Avaliação da utilização de ressonadores de Helmholtz no tratamento acústico de painéis duplos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA MECÂNICA

Matheus Duarte Veloso

Avaliação da utilização de ressonadores de Helmholtz

no tratamento acústico de painéis duplos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA MECÂNICA

AVALIAÇÃO DA UTILIZAÇÃO DE RESSONADORES DE HELMHOLTZ NO TRATAMENTO ACÚSTICO DE PAINÉIS

DUPLOS

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Me-cânica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica . Orientador:

Prof. Ph. D. Arcanjo Lenzi Coorientador:

Prof. Dr. Eng. Gustavo Corrêa Martins

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Veloso, Matheus Duarte

Avaliação da utilização de ressonadores de Helmholtz no tratamento acústico de painéis duplos / Matheus Duarte Veloso; orientador, Arcanjo Lenzi ; coorientador, Gustavo Martins. - Florianópolis, SC, 2018. 141 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.

Inclui referências

1. Engenharia Mecânica. 2. Acústica. 3. Controle de Ruído. 4. Absorção Sonora. 5. Perda de Transmissão. 6. Modelos Numéricos. I. Lenzi, Arcanjo II. Martins, Gustavo. III. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.

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AVALIAÇÃO DA UTILIZAÇÃO DE RESSONADORES DE HELMHOLTZ NO TRATAMENTO ACÚSTICO DE PAINÉIS

DUPLOS

Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Mecânica e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 9 de julho de 2018.

Jonny Carlos da Silva., Dr. Eng. Coordenador do Curso Banca Examinadora:

Arcanjo Lenzi, Ph. D. Orientador

Gustavo Corrêa Martins, Dr. Eng. Coorientador

Andrey Ricardo da Silva, Ph. D.

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Agradecimentos

Agradeço primeiramente à Deus que me deu a vida e permitiu que eu realizasse esse sonho. Aos meus pais, Edson veloso Filho (in memoriam) e Nelma Duarte de Souza, por todo o empenho para me propiciarem uma educação de qualidade e por acreditarem em mim. Agradeço à minha irmã (Manuela Duarte Veloso Fontinele) pelos bons momentos e por ter me dado a afilhada mais linda do mundo. Agradeço também a minha namorada (Ana Luiza Garboci Ferreira) por estar sempre ao meu lado, acreditando em mim e tornando essa jornada mais tranquila.

Agradeço ao amigos feitos no Laboratório de Vibrações e Acústica (LVA), em especial aos membros do XIRI: Wagner, Sérgio, Henrique, Guilherme, Pedrão, Gleidson e José Pedro. Aos amigos do Projeto SONIC II: Ricardo, Gustavo, Fábio, Luiz, Thiago e Júlio. Agradeço também aos IC’s: Lucas, Marcos, Rafael e Matheus, pois sem a ajuda deles muitos experimentos não teriam sido feitos no prazo.

Agradeço aos professores (Júlio e Andrey) do LVA que com-partilharam os seus conhecimentos e contribuíram para o meu crescimento profissional. Agradeço em especial ao professor Arcanjo Lenzi (Chefe), que além de meu orientado foi um grande amigo e me ensinou muito mais do que só acústica.

Agradeço ao Rodrigo e Coiote, pois graças à eles foi possível realizar vários experimentos. Agradeço também as recepcionistas do LVA: Any e Bruna que se tornaram grandes amigas e sempre

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"Não importa quanto a vida possa ser ruim, sempre existe algo que você pode fazer, e triunfar. Enquanto há vida, há esperança."

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Resumo

Este trabalho avalia a utilização dos ressonadores isolados ou em conjunto com os materiais porosos para o tratamento termoacústico de painéis duplos. Para a avaliação da perda de transmissão (TL), inicialmente, foi criado um modelo numérico para avaliar a absorção em tubo de impedância dos ressonadores e materiais porosos. Os resultados foram validados utilizando o método das matrizes de transferência (TMM) e o experimento no tubo de impedância. Na sequência foi proposta uma configuração onde o ressonador estava incluso no material poroso. Os resultados obtidos para esta configuração foram comparados com TMM e experimentos. Devido a algumas dúvidas no funcionamento dos ressonadores, criou-se um modelo paramétrico para avaliar a espessura da camada de ar na frente do pescoço do ressonador (t) e a espessura de ar lateral ao pescoço do ressonador (Rar). Com este modelo foram definidos valores mínimos para t e Rar para que tivesse funcionamento pleno. Por fim, foram utilizados ressonadores com ou sem material poroso para a determinação da TL de painéis duplos utilizando FEM, TMM e experimento em câmaras reverberantes. Para as análises de TL foram feitas diversas configurações a fim de determinar em qual delas os ressonadores possuem maior influência na resposta da TL dos painéis. Com os resultados obtidos, observou-se que para o modelo numérico a melhor configuração teve um ganho de 10 dB na frequência de sintonia do ressonador, já para o experimento esse ganho foi de aproximadamente 11 dB.

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Abstract

This work evaluates the use of the resonators alone or in conjunction with the porous materials for the thermoacoustic treatment of double panels. For the evaluation of the transmission loss (TL), initially a numerical model was created to evaluate the absorption in impedance tube of the resonators and porous materials. The results were validated using the transfer matrix method (TMM) and the impedance tube experiment. In the sequence, a configuration was proposed where the resonator was included in the porous material. The results obtained for this configuration were compared with TMM and experiments. Due to some doubts in the operation of the resonators, the parametric model was created to evaluate the thickness of the air layer in front of the resonator neck (t) and the lateral air thickness to the resonator neck (Rar). With this model, minimum values for t and Rar were defined for full operation. Finally, the resonators with or without porous material were used for the determination of TL of double panels using FEM, TMM and experiment in reverberant chambers. For the TL analysis several configurations were made in order to determine in which of them the resonators would have greater influence in the TL response of the panels. With the results obtained, it was observed that for the best configuration of numerical model had a gain of 10 dB in the tuning frequency of the resonator, already for the experiment that gain was approximately 11 dB.

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Loss. FEM.

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Lista de Figuras

1.1 Esquema dos componentes da cabine de uma

aeronave... 1

1.2 Curva típica de perda de transmissão de painéis duplos com a inserção de material poroso... 2

2.1 Representação de um ressonador de um grau de liberdade. ... 14

2.2 Face perfurada sujeita a incidência normal. ... 17

2.3 Subcamadas de uma face perfurada. ... 19

2.4 Arranjo de ressonadores de Helmholtz. ... 20

2.5 Exemplo de uma camada utilizada no TMM. ... 22

2.6 Esquema das células periódicas unitárias. ... 26

2.7 Esquema da célula periódica unitária que acopla o ressonador ... 28

3.1 Esquema da geometria utilizada no modelo. ... 32

3.2 Esquema das condições de contorno utilizadas no modelo. ... 33

3.3 Esquema ilustrativo da configuração adotada para a malha de elementos finitos utilizada no modelo. .. 34

3.4 Análise de convergência do modelo. ... 34

3.5 Esquema do ensaio de absorção sonora. ... 36

3.6 Ressonador incluso em material poroso. ... 38

(18)

3.8 Comparação dos resultados analítico, numérico e experimental para o ressonador de 5 mm de comprimento de pescoço. ... 40

3.11 Comparação dos resultados analítico, numérico e experimental para a fibra. ... 43

3.12 Comparação dos resultados analítico, numérico e experimental para a espuma. ... 44

3.13 Comparação dos resultados analítico, numérico e experimental do ressonador de comprimento de pescoço igual a 5 mm incluso na fibra. ... 45

3.16 Comparação dos resultados analítico, numérico e experimental do ressonador de comprimento de pescoço igual a 5 mm incluso na espuma. ... 47

(19)

4.1 Esquema da montagem do experimento criado para avaliar a espessura de ar na frente do

ressonador. ... 50

4.2 Configuração da amostra para avaliação do parâ-metro Rar... 50

4.3 Modelo para a avaliação da variação da camada de ar no sentido radial ao pescoço do ressonador. ... 51

4.4 Avaliação numérica da influência da camada de ar na frente do pescoço do ressonador de 5 mm. ... 52

4.5 Avaliação experimental da influencia da espessura de ar na frente do pescoço do ressonador (pescoço de 5 mm). ... 53

4.6 Avaliação numérica da influencia da camada de ar na direção radial do pescoço do ressonador de 5 mm. 54 4.7 Avaliação experimental da influencia do diâmetro da camada de ar na frente do pescoço de 5 mm. ... 55

5.1 Esquema da geometria e dos componentes do modelo numérico. ... 58

5.2 Esquema das condições de contorno utilizadas no modelo. ... 59

5.3 Esquema ilustrativo do tamanho de cada elemento utilizado para gerar as malhas do modelo numérico. 60 5.4 Malha de elementos finitos aplicada à configura-ção de ressonadores entre painéis... 60

5.5 Campo difuso utilizado. ... 61

5.6 Esquema da configuração analítica para a determi-nação da matriz de transferência global do sistema. . 64

5.7 Barreira acústica. ... 66

5.8 Região onde posicionou-se as amostras para o ensaio de TL. ... 67

5.9 Configurações ensaiadas. ... 68

5.10 Configurações analisadas. ... 69

(20)

5.12 Comparação dos resultados numéricos para as configurações A e D. ... 70

5.13 Comparação dos resultados numéricos para as configurações A, B e D. ... 71

5.14 Comparação dos resultados numéricos para as configurações B e E. ... 72

5.15 Comparação dos resultados numéricos para as configurações E, D e I. ... 73

5.16 Comparação dos resultados numéricos para as configurações H e J. ... 74

5.17 Comparação dos resultados numéricos da IL para as configurações F, H e J. ... 75

5.18 Comparação da TL numérica, analítica e experi-mental da configuração A. ... 76

5.19 Comparação da TL numérica, analítica e experi-mental da configuração D. ... 77

5.20 Comparação da TL numérica, analítica e experi-mental da configuração B. ... 78

5.21 Comparação da TL numérica, analítica e experi-mental das configuração I (numérico) e J (analítico e experimental)... 79

5.22 Comparação da TL numérica, analítica e experi-mental da configuração G. ... 80

5.23 Comparação dos resultados numéricos da IL para as configurações F, H e J. ... 81

A.1 Experimento utilizando o tubo de impedância para avaliar a absorção dos ressonadores e mate-riais porosos. ... 97

A.2 Amostra de fibra. ... 98

A.3 Ressonador imerso na espuma. ... 98

A.4 Configuração da TL dos painéis com fibra e ressonadores em paralelo vista da câmara fonte... 99

A.5 Configurações ensaiadas. ... 99

(21)

B.1 Avaliação da influencia da espessura de ar na frente do pescoço do ressonador (pescoço de 6 mm).101

B.2 Avaliação da influencia da espessura de ar na frente do pescoço do ressonador (pescoço de 7 mm).102

B.3 Avaliação da influencia do diâmetro da camada de ar na frente do pescoço de 6 mm. ...102

B.4 Avaliação da influencia do diâmetro da camada de ar na frente do pescoço de 7 mm. ...103

(22)

(23)

Lista de Tabelas

3.1 Comparação do resultado das frequências de sintonia dos ressonadores para os três modelos. ... 42

3.2 Parâmetros acústicos da fibra. ... 43

(24)

(25)

Lista de Símbolos

a raio do pescoço do ressonador Ae área do painel

Aeq área de absorção equivalente c0 velocidade do som no ar

cv calor específico a volume constante C matriz de amortecimento estrutural d profundidade da superfície perfurada Di diâmetro da célula interna

De diâmetro da célula externa D rigidez a flexão

D matriz de amortecimento acústico f0 frequência de ressonância (Hz) f vetor de frequências

fmax máxima frequência de análise

fl frequência mínima do tubo de impedância fu frequência de corte do tibo de impedância h espessura da amostra

H12 função de transferência de pressão entre os microfones 1 e 2 Hr parte real de H12

(26)

Hi parte imaginária de H12 H matriz de rigidez acústica Im parte imaginária

⃗_I_n _{vetor de intensidade sonora} J0 função de Bessel de ordem zero J1 função de Bessel de ordem 1 J2 função de Bessel de ordem 2 k número de onda

K rigidez que representa o volume de gás contido no ressona-dor

K matriz de rigidez estrutural

l comprimento característico da geometria L comprimento do pescoço do ressonador

L′ comprimento corrigido do pescoço do ressonador m massa de gás contida no pescoço do ressonador Ms massa por unidade de área do ressonador M matriz de massa

⃗n normal à superfície de contorno

⟨NPS⟩ nível de pressão sonora médio no espaço NPSre f nível de pressão sonora de referência NWSre f nível de potência sonora de referência Pr número de Prandtl

p amplitude complexa da pressão acústica pi pressão sonora incidente

pr pressão sonora refletida XX

(27)

ˆpi magnitude da pressão sonora incidente ˆpr magnitude da pressão sonora refletida p1 pressão sonora no microfone 1

p2 pressão sonora no microfone 2 Pn pressão estacionária

P0 pressão estática do fluido acústico

Pc amplitude da pressão acústica dentro do ressonador

P amplitude da pressão das ondas externas que incidem no ressonador

⃗pe vetor de pressão agindo no elemento ⃗

Per vetor de potência radiada de cada elemento ⃗

P vetor de potência sonora radiada q vetor de excitação nodal

Q fator de qualidade do ressonador Q matriz de inercia acústica

R0 constante dos gases R coeficiente de reflexão

Rar espessura de ar lateral ao pescoço do ressonador Re parte real de um número complexo

Rr resistência a radiação sonora do ressonador

Rw resistência devido às perdas na parede do pescoço do ressonador

Rp raio de uma superfície perfurada RB componente resistiva

(28)

R matriz de acoplamento acústico-estrutural Rij distância entre os centros dos i-ésimo e j-ésimo ⃗

re vetor normal à cada elemento rn razão de perfuração do elemento n s fração de perfuração

se razão de áreas perfurada externa si razão de áreas perfurada interna

S área da seção transversal do pescoço do ressonador SL área da seção

Sp superfície do poro Sp área da amostra

S matriz de acoplamento estrutural-acústico S12 densidade espectral cruzada

S11 auto-espectro

T0 temperatura estática do fluido acústico T matriz de transferência

Tf matriz de transferência do fluido Ts matriz de transferência da placa fina THR matriz de transferência do ressonador Tglobal matriz de transferência global

TPUC matriz de transferência da PUC Tcamada,i matriz de transferência da camada i

t espessura da camada de ar na frente do pescoço do ressonador

us deslocamento da fase sólida XXII

(29)

uf deslocamento da fase fluida

V volume de gás contido no ressonador que representa a rigidez

Vv velocidade de volume Va volume de ar nos poros Vt o volume total da amostra

⃗v vetor de amplitude complexa da velocidade de particula V(M) vetor de variáveis acústicas no ponto M

vm⟨M⟩ velocidade média espacial no ponto M

v0⟨M0⟩ velocidade macroscópio media espacial no ponto M0 v2_i(rw) velocidade quadrática do fluido na superfície dos poros v2_i(w) velocidade quadrática do fluido no interior dos poros v3 velocidade normal

⃗

ve vetor de amplitudes complexas do elemento Yn _{termo da matriz de admitância}

ZA impedância no ponto A ZB impedância no ponto B ZB′ impedância no ponto B’ Zc impedância de superfície

Z impedância acústica do ressonador Zs impedância da placa fina

Z matriz de impedância dos elementos

Alfabeto grego

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α_∞ tortuosidade

αw coeficiente de absorção nas paredes do pescoço do ressona-dor

θn ângulo de incidência

γ razão de calores específicos εe comprimento corrigido externo

εi comprimento corrigido interno

λ comprimento de onda

Λ comprimento característico viscoso Λ′ _{comprimento característico térmico}

η viscosidade dinâmica do ar

˜κe f módulo de compressibilidade efetivo ˜κeq módulo de compressibilidade equivalente

κs módulo de compressibilidade da fase sólida do material

κb módulo de compressibilidade do material no vácuo

ρ amplitude complexa da densidade acústica ρ0 densidade do som no ar

ρ_{f lex} densidade do som no material modelado por JCA flexível ρe f densidade efetiva

σ resistividade ao fluxo σ33 tensão normal

σs tensor de tensões no vácuo

σSel condutividade elétrica da amostra saturada ϕ porosidade

ω frequência angular

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ω0 frequência natural (rad/s)

ψn ângulo azimutal

τt amplitude complexa da temperatura acústica

τ coeficiente de transmissão

Lista de abreviaturas e siglas ASTM American Society Test for Materials div Divergente

grad Gradiente

FEM Finite Element Method

IL Insertion Loss

JCA Johnson Champoux Allard

LRF Low Reduced Frequency

LVA Laboratório de vibrações e Acústica

TL Transmission Loss

P-TMM Paralled Transfer Matrix Method

PUC Periodic Unit Cell

(32)

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Sumário

1 Introdução 1

1.1 Objetivos e organização do trabalho ... 2

2 Modelos e métodos para a análise de materiais porosos,

ressonadores e painéis 5

2.1 Modelos de materiais porosos ... 5

2.1.1 Modelo de fluido equivalente... 6

2.1.1.1 Modelo de estrutura rígida (JCA rígido) .. 6

2.1.1.2 Modelo de estrutura flexível (JCA flexível) 8

2.1.2 Parâmetros acústicos dos materiais porosos ... 8

2.1.2.1 Resistividade ao fluxo (σ) ... 8

2.1.2.2 Porosidade (ϕ) ... 9

2.1.2.3 Tortuosidade (α∞) ... 9

2.1.2.4 Comprimentos característicos térmico (Λ′_{) e viscoso (Λ)...} ₁₀ 2.2 Modelos acústicos não dissipativos ... 11

2.2.1 Modelo acústico viscotérmico ... 12

2.3 Modelo de ressonador de Helmholtz ... 13

2.3.1 Frequência de ressonância de um ressonador de Helmholtz... 13

2.3.2 Dissipação no Ressonador... 15

2.3.3 Impedância acústica de superfícies perfuradas ... 16

2.3.4 Impedância acústica de um arranjo de ressona-dor de Helmholtz ... 19

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2.4 Método das matrizes de transferência-TMM Transfer Matrix Method... 21 2.4.1 Matriz de transferência ... 22 2.4.1.1 Fluido ... 22 2.4.1.2 Placa fina ... 23 2.4.1.3 Ressonador de Helmholtz ... 24

2.4.1.4 Matriz de transferência global ... 24

2.4.1.5 Absorção e perda de transmissão ... 24

2.4.2 P-TMM(Parallel Transfer Matrix Method) ... 25

2.5 Método dos elementos finitos-FEM ... 28

2.5.1 Modelo acústico... 29

2.5.2 Modelo estrutural... 29

2.5.3 Acoplamento fluido-estrutura ... 30

3 Resultados experimentais e validação numérica 31

3.1 Modelo numérico ... 31

3.1.1 Geometria ... 31

3.1.2 Condições de contorno ... 32

3.1.3 Malha ... 33

3.2 Análise experimental em tubo de impedância ... 35

3.2.1 Descrição do ensaio ... 35

3.2.1.1 Definição da função de transferência entre as duas posições de microfone. ... 37

3.2.1.2 Determinação do coeficiente de reflexão e do coeficiente de absorção. ... 37

3.2.2 Amostras utilizadas ... 38

3.3 Modelo analítico ... 39

3.4 Validação dos resultados numéricos ... 40

4 Análise dos efeitos de montagem dos ressonadores 49

4.1 Modelo parametrizado... 49

4.2 Análise dos resultados ... 51

4.2.1 Resultados da avaliação do parâmetro t ... 51

4.2.2 Resultados da avaliação do parâmetro Rar... 53

(35)

5 Aplicação de ressonadores e materiais porosos em painéis duplos 57 5.1 Modelo numérico ... 57 5.1.1 Geometria ... 57 5.1.2 Condições de contorno ... 58 5.1.3 Malha ... 59

5.1.4 Aproximação da TL com campo difuso ... 61

5.2 Modelo TMM ... 63

5.3 Determinação experimental da perda de transmissão .. 64

5.3.1 Equipamentos utilizados ... 64

5.3.2 Descrição do ensaio ... 65

5.3.3 Amostras utilizadas ... 67

5.4 Análise dos resultados ... 68

5.4.1 Configurações analisadas... 69

5.4.2 Análise numérica ... 70

5.4.3 Comparação com resultados analíticos e expe-rimentais ... 75

6 Conclusões 83

6.1 Sugestões para trabalhos futuros ... 84

Referências bibliográficas 87

Apêndices 95

A Configurações e montagens experimentais 97

B Resultados da absorção sonora para os parâmetrost e Rar101

B.1 Avaliação da espessura da camada de ar na frente do pescoço (Experimento) ...101

B.2 Avaliação da influencia do diâmetro da camada de ar na frente do pescoço (experimento) ...102

(36)

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1 Introdução

Painéis são amplamente utilizados nas indústrias aeronáutica e automotiva, e o seu estudo vibroacústico é de fundamental relevância para melhor compreender suas características. Na indústria aeronáutica, painéis duplos (Figura 1.1) com a inserção de material absorvedor, isoladores, reforços e outros componentes são comumente utilizados [1, 2]. Desta forma, massa, rigidez e amortecimento das placas são parâmetros que influenciam diretamente no desempenho vibroacústico dos painéis [1].

Figura 1.1.: Esquema dos componentes da cabine de uma aeronave [1].

Buscando uma melhor performance acústica dos painéis, utiliza-se material poroso entre as placas, visando obter um aumento na perda de transmissão (TL) do conjunto [2–4]. Apesar da sua eficácia, a utilização do material poroso, quando deseja-se aumentar a TL, está restrita às médias e altas frequências, pois atenua as ressonâncias da cavidade.

Com o objetivo de aumentar a perda de transmissão em uma região onde o material poroso não é tão eficiente, alguns trabalhos propuseram a utilização de ressonadores de Helmholtz [5–7]. Na Figura1.2 pode-se ver o efeito da adição de material poroso entre

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Capítulo 1. Introdução

painéis e a região onde deseja-se aumentar a perda de transmissão.

Figura 1.2.: Curva típica de perda de transmissão de painéis duplos com a inserção de material poroso [8].

Embora alguns trabalhos utilizem um ou vários ressonadores, sozinho ou em conjunto com material poroso, percebe-se que os resultados desses trabalhos não são claramente conclusivos. Entre-tanto, quando ressonadores são utilizados no controle de ruído de dutos, como sistemas de refrigeração de automóveis e aeronaves, percebe-se que os resultados obtidos são muito satisfatórios [9–11]. 1.1 Objetivos e organização do trabalho

O objetivo principal deste trabalho consiste na construção de um modelo numérico capaz de avaliar a utilização de ressonadores de Helmholtz em conjunto com material poroso entre os painéis. Com o intuito de se obter um modelo que se aproxime mais do fenômeno físico, foram testadas algumas configurações, visando obter o melhor resultado. Para atingir o objetivo principal, objetivos 2

(39)

1.1. Objetivos e organização do trabalho

específicos serão executados ao longo dos capítulos deste trabalho conforme descrito abaixo.

No Capítulo 2 serão apresentados os modelos e métodos para as análises do ressonador e material poroso, sendo descritas as equações que regem os princípios físicos dos mesmos. Será apresentado também o método das matrizes de transferência (TMM) para o ressonador e material poroso e a formulação utilizada no método dos elementos finitos (FEM).

Em seguida, no Capítulo 3, serão apresentadas validações experimentais dos sistemas modelados com os modelos e métodos utilizados no Capítulo 2. Serão validados os modelos, em tubo de impedância, do ressonador, do material poroso e do ressonador inserido no material poroso.

Para o esclarecimento de alguns princípios de funcionamento do ressonador, no Capítulo 4, foram avaliados parâmetros como espessura da camada de ar na frente e lateralmente ao pescoço do ressonador através de FEM. Em seguida os resultados numéricos obtidos foram comparados com resultados experimentais a fim de avaliar os mesmos parâmetros.

Após um melhor entendimento do funcionamento do ressona-dor, no Capítulo 5, utilizou-se o mesmo sozinho ou em conjunto com material poroso, visando aumentar a TL de painéis duplos. A fim de se obter um melhor resultado, algumas configurações em FEM foram testadas. Em seguida foram comparados os resultados obtidos em FEM com TMM e com experimento em câmaras reverberantes.

Finalmente, no Capítulo 6, são apresentadas as conclusões, destacando-se os resultados obtidos, e propostas para trabalhos futuros.

(40)

(41)

2 Modelos e métodos para a análise

de materiais porosos, ressonadores e

painéis

Neste capítulo serão apresentados os modelos analíticos para materiais porosos, ressonadores e painéis. Além disso, serão apre-sentados métodos analíticos como o das matrizes de transferência, TMM (acrônimo do inglês para Transfer Matrix Method), e uma abordagem numérica usando o método dos elementos finitos, FEM (acrônimo do inglês para Finite Element Method).

2.1 Modelos de materiais porosos

Materiais porosos são constituídos por uma fase sólida (es-queleto) e uma fase fluida. A fase sólida possui locais sem preenchimento, ou seja, poros [12]. Para que o material poroso atue como um absorvedor acústico, é necessário que estes poros estejam abertos, pois desta forma ondas sonoras podem adentrar no material e serem dissipadas na forma de calor [13].

A dissipação acústica [13,14] no interior dos materiais porosos ocorre devido à interação entre a fase solida e a fluida. As perdas podem ser de natureza viscosa e térmica.

Segundo Biot em 1956 [15], três ondas se propagam em um substrato poroso, sendo duas ondas de compressão, uma para a fase fluida e outra para a fase solida, e a terceira é considerada uma onda de cisalhamento. Biot desenvolveu uma equação matemática capaz de descrever esse comportamento, sendo que em 1998 Allard reformulou essa equação, transformando-a em duas outras

(42)

Capítulo 2. Modelos e métodos para a análise de materiais porosos, ressonadores e painéis equações acopladas: div σs₊ _˜ρs ω2us+γ˜ grad p=0, (2.1) ϕ ω2˜ρ_ef∇ 2_p₊ ϕ ˜ K_efp+γ˜ div u s ₌_0, _(2.2)

onde us _{e u}f _{são os deslocamentos na fase sólida e fluida,} respectivamente, σs _{é o tensor de tensões no vácuo, ϕ é a} porosidade, ˜ρe f é a densidade efetiva e o ˜Kef é modulo de compressibilidade efetivo. Os parâmetros ˜ρse ˜γ são dados por:

˜ρs=ρ1+ϕρ0 1− ρ0 ˜ρ_ef , (2.3) ˜ γ= ϕρ0 ˜ρ_ef + Kb Ks −1, (2.4)

sendo Ks o módulo de compressibilidade da fase sólida do material e Kb o módulo de compressibilidade do material no vácuo. Na Equação 2.1, os dois primeiros termos representam o comportamento dinâmico do material no vácuo e os dois primeiros termos da Equação2.2representam o comportamento do material quando a fase sólida é considerada imóvel (rígida). O último termo em ambas as equações representa o acoplamento entre as fases. 2.1.1 Modelo de fluido equivalente

Na literatura [13, 15] é possível encontrar simplificações do modelo poroelástico dado pelas Equações2.1e2.2. A seguir, serão apresentados dois modelos de fluido equivalente utilizados neste trabalho.

2.1.1.1 Modelo de estrutura rígida (JCA rígido)

Quando a impedância característica do fluido saturante é muito menor que a da fase sólida, a estrutura não vibra devido à excitação 6

(43)

2.1. Modelos de materiais porosos

acústica. Assim, há somente uma onda de compressão que se propaga pelo fluido. Nessa situação, a estrutura é considerada rígida e a representação do meio poroso pode ser simplificada por um fluido equivalente representado por ˜ρ e ˜κ [8].

Quando a estrutura do material é dita rígida, admite-se que us=0 e σs=0. A Equação2.1pode ser simplificada, resultando na equação:

∇2p+ω2 ˜ρeq

˜κ_eqp=0, (2.5)

onde ˜ρeq e ˜Keq são a densidade e o módulo de compressibilidade equivalentes, respectivamente. Ambas as propriedade são dadas em função da porosidade pelas seguintes relações:

˜ρ_eq = ˜ρef

ϕ , (2.6)

˜κeq = ˜κ_ef

ϕ . (2.7)

Os parâmetros densidade e módulo de compressibilidade efeti-vos são apresentados nos trabalhos [16–18] onde são considerados os efeitos viscosos e térmicos, sendo dados por:

˜ρ_ef(ω) =ρ0α_∞  1+ ϕσ jωρ0α_∞ 1+j4ωρ0ηα 2 ∞ σ2ϕ2Λ2 12  , (2.8)

onde η é a viscosidade dinâmica do ar e ˜ Ke f(ω) = γP0 γ− (γ−1) 1+ 8η jωPrλ′2_ρ₀ 1+jωPrρ0Λ′2 16η 1₂−1 , (2.9)

onde γ é a razão entre os calores específicos e Pr é o número de Prandtl.

(44)

Capítulo 2. Modelos e métodos para a análise de materiais porosos, ressonadores e painéis

2.1.1.2 Modelo de estrutura flexível (JCA flexível)

Nos trabalhos dos autores [19,20] foi desenvolvida uma expres-são para a densidade equivalente flexível a partir de simplificações das Equações2.1e2.2de acoplamento do modelo de Biot. Partindo da hipótese de que κB

κS ≃0, a densidadeρeflexpode ser obtida por:

e ρ_flex ≈ eρeq (ω)ρm−ρ2₀ ρm+eρeq(ω) −2ρ 2 0 . (2.10)

Pela Equação 2.10 obtém-se a densidade flexível a partir da densidade equivalente [17]. O modelo de fluido equivalente em que a estrutura é considerada flexível é denominado JCA-flexível. Vale ressaltar que o modelo de estrutura flexível é implementado a partir de uma alteração na densidade equivalente e nenhuma alteração é realizada no módulo de compressibilidade equivalente.

Quando o material possui um baixo módulo de cisalhamento, pode-se dizer que o mesmo é flexível, sendo considerado zero, logo a estrutura sólida do material não resiste à excitação acústica κb

κs

∼ =0 e o campo de deformação desaparece (σs₌_{0). No entanto, o campo} de velocidade não se anula e, desta forma, apenas uma onda de propagação é considerada [19]:

∇2p+ω2˜ρflex

˜κ_eq p=0. (2.11)

2.1.2 Parâmetros acústicos dos materiais porosos

Os modelos analíticos que descrevem o comportamento acústico dos materiais porosos fazem uso de alguns parâmetros macroscó-picos caracterizadores [12,21], descritos a seguir.

2.1.2.1 Resistividade ao fluxo (σ)

A resistividade ao fluxo é representada pelo gradiente de pressão de uma amostra de material pela velocidade média de escoamento que atravessa o mesmo [13]. Segundo os autores de [22] 8

(45)

2.1. Modelos de materiais porosos

a resistividade ao fluxo é o principal parâmetro que representa a dissipação viscosa nos materiais porosos medida de acordo com:

σ= (p2−p1)S

V_vh , (2.12)

onde (p2−p1) é a diferença de pressão entre as faces do material e é dada em Pascal [Pa], S é a área da superfície em m2_{, Vv} _{é a} vazão volumétrica através da amostra, em m3

s , e h é a espessura da amostra, em metros [m].

2.1.2.2 Porosidade (ϕ)

A porosidade é uma razão entre o volume de ar nos poros abertos e o volume total da amostra [13]:

ϕ= Va

V_T, (2.13)

onde Vaé o volume de ar nos poros da amostra e VTé o volume total da amostra.

2.1.2.3 Tortuosidade (α_∞)

A tortuosidade representa o caminho sinuoso que é percorrido pelo fluido dentro da estrutura do material.A tortuosidade também pode ser vista com um fator que expressa o aumento aparente da densidade do fluido quando o mesmo está percorrendo um caminho tortuoso [21]. O autor de [22] define a tortuosidade como a razão da velocidade microscópica de propagação vm(M)(média quadrática espacial), em um ponto M, e a velocidade macroscópica v(M0)(ao quadrado):

α_∞ =

v2

m(M)V

v2₀(M0) , (2.14)

onde⟨⟩_Vrepresenta a média espacial em um elemento representa-tivo de volume.

(46)

2.1.2.4 Comprimentos característicos térmico (Λ′) e viscoso (Λ) O comprimento característico viscoso Λ foi definido pelo autor do trabalho [16] como um ajuste dos efeitos viscosos nas altas frequências. O comprimento característico viscoso Λ representa o raio hidráulico médio dos poros menores. Estes poros podem ser in-terpretados como as interseções que unem os poros grandes, onde as dissipações viscosas são predominantes [14]. O comprimento característico viscoso Λ pode ser obtido de [17]:

2 Λ = R Av2i(rW) dA R VPv 2 i(r) dVP. (2.15) Considerando um fluxo constante e um fluido não viscoso em uma estrutura porosa, v2

i(rW) é a velocidade do fluido na superfície dos poros, integrada no numerador ao longo da área da superfície A em um volume elementar representativo. A velocidade v2_i(r)dV_P está presente no interior dos poros, sendo integrada no denominador, considerando todo o volume VPdo poro [13].

Na sequência, o comprimento característico térmico Λ′ _foi introduzido pelo trabalho [18] de forma análoga ao comprimento característico viscoso e representa o raio hidráulico médio dos poros maiores, onde a área maior favorece o fluxo de calor entre o fluido e a estrutura sólida do material. O comprimento característico térmico caracteriza o comportamento em altas frequências do módulo de compressibilidade efetivo. O valor de Λ′_{pode ser obtido} de [18]: 2 Λ′ = R SP dSP R VP dVP . (2.16)

A integral no numerador é realizada ao longo de toda a área da superfície do poro SP, em um volume elementar representativo. A integral do denominador é realizada ao longo do volume VP do 10

(47)

2.2. Modelos acústicos não dissipativos poro [13].

2.2 Modelos acústicos não dissipativos

Os modelos acústicos são desenvolvidos a partir de equações conservativas onde os termos de viscosidade e condução térmica do fluido estão presentes. Assumindo que não há ação de forças de corpo no fluido, as equações conservativas são dadas por [23]. O modelo da acústica clássica considerando a hipótese de fluido ideal é dado (de forma simplificada) por:

jωρ0⃗v+ ∇p=0, (2.17)

jωρ0Cvτ+P0∇⃗v =0, (2.18)

jωρ+ρ0∇⃗v=0, (2.19)

p=R0(ρ0τ+ρT0), (2.20) sendo⃗vo vetor de amplitude complexa da velocidade de partícula, p a amplitude complexa da pressão acústica, τ a amplitude complexa da temperatura acústica, ρ a amplitude complexa da densidade acústica, T0a temperatura estática do fluido acústico, R0 a constante dos gases, P0a pressão estática do fluido acústico e Cv o calor específico a volume constante.

Ao isolar ρ, na Equação 2.20, e substituí-la na Equação 2.19

rearranjando-se os termos, obtém-se: jω p P0 − τ T0 + ∇⃗v=0. (2.21)

Isolando a variável τ na Equação 2.21 e substituindo na Equação2.18, obtém-se:

(48)

jω p+γP0∇⃗v=0, (2.22) sendo γ a razão de calores específicos.

Aplicando o operador∇na Equação2.17e substituindo o termo ∇⃗vpela Equação2.22, obtém-se:

∇2p+ ω 2

c2₀ p =0, (2.23)

sendo c0a velocidade do som no meio acústico definida por: c0 =

s

γP0

ρ0

. (2.24)

2.2.1 Modelo acústico viscotérmico

Os ressonadores de Helmholtz avaliados neste trabalho possuem uma dimensão reduzida em sua entrada, também chamada de pescoço do ressonador. Devido a esta dimensão, efeitos visco-térmicos tornam-se importantes na propagação acústica [24–26], sendo importante a inclusão destes no modelo acústico. Visando um menor custo computacional optou-se pela utilização do modelo

Low Reduced Frequency (LRF) afim de representar os efeitos

viscotérmicos que ocorrem no pescoço do ressonador

A abordagem LRF permite a inclusão de efeitos viscotérmicos em geometrias simples, podendo ser vista nos trabalhos [24– 26]. De forma geral, o modelo LRF resulta na seguinte equação de Helmholtz ponderada por funções que variam na frequência:

B(s)∇2p−D′(s, Pr)k20p=0, (2.25) sendo D′_{, s e P}

rdados por:

D′(s, Pr) =γ+ (γ−1)D(s, Pr), (2.26)

(49)

2.3. Modelo de ressonador de Helmholtz s =l r ωρ0 µ , (2.27) Pr= µCp κ , (2.28)

onde s é o número de onda de cisalhamento, Pr é o número de Prandtl e l é o comprimento característico da geometria. As funções B(s) e D(s,Pr) têm como função representar os efeitos viscosos e térmicos, respectivamente. A obtenção destas funções se dá analiticamente, como apresentado em [25,26].

Considerando geometrias no formato de tubos, tem-se que o raio é o comprimento característico. Desta forma as funções do modelo LRF são dadas por:

B(s) = J2(j 3 2 s) J0(j 3 2 s) , (2.29) D(s, Pr) = J2(j 3 2s √ Pr) J0(j32_s√_Pr₎ , (2.30)

onde J2 e J0 são funções de Bessel de ordem dois e zero, respectivamente.

2.3 Modelo de ressonador de Helmholtz

Nesta seção será apresentado o modelo analítico de um resso-nador de Helmholtz. Além disso, serão deduzidas as expressões da frequência de sintonia (frequência natural) e da impedância de superfície para arranjos de ressonadores, por ser este o intuito deste trabalho.

2.3.1 Frequência de ressonância de um ressonador de Helmholtz Considerando o ressonador de Helmholtz da Figura2.1, sabe-se que o mesmo é um filtro que tem comportamento semelhante ao de

(50)

um sistema massa-mola [8]. Este filtro é sintonizado na frequência de ressonância de um respectivo sistema massa-mola de um grau de liberdade. Considera-se que a massa de gás contida no gargalo representa a massa do sistema. Já o volume de gás contido dentro do recipiente representa a rigidez do mesmo.

Figura 2.1.: Representação de um ressonador de um grau de liberdade [8].

Para a frequência de interesse, assume-se que o comprimento de onda λ seja »L, »V1

3 e »S12 [27]. Desta forma a massa de fluido efetiva

no pescoço do ressonador é dada por [8,27]:

m=ρ0SL′, (2.31)

onde

L′ =L+2×0, 85a= L+1, 7a (terminação flangeada) (2.32) L′ = L+ (0, 85+0, 65)a= L+1, 5a (terminação não flangeada)

(2.33) sendo L′ _{o comprimento corrigido do pescoço, L o comprimento} do pescoço, a o raio do pescoço e S a área da seção transversal do pescoço do ressonador.

Para determinar a rigidez do sistema aproxima-se o pescoço por um pistão [28]. Quando esse pistão é deslocado de uma distância

ξ, o volume da cavidade é variado (∆V=−Sξ) resultando em uma

condensação ∆ρ_ρ =−∆V V =

Sξ

V, logo o aumento da pressão é dado por: 14

(51)

2.3. Modelo de ressonador de Helmholtz

p=ρ0c2∆ρ

ρ =ρ0c

2Sξ

V. (2.34)

Com o aumento da pressão devido ao deslocamento ξ, é necessário aplicar uma força F para manter o mesmo deslocamento (F=Sp=kξ) [29]. Logo, a rigidez efetiva é dada por:

k= −ρ0c 2 0S2 V , (2.35)

na qual, V é o volume de gás no interior do ressonador; ρ0 é a densidade do ar e c0 é a velocidade do som no ar. O módulo é utilizado na Equação2.35apenas para que o valor da rigidez obtida seja positivo.

Aplicando uma força harmônica F=SPejωt _{na abertura do} ressonador, e utilizando a segunda lei de Newton tem-se:

md 2_ξ dt2 + (Rr+Rw) dξ dt +kξ =SPe jωt_, _(2.36) sendo Rr a resistência a radiação sonora e Rw a resistência devido as perdas na parede do pescoço. Com base na Equação 2.36

do movimento é possível obter a frequência de ressonância do ressonador [28], dada por:

ω0 =c0 r S L′_V (rad/s) ou f0= c0 2π r S L′_V (Hz). (2.37) 2.3.2 Dissipação no Ressonador

A resistência total em um ressonador de Helmholtz é a soma da resistência de radiação Rre da resistência proveniente às perdas nas paredes do pescoço Rw[13,27,28]. A radiação sonora na terminação do pescoço do ressonador depende do tipo de terminação [28, 30]. Para a terminação flangeada:

Rr = ρ0cK 2_S2

(52)

e para a terminação não flangeada: Rr=

ρ0cK2S2

4π . (2.39)

O termo Rw representa as perdas viscotérmicas, que para este trabalho foram obtidas utilizando o modelo LRF, podendo ser expresso em função do coeficiente de absorção para as perdas nas paredes αw [29]. O coeficiente de absorção nas paredes pode ser obtido da expressão Qw = _2αK

w =

ω0m

Rw , logo a resistência devido

às perdas viscotérmicas é: Rw =

ω0m

Qw =2mcαw, (2.40)

onde Q é o fator de qualidade do ressonador de Helmholtz [5,27, 28], e a resistência total do ressonador é dada por:

Rm= Rr+Rw. (2.41)

Com relação ao fator de qualidade do ressonador de Helmholtz Q, o mesmo pode ser considerado também como fator de amplifi-cação da pressão. Este fator representa a razão entre a amplitude da pressão acústica dentro do ressonador PC com a amplitude da pressão das ondas externas que incidem no ressonador P [5,28]:

Pc

P = Q. (2.42)

2.3.3 Impedância acústica de superfícies perfuradas

Nesta seção será abordado o cálculo da impedância acústica em superfícies perfuradas para posteriormente determinar a impedân-cia superfiimpedân-cial de um arranjo de ressonadores. Na Figura 2.2 é possível ver o fluxo através de camadas perfuradas com um raio R e profundidade d. Esse fluxo causa um aumento na energia cinética, tendo efeito semelhante à tortuosidade presente nos meios porosos [31].

(53)

Figura 2.2.: Face perfurada sujeita a incidência normal [13].

A impedância no ponto B, ou seja no contorno, é dada pela impedância do meio (impedância de superfície Zcs) adicionada ao efeito de massa por unidade de área perfurada, resultando na expressão:

ZB =Zcs+jωεeρ0, (2.43)

sendo s a fração de perfuração e εe um comprimento que deve ser adicionado às perfurações cilíndricas. Quando s1/2 _{< 0,4, esse} comprimento εepode ser aproximado por [7,13]:

εe=0, 48S

1

2(₁−_{1, 14s}12)_. (2.44)

Devido à dissipação viscosa na abertura e a superfície do elemento, a impedância ZB apresenta uma componente resistiva

(54)

RB, que foi negligenciada na Equação 2.43, e que deve ser adicionada à Zcs. Segundo Nielsen (1949) RBé dado por:

RB = RS, (2.45) RS= 1 2(2ηρ0ω) 1 2_, (2.46)

onde RSé a resistência de superfície.

Segundo apontado em [32], para determinar a impedância no ponto A, duas massas e duas correções viscosas (2εejωρ0e d jωρ0) foram adicionadas aos dois lados da face perfurada, além disso é necessário considerar a influência da resistividade ao fluxo. Desta forma a impedância ZAtorna-se:

ZA = 2d R +4 Rs+ (2εe+d)jωρ0+Zcs, (2.47) na qual o termo2d R +4

Rsrepresenta a resistividade ao fluxo no furo circular de comprimento d.

A Equação 2.43 fornece o valor da impedância na face da su-perfície perfurada. Considerando agora uma susu-perfície perfurada multicamadas, como mostrado na Figura2.3, e o ponto B’ localizado próximo ao ponto B na fonteira da superfície perfurada, tem-se que a impedância no ponto B’ de modo simplificado é dada por:

(55)

Figura 2.3.: Subcamadas de uma face perfurada [13].

Z(B′) = sZ0,0(B) ϕ(L) + 4 π _m,n

∑

vm,n ϕ(L) J2 12πRD(m2+n2) Zm,n(B) (m2₊_n2₎ , (2.48) onde ϕ(L) representa a porosidade na n-ésima camada, J1 a função de Bessel de primeira ordem, (m,n) representa a ordem do modo contido no duto circular e Zm,n(B)é o termo que contém a impedância superficial Zc que consta nas Equações2.43 e2.47. A impedância no ponto A em função da impedância no ponto B’ é dada por:

Z(A) =Z(B′) +j(εe+d)ρ0ω. (2.49)

2.3.4 Impedância acústica de um arranjo de ressonador de Helmholtz

Uma superfície perfurada pode ser considerada um ressonador de Helmholtz se as suas superfícies de contorno são consideradas rígidas e impermeáveis. Na Figura2.4é possível ver um arranjo de ressonadores:

(56)

Figura 2.4.: Arranjo de ressonadores de Helmholtz [13].

A impedância Z0,0(B)é derivada da Equação2.48de Z(B′)[13], onde ϕ(L) =1e D é substituído por Diobtendo:

Z0,0(B) = −jZccot(ke), (2.50) sendo e o comprimento do cilindro. Considerando frequências abaixo de c0

Di, pode-se representar os efeitos dos modos de mais alta

ordem (Equação2.48), pelo efeito do comprimento adicional efetivo jωρ0εi[13], sendo εi dado por:

εi =0, 48S 1 2(1−1, 14s_i), (2.51) onde si = s S D2 i , (2.52)

sendo S a área da seção transversal do pescoço do ressonador e Dio diâmetro da célula interna (volume do ressonador). Com isso, tem-se que a impedância no ponto B é dada por:

(57)

2.4. Método das matrizes de transferência-TMM Transfer Matrix

Method

Z(B) = −jsiZccot(Ke) +jεiρ0ω. (2.53)

Para determinar o comprimento adicional efetivo para a parte externa do ressonador tem-se:

εe =0, 48S 1 2(1−1, 14s_e), (2.54) onde se= s S D2 e , (2.55)

sendo Deo diâmetro da célula externa (distância entre ressonado-res).

Por fim, rescrevendo a Equação2.49e com os valores de εi e εeé possível determinar a impedância acústica do ressonadores:

Z= 1 se jsiZccot(Ke) +j(εe+εi+d)ωρ0+ 2d R +4 Rs . (2.56) É importante ressaltar que a formulação apresentada refere-se a ressonadores com pescoço de seção circular.

2.4 Método das matrizes de transferência-TMM Transfer Matrix Method

O TMM é um método de propagação sonora em um sistema mul-timacadas [13]. As camadas podem ser do tipo sólido viscoelástico, material poroelástico, ar, membrana, entre outros.

(58)

Figura 2.5.: Exemplo de uma camada utilizada no TMM. [13]

A Figura 2.5 representa o conceito do método onde a camada pode ser representada por uma matriz de transferência [T], tal que V(M1) = [T]V(M2) (2.57) onde M1e M2são pontos próximos das faces anterior e posterior, respectivamente. As componentes do vetor V(M)são variáveis que descrevem o campo acústico em um ponto M do meio.

2.4.1 Matriz de transferência

Nesta seção serão apresentadas as matrizes de transferência utilizadas no escopo do trabalho. Estas matrizes referem-se aos componentes fluido, placa fina e ressonadores.

2.4.1.1 Fluido

Este tipo de camada é utilizado para simular espaços de ar entre as camadas de material [12, 13, 21]. Desta forma, pode-se escrever a matriz de transferência [Tf] de uma camada de fluido com espessura h da seguinte forma:

[Tf] = " cos(kzh) jωρ_k_z0sin(kzh) jkz ωρ0 sin(kzh) cos(kzh) # (2.58) 22

(59)

Method

Este tipo de camada também pode ser utilizada para um meio po-roso, desde que este seja modelado como fluido equivalente. Neste caso, a densidade ρe e o número de onda ke do fluido serão grandezas complexas.

2.4.1.2 Placa fina

No caso de uma placa elástica fina em flexão, considera-se uma rigidez à flexão D, espessura h e massa por unidade de área. Neste caso, tem-se que a Equação2.59do movimento é dada por [13]:

Zs(ω)v3(M′) =σ33(M′) −σ33(M). (2.59) onde σ33em M e M’, são as tensões normais em ambos os pontos e v3 é a velocidade normal, sendo v3=v3(M)=v3(M′). A impedância mecânica é dada pela Equação2.60com kt=ksenθ:

Zs(ω) =jωm 1− DK 4 t ω2m . (2.60)

Considerando o vetor V(M) = [σ33(M)v3(M)]T é possível obter a matriz de transferência T:

[Ts] =1 Zs(ω)

0 1

. (2.61)

No caso de painel de espessura fina, é possível escrever a impedância mecânica em função da frequência crítica do mesmo. Assim, a impedância mecânica e a frequência crítica podem ser representadas por:

Zs(ω) =jωm " 1− ω ωc 2 sen4θ # , (2.62) ωc =c2 r m D. (2.63)

(60)

2.4.1.3 Ressonador de Helmholtz

Para a determinação da matriz de transferência do ressonador THR, e considerando que as ondas acústicas incidem diretamente sobre o pescoço do ressonador [7], pode-se determinar essa matriz por: THR,AB = " 1 0 1 ZA 1 # 1 jωMS 0 1 , (2.64)

onde MS é a massa por unidade de área, da esfera (volume), do ressonador e ZA é a impedância acústica de entrada [6, 7]. Esta impedância de entrada para o ressonador com a incidência de ondas planas pode ser vista na Equação2.56.

Caso duas camadas adjacentes não sejam de mesma natureza, as condições de interface são aplicadas para construir uma matriz de transferência combinada, que descreva a propagação acústica entre múltiplas camadas. No entanto, esse detalhe não se aplica a este trabalho, pois todos os meios foram modelados utilizando matrizes 2x2 [13].

2.4.1.4 Matriz de transferência global

Para este trabalho, como todos os layouts podem ser modelados como matrizes 2x2, a matriz global pode ser obtida como o produtório de cada camada [21]. No caso de terem-se somente camadas em série a matriz global torna-se:

[T_global] = N

∏

i=1

Ti, (2.65)

onde i=1representa a primeira camada, i =Nrepresenta a última camada e T representa a matriz de transferência.

2.4.1.5 Absorção e perda de transmissão

Se uma onda plana incide em um meio multicamadas com ângulo de inclinação θ, é possível determinar o coeficiente de transmissão 24

(61)

2.4. Método das matrizes de transferência-TMM Transfer Matrix Method τe o coeficiente de reflexão R [2,5,7,13]: τ=4 Tglobal

(1, 1) +T_global(2, 2) + cos(θ)Tglobal(1, 2) Z0 + Z0Tglobal(2, 1) cos(θ) −2 , (2.66) R= Tglobal(1, 1)cos(θ) −Tglobal(2, 1)Z0

T_global(1, 1)cos(θ) +T_global(2, 1)Z0

. (2.67)

De posse dos coeficientes de transmissão (Equação2.66) e refle-xão (Equação 2.79) podem-se determinar a perda de transmissão (TL) e o coeficiente de absorção α, respectivamente:

TL = −10 log τ, (2.68)

α=1− |R|2. (2.69)

2.4.2 P-TMM(Parallel Transfer Matrix Method)

O TMM é um procedimento bastante eficiente quando aplicado a sistemas multicamadas dispostos em série. No entanto, existem aplicações cujos sistemas estão dispostos em paralelo. Nestes casos, pode-se utilizar o método das matrizes de transferência em paralelo (P-TMM) [7,33]. Neste método avalia-se o comportamento acústico considerando uma célula periódica unitária (PUC), conforme esquematizado na Figura2.6

(62)

Figura 2.6.: Esquema das células periódicas unitárias. [7]

O modelo P-TMM apresentado em[7] é utilizado para comporta-mentos acústicos 1-D. A matriz de transferência deste método por:

TPUC =T11PUC T12PUC T₂₁PUC T₂₂PUC

=Tcamada1Tcamada2Tcamada3. (2.70) Para se utilizar a Equação 2.70 todas as camadas devem ser modeladas como matrizes 2x2. No caso em que o ar e os materiais porosos não estejam em paralelo com nenhuma outra camada (camadas 1 e 3 da Figura2.6c) , pode-se utilizar a Equação2.58para determinar suas matrizes de transferência.

Para aplicar a P-TMM deve-se obedecer às seguintes considera-ções [33]:

• apenas ondas planas devem se propagar anterior e posterior-mente à construção periódica;

• apenas ondas planas propagam-se na construção;

• não existir pressões difusas entres os elementos paralelos vizinhos;

• o comprimento de onda deve ser muito menor que a PUC; 26

(63)

Method

• cada elemento só pode ser representado por uma matriz de transferência 2x2;

A matriz de transferência de duas camadas em paralelo é dada por: Tcamada,2 = −1 ∑rnY n 21 ∑rnY n 22 −1 ∑rnY n 22∑rnY n 11−∑rnY n 12∑rnY n 21 −∑rnY n 11 , (2.71) onde Yn_{são os componentes da matriz de admitância e rn} _{a razão} de perfuração para cada elemento, tendo n= mat para o substrato poroso e n = HR para o elemento ressonador. A matriz de admitância é dada por:

Yn= Y n 11 Y12n Y₂₁n Y₂₂n = 1 Tn 12 Tn 22 T21nT12n −T22nT11n 1 −T₁₁n , (2.72) onde Tmat_{representa a matriz de transferência do material poroso} (Equação 2.58) e THR _{a matriz que representa o ressonador} (Equação 2.64). A Figura 2.7 mostra a disposição de uma PUC e da camada 2 que contém o material poroso e o ressonador em paralelo. Na Figura2.7 percebe-se que a camada 2 é dividida em duas outras camadas, a primeira onde tem-se o ressonador em paralelo com o material poroso e a segunda onde tem-se ar em paralelo com material poroso. Isto é feito devido aos espaços de ar (como pode ser visto na Figura2.7a), devido ao posicionamento do ressonador dentro do material poroso. Como as subcamadas da camada 2 estão em série, pode-se calcular a matriz de transferência da camada 2 por:

(64)

Figura 2.7.: Esquema da célula periódica unitária que acopla o ressonador [7]

Tcamada,2 =Tcamada,2HRTcamada,2a, (2.73) onde Tcamada,2HR _{representa a camada de material poroso em} paralelo com o ressonador e Tcamada,2a _{representa a camada de} material poroso em paralelo com o ar.

2.5 Método dos elementos finitos-FEM

Devido à complexidade dos sistemas analisados neste trabalho, foram construídos modelos numéricos utilizando o método dos elementos finitos, por ser um método bastante consagrado e versátil, permitindo a solução (aproximada) de problemas com geometria e condições de contorno complexas. De forma resumida, o FEM consiste em:

• desenvolver a formulação fraca do problema a partir de sua equação diferencial;

• discretizar o domínio do problema em subdomínios elemen-tares (elementos);

• aplicar uma combinação linear de funções de aproximação (função de forma) nestes elementos;

• a obter a integração das funções de aproximação gerando as matrizes elementares;

(65)

2.5. Método dos elementos finitos-FEM

• realizar a montagem do sistema global formado pelas matri-zes elementares, definindo assim um conjunto de equações lineares que descrevem o problema a ser solucionado.

A seguir, serão apresentadas as equações lineares oriundas da aplicação do FEM nos modelos (acústico e estrutural) utilizados neste trabalho.

2.5.1 Modelo acústico

Na modelagem acústica (modelo de fluido equivalente, acústica clássica e LRF), o conjunto de equações que definem o problema físico através de FEM pode ser expresso na seguinte forma matricial [14]:

[H]+iω[D]−ω2[Q]{p} = {q}, (2.74)

onde Q, D e H são, respectivamente, as matrizes de inércia, amortecimento e rigidez acústica globais, q é o vetor de excitação nodal e p a pressão acústica.

2.5.2 Modelo estrutural

Muitos problemas vibroacústicos envolvem a flexão de placas finas. Geralmente, essas estruturas podem ser modeladas por elementos do tipo shell (2-D) pois a dimensão da espessura é muito menor que a largura e o comprimento. A formulação mais completa deste tipo de problema pode ser vista em [34? ,35], que pode ser representada na forma matricial:

[K]+iω[C]−ω2[M]{x} = {f}, (2.75)

onde M, C e K são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, respectivamente, x é o vetor de deslocamento e f o de força.

(66)

2.5.3 Acoplamento fluido-estrutura

O acoplamento fuido-estrutura pode ser derivado pelo princípio de Hamilton, acrescentando na Equação 2.75 do movimento da placa um termo que represente o trabalho realizado pelo fluido na placa e na Equação 2.74 do movimento do fluido um termo que represente o trabalho realizado pela placa sobre a cavidade tal que: [K]{x} +iω[C]{x} −ω2[M]{x} +[S]{p} = {f}, (2.76)

[H]{p} +iω[D]{p} −ω2[Q]{p} +ω2[R]{x} = {q}. (2.77)

Devido ao princípio da reciprocidade tem-se que as matrizes R e S são relacionadas por [S] = [R]T. Logo combinando as Equações2.77e2.76, tem-se: −ω2[M]+iω[C]+[K] [S] ω2[R] −ω2[Q]+iω[D]+[H]  x p =  f q , (2.78) sendo R e S as matrizes de acoplamento acústico-estrutura e estrutura-acústica, respectivamente. Que podem ser definidas por:

[Re] = [Be]T Z 1 −1 Z 1 −1 [q¯_c]T[p]ac1ac2dξc1dξc2[Ae]−1, (2.79) [Se] = [Ae]T Z 1 −1 Z 1 −1 [p]T[q¯_c]ab dξdn[Be]−1, (2.80) onde as matrizes [Ae] e [Be] podem ser vistas em [8]. Com a Equação 2.78 é possível determinar as frequências naturais e os modos de vibração para um acoplamento forte entre uma estrutura e uma cavidade.

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3 Resultados experimentais e validação

numérica

Neste capítulo foi criado um modelo numérico para avaliar a absorção sonora dos ressonadores, materiais porosos e ressonado-res inclusos em materiais porosos. O modelo numérico utilizou um espectro de frequências de 200 Hz a 1000 Hz, de 1 em 1 Hz, obtendo como resultados as pressões complexas nos microfones 1 e 2 (Figura3.1), com essas pressões pode-se determinar o coeficiente de absorção da amostra. Os resultados numéricos serão validados utilizando TMM e experimentos no tubo de impedância [36]. 3.1 Modelo numérico

Para a criação do modelo numérico por elementos finitos foi utilizado o software comercial COMSOL versão 5.1. Nesta seção serão apresentadas as especificações referentes à geometria, condições de contorno e malha utilizada.

3.1.1 Geometria

A Figura 3.1 mostra o tubo de impedância de comprimento L, diâmetro D, as posições dos microfones S1 e S2, o porta amostra (diâmetro D e comprimento Lp) e o ressonador.

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Capítulo 3. Resultados experimentais e validação numérica

Figura 3.1.: Esquema da geometria utilizada no modelo.

As variáveis geométricas do modelo são as mesmas do tubo de impedância utilizado no experimento, sendo elas:

• comprimento do tubo (L=0,864 m); • diâmetro interno do tubo (D=0,105 m); • distância para o microfone 1 (L1=0,69 m); • distância entre os microfones (S12=0,1 m)

• diâmetro do pescoço do ressonador (Dpescoço=0,004 m); • comprimento do pescoço (Lpescoço= 0,007, 0,006 e 0,005 m); • ciâmetro do ressonador (D_ressonador= 0,04 m);

• comprimento do porta amostras (Lp=0,047 m) 3.1.2 Condições de contorno

A Figura 3.2 mostra as condições de contorno utilizadas para a criação do modelo numérico do tubo de impedância com o ressonador e material poroso. Na superfície de entrada do tubo foi prescrita uma amplitude de pressão de 1 Pa. O modelo LRF foi utilizado no pescoço do ressonador para representar as perdas 32

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3.1. Modelo numérico

viscosas e térmicas. Ao redor do ressonador utilizou-se material poroso, quando o ressonador estava imerso no mesmo. Nas demais superfícies de contorno do modelo foi aplicado a condição de contorno de parede rígida dada por

⃗

∇p· ⃗n=0, (3.1)

onde⃗né o vetor normal à superfície de contorno.

Figura 3.2.: Esquema das condições de contorno utilizadas no modelo.

3.1.3 Malha

Neste modelo foram definidos três tamanhos máximos de elementos nas regiões apresentadas na Figura3.3.

Para definir o tamanho máximo do elemento para cada região da malha, foi definido o menor comprimento de onda, correspondente à máxima frequência de análise, fmax= 1 kHz:

λ= c0

fmax

. (3.2)

Na Figura 3.3 podem-se ver três diferentes regiões. Para cada região da figura Figura 3.3 utilizou-se um tamanho máximo de

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Figura 3.3.: Esquema ilustrativo da configuração adotada para a malha de elementos finitos utilizada no modelo.

elemento. Na região branca o tamanho máximo do elemento utilizado foi de λ

8, para o volume do ressonador o tamanho máximo dos elementos foi λ

16 e para o pescoço do ressonador o tamanho máximo dos elementos foi λ

20. Estes valores de máximo tamanho de elemento foram obtidos através de uma análise prévia de convergência, que pode ser vista na figura3.4.

Figura 3.4.: Análise de convergência do modelo.

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3.2. Análise experimental em tubo de impedância

3.2 Análise experimental em tubo de impedância

Nesta seção são apresentados os equipamentos utilizados e uma descrição do ensaio realizado, utilizando materiais porosos, res-sonadores de Helmholtz e configurações de resres-sonadores inclusos no material poroso. Será apresentado também o procedimento de medição.

3.2.1 Descrição do ensaio

O experimento no tubo de impedância obedeceu a norma ISO 10534-2 [36]. Para a realização do ensaio utilizou-se um tubo de impedância fabricado no LVA, com dimensões iguais as utilizadas no modelo numérico, com duas posições de microfone, uma fonte sonora, um analisador de sinais do fabricante Brüel e Kjaer tipo 3050-B-060 de seis canais e módulo de entrada de 50 Hz , dois microfones de campo livre da Brüel e Kjaer, amplificador de potência da marca Brüel e Kjaer e um computador, mostrados no esquema da Figura 3.5. Como amostras, foram utilizados 3 ressonadores com diferentes comprimentos de pescoço (5 mm, 6 mm e 7 mm) impressos pela EMBRAER em impressora 3-D, uma espuma e uma fibra com espessuras nominais de 20 mm. A montagem do experimento e as amostras podem ser vistas no Apêndice A.

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Figura 3.5.: Esquema do ensaio de absorção sonora[36].

O ensaio realizado consistiu em determinar as curvas de absorção sonora das amostras utilizando o método das funções de transferência entre os microfones. Para a obtenção da absorção sonora é necessário definir previamente a faixa de frequências de trabalho, indicada por:

fl < f < fu, (3.3) sendo flé a frequência mínima de análise do tubo e fué a frequência de corte do tubo. Essas frequências podem ser calculadas por:

fl =0, 45 c0

S, (3.4)

sendo S a distância entre os microfones, e fu=

1, 84c0

πdi

, (3.5)

sendo c0a velocidade do som no ar e dio diâmetro interno do tubo.