Algumas propriedades da hierarquia AKNS supersimétrica

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IFT

Instituto tio Física Teórica Universidade Estadnal Paulista

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT D.001/03

Algumas Propriedades da Hierarquia AKNS Supersimétrica

Gian Machado de Castro

Orientador Prof.Dr. Abraham Hirsz Zimerman

^^^ooooooBl Fevereiro de 2003

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Eu v('jo a(iu('l(' rio a d(\slizar ü tíuiipo a atrav('ssar iiiou vilarejo E às v('zcs largo

O afaz('r

Mc pego em sonho A navegar

Coin o nome Paciência Vai a minha embarcação Pendulando como o tempo E tendo igual‘destinação Para cpiem anda na barcaça Tudo. tudo passa

Só o tempo não

Passam paisagens furta-cor Passa e repassa o mesmo cais Num mesmo instante eu vejo a flor Que desabrocha e se desfaz

Essa é a tua música E tua respiração

Mas eu tenho só teu lenço Em minha mão

Olhando meu navio O impaciente capataz Grita da ribanceira Que navega para trás No convés eu vou somljrio Cabeleira de rapaz

Pela água do rio Que é sem fim E é nunca mais

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“The world is chaiiged I feel it in tlie watlier I feel it iii tlie eartli I sinelt it in the air

Much that once w^as is lost For none now live...

...who remeinber it”

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Agradecimentos

Aos incus pais, pelo amor incondicional e por acreditarem sempre em mim, por en ser simplesmente eu. À minha irmã, pelo amor, carinho e amizade que sempre tivemos .um pelo outro. Sem a existência deles minha vida não teria sentido. A todos amigos, que já passaram e que ainda estão presentes em minha vida. Que nossos caminhos sigam próximos por longos anos. Em particular, gostaria de agrade- cer aos amigos Carlos Rodrigues, Eduardo de Carli, Esdras Santana, Marcello Ta- larico. Márcio de Menezes, Paulo Carvalho, Valkiria, Wanderson Wanzeller e Wiliam Hipólito, por tornarem a distância e a saudade de casa suportável. E pelas longas conversas sobre Física e outros assuntos mais mundanos. De maneira geral, a todas as pessoas que acreditaram em mim e que me ajudaram em todas as etapas de minha vida. Em especial, ao professor (e amigo) Fernando Kokubun por ter me preparado e mostrado o caminho para a longa jornada que terei até tornar-me um pesquisador. Aos mestres, que tanto me ensinaram e com quem ainda tenho tanto a aprender. Ao professor Abraham Hirzs Zimerman, meu orientador, pela oportunidade de trabalhar com ele, um cientista tão admirável e experiente. Ao professor José Francisco Gomes, o “Prank”, por ter sido um segundo orientador e por ter acrescentado tanto ao meu trabalho e formação . Ao professor Luiz Agostinho Ferreira, pela indicação para trabalhar com o professor Zimerman e por me deixar fazer parte do seu grupo de estudos de modelos integráveis. A todos que não citei, minhas sinceras descul- pas, pois precisaria de dezenas de páginas para citar todos aqueles que de alguma maneira deram contribuições a minha vida.

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11 Resumo

Neste trabalho estudamos a hierarquia de modelos iiitegráveis de AKNS super- simétrico. Abordamos também um modelo da mesma hierarquia, correspondendo a um sistema relativístico. Este modelo foi desenvolvido a partir da mesma estrutura algébrica e portanto corresponde ao modelo de Lund-Regge supersimétrico. Incluímos estudos de outros aspectos refentes a transformações de simetria e supersimetria de forma sistemática para o modelo de AKNS supersimétrico não rela- tivístico. Obtemos as soluções tipo sóliton dos modelos integráveis (em 2 dimensões ) sob consideração .

Palavras Chaves; Modelos Integráveis; Supersimetria; Superálgebras; AKNS Su- persimétrico.

Áreas do conhecimento: Teoria de Grupos; Física Matemática; Física Não- Linear.

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III Abstract

In I liis Work we study tlie supersynnnetric AKNS integrable niodel hierarcliy. We discniss also a relativistic inodel of the saiiie hierarchy. This niodel was developed froin tlic saine algebraic structiire and therefore corresponds to the supersymmetric Luiid-Rcgge model. We inclnde a systeinatic stndy on other aspects of the symme- tries and snpersymmetries transformations of the non relativistic supersymmetric AKNS. We obtain soliton Solutions of the integrable models (in two dimensions) under consideration.

«

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índice

'}

1 Método de Dirac para Sistemas Hamiltonianos com Vínculos 1 1.1 Sistemas com Vínculos 1 1.2 Método de Dirac: Caso bosônico 2 1.2.1 Formalismo Hamiltoniano 2 1.2.2, Parênteses de Dirac: Caso bosônico 4 1.3 Método de Dirac: Caso fermiônico 5

►

1.3.1 Formalismo Canônico de Variáveis Anti-Comutantes 6 1.3.2 Vínculos 8 1.3.3 Parênteses de Dirac: Caso fermiônico 9

2 AKNS e Lund-Regge Supersimétricos 11 2.1 Superálgebra s/(2,1) 12 2.2 A “loop” Álgebra sí(2,1) 14 2.3 Gradação Homogênea 15 2.4 Equação de Curvatura Nula:

AKNS Supersimétrico 16 2.5 Transformações de Supersimetria:

AKNS Supersimétrico 18 2.6 Correntes da Álgebra s/(2,1): Lund-Regge Relativístico Supersimétrico

20

3 Integração dos Modelos 27 3.1 Álgebra de Kac-Moody 27 3.2 Curvatura Nula e Transformações de Dressing 28 3.2.1 Operadores de Vértice 31 3.3 Soluções dos Modelos Via Funções Tau 32 3.3.1 Solução para AKNS Supersimétrico 32 3.3.2 Solução para Lund-Regge Supersimétrico 33 3.4 Correlação entre os modelos de AKNS e Lund-Regge Supersimétricos 36

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IihIu(' r 4 Simetrias do Modelo de SUSY AKNS 37 1.1 Técnica (!('Dr('s.siiio;. Simetrias Contínuas c Leis d('Conservação ... 37 1.1. l Técnica de Dressing 37 1.1.2 Sinu'trias Contínuas 40 1.1.3 Leis de Conservação 41 4.1.4 Fluxos Isospectrais e Leis de Conservação 42 4.2 Fatorização do Problema de Riemann-Hilbert 43 4.2.1 Fatorização para Fluxos Positivos 45 4.2.2 A A,„-Hierarquia Homogênea, Fluxos Isospectrais, Hamiltoni-

anas 46 4.2.3 Fatorização do Problema de Riemann-Hilbert Estendida, Fluxos

Negativos 49 4.2.4 A Função Tau 50

5 Leis de Conservação para SUSY AKNS 52 5.1 Fatorização para fluxos positivos: superálgebra s/(2,1) 52 5.2 Cálculo das Hamiltonianas via Método de Dressing 57

6 Cálculo das Simetrias do Modelo SUSY AKNS 61 6.1 Equações de Movimento para 61 6.2 Simetrias Fermiônicas 64 6.3 Cargas de Nõether 66

7 Modelos de SUSY AKNS como Sistemas Bi-hamiltonianos 68 7.1 Hamiltonianas do Sistema 68 7.2 Método de Dirac para Obtenção da Estrutura de

Poisson 1 69 7.3 Método de Dirac para Obtenção da Estrutura de

Poisson 2 71 7.4 Relação Entre as Estruturas de Poisson 1 e 2 do Sistema Bi-hamiltoniano 73 7.5 O Operador de Recursão no Esquema de AKNS 73 7.6 O Modelo Reduzido de SUSY AKNS 75 7.7 Considerações Finais 78

A Operador de Recursão 79 A.l Álgebra su{2) 79 A.2 Álgebra s/(2,1) 80

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hulicc yj B Construção da Hierarquia de SUSY AKNS Através do Operador de Recnrsão 82

13.1 f-2 [ni = 2) 82

B. 2 Toini)o t:i {ru = 3) 84 C Compatibilidade Entre as Estruturas de Poisson 87

C. l ” Poisson Pencil” 87 Referências 89

I

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Introdução

Nosso traballio vison o estudo da hicrarciuia dc modelos integraveis de AKNS supersimétrico (SUSY AKNS). A generalização do modelo de AKNS (Ablowitz, Kaup, Newell e Segur), para o caso supersimétrico, foi feita por Aratyn e Rasinariii [7], qnando propuseram um sistema de ecpiações de evolução para um dado tempo (t — t2). Abordamos também, nesta dissertação , um modelo da mesma hierarquia, correspondendo a um sistema relativístico. Este modelo foi desenvolvido a partir da mesma estrutura algébrica e portanto corresponde ao modelo de Lund-Regge supersimétrico [14], Estudamos também outros aspectos referentes a transforma- ções de simetria e supersimetria de forma sistemática para o modelo de AKNS supersimétrico não relativístico. De forma a manter esta dissertação auto-explicativa

I

descrevemos a seguir os vários métodos utilizados na construção e na obtenção de soluções tipo sóliton de mod^ps integráveis enf 2 dimensões , bem como o estudo sistemático das suas simetrias.

Tais modelos integráveis estão naturalmente associados a um conjunto consis- tente de vínculos a serem implementados para uma álgebra de Kac-Moody sl{2,1). Estes, por sua vez, induzem uma estrutura de Poisson (pelos Parênteses de Pois- son) através dos Parênteses de Dirac, que juntamente com as Hamiltonianas repro- duzem as equações não relativísticas da hierarquia. Uma outra estrutura de Poisson (parênteses de Poisson) é naturalmente identificada através da construção de uma Lagrangeana.

No primeiro capítulo, apresentamos o método de Dirac para o tratamento destes sistemas vinculados. Desenvolvendo o seu formalismo para os casos; bosõnico e fermiõnico. O capítulo 2 mostra a construção dos modelos de AKNS e Lund-Regge supersimétricos. Inicialmente, fazemos uma introdução à superálgebra s/(2,1), fa- miliarizando o leitor com a notação à ser usada. Logo a seguir, é feita sua extensão para um número infinito de geradores na chamada ”loop” álgebra s/(2,1). A partir daí, escrevemos as equações de movimento para os campos físicos (fermiõnicos e bosõnicos) dos referidos modelos. Também fazemos o estudo da supersimetria do modelo de SUSY AKNS através do conjunto de transformações proposto por Aratyn e Rasinariu [8],que mais tarde (capítulo 6) mostraremos fazer parte de infinitos con- juntos de transformações obtidos pela técnica de dressing*.

*Ti'ata-se de um método utilizado para calcular as simetrias e leis de conservação da hierarquia integrável, baseado na relação destas com a estrutura algébrica dos modelos. Também é usado para obter as soluções do sistema através do mapeamento de soluções de vácuo em soluções não

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Após ('sla ctai)a. passamos para o estudo do inodcdo d(' Luiid-Reggc supcr- simétriío. definindo as correntes D~^OD e ÕDD~K onde D é nin elemento do grnjro SL{2. I) (' as correntes pertencem a álgebra s7(2. 1). Tais cornmtes nos permitem encontrar as ('cpiações de movimento do modelo, através das chamadas Cípiações de Leznov-Sa\'cliev [9].

No (ajíítnlo 3, procedemos no sentido de obter as soluções tipo sóliton dos modelos ('in questão . Antes, fazemos nma exposição sobre o método das funções tau estendidas [13], que utilizaremos para encontrar as soluções . A seguir, no capítulo 4, realizamos o estudo das simetrias e leis de conservação da hierarquia de SUSY AKNS. Para tanto, nos valeremos da técnica de dressing para encontrar os geradores de simetrias contínuas [16], que nos permitirão encontrar as Hamiltonianas do sistema, dentro do contexto da fatorização do problema de Riemann-Hilbert [15]P

O capítulo 5, trata da aplicação da técnica discutida no capítulo anterior, com o objetivo de calcular explicitamente algumas das infinitas leis de conservação (Hamil- tonianas) da hierarquia de SUSy AKNS. O capíl^ulo 6, visa o estudo das transforma- ções de supersimetria da referidã hierarquia. Começaremos pela obtenção das equa- ções de movimento para o tempo tz e depois construímos algumas das transformações de supersimetria associadas a alguns dos infinitos geradores. Também obtemos as cargas de Nõether associadas as transformações ligadas aos geradores F^\ e a' ■

O sétimo e último capítulo é dedicado ao estudo da hierarquia de SUSY AKNS como um sistema bi-hamiltoniano. Mostramos que o método de Dirac pode ser usado para construir uma nova estrutura do tipo Poisson e, a partir daí, obter toda hierarquia de modelos integráveis em questão , através do operador de recur- são . Também discutimos o problema da redução da hierarquia SUSY AKNS para as equações de tempo Í2> através dos vínculos f2Í,x) = dxfi{x) e b2{x) — bi{x), onde bi e Ò2 são os campos bosônicos e /i e /2 os fermiônicos. Como resultado obtemos que as equações do modelo reduzido não são supersimétricas. Na última seção , fazemos as considerações finais; um resumo do que foi discutido, apontando os principais resultados. No final, são incluídos alguns apêndices por questão de completeza. Algumas refrências básicas sobre modelos integráveis são dadas em [1] e[2j.

triviais.

t A fatorização de Riemann-Hilbert é particularmente útil na descrição de hierarquias integráveis comijostas de um conjunto infinito de equações de evolução associadas a tempos graduados t =

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Capítulo 1

Método de Dirac para Sistemas Hamiltonianos com Vínculos

Dirac desenvolveu este método geral para tratar de sistemas'vinculados. Tais sistemas apareçam frequentemente em diversos ramos da Física, como por exemplo, na teoria clássica e quântica de campos. Neste capítulo, exporemos tal método, desenvolvendo seu formalismo para os casos onde temos vínculos bosônicos e fermiônicos.

1.1 Sistemas com Vínculos

Dado um sistema que possue uma relação entre os seus momentos e coordenadas generalizadas, a qual chamaremos de vínculo:

O parêntese de Poisson desta quantidade pode ou não ser nulo. Por exemplo, a partícula livre relativística possue o vínculo

T{p,q) = 0 (1.1)

r(p,g) = p''Pu = 0 (1.2)

porém

í^,„p‘'p^} = 2p„ (1.3)

Então, é comum escrever-se que

r(p,g) ~ 0 (1.4)

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Cnpítnio 1. MctcxU) ch' Dirm pari\ Sistcnins Hiunihx)uiiUios coni \'ínciiIos 9 onde se diz fracaDicnie ífjual a zero, signific ando cine !"(/>. cy) = 0 não inij)lica. n('C('ssaiiainent('. ein {T.-d} = 0 (onde /I ^ 0). Os parêntc\s('s de Poisson foram definidos de acordo com a referemeia [3];

U-fj}

0q„ dpr, 0p„ dq„ (1.5)

1.2 Método de Dirac: Caso bosônico

O método (fe Dirac se apresenta como imia maneira correta de proceder no sentido de resolver a inconsistência em (1-3). Consiste basicamente em se desenvolver o formalismo da teoria juntamente com as variáveis independentes e as relações de vínculo.

Dado um sistema descrito pela Lagrangeana:

(1.6) num espaço de configurações N-dimensional, representado pelas coordenadas generalizadas qi{i — 1,..., N) e qi são as correspondentes velocidades generalizadas(ver [4]). A passagem para o formalismo Hamiltoniano é feita, primeiramente, pela introdução dos momentos canônicos

Px =

dqi (1.7)

No caso de sistemas não vinculados, as coordenadas e as velocidades generalizadas, respectivamente, ç, e Çj, são independentes. Quando o sistema é vinculado, elas são dependentes (vínculos).

1.2.1 Formalismo Hamiltoniano

Dada a seguinte transformação de Legendre:

T-Cc{q,p) = Piqi - £{q,q) , (1.8) onde chamaremos Tíc de Hamiltoniana canônica, que é função de q e p. Façamos a variação de T-íp-

8Hc{q,p) = {5pi)q,piòcii -

= Qx^Px - , (1-9) onde usamos (1.7).

Existem duas maneiras de prosseguir, quanto ao tratamento dos vínculos. A primeira é utilizar os vínculos para eliminar as variáveis dependentes. A segunda, a

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3 C'ii})ítulo 1. Mrtodo (!(' IJiiiW píUH Sistcinns Ih\iniItoiiiiUios com \ íiiculos

([nal l)ascia-se o inátodo dc Dirac, consiste ('ui d('s<'m'oh'('r o lonnalisnio tial)alhando coiii as vari<ív('is (lcj)endcntes c com as rola(^õ('s d(' víiuatlos.

A fim d(' termos uma idéia solrre ([ual Hamiltoiiiaiia usar. vamos calcular a ('Cluaqão de movimeuto uo ('spaço de fases:

^Q■Q) = P,q, - ^c[(h V) que vem de (1.8). Continuando...

8S = 5 - Hc)dt = 0 I{Pi8çii + àp^Qi - ÔHc)dt = 0 De (1.9), temos que 5Hc{q,p) = ^dpi + Substituindo (1.11) em (1.10), temos (1.10) (1.11)

Em geral, ÔQí ^ 0 e ôpi ^ 0. Logo,

, d'Hr , ^ , ddic X c- /X (Pi +—)8qi + {-qi + ^—)ôpi = 0 (1.13)

oqi dpi Da relação de vínculos, 4>^n = 4>m{q-,p) , m=l,2, ...,iV , (1.14) temos 0 (1.15) oqi dpi

Multiplicando (1.15) por —X,-n{q,p) (multiplicador de Lagrange) e somando com (1.13), obtemos: -{Pi + dHc dqi + A» d(t)„ ‘ dq^ ■)5q, + (ç, dHc dpi A, d({)„ ‘ dqi ■)5pr = 0 (1.16) Temos , portanto, as seguintes equações de Hamilton:

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Ciipímlo 1. Mctodo (}(' Dinic piUH Sist('iiic}s Iíiuni}toinniu>s coiu Wuculos 1 o (inr (' ('(iuival('nlo a (l('íiiiiiinos a liainiltoiiiaiia.

Tí — (1.18)

onde Ti 6 a Haniiltoniana total.

() pre(,'o (jue i)againos i)elos M vínculos Scão os M inult ii)licadoies de Lagrange. Podemos escrever as equações de movimento em termos dos parênteses de Poisson envol\'endo Ti., como segue

(li = {qz,T-(-} Pi = {Pi^T-i] O que mostra a consistência da expressão (1.18)

«

1.2.2 Parênteses de Dirac: Caso bosônico

Seja a evolução de uma certa quantidade dinâmica A{q,p, t): dA _dA. dA . d A

dt dqi dt usando as equações (1.17), temos

dA dA dHc , d(pa-. dA õHc , depa. d A dt dqi dpi “ dpi dqi dpi ^ dpi ^ dt podemos reescreve-la em termos dos parênteses de Poisson

dA r .. o , 1 ^ r X ,1 9A ~ {A, Tíc} + ^a} + ’ onde a = 1,2,N. Fazendo A ^ (pb, temos (j^b 0 ~ d~Cc\ “1“ (pa\ i (1.19) (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) onde 0 = 0 por consistência e lembramos que temos uma soma implícita nos índices repetidos a. Vamos prosseguir definindo a matriz dos vínculos

Cab={<Pa,d>b} , (1-24) continuando...

(17)

Cítpítulo 1. Mctodo (!(' DiiiU- ]);}rci Sistcnins HiuniltoniiUios roín \’{iiculos L) Usando o fato d(' a matriz C„i, ser anti-simétrica (vínculos bosônicos). temos

\o =. (1.2.5) Substituindo (1.25) cm (1.22), obtemos

+ ^ . (1.26) podemos, a j^artir de (1.26), definir a seguinte estrutura:

{.4,K}d = {A^Hc} - , (1.27) que é conhecida como parênteses de Dirac para o caso bosônico.

Agora, vamos analisar de novo o caso da inconsistência que tiníramos em (1.3). Calculemos o parêntese de Dirac das quantidades A e <f)c-

{A, (Pc}d = {A, 0c} - {A, <pa}Cj{4>b, 0c}

= O(forte) , (1.28) o que resolve nosso problema de consistência dada por (1.3). Os parênteses de Dirac para o caso de coordenadas generalizadas contínuas (campos) ficam

{A(x),B(y)]D = {A(x),B(y)} - j jdzdz {A{x),4i^(z)}Cj{z, z'){M^'), B{p)] (1-29) onde

^ ■ (1.30)

1.3 Método de Dirac: Caso fermiônico

Vamos desenvolver, a partir de agora, o método de Dirac para o caso em ejue os vínculos são bosônicos e fermiônicos. Nossa densidade Lagrangeana dependerá das coordenadas bosônicas e fermiônicas, como segue:

C = £{q,q,e,9;t) , (1.31) portanto, precisaremos primeiro desenvolver o formalismo canônico envolvendo variáveis anticomutantes.

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Capítulo 1. Mctodo (!(' Dinic para Sistemas llainiltímianos com \ iuculos (i 1.3.1 Formalismo Canônico de Variáveis Anti-Comntantes

Dada a densidade d(' Lají,rang('.

jC = C{(p íp ti. ti:t) 1.32)

A eciuação de Enllcr-Lagrange para as variáveis bosônicas é a mesma obtida no caso anterior. A equação para as variáveis fenniônicas, pode ser obtida por procedimento analogo, tomando a variação

encontrando* Ô,S = = 0 . dC d d dti^ dt dti. Os momentos'canônicos sao Pi = 7T rv ^q^ dC dti. (1.33) (1.34) (1.35) (1.36) Vamos, agora, fazer a transformação de Legendre para passarmos para o formalismo Hamiltoniano:

K = diPi + 0a7Ta - C , (1.37) variando ?íc, temos

ÒUc -dqiPi + SpiCli - 5-KaOa - dtia-kcc , mas como 7íc = TLdq,p, 6, tt), temos também

, , dn, , , ciHe , ,, dn, òHc = Òqi— 1- Ôpi—— + Ò7T„^r h àtia^^

OQi

Igualando (1.38) e (1.39), obtemos as equações de Hamilton: dHc (1.38) (1.39) Pi = qi = tin = dqr dHç dpi dn. (1.40) (1.41) (1.42)

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Ci\])ítuln 1. Mctíxlo do DiiiU- ])éU'fi Sist('inns riouiilloninnos com \ ínculos OTír

= --7

oe..^ (1.43)

Ati,oia. vamos analisar a ([uantidatU' dinâmica A{(i. p. 0. tt: t). Sna evolução tem- l)oral é dada i)or;

(IA . ÕA . OA ■ dA . (14 ÕA — (h 1“ Vi TT 1“ On 1“ 1 ?Vr dt d(p dp, '00,, "õi dt Substituindo (1.40)-(1.43) em (4.44), temos d A , , ,, , d A ^~(.4.W4 + ^ onde M,^c} = d A dHc d A dHc dHc d A dHc d A ;i.44) (1.45) (1.46) dq, dp^ dp, dq^ diVa dO^ dO^ d-K^,

onde a quantidade acima é o parênteses de Poisson entre A e 7í^ envolvendo variáveis de Grassmann. Temos duas possibilidades para A: bosônico ou fermiônico. Logo, vamos escrever o parêtese de Poisson para estes dois casos, como segue

fA n-i t -

dq^ dpi dpi âqi dô^ dn^ dô^ d^a

^ íA dAFdHc dApdUc dUedAp dqi dpi dpi dqi dO^ dn^ dO^ diTa Lembrando do seguinte resultado algébrico:

1. H ^ B(bóson) (1.47) (1.48) 9 QE dq —> F(férmion) 3. —r F(férmion) 4. ^ F(bóson)

Então, das equações (1.47) e (1.48), podemos escrever as seguintes expressões gerais:

, dBi dB2 dB2 dBi ^ dq^ dp^ dpi dq^ ^ dô^ d^a dO^ dua e

íB = _ 9B2 dFi ^ dq,, dpi dpi dq, dô^ d-K^ dô^ dn^ Fazendo B2 = sF2 em (1.49), temos

íB = dBiÕF2 dF2dBi ^ dqi dpi dpi dqi d9a dua dd^ d^a

(1.49)

(1.50)

(20)

Capítulo l. Mrtodo dr Dintr piira Sist('inas Iltuniltoiiianos com Víi]c\ilos S tamhriii ia/('iulo — eF\ em (1.51). obtemos

ir (1-9^ ' " 0(ii Opi Opi dtp OOn 0n„ 00a Orta

l’()itaii1(). os ])arèuteses de Poisson. neste caso. tem a seguinte forma geral (ver [•^]):

0^0^ d A, dA2

d(]i dp, dp^ dq, dO^ diía dn^ dO^ (1.53) onde e.i, é +1 (bóson) on -1 (férmion).

Para obtermos as identidades de Jacobi para o caso em questão, devemos proceder de maneira análoga ao cálculo dos parênteses de Poisson, obtendo:

{Bu{B2, B^}} + {S2, {Bs, B,}} + [Bs, {fíi, B2}} = 0 (1.54) . {F,,{B2,Bs}} + {B2,{Bs,F,}} + {Bs,[FuB2}}=0 (1.55) [Bu {F2, F3}} + {F2, {F3, B,}} - [Fs, {5i, F2}} = 0 (1.56) {Fi, {F2, F3}} + {F2, {F3, Fi}} + {F3, {Fi, F2}} = 0 (1.57) ou, de maneira resumida

{A,, A,}} + (-ir"={'42, {/I3. A,}} + Miunt = 0 (1.58) onde os niimeros ni, ri2 e ns têm que ser 0 (zero) ou 1 (um), de acordo com a condição:

-ÕA = {—l)^^A'd ,"0 F Grassmann . (1.59)

1.3.2 Vínculos

Agora, vamos proceder no tratamento dos vínculos. De maneira geral, escrevemos:

0m(9,P, é>,7r) = 0 , m = l,2,...,V , (1.60)

d(f>rYi c- dcpiyi d(f),n r dcpi, àqi^ b òpi— 1- Ò0a— H àiTc

dqi ' dpi ' (96'a ' " '“ôtTq

Multiplicando (1.61) por Xm{q,p,d,7f) e somando com a igualdade entre (1.38) e (1.39), temos

. dn ^ d(j),^. ^ . du oqpPi + -7, b A^——) -b opi[ — qi -b

uQi ^Pi -pôOc^Tt TVn dn dn + Xm ) + OT^a\0n de, dO^ + A, d(f)rn dpi + A^ d(j)ra d-Ka ) ) (1.62)

(21)

Oip/f u/o I. Mctodo (!c Diiac pcun Sistcnuis IhuniltoniiíUi^s coin \''ínculus 9 Logo. as cxpiaçoos do Hamilton são:

= - <h = - Õa = TTr. = dHr dq, dHc d]h dUc ÕTX^ dHc ' de^ -A, - A, dd,n ' dq, d0,í, I O dp, dó,-,, ' dn,-, dÓm

O que deve ser equivalente a escrever a seguinte hamiltoniana:

(1.63)

(1.64)

(1.65)

(1.66)

n = Hc + X,nÓ.n , (1.67) onde H é a Hamiltoniana total e o índice duplo m significa a soma de todos os vínculos. Pois somos capazes de escrever as equações de movimento das variáveis dinâmicas para a hamiltoniana (1.67) da seguinte forma

qi = {qi,H} (1.68) Pi = {Pi,H} (1.69) Õa = {0c,n} (1.70) ^a = {T^a,H}y^ (1.71) O que confirma a consistência de (1.67).

1.3.3 Parênteses de Dirac: Caso fermiônico

Seja dada a evolução temporal de uma certa quantidade dinâmica A{q,p, 9, tt), pela seguinte equação

d A d A

= {A,Hc} + {A, Xaóa}, (1-72) como já fizemos no caso bosônico, onde a = 1,2, ...,A1. Agora devemos ter um cuidado maior com os cálculos, por causa das variáveis grassmanianas. Fazendo A Ób, temos

0^{ób,H} + {ób,Xcóa} (1.73) onde 0 = 0 por consistência e lembramos que temos uma soma implícita nos índices repetidos a. Mas agora, a matriz dos vínculos

(22)

Cupítulo 1. Mrttnh^ (Ic Din^c ])íuh Sistcnuis HninihoiiiiUios cow \YucuIos IO 1)0(1(' s('r siiiirt rica (no caso do dois \’íiiciilo [('niiiòiiicos) o A„ ])ossuo carat('r icaniiònico. \’aiuos snpor o caso d(' dois \'ínculos foniiiôiiicos. Logo.

{(?,„//,}-A„0,„ . (1.75) e portanto

K = . (1.76) Agora, temos duas i)ossibilidades. Primeiro, (pie a quantidade dinâmica A pode ser boscrnica. Segundo, cpie ela pode ser fermiônica. Analisaremos os dois casos. Se A é bosônico, substituindo (1.76) em (1.72), temos

OA d A

- = {A,n,}-{A,K<í>a}c;,^{cp,,n,} + ^ , (1.77) e substituindo (1.76) em (1.72) para o caso em que A é fermiônico, temos

dA BA

— = {A,nc} - + — . (1.78) Portanto, pelo fato de (1.77) e (178) serem iguais, podemos definir

{A, = {A, H,} - {A, 0a}C„V{06, Hc} , (1.79) que é conhecido como parênteses de Dirac para o caso fermiônico. Note que (1.79) é igual a (1.27). Então, temos a mesma forfna geral para os dois casos.

Agora, vamos analisar mais uma vez o caso da inconsistência que tinhamos em (1.3). Calculemos o parêntese de Dirac das quantidades A e (pp

{A,(Pc}d = {A,(pc} - {A,4>a}Cj{(pb,(pc}

= Q{forte) , (1.80) o que novamente resolve o problema de consistência. Os parênteses de Dirac para o caso de coordenadas generalizadas contínuas (campos) ficam

{.4{i),B(j;)}d = {A(x),B{y)} - j j dzdz {A(x),ij>^(z))Cp(z,z'){4>i(z'),B(y)} (1.81) onde

(23)

Capítulo 2

AKNS e Lund-Regge Supersimétricos

Neste capítulo, desenvolveremos o estudo da hierarquia do modelo AKNS super- simétrico. Para tanto, iniciamos por nos familiarizar com a superálgebra sl{2,1): suas raízes, sçus geradores e relações de (anti-)comutação. Logo asseguir, faremos sua extensão para um número infinito de geradores, na chamada “loop” álgebra sl{2,1). Estudamos seus geradores e suas relações de (anti-)comutação. Logo após, definimos para a mesma, o seu núcleo (kernel) e sua imagem. A partir daí, tomamos o elemento Aq pertencente a imagem, parametrizado pelos campos fermiõnicos e bosônicos, referidos como campos físicos.

Nosso próximo passo, foi o de definir um operador que desse o grau dos geradores da álgebra em questão. Dessa forma, tornou-se possível escrever as equações de movimento para os campos físicos, fermiõnicos e bosônicos, que estão na imagem de 6‘Z(2, 1), em uma forma conviniente.-^Para obtermos as referidas equações, utilizamos a equação de curvatura nula, que será usada como condição de integra- bilidade. As classes de modelos integráveis são definidas pela escolha de Q,A e B, onde Q é o operador de gradação (ver equação (2.18)), A (ver equação (2.23)) e B (ver equação (2.25)) pertencem a álgebra. Para o conjunto Q,A e B escolhido inicialmente, de acordo com Aratyn e Rasinariu [8], obtivemos o modelo AKNS su- persimétrico (SUSY AKNS). Concluída esta etapa, procedemos com o estudo da supersimetria do referido modelo. Para tal, utilizamos um conjunto de transformações, de acordo com Aratyn e Rasinariu [8].

Outra maneira de se estudar a supersimetria do modelo de AKNS supersimétrico, é através do formalismo de supercampos. Em resumo, trata-se de estender o espaço de parâmetros, associando a cada variável bosônica, x, uma variável fermiônica, 6.

Após esta etapa, passamos para o estudo do modelo de Lund-Regge super- simétrico. Para tal, foi preciso definir as correntes B'~^dB e dBB~^ pertencentes a álgebra sí(2,1). A partir das correntes, foi possível obter as equações de movimento para o modelo em questão, através das equações de Leznov-Saveliev [9].

(24)

12 Capítulo 2. A1\NS c Lund-neggc Sujycisimctlicos

O (!(' ('studar os dois modelos foi o de estalK'l('C('r uma i('la(,ão entre os mesmos, (jue foi mostrada ('in [14]. No ])róxim() caindulo, vamos i)ro(edcr na resohu^ão das eciuac^ões de mo\'inien1o para os eampos. qu(’ são solm^^ões do tipo .sóliton. do modelo de SUSY AKNS.

2.1 Superálgebra s/(2,1)

A superálgebra .s/(2,1) possui oito geradores, (piatro dos quais são bosônicos e os outros cpiatro fermiônicos. Os quatro geradores bosônicos(£'^'", //i,//2) definem a álgebra de Lie s/(2)0r/(l) e os geradores fermiônicos são representados como . Aqui, a e a" são duas raízes simples que dão a dimensão da subálgebra de Cartan, gerada por e H^- Devido a estrutura métrica indefinida, temos

Podemos calcular o número de raízes da álgebra se conhecermos sua dimensão e seu rank. Para tanto, basta subtrair de sua dimensão(dzms/(2,1)) o número de raízes simples{ranA':s/(2,1)). Logo,

Portanto, temos seis raízes. Já conhecemos quatro, que são: oí,—a ,ol' e —a . , / / V í " " \

[a ,a ) = [a ,a ) = 0 (2.1)

e

(a, a") = 1 (2.2)

NumRaizes - dimsl{2,1) — ranksl{2,1) = 8 — 2 = 6 (2.3)

Somando as duas raízes simples, a' e a", temos uma terceira raiz, a"', como segue: / H (2.4) Oí « + a , com (q: , ct j = 2, pois onde / / /. / " " \ [a ,a ) = [a ,a ) = 0 (2.6) e {a,a) = {a', a) = 1 (2.7)

(25)

(IIl< ) 2. AhWS c Liin(l-Í\<'gg(' Sii})crsiinctiii-os 13 Logo.

/// /// . (n .o ) = 2

como íoi dito. A última raiz é —a . Então, as raízes da álgebra são: / // n m

o . —o , a , —o , n , —o (2.9)

Os g('radores, na sna representação matricial 3A'3 (representação fundamental), na base de Weyl-Cartan, são dados por

= / 1/2 0 0 \ 0 -1/2 0 VO 0 0/ ;í^2 = / 1/2 0 0 \ 0 1/20 VO 0 1/ / 0 1 0 \ 0 0 0 V 0 0 0 / / 0 0 0 \ 1 0 0 V 0 0 0 / F > = _a / 0 0 1 \ 0 0 0 V 0 0 0 / F / = _—o. / 0 0 0 \ 0 J)^ 0 V1 0 0; (2.10) F'< = / 0 0 0 \ 0 0 0 _{; F-o." =} / 0 0 0 \ 0 0 1 Volo/ \ 0 0 0 J

Podemos definir os elementos de Cartan (somente dois são independentes):

aH = H1FH2 aH = Hi~H2

a"H = 2Hi (2.11) A partir de (2.10) e (2.11) é fácil verificar as seguintes relações de comutação e anti-comutação da álgebra sl{2,1):

- = {a {a"H,E^^..}

(26)

Cí\pítnln 2. AhyS (' Lum}-Hi\n;p,c Supcisiinótricos 14

^Ta"}- = ±^±o' {/%/'• -^_a"}+ = -O = 0

{^"±o'-'^±a"}+ = onde nós adotamos a seguinte notação:

{yl,F}_ =AB-BA para o comntador e (2,12) {A,B}+ =AB+ BA para o anti-comutador. 2.2 A “loop” Álgebra s/(2,1)

Dada a álgebra s/(2,1), nós podemos definir a álgebra afim (“loop” álgebra) sl{2,1). A “loop” álgebra s/(2,1) tem por geradores G"* = X^G, onde G é gerador de sl{2,l) e A é um número complexo. Dessa forma, podemos utilizar as relações de (anti-)comutação dos G para definir as relações para G™ . Então, as relações de (anti-)comutação para sl{2,1) são:

1771-j-n ±a" = ±E2p-,{aH”',F^^.,}-^±F {air\F"^.). = =0 = {E^-,np-=o {ír<.».í’L"}+ = {Fiv.í’i.-}+=o = a"'//’"+";{F'7,F: .}+= a'F"’+" = TFrJ";(Fw».F;„,,}_ = ±F”t" = -Q"//'"+";{ír„..F;„r+ = o 77771+71 — £/,/// _±Q (2.13)

Dado o elemento E = Xa H, o núcleo correspondente será o conjunto de geradores de s/(2,1) que comutam com E. Tal conjunto é o seguinte:

(27)

Ciipítulo 2. AhhS (' Sni)('isinictiicos lí)

Eiii contra partida, sna imagem .s<'iá o conjunto dos g('iador('s de sl{2. 1) (jm' não comutam com E. Kste conjunto é ('iitão:

Podemos escrever o elemento .4o 6 Im{ndE) na seguinte forma;

/In = lhE^']l + + /sF^?? _{n ^ —a ' —a a} ou na sua representação matricial

com Aq — / 0 Ò1 62 0 V 0 h o\ /i 0 / {^ii ^2}- — 0 {717/2}+ — 0

onde bi e 62 são campos bosônicos e /i e /2 são campos fermiônicos.

(2.15)

(2.16)

(2.17)

2.3 Gradação Homogênea

Podemos definir um operador de gradação, chamado operador de gradação ho- mogêneo, da seguinte forma:

Q.aA (208) Então, todo o operador G"" de sl{2,1) tem a propriedade:

=mG"* (2.19) Esta propriedade pode ser facilmente demonstrada como o faremos a seguir.

{Q,G^}_f = Q(G™7) - G""(Q7)

= (QG”')/ + G’"(Q/)-G"‘(Q/) /

(28)

Ciipítiüo 2. AKNS e Lund-Bcggc Supcrshuctricos 16 Ai)!kaii(lo /“' à direita da expressão anterior, obtcanos (2.19). A partir desta delinição do gradação, vemos (jue o miiiunx) inteiro lu corresponde ao gran do gerador em (jnestão. Port anto, todos os oit o geradoi('s de sl{2. 1) com ni = 0. têm grau zero. Podemos deíinir outro ti])o de operador de gradação (jue não seja homogêneo. Por exemplo

Q = o"//" + 2A^ aX

Utilizando este operador, podemos calcular o grau dos geradores de s/(2,1) como segue: {Q,«'//”}_ = 2na'i/" = 2na"H" = (2n±l)El^, {Q.E-J. = {2n±l)F-^, = 2nF"^ (2.21)

2.4 Equação de Curvatura Nula: AKNS Supersimétrico

Podemos definir uma classe de modelos integráveis através da condição de integra- bilidade que é a equação de curvatura nula. A referida equação nos dará a dinâmica dos campos físicos. Ela é dada por:

-d^B + dtA + {A,B}_ = 0 (2.22) com

A = Ao + F(^^(F(i) = Xa'H) (2.23) A classe de modelos integráveis é definida pela escolha de B de tal forma à satisfazer (2.22). De maneira geral, B tem a seguinte forma:

N

B^^B, (2.24) i=0

Estamos interessados em obter as equações de movimento para os campos físicos /i) ./2) í>i e Ò2 correspondentes, respectivamente, aos geradores fermiônicos E^\, e

(29)

Ccipílulo 2. AKNS c Lund-Reggc Supcrsiinétricos 17

F*?? (' os «-('ladores Ijosônicos e da classe d(' modelos iiilográv('is definida _{O ^ 0—0} por

B = Do + Bi + D2 (2.25)

Substituindo (2.23) e (2.25) em (2.22), temos as seguintes equações, grau zero:

—ÕxBq + dtAo + {>lo; -Sq}- = 0 (2.26) grau um:

-dxB, + {E^^\ Bo}- + {^0, 5i}_ = 0 (2.27) grau dois:

—dxB2 + {E''^\ -Si}- + {tIq, B2}- = 0 (2.28) I

grau três: ^

{E^^\B2}- = 0 (2.29) Toda a dinâmica dos campos físicos esta dada pela equação (2.26). Para resolver o sistema de equações, começaremos pela escolha de B2, que pode ser

B2 = (2.30) pois

B2}- = {XaH, AVí7}_ = X^aH, a = 0 (2.31) De maneira similar, utilizando (2.30) e a equação (2.28), podemos fixar Bi de tal forma que esta seja satisfeita. Logo,

B, = 6iEg> + + /,F«„ + /2FJ!> (2.32) Novamente, com os resultados anteriores, podemos fixar Bq. Da equação (2.27), temos que o comutador

(ylo) -Si}_ — 0 Neste caso, (2.27) pode ser reescrita como

-dxB, + {E^^\Bo}- = 0

(2.33)

(2.34) Logo, escolheremos a forma mais geral para Bq:

(30)

Ci\})ítuIo 2. AKNS e Lund-Hcggc Supcrsinictricos 18

(2J5) Sul)stituiii(lo (2.35) e (2.32) em (2.34), encontramos as seguintes relações para Cj, C-2. Qi e C.,;

para 52, S3 e S4 a serem determinados.

Introduzindo as expressões (2.16),(2.35) e (2.36) na equação (2.26), obtemos as equações de movimento para os campos òi, Ò2, /i e /2, anulando os coeficientes de cada gerador. Obtivemos as seguintes equações:

que sao as equações de AKNS supersimétricas de Aratyn e Rasinariu [8].

2.5 Transformações de Supersimetria: AKNS Supersimétrico

Nos modelos supersimétricos, temos associado a cada férmion um bóson e vice-versa. Então, dizemos que cada partícula possui um parceiro supersimétrico. Matematica- mente, representamos esta associação através da variação de um campo fermiônico (bosônico) que será proporcional ao seu bóson (férmion) associado. Estas trans- formações de supersimetria levam as respectivas equações de movimento para os bósons nas equações de movimento para os férmions e vice-versa

De acordo com Aratyn e Rasinariu [8], vamos propor um conjunto de trans- formações que faça este serviço. Tal conjunto de transformações é o seguinte:

(2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40) dtfi + dxxfi — 2Ò162/1 — 0 dtÍ2 — dxxÍ2 + 2Ò162/2 = 0 àhi = £1/2 áÒ2 = £2/1 á/l = -£iÒ2 á/2 = £2^1 (2.41) (2.42) (2.43) (2.44)

(31)

Ct}])ítulü 2. AKNS c Luiid-Rcgge Siípcrsiinctricos 19 onde os e, são iiiinicros dc Grassniaiiii iiifiiiitesiinais, (jue aiiti-coniutam ciitrc' si c com os campos ícrmiônicos.

Para mostrar a sui)crsimetria das equações de movimento, devemos tomar a sua variação e então utilizarmos as transformações (2.41) a (2.44). É fácil verificar cpie a eqnação (2.37) se transforma na (2.40) e vice-versa. Também cpie (2.38) se transforma em (2.39) c vice-versa.

Uma outra forma de se verificar se as equações de movimento dos cami)os são supersimétricas, é fazendo uma troca de variáveis. Para tanto, vamos introduzir a seguinte mudança de variáveis, estendendo o espaço de parâmetros(supercampos);

4> = ãi(x,0) = fi{x,8) (2.45) (2.46) onde D0'^{x) = -bi{x) + De^{x) = f2{x) - ap^ix) ap = J

e De é um operador fermiônico. As equações para os campos d' e $ são:

(2.47)

(2.48)

+ 2^{De'^)^ - 2d>4'£>0<í>] (2.49) e

d- 2$4'Z70^] (2.50) E fácil mostrar, utilizando (2.45), (2.46) e (2.47), que as equações (2.49) e (2.50) são, respectivamente, as equações de movimento para bi e fi anteriores:

dtbi — dxxbi + 2Òi(6iÒ2 4- /1/2) = 0 (2-51) e

dtfi + dxxfi — 261Ò162/1 = 0 (2.52) Agora queremos mostrar que usando (2.47), obteremos as equações para Ò2 e /2 após aplicarmos o operador fermiônicoD^ nas equações (2.49) e (2.50). Obtendo-se as referidas equações, estará verificada a supersimetria das equações (2.37), (2.38), (2.39) e (2.40). Queremos obter a seguinte equação:

(32)

L^l) ( 'iipiiuln 2. .\/\.\S (' I Suiu'i'>inu't rir<>>

,1 pm i ir (|(' onde <)ll> y + <h ,l>2 — J \ .12) — ()p\i = (d.r,;n (2.54) l)o^V{.r) = -/>2(.r) + n/.-'I^(.r) f)lí\ = 0,.f^ DfPl^i.r) = /2(.r) - G/.-<I>(,r) (\F = j (í>'I')dy 4> - òi = h

O próximo passo é aplicar Do em (2.54). Logo. obtemos

(2.55)

dtb2 + dx:^b2 — 2b2Íbib2 + fif2) — di{Qpfi) + dxx{o-Ffi) — 2bib2apfi—2bifidxfi (2.56) Devemos mostrar que o segundo membro de (2.56) é nulo. De fato isto é verifi- cado. Obtemos que (2.56) é a referida eciuação

dtb2 + dxxb2 — 2b2(b\b2 + /1/2) — ü (2-57) O mesmo procedimento é tomado para

= [dxx^ + 2d>(D^d')$ - 2$'LDe$] (2.58) e novamente encontramos o resultado desejado

^í/2 ~ dxxÍ2 + 2Ò162/2 = 0 (2.59) Logo, concluímos por outro meio que as equações de movimento para os campos b\^ ^2, /i e /2 são supersimétricas. Na verdade, o que fizemos foi estender o espaço de coordenadas x em mais uma coordenada, que é dada pela variável fermiônica B. Desta maneira, com uma variável fermiônica associada a cada variável bosônica x, é que se torna possível verificar a supersimetria.

✓

2.6 Correntes da Álgebra ,s/(2,1): Lund-Regge Relativístico Supersimétrico

Vamos introfluzir as correntes 5 ^õBedBB ^ pertencentes a álgebra s/(2,1). Acjui, 0 e 0 denotam as derivadas em relação a dois irarâmetros distintos. As correntes

(33)

s.K) (IHiiiidiis ,\ iMilir (Ir H (|ii(' ])('il ('iu(' no ,u,nipo S l.['2. 1) <' t('in n s(';Aiiint(' loniin (ronmila d(' (lauss): /) \l ,/d' ' ./_’/■ '< d t 'Ml II 1/>/■ // tj[I' ’ ih. Ij = ( -.1 (■ M (’ -.1 ( -l- ' ( ■'- _(2.(iiM (' tauil)óni I _ Il+Ç2<' _(2.(11)

onde \. u, Ç] e ço são os eaiiipos hosôiiicos associados. rcspcctivaiiKmt e. aos geradores .E^'", (\ H e q”H e /p f-2, g\ e <72 cauii)os feriniôiiicos associados, respectivamente, aos geradores F_^>, F_^", F^' e F^". Os caini)os Irosônicos comn- tani entre si c com os campos fermiônicos. Já os cani])os fermiônicos anti-comntam entre si.

• -w. A partir de (2.60) e das relações de coimitação i)ara os geradores de ,s/(2. 1), podemos calcnlar as correntes B~^dB e dBB~^ com o auxílio da fórmula:

e‘-Te-‘- = T + \L,T] + i(L, |L. T|| + i|L, [L, [L, r]]] + ... (2.62) onde L e T pertencem a álgebra.

Após extensos cálculos, obtivemos as seguintes expressões para as correntes:

B~^dB = E^"<[dip + + díp2) + '0.92<9/2e^' - ilP{dx +

+ (5,92 + 5+i92 + ipdfie'^^ - iv{dx + 5/i/2),92e^’'^‘""-)9i] +F^'[dgi - 05/26'^' + {dip2 + gidhe'^' - 0(5/i/2 +

+F^"[9g2 + 5+192 - 0(5/i/2 + 5x)92e^'+^2 + wdj^e'^'^] +dH[difi + 5/1916*^2 5/1/2)91926^''^'^'' - w{dx + 5/i/2)e^"'+‘^“] Fa H[dif2 + 925/26^' - 0(5x + 5/i/2)e‘^*+^2] + + (5a + dfih)g\e'^'^'^^] FF_Adhe'^^- - (5x + dfj~2)92e^'^n +F_„..[(ax + 5/i/2)e^'+^^] (2.63) e 5FF‘‘ = F_,,»'[5x + x(5+i + d^p2) + xhõg2(F' - x^(50 - 5,91.92)6^''"^^" +.Ã(5/2 + f2Õ(fi + x5.9i6^" - xMdip + .9259i)e‘'’'+'^'^)] + /+n'[5/i - x5.92e‘^' + /i(5y22 - bOgie"^' - xig^dgx + 50)e^''+'^2)]

(34)

.\/\.\Sc Lun(l-li’(\í^^r,r Siipri^iiiiri lii I >s i!2

-f-n J[[<)^> ^^!l2.l 2^^ ' — !l2^hl\ ^ + j'-'," [0(l2('''' + f\{Õ(. ■ + (I2Õ(I\)( "'■'"■]

+ E,-[(()(.-• + (hõ(j\)<‘"''^''-] (2.G1) Inti()(lu/,ii('nios agora, o conjunto d(' transí'onna(,'õ('s abaixo, coin o objetivo d(' obtennos nü^•as expressões para as correntes (2.G3) e (2.C4). onde possamos fatorar as ex})onenciais nos termos corresjrondcntes a cada gerador. O conjunto de trans- formações é o seguinte*:

_ +^2 _ £2. ' v> > -ipe '2 ; <7i > gic 2

/i — Le-^:x — (2.G5) _£i j j

92 *926 2 ; /2 ^ J2e 2 onde

dii; —> {dijj - ^tpidípi + díp2))e~'^^^ 1 '•P2 d9i —' {d9i - 2^i^V^2)e" 2 ;

dfi —^ {dfi - ^fid!f2)e~^ Ox —^ {dx - ^X{d<fii + dip2))e~^^

Q92 —> {^92 -

a/2 —> (a/2 - ^f2d(fi)e~^ (2.66) As “novas” correntes transformadas são as seguintes:

.1 - B 'ai? - -I-J^c„a -H

- Ja"n(^ ■ (2-67)

.7 = ãFF-' = +J„c,;o'.7i

- + -/a"^-a" + -4'^-a' (2-68) *() iiicsino vale para deriva c).

(35)

( '.ipitulo 2. .\/\.\S (' /.im(/-/w't;”<' Siij>rrsini('i ritos í(,-i < ,-ji ' {<hl2 + -fJyOÇl + <)j [l- — - j\0ç2> ' — ^ •4/ = .1 _■II J. n U = Oçi + (4/l.'/l — -f](J\<)'r2 — (<•' + !l2S\)(’

J-a' = ^ - ]^gidtp2 - iÁ’c)/2 + ^tdip]f2 + í/l^a" //)’

J _{(^V' + + dip2) + W92df2 - -V-^c>v? 152/2 + 62^^'J^-5i} \„2e-è(v^i+v=2)j^,„)^

= 2o[0h-\hd-Pi + 2^''-'+oj_^,„g^Y

(2.69)

J - ^w{dg}i + d^2) + g^dgi - ]^g2g\dip2),

■^-a" = e“5V’i(ã/2 + ^/25(/?i + ã^ix - ]^g\díp2X - J-a'"h)t J-a' = (’^‘^^dgi - ^gidip2 - e“5(‘^i+‘^2)

Ja" H = 9^2 + 552/2 + ~f2g2dipi -

'4' // = 9ípi - 55)/i - ^/i5i5í^2 - (x + /i/2)e“^^'^'+'^"^ •^a' = - Í/i5(^2 - x552 + ^x5(7?i52 + flJa" ll)t

Ja'" = e“5^^'+'^"^5x + ^x(5v?i + 5v92) - x/2552 - ^x5</2102/2 + e5‘^'J_^'^/l

•4" = e5‘^'(552 - Í525(/pi+e“5(‘^i+'^2)j^,„ _ (2.70) As equações de inoviineuto para os campos provenientes das correntes algébricas têm a seguinte forma (equações de Leznov-Saveliev [9]):

Õ{D-^0B) + [e_, B~^s+B] - 0

d{ÕBB-^) + [Be.B-\e+] = 0

(2.71)

(36)

('iipiinln 2. AI\.\S (' /.nnW-/)('",L;c Suj>rrsinn'l ric(>> 21 ()ii(l('

= n'//“' = An'// r2.7;{) ('

f_ - n'//'-'' = A 'n'// (2.71) Pod('nios ol)t('i' a ('xi)i'(’ssã() para os l('rnios d(' int('ra(;ão. ou S('ja. para os coiiiu- tador('s. a partir das ('(luac^õos (2.GO).(2.73) (' (2.71)0

[í_, B~^£+B] = + ÓAÍ/2</i d- ii’f2<j2 + XÍ’~)^

+ £^_a"'(x)e"'^ + ^o"(l + vx)92e~^ + F-a''ih + ,v.9i)e"^ (2.75) e

[Be^B ',£+] = £^_„"'(/i./2 + X + Wxfif2 + x72í/2 + 7x^)e

+ F_^p'[/2(1 + + ^a"(í/2 + ipfi)e^ (2.76) Os geradores F_^', dH e d'H (núcleo de adE) comutam com Xd Logo, as correntes correspondentes a estes geradores podem ser tomadas como sendo nulas. Deste fato, obtemos as seguintes equações:

= ^fidíp2 + giidx - ^x(9‘di + d(p2)]

1 1 - dgi = i’df2 + -g\dip2 - -whdipi

l - - 1

9f\ = x9g2 + -^fi0(p2 - -jX92d^i

dgi = ^gid(f2 + f2[dip - + dip2)\

d^p\ = tp[dx{l + P2/2) + ^X^2<9/2] 1 +7x(i +1.92/2) dif2 = 0c/x(l + §52/2) - gidfi - Hx92dh OgP] = 1 + 7X(1 + Í.92./2) X[70(l + .92/2) + l^^í/2/2] 1 + 7x(l + fr;2,/2) (2.77) (2.78) (2.79) (2.80) (2.81) (2.82) (2.83)

(37)

(."npílnio 2. .\/\.V5 c Lutnl-lu'p,p(' Supi'isiiik''nicns

+ ( '' A I lf2(><h , ,,, ()P'2 = = ^ TT (2.M)

1 f í ' \ ( 1 +

As ('((Uiu;õ('s (!(' iiun iiiiciit() são dadas pelos u;(Tador('s (lue ('iiceni a iniag(’in d(' (7í//d. eoino \diuos aii1('s. A partir dc' (2.71) (' (2.72). utilizando as expr('ssõ(\s

(2.75) e (2.7()). obt(‘iiios as seguintes ('(iua(^õ('s dc' iiundiueiito: para

(i + H>.f2)[d0\ — -d\{0p[ + OÇ2) — + Ódp‘2) + ~^{Q'r\ + 0-^:2)

i^X - + O'r-2))] + 5{(j2f2)[0\ - -\{dip\ + 0^2)] + ,V = 0 (2.85) para I\p)

!•- 1 - 1 _ 1 _

dd(j2 + -dt]2dipx + -(hdd^i - -dgoOifi - ~(hdg>\dg^\ + (1 + wx)Q2 = 0 (2.86) para m ^

(1 + <72/2)- ^50(5<pi + 5(^2) - ]^il2{dd<px + ddip2) + ^(^<^1 + d^2)

{di> - ^ipidipi + d(f2))] + d{g2f2)[di> - + dip2)\ + ip = 0 (2.87) para )

ddf2 + ^df2dipi + ^f2ddípi - ^df2d<fi - ^f2dípidipi + (1 + 'ipx)Í2 = 0 (2.88) Substituindo em (2.85), (2.86), (2.87) e (2.88) as expressões para c><î, dtpi e díf2 eiii (2-81) a (2.84), obtemos a generalização supersimétrica das equações de Lund-Regge: para E_^">) (1 + í72/2)[ô5x(1 + â(1 + ^52/2))^ - ^ ^^2/2)) {2ipdx + ^^dxg2Í2 - .925/2) - ^x5(205x + ^'ipdxg2f2 - .925/2) (1 + 0x(i + ^92/2)) + ^x(2V^5x + îp0xg2f2 - .925/2)5(1 + ípx (1 + ^.92/2)) + ^(2x5?/; + ^x5íA92/2 + /25^2)(5x(1 + ?/â(1 + ^.92/2)) -^X(205x + ^^5x.92/2 - .925/2))] + 5(92/2)(1 + 'ipx{Í + ^.92/2)) (5x - â(2í/-^5x + ^^dxg2Í2 - .925/2)) +a(1 + '0a(1 + ^.92/2))" = 0 (2.89)

(38)

( '.ipiliilo 2. ,\/\.VS (' LuiHl-l’t(\ixpr SuiH'!sinh'iri( i>s 2(i p.ir.i I )

[(h')n-2 -f (1 -I r\)//_.](l + r\i 1 -f- -<hh))' + (1 + .'/2/12) + -^\!h<U:]){^ + '.'XÍi + ^!/-2h)) - 1 + !lih) + -+ + ' '\( 1 + -^!i>.í>)) - ^%2\R>'.'(1 + + ' '\(i + -^fhh))

-^(/2r\{õç:{i + (12I2) + ^í.'<R/y2/2)RA(i + <12.12) + ^\yy2<'R/2] = 0 (2.90) paia £■,/-)

(1 + 92f2)[õdy){l + ipxil + ^g2f2)í^ - lõv'{l + í/p\(l + ^(72/2)) {2xdil2 + ^xõy'^92f2 + f2d92) - ^il’d{2xdy.’ + ^xd<j<92f2 - hõg-i)

5_ \ _ 5__

(1 + í/;\(l + -92/2)) + -ipi2xdé + -x9V’92f2 + f2dg2)d{l + í/>X 4 2 2

(1 + Jí/2/2)) + ^(20c>x + ^'<pdx92f2 - 92Of2)0v{l + V^x(l + ^52/2)) -^y’{2xdíjj + ^xd<Pg2h + f2dg2))\ + 5((/2./2)(i + 0x(i + ^52/2)) (Ô2/1 - ^-0(2x50 + ^X00^2/2 + f2dg2)) +0(1+ 0X(1 +^52/2))" = 0 (2.91) para ) [ddf2 + (1 + 0x)/2](l + ^X(l + ^.92/2))^ + ^5(/2x[5'0(1 + 92/2) + 2^’^í^2'^2])(1 + 0x(l + -92/2)) — 2-^2X[^0(1 + 92/2) + 2'*^092/2]5(1 + +'0X(1 + ^92/2)) - ^5/20[ôx(1 + 92/2) + ]^X92df2]{l + 0X(1 + ^92/2)) -^/20x(50(1 + 92/2) + ^0ã92/2)[c>x(l + .92/2) + ^X92Ô/2] = 0 (2.92)

(39)

Capítulo 3

Integração dos Modelos

No capítulo aiitorior ahordanios a hierarquia do modelo AKNS suirersimétrico. Ob- tivemos as equações de movimento dos campos (bosônicos e fermiôiiicos) para o referido modelo e realizamos o estudo de sua supersimetria. Também estudamos o modelo de Lund-Regge supersimétrico, encontrando suas equações de movimento.

Neste capítulo, obteremos as soluções dos modelos de AKNS e Lund-Regge su- persimétricos. Para tanto, utilizamos o método das funções tau estendidas [11], Este método consiste basicamente em, através de transformações de dressing [11] (veja também [10] e [12]), mapear os potenciais no vácuo em soluções não triviais. O estudo das simetrias e leis de conservação dos modelos, será o tópico adotado no próximo capítulo.

A

3.1 Álgebra de Kac-Moody

Nesta seção apresentaremos brevemente a Álgebra de Kac-Moody Ç da qual neces- sitaremos lançar mão para implementar os cálculos com o método das funções tau [11], o qual faremos uso posteriormente. A forma geral das relações de comutação em uma álgebra de Kac-Moody Ç é a. seguinte:

{A’", 5"}± = {A, + má„+„,o.str(AB)c (3.1) onde = mu -f m22 — m33. As relações de comutação para a álgebra de Kac:-Moody são: {a {a“ = ±E2p-, {a - /í”, = ±F"J" = ± -,{o" = = {Et-',FL’]=0 27

(40)

Cnpíluln InírpViipnt} </os .A/ix/c/o.s ■’,s {1^:? {n' • //'".o" • //"}_ n ■ /{"' ^ " + ini\i, + „ {)(' a • + ;//<),„,„.nr ^F';‘V':{E'" n,.r = ±F”'+'' ±11 ^ ;±->i ±<> > ±(i = -n • II ^ f ^ ^\n-^n A)^ u} + n i>±í±:,-í'í„"}+ = E±„ ni6,,iqc (3.2)

A diferença da álgebra de Kac-Moody para a loop álgelrra que estavainos tra- balhando antes, é a inclusão de um terrno central c, equação (3.1), que comuta com todos os geradores da álgebra. Os pesos fundamentais definem estados |q' >, \a" > e jAo >. A afnação dos geradores nos estados é

c|Aj > |Aj > ftS">|A, >= y 4”>|a, >= o, se n > 0 OU se (n = 0 e a > 0), h<”>|A, >= 0, (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) se n > 0.

Nas relações acima, |Aj > representa os estados definidos acima e /?." os geradores da subálgebra de Cartan. Relações analogas são contruídas para os estados duais:

se n > 0 ou se n = 0 e a > 0; < Aj|c^ =< Ao| < = 5,, < X^EÍ-p = 0, < ±1/4-' = 0, (3.7) (3.8) (3.9) (3.40) se n > 0.

3.2 Curvatura Nula e Transformações de Dressing

Vamos começar argumentando que as equações de Leznov-Saveliev [9] são e(|ui- valentes a condição de curvatura nula, com a escolha adeciuada dos potendas de

(41)

Inl<\LiiiU^Í\o </()> M(nl('los

( 'npil ulti ■'!. 2n

I )ad()s os s('j;iiiulos potí-iiciais d('.1 ('.l. a ('(|iia(^ão de (ur\'al ui'a nula S('

()Á - ()A + (.1. .1] = 0 (3.11) Faz('iido-.s(' a ('scollia dos pot('iiciais do ji;auj;(' da sc-gniiito loniia;

A = B-.J3' (3.12) e

Á = -£+-ÕBD-K (3.13) pode-se mostrar facilmente (pela substituição de (3.12) c (3.13)) (pie (3.11) torua-se:

• d{dBB-^) + [B£^B-\£+] = 0, (3.14) (pie é a referida eciuação.

A condição de curvatura uula,ecp (3.11), implica em uma conexão de puro gauge para os potenciais : A = -dTT~^ (3.15) e Ã = -dTT~^ (3.16) No vácuo, nós temos: = -OToT^^ (3.17) c Ã.ac =-^ToTo-' (3.18) onde To = (3.19) Então: A,.„, = c- (3.20) e Ãvac = - f^ZC (3.21) O método de dressing é baseado em assumir a existência de duas trans- formações de gauge geradas por 0^, mapeando o vácuo em soluções não triviais, i.e..

(42)

1 lUríiini^im diís Minlidos

( 'iipit nh) •■)’()

-1 - B M 4 ((-) M ' (3.22)

.i = e*24,,,„.(e±) ' (3.23) Estas tlausloniuu^ões iuiplicain nos s<'”,uhit('s niai>(.'ainentos;

C-)-^ : 7o —. e + To (3.24) ('

0- : 7o —4 e-To. (3.25) (luo iiiduz nma relação do seguinte tii^o:

e+To - 0-To, (3.26) Vamos supor, portanto, (jue:

0+To = Q-Tog, (3.27) onde g é nm elemento constante do grupo. Logo,

(0-)-i0+ = TogT^y (3.28) Vamos supor, também, que 0^ são elementos de grupo que podem ser escritos como combinações lineares de graus positivos e negativos, separadamente, como segue: 0- = (3.29) e 0+ ^ (3.30) Podemos escrever: (0-)-i = (3.31) e 0+ = (3.32) Portanto, se tomarmos o produto escalar de (3.28), usando (3.31) e (3.32), com os estados |A >, nós teremos:

(43)

1 nu 'V.Ii(I (/(IS A /()(/(■/( )s » .».

uiidi'

< A|...( '' -V '' "/i( ,.|A >= o(.r./ ) (A..U)

< A|7o,r/7;r'|A >= (3.35) coni o{.r.i) r('])r('S('iitmKlo os campos dos luodcdos dc AKNS c Luiid-Hcggc supcr- siinct ricos (' suas rcspcvtivas 1uik,õ<'s do cspaço-tcmj)o. (pU' sca ao do tipo sóliton. 1'üstas iciualdados doHiiem as chamadas funções tan.

3.2.1 Operadores de Vértice

Vamos supor que possamos escrever o elemento de grupo constante g da seguinte forma geral

g — gf’l(7l)gí’2(72) gí’.v(7A') com

[£^,7q(7«)] =

onde 7, são parâmetros complexos e Fí(7í) são escolhidas de forma à serem ”auto- funções” de Nós estaremos interessados no caso em que N = 2. Então,

(3.36)

(3.37)

g — gf’l(7l)g.P’2(72) LemTrrando qne

podemos obter que

To = e onde T^gTõ^ — gPl(7l)^l(7l)gP2(72)f’2(72) (3.38) (3.39) (3.40) = (3.41) p.(7,) = (3.42) com z = 1,2. Podemos escrever

(44)

( iipit nin •'). Iiil (/(>> ,\/()(/('/()>■ _■12

('

FA':2) = (:!.in Os iUito-\'iil()i'<'s j)()(l('iii s('!' calculados (' são os S(\i;uint('s:

,/i(ã) = ±ã (;5.45)

./±(7) = ±ã'"- (3.46) Agora, vamos expandir a exi)iessão (3.40) cm uma série de potências, como segue:

’ = (1 + Pi4^i + -- + ...)(1 4- P2F2 + ^21 ^ + •■•) (3.47)

Os geradores em questão são nilpotentes e os produtos eruzados que resultam tamlrém são nulos. Portanto, a expressão (3.47) assume a forma exata

ToqTq ‘ = 1 + Pi(7i)Fi(7i) + ^2(72)7^2(72) + Pi(71)^2(72)7^1 (71 )-?2(72) (3.48) Substituindo (3.48) no lado direito da equação (3.33) nós somos capazes de calcular os elementos de matriz que definem as funções tau.

3.3 Soluções dos Modelos Via Funções Tau

Nesta seção nós iiretendenios expor as soluções obtidas para os modelos de AKNS e Lund-Regge supersimétricos através do método apresentado na seção anterior.

3.3.1 Solução para AKNS Supersimétrico

Após extensos cálculos, somos capazes de obter as soluções solitônicas para o modelo de AKNS supersimétrico partindo dos elementos de matriz (funções tau).

Primeiro, precisamos definir o elemento de grupo B da expressão (3.33), cpie será:

f í / /r»\ If iíw 7-*(Õ) r-'(0) / r-iíO)

Q — .W(0)+v>2O ■1P'^^+i'C^92F^„ ^giF^, _(3.49)

Utilizando a expressão (3.33), nós podemos escrever as funções tau para AKNS supersimétrico como segue:

(45)

( ,l/)l/ll/lt ■>. 11II I(/()> Mlul('loS _ilil

r-5-i) = 1 + /;,/F-') _ h,E^~\l - /,F^-]} + (3.55)

As soluç(5es para AKNS supersiinétrico oljtidas aj^ós calciilarinos os elementos de matriz dados acima são as seguintes;

To = 1 + Pi(7i)p2(72)(1 + ), .2 (7i — 72) F = Ò2 = - /l = - /2 = 5iPi(7i) To 12P2Í12) To g~ 72^2(72) •^0 g^7iPi(7i) To (3.57) (3.58) (3.59) (3.60) Lembramos que a forma funcional das funções pi(7i) e ^2(72) é dada pela ex- pressão (3.42), onde ff" são os auto-valores da ecpiação (3.41) dados em (3.45) e (3.46). Também salientamos que a+ e a~ pertencem ao corpo grassmaniano.

3.3.2 Solução para Lund-Regge Supersimétrico

Agora, passaremos ao cálculo das soluções solitônicas do modelo de Lund-Regge supersimétrico. Neste caso, os cálculos tornam-se mais ” limpos” se usamos uma base mais adequada para as raízes da álgebra. Com esse objetivo faremos a seguinte transformação: com ()^ = —é^ = 1. Q p + e H O m a (3.61) p-£ ■^2p

(46)

Inl(\í^nit^íii> dos Mod('los

('.ipiiuh) dl

l-'si ii iH i\M 1 )iis(- nos lt'\'a nos S(\miiiil rs rsl ados na i ('])r('S('iil a(;ão dos p('sos iiníxinios: \l> js - |.\o

A pai t ir d('Sta luudaiipa. podrmos proaalrr d(' iiiaiK'ira au;ilo,i;a a do caso antaa ior (' ol)t<'i' os ('haiirnlos dc niatii/.. (|U(' d('liiu'in as íiinpõ('s tau do iiiodtdo ('iii (|U(\stão, Irmos, portanto. (pK' o rhmuMito constante' do ir;ntpo B passa a s('r escrito da s('ji,nint(' lornia:

B AO) h ^„Ã, ). //»<»+S., BB, ^,!n BB, ^,c/A' ((') 2/>

Usando as relações (3.3) a (3.6) e as dos estados duais, as funções tau assumem ;> seguinte forma; < p\Be-"‘‘‘‘E%\p >=< p\ngT„-'E%\p > (3.63) < p\Bo"'‘“‘E>^y,\p >=< p|r„jr,r'£:í:;i_,|p > (3.64) < p\Be~>'‘‘‘‘E‘°l,^,\p >=< p\TogT,;'E<“l^,\p > (3.65) < >=< p\EfjT„gT„-'\p > (3.66) < p\Ej°lDe-"'‘“lp >=< p\E>°lTogT„-'\p > (3.67) < plAttSc-"’-''!/? >=< p\EÍ°l.T„gT„-'\p > (3.68) < >=< pIüsW > (3.69) < >=< e\TogTB'\e > (3.70) Efetuando os cálculos, nós encontramos as seguintes equações;

, 1 Pi(7i) U - õê/192 = 2 To gi = a e 7iPi (71)^2(72) 7-0(71 - 72) a' e .£2. 92 = P\(71) 7-0 2 To ^ q+c~^7i/>i(71)7*2(72) 7-0(71 - 72) - a.-e~ 2 ^2(72) J2 — 7-0 (3.71) (3.72) (3.73) (3.74) (3.75) (3.76)

(47)

( ',i/)Jín/(i •'). I ni > ilns Minlrh>> _li l-',st a iK )\'a 1 )asi' nos Un'a aos ('s ('sl ados na n'])r('S('iil arão dos p('sos naíxinios: \l> >. |:' '' o |A|i

A |)arl ir dosta nindaiu^a. pod('inos piocí-dor d(' nianoiin aii;iloj;a a do caso ant('rior c ol)t('r os ('[('iiunitos dc inatii/.. (pU' dcliiunn as ínnpõcs tan do niodído ('in (|n('stão. IVinos. poi lanto. (pU' o ('Icnunito constante do ,e,i nj)o /i passa a s('r c'S{ rito da S(\i!,nint(' íorina:

,,(ia (0)

2p

Usando as relações (3.3) a (3.6) e as dos estados duais, as funções tan assumem a seguinte forma: < p\Be-”“^‘‘E%\p >=< p\T„gT^'E%,\p > < p\Be-"-‘'--E^°l_,\p >=< p\T„gT^'E'-y„_Ap > < p\Be->'‘‘‘‘E^°l^,\p >=< p\T„gT^'E'°l^,\p > < >=< p|B<';'r„sW > < pld«.Se-C«í|p >=< pIBÍttCojTl-V > -1 ctO) < >=< p\E^;iTogT^^\p > < p\Be-^"^^^\p>=< p\TogT^^\p> < >=< e\TogT^^\c >

Efetuando os cálculos, nós encontramos as seguintes equações; (0) , 1 Pi(7i) 0 - 7^9x92 = Z Tq 9x a e ^7iPi(71)^2(72) To(71 - 72) 92 — g+e ^p\li\) To , 1 J P2{l2) X + 0/1/2 = Z To g+e "^7iPi(7i)P2(72) /t = To (71 - 72) -£Z h = a e 2 P2ÍI2) (3.63) (3.64) (3.65) (3.66) (3.67) (3.68) (3.69) (3.70) (3.71) (3.72) (3.73) (3.74) (3.75) To (3.76)

(48)

( '.ipiinlo Iniviiiní^no dos Miuírlos -) ) ■) “

, i ( ,' I ) j ) _ I + I ) M)

^ i(^-, ^-.j) _ 1 + I )/^2(-:'->) Ml

()ii(l(' Ml (' o ui('smo ()l)ti(lo aiil('ii()niK'iito(('q. (3.r)(i)) v

coni 11 <I -A = —1 0 - 72 ^ Olíni + l-2)>> 2 (t,-72)^’ 7i(7i - 3-2)1 ^ (71 - 72)'^ ^ (3.77) (••3.78) (3.79) (3.80) b = a'^a (3.81) ro = 7i72 (3.82) (71 - 72)^

Podemos, após algumas manipulações algébricas, escrever as soluções solitônicas de Luiid-Regge supersimétrico da seguinte forma:

onde ip íh liPÍp2b To 2(71 - 72)(1 + ^PiP2)to X = — - l2P\plb To 2(71 - 72)(1 + ^PiP'2)to Pl = /l = a e 2 71P1P2 (71 - 72)7-0 g+e~^7iPiP2 (71 - 72)7-0 92 = Í2 — + -)£2. a^e 2 pi 7-0 _ V»2 a e 2 p2 t-q Pi(7i) = e-^'^“^ (3.83) (3.84) (3.85) (3.86) (3.87) (3.88) (3.89) P2(72) = (3.90)

Com isso, finalizamos a etapa de integração dos modelos de AKNS e Lund-Regge supersimétricos.

(49)

( \ipil nii > ) dos Mo(h'jos ■ h > 3.4 Correlação entre os modelos de AKNS e Limd-Reggc

SiiiJersimét, ricos

A c()n <'liu^ã() ('iil r<' í)s dois inod('!os loi ob j('t o d(' rst ndo ua diss('i t at^ão d(' ni('sl l ado d(' Marcelo Brasil Silka [11], A(|ui larciuos ainaias uin resumo do ((U(' ('sta demonstrado lá. Con('laeioiiar os modídos significa, basicaimudu'. mostrar ciue é v('rdeira a seguinte igualdadí':

= . (3.91) Substituindo as expressões para as correntes, encontramos:

f,=e-‘^ídÃ + lf2Õç,] (3.92)

Í2 = e^[dg2 - + /i(l + g2f2)[dv ~ + dg)2)\] (3.93)

X

ò] = e 2 (1 + g2f2)[dw - -p{dcpi + dip2)] (3.94)

62 = + ]pc{dipi + díf2) - xh{dg2 - ^52<9<^i)

-X^(l + '72/2)[d0 - ^0(dv5i + dip2)\ + /i(d/2 + ^Ãdv^i)] (3.95) onde os campos do lado esquerdo das igualdades são os de AKNS e os do lado direito de Lund-Regge. Agora, devemos verificar cada uma destas igualdades acima, substituindo as expressões para os campos de Lund-Regge no lado dii'eito das igualdades. O resultado deve ser a obtenção da expressão para os campos de AKNS, verificando as relações (3.92)-(3.95). Isto de fato é confirmado no capítulo 4 de [14].

(50)

Capítulo 4

Simetrias do Modelo de SUSY AKNS

No capítulo anterior, obtivemos as soluções das ecpiações de movimento dos campos do modelo de AKNS e Lund-Regge supersimétricos. Neste presente capítulo, nós faremos o estudo das simetrias do modelo de SUSY AKNS, obtendo suas leis de con- servação. A partir daí, encontraremos suas hamiltonianas e num capítulo posterior trataremos do formalismo hamiltoniano.

Para obtermos estas simetrias, estamos utilizando a Técnica de Dressing para encontrar os geradores das Simetrias Contínuas [16]. Então, associamos uma simetria contínua Sx à um elemento constante X E K = Ker{adE) de grau positivo. A Técnica de Dressing, nos permite obter as leis de conservação envolvidas, dentro do contexto do método de fatorização do problema de Riemann-Hilbert [15] para as simetrias contínuas positivas com gradação homogênea. Este último nos permite encontrar as leis de conservação locais associadas às simetrias contínuas.

4.1 Técnica de Dressing, Simetrias Contínuas e Leis de Con- servação

A técnica de dressing nos permite encontrar as soluções dos modelos, assim como as simetrias e leis de conservação envolvidas. As equações de movimento estão associadas aos geradores da imagem da álgebra em questão e as últimas, aos geradores do núcleo{kernel). A técnica consiste basicamente em associar uma simetria contínua a cada gerador da álgebra que pertença ao núcleo de Ç, ou seja, o qual comuta com um elemento semi-simples E de Ç.

4.1.1 Técnica de Dressing

Dada uma álgcl)ra de Li(! afim ((jue possue elemento central):

(51)

Ci)}){íuín I. Sini('trii)s do Mo(h'Io d(' SCS)' .\I\.\S ds

idi ■ (-11) onde Z é o coiijunto dos luiineros iiit('ii'os (- eoiii o operador de gradac^ão honiogên('a Qs d('íiiiido (.omo

[Q..Qn] = »ú„ ■ (4.2) () el('meiilo E & Ç\ define nina decoinjiosiçào ('in nina soma direta da álgebra Q, como segue Ç = IC®M (4.3) onde M. = Im{adE) (4.4) « é a imagem e /C = Ker{adE) = {x E Ç\ [.x, £^] = 0} , (4.5) é o centralizador (núcleo) de E.

A partir da identidade de Jacobi, tenros que

[/C,/C]c/C [2W,7W]c/C [K..,M]^M . (4.6) Portanto, JC é uma subálgebra graduada de Q, tal cpie

/C = 0 /C„ (4.7) n^Z

A subálgebra /C não é abeliana e difere (em geral) do seu centro (abeliano) definido como:

C(K.) = {xeK:\ [x,y] = 0,Vy G/C} . (4.8) Em palavras, isto significa; os elementos de K, que comutam entre si.

Vamos agora, definir o operador matricial de Lax:

L = + E + A , (4.9) Cj[ue definirá uma hierarquia integrável associada com o problema espectral linear

Lipo = (dx E -\- A)'tl>Q = 0 . (4.10) O potencial A áe L é escolhido como pertencente a. AAo <Z Go-

Podemos definir uma transformação de dressing da seguinte forma:

(52)

i'npinün l. Siincliiiis ilo A/oí/c/o í/c SCSV .\/\.VS

(Mi(l(' í Ç (>' (i;iui)o) (' L e Ç (i\lL!,('l)ra). C) ('1(Mi1o d(' ,i;iu|)() í . podí' ser ('sriilo como / = ( ". l'oiiiando-S(' ii siiiici<'iitoui('ii1 (' ixhhkmio. lemos

= (1 - u)L{l + u) = L + [L.u] (-1.12)

oiidí'

íí(//^(íí) = [I.//] (d.13) Logo.

Adi{U) = L + adfXu) (d-14) com AdiXU) indicando uma transformação sobre o grupo e ad^iu) sobre a álgebra. O operador de Lax pode ser " gauge-rotated'' para o Ker(adE) por uma trans- formação de'dressing dada por Adi{U):

Lk = U-^LU = D, + E + 1<- (4.15) com oo K~ = ^IC-^ e IC^ (4.16) 1=1 onde — OO >C-= ®ICj (4.17) 1=-1 Tamlrém, OO w = ^ u~^ (4.18) 1=1

tal que u~^ G A4_j.

Agora, faremos a seguinte transformação de dressing

S-^LkS = D^ + E (4.19) onde S = e s = G /C. Então, é possível fazer a seguinte transformação:

0-* (^x + E + A)Q = a, + E (4.20) onde Q = US (i

(53)

('npítiilo I. Siin('jiiiis (Io Mo(I('!o (h SI S)' AKXS 10 4.1.2 Simetrias Contínuas

Nosso (-)bj('tivo é associar unia simetria contínua ()\ à (inalqu('r ('hmanito constante' -V G A' = í\cv[(ulE) do grau positivo. Começaremos jror fa/,('r algumas definições (pie s('ião ínndamentais jiara o des('iivolvimento do formalismo.

Definição 1:

Para am elemento constante X,„. com (jra,u m > 0. pertencente a /C,„ nós podemos definir:-

= Ad(e)X„, = 0AN„0-1 . (4.22) Definição 2:

Dado A’,,7 G ■ Definimos a transfojmação õx„, associada a X„, por

‘5v„,0 = (0A,„0-')-0^5aç,.0 = (A:®)_0, m>0 . (4.23) Para b„ E Cn(X) de /C„, nós associamos uma simetria contínua ò/, = _CLtix

= (0ã„0-i)_0 = 0Ò„ - S„0 , (4.24) dtn e similarmente ^0-' = -ò„0-' + 0-'fí„ , (4.25) Também , 56„0-' = -0-1(0ò„0-1)_ . (4.26) Note que a equação (4.20) é equivalente a d^Q = QE — {E + A)0 e desde que Bi = E + A as definições (4.20) e (4.24) implicam que ^ Note também , que em acordo com (4.24), pode ser escrito como

=0ò„0-*+0(-^0-i) . (4.27) don

A ação da transformação ÔXm sobre o potencial A é descrita pelo seguinte lema. Lema 1:

Dado Xx E Xm, então

ÍA-„>l=[i,(VS)+j . (4.28) Considere, novamente, um elemento constante E C„(/C), tal que n > 0. A partir do lema acima, nós temos

A

^n] , (4.29) que define a hierarquia de equações de tempo-multiplos para o dado par de Lax.

(54)

Cnjiituln I. Siiucliiiis (Io Mo(l('lo (/c S{ S') ,\/\.\S U N('>s i)0(l('iu(is usar o Iímuu 1 |);uu mostrar ([iK' a ('([uar,ão (1.23) para A',„ € K aihilrario ('iii:;('n(lra uma l raiislormarão <1(' siui('tria Ix-m (U-liiiida. oiidi';

• G .Vdo

• as traustdrmac^õos 3v„, comutam com os ílttxos isospcctrais

• as t raiisforimKjõcs íormam tuna álgebra

Em outras palavras, u(3s temos o seguinte lema: Lema 2:

A transformação na definição 2 é uma, transformação de simetria, do modelo definido por L'1'o = 0 e ^ = [L, B^].

Uma conseguêucia direta do lema acima é

<S.v,.^ = le, + .4,(A-ie>)„) (4.30)

Esta equação assegura que Sx„,A pertence a á4q e, portanto, que as transformações são estáveis.

4.1.3 Leis de Conservação

Nós agora associaremos a cada G /C a seguinte classe de objetos. Definião 3:

Definimos os mapas J. K. C como:

= -Tr{EX®) = -Tr{EeX„e-^) , (4.31)

onde C é o conjunto dos número complexos e Tr{...) — tr{...)o significando que tomamos o traço usual (ou super-traço) da projeção no grau zero.

Os objetos acima são relacionados por :

d,J{X^) = D{Xn) , (4.32) que esta demonstrado em [16]. A estrutura algébrica fica evidenciada através da seguinte relação ;

- óx„J(X„) = /I J(A,.) onde é constante de estrutura da subálgebra /C.

(55)

C.tpiniíii /. Sini('lriiis do Mo<h'lo i/c ,s7'SV ,\/\.\'S IJ l.l. 1 1'^luxos Isospoctrais c Leis de Conservação

l’aiii o caso ('sjxx ial dc- A„ = h„ G i> dcjiiiiçào 3 lonia-s(':

J„ = 7V([a.(-1.3Í) n„ = 0(/;„) = -Tr{Et)b„ty') = -TriEUhJ-')

Note ([U(' J,, d<'])eiido cxplicitaineiitc d(' S e é . eni geral, miia (luant idade não -local, ao contrário de 7i„- De (1.32). nos obtemos;

O.Jr, - n„ (4.35) Nós temos também a seguinte proposição :

-^Jn = -Tr([Q„ B,„]e6„0-') (4.36)

Porém, a relação acima pode ser reescrita como segue.

-^Jn = -Tr{[Qs, B,„]Ub„U-^) (4.37) Cttjn

que exibe claramente um caracter local de dJn/dtm- A partir da relação (4.33), aplicada ao centro abeliano de /C, seguem os dois seguintes colorários;

Colorário 1: d dtm j = d. j _{j, xJir} dtr, (4.38) d dtjji Tdn = dtn

Estas relações juntas com Tin = dxJn, leva ao resultado:

(4.39) H„ = d-J, dt„ Utilizando as expressões , n-l 0Ò„0-' =bn+Y. k=0 = (06„0)+ = ^ h=0

(onde possue grau {n — k — l)),em (4.36), nós obtemos

(4.40)

(4.41)

(56)

('.i/u/u/o I. Siiiiriri<i> il(i M(>i!i'l(> d(' Sl S) .\/\.VS I (li. J„ -r. n/r( C ' _A-0 A--f 1 ;;j ) ^ (U:n = -» ■ lr(b„.t"^) - - A- - ^ ”') (-1,44) ;;■=()

Tomando m = 1 nas ('(iuaç(X's acima c as igualando dc acordo com o colorário 1. nós ('iiconf ramos a r('lac;ão dc rccorrcncia:

tr{Ed:^) = n . + '^{n - k - l)T-(/i(r'-')/3Í''+'-''>) (4.45) k=0

Uma lei He conservação tem a seguinte forma

= 0 (4.46) com o fluxo conservacio Qm,n e densidade Hamiltoniana 7i„ conservada. As rela- ções dxJ^n = En e -^Jn = “7’?'( [Qs,-S,n]Uò„ t/“’) estabclecc a existência, de um luimero infinito de leis de conservação locais para todos modelos integráveis obtidos pela construção algébrica de dressing. 0 fluxo conservado é dado por Qin,n — 7V([Qs, B,n]UbnU~^). O seguinte colorário segue facilmente.

Colorário 2:

A Hamiltoniana definida por

H^ = ju„dx ;n=l,2,... (4.47) são conservados.

Isto pode ser visto facilmente, lembrando cjue as quantidades são locais, portanto

í , (4.48) Ci í/ J \aj Í/ tX 1/

onde Too significa (pie a integral definida é feita em todo o espaço; nos extremos os campos são nulos.

4.2 Fatorização do Problema de Riemann-Hilbert

O problema de Riemann-Hilbert tem nma longa história de aplicações na teoria dos sólitons. A(iui, nós usaremos uma formulação para eciuações de evolução para