A SIGNIFICAÇÃO DOS CONCEITOS CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
POR ESTUDANTES DO 9º ANO: ENTENDIMENTOS PRODUZIDOS A
PARTIR DA ELABORAÇÃO E DESENVOLVIMENTO DE SITUAÇÕES
DESENCADEADORAS DE APRENDIZAGEM
1Laís Baiotto Padoim2 Resumo: A matemática é uma área do conhecimento que contribui na formação do estudante por meio de aprendizagens que possibilitam o desenvolvimento de diferentes habilidades. Porém, é relevante destacar que muitas vezes os alunos possuem dificuldades em compreender os conceitos matemáticos e demonstram desinteresse em aprender. Nesse contexto, a presente escrita constitui-se a partir de uma pesquisa norteada pela seguinte questão: quais aspectos de situações desencadeadoras de aprendizagem mostram-se potenciais na significação dos conceitos círculo e circunferência, seus elementos e suas relações, por estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental? Os dados empíricos foram produzidos a partir de ações desenvolvidas como residente do Programa Residência Pedagógica com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. As análises constituíram-se a partir das unidades: Situações problemas na promoção da articulação de aspectos práticos e teóricos no estudo dos conceitos círculo e circunferência; e a percepção de regularidades e a instituição de processos de generalização. Para análises serão considerados aspectos teóricos apresentados, especialmente, por Moura (2010) e Moretti (2007). Ao propor um problema, que integra uma Situação Desencadeadora de Aprendizagem, este deve promover a criação de uma necessidade e, assim, motivos para que o aluno se envolva na resolução. Desta forma o processo de generalização é instituído quando a Situação Desencadeadora de Aprendizagem estiver vinculada com o conhecimento teórico produzido com e a partir da prática.
Palavras-chave: Ensino e aprendizagem em Matemática. Generalização. Situações problemas. Práxis.
1. Introdução
Na Educação Básica, o 9º ano configura-se como o fechamento da etapa Ensino Fundamental, período este o qual os estudantes estão, geralmente, entre 12 e 15 anos de idade. Nessa etapa os jovens passam por uma transição, o fechamento de um ciclo, seguido da abertura de outro, o Ensino médio. Sobre os anos finais do Ensino Fundamental, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) indica que:
[...] a escola pode contribuir para o delineamento do projeto de vida dos estudantes, ao estabelecer uma articulação não somente com os anseios desses jovens em relação ao seu futuro, como também com a continuidade dos estudos no Ensino Médio. (BRASIL,2017, p. 62)
O que a BNCC apresenta é que nesse período os alunos estão refletindo sobre seu futuro e suas escolhas. Nesse sentido, também é importante promover o fortalecimento da
1 Artigo produzido na disciplina Trabalho de Conclusão de Curso, do curso Matemática/UNIJUI, sob orientação da professora Isabel Koltermann Battisti
2 Licenciando do Curso Matemática – da UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.
autonomia desses adolescentes, oferecendo-lhes condições e ferramentas para acessar e interagir criticamente considerando diferentes conhecimentos e fontes de informação.
A Matemática, nas diferentes etapas da escolarização, deve estar presente para contribuir na formação do estudante por meio de aprendizagens que possibilitem o desenvolvimento de habilidades previstas em cada uma das etapas. Para tanto,
[...] é imprescindível levar em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles e desenvolvendo ideias mais complexas. (BRASIL, 2017, p. 298)
Sendo assim, ao organizar o ensino os conhecimentos já adquiridos pelo aluno devem ser considerados, pois possibilitarão que, por meio de contextos que considerem situações reais ou matemáticos, este atribua sentido ao que aprende, relacionando conceitos já elaborados com novos ainda em formação.
O Programa Curricular de Matemática do Ensino Fundamental, de acordo com Brasil (2017), deve contemplar conceitos dos diferentes campos da Matemática, organizados a partir das unidades temáticas: álgebra, números, geometria, estatística e probabilidade e grandezas e medidas. Sobre o estudo da Geometria, os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs- (BRASIL, 1997, p. 51) apontam que “[...] é um campo fértil para trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente”. A geometria insere-se, assim, no currículo da matemática como um campo, que a partir de conceitos relacionados a espaço, formas e localização, possibilita ao aluno compreender diferentes situações.
Em se tratando do programa curricular escolar, no campo da geometria fazem parte os conceitos círculo e circunferência, conceituando-os como espaços geométricos. De acordo com Dolce; Pompeo (1993) a definição de circunferência pode ser estabelecida como uma figura geométrica, pertencente a um plano, é constituída pelo conjunto de todos os pontos igualmente distantes de um ponto fixo desse plano, e o círculo determina-se como a área (parte interior) desta forma.
Os PCNs (BRASIL, 1997) apontam, ainda, para importância de utilizar recursos físicos tais como régua, compasso, transferidor e entre outros, assim como objetos já produzidos por artistas, como obras de arte, proporcionando ao aluno estabelecer relações de conceitos matemáticos com outras áreas do conhecimento.
Porém, é relevante destacar que muitas vezes os alunos possuem dificuldades para compreender os conceitos matemáticos e demonstram desinteresse em aprender “[...] muitos
têm a sensação de que a Matemática é uma matéria difícil e que seu estudo se resume em decorar uma série de fatos matemáticos, sem compreendê-los e sem perceber suas aplicações e que isso lhes será de pouca utilidade” (BRASIL, 1997, p. 79), o que acaba levando os alunos a afastarem-se cada vez mais da área Matemática e tudo que relaciona-se explicitamente a ela.
Cabe, assim, ao professor de Matemática, organizar e propor um ensino diferenciado, que possibilite ao aluno a significação de conceitos a partir de uma participação ativa e interativa das aulas, criando motivos para que queira aprender. Como significação entende-se processo de apreensão de conceitos (BATTISTI, 2016). Moura et al (2010a, p. 216) contribui nestes entendimentos ao afirmar que “[...] as ações do professor na organização do ensino devem criar, no estudante, a necessidade do conceito, fazendo coincidir os motivos da atividade com o objeto de estudo”. Nesse contexto, o professor deve definir sua proposta de ensino pensando na aprendizagem do aluno, relacionando os conceitos com o que o motiva a interagir e a querer aprender. Proporcionando, assim, ao estudante, por meio de situações desencadeadoras de aprendizagem que contemplem a gênese do conceito, a necessidade de apropriação do conceito de modo que suas ações sejam realizadas na busca da solução de um problema que o mobilize para atividade de aprendizagem. (MOURA et al, 2010b).
Diante do exposto, a presente escrita constitui-se a partir de uma pesquisa que tem como principal objetivo identificar, analisar e compreender quais aspectos de situações desencadeadoras de aprendizagem, contribuem na significação de conceitos matemáticos relacionados ao círculo/circunferência, seus elementos e suas relações, por estudantes do 9º ano. Esse objetivo é delimitado a partir da seguinte questão: quais aspectos de situações desencadeadoras de aprendizagem mostram-se potenciais na significação dos conceitos círculo e circunferência, seus elementos e suas relações, por estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental?
2. Procedimentos metodológicos
A pesquisa que estrutura a presente escrita se faz a partir de uma abordagem qualitativa com vistas a analisar as particularidades, estudando as experiências individuais, buscando a compreensão dos dados obtidos a partir da pesquisa. O desenvolvimento da pesquisa exigiu procedimentos para a produção e para a análise de dados. Os dados foram produzidos a partir da atuação da pesquisadora como residente do Programa Residência
Pedagógica da Instituição a qual faz parte. Assim, as ações que geraram os dados foram desenvolvidas em uma escola da rede pública parceira do Programa Residência Pedagógica.
Com base na demanda da escola, a partir da análise do desempenho dos alunos por meio de simulados, foi diagnosticando fragilidades com relação a vários conceitos matemáticos. Diante disso a escola organizou três turmas de 9º ano em quatro grupos, os quais foram convidados a participar no turno inverso de atividades extraclasse com vistas a minimizar ou sanar possíveis dificuldades/fragilidades apresentadas pelos estudantes. Este turno tinha a duração de 4 períodos de aula.
Para esta pesquisa estão sendo consideradas situações desencadeadoras de aprendizagem, relacionadas aos conceitos círculo e circunferência seus elementos e suas relações, desenvolvidas em dois turnos com dois grupos de estudantes dos quais participaram 30 alunos. As situações desencadeadoras de aprendizagem (SDA) consideradas na presente pesquisa têm um caráter teórico prático, ou seja, são atividades que tem a prática como ponto de partida e de chegada. O Quadro 1 apresenta a descrição das situações propostas a partir do conceito circunferência.
Quadro 1: Descrição das atividades
Conceitos Descrição
Situações desencadeadoras
de aprendizagem Circunferência
1º momento: Problema:
Ao andar com uma bicicleta, sua roda deu 20 voltas completas, qual a distância percorrida sabendo que a bicicleta tem aro 26?
2º momento: Atividade prática:
Em duplas, escolher um objeto de forma circular e medir sua circunferência seu diâmetro e seu raio. Completando o quadro a seguir:
3º momento: Sistematização da atividade prática:
Que medida encontramos quando dividimos a medida da circunferência pela medida do diâmetro? Você sabe o que significa esse número?
Fonte: Produção da pesquisadora
Na primeira atividade extraclasse foi proposto no primeiro momento o problema no qual os alunos foram sendo questionados sobre as relações existentes nas medidas da circunferência, raio e diâmetro, desta forma foi proposta pela pesquisadora que os alunos escolhessem mais objetos de forma circular para que fossem feitas as medidas, completassem o quadro e estabelecessem uma regularidade a partir da questão no terceiro momento.
O Quadro 2 apresenta descrição das situações propostas a partir do conceito círculo.
Quadro 2: Descrição das atividades Conceitos Descrição
Situações desencadeadoras
de aprendizagem Círculo
Problema 1:
Considerando que a área do menor quadrado menor da malha mede 1 unidade de área, qual a área aproximada do círculo?
Problema 2:
Como podemos calcular a área de um círculo?
Problema 3:
A diretora da escola gostaria de pintar novamente o círculo central e as áreas das goleiras da quadra de futsal. Sabendo que para cada metro quadrado usa-se aproximadamente 300 ml de tinta, qual a quantidade mais adequada de tinta será necessária comprar para pintar esses espaços da quadra?
Questões Círculo
- Você se envolveu com o desenvolvimento deste problema? Por quê?
- Quais entendimentos produzidos a partir do desenvolvimento deste problema?
Fonte: Produção da pesquisadora
Na segunda atividade extraclasse foi proposto no problema 1 que os alunos determinassem uma área aproximada para o círculo, através de conhecimentos prévios. No problema 2, os alunos determinaram mais uma vez a área do círculo, porém fazendo a decomposição de dois círculos e formando uma figura do qual possuíam conhecimento do modelo matemático para determinar a área, o retângulo. O problema 3, no qual envolvia-se a área do círculo, os alunos foram inseridos a partir dele em um contexto que relaciona-se com a quadra de futebol.
Em uma outra oportunidade foi desenvolvido com este mesmo grupo de estudantes um questionário, assim como mostra no Quadro 2, relacionado aos problemas propostos na segunda atividade extraclasse. Sendo que as duas perguntas foram feitas para cada um dos problemas.
E, para tanto, o planejamento das referidas situações desencadeadoras de aprendizagem, anotações da pesquisadora no diário de campo (relato analítico das atividades desenvolvidas), registros produzidos pelos alunos, registros fotográficos do desenvolvimento da atividade, transcrição de gravações em vídeo do desenvolvimento das atividades e questionário respondido pelos alunos, estão sendo considerados como instrumentos na produção de dados empíricos. Com vistas a manter o anonimato dos alunos sujeitos da pesquisa, na presente escrita, estes são identificados com as iniciais de nomes fictícios.
Para a efetivação das análises serão considerados aspectos teóricos apresentados, especialmente, por Moura (2010) e Moretti (2007) e constituir-se-ão a partir das unidades: Situações problemas na promoção da articulação de aspectos práticos e teóricos no estudo dos conceitos círculo e circunferência; e a percepção de regularidades e a instituição de processos de generalização.
3. Significação dos conceitos círculo e circunferência, seus elementos e suas relações, com estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental
Situações desencadeadoras de aprendizagem envolvendo os conceitos círculo e circunferência, abordados com estudantes do 9º ano, tem como objetivo retomar o estudo de tais conceitos possibilitando ao estudante atribuir sentido ao que aprendeu e, assim, ampliar o nível de tais significações. Battisti (2016, p. 45) define que “[...] a significação, como produtora de sentidos e de significados, é fundamental para se tratar do desenvolvimento cognitivo, o que implica conversão de relações sociais em funções mentais”, desta forma, a significação destes conceitos, proporciona ao estudante desenvolver funções mentais, através de um estímulo externo, e a partir desses estabelecer processos intramentais.
A significação dos elementos e suas relações dos conceitos círculo e circunferência, possibilita ao estudante compreender e utilizá-los em diferentes contextos, seja matemático ou de sua realidade. Nesse sentido, processos de generalização tornam-se indispensável para que o aluno consiga transitar por diferentes contextos.
3.1 Situações problemas na promoção da articulação de aspectos práticos e teóricos no estudo dos conceitos círculo e circunferência
Ao propor um ensino para alunos do 9º ano a partir de SDA, devemos considerar etapas muito importantes neste processo, considerando que estas situações devem partir de uma problemática inicial que tenha potencial para desencadear um processo de abstração e consequentemente de generalização. Neste sentido, a situação desencadeadora de aprendizagem pode considerar um problema inicial o qual possibilitará ao aluno colocar-se em atividade. De acordo com Moretti (2007, p.85), “[...] um sujeito encontra-se em atividade quando o objeto de sua ação coincide com o motivo da sua atividade”, o que implica em o aluno envolver-se com a situação proposta, sendo possível na medida que vislumbrar a possibilidade de resolver tal situação.
A situação desencadeadora de aprendizagem relacionada à bicicleta proporciona ao aluno a elaboração de ideias sobre a relação do tamanho do aro da bicicleta e o número de polegadas, sendo que o aro é entendido como a medida do diâmetro do conjunto roda mais o pneu em polegadas, assim como mostra a Figura 1, na qual o aluno está medindo o aro da roda da bicicleta com uma fita métrica.
Figura 1: Medida do aro da bicicleta
Fonte: Registro da atividade desenvolvida no dia 19/06/2019.
Nesse processo, o uso do objeto bicicleta facilita o desenvolvimento da atividade prática, considerando aspectos teóricos já tratados anteriormente. No sentido exposto, “[..] na busca de organizar o ensino, recorrendo à articulação entre a teoria e a prática é que se constitui a atividade do professor, mais especificamente, a atividade de ensino” (MOURA, 2010, p. 213), o que possibilita ao aluno estabelecer relações entre o que foi tratado teoricamente e o desenvolvido na prática, a partir das proposições estabelecidas, pois “[...] o professor a partir da necessidade de ensinar a seus alunos um determinado conceito planejará um conjunto específico de ações, que permitam a ele direcionar a sua atividade” (MORETTI, 2007, p.87). Dessa forma, há maiores possibilidades de o professor também se colocar em
atividade quando propõe um ensino significativo aos alunos através de práticas capazes de desencadear o estabelecimento de processos de aprendizagem.
Com vistas a resolução do problema proposto na SDA, os alunos foram conduzidos ao pátio da escola, para medir a distância percorrida pela bicicleta, como mostra a Figura 2.
Figura 2: Medindo a distância percorrida pela bicicleta
Fonte: Registro da atividade desenvolvida no dia 19/06/2019.
A prática desenvolvida no pátio da escola possibilitou que os alunos compreendessem a ideia da circunferência apropriando-se do seu significado. Explicando: ao voltar para sala de aula, através de uma conversa com os alunos que os levou ao estabelecimento de processos de reflexão, foi possível identificar e tratar de aspectos preponderantes no estudo de tais conceitos, pois “[...] o sujeito só é conhecedor do objeto que conhece pela atividade teórico-prática- pela reflexão e ação sobre ele – ou seja, pela práxis” (MORETTI, 2007, p. 93). Percebe-se, então a importância da SDA proposta aos alunos, possibilitando que os mesmos atribuíssem sentido ao que estão aprendendo.
Além disso, a proposta do contexto relacionado à bicicleta mostra-se potencial para que o aluno se envolva ativamente na resolução do problema, proporcionando ao mesmo que resgate conhecimentos adquiridos anteriormente, contribuindo na sua aprendizagem. Reis; Nehring (2017, p. 344) complementa esta discussão apresentado que “[...] é necessário que, a cada novo contexto, o desenvolvimento do procedimento matemático tenha sentido que contribua na formação dos significados para a formação de novo conceito”. A SDA possibilita que, tanto ao aluno quanto ao professor, se coloquem em atividade, estabelecendo relações entre teoria e prática apropriando-se de conhecimentos, o que proporciona a formação do
aluno e do professor. Moura et al (2010) contribui nesta discussão ao apresentar o conceito de Atividade Orientadora de Ensino (AOE). Para estes autores
[...] a AOE, ambos, professor e aluno, são sujeitos em atividade e como sujeitos se constituem como indivíduos portadores de conhecimentos, valores e afetividade que estarão presentes no modo como realizarão as ações que têm por objetivo um conhecimento de qualidade nova. (MOURA, 2010. p. 218)
O Problema 1 referido ao círculo, possuía um contexto matemático que possibilitou aos alunos estimar uma área sem que fosse necessário a utilização de um modelo matemático. A contextualização, viabilizada pelo contexto que o problema abrangeu, mostrou-se como um dos aspectos importantes na significação dos conceitos matemáticos envolvidos na resolução do referido problema. Desta forma, “[...] a contextualização enquanto princípio pedagógico, precisa ser entendida como potencializadora dos processos de ensino, objetivando a aprendizagem de conceitos.” (REIS; NEHRING, 2017, p. 342). No processo de ensino e de aprendizagem, independente do contexto a ser utilizado, deve-se considerar que seja potencial para que o aluno produza sentido. De acordo com Reis; Nehring (2017) o contexto, tem como objetivo a aprendizagem do conceito e consequentemente a atribuição de sentidos pelo aluno.
No questionário respondido pelos alunos, foi possível identificar em uma das escritas dos alunos H.R. e V.L. que “os entendimentos gerados foi conceito de área [...] com resultados aproximados da área do círculo”. A análise permite indicar que o problema inicial proposto da SDA possibilitou a produção de entendimentos relacionados ao conceito área e área do círculo. A resolução do problema permite a identificação de uma unidade de medida de área e a comparação desta com uma determinada superfície, resultando a definição de uma medida, no caso, aproximada.
Os alunos F.A. e T.B. consideraram relação entre os conceitos envolvidos, indicam: “[...] tivemos a percepção de como calcular a área a partir de descobrir o raio do círculo. [...] Aprendemos também a importância do π na sua área”. Dessa forma, salienta-se que a oficina desenvolvida com os alunos do 9º ano tinha como um dos principais objetivos retomar conceitos e conteúdos já tratados anteriormente, mas também possibilitar, a partir de sentidos atribuídos a ampliação do nível conceitual relacionado ao círculo e circunferência.
O Problema 2, relacionado com a área do círculo, possibilitou ao aluno a compreensão de aspectos geométricos que envolvem registros na forma geométrica e algébrica. Nesta atividade prática dois círculos foram divididos em pequenos triângulos e organizados na forma retangular, como relata os alunos B.R. e S.W., a partir do questionário, afirmam: “[...] fizemos dois círculos do mesmo tamanho, recortando de forma uniforme, em 16 partes, para
formar um retângulo”. Este problema possibilitou aos alunos compreender, por meio da articulação entre teoria e a prática, relações importantes no estabelecimento de um modelo matemático que expressa a área de um círculo a partir da relação entre área do círculo e medida da circunferência. Nesse contexto, é possível conjecturar que o aluno se coloca em atividade para a produção de conhecimentos, ou seja, a SDA mostra-se potencial em promover uma necessidade, e esta em gerar no aluno um motivo para que ele queira aprender.
Figura 3: Área do círculo
Fonte: Registro da atividade desenvolvida dia 26/06/2019.
Moretti (2007, p. 92) amplia essas discussões ao afirmar que:
A atividade assim entendida pressupõe uma dimensão teórica e uma dimensão prática e é só nessa unidade que ela existe. Na sua dimensão teórica encontramos o motivo, o objetivo, o plano de ações a serem realizadas, a escolha dos instrumentos... Já na dimensão prática temos as ações, as operações e o objeto da atividade.
Sendo assim, o aluno motivado pela busca do conhecimento e resolução do problema, na sua dimensão teórica, coloca-se em atividade, ao desenvolver a prática proposta, considerando operações e o objeto da atividade.
O problema proposto inicialmente, que integra uma SDA, deve promover a criação de uma necessidade e, assim, motivos para que o aluno envolva-se na resolução. Para tanto, o problema deve considerar um contexto matemático ou relacionado à uma determinada realidade, potencial na produção de sentidos pelos alunos. Tais aspectos viabilizam que o aluno estabeleça relações entre teoria e a prática constituindo uma práxis, que sejam instituídos processos de abstração e de generalização e, assim, permitindo a apropriação dos conceitos círculo e circunferência, seus elementos e suas relações.
3.2 Instituição de processos de generalização
O processo de generalização está relacionado com a abstração. Para a Reis, (2017, p. 30) a abstração “[...] é alcançada quando os signos matemáticos servirem de instrumento do pensamento para a resolução de um problema, independentemente do contexto, justamente
porque ele possui um significado que possibilita resolver aquela situação.” A referida autora destaca, ainda que “[...] a abstração e a generalização possibilitam ao aluno a “formalização” do processo de análise e síntese na significação de conceitos matemáticos” (REIS, 2017, p. 30). Dessa forma, no desenvolvimento de uma SDA, devemos analisar se esta situação é potencial para que a partir da situação particular, considerando aspectos gerais dos conceitos, o aluno estabeleça relações por meio de processos de abstração e generalização.
Para que se estabeleça processos de generalização o pensamento do aluno precisa ser organizado e encaminhado para que estabeleça relações importantes na significação dos conceitos, no caso, da circunferência e do círculo. Um desses elementos considerado como importante nesse processo é a organização dos dados na forma de quadro, como mostra a Figura 4.
Figura 4: Anotação das medidas e cálculos
Fonte: Registro do Caderno do Aluno H.R. relacionado a atividade desenvolvida dia 12/06/2019.
Além disso, a questão proposta no terceiro momento como sistematização da atividade prática “Que medida encontramos quando dividimos a medida da circunferência pela medida do diâmetro? Você sabe o que significa esse número?”, possibilita ao aluno colocar-se no processo de aprendizagem, através de uma DAS. No sentido exposto, “[...] a compreensão das tarefas de estudo pelo estudante está associada à generalização teórica, sendo o conteúdo da atividade de estudo, as formas elevadas da consciência social, ou seja, o conhecimento teórico.” (MOURA, 2010, p. 209). Desta forma, a questão proposta ao aluno viabiliza a análise das anotações no quadro, a percepção de regularidades e, assim, o estabelecimento de um processo de generalização do conhecimento teórico.
Tais aspectos podem ser observados a partir da análise da transcrição de um diálogo da aluna S.S. com os demais colegas, no qual ela questiona “Quantas vezes isso daqui, o diâmetro cabe nessa circunferência? Quantas vezes?”. Quando um de seus colegas responde sua pergunta afirmando ser 3,14, a aluna S.S. reafirma “Sim, faz uma divisão, é quantas vezes ele cabe”, Tais excertos possibilitam indicar que a questão que norteia a generalização do conceito é fundamental para o esclarecimento de ideias que não haviam sido explicitadas durante a aula. É possível identificar que a aluna compreendeu o significado de π,
considerando que o mesmo seja uma letra grega que representa a razão de uma circunferência pelo seu respectivo diâmetro.
Nesse processo de generalizações afirmamos que “[...] a descoberta geralmente vem como desfecho do processo de experimentação, de procura, de pesquisa e se expressa por um sorriso que simboliza a alegria de um desafio vencido, de um sucesso alcançado, de um novo conhecimento adquirido” (LORENZATO, 2008, p.81). O aluno constrói seu próprio conhecimento através de SDA, que possibilita colocá-lo interativamente nesse processo.
A partir de registros numéricos organizados na forma de quadro, foi possível estabelecer um modelo matemático, com registro algébrico, para determinar a medida de uma circunferência, sendo conhecido a medida de seu raio ou diâmetro, como mostra a Figura 5.
Figura 5: Registro da generalização
Fonte: Registro do Aluno H.R. da atividade desenvolvida dia 12/06/2019.
Após o desenvolvimento da atividade prática, foram feitos pela professora questionamentos para que os alunos visualizassem com maior facilidade o que estava sendo proposto, tais como: “O que podemos considerar em relação ao comprimento desta figura formada? E sobre a largura?”. Com e a partir destas proposições o aluno vai elaborando ideias sobre as relações existentes entre a figura formada e os círculos, como podemos perceber no relato das alunas C.K. e J.B. “Com esse método foi mais fácil calcular a área do círculo”, considerando que a partir destes encaminhamentos chegamos à um modelo matemático para calcular a área de qualquer círculo. Nesse contexto entende-se que “[...] para a formação do pensamento teórico do estudante, faz-se necessário organizar o ensino de modo que realize atividades adequadas para a formação desse pensamento”. (MOURA, 2010, p. 210). Assim, a questão proposta no planejamento, contribui na organização do pensamento matemático.
Ou seja, as proposições apresentadas permitiram ao estudante a percepção de regularidades, a organização de seu pensamento matemático e o estabelecimento de relações entre a prática desenvolvida e aspectos teóricos relacionados aos conceitos circunferência e círculo, bem como as suas relações.
Além disso, é importante evidenciar novamente que este conceito já foi abordado em outro ano da escolarização destes alunos, bem como mencionam as alunas C.B., M.B. e R.E. “Revisamos um conteúdo já trabalhado de forma simples, dinâmica e divertida”. No sentido exposto, trazer o conceito área do círculo através de uma atividade prática que considera o estabelecimento de processos de generalização, proporciona ao aluno a apropriação de significados para aquilo que aprende. Lorenzato (2008) afirma que “[...] o concreto é necessário para a aprendizagem inicial, embora não seja suficiente para que aconteça a abstração matemática” (LORENZATO, 2008, p. 20), desta forma, evidenciamos que apenas a atividade prática não seria suficiente para que o aluno compreendesse as relações existentes.
Professor e aluno colocam-se em atividade ao envolver-se com a proposta pedagógica, considerando o ensino e a aprendizagem, assim como ressaltam os alunos G.G. e G.N. ao afirmar que “[...] nos envolvemos na quadra da escola e com a trena medimos o círculo central e os círculos dos goleiros. Descobrimos assim os raios, os diâmetros para o desenvolvimento” e complementam afirmando que estabeleceram “[...] o entendimento da área do círculo (π.r²) para calcular dos dois meio-círculos”. A partir destas afirmações, é possível conjecturar que um problema potencial, como forma de sistematizar o conceito, possibilita entendimentos que generalizam o que foi desenvolvido durante a aula.
Portanto, “[...] mobilizar conceitos entre contextos exige compreensão conceitual, processos de abstração a partir de sentidos e significados” (REIS; NEHRING, 2017, p. 344), a generalização desta forma, entende-se como um processo que envolve abstração de conceitos.
Sendo assim “[...] as generalizações na atividade pedagógica são apresentadas como ações e operações coletivas e cooperativas entre estudantes, e entre o educador e os estudantes” (BERNARDES; MOURA, 2009, p. 473). Esta relação entre educador e estudante apresentada por Bernardes; Moura (2009), possibilita compreender que o processo de generalização é instituído quando a SDA estiver vinculada com o conhecimento teórico produzido com e a partir da prática.
Considerações finais
O desenvolvimento da pesquisa possibilitou a identificação e análise de aspectos de situações desencadeadoras de aprendizagem que mostram-se potenciais na significação dos conceitos círculo e circunferência, seus elementos e suas relações, por estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental. Nesse momento, a partir do objetivo e da questão proposta, bem como das análises efetivadas, são apresentados, na forma de síntese, indicativos com caráter conclusivo.
A proposição de um problema inicial pode promover o estabelecimento de uma necessidade e a possibilidade de atender a essa necessidade pode motivar o aluno a querer aprender, desta forma há condições de o aluno colocar-se em atividade, pois o objeto de sua ação coincide com os motivos de sua atividade.
O problema, por sua vez, deve considerar um contexto, sendo matemático ou relacionado à realidade do aluno, mas potencial, para que o mesmo atribua sentido ao que está aprendendo. Dessa forma, o professor também se coloca em atividade ao propor um ensino que considera a articulação entre a teoria e a prática, direcionando sua atividade para o estabelecimento de um modelo matemático capaz de representar a situação envolvida no problema.
O problema inicial mostrou-se potencial na instituição processos de generalização. Para tanto, o pensamento do aluno precisou ser organizado e encaminhado para que houvesse o estabelecimento de relações importantes na significação dos conceitos. O que pode auxiliar o aluno nesse processo são questionamentos e intervenções organizadas e planejadas pelo professor no decorrer desse processo.
É possível conjecturar que um problema potencial, como forma de sistematizar o conceito, possibilita entendimentos capazes de promoverem a generalização do desenvolvido durante a aula.
O professor como mediador neste processo, é responsável por propor aos alunos SDA, desta forma, elaborar e desenvolver tais situações em aulas de matemática torna-se um desafio para o docente. Com este olhar cuidadoso, salienta-se que para uma aprendizagem efetiva, torna-se indispensável que a teoria e a prática caminhem juntas, de forma articulada, instituindo processos de aprendizagem pela práxis, possibilitando reflexões e ampliando também os saberes do professor de matemática, transformando-o através de experiências.
Sendo assim, a SDA mostrou-se potencial em promover no aluno motivos para que ele queira aprender.
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