Grupo 500
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS POETA ANTÓNIO ALEIXOESCOLA SECUNDÁRIA POETA ANTÓNIO ALEIXO
Ano Letivo 2015-2016 12º Ano
Matemática Módulo A8 – Modelos Discretos
Ficha de trabalho – Progressões aritméticas e geométricas.
Curso Profissional Técnico AL e SSMA
1. O Paulo está apaixonado pela Rita.
Para a conquistar pensou em começar por dar-lhe duas rosas, no dia seguinte dar-lhe-á três rosas, depois quatro rosas, e assim sucessivamente, até que a Rita aceite o seu convite.
1.1. Verifica que a sucessão do número de rosas dadas pelo Paulo é uma progressão aritmética de razão 1. 1.2. Escreve o termo geral da sucessão considerada na alínea anterior e calcula quantas rosas o Paulo comprou
no sétimo dia.
1.3. Ao fim de sete dias, quantas rosas, no total, já ofereceu o Paulo?
1.4. A Rita só aceitou o convite do Paulo no dia em que lhe ofereceu 20 rosas. Passados quantos dias foi isso? No total quantas rosas foram necessárias para a Rita ceder ao romantismo do Paulo?
2. Um nadador salva vidas tem de colocar vinte toldos, em fila, ao longo da praia. O armazém, onde se encontram os toldos, está a dez metros do local onde o primeiro toldo tem de ser colocado.
Imagina que ele só transporta um toldo de cada vez e que os toldos estão distanciados cinco metros em si, encontrando-se cada toldo cinco metros mais distantes do armazém que o toldo anterior.
Quantos metros percorrerá o nadador salva vidas para colocar todos os toldos?
3. Na Figura 1 estão representadas as três primeiras construções feitas com peças retangulares geometricamente iguais. Em cada construção as peças são agrupadas segundo uma determinada regra, formando quadrados.
Figura 1
Seja
b
n a sucessão que dá o número de peças retangulares utilizadas na n-ésima construção (por exemplo, na 2ª construção, são utilizadas 10 peças retangulares).3.1. Justifica que a sucessão
b
n é uma progressão aritmética. 3.2. Determina o termo geral de
b
n .3.3. Haverá alguma construção constituída por 100 peças retangulares? Justifica a tua resposta.
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4. Os lugares de uma sala de teatro estão distribuídos por 22 filas distribuídos da seguinte forma: há 11 lugares na 1.ª fila, 14 lugares na 2.ª fila, 17 lugares na 3.ª fila, e assim sucessivamente, ou seja, cada fila tem mais três lugares do que a fila anterior.
Numa determinada noite, atuou, nesse teatro, a tuna académica. Os bilhetes de todos os lugares da sala de teatro foram vendidos a 7,5 euros cada um.
Determine a quantia angariada com a venda dos bilhetes para o concerto dessa noite.
5. Na figura 3 está esquematizada a decoração dos canteiros de um jardim de um dado município.
O jardineiro vai plantar um pequeno arbusto no primeiro canteiro, no segundo canteiro vai plantar mais quatro arbustos do que no primeiro, no terceiro canteiro mais quatro arbustos do que no segundo canteiro e assim sucessivamente até ao décimo canteiro.
5.1. Determine o número de arbustos que o jardineiro irá plantar no quinto canteiro e no décimo canteiro.
5.2. O jardineiro decidiu que deveria encomendar mais vinte arbustos do que aqueles que necessita para decorar os dez canteiros.Quantos arbustos devem ser encomendados na totalidade?
6. O João vai comprar um televisor LED.
A loja oferece duas modalidades de pagamento distintas:
Modalidade 1
O pagamento é feito em 12 prestações mensais, consecutivas, sem juros; A 1.ª prestação é de 160,00€;
Nas prestações seguintes, valor a pagar é de menos 10 euros do que na prestação do mês anterior. Modalidade 2
O pagamento é feito a pronto, com 10% de desconto sobre o valor total do televisor.
6.1. Se o optar pela Modalidade 1, determine o valor que o João vai pagar na terceira e na última prestações.
6.2. Qual é o valor que o João vai pagar pelo televisor se optar pela Modalidade 2?
Nota que o montante total pago na modalidade 1 corresponde ao valor do televisor. Figura 3
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7. Um artesão construiu uma sequência de bonecas, inspirando-se em bonecas da Rússia, popularmente conhecidas por Matrioshkas.
Todas as bonecas são ocas, à exceção da primeira da sequência. A boneca menor pode ser colocada dentro da segunda boneca, que, por sua vez, pode ser colocada dentro da boneca seguinte, e, assim sucessivamente, até à boneca maior.
A figura, que não
está à escala, apresenta apenas as cinco primeiras bonecas da sequência colocadas da
esquerda para a direita, por ordem crescente de alturas.
Existem ao todo 10 bonecas na sequência. A altura da boneca menor é de
2 cm
. A diferença de alturas entre
duas bonecas consecutivas é sempre igual a
1,8 cm
.
7.1.
Qual é a altura da boneca que está na posição 4 da sequência?
7.2.
Na sequência completa, existe uma boneca cuja altura é de
11cm
. Essa boneca não está representada
na figura. Determine a posição dessa boneca na sequência.
7.3.
Determina a soma das alturas de todas as bonecas da sequência completa.
8. A padaria Delicia de Pão vendeu em janeiro de 2010, 4650 carcaças e emfevereiro, 6450.
Sabendo que a produção mensal da padaria cresce em progressão
aritmética, determine:
8.1.
O número de carcaças vendidas em março.
8.2.
O total de carcaças vendidas pela padaria em 2010.
9. Quando a Marta nasceu, o avô abriu uma conta no banco com 100€, no seu 1º aniversário depositou 150€, no seu 2º aniversário 225€. Isto é, em cada aniversário, o avô deposita vez e meia o que depositou no aniversário anterior.
9.1. Justifica que sucessão dada é uma progressão geométrica e indica a sua razão. 9.2. Em que aniversário o avô da Marta irá depositar 506,25€?
9.3. Qual é o valor do depósito no 10º aniversário da Marta?
9.4. A Marta só pode movimentar a conta aos 18 anos, que dinheiro terá nessa altura? Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
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10. Conta-se uma lenda a qual um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez quando este lhe foi apresentado, que decidiu mandar chamar o seu inventor e oferecer-lhe uma recompensa que ele desejasse receber. O criador disse que queria que um grão de trigo fosse colocado na 1ª casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos na 2ª casa, quatro na 3ª casa, oito na 4ª casa e assim sucessivamente.
10.1) Completa a seguinte tabela.
Casa do tabuleiro
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
Nº de graus de trigo
1
2
4
8
10.2) Indica, justificando, se a sucessão é uma progressão aritmética ou geométrica. Qual a razão da progressão?
10.3) Se o Xá apenas tivesse grãos de trigo suficientes para 20 casas, com quantos grãos de trigo ficaria o criador?
10.4) O criador pediu para colocar os grãos de trigo apenas nas casas pretas do tabuleiro de xadrez, com um
grão na 1ª casa preta, 2 grãos na 2ª casa preta, 4 grãos na 3ª casa preta e assim por diante. Deste modo apenas
32 casas tinham grãos de trigo. Qual é o número total de grãos de trigo que o Xá deu ao criador?
11. Duas amigas foram passar férias aos Estados Unidos e resolveram trabalhar para
ganharem algum dinheiro extra.
Teriam que trabalhar 20 horas e só ao fim desse tempo receberiam o dinheiro
correspondente ao trabalho.
Tinham três hipóteses de escolher a forma de pagamento:
1ª hipótese: 50 dólares por hora.
2ª hipótese: a primeira hora 8 dólares e cada hora seguinte teria um aumento de 5
dólares relativamente à hora anterior.
3ª hipótese: a primeira hora seria 0,002 dólares, e cada hora seguinte seria o dobro da
anterior.
Indica justificando qual a melhor hipótese e a pior.
12. Uma cliente maçadora aborrecia sempre a sua costureira com pedidos insistentes de descontos.
Certa vez, tratava-se de um vestido que custava 65 €, e a costureira já farta disse-lhe:
“Pois então leve o vestido e pague-me só os 10 botões do vestido: 20 cêntimos pelo primeiro, 40 cêntimos pelo segundo, 80 cêntimos pelo terceiro botão, e assim sucessivamente.”
Encantada, a cliente aceitou logo a proposta. Quem foi a “espertalhona”? Justifica a tua resposta, apresentando os cálculos necessários.
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13. Um certo número de camiões faz o transporte de cilindros, utilizando contentores. Os cilindros têm todos a mesma altura mas os raios da base são variáveis.
O primeiro camião transporta dois cilindros, o segundo camião transporta oito cilindros e assim sucessivamente, como é sugerido no esquema abaixo.
Admite que no transporte foram utilizados seis camiões e que os contentores têm as dimensões indicadas na figura:
13.1) Quantos cilindros são transportados pelo 5º camião?
13.2) Quanto mede o raio da base dos cilindros que são transportados no 6º camião? 13.3) No total, quantos cilindros são transportados pelos seis camiões?
14. O senhor Alberto vai fazer obras em sua casa, que demorarão dois meses, ficando a sua garagem ocupada com materiais de construção, pelo que necessita de guardar o seu carro noutro local durante esse período de tempo.
Encontrou duas garagens, A e B, com diferentes modalidades de pagamento.
Na garagem A, o senhor Alberto pagará 10 € na primeira semana, 15 € na segunda semana, 20 € na terceira semana e assim sucessivamente, pagando em cada semana mais 5 € do que na anterior.
Na garagem B, o senhor Alberto pagará 1 € na primeira semana e nas semanas seguintes pagará o dobro da quantia que pagou na semana anterior.
Qual das modalidades é mais vantajosa para o senhor Alberto. Justifica a tua resposta. Considera que cada mês tem 4 semanas.
15. A Maria soube de um segredo e como gosta muito de conversar, ao fim de uma hora contou-o a três amigas. Uma hora depois, dada uma delas contou a outras três amigas e assim sucessivamente. Considera a sucessão do número de pessoas a quem é contado o segredo, em cada hora.
15.1. Escreve os primeiros quatro termos da sucessão.
15.2. A sucessão considerada é uma progressão geométrica. Determina a sua razão e escreve o seu termo geral.
15.3. Ao fim de quantas horas, quantas pessoas, no total, já sabiam o segredo?
16. Num determinado país surgiu uma nova epidemia. A evolução da doença foi tal que, um dia após ter sido descoberta, já eram 200 os infetados e, a cada novo dia, até se descobrir a cura, o número de novos casos foi o triplo do número de infetados do dia anterior.
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17. Numa feira de agricultura, o Sr. Pedro, negociante de cavalos, pedia por um cavalo puro-sangue a quantia de 4 000 000 de euros. O Sr. João estava muito interessado em comprar o cavalo, mas considerava o preço muito elevado.
O Sr. Pedro propôs-lhe, então, o seguinte negócio:
O cavalo tem quatro ferraduras e cada uma delas tem oito cravos. O Sr. João dá-me um cêntimo pelo primeiro cravo da ferradura da pata dianteira esquerda; dois cêntimos pelo segundo cravo da mesma ferradura, e assim sucessivamente, duplicando sempre, até ao oitavo cravo dessa ferradura, pelo qual me dá 1,28 euros. Repare: pelos oito cravos da ferradura desta pata, o Sr. João paga-me 2,55 euros. Barata a feira!
Continuemos para os outros cravos. Pelo primeiro cravo da pata dianteira direita, o Sr. João dá-me 2,56 euros, isto é, o dobro do valor do oitavo cravo da pata dianteira esquerda, e assim sucessivamente, duplicando sempre, até sem terem esgotado os 32 cravos das ferraduras do cavalo. O Sr. João aceita pagar-me, por este cavalo, a quantia total do valor dos cravos das ferraduras?
17.1. Verifica que o valor total dos cravos da ferradura da pata dianteira esquerda é 2,55 euros, tal como o Sr. Pedro refere.
17.2. Mostra que, de acordo com a proposta do Sr. Pedro, o valor a pagar pelo cavalo é superior a 4 000 000 de euros.
18. A Ana e a Fátima têm de ler, para a disciplina de Português, um livro com 255 páginas numeradas da página 1 (primeira página do livro) à página 255 (última página do livro). As duas raparigas começam a ler o livro no mesmo dia, na página 1. A Ana lê uma página no primeiro dia e em cada um dos dias seguintes, lê o dobro do número de páginas do dia anterior. A Fátima lê três páginas no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, lê mais duas páginas do que no dia anterior.
18.1. Verifica que, ao fim de 𝑛 dias, a Ana já leu 2𝑛− 1 páginas e a Fátima já leu 𝑛2+ 2𝑛 páginas.
18.2. Admite que a Ana acaba de ler o livro no dia 18 de abril. Em que dia acaba a Fátima de ler o livro? Justifica a tua resposta.
19. O Filipe, treinador de futebol, é muito nervoso. Na última temporada foi expulso do banco de suplentes em cinco jogos por reclamar as decisões do árbitro. A Federação Portuguesa de Futebol, dada a reincidência do treinador, duplicou, a cada nova expulsão, o valor da multa da expulsão anterior. A multa referente à quinta expulsão foi de 7680 €.
Ao todo, quanto pagou o Filipe pelas expulsões da época passada?
20. O Gustavo, um jovem ciclista profissional, recebeu um prémio de 5000 euros após ter ganho uma etapa da Volta à França em Bicicleta. Com esse valor decidiu fazer um investimento com o prazo de 5 anos. O seu banco apresentou-lhe duas propostas.
Taxa de juros simples anual de 3%;
Taxa de juro composto anual de 2,8%, com capitalização anual. 20.1. Qual é a melhor opção para o Gustavo?
20.2. Se o prazo fosse de 10 anos, o Gustavo devia manter a sua opção?
20.3. Utilizando a calculadora gráfica, determina o prazo mínimo (em anos) para que a taxa de juro composto seja a melhor opção.
