IFT, TM - 03/80
Maurício Salveti de Oliveira
Gravitacao com Campo Escalar
Conformemente Invariante
Dissert-açSo de Mestrado apresentada no
Instituto de Física Teórica
Orientador; Professor Antônio José Accioly
São Paul o
Agradecimentos
Aos professores A. J. Accioly e R. Al dr ovandl pela
amizade e orientação.
Ao Instituto de Física Teórica pela acolhida.
Aos demais professores, funcionários e colegas do IFT,
em particular George E. A. Matsas e Luís D. Almeida.
^ CAPES C Coordenação de Ap>erfeiçoamento do Pessoal de
Resumo
Um universo oscilante é obtido no contexto de uma teoria de gravitaçSo acoplada a um campo escalar conformemente invariante. Tal solução corresponde a um universo aberto e é caracterizada por um parâmetro interpretado como uma carga escalar. Este resultado nSo é conflitante com aqueles dos teoremas das singularidades, uma vez que uma das desigualdades básicas dos referidos teoremas, T^^t^t^>0 para qualquer vetor tipo-tempo t^, nSo se verifica neste caso. Uma soluçSo geral estática e esfericamente simétrica relativa à teoria tensorial-escalar é encontrada. Mostramos que a estrutura do horizonte de eventos associado à soluçSo usual de Schwarzschild é drasticamente alterada. A presença em um corpo de uma quantidade ainda que infinitesimal mente pequena de carga escalar é suficiente para conferir ao horizonte de Schwarzschild a topologia de um ponto. Com isto nSo se pode mais falar de buracos negros no sentido usual. Os parâmetros PPN da soluçSo modificada de Schwarzschild encontram-se em boa concordância com aqueles da relatividade geral. Conseqüentemente qualquer possivel correção aos testes clássicos da gravitação não é passível de detecção pelos atuais instrumentos de medição. Um potencial da forma ó adicionado à teoria original, preservando a invariância conforme desta última. Em decorrência obtêm-se um teorema "no—go" para o cenário inflacionário concernente ao modelo cosmológico isotrópico padrão.
Abstract
A bouncíng univers© is obbained in t,h© framework of a theory of gravitation with a conformally invariant- scalar field. This solution corresponds to an open univers© and is characterized by a parameter which is int©rpret©d as a scalar charge. This result does not conflict with thos© of th© singularity theorems, sinc© one of th© theorems’ basic i nequal i ti es, T^^t^t^>0 for any timelike vector t^, does not hold here. A general static spherically symmetric solution concerning the scalar-tensor theory is found. We show that the structure of the event horizon concerning the standard Schwarzschild solution is drastically changed. Even th© presence of a vanishingly small amount of scalar charge in a body is sufficient to give to the Schwarzschild horizon the topology of a point. As a result, we cannot speak of a black hol© in th© usual sense. The PPN parameters of the modified Schwarzschild solution are in good agreement with those of general relativity. Consequently any possible correction to classical tests of gravitation turns out to be undetectable by the present apparatus. a potential of the form Xip* is added to the original theory which does not break its conformai invariance. As a result, a no-go theorem for th© inflationary scenario concerning the standard isotropic cosmological model is obtained.
índice
INTRODUÇXO 1 Referências 5
I. UM UNIVERSO OSCILANTE 6 I.l - Universos de Robertson-Walker tendo como
fonte um campo escalar conforme 6 1-2-0 campo escalar conforme é um fluido perfeito 9 ^•2 - Um "Hot Bouncing cosmological model “ lO Referências 11
II. ENCONTRA-SE O EFEITO DA CARGA ESCALAR AO ALCANCE
DAS ATUAIS TÉCNICAS EXPERIMENTAIS? 12 II. 1 - SoluçSo de Schwarzschild modificada 12 ^^•2 - Limite de campo fraco Climite Newtonianoí 14 Referências 14
III. CAMPOS ESCALARES VERSUS BURACOS NEGROS 15 III.1 - Da métrica isotrópica para a de Schwarzschild .... 15 III. 2 - No black holes 16 Ref er ênci a 17
IV. incompatibilidade entre CENÁRIOS INFLACIONÁRIOS
E INVARIANCIA CONFORME 18 IV. 1 - O que vem a ser "inflaçao", afinal? 18 IV. 2 - Um nSo-resultado 23 Referências 25
EPI LOGO 26
INTRODUÇÃO
£ crença generalizada em nossos dias que a relatividade geral seja a mais simples teoria de gravitaçSo em concordância com todos os atuais dados experimentais. Grande confiança é tambóm depositada na conjectura sobre o censor cósmico** . De acordo com esta última as singularidades nuas seriam banidas pela natureza, a qual atuaria como uma espécie de "censor cósmico". Fisicamente isto significa que o colapso gravitacional completo de um corpo resulta sempre em um buraco negro ao invés de uma singularidade. Em outras palavras, todas as singularidades do colapso gravitacional estSo "escondidas" no interior de buracos negros onde nSo podem ser "vistas" por observadores distantes.
Apesar do grande número de crentes na gravitaçSo de Einstein, bem como na hipótese sobre o censor cósmico - a qual, em certo sentido, está incorporada em seu bojo - esperanças existem de que versSes alternativas ou generalizadas da relatividade geral venham a ser formuladas onde, por um lado, universos nSo- -singulares e em expansSo possam ser gerados, superando assim as fortes restriçSes impostas pelos teoremas concernentes às singularidades*®^; e por outro, modelos destituídos do usual horizonte de eventos associado à tSo bem conhecida solução de Schwarzschild possam ser construídos.
Certamente uma tal teoria, caso exista, deverá possuir alguma simetria física subjacente não encontrável na teoria convencional de Einstein. Neste sentido, parece que diversas razóes existem para se pensar na invarianc ia conform& como uma simetria desejável para a fisica fundamental*^ *°.^No entanto, como
é sabido, a açSo usual d© Einst®in-Hi1b®rb nao é conformement© invariante. Urna salda para esta dificuldade é, pelo menos em parte, considerar uma teoria tensorial—escalar onde o campo escalar seja conformemente invariante. Como conseqüôncia a açSo relativa à teoria separa-se naturalmente em duas partes: campo escalar conformemente invariante e gravitaçSo. A açSo conformemente invariante tem a forma
= Jd*x vCT" -1 / ] .
onde ^ ó o campo escalar conforme e <p : ~d <p . Como ação gravitacional toma-se a tradicional ação de Einstein-Hilbert
s = fd‘*x ■/ -g — , ca:> g J ^ «
onde « é a constante de Einstein. Adotamos as convençSes de Papape trou para a métrica C+ J e as definiçSes dos tensores de Riemann e de Ricci'*^’. As unidades sSo escolhidas de modo tal que h=c=l ,
H
—2
e portanto —- = G = M é a constante gravi taci onal Newtoniana. 8tt pl ®
As correspondentes equações de campo sSo dadas por
G + K T = O , C3D (UV /JV
a<p 0 ^ ~ ® * C4D com
T = \<i> 4> - ^g 4> - g
Chamamos a atençSo para o fato de que este é um tensor de divergência nula, "igual" ao tensor de Einstein, e que nSo contém derivadas da métrica. Como tal ele é o único t&nsor cL& momonto- -energict correto.
R = o , C65 vinculo que pode ser ut.ilizado para reescrever C3D e C45 nas formas
/jp 4$ $ I u g $ + 2$ 7 V fji> a (j V ) C7D C8D D$ = O co:> onde $ = V k/6 <(>
Observe que a t-eoria previament-e delineada é uma teoria tensorial- -escalar com constantB gravítacionai constante , e nSo deve ser confundida com teorias gravitacionais com constante graxfi tacionai "oarià.x>el como, por exemplo, a teoria de Brans—Dicke^* .
Nosso propósito aqui é duplo. Inicialmente mostraremos que é possivel obter-se um universo oscilante no contexto da teoria acima. Em segundo lugar provaremos que a estrutura do horizonte de eventos concernente À soluçSo padrão de Schwarzschild é drasticamente modificada quando se considera esta teoria de gravitação com campo escalar conforme. A presença de "carga escalar" num corpo, mesmo em quantidade infinitesimal, é suficiente para conferir ao horizonte de Schwarzschi1 d a topologia de um ponto, acarretando em não mais se poder falar em buracos negros no sentido usual.
O presente trabalho estã organizado como se segue. No capitulo consideramos universos do tipo Robertson-Walker tendo como fonte um campo escalar conforme. Uma classe geral de soluçSes relativas a estes modelos é exibida e encontra—se que entre estas salienta—se uma que representa um universo oscilante. Tal solução corresponde a um universo aberto e caracteriza-se por um parâmetro que é interpretado como uma "carga escalar". Este
resultado nSío 6 conriitante com aqueles dos teoremas sobre singularidades. Já que uma das desigualdades básicas concernentes a estes teoremas, T^^t^t*^>0 para qualquer vetor tipo tempo t^Ct^t^ >OD, nSo á satisfeita aqui. Uma decomposição tipo-fluido á realizada com relaçSo ao tensor C8D, o qual se reduz á estrutura de um fluido perfeito no caso dos modelos de Robertson-Walker. Na especial situaçSo do universo oscilante somos levados á conclusão bastante interessante de que é possivel ter-se um estágio denso em nosso universo sem que para isso necessitemos recorrer a uma singularidade tipo "big bang". Conseqüentemente, podemos dizer que temos agora um "Hot Bouncing cosmological model" no lugar do usual
"Hot Big Bang cosmological model". Certamente neste ponto devemos nos questionar se o efeito da carga escalar encontra-se dentro do alcance das presentes técnicas experimentais. Para responder a esta indagação determinamos, no capítulo a solução geral estática e esfericamente simétrica de nossas equaçSes. Os parâmetros PPN desta solução encontram-se em boa concordância com os da relatividade geral. Segue-se, p>ois, que quaisquer possíveis correçSes aos clássicos testes experimentais da gravitação tornam-se não-detectáveis pelos atuais instrumentos. No capítulo _ _ _ <15>
mostramos que o horizonte de eventos associado com a solução modificada de Schwarzschi1d é reduzido a um ponto, evitando assim a formação dos buracos negros. O capítulo IV é devotado à discussão sobre a possibilidade da realização de um cenário inflacionário no contexto de nossa teoria quando um potencial V=X0‘* é adicionado à ação Cl D. Note que este é o único termo local possível envolvendo uma constante de acoplamento adimensional e que não quebra a invariância conforme da citada
açSo. Um ioor»mA tipo "no-go" ò oniSío demonstrado no caso do modelo cosmológico isotrópico padrSío. Finalizamos este trabalho apresentando no epilogo algumas especulaçSes sobre o significado da carga escalar
REFERENCIAS
15 R.M. Wald, Ann. Phys. CN. Y. 5 82, 548 C19745.
25 P. S. Jang and R. M. Wald, J. Math. Phys. 18, 41 C19775.
35 G. W. Gibbons, S. W. Hawking, G. T. Horowitz and M. J. Perry , Commun. Math.Phys. 88, 295 Cl9835.
45 R.M. Wald, General Relativity C The University of Chicago Press, Chicago, 19845.
55 S. W. Hawking and G. F. R.Ellis, The Large Scale Structure of Space- -time CCUP, Cambridge, 19735.
65 S.Deser, Ann. Phys. CN. Y. 5 59, 248 C19705.
T5 C.G. Callan, S. Coleman and R.Jackiw, Ann. Phys. CN. Y. 5 59, 42 C19705.
85 A. Zee, Ann. Phys. CN. Y. 5 151, 431 C19835. 95 L.Smolin, Nucl.Phys. 160 B, 253 Cl9795.
105 J. D. Bekenstein, Foundations of Physics 16, 423 Cl9865.
11^ A. Papapetrou , Lectures on General Relativity C D. Rei dei Publishing Company, P. O. Box 17, Dordrecht, Holland, 19745.
125C.Brans and R. Dicke, Phys. Rev. 124, 925 C19615.
135A. J. Accioly and M. S. OIi veira: "Can a Scalar Charge Generate a Bouncing Uni verse?", IFT-P 32/88 Csubm. à publ.no J. Math.Phys.5. 145A. J. Accioly and M. S. OIiveira: "Sealar Fields Versus Black Holes",
IFT-P 30/88 Csubmetido à publicação na Portugaliae Physica5. 155 A. J. Accioly and M. S. OI i vei ra: "Can Black Holes Be Avoided in the
Framework of a Gravity Theory with Conformai Scalar Field?" Csubmetido à publicação na Revista Brasileira de Física5.
CAPITULO I
UM UNIVERSO oscilante'*'
I. 1 - Universos de robertson-walker tendo como fonte um campo ESCALAR CONFORME
Consideraremos aqui universos de Robertson-Walker Chomogêneos e isotrópicos^ tendo como fonte um campo escalar conforme homogêneo. Tais modelos sSo uma excelente aproximação para os estágios densos de qualquer modelo de Robertson-Walker que contenha além do aludido campo escalar outras formas de matéria, uma vez que em tais estágios densos os efeitos da matéria são negligenciáveis em comparação com os do campo escalar. Vamos empregar o elemento de linha de R-W na forma isotrópica,
ds^ = a^C>75 drí^ - dO^^Ck^j . Cl02) 2 3 onde aCr72> é o fator de escala cósmico e dO Ck2> é a métrica do R ,
3
ou , conforme a constante de curvatura k = O , +1 ou -1 , respectivamente. O vinculo R=0 C6D é, desta Tiianeira, integrável ,
a + ka=0 ; C112) □§ = O CO!) traduz-se por
é a^ = Q . C125 enquanto que as equaçSes C72> e C82> fornecem uma terceira relação independente de CllD e C12D, a saber,
- a aj 1^1 - a"^ + 2 Q a"‘ â ê , C13:> que pode ainda ser reescrita, com o auxilio de C112> e C12D, como
C13’? |^Ca'í3 j ICa I + kCaí5* - k a® - à* = O
Pontos denotam derivaçSo com respeito a r} e Q é a "carga escalar".
Os conjuntos de soluçSes gerais que satisfazem simultaneamente CllJ, C125 e C13D para cada valor de k sSo os que se seguem: a = A 7) + B k = O : $ -Q AC at?+b:> 1 F ci4:> a = A senr? + B cost) Q B senr) - A cosrt k = +1 : $ = + F t Cl A*+B^ A senr) + B cosy>
a = A coshr? + B senhT) Q A senhr? - B coshr? k = -1 : # = + F ; cie:> 2 2 A +B A coshí) + B senhr) A^ = B^ ou q"" =
A, B e F sSo constantes de integraçSo.
Examinemos com especial atençSo o caso k =-l , que corresponde a um universo aberto; um conveniente ajuste das constantes CB=0; A=1Z> reduz C16D a
{
a = coshrí
S = 0 tghr) + -Á
C17:> +Q
mlnlmo a=l »m 17=0. Trat^a—s»t portant^o, d© uma soluçSo livr© d» singularidades da métrica. Ora, é sabido que o "superego" da Cosmologia sâo os chamados t»or»mas das singuLaridad&s, os quais obrigam a existência destas últimas - exceto em situaçSes particulares. A fim de verificar se estamos ou nSo incorrendo em blasfêmia analisemos aquela afirmaçSo dos referidos teoremas segundo a qual
^O, IT t^l>0, tt^>0 fJU ' IJV f ' fj
3D ausência de singularidades
sSo ocorrências mutuamente excludentes Cesta constitui a primeira parte da chamada condição de energia dominanteD. Na parametrização isotrêpica, 3a ^Ca a - a^D , o que para a solução em questão significa 3a ^Ccosh^r?-senh^T7Í> = 3a Adotando t^=Ca ^,0,0,0D temos R^^t^t^= R^^t°t°= 3a * >0 . Já que as equaç3es de campo C75 nos dizem que © '^fjv sinais opostos Cw > 02) chega-se a — .jj V
^ ^ ^ ©» conseqüentemente, à conclusão de que podemos ter uma solução com g livre de singularidades sem contrariar os
tJV "teor emas".
Chamamos a atenção para o fato de que dados cosmológicos recentes não conflitam com a idéia de um universo aberto. Teoricamente este ponto d© vista é até corroborado por teorias gravitacionais que incorporam o conceito de quebra espontânea de simetria^^'^\
Uma vez apresentada a possibilidade de se ter um universo aberto cujo fator de escala "oscila" em torno de 77=0 sem Jamais se anular, nosso próximo passo é o de esclarecer qual o papel desempenhado pela fonte de tal universo, fonte esta constituída pelo campo escalar conformemente invariante.
I. 2 - o CAMPO ESCALAR CONFORME E UM FLUIDO PERFEITO
Nossa meta nesta secçâo é procurar associar o tensor de momento-ener gi a do campo escalar conforme dado por CSD ao de um
, , <4,3,<S> fluido ,
T = pt t+qt+tq-|ph +nl , Cl Sii
onde p e p sSo respectivamente a densidade de energia e a pressSo exercida pelo fluido, q é uma medida de sua nSo-homogeneidade e n de sua anisotropia, eh = g - t t . Para o cumprimento de
fUí> ^(Jt> fj V
tal objetivo temos à nossa disposição um único vetor que
iZ> está diretamente relacionado com o campo escalar conforme, ÜD aparece em C8D,
iiiZ) é tipo-tempo e
iv5 p>ossui comprimento unitário:
t^ _ — ■ - . ci9:> t4
CK
Certamente não é em todas as situaçSes de interesse que se pode encontrar um tal vetor tipo—tempo; o problema estático, esfericamente simétrico, com o campo escalar exibindo a mesma simetria que o espaço-tempo - resolvido no capítulo II - constitui um exemplo no qual isto não é possível Ctem-se Nos casos, porém, em que tanto o campo escalar quanto o espaço-tempo de fundo estão evoluindo dinamicamente - como é de se esperar de um modelo cosmológico realístico - a existência deste vetor tipo-tempo está praticamente assegurada.
Da definição Cl 95 conclui-se que h é um tensor que U V projeta sobre hipersuperfícies tipo-espaço ortogonais a t'"^, h t = = o. Assume-se ainda que q t^= O, H t = O e TI O. Com isso C185
ImplicA. »m
p=T ; q =T ; fí sph +H =-T ; p= ^ H C30) aft fj (ji> /jv> ^jv aft fj V ' ^ 3 a
Substituindo C85 em C205 obtém-se P = 2$ $ $ c* a. §^$*^7 7 $ P V* C215 = K‘-*“]] -1 2$ ví ’$ $ a 0( /• * - _ V ft a ^ C225 L n T- 1 V p = “ p -♦ n = -T h' - — ph 3 pv cx/? p V 3 pi> 2$ $ 7 7 + p i> $ $ a a p V I- a /? ^py S*^7 -f$ 7 +$ 7 1 a I V v« pj í .C233
Para modelos de Robertson-Walker [$ =cé,0,0,0D], independentemente da particular parametrizaçSo adotada para a métrica [seja CIOD ou C45D do capítulo IV3 , C21D, C22D e C23D assumem, com a ajuda de C125 e C13j, a estrutura
P ' 3 ^ . P = ^ p . q = 0 , n = O . ca4> « a
que é a de um fluido perfeito.
I. 3 - Um "hot bouncing cosmological model"
o nosso modelo nSo-singular Cosci1anteD, aberto Ck=-lj e em expansSo, apresentado na secçSo I.l deste capítulo, é descrito por C17:3. Levando-se esta última na expressão para a densidade de energia em C24:> chega-se a um valor absoluto para p que é máximo no instante inicial rj=0, decaindo para r? posteriores:
3
C255 X cosh^r)
Vemos, assim, que é possível realizar um estágio denso no universo primitivo no contexto de nosso modelo, o que equivale a dizer sem que pr&cis&mí^s r&correr a •uma. singxilaricia<d& Ce sem que precisemos ir contra Hawking-Penrose3. Esse "Hot Bouncing cosmological model’’ constitui uma alternativa ao consagrado "Hot Big Bang cosmological model“.
A Relatividade Geral deve a maior parte do status de que goza à sua aprovaçSo em poucos porém decisivos testes experimentais. Deste modo a nossa teoria deve ser indistingüível da gravitaçSo de Einstein - ao menos naqueles itens que estiverem dentro do alcance das presentes técnicas de mediçSo. O efeito da carga escalar nSo deve alterar Cem relaçSo aos usuais!) os valores dos parâmetros PPM da expansão para campo fraco da solução estática, esfericamente simétrica de C6D, C7D, C8D e C93. Ê o que verificaremos no capitulo que se segue.
REFERENCIAS
1!) A. J.Accioly and M. S. Oliveira: "Can a Scalar Charge Generate a Bouncing Uni verse?", IFT-P 32/88 Csubm. à publ.no J. Math. Phys. D. 25 A. A. Grib, V. M. Mostepanenko and V. M. Frolov, Theor . Math. Phys. 33,
869 Cl9775.
35 H. Fleming and V. L. R. da Silveira, Nuovo Cimento 58 B, 208 C19805. 45 G. F.R. Ellis, General Relativity and Cosmology Ced. R. K. Sachs,
Academic, New York, 19715.
55 A. R. King and G. F.R. Ellis, Commun. Math. Phys. 31, 209 C10725. 65 M. S. Madsen, Class.Quantum Grav. 5, 627 Cl9885.
CAPITULO II
ENCONTRA-SE O EFEITO DA CARGA ESCALAR AO ALCANCE DAS ATUAIS TÉCNICAS EXPERIMENTAIS?'*'
II. 1 - SOLUCAO DE SCHWARZSCHILD MODIFICADA *
Em primeiro lugar vamos ressalt-ar o fat,o de que est-amos 4 procura do soluçffies &stfxttccts por nos encontrarmos Justamente numa daquelas situaçSes 4s quais o teorema de Birkhoff nao se aplica, qual seja, presença de campos-fonte outros que não o gravitacional. Com isto em mente lancemos mão do elemento de linha esfericamente simétrico na forma isotrópica.
. 2 2W 2 2p i
ds = e dt — e dp* + p^dCi^ C26D 2 2 2 2
em que p e v dependem exclusivamente de p e dO =d& +sen &dp é a métrica do S^. A parametri zação isotrópica foi escolhida porque antes de mais nada nos permite obter as soluçSes de nossas equaçSes de campo em forma explicita, além de facilitar a comparação entre nossos resultados e os testes experimentais da relatividade geral. Uma vez que o campo escalar não é um mero campo de teste mas também atua como fonte de curvatura, nele devem coexistir as mesmas simetrias estética e esférica do espaço-tempo. Conseqüentemente $ é uma função de p apenas.
As componentes da equação C7D combinada com C8D tornam-se, assim, R - fp” + + - i^’+ v'p’lf = - f’w»
«> L P J
+ 2p" + + p = -3$’^ + f 2p’+ C273 R = R
ond» f = 1—» os supor—oscrilos indicam dorivaçSo com rosp>oi'to a p . A equaçSo C95 é reescrita como
o*'*'' p* *•]■= o . CS83
enquant,o que o vínculo C65,
v" + 2p” + + i>’p* + + 2p'j = O , C295
nos diz que das três equaçSes C275 somente duas sSo relevantes. A solução analítica geral do conjunto de equaçSes C27D, C283 e C29:> é ds^ = n 1 _ m 2C 2p m 2p. m dt - [‘- íl’ 1 + m ■ 2p 2Ç m 1 - m 2p_ l^dp^+p^dO^ C305 com f = 1 + m . 2p 1 - m_ 2p, 2fi_ m 1 + 1 + m ■ 2p 1 - m 2p. 2SL-t2 m C3i:5 onde + 3Q^ = C32D
© supomos que as constantes de integração C, m, Q são estritamente positivas. A constante Q que aparece no campo escalar conformemente invariante
$ tgh C33:>
desempenha o papel da "carga escalar". A coordenada radial p, como jn ^ se vê, varia no intervalo — < p < co , sendo que o limite p —
ci 2 corresponde a uma singularidade. Ressaltamos ainda o fato de que a
soluçSo acima ó asslnt.ot.icamont.e plana; ala ó int^arassanta t^ambóm por nos permitir recuperar a métrica isotrópica de Schwarzschild de maneira trivial quando o campo escalar é "desligado" C Q o"*^5.
II. 2 - Limite de campo fraco Climite newtoniano)
Para responder à pergunta que constitui o titulo deste m
capitulo faz-se uso do fato de que para «1 a métrica isotrópica C30D pode ser escrita como
ds^= 1 +
2C^
dt*-
^ I®' 1- 3C” ^dp*+p^dO^^ C34D
Os parâmetros PPN desta teoria estSo em boa concordância com 2
aqueles da relatividade geral, pelo menos quando
o efeito da carga escalar manifesta-se apenas a ordens superiores, n3o sendo, portanto, acessivel às técnicas experimentais hodiernas. Aliás, os valores experimentais dos parâmetros pós—Newtoni anos*^^ sSo
a =1
•xp /? = 1.003 ± O. 005 •xp r = 1.008 ± o. 008 »xp
REFERENCIAS
15 A. J.Accioly and M. S. OIi veira: "Can Black Holes Be Avoided in the Framework of a Gravity Theory with Conformai Seal ar Fiel d?" Csubmetí do à publicaçSo na Revista Brasileira de Fisica5.
25 I.I.Shapiro, C. C. Counselman III and R. W. King, Phys. Rev. Lett. 36, 555 Cl 9765.
CAPITULO III
CAMPOS ESCALARES VERSUS BURACOS NEGROS“'
III. 1 - Da métrica isotropica para a de schwarzschild
o ost-udo da singularidade usual de Schwarzschild, que surge no âmbito da gravitaçSo de Einstein Crelati vidade geral D, se faz através da soluçSo para a métrica parametrizada na forma
ds“ = e^^^dt* - [^e^^^dr* + r^dO^j , C355
dita "de Schwarzschild". A fim de que possamos efetuar uma análise comparativa de "nossa" singularidade em P ~ g Capresontada no capítulo IID, seria desejável termos à nossa disposição uma relação p=pCrD que permitisse, por simples substituição, expressar C30D, C31D e C33D em função de r. Como isto não ocorre Cé impossível obter uma expressão analítica fechada para p=pCrI> , podemos ao menos nos contentar em encontrar r=rCpD, o que na verdade é trivial: basta olhar para C263) e C3S;> para perceber que
Tal "tradução" da métrica isotrópica C26;> para a usual C355 é suficiente para comparar a nossa singularidade com a de Schwarzschild, como veremos a seguir.
III. 2 - No BLACK HOLES
A rol&çSo C36I) nos mosLrft que o limiLe do rCp5 para p Londondo Cpola direita^ a “ dependo do valor da carga escalar Q . Por exemplo, quando Q -» O^, "desligando" o campo escalar,
lim ^rCp5 = 2m , C375 p-»C m/2D
reproduzindo o conhecido resultado que fornece o raio de um buraco negro. Por outro lado, para Q?*'0 surgem duas situaçSes de interesse, a saber, Q < C ,e Q > C :
(00 , para Q < C ,
C38D O , para Q > C
Conseqüentemente, se Q > C aparece uma singularidade em P g que corresponde em cooordenadas usuais a r-> O . O qué dizer a respeito da estrutura desta singularidade? A fim de esclarecer esta questão devemos examinar as propriedades das superfícies equipotenciais 9^jQ=constante, t=constante, bem como das curvas fechadas definidas sobre estas superfícies, à medida em que p se aproxima do valor ^ . Lembrando que g = Csen^O^ ^g = p^e^^ = r^ , a 4rea da superfície
22 33 equipotencial é
2J7 7T zn n
J* sen0 dô dp = 4nr^ , C39Z) o o o o
enquanto que os comprimentos próprios são, respectivamente, zn
® ■ I I I
L = f ' dp = 2np&^ = 2rrr p J 33
o
para uma curva azimutal fechada B = rr/2 Cequadorí e 7T
C40:>
L e para uma curva polar
2npe^ = 2írr o
p=constante CmeridianoD.
Está. claro pelos resultados da pÀgina anterior que a singularidade em p ^ possui a topologia de um ponto. Assim, a
cá
esfera de Schwarzschild r=2m foi reduzida a um ponto em r=0 . Elal nSo mais podermos falar em buracos negros no sentido usual.
A, REFERENCIA
ID A. J.Accioly and M. S. Oliveira: "Sealar Fields versus Black Holes", IFT-P 30/88 Csubmetido à publicaçSo na Portugaliae PhysicaD.
CAPITULO IV
INCOMPATIBILIDADE ENTRE CENÁRIOS INFLACIONÁRIOS E INVARIÂNCIA CONFORME^'
IV. 1 - O QUE VEM A SER "iNFLACAO", AFINAL? ✓
Há muito que a Cosmologia convive com um quebra-cabeças nSo resolvido. Certas propriedades observadas no universo atual - - radiaçSo de fundo, homogeneidade, inexistência de monopolos - só podem ser compreendidas se ele Cou aquela porçSo que nos é dado conhecerD em algum periodo durante os estágios iniciais de sua evoluçSo tivesse experimentado um processo de formidável expansão, muito mais acentuada do que aquelas previstas nos modelos cosmológicos usuais CFriedman, por exemploD que procuram dar conta do afastamento mútuo das galáxias descoberto por Hubble em 1925.
A primeira tentativa de resolvê-lo - que se não foi totalmente bem sucedida ao menos lançou boas sementes — tem sua origem na teoria de campo de partículas elementares. É sabido que 'Jnificação eletro-fraca os bósons Cleia-se campos escalaresD de Higgs originar iamente não-massi vos, adquirem massa por ‘‘quebra espontânea de simetria”, que nada mais é do que a transição do valor esperado do campo, <4>> , de um mínimo local do potencial ®fetivo em <p=0 para o mínimo absoluto em Os "Higgs" massivos são então "engolidos" pelos bósons vetorlais intermediários W ~ e
Aí ^ O
• o que permite conciliar a renormalizabi 1 idade da teoria com o alcance finito da interação. Do ponto de vista das teorias de grande unificação - GUTs - nas altas temperaturas do universo
primitivo tal campo escalar apresentar-se-ia na fase simétrica <^>=0. Assume-se o potencial efetivo de Coleman-Weinberg para a quebra de simetria SUC65 ■♦SUC35 xSUC2DxUCl5 em aproximaçSo de 1-1 oop e a temperatura T finita, = ~ J dx X* In^ 1 - exp “ ^ 9j | ^ 5625 512 j^^^l nC ^/o'5 - ’ ^■^25 com e ~ 4.5xl0‘‘*GeV forma aproximada t emper atur a*'*N
figura 1 -
Polenciol «f^livo X paro. vario» vaVor«s
2 e g ~ deste <P d* T 1
— . Ê interessante procurar visualizar a
1.5 3.0 4.5 c/)x1o’'^(GeV)
Sendo y 4xlO*^GeV a temperatura para a qual as fases GUT
associadas aos mínimos em <p=0 e ^=0' possuem a mesma densidade de energia, percebe-se que para T > » <4>>=0 e a simetria é >'©staurada; enquanto que para T < ° minimo em 4>=o' é estável e aquele em <f>=0 mj&tcts , uma barreira de potencial impedindo-o de se tornar instâx>el. Diante desse quadro, Guth*^^ - no contexto de GOTs mas sem se restringir especif1camente ao potencial C425 - imaginou o seguinte processo; à medida em que a temperatura cai
abaixo de T uma transiçSo de primeira ordem da fase metastável <^>=0 para a fase estável <4>>~<y dar-se-ia por tunelamento através da barreira. Formar-se-iam inicialmente bolhas imersas na fase metastável , no interior das quais o valor do campo atingiría rapidamente o', e que com o tempo acabariam por prevalecer Ca analogia com o processo de formaçSo de um cristal por resfriamento não é de todo descabida^. A densidade de energia p do universo seria dominada pela diferença entre as densidades de energia das fases metastável e estável, p ~T * CStef an-Bol tzmanni^. Resolvendo
o OUT
a equaçSo de Einstein para a métrica de RW tendo como constante cosmológica Ctensor de momento-energi a do vácuo •p'^***^ = g p 5 e
pv pu o pi'essxLporudo xanoL g&om&tTia. origir\ax-iajTu&Ttt& plana. Ch=OJ> obtém-se
877 8nr = [-T-] p ~ 3M ^ “ 3M , pi pl - T ”* 2 OUT a ~ e Ht
onde a é o fator de escala, H a constante de Hubble Caqui~10*°GeV0 ® M^j^~10*^GeV a massa de Planck. Assim, o universo expandir-se-ia exponencialmente durante um período de super-resfriamento,mantendo constante o produto aT CWienD. O reaquecimento ocorrería quando, concluída a transição,as paredes das bolhas colidissem umas com as outras. A partir de entSo a evolução procedería nos moldes padrão.
O grande mérito do cenário de Guth é o de gerar ^^/laçao, ou seja, expansão exponencialmente grande do fator de escala. RegiSes muito pequenas, às quais podemos seguramente atribuir homogeneidade, expandem-se a ponto de se tornarem do tamanho do universo observável. Porém, como o próprio Guth notou desde o início, a taxa de expansão das bolhas é menor do que a do fator cie escala, de modo que a fase estável Jamais chega a preencher todo o universo. Uma vez que neste a simetria se
apresenta quebrada C<4’><=oO ele deveria encontrar-se inteiramente contido no interior de uma única entre incontáveis bolhas, o que é altamente improvável e portanto total mente incompatível com a alta entropia que caracteriza nosso universo atual.
É evidente que a teoria introduzida por Guth Cá qual se refere atualmente como "primeiro cenário inflacionário"!) no estágio apresentado até aqui chegou perto demais do ideal para ser simplesmente abandonada. Caberia, isto sim, introduzir alteraçSes que acarretassem uma expansSo suficientemento grande das bolhas em comparação com a do fator de escala; em resumo, que o tempo característico de duraçSo da transiçSo de fase t >H NSo demorou até que Linde o Albrecht & Steinhardt observassem que o processo de tunelamento através da barreira do potencial deixa de ser dominante a uma temperatura T’« T na qual a transição de
OUT
fase ainda está a meio caminho de ser completada. A temperaturas da ordem de grandeza de T’ ou ligeiramente menores tem-se, por conslderaçSes dimensionais, <<p>~T, enquanto que continua a valer aproximadamente o ~T , de modo que no interior das bolhas
OUT
permanece <4>>« a por um intervalo de tempo razoavelmente longo, ao invés do ráoido <«*>■♦ cf assumido por Guth. Entre <^=0 e 0 ~T r 'T OUT a barreira torna-se "suave" a ponto do tunelamento de uma fase metastável em ^=0 para uma fase estável em 4>=o> dar lugar a um processo no qual o campo "escorrega" lentamente ao longo do potencial de um estado instétx>&l <4>>=0 para a fase de simetria quebrada <4>>=o>. Atingido este ponto a transição está terminada, conseqüentemente a expansão exponencial cessa e o reaquecimento se dá por pequenas oscilações Ccom período « H ^ D do campo em torno do mínimo, amortecidas por criação de partículas Cfótons, etc. 3.
Estlma.-se o tempo que dura a evoluçSo de ^=0 para 4>~o' através da equaçSo de Klein-Gordon ordinária ^ = O ou, levando-se
* * Ô *
em conta a curvatura, ^ + 3 ~ ^ = O . Conclui—se que mesmo no caso a
menos favorével Co primeiroD as bolhas se expandem atingindo um tamanho muitas ordens de grandeza maior do que o do universo atual ~ 10 cm. Portanto nosso universo estaria naturalmente contido em uma única bolha e o quebra-cabeças resolvido.
Apesar do sucesso - sujeito a criticas e modificaçSes sugeridas*^~*°*- o "novo cenério inflacionário" possui um caráter, digamos, artificial que nSo deixa de ser desagradável; da maneira cui hoc pela qual é introduzida na cosmologia, inflação mais parece uma criação dos físicos do que um atributo da natureza. Incomodado com isto, Linde***^ acabou por verificar que crescimento inflacionário é uma conseqüôncia natural - não, mais que isso . . .
ineuttàuel - de condiçSes iniciais caóticas no universo primordial. Senão, vejamos: consideremos um potencial incomparavelmente mais
1. -4
prosaico do que C42D, que é VC(^:)= com X « 1. Nossa descrição do universo começa depois de transcorrido um tempo
quando a densidade de energia cai abaixo de . O campo pode assumir valores praticamente arbitrários em regiSes diferentes do universo - suficientemente afastadas umas das outras - sujeitos apenas à restrição 4> * modo que VC^5= < < M * * Ce d éd^é < M a fim de que a região não se situe na era " pl cC ^ **l
pré-planckiana3. Assim, existem inicialmente infinitos domínios em que M < <hí dissemos que a parte do universo contida numa região preenchida com um campo homogêneo ^ expande-se como um
** Em t~t ~M o valor do VC <^1) ó modido com uma precisão ~ M * Pl Pl
«spaço euclideano de de Sitter, aC t,5 = a e o Ht H = 8rr -,1/2 vc4>:> 3M pl C435
Enquanto isso o campo escalar evolui no interior desse dominio segundo <f> + = O , o que para ^ » M^^/C6ri5 implica em í-[X/C6íT5 3*^^Mp^t } Durante o tempo característico de ’P - exp|^-[ X/C6n5 3
decaimentrO de d> ^ At- ~ C6rr/X^ /M , » o fator de escala sofre uma PI
HÂi f 2 2^ <2>
expansSo aCAt3)~a^e ~a^exp 1 . Segundo Guth a inflaçSo é suficientemente grande quando
HAt ^ 65
> > e C445
o que na presente situaçSo se traduz por ip^ ^ ^ possivel no caso Vxá'*<M * desde que X<10 para um valor inicial
4 " Pl "
típico ter i amos aC Atl> ~a^exp |2ti/X^'^^ j .
Desse modo vemos que os domínios com ^ > 3M , que o pl inevitavelmente existem em um universo com uma distribuição
1 ^ —2
inicial caótica do campo <p, na teoria ^X^ com X < 10 , crescem exponencialmente, exatamente como as bolhas no novo cenário acionário, e dão origem a mi ni-uni ver sos cujo tamanho excede o CtamanhoD da parte observável do nosso universo. Tal cenário caracteriza o que se chama in/laçcio caótica.
IV. 2 - Um nao-resultado
Verifiquemos agora se é possível realizar um cenário inflacionário no contexto de nosso modelo, apresentado nos capítulos precedentes. Para isto vamos trabalhar com a métrica de RWF numa parametrização diferente de CIOD, a saber.
C455 ds“ = dt* - a“ct5dO *Ck5
3
Nesta» a curvatura escalar R é escrita como uma funçSo do fator de escala aCtD através de
R = 6 •• *2 a ^ a + k a 2 a C465
ou ainda, numa forma que nos será mais conveniente.
a - 2k C475
No caso euclideano Cde SitterD de um espaço assintoticamente plano.
k = 0 a 'Ct5 = A exp ^ R/3 tj + B exp R/3 tj , A > O . C485
Uma vez que estamos interessados em expansao, B = 0 e, conseqüente mente
aCt5 = a exp VR/12 t 2 tj = y^ C405
Em particular, para T = g V , G = —« g V ^ R = 4wV , temos
aCtD = a^exp = a^expIj^CSnV/S^^^^^/M^j^jtl C43*:>
Em poucas palavras, quando k = O , R > O significa expansSo exponencial do fator de escala cósmico. Por outro lado, o único termo de potencial que podemos introduzir na ação Cl D sem quebrar a sua invariância conforme 6 V = ^^4^ • Assim, continua valendo o vinculo R = O C6D, "marca registrada" desta invariância. Ora, com isto C47D se reduz a a^j = -2k , o que resulta em a~t*'^* para k=0 e a~t para k=-l, insuficientes para a ocorrência de inflação. Desse modo, a realização de um cenário inflacionário passa Cna presente situação? inevitavelmente pela quebra da invariância conforme da ação Cl?, único meio de se satisfazer a desigualdade R > O .
REFERENQAS
15 A. J.Accioly and M. S. Oliveira: "Can a Scalar Charge Generate a Bouncing Universe?*\ IFT-P 32/88 Csubm. à publ.no J. Math. Phys. 5. 25 A. H.Guth, Phys.Rev. D 23, 347 C19815.
35 A. D. Linde, Phys.Lett. 108 B, 380 C10825.
45 A. Albrecht and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 48, 1220 C10825. 55 S. W. Hawking, Phys. Lett. 115 B, 295 C19825.
65 A. A. Starobinskii , Phys.Lett. 117 B, 175 C19825.
75 A.H.Guth and S.-Y. Pi, Phys. Rev. Lett. 49, 1110 C19825.
85 J.M. Bardeen, P. J. Stei nhardt and M. S. Turner, Phys.Rev. D 28, 679 C19835.
05 M.S. Turner, Phys.Rev. D 28, 1243 C10835.
105P. J. Steinhardt and M. S. Turner , Phys.Rev. D 20, 2162 C10845. 115 A. D. Linde, Phys.Lett. 129 B, 177 C19835.
epílogo
Cert^amonie o significado da carga «scalar doverÀ sor procurado no seio da teoria quântica de campos. Entretanto a nivel clássico -domínio ao qual este trabalho está confinado- é possível encontrar-se uma explicaçSo ingônua para o efeito que a carga escalar exerce sobre a geometria. De fato, um simples exame da eq. C34D nos permite concluir que o papel da carga escalar no contexto da teoria em consideração á o de provocar a diminuição da massa geomátrica original m . Isto ó, a nova massa geométrica é agora expressa por
Uma provável explicação para a carga escalar talvez possa ser encontrada a nivel quântico na linha proposta por Hawklng para descrever a evaporação de buracos negros. Este é um assunto fascinante que tem ocupado a imaginação de muitos pesquisadores. Indubitavelmente, investigaçSes nessa direção, no caso da carga escalar, merecem atenção.
O presente trabalho, apesar de não poder ser considerado exaustivo, indica que a assumpção de uma teoria de gravitação com campo escalar conforme nos leva a modelos com propriedades fisicas bastante interessantes e não-usuais.
REFERENCIA
