontológica de realismo precisamos de mais hipóteses nesse “completamento”. Mas antes disso, vejamos um exemplo.

Exemplo 1.3. Vamos construir um “completamento” para o contexto C1 do cenário exibido

Exemplo no 1.1.

Vamos supor aqui que o conjunto de variáveis-extra Λ seja

Λ “ λ1, λ2, ..., λk(.

Então, a probabilidade conjunta de obtermos as respostas ´1 e ´1,

respectiva-mente, para as medições M1 e M2 é dada por

pC1p´1, ´1|M1, M2q “ ppλ1qp pλ1,ρ,C1q p´1|M1qppλ1,ρ,C1qp´1|M2q ` ppλ2qppλ2,ρ,C1qp´1|M1qppλ2,ρ,C1qp´1|M2q ... ` ppλkqppλk,ρ,C1qp´1|M1qppλk,ρ,C1qp´1|M2q. (1.33)

Nesse “completamento”, sabemos que as probabilidades ppλk,ρ,C1q_pj|M

iq acima

devem respeitar as Equações (1.30), ou seja, tais probabilidades são determinísticas. Quando

dizemos que ppλk,ρ,C1q

pj|Miq “ 1, podemos interpretar que λk “induz” a saída j ao ser

realizada a medição Mi P C1.

Podem existir vários λ1

ks que “induzem” a saída j, informação esta que pode

não ser acessível dada a limitação de inferirmos algo sobre o sistema apenas com as

medições Mi. E é nessa possibilidade de existir mais de um λk que retorna uma mesma

saída j que temos motivação de tentar “completar” a teoria, no sentido que a informação contida nas saídas acessíveis ao ser realizada a medição Mi é incompleta.

Vejamos agora que dada a restrição (1.31), cada λk deve ser reponsável por

“induzir” uma saída, e apenas uma, de cada medição do contexto C1. No caso particular,

por exemplo, em que ppλ1q “ 1 e ppλ2q “ ... “ ppλkq “ 0, esperamos que apenas

uma das 4 saídas possíveis para a medição conjunta de M1 e M2 ocorra. A distribuição

de probabilidades ppλq sobre Λ apenas tem a função de atribuir pesos a cada uma das probabilidades determinísticas que as variáveis λ1, ..., λk vão atribuir.

Para finalizarmos a construção desse “completamento” basta agora atribuirmos valores 0 e 1 às probabilidades determinísticas no espaço ôntico respeitando a Equação

(1.31). Podemos escolher, por exemplo, atribuir da seguinte forma:

ppλk,ρ,C1q_p´1|M

1q “ 1, @k. (1.34)

e

ppλk,ρ,C1q

p´1|M2q “ 0, @k. (1.35)

Tal distribuição no espaço ôntico, nos retornará pC1p´1, ´1|M1, M2q “ 0. No

entanto, pC1p´1, 1|M1, M2q “ 1. Vejamos aqui neste exemplo, que as probabilidades

deter-minísticas podem ser trivialmente construídas via um “completamento” no espaço ôntico. Vejamos também que, pela Equação (1.31), a normalização das probabibilidades

das saídas da medição conjunta de M1 e M2 é satisfeita:

ÿ i,j pC1pi, j|M1, M2q “ k ÿ l“1 ppλlq ` ÿ i ppλk,ρ,C1q<sub>pi|M</sub> 1q ˘` ÿ j ppλk,ρ,C1q_pj|M 2q ˘ (1.36) ÿ i,j pC1pi, j|M1, M2q “ k ÿ l“1 ppλlq “ 1. (1.37)

Vejamos que o conjunto Λ, da maneira que foi inserido aqui, atua de uma forma a determinar qual saída será obtida por cada uma das medições que pertencem ao

contexto C1. É nesse espaço “ôntico” que a informação para as saídas de todas as medições

estão completamente determinadas. E a imposibilidade de termos acesso a todas essas informações que pode nos impedir (num primeiro momento) de alcançar uma descrição determinística para o conjunto das informação acessíveis.

Essa tentativa de “completamento” surge no sentido de tentar supor a existência desse conjunto extra Λ e lá atribuirmos distribuição de probabilidades sob algumas hipóteses.

Vejamos aqui que a construção deste “completamento” é feita única e exclusi-vamente sobre um contexto fixo. No entanto, um “completamento” deve contemplar todos os contextos. Mas existem medições que pertencem a contextos distintos e na tentativa de realizarmos uma descrição clássica nesse espaço ôntico precisamos impor mais alguma hipótese. Daí, a hipótese de não-contextualidade:

Definição 1.21 (Modelo probabilístico não-contextual). Dizemos que um modelo

proba-bilístico é não-contextual se ele admite um “completamento” tal que as distribuições de probabilidades no espaço ôntico Λ ˆ S respeitam a seguinte igualdade:

ppλ,ρ,C1q

pj|Miq “ ppλ,ρ,C2qpj|Miq (1.38)

para quaisquer j1s e i1s.

Ou seja, em um modelo não-contextual, se uma determinada medição pertence a dois contextos distintos, a distribuição de probabilidades no espaço ôntico deve ser independente do contexto no qual ela se insere.

Dizemos que uma teoria de probabilidades é contextual se alguma possível distribuição de probabilidades é incompatível com algum completamento que respeita essa hipótese de não-contextualidade. Como veremos adiante, a teoria quântica apresenta tais distribuições de probablidades, sendo por isso conhecida como uma teoria contextual.

Como veremos no capítulo 3, existem sistemas físicos que nos permitem cons-truir cenários compostos por medições que podem ser realizadas intantaneamente em partes espacialmente afastadas, tais medições podem ser vistas como pertencentes a um determinado contexto. Em tal cenário, a hipótese de não-contextualidade é traduzida como a condição de realismo local. Dizer que a teoria quântica é uma teoria não-local significa dizer que as distribuições de probabilidades que ela nos fornece não podem ser recuperadas por um modelo realista e local.

Sob certo ponto de vista, podemos enxergar a violação da teoria quântica à hipótese de não-contextualidade como uma impossibilidade de ela ter uma descrição clássica para suas probabilidades. Gostemos disso ou não, a teoria quântica é uma das teorias de maior sucesso na história da ciência, não existem indícios experimentais de que

ela possa estar inconsistente com a natureza e ela tem se apresentado como um grande recurso em várias aplicações tecnológicas.

No próximo capítulo vamos relacionar a hipótese de não-contextualidade com as teorias de probabilidades clássica e quântica. E nos próximos capítulos vamos explorar alguns resultados sobre contextualidade, não-localidade e teoria de grafos.

2 Contextualidade

Neste capítulo, vamos relacionar a hipótese de não-contextualidade com as teorias de probabilidades clássica e quântica. Já discutimos um pouco no fim do capítulo 1 que a hipótese de não-contextualidade surge de uma forma natural para se investigar o problema da classicidade de alguma teoria probabilística, aqui continuamos explorando esse aspecto da não-contextualidade.

Em outras palavras, dado um cenário qualquer, como se comportam distribui-ções de probabilidades que admitem um modelo não-contextual? E qual a relação entre essas distribuições de probabilidades e àquelas que podem ser recuperadas por uma teoria clássica ou a teoria quântica?

Na seção 2.1 vamos exibir o Teorema de Brandenburguer-Abramsky-Fine, um teorema central que esclarece essas questões. A partir daí, na seção 2.2, vamos explorar alguns aspectos sobre a contextualidade quântica via o teorema de Bell-Kochen-Specker. E na seção 2.3, apresentamos algumas demonstrações alternativas à demonstração original do Kochen e do Specker que exibem cenários que atestam a contextualidade quântica.

2.1

Sobre a hipótese de não-contextualidade

No fim da Sessão 1.2, no qual definimos um cenário de compatibilidade, deixamos uma pergunta: Dado um cenário de compatibilidade, no qual temos um conjunto de finito de medições, com todas os contextos maximais definidos, como fornecer uma distribuição de probabilidades para as saídas dessas medições? Em outras palavras, como vamos caracterizar os nossos estados?

Uma distribuição de probabilidades aqui é, inicialmente, atribuída para cada um dos contextos maximais de um cenário da seguinte maneira:

Definição 2.1 (Distribuição de probabilidade para C). Dado um cenário pX, O, Cq, uma

distribuição de probabilidade p para um contexto maximal C é uma família de funções pC : OC Ñ r0, 1s tais que ÿ sPOC pCpsq “ 1. (2.1) A notação OC ” O ˆ O ˆ ... ˆ O

representa o produto cartesiano |C| vezes, onde |C| é a quantidade de medições que pertence ao contexto C.

Vejamos que uma distribuição de probabilidades para um cenário, que é uma distribuição de probabilidades para todos os contextos maximais é um vetor do Rd, em que

d “ÿ

i

|OCi

|. (2.2)

Dado que um contexto maximal contém um conjunto finito de medições que podem ser vistas como coarse grainings de uma outra medição e que elas têm, conjun-tamente, uma distribuição de probabilidades em comum dada pelo refinamento delas, torna-se natural construirmos uma distribuição de probabilidades dessa forma.

Durante o texto, pode ser conveniente indicar o contexto pelo conjunto de medições que o caracterizam, daí usarmos equivalentemente as notações pCpi1...ikq e

ppi1...ik|M1...Mkq como a probabilidade das saídas i1, ..., ik ocorrerem caso as medições

M1...Mk, que formam o contexto maximal C, sejam conjuntamente realizadas.

Vejamos os Exemplos1e2como dois casos particulares de possíveis distribuições de probabilidades para o cenário do Exemplo1.1. O cenário exibido no Exemplo 1.1contém 3 contextos maximais que estão indicados pelas linhas das Tabelas1 e 2. Cada contexto maximal contem 2 ˆ 2 “ 4 possíveis saídas, tais saídas estão indicadas pelas colunas. Atribuir probabilidades a este cenário significa atribuir a cada linha da tabela um conjunto de 4 probabilidades cuja soma seja igual a 1.

Tabela 1 – Uma distribuição de probabilidades para o cenário do Exemplo 1.1

(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) M1, M2 ( 1 0 0 0 M2, M3 ( 1/2 1/2 0 0 M3, M1 ( 1/2 0 1/2 0

Tabela 2 – Uma distribuição de probabilidades para o cenário do Exemplo 1.1

(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) M1, M2 ( 1 0 0 0 M2, M3 ( 1/2 1/2 0 0 M3, M1 ( 0 1/2 0 1/2

Olhando para uma dada distribuição de probabilidades, podemos nos perguntar sobre a probabilidade de uma determinada saída ocorrer no caso em que apenas uma das medições de um contexto maximal é realizada. No caso do cenário do Exemplo 1.1, podemos nos perguntar sobre a probabilidade de a saída ´1 ocorrer caso a medição M1

seja realizada. No entanto, tal resposta pode depender do contexto maximal na qual a medição M1 é realizada, haja visto que tal medição pertence a dois contextos maximais

Se a distribuição de probabilidades para este cenário é dada pela distribuição na Tabela 1, a resposta para esta pergunta olhando para o contexto C1 é

pC1p´1|M1q “ pp´1, ´1|M1, M2q ` pp´1, 1|M1, M2q “ 1. (2.3)

E se olharmos agora para o contexto C3:

pC3p´1|M1q “ pp´1, ´1|M3, M1q ` pp1, ´1|M3, M1q “ 1{2 ` 1{2 “ 1. (2.4)

Ou seja,

pC1p´1|M1q “ pC3p´1|M1q “ pp´1|M1q. (2.5)

Se aplicarmos o mesmo raciocício a todas as saídas de todas as medições dentro da distribuição de probabilidades que exibimos na Tabela 1 obteremos igualdades equivalentes. No entanto, ao aplicarmos o mesmo raciocínio para a distribuição que se encontra na Tabela 2, veremos que

pC1p´1|M1q “ pp´1, ´1|M1, M2q ` pp´1, 1|M1, M2q “ 1. (2.6)

pC3p´1|M1q “ pp´1, ´1|M3, M1q ` pp1, ´1|M3, M1q “ 0. (2.7)

Ou seja,

pC1p´1|M1q ‰ pC3p´1|M1q. (2.8)

Não queremos tal comportamento, haja visto que um dos nossos objetivos é caracterizar condições nas quais seja possível atribuir uma medida de probabilidade clásssica às saídas das medições de todo o contexto. Queremos que a probabilidade de ocorrer uma determinada saída de uma medição seja independente do contexto no qual ela se insere. Ou seja, precisamos impor algumas restrições às distribuições de probabilidade.

Se M1, ..., Mk

(

P C, denotamos por pCpi1, ..., ik|M1, ..., Mkq como as

proba-bilidades das saídas i1, ..., ik das medições M1, ..., Mk restritas ao contexto C como as

probabilidades que são obtidas via marginalização das probabilidades de todas as saídas das outras medições que complementam o contexto maximal C.

Definição 2.2 (Distribuições de probabilidade não-perturbadoras N D). As distribuições

de probabilidade não-perturbadoras, denotadas por N D, são aquelas tais que se a intersecção de quaisquer dois contextos maximais C1 e C2 é não-vazia, contendo o conjunto das medições

M1, ..., Mk

(

, então

pC1pi₁, ..., i_k|M₁, ..., M_kq “ p_C2pi₁, ..., i_k|M₁, ..., M_kq “ ppi₁, ..., i_k|M₁, ..., M_kq (2.9)

A distribuição de probabilidades contida na Tabela 1 pertence ao conjunto N D enquanto a ditribuição contida na Tabela 2não pertence ao conjunto N D. Vejamos algumas propriedades do conjunto das distribuições não-pertubadoras N D de um cenário.

Definição 2.3 (Politopo). Um politopo no Rd pode ser definido, equivalentemente, de duas formas distintas:

• Um politopo é o fecho convexo de um conjunto finito de pontos no Rd_;

• Um politopo é um subconjunto do Rd _{limitado e que pode ser definido por um conjunto}

finito de desigualdades lineares.

No caso particular onde d “ 3, um politopo é um poliedro. Ou seja, um politopo nada mais é do que uma generalização da noção de um poliedro quando estamos num espaço real com dimensão maior do que 3. Vejamos que podemos definir um poliedro tanto como o fecho convexo dos pontos que geram seus vértices quanto por um conjunto finito de desigualdades lineares que definem suas faces.

Num espaço de dimensão maior tal noção continua válida. Daí as duas definições equivalentes na Definição 2.3, em que o conjunto finito de pontos é um conjunto de pontos que contém os pontos extremais desse conjunto convexo e o conjunto finito de desigualdades lineares definem as facetas desse politopo.

Propriedade 2.1. O conjunto N D forma um politopo.

Demonstração. Dado um cenário pX, O, Cq, associamos cada distribuição de probabilidades

a um vetor num Rd, em que

d “ÿ

i

|OCi

|. (2.10)

Cada entrada deste vetor é um número entre 0 e 1 que satisfaz a relação de normalização contida na Equação (2.1). Tal conjunto forma um politopo, haja visto que podemos olhar para tal caracterização dessas distribuições de probabilidades como um conjunto finito de desigualdades lineares nesse Rd.

Para caracterizarmos o conjunto das distribuições não-pertubadoras N D, basta agora impor mais um conjunto finito de desigualdades lineares que estão expressas na Equação (2.9_{). Tal imposição, transforma o politopo anterior num outro politopo no R}d

que define o conjunto de vetores de probabilides não-pertubadoras.

Cabe nos perguntarmos aqui se uma distribuição de probabilidades é não-pertubadora N D se, e só se, existir um modelo não-contextual para tal distribuição. Como veremos adiante, existem distribuições que são não-pertubadoras e ao mesmo tempo não admitem um modelo não-contextual.

Mas qual condição precisamos impor ao conjunto das probabilidades não-pertubadoras N D para que possamos sempre dizer que existe um modelo não-contextual que recupera suas estatísticas?

Definição 2.4 (Seção Global). Uma seção global para X é uma distribuição de

probabi-lidades pX : OX Ñ r0, 1s. Uma seção global para uma distribuição p P N D é uma seção

global para X tal que a restrição de pX a cada contexto C é exatamente pC.

Entedemos restrição de pX a cada contexto C como a marginalização que se

obtem somando as probabilidades de todas as saídas da seção global sobre as medições que complementam C em X.

Exemplo 2.1. Consideremos novamente o cenário do Exemplo 1.1. Vamos supor que uma dada distribuição de probabilidades neste cenário admite seção global pX : OX Ñ r0, 1s.

Vejamos que podemos enxergar tal seção global por uma distribuição de probabilidades como representada na Tabela 3.

Tabela 3 – Uma seção global para o cenário do Exemplo 1.1

(-1,-1,-1) (-1,-1,1) (-1,1,-1) (-1,1,1) (1,-1,-1) (1,-1,1) (1,1,-1) (1,1,1) M1, M2, M3

(

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8

Tais probabilidades devem respeitar a condição de normalização,

8

ÿ

i“1

pi “ 1. (2.11)

E como a distribuição gerada por essa seção global para o cenário, temos:

Tabela 4 – Uma distribuição de probabilidades para o cenário do Exemplo 1.1 construída via uma seção global

(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) M1, M2 ( p1` p2 p3` p4 p5` p6 p7` p8 M2, M3 ( p1` p5 p2` p6 p3` p7 p4` p8 M3, M1 ( p1` p3 p5` p7 p2` p4 p6` p8

Vejamos que a existência de uma seção global para uma distribuição de proba-bilidades num cenário é consistente com uma atribuição de probabilides clássica. Vale a pena mencionar também que uma dada distribuição de probabilidades pode admitir várias seções globais distintas, ou seja, não vale uma noção de unicidade para as seções globais de uma distribuição.

Teorema 2.1 (Teorema de Fine, Brandenburguer e Abramsky). Uma distribuição de

probabilidades que pertence ao conjunto das distribuições não-pertubadoras N D tem uma seção global se e só se existe um modelo não-contextual que recupera suas estatísticas. Demonstração. Seja pX, O, Cq um cenário qualquer, queremos estudar as distribuições de

probabilidade que são atribuídas a cada contexto maximal C como definimos em (2.1). 1.Vamos admitir que uma dada distribuição de probabilidades para tal cenário tenha uma seção global, ou seja, existe

pX : OX Ñ r0, 1s

tal que as restrições, obtidas via marginalização, a cada contexto maximal coincidem com as distribuições dadas inicialmente. Vamos agora mostrar que tal distribuição admite um modelo não-contextual, para isso, vamos construir o conjunto Λ:

Λ “ λ1, λ2, ..., λ|OX_| (2.12)

Cada elemento de Λ está biunivocamente associado a uma das saídas OX, que podem ser interpretadas como todas as saídas de todas as medições do cenário e que por isso formam o domínio de pX. Aqui, vamos atribuir cada ppλkq às probabilidades

fornecidas por pX. Vamos atribuir as probabilidades no espaço ôntico Λ ˆ S de forma

que se, e somente se, λk está associado a uma das saída em OX que contém a saída j

da medição Mi, então ppλk,ρ,Cqpj|Miq “ 1. Exibimos assim, um “completamento” para as

distribuições de probabilidades e que recuperam de forma natural as marginalizações da seção global para os contextos maximais. Assim,

ppλk,ρ,Cq

pj|Miq “ ppλk,ρ,C

1_q

pj|Miq

pois a atribuição de probabilidades no espaço ôntico independe de quaisquer contextos nos quais as medições se inserem. Portanto, se uma distribuição de probabilidades tem seção global, então ela admite um modelo não-contextual.

2. Vamos assumir agora que uma dada distribuição de probabilidades neste cenário admite um modelo não-contextual. Ou seja, existe um espaço Λ

Λ “ λ1, λ2, ..., λk

(

(2.13) tal que para quaisquer saídas j de qualquer medição M P X temos definido os valores de

ppλk,ρ,Cq_{pj|M q P} 0, 1( _(2.14)

satisfazendo a condição

ÿ

j

Se assumimos agora a hipótese de não-contextualidade, as atribuições de probabilidade na Equação (2.14) independendem de C, de forma que podemos reescrever tais expressões simplesmente como

ppλk,ρq

pj|M q. (2.16)

Assim, quando olhamos para a distribuição de probabilidades para os contextos C deste cenário, temos como probabilidades para as saídas as expressões dadas por

pCpj1, ..., jm|M1, ..., Mmq “ ÿ λk ppλkq m ź i“1 ppλk,ρq_pj i|Miq. (2.17)

Estas são as distribuições que temos. Dadas todas distribuições para todos os contextos, podemos encontrar alguma seção global para elas?

Vejamos que C “ M1, ..., Mm

(

Ă M1, ..., Mm, ..., Mn

(

“ X. Se definirmos agora como uma distribuição de probabilidades conjunta dada por

pCpj1, ..., jm, ..., jn|M1, ..., Mm, ..., Mnq “ ÿ λk ppλkq n ź i“1 ppλk,ρq_pj i|Miq

teremos uma seção global para a distribuição dada acima em (2.17).

Para verificarmos, basta ver que se realizarmos as marginalizações adequada-mente e utilizando a equação 2.15 teremos

ÿ jm`1 pCpj1, ..., jm, ..., jn|M1, ..., Mm, ..., Mnq “ “ ÿ λk ppλkq n ź i“1,i‰m`1 pÿ jm`1 ppλk,ρq pjm`1|Mm`1qqppλk,ρqpji|Miq (2.18)

iterando agora esses passos de m ` 2 até n obteremos

pCpj1, ..., jm|M1, ..., Mmq “ ÿ λk ppλkq m ź i“1 ppλk,ρq_pj i|Miq (2.19)

que são exatamente as expressões dadas em (2.17). Portanto, se uma dada distribuição de probabilidades admite um modelo não-contextual, então suas distribuições de probabilidade tem uma seção global. E assim, finalizamos a demonstração do teorema.

Mais detalhes sobre este teorema pode ser encontrado no trabalho original de Brandenburguer-Abramsky (ABRAMSKY; BRANDEBURGUER, 2011). Atribuímos também este teorema ao Fine, haja visto que em 1982 no trabalho (FINE, 1982) ele originalmente demonstrou este teorema num cenário mais específico, que vamos discutir no próximo capítulo.

Vejamos que o exemplo dado na Tabela 5, é uma distribuição de probabi-lidades que pertence ao conjunto das distribuições não-pertubadoras N D, haja visto que a probabilidade de uma determinada saída ocorrer para qualquer medição será 1/2 independentemente do contexto em que ela se insere.

No entanto, ela não pode ter uma seção global. Vejamos que as medições M1

e M2 têm saídas iguais para ambas as medições, assim como M2 e M3. Se admitirmos

que existe uma seção global para tal distribuição, por transitividade, esperaríamos que

M1 e M3 tivessem saídas iguais também, o que não ocorre. Por inspeção, poderíamos

também tentar construir uma seção global para as medições M1, M2 e M3 e chegaríamos

num absurdo ao tentar obter as probabilidades restritas a cada um dos contextos. Pelo Teorema 2.1, não existe um modelo não-contextual que recupera suas estatísticas, apesar de pertencer ao conjunto N D.

Tabela 5 – Uma distribuição de probabilidades para o cenário do Exemplo 1.1

(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) M1, M2 ( 1/2 0 0 1/2 M2, M3 ( 1/2 0 0 1/2 M3, M1 ( 0 1/2 1/2 0

2.1.1

Sobre o conjunto clássico

Vamos nos referir ao conjunto clássico C como o conjunto de distribuições de probabilidades que podem ser obtidas via uma teoria de probabilidades clássica como definimos na Definição 1.11.

Pelo resultado do Teorema 1.1, todas as medições num dado cenário clás-sico são compatíveis entre si. Todas as medições em tal cenário podem ser vistas como

coarse grainings de alguma outra medição em comum. Em outras palavras, existe um

refinamento comum a todas elas.

A existência de um refinamento em comum, como foi definido na Definição 1.4, está associada à existência de uma distribuição de probabilidades conjunta para todas as medições em qualquer estado que a teoria permite. De certa forma, a tarefa pela qual se presta uma seção global está intrinsicamente associada à essa noção de refinamento comum.

Teorema 2.2. Uma distribuição de probabilidades para um cenário pX, O, Cq tem seção

global se, e só se, é clássica.

Demonstração. 1. Vamos assumir que uma dada distribuição de probabilidaes para o

distribuição de probabilidades para cada contexto maximal C, pCé obtida via marginalização

sobre as saídas das medições complementares de C em X.

Vamos denotar por A aqui uma medição com |OX| saídas, tal que cada uma delas está biunivocamente associada a uma saída conjunta a todas as medições X do cenário. Seja Mi uma medição do cenário. Construímos a função fi, tal como definimos na

Definição1.4, de forma que os elementos do domínio de fi, cuja imagem esteja associada à

saída j de Mi, são os elementos em |OX| que contêm à saída j da medição Mi.

Desse modo, A é o refinamento comum das medições Mi do cenário. Ou seja,

uma seção global gera naturalmente um refinamento comum para as medições e, portanto, se uma dada distribuição de probabilidades admite uma seção global então ela é consistente com uma teoria de probabilidades clássica.

2. Se assumimos agora que uma dada distribuição de probabilidades é clássica, já assumimos que todas as medições do cenário são compatíveis e, portanto, existe um refinamento comum A para todas as medições sobre todos os estados que possam ser obtidos.

Seja X “ M1, ..., Mk(. Seja então dada uma distribuição de probabilidades

clássica com o seu respectivo refinamento comum A e suas funções f1, ..., fkcomo definimos

na Definição 1.4.

A seguinte distribuição de probabilidades conjunta para X:

ppi1, ..., ik|M1, ..., Mkq “ ppf1´1pi1q X ... X fk´1pikq|Aq (2.20)

é uma seção global para tal distribuição clássica. Um processo de marginalização aqui recupera naturalmente à distribuição de probabilidade clássica que tínhamos inicialmente.

Portanto, uma distribuição de probabilides tem seção global, se e só se, é clássica.

Vale a pena mencionar que a definição de compatibilidade, dada na Definição

1.4, é uma definição associada a uma caracterização entre medições que podem(ou não) ser comensuráveis, admitindo(ou não) um refinamento comum sobre todos os estados que uma determinada teoria é capaz de nos fornecer. Ou seja, uma propriedade associada a todas as distribuições de probabilidades que o cenário é capaz de fornecer. Já o conceito de seção global, é um conceito mais restrito às propriedades de uma distribuição de probabilidades de um dado cenário.

Vejamos uma propriedade importante do conjunto clássico C: