slides-mac-003-unidade-01

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Unidade 01 – Flexão Oblíqua

Resistência dos Materiais II

Elson Toledo Flávia Bastos Leonardo Goliatt

Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora

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Flexão Oblíqua

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Caracterização da flexão oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer Verificação da estabilidade

Momento fletor máximo Exemplo 1

Exemplo 2 Exemplo 3

(3)

Flexão Oblíqua Introdução

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Exemplo 2 Exemplo 3

(4)

Flexão Oblíqua Introdução Flexão Oblíqua

Introdução

O estudo da teoria de flexão realizado na Resistência dos Materiais I restringe-se ao caso denominado flexão reta

y z

Mz

LN

σx

(5)

Introdução

Carregamento situado no plano de solicitação (PS)

o PS é um plano que intercepta a seção segundo seu eixos principais de inércia – dois para o retângulo O eixo de solicitação (ES ou ss) é a interseção entre o PS e o plano da seção

O momento fletor é perpendicular ao eixo de solicitação

O plano de ocorre a flexão é o plano de solicitação (PS) A linha neutra (LN ou nn) é definida como o lugar geométrico das tensões normais nulas

y z PS ES, ss Mz LN, ss

(6)

Introdução

Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo os dois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)

z

y

Mz

PS

(7)

Introdução

z

y

My PS

(8)

Introdução

z

y

Mz z

y My

(9)

Introdução

Como último exemplo temos as seções L com abas iguais, com os planos de solicitação cortando a seção segundo seus eixos principais de inércia

y z

Mz

y _z

(10)

Introdução

Os casos em seguida mostram que dependendo da posição do plano de solici-tação as seções estarão submetidas a um tipo de flexão diferente

y z

M

(11)

Introdução

Isso ocorre mesmo em casos de seções com dois eixos de simetria, como as seções retangulares Está é denominada a flexão não simétrica, oblíqua ou desviada Nestes casos, o ES (ss) não é ⊥ a LN

É necessário determinar a posição da LN, a partir do con-hecimento da posição do eixo de solicitação (ss)

y z

(12)

Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Caracterização da flexão oblíqua

Tensões normais na flexão oblíqua

Exemplo 2 Exemplo 3

(13)

Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

Vamos considerar uma seção transversal qualquer, como a origem do sistema de eixos em seu centroide C

y z M M y z Mz My ES, ss π 2 C

(14)

Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

Casos de ocorrência

1

1_{http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/E%20-%20Flexao%20Pura.pdf}

(15)

Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Caracterização da flexão oblíqua

Tensões normais na flexão oblíqua

Exemplo 2 Exemplo 3

(16)

Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua Flexão Oblíqua

Tensões normais na flexão oblíqua

Situação na flexão oblíqua

n n s s M PS dA dF z y

(17)

Tensões normais na flexão oblíqua

Na flexão oblíqua, as seções giram em torno de um eixo chamado Eixo Neutro ou Linha Neutra (LN)

O PS não é mais o plano de flexão como ocorre na flexão reta

n n s s M u v u δdx dϕ dϕ ES LN dx ρ G0 _G f f P

(18)

Tensões normais na flexão oblíqua

Seja P um ponto genérico da seção e u a distância de P à LN

dxa distância entre duas seções transversais adjacentes

dϕ o giro relativo entre as duas seções separadas por dx ρ o raio de curvatura sofrido pela fibra após a deformação

δdx o alongamento sofrido pela fibra dx cuja posição é definida por u e v

n n s s M u v u δdx dϕ dϕ ES LN dx ρ G0 G f f P

(19)

Tensões normais na flexão oblíqua

Temos que εx= δdx dx = utan dϕ dx = udϕ dx = udϕ ρdϕ = u ρ Pela lei de Hooke

σx= Eεx= Eu ρ ⇒ E ρ = σx u n n s s M u v u δdx dϕ dϕ ES LN dx ρ G0 G f f P

(20)

Tensões normais na flexão oblíqua

Outra maneira de chegarmos as mes-mas expressões:

O plano de solicitação PS não con-tém um dos eixos principais de inér-cia

A interseção do PS com o plano da seção define o eixo de solicitação (ES)

O momento interno M é ⊥ ao ES e é decomposto segundo a LN

Mn= M cos θ

onde θ é o ângulo entre o ES e a LN As seções giram em torno de um eixo denominado eixo neutro ou linha neutra (LN, nn) y z C ES M α β θ Mn B LN, nn P u β v

(21)

Tensões normais na flexão oblíqua

Seja P um ponto genérico da seção

ua distância de P à LN

dxa distância entre duas seções

transversais adjacentes

ρ o raio de curvatura sofrido pela fibra após a deformação

dXo comprimento de uma fibra a

distância u da LN

dϕ o giro relativo entre as duas seções separadas por dx

ρ dx dϕ LN dX u y z C ES M α β θ Mn P u LN y z C ES M α β θ Mn B LN P u β v

(22)

Tensões normais na flexão oblíqua

Temos que εx= dX − dx dx = (ρ+ u)dϕ − ρdϕ ρdϕ = u ρ Pela Lei de Hooke,

σx= Eεx= Eu ρ ⇒ E ρ = σx u ρ dx dϕ LN dX u

(23)

Tensões normais na flexão oblíqua

Sabemos que o esforço normal na

seção é nulo (N= 0) N= Z A σxdA= Z A Eu ρ dA= E ρ Z A udA= 0

O que permite escrever

u= Z A udA= 0 Conclusões: ué a distância da LN ao centroide da seção

A LN é baricêntrica (passa pelo centroide da seção) y z C ES M α β θ Mn B LN, nn P u β v

(24)

Tensões normais na flexão oblíqua

O momento Mncom relação a LN é

dado por Mn= Z A uσxdA= Z A Eu2 ρ dA= EIn ρ onde In= R_Au2dA

Daí temos que

Mn In = E ρ = σx u ⇒σx= Mnu In Conclusões:

σxé um plano nas coordenadas u e

v(ou quaisquer coordenadas com relação a quaisquer pares de eixos) Comportamento similar ao da flexão reta y z C ES M α β θ Mn A B σA σB

–

+

uA uB LN, nn P u β v

(25)

Tensões normais na flexão oblíqua

O momento Mscom relação ao ES é

nulo pois M ⊥ ES Ms= Z A vσxdA= E ρ Z A uvdA= 0

Daí temos que Ins=

Z

A

uvdA= 0

onde Insé o produto de inércia em

relação aos eixos oblíquos ES e LN Conclusões:

ES e LN fazem parte da elipse cen-tral de inércia da seção

y z C ES M α β θ Mn B LN, nn P u β v

(26)

Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer Verificação da estabilidade

Exemplo 2 Exemplo 3

(27)

Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra Flexão Oblíqua

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Seja P um ponto genérico distante u da LN

Ino momento de inércia com relação

a LN

α indica a posição do eixo de solicitação (ES) em relação ao eixo z β indica a posição da linha neutra (LN) em relação ao eixo z

Temos que Ins= 0

Vamos mostrar que se y e z são eixos principais de inércia, então

tan α tan β= −Iz Iy y z C ES M α β θ Mn A B σA σB

–

+

(28)

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Para a determinação de In, sejam

α a posição relativa do ES ao eixo z β a posição relativa da LN ao eixo z dAum elemento de área com coor-denadas y e z com relação a xCy As coordenadas dA são u com re-lação a LN e v com rere-lação ao ES A tranformação de coordenadas fica

v = y cos α − z sin α u = z sin β − y cos β E então Ins = R_AuvdA = 0 In = R_Au2dA Is = R_Av2dA z y α β α α β β α β u v ES LN dA C M n n s s

(29)

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Sabemos que

Ins = R_AuvdA

= R_A(z sin β − y cos β)(y cos α − z sin α)dA

= R_Ayzsin β cos α − z2_{sin β sin α − cos α cos βy}2_{+ yz cos α cos β}

= Iyzsin β cos α − Iysin β sin α − Izcos α cos β+ Iyzcos α cos β

= (Iyz− Iy) sin β cos α+ (Iyz− Iz) cos α cos β

= 0

Se y e z forem os eixos principais de inércia, Iyz= 0

Ins = −Iysin β sin α − Izcos α cos β

o que nos permite escrever (já que Ins= 0)

sin α cos α sin β cos β = − Iz Iy ⇒ tan α tan β= −Iz Iy

(30)

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Temos também que In= R_Au2dA, ou

In = R_A(z sin β − y cos β)2dA

= Iysin2β − 2Iyzsin β cos β+ Izcos2β

Se y e z forem os eixos principais de

inércia, Iyz= 0

In= Iysin2β + Izcos2β

E por fim, com Mn = M cos θ,

pode-mos calcular σn= Mn In u y z C ES M α β θ Mn A B σA σB

–

+

(31)

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

A flexão reta é um caso particular da flexão oblíqua

Se M= Mz, então o eixo y é o eixo de solicitação

Cy ≡ ES α = π 2 β = 0 Cz ≡ LN u = y Mn = Mz In = Iz Como resultado σx= Mn In u= Mz Iz y y≡ ES z≡ LN C M α β = 0 P u = y M = Mz

(32)

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

A flexão reta é um caso particular da flexão oblíqua

Se M= My, então o eixo z é o eixo de solicitação

Cz ≡ ES α = 0 β = π 2 Cy ≡ LN u = z Mn = My In = Iy Como resultado σx= Mn In u= My Iy z y≡ LN z≡ ES C M α = 0 β P u = z M = My

(33)

Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Verificação da estabilidade Momento fletor máximo Exemplo 1

Exemplo 2 Exemplo 3

(34)

Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer Flexão Oblíqua

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Hipóteses básicas

O momento M é decomposto em duas componentes Mye Mz

O esforço normal é nulo (N= 0) Regime de pequenas deformações Material elástico linear ⇒ σx= Eεx

y z Mz C My + – + –

(35)

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Hipóteses básicas

Postulado de Navier-Bernoulli: seções planas normais ao eixo geométrico da barra antes da deformação permanecem planas e normais a esse eixo após a deformação2

z y

C

u(y, z) = Ay + Bz

2_{Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora Louis}

Navier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões em vigas.

(36)

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Se a condição de Navier-Bernoulli prevalece, temos que o deslocamento na di-reção normal ao eixo geométrico, para um dado valor de x, forma um plano que passa pela origem, pode ser escrito

u= Ay + Bz

onde A= A(x), B = B(x) e podem ser consideradas constantes ao logo da seção

z y

C

u(y, z) = Ay + Bz

(37)

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

A deformação longitudinal fica

εx= du dx = d dx(Ay+ Bz) = dA dxy+ dB dxz= c1y+ c2z Considerando o regime elástico linear, temos que

σx= Eεx= E(c1y+ c2z)= (Ec1)y+ (Ec2)z)= ay + bz

(38)

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

E do equilíbrio das forças internas

Mz =

R

AσxydA = a RAy

2_dA_{+ b R}

AyzdA = aIz+ bIyz

My = − R_AσxzdA = −a R_AyzdA − b

R Az 2_dA _{= −aI} yz− bIy y z σx τxz τxy dA

(39)

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Rearranjando os termos ( Mz = aIz+ bIyz My = −aIyz− bIy → " Iz Iyz −Iyz −Iy # "a b # =" Mz My # Daí "a b # = 1 IzIy− Iyz2 "−Iy −Iyz Iyz Iz # " Mz My # e os coeficientes ficam a = MzIy+ MyIyz IzIy− Iyz2 b = −MyIz+ MzIyz IzIy− I2yz

(40)

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Retornando em

σx= ay + bz

Temos para o caso de y ou z serem eixos quaisquer

σx=       MzIy+ MyIyz IzIy− Iyz2      y −       MyIz+ MzIyz IzIy− Iyz2      z ou σx= (MzIy+ MyIyz)y − (MyIz+ MzIyz)z IzIy− Iyz2

O método acima é útil quando as direções principais não são conhecidas, mas Iy,

Iyze Izpodem ser determinados.

(41)

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Agora vamos supor que y ou z sejam os eixos principais de inércia

Se tal condição é válida temos Iyz= 0 e a expressão acima se reescreve como

σx= Mz Iz ! y − My Iy ! z

(42)

Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Verificação da estabilidade

Exemplo 2 Exemplo 3

(43)

Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade Flexão Oblíqua

Verificação da estabilidade

A verificação da estabilidade consiste em comparar e asseguar-se que as máxi-mas tensões normais atuantes sejam menores que os valores admissíveis

σcé a tensão máxima de compressão e σté a tensão máxima de tração

Vamos definir A e B os pontos mais distantes da LN (mais solicitados), com uAe

uBas respectivas distâncias y z C ES M α β θ Mn A B σA σB

–

+

uA uB LN, nn P u

(44)

Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade Flexão Oblíqua

Verificação da estabilidade

As seguintes têm que ser satisfeitas

σA = MnuA In ≤ σ_c σB = MnuB In ≤ σt

Nas expressões acima não usamos nenhum sinal

Os sinais dependem da identificação prévia dos pontos onde ocorre tração ou compressão

(45)

Flexão Oblíqua Momento fletor máximo

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Momento fletor máximo

Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3

(46)

Flexão Oblíqua Momento fletor máximo Flexão Oblíqua

Momento fletor máximo

A partir da definição da LN e consequentemente das fibras mais solicitadas podemos calcular a capacidade portante

Supondo Mmaxo momento máximo que a seção pode estar submetida, temos

Mmax=

σtIn

u

Para o caso em análise, com A e B os pontos mais solicitados

Mmax≤ min (_σ tIn uB , σcIn uA ) y z C ES M α β θ Mn A B σA σB – + uA uB LN, nn P u

(47)

Flexão Oblíqua Resumo Flexão Oblíqua

Resumo

My= M cos α; Mz= M sin α; tan α =

My Mz σx=       MzIy+ MyIyz IzIy− Iyz2      y −       MyIz+ MzIyz IzIy− Iyz2      z tan α tan β = −Iz

Iy (Eixos principais de inércia)

σx= Mz Iz ! y − My Iy !

z (Eixos principais de inércia)

σn=

Mn

In

u, In= Iysin2β − 2Iyzsin β cos β+ Izcos2β

σA= MnuA In ≤ σ_c, σ_B = MnuB In ≤ σ_t Mmax≤ min (σ tIn uB , σcIn uA ) M y z Mz My ES, ss π 2 C y z C ES M α β θ Mn A B σA σB – + uA uB LN, nn P u

(48)

Flexão Oblíqua Resumo Flexão Oblíqua

Resumo

Se mudarmos a orientação do eixo z, os sinais de algumas as expressões anteri-ores se alteram σx=       MzIy− MyIyz IzIy− Iyz2      y −       MyIz− MzIyz IzIy− Iyz2      z tan α tan β = +Iz

Iy (Eixos principais de inércia)

M y z Mz My ES, ss π 2 C

(49)

Flexão Oblíqua Exemplo 1

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Momento fletor máximo

Exemplo 1

Exemplo 2 Exemplo 3

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Flexão Oblíqua Exemplo 1 Flexão Oblíqua

Exemplo 1

Para a seção ilustrada ao lado, pede-se calcular as tensões nos vértices do retângulo, determinar a linha neutra (LN, nn) e desenhar o diagrama de tensões referenciado à LN. Dados: M= 150 kNm; α = 70o ES y z 60 cm 20 cm C M 70o

(51)

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Exemplo 2

(52)

Exemplo 2

Para o perfil L (dimensões

em mm), pede-se determinar a posição de nn e as tensões máximas. Dados: M= 50 kNm. ES C M 600 50 50 400

(53)

Programa

1 Flexão Oblíqua

Introdução

Exemplo 2

(54)

Exemplo 3

um momento M age na viga engastada de acordo com a figura. Determine a tensão

normal no pto A e a posição da LN. Cotas em mm. Dados: M= 1, 5(106_{) Nmm.}

y z 12 12 12 100 80 C M A M A