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JUROS SIMPLES
Introdução
Em toda operação que envolve dinheiro (pagamento/ recebimento) o mesmo não tem um igual valor em épocas diferentes. Uma quantia de R$ 5.000,00 no presente apresentará outro valor no futuro, maior ou menor. Justamente ai que se enquadra o estudo da matemática financeira, pois, a mesma se presta ao papel de analisar as várias formas de evolução do dinheiro no decorrer do tempo.
Nesse processo financeiro, um dos princípios é a capitalização de recursos, conceito este, semelhante a uma acumulação de juros. Em se tratando da palavra juros, poderíamos resumi-la como sendo valor pago pelo empréstimo de uma determinada quantia. Portanto quando trabalhamos com apenas um único capital onde, o total de juros é diretamente proporcional ao período e a taxa de aplicação, denominamos esse tipo de capitalização como simples, ou simplesmente juros simples. Por outro lado, se há incidência de juros sobre juros, capitais iniciais diferentes, sem relação de proporcionalidade, denominamos capitalização composta, ou simplesmente juros compostos.
Elementos dos Juros ● Capital
E o valor da transação financeira; dinheiro. A simbologia mais usual é “C”.
● Taxa de Juros
A taxa de juros é um valor que indica a proporção entre os juros e o capital num dado intervalo de tempo. Portanto a taxa de juros está sempre associada a um período de tempo, e sua simbologia usual é “i”.
Representação: x% a.d à x% ao dia. x% a.m. à x% ao mês. x% a.b. à x% ao bimestre. x% a.t. à x% ao trimestre. x% a.s. à x% ao semestre. x% a.a. à x% ao ano.
As taxas em juros simples podem sofrer transformações, ou seja, mudanças em seu período de tempo, bastando que para isso seja obedecido o critério da proporcionalidade ou equivalência, já que na capitalização simples os dois conceitos se equivalem. Exemplos: a) 36% a.a : 2 = 18% a.s. b) 18% a.s : 2 = 9% a.t c) 9% a.t : 3 = 3% a.m d) 1% a.d . 30 = 30% a.m e) 30% a.m . 2 = 60% a.b f) 60% a.b . 6 = 360% a.a
● Período de Aplicação – Tempo
Todo processo de capitalização está pautado em um intervalo de tempo, que representaremos através da simbologia “n”.
Se esse período, de aplicação for contado em dias, de forma real, ou seja, o mês considerado como
realmente é; 28 dias. 29 dias (bissexto), 30 dias ou 31 dias, dizemos se tratar de uma operação de juros
exatos. Normalmente nos problemas, um indicativo
desse tipo de juros, são as datas de aplicação e de resgate do dinheiro, então anunciadas.
Exemplos:
Uma aplicação de 22/03/2006 à 30/06/2006. De 22/03/2006 até 31/03/2006 temos 10 dias. De 01/04/2006 até 30/04/2006 temos 30 dias. De 01/05/2006 até 31/05/2006 temos 31 dias. De 01/06/2006 até 29/06/2006 temos 29 dias.
Total 100 dias
Obs.: Se contarmos o dia da aplicação, não
contaremos o dia do resgate e vice-versa.
Por outro lado nas maiorias das aplicações, apresentadas nos problemas, a referência é feita a um período de tempo, sem a discriminação de qual mês a mesma ocorre. Neste caso dizemos haver uma operação de juros comerciais, ou juros ordinários. Passa então valer:
1 ano tem 360 dias. 1 mês tem 30 dias. 6 meses tem 180 dias. 1 bimestre tem 60 dias. 1 trimestre tem 90 dias.
1 a 2 m 20 d tem 360 d + 60 d + 20 d 440 dias.
Cálculo dos Juros:
Por conveniência, usaremos uma fórmula pronta, já que os problemas de juros simples também podem ser resolvidos por regra de três.
Dados: C → Capital n → Tempo i → Taxa J → Juros Importante:
Para o uso da fórmula acima, de forma universal, é necessário que taxa e tempo estejam na mesma
unidade, e a taxa utilizada na forma unitária
X%/100
Solução por regra de três:
Capital...100% Juros...i % Juros x 100% = Capital x i% Juros = Capital x i% /100%
Montante ou Capital Acumulado:
Denominamos montante, o valor resgatado ao final da aplicação do capital C, isto é, a soma do capital inicial aplicado mais os devidos juros.
A simbologia mais usual é “M”. Fórmula:
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M = C + J
Substituindo J = C.i.n, teremos M = C + C.i.n, logo:
Obs.: Valem as regras já colocadas para a fórmula dos
juros.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. (UFG – ETF – DF/2007)
Um investidor perdeu R$ 2.500,00 de um determinado capital. Após fazer alguns cálculos, percebeu que poderia recuperar o capital inicial se aplicasse o que sobrou durante um período de 1 ano, à taxa de 25% ao ano. Qual era o capital inicial desse investidor? (A) R$ 8.000,00
(B) R$ 10.000,00 (C) R$ 10.500,00 (D) R$ 12.500,00
SOLUÇÃO:
O capital inicial subtraído de 2.500 reais, e reaplicado à taxa de 25% ao ano durante 1 ano volta a ter o mesmo valor do capital inicial. Podemos resolver a questão através de uma regra de três. Substituindo os valores, temos: (CINICIAL - 2.500)... 100% CINICIAL... (100% + 25%.1) (CINICIAL - 2.500)... 100% CINICIAL... 125% CINICIAL. 100 = 125. (CINICIAL – 2.500) 25. CINICIAL = 312.500 CINICIAL = R$ 12.500,00
Obs. Nos cálculos com regra de três, não há
necessidade de dividirmos os valores porcentuais por 100, o que já é necessário quando se usa fórmula.
RESPOSTA: ALTERNATIVA D.
2. (M. MELO – PM. ILHA GRANDE – SP/2010) Qual
o capital que aplicado a juros simples por 8 meses, rende R$ 42,00, à taxa de 1,5% ao ano?
(A) R$ 3.800,00. (B) R$ 4.800,00. (C) R$ 3.200,00. (D) R$ 4.200,00.
SOLUÇÃO:
Vamos usar nesta questão a fórmula para o cálculo dos juros simples: J = C .i . t Temos então: C= ? J = 42 t = 8 meses. i = 1,5% aa = 1,5/12% am(devemos sempre concordar a unidade da taxa com a do tempo)
i = 0,125% am = 0,125/100 = 0,00125 am. Aplicando a fórmula:
42 = C. 0,00125. 8
C = R$ 4. 200,00
RESPOSTA: ALTERNATIVA D.
3. (M. MELO – PM. ILHA GRANDE – SP/2010)
Por quanto tempo deve ser aplicado a juros simples R$ 6.200,00, à taxa de 54% ao ano, para receber R$ 2.511,00 de juros? (A) 9 meses. (B) 13 meses. (C) 7 meses e meio (D) 5 meses e meio. SOLUÇÃO:
Também usaremos a fórmula nesta questão:
J = C .i . t Temos então: t= ? C = 6.200 J = 2.511. i = 54% aa = 54/12% am i = 4,5% am = 4,5/100 = 0,045 am. Aplicando a fórmula: 2.511 = 6.200. 0,045 . t t = 2511/279 t = 9 meses RESPOSTA: ALTERNATIVA A.
4. (CETRO – DAEE – ARARAQUARA/2012)
Silvio contraiu uma dívida de R$ 5.000,00 a ser paga em regime de juros simples, após um ano e meio. Ao fim desse prazo, Silvio quitou a dívida com um pagamento de R$ 8.150,00, então, a taxa mensal de juros foi (A) 3,5%. (B) 0,35%. (C) 0,035%. (D) 0,0035%. SOLUÇÃO:
Podemos resolver facilmente através de uma regra de três:
Capital...100% Montante...X% Substituindo os valores temos: 5.000...100% 8.150...X% 5.000. X = 8.150. 100 X = 163%
O juros ganho foi de 163% - 100% = 63%
Devemos lembrar que 63% é relativo ao período de 1 ano e meio, ou seja, 18 meses. Logo o juro mensal será de 63%/18 = 3,5% ao mês.
RESPOSTA: ALTERNATIVA A.
5. (MAKRO – Assistente Administrativo/2012)
Numa loja um celular custa R$ 400,00 à vista. Marcos compra esse objeto em duas parcelas iguais de R$ 250,00, pagando a primeira parcela no ato da compra e a segunda parcela trinta dias depois. O valor que melhor representa a taxa de juros mensais cobrados por essa loja é de:
(A) 10% (B) 20% (C) 25%
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(D) 33.33% (E) 66.66% SOLUÇÃO: -Valor à vista: R$ 400,00. Entrada: R$ 250,00. -Saldo devedor: 400 – 250 = R$ 150,00. Com 30 dias: 150 + juros = R$ 250,00J = C . i . t 100 = 150 . i . 1 i = 100/150 → i = 2/3 i = 2/3 . 100% = 66,66% RESPOSTA: ALTERNATIVA E. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012)
O montante correspondente à aplicação de um capital no valor de R$ 22.000,00 é igual a R$ 27.280,00. Se esta aplicação foi realizada a juros simples com uma taxa de 18% ao ano, então o número de meses em que o capital ficou aplicado foi
(A) 15. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 24. 2. (FCC – FAZENDA SP – ANALISTA/2010)
Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em
(A) R$ 5.850,00 (B) R$ 6.000,00 (C) R$ 7.500,00 (D) R$ 8.500,00 (E) R$ 10.000,00 3. (CESGRANRIO – TRANSPETRO/2011)
Certo investidor, que dispunha de R$ 63.000,00, dividiu seu capital em duas partes e aplicou-as em dois fundos de investimento. O primeiro fundo rendeu 0,6% em um mês, e o segundo, 1,5% no mesmo período. Considerando-se que o valor do rendimento (em reais) nesse mês foi o mesmo em ambos os fundos, a parte do capital aplicada no fundo com rendimentos de 0,6% foi (A) R$ 18.000,00 (B) R$ 27.000,00 (C) R$ 36.000,00 (D) R$ 45.000,00 (E) R$ 54.000,00 4. (CESPE – MPU/2010)
No que se refere a juros simples, julgue os itens seguintes
I - Se o mercado estiver pagando a taxa líquida de 2%
ao mês por capital investido, é mais vantajoso para quem tem recursos comprar à vista um produto de R$
20.000,00, em vez de comprá-lo a prazo com uma entrada de R$ 5.000,00 e uma prestação de R$ 15.450,00 após dois meses. E
II - Considere que existam duas opções de
empréstimo para um mesmo valor principal, a prazos diferentes: a primeira, pelo prazo de um mês, e a segunda, pelo prazo de seis meses. Nessas condições, se a taxa de juros ao mês for a mesma para as duas opções, então, os juros cobrados na primeira opção serão iguais a um sexto daqueles cobrados na segunda.
III - No que se refere ao montante de juros pagos
sobre o mesmo valor principal, uma operação de 6% ao mês por três meses acarreta mais juros do que outra operação de 3% ao mês por seis meses.
5. (CESPE – BRB/2011)
Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.
I - No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês
e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$ 172,00.
II - Se um investidor aplicar a quantia de R$
500,00 em uma instituição financeira, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante recebido na mesma aplicação, por mais 2 anos e nas mesmas condições iniciais, então, ao final desses 4 anos, esse investidor receberá o montante de R$ 580,00.
6. (FCC- SERGÁS/2010)
Um trabalhador aplicou seu 13o salário a juro simples
durante 19,5 meses e ao fim do prazo de aplicação o montante era de R$ 1.204,60. Se o valor do 13o salário
era R$ 760,00, a taxa mensal dessa aplicação foi de (A) 2,5%. (B) 3,0%. (C) 4,6%. (D) 5,0%. (E) 5,6%.
7
. (FCC- ANALISTA/2010)Um capital no valor de R$ 12.500,00 é aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em
(A) R$ 5.850,00 (B) R$ 6.000,00 (C) R$ 7.500,00 (D) R$ 8.500,00 (E) R$ 10.000,00
8. (CESPE – BOMBEIRO MILITAR - ES/2011)
Considere que um capital de R$ 10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de
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juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
I - Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do
período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%.
II - Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%,
então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.
9. (FCC- TRT 4ª REGIÃO – ANAL./2011)
Uma pessoa fez duas aplicações em um regime de capitalização a juros simples: Em uma delas aplicou 2/5 de um capital de X reais à taxa mensal de 2% e, após 5 meses, aplicou o restante à taxa mensal de 1,5%. Se decorridos 15 meses da primeira aplicação, os montantes de ambas totalizavam R$ 21780,00, o valor de X era: (A) R$20000,00. (B) R$18000,00. (C) R$17500,00. (D) R$16500,00. (E) R$16000,00. 10. (CESGRANRIO – TÉC. EM ADMIN./2010)
Joana pediu à sua mãe um empréstimo de R$ 36.000,00 para ser pago no final de 7 meses. Ficou combinado entre elas que a remuneração do empréstimo seria de 36% a.a. calculado pelo regime de juros simples. Na data combinada para o pagamento do empréstimo, Joana pediu mais 30 dias de prazo para quitar a dívida. Sua mãe concordou em ampliar o prazo, mas cobrou, por esses 30 dias adicionais, sobre o montante devido por Joana no 7º mês, uma taxa de juros simples de 6% at. Joana pagará à sua mãe, findo o 8º mês, em reais, o montante de (A) 43.560,00 (B) 44.431,20 (C) 44.640,00 (D) 44.866,80 (E) 46.173,60 11. (FCC- TRT 4ª REGIÃO – TÉC./2011)
Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento:
- à vista por R$ 225,00;
- R$ 125.00 no ato da compra mais uma parcela de R$
125,00, um mês após a compra.
Se Lucimara optar por fazer a compra parcelada, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento será de:
(A) 10%. (B) 20%. (C) 25%. (D) 27%. (E) 30%. 12. (CESPE – FUB/2011)
A respeito de juros simples, julgue o item que se segue.
I - Considere que um capital de R$ 40.000,00 seja
aplicado em um fundo de investimentos e, ao final de 12 meses, o montante líquido atinja o dobro do capital inicial. Nesse caso, a taxa mensal de juros líquida, no regime de capitalização simples, é superior a 9%.
13. (FCC – TCE – PR - ANALISTA/2012)
Um capital no valor de R$ 18.000,00 é aplicado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a
(A) R$ 4.012,30. (B) R$ 4.026,40. (C) R$ 4.176,00. (D) R$ 4.226,40. (E) R$ 5.417,10. GABARITO 1-B 2-D 3-D 4- E,C,E 5-C,E 6-B 7-D 8-C,E 9-B 10-B 11-C 12-C 13-D
DESCONTO SIMPLES
IntroduçãoDesconto é um abatimento dado na antecipação de um compromisso financeiro. É muito comum nas operações com títulos de crédito como: cheque, nota promissória, duplicata, letras de câmbio, com vencimentos futuros. Esses títulos de crédito quando
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levados a uma instituição financeira, serão descontados, ou seja, terão seus valores antecipados mediante um abatimento, que chamaremos de desconto.
Elementos do desconto ● Valores do título
Valores financeiros antes e após o desconto.
Valor Nominal:
Chamado também de valor de face é o valor do título de crédito, ou seja, aquele que está escrito no título e que seria pago na data de vencimento do mesmo. Simbolicamente chamaremos de “N”.
Valor atual:
Também chamado de valor liquido, valor descontado, valor pago, é o valor pelo qual o título acabou sendo negociado antes da data de vencimento do mesmo. Simbolicamente chamaremos de “A”.
● Prazo de antecipação
É o intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data do seu vencimento. Simbolicamente usaremos “n”.
● Taxas
A taxa é um valor que indica a proporção entre os juros e o valor financeiro do título num dado período de antecipação.
Taxa de juros:
É a denominação que recebe a taxa quando o desconto é racional.
Taxa de desconto:
É a denominação dada à taxa quando o desconto é comercial.
Simbolicamente os dois tipos de taxas serão representadas por “i”.
Modalidades de desconto
A modalidade de desconto depende da base de cálculo adotada, ou seja, valor nominal ou valor atual do título.
● Desconto comercial simples:
Poderíamos dizer que por definição, o desconto
“Comercial”, também chamado de “Por fora”, seria
um juro simples atuando sobre o valor nominal do título. Portanto o valor nominal seria a base de cálculo na aplicação do percentual de desconto.
Fórmula para cálculo do desconto comercial e o valor atual comercial:
Podemos adotar o regime de fórmulas prontas ou através do processo da regra de três em todas as soluções dos problemas apresentados.
Dados:
N → Valor nominal.
n → Período de antecipação. i → Taxa de desconto. DC → Desconto comercial.
AC → Valor atual comercial.
D
C= N . i . n A
C= N - D
CImportante:
Em todas as fórmulas acima, a taxa e período de antecipação devem estar na mesma unidade, e ainda a taxa na forma unitária.
Solução por regra de três: Desconto comercial (DC):
Valor nominal (N)...100% Desconto comercial (DC)...i % x n
DC x 100% = N x i%.n
DC = (N x i% x n)/100%
Valor atual comercial (AC):
Valor nominal(N)...100%
Valor atual comercial (AC)...(100% - i% x n)
AC x 100% = N x (100% - i% x n)
AC = N x (100% - i% x n) /100% ● Desconto racional simples:
O desconto “Racional”, também chamado de desconto “Por dentro”, utiliza como base de cálculo na aplicação de percentual de desconto o valor atual do título, ou seja, um juro simples atuando sobre o valor atual.
Fórmula para cálculo do Desconto racional e o Valor atual racional:
Podemos também neste tipo de desconto adotar o regime de fórmulas prontas ou através do processo da regra de três em todas as soluções dos problemas apresentados. Dados: N → Valor nominal. n → Período de antecipação. i → Taxa de juros. DR → Desconto racional.
AR → Valor atual racional.
D
R= A
R. i . n A
R= N – D
RPelo fato de conhecermos o valor nominal, antes do cálculo do valor atual, poderíamos também calcular o desconto racional, utilizando como base de cálculo o valor nominal.
D
R= N . i . n /1 + i . n
Solução por regra de três: Desconto racional (DR):
Valor nominal (N)...(100% +i% x n) Desconto racional (DR)...i % x n
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DR = (N x i% x n) /(100% + i% x n)
Valor atual racional (AR):
Valor nominal(N)...(100% +i% x n) Valor atual racional (AR)...100%
AR x (100% + I% x n) = N x 100%
AR = N x 100% /(100% + i% x n)
● Relação entre o Desconto comercial e racional:
A relação abaixo é para uma mesma taxa percentual. Dados:
DC = N.i.n
DR = N.i.n / (1 + i.n)
Substituindo uma relação na outra temos:
D
C= D
R(1 + i . n)
Para um mesmo período e taxa, o desconto comercial é o montante do desconto racional.
Importante:
Em todas as fórmulas acima, a taxa e período de antecipação devem estar na mesma unidade, e ainda a taxa na forma unitária.
● Relação entre as taxas de desconto comercial e racional simples:
A relação abaixo nos permite obter o valor da taxa de juros ou a taxa de desconto, dada uma, na condição do desconto comercial ser igual ao desconto racional e mesmo período n de antecipação.
Dados:
n → Período de antecipação iC → Taxa de desconto (comercial)
iR → Taxa de juros (racional)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. (CESGRANRIO – TCE - RO/2007)
A Empresa Garcia & Souza Ltda. realizou um desconto de duplicatas no Banco da Praça com as seguintes características:
- Valor da duplicata: R$ 20.000,00;
- Prazo para o vencimento do título: 27 dias; - Taxa de desconto simples, cobrada pelo Banco:
2,6% ao mês.
Com base nos dados acima, qual o valor, em reais, liberado pelo Banco à empresa?
(A) 19.352,00 (B) 19.480,00 (C) 19.468,00 (D) 19.532,00 (E) 20.468,00 SOLUÇÃO:
É uma questão de desconto comercial simples. Podemos resolvê-la através de uma regra de três: V. nominal(N)...100%
V. atual(A)...(100% - i.t)
Como o prazo está em dias, a taxa mensal deverá ser dividida por 30 para ficar também na unidade dia, ou seja, 2,6/30% ao dia. Substituindo os valores, temos: 20000...100%
A...[100% - (2,6/30)%.27] 100A = 20000.97,66
A = 1953200/100 → A = R$ 19.532,00
Obs. Nos cálculos com regra de três, não há
necessidade de dividirmos os valores porcentuais por 100, o que já é necessário quando se usa fórmula.
RESPOSTA: ALTERNATIVA D. 2. (AUTOR/2014)
Calcule em reais o valor atual de um título de R$ 2.000,00 descontado racionalmente à taxa de juros de 3% ao mês, 4 meses antes do vencimento.
(A) 1.352,00 (B) 1.480,00 (C) 1.785,71 (D) 1.932,00 (E) 2.468,00 SOLUÇÃO:
Utilizando do processo da regra de três, temos: Valor atual racional (AR)...100%
Valor nominal(N)...(100% +i%.n) No exercício dado: AR...100% 2000,00(N)...(100% + 3% x 4) Resolvendo a regra de três: 112% . AR = 2000 .100% AR = 2000 .100 / 112 A = 1.785,71 RESPOSTA: ALTERNATIVA C. 3. (ESAF – BACEM/2007)
Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00, 3 meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. (A) R$ 500,00 (B) R$ 540,00 (C) R$ 560,00 (D) R$ 600,00 (E) R$ 620,00 SOLUÇÃO:
Lembrando que o desconto comercial é o montante do desconto racional, para um mesmo valor nominal, taxa e período de antecipação. A fórmula seria: (1 +
i.t) dr = dc
Podemos também resolver a questão através de regra de três:
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Desconto comercial (dc)...(100% + i.t) Substituindo os valores, temos:
dr...100%
560...(100% + 4%.3) 112.dr = 56000 → dr = R$ 500,00
RESPOSTA: ALTERNATIVA A. 4. (AUTOR/2014)
Uma nota promissória foi descontada comercialmente à taxa simples de 5%. a.m. 15 meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional simples, qual deveria ser a taxa ao mês adotada para produzir um desconto de igual valor?
(A) 5%. (B) 6%. (C) 10%. (D) 15%. (E) 20%. SOLUÇÃO: iC = 5% a.m. n = 15 iR = ? Sendo: 100/ iC - 100/ iR =n, temos: 100/ 5% - 100/ iR =15 iR = 20% a.m. RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 5. (AUTOR/2014)
O desconto simples racional de um título descontado à taxa de 24% ao ano, 3 meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor de desconto correspondente, caso fosse um desconto simples comercial. (A) R$ 43,20. (B) R$ 676,80. (C) R$ 720,00. (D) R$ 763,20. (E) R$ 12.000,00. SOLUÇÃO:
De acordo com os dados do exercício temos: DR = R$ 720,00
n = 3 m
i = 24% a.a → i = 24% a.a :12 → i= 2% a.m DC = ?
Supondo que a taxa de desconto seja igual à taxa de juros (i = 24% a.m.) podemos aplicar a fórmula que relaciona os dois descontos (Comercial e racional) DC = DR (1+ i.n)
DC= 720,00 (1 + 0,02 . 3)
DC = R$ 763,20.
RESPOSTA: ALTERNATIVA D.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012)
Um título de valor nominal igual a R$ 24.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Outro título é descontado 2 meses antes de seu vencimento também a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Sabe-se que o valor atual do primeiro título é igual ao valor atual
do segundo título. Se nas duas operações utilizou-se o desconto comercial simples, então o valor do desconto do segundo título é (A) R$ 940,00. (B) R$ 1.065,00. (C) R$ 1.190,00. (D) R$ 1.315,00. (E) R$ 1.440,00.
2. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010)
O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente é igual a
(A) 12% (B) 15% (C) 18% (D) 20% (E) 24% 3. (FCC – INFRAERO – AUDITOR/2011)
Dois títulos de valores nominais iguais são descontados em um banco. O primeiro título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento, conforme uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 3% ao mês, apresentando um valor atual igual a R$ 24.024,00. O segundo título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, conforme uma operação de desconto racional simples a uma taxa de 2,5% ao mês. O valor do desconto do segundo título foi igual a
(A) R$ 2.720,00 (B) R$ 2.680,00 (C) R$ 2.640,00 (D) R$ 2.400,00 (E) R$ 2.376,00 4. (CESGRANRIO – BB/2011)
Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é
(A) 860,00 (B) 850,00 (C) 840,00 (D) 830,00 (E) 820,00 5. (CESPE – CEF/2010)
Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a (A) 5% (B) 6% (C) 7% (D) 8% (E) 9%
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Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título?
(A) R$ 22.500,00 (B) R$ 25.000,00 (C) R$ 17.500,00 (D) R$ 20.000,00 (E) R$ 27.500,00 7. (CESPE – MPU/2010)
A respeito de descontos, julgue os itens que se seguem.
I - Considere que um desconto simples de 25% tenha
sido aplicado sobre o valor de uma duplicata com prazo de um ano para o vencimento. Nessa situação, a taxa de juros efetiva dessa operação foi superior a 30% ao ano.
II - Para cobrar juros de 100% efetivos no período,
basta aplicar um desconto simples de 50% sobre o valor do título.
III - Para um tomador de crédito que possui um título
com um ano para o vencimento, um desconto simples à taxa de 20% ao ano é mais oneroso que um desconto racional à taxa de 20% ao ano.
8. (CESPE – CAIXA/2010)
Se, ao descontar uma promissória com o valor de face R$ 5000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a (A) 5% (B) 6% (C) 7% (D) 8% (E) 9% 9. (CESPE – MPU/2010)
Um título cujo valor de face é de R$ 1.000,00 está sendo colocado à venda pelo emissor, um ano antes do seu vencimento, por R$ 860,00. Considerando essa situação, julgue os itens que se seguem.
I - A taxa de juros efetiva da operação apresentada é
de 15% ao ano.
II - Se a taxa de juros efetiva do mercado estiver em
20% ao ano, quem comprar o referido título estará perdendo a oportunidade de ganhar mais dinheiro com seu capital.
10. (CESPE – FUB/2011)
A respeito de juros simples, julgue os itens que se seguem.
I - Considere que, no regime de juros simples, um
título de valor nominal igual a R$ 60.000,00 e que vença em 12 meses esteja sendo liquidado com 3 meses de antecedência. Nesse caso, se for de 36% ao ano a taxa nominal de juros corrente, o devedor terá
um desconto racional, “por dentro”, superior a R$ 4.900,00.
11. (FCC – TCE – PR - ANALISTA/2012)
Um título de valor nominal igual a R$ 25.200,00 é descontado 75 dias antes de seu vencimento e seu valor atual é igual a R$ 24.444,00. Sabe-se que a operação foi a de desconto comercial simples e utilizou-se a convenção do mês comercial. A taxa anual de desconto desta operação foi de
(A) 14,4%. (B) 15,6%. (C) 16,8%. (D) 18,0% (E) 19,2%. GABARITO 1-A 2-C 3-D 4- B 5-D 6-B 7-C,C,C 8-D 9-E,C 10-C 11-A
JUROS COMPOSTOS
IntroduçãoO regime de juros compostos pode ser entendido como àquele onde os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior. De forma geral os juros produzidos ao fim de cada período passa a integrar o capital ou o montante que o produziu, para o cálculo dos juros do período subseqüente.
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Como vimos na introdução, no regime de juros compostos, o montante ao fim de um determinado período resulta de um cálculo de aumentos sucessivos. Logo, se aplicarmos um capital C a uma taxa i, durante n períodos temos: 1º Período: M1 = C (1 + i) 2º Período: M2 = M1 (1 + i) → M2 = C (1+ i) (1 + i) 3º Período: M3 = M2 (1 + i) → M3 = C (1+ i) (1 + i) (1 + i) • • • • • • nº Período: Mn = C(1 + i) (1 + i) (1 + i)…(1+i) Generalizando:
M = C (1 + i)
n Importante:• A taxa i para uso na fórmula deverá ser sempre unitária (x%/100).
• A taxa i para uso na fórmula deverá ser sempre a efetiva (estar de acordo com o regime de capitalização).
• n representa a quantidade de capitalizações de acordo com o regime proposto, do período total de aplicação.
Exemplos:
a) Uma aplicação de 1 ano, com capitalização bimestral.
n = 12 meses / 2 meses → n = 6 capitalizações b) Uma aplicação de 6 meses com capitalização diária: n = 180 dias /1dia → n = 180 capitalizações
• O fator (1 + i) é chamado de fator de capitalização e é normalmente apresentado em uma tabela financeira, para facilitar os cálculos.
Juros compostos
A fórmula dos juros compostos é deduzida a partir do montante composto. Dados: M = C (1 + i)n e J = M – C Temos: J = C (1 + i)n – C
J = C [(1 + i)
n– 1]
Capitalização com período não inteiro
Existem situações em que o período de aplicação não pode ser todo dividido em sub períodos iguais, de acordo com o regime de capitalização, ou seja, n não é um número inteiro. Como exemplo poderíamos citar uma aplicação, com capitalização mensal, durante 4 meses e 15 dias. Teríamos então n igual a 4 períodos inteiros e metade de um período ou melhor dizendo: n = 4,5 capitalizações. Para essa, e tanta outras situações semelhantes a solução para o cálculo do montante se apresenta sob duas formas. São elas:
● Convenção Exponencial:
Calculamos o montante a juros compostos sobre o período total da aplicação.
Exemplo
Um capital de R$ 200,00 é aplicado a taxa de juros compostos de 10% a.m. com capitalização mensal durante 2 meses e 15 dias. Calcule o montante da aplicação pelo processo de convenção exponencial. Dados:
i = 10% a.m. = 0,1 a.m (efetiva) n = 2 + 0,5 = 2,5 períodos M = C (1 + i)n
M = 200 (1 + 0,1)2,5 (usamos todo o período)
M = 200.(1,1)2,5
M = 200.1,269 à M = R$ 253,80
● Convenção Linear:
Atualizamos o capital a juros compostos no número inteiro de períodos de capitalização e corrigimos o montante calculado a juros simples no período fracionário.
Exemplo:
Vamos recalcular o exemplo anterior pelo processo de convenção linear.
Dados: C = 200
i = 10% a.m = 0,1 a.m n = 2 + 0,5 = 2,5 períodos (Montante a juros compostos)
Calculamos o M1 para n1 = 2 (parte inteira)
M1 = C (1 + i)n
M1 = 200 (1 + 0,1)2
M1 = 200. 1,21 à M1 = R$ 242,00
(Montante a juros simples)
Calculamos o M para o n2 = 0,5 mês (parte
fracionária). M = M1 (1 + i.n) M = 242 (1 + 0,1. 0,5)
M = 242. 1,05 → M = R$ 254,10 Importante:
Nota-se que o montante via convenção linear é maior do que via convenção exponencial. Isso só acontece porque os juros simples são sempre maiores que os juros compostos quando for um período fracionário do período de capitalização.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. (SOUSÂNDRADE – ANAL. BANC./2009)
Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos de 6% ao trimestre teremos após 3 anos, em real, a importância correspondente a: (A) 25.000.(1,06)–12 (B) 25.000.(1,02)9 (C) 25.000.(1,06)12 (D) 25.000.(1,02)12 (E) 25.000.(1,02)–9 SOLUÇÃO:
O cálculo do montante composto será: M = C(1 + i)n
Temos então: M = ?
C = 25.000
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n = 3anos = 12 trimestres. Aplicando a fórmula: M = 25.000(1 + 0,06)12 M = 25.000(1,06)12 RESPOSTA: ALTERNATIVA C.2. Uma aplicação financeira, realizada pelo regime de
juros compostos à taxa de 15% ao ano, gerou, em cinco anos, um montante de R$ 4.022,00. Qual foi o capital aplicado nessa operação?
Considere (1,15)5 = 2,011. (A) R$ 1.000,00 (B) R$ 1.211,00 (C) R$ 1.488,00 (D) R$ 1.500,00 (E) R$ 2.000,00 SOLUÇÃO:
Como já vimos o cálculo do montante composto será:
M = C(1 + i)n. Temos então: C = ? M = 4.022 i = 15% aa = 15/100 = 0,15 aa. n = 5 anos. Aplicando a fórmula: 4.022= C(1 + 0,15)5 4.022 = C(1,15)5 C = 4.022/2,011 C = 2.000 RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 3. (CESGRANRIO – CEF/2008)
Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? (A) 110,00 (B) 108,00 (C) 106,00 (D) 104,00 (E) 102,00 SOLUÇÃO: -Valor à vista: R$ 600,00. Entrada: R$ 150,00. -Saldo devedor: 600 – 150 = R$ 450,00. Com 30 dias: 450 + 2% de 450 = R$ 459,00 Pagamento efetuado com 30 dias: R$ 159,00
-Saldo devedor com 30 dias: 459 – 159 = R$ 300,00 Com 60 dias: 300 + 2% de 300 = R$ 306,00
Pagamento efetuado com 60 dias: R$ 206,00
-Saldo devedor com 60 dias: 306 – 206 = R$ 100,00 Portanto, o pagamento que deverá ser efetuado com 90 dias será: 100 + 2% de 100 = R$ 102,00
RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 4. (CESGRANRIO – CEF/2008)
O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado
em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros
(A) compostos, sempre.
(B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
(C) simples, sempre.
(D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.
(E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.
SOLUÇÃO:
Devemos lembrar que para um mesmo capital e uma mesma taxa de juros, a comparação entre montante simples e montante composto em relação ao período de aplicação t será:
Se t < 1 período → juros simples > juros compostos. Se t = 1 período → juros simples = juros compostos. Se t > 1 período → juros simples < juros compostos. Portanto, para quem empresta dinheiro, a procura é por um maior juros. Logo a única alternativa onde os juros são maiores é a E.
RESPOSTA: ALTERNATIVA E.
5. Considere que R$ 10.000,00 sejam investidos por 8
anos em um fundo de investimentos que paga uma taxa nominal de juros compostos anuais de 16%, capitalizados trimestralmente. Nessa situação, tomando-se 1,9 como valor aproximado de 1,0416,é
correto inferir-se que, ao final dos 8 anos, o montante será
(A) Superior a R$20.000,00 e inferior R$ 23.000,00 (B) Superior a R$23.500,00 e inferior R$ 28.000,00 (C) Superior a R$29.000,00 e inferior R$ 33.000,00 (D) Superior a R$33.500,00 e inferior R$ 35.900,00 (E) Superior a R$36.000,00 e inferior R$ 38.000,00
SOLUÇÃO:
O montante composto será: M = C(1 + i)n.
Temos então: C = 10.000 M = ?
i = 16% aa c/ capitalização trimestral (taxa nominal). i = 16%/4 = 4% at (taxa efetiva). i = 4/100 = 0,04 at. n = 8 anos = 32 trimestres. Aplicando a fórmula: M = 10.000(1 + 0,04)32 M = 10.000(1,04)32 M = 10.000(1,04)16. (1,04)16 M = 10.000. 1,9. 1,9 → M = R$36.100,00 RESPOSTA: ALTERNATIVA E.
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6. Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido àtaxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses depois de concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,1236 como valor aproximado de 1,062, conclui-se que esse último
pagamento foi de aproximadamente . (A) R$ 10.100,00 (B) R$ 10.900,00 (C) R$ 11.100,00 (D) R$ 11.280,00 (E) R$ 12.000,00 SOLUÇÃO: -Valor do empréstimo: R$ 20.000,00. Dívida com 60 dias(2 meses): M = 20.000(1 + 0,06)2
M = 20.000 . 1,1236 M = 22.472
Dívida com 60 dias:= R$ 22.472,00
Pagamento efetuado com 60 dias: R$ 12.000,00. Saldo devedor com 60 dias: 22.472 – 12.000. -Saldo devedor com 60 dias: = R$ 10.472,00
Portanto, o pagamento que deverá ser efetuado com 90 dias será: 10.472,00 + 6% de 10.472,00 = R$ 11.100,00
RESPOSTA: ALTERNATIVA C.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012)
Um capital é aplicado a juros compostos durante um ano, com uma taxa de 5% ao semestre. O valor do montante desta aplicação apresentou, no final do período, um valor igual a R$ 13.230,00. O valor dos juros desta aplicação foi igual a
(A) R$ 2.700,00. (B) R$ 2.230,00. (C) R$ 1.700,00. (D) R$ 1.230,00. (E) R$ 1.070,00.
2. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010)
Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor de R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a (A) 15 meses. (B) 16 meses. (C) 18 meses. (D) 20 meses. (E) 22 meses. 3. (FCC – INFRAERO – AUDITOR/2011)
Um investidor aplicou metade de seu capital a juros simples, durante 14 meses, a uma taxa de 10,20% ao ano. O restante do capital, ele aplicou a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. Se a soma dos montantes destas aplicações foi igual a R$ 177.720,00, então o valor dos juros da
primeira aplicação superou o valor dos juros da segunda em (A) R$ 1.600,00 (B) R$ 1.320,00 (C) R$ 1.260,00 (D) R$ 1.200,00 (E) R$ 1.160,00 4. (CESGRANRIO – BNDS – TÉCNICO/2010)
Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$3.000,00 a 24% ao ano, com capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, com capitalização mensal. Ao final de 1 semestre, os montantes das duas aplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicação diversificada no período foi de
(A) 60% (B) 54% (C) 46% (D) 34% (E) 26% 5. (CESGRANRIO – ELETRONUCLEAR/2010)
A Empresa Silva & Filhos obteve um empréstimo pelo qual, ao final de um ano, deverá pagar um montante de R$ 100.000,00, incluindo principal e juros compostos de 2,5% ao mês. O valor atual desse empréstimo, em reais, é: Considere 1,02512 = 1,28165 (A) 70.000,00 (B) 74.355,58 (C) 75.000,00 (D) 76.923,08 (E) 78.024,42 6. (CESGRANRIO – BNDS/2011)
Maria aplicou certa quantia em um banco que ofereceu uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Após a segunda capitalização, uma amiga pediu todo seu dinheiro investido emprestado, prometendo pagar juros de 10% ao mês, mas no regime de juros simples. Maria prontamente atendeu ao pedido da amiga e, após 5 meses, a amiga quitou a dívida com Maria pagando um total de R$ 1.089,00. Qual a quantia, em reais, que Maria aplicou no banco?
(A) 600,00 (B) 605,00 (C) 636,84 (D) 726,00 (E) 900,00 7. (CESGRANRIO – BB/2012)
João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente,
(A) 240,00 (B) 330,00 (C) 429,00
(D) 489,00 (E) 538,00
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8. (MOURA MELO – AG. F. DO M. AMB./2011)
Aplica-se um capital de R$ 50.000,00 a juro composto com a taxa de 6% ao mês. Qual será aproximadamente o montante acumulado em 2 anos? Dado: (1,06)24 = 4,04
(A) R$ 20.200,00.
(B) R$ 22.000,00. (C) R$ 202.000,00.
(D) R$ 220.000,00.
9. (CESPE – ANALISTA MINISTERIAL/2012)
Lauro deve R$ 10.000,00 para determinado banco e possui crédito de igual valor com um amigo. O banco concedeu a Lauro 5 meses para saldar a dívida, à taxa mensal de juros compostos de 3,8% sobre o valor devido. O amigo de Lauro se comprometeu a pagar sua dívida em 5 meses a uma taxa de juros simples mensais suficiente para igualar o montante da dívida de Lauro com o banco ao final dos 5 meses. Considerando 1,2 como valor aproximado para 1,0385,
julgue os itens seguintes, com base na situação hipotética apresentada acima.
I - Ao final dos 5 meses, o montante da dívida de Lauro
com o banco será superior a R$ 12.500,00.
II - A taxa de juros simples mensais cobrada por Lauro
de seu amigo é inferior a 4,1%.
10. (CESPE – ANALISTA MINISTERIAL/2012)
Um cliente pagou a dívida de R$ 20.000,00, em um banco, um ano após a sua contratação. Nessa transação, o banco praticou juros nominais anuais de 42%, com capitalização mensal, a juros compostos. Considerando essas informações e 1,51 como valor aproximado para 1,03512, julgue os itens
subsecutivos.
I - O cliente pagou ao banco mais de R$ 30.000,00. II - O cliente pagaria a mesma quantia se o banco
praticasse a taxa de juros simples mensais de 4,1%.
11. (CESPE – TÉCNICO – BASA/2012)
Um cliente dispõe de R$ 210.000,00 para quitar o saldo devedor — também de R$ 210.000,00 — do financiamento de um imóvel junto a uma instituição financeira que trabalha com conta remunerada à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Para essa quitação, a instituição financeira oferece as seguintes opções. 1ª - depositar o dinheiro disponível em conta remunerada e fazer o pagamento em duas prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 121.000,00, com a primeira prestação vencendo em um mês após a data do depósito;
2ª - pagamento do saldo devedor, à vista, com desconto de 5%; nesse caso, o cliente poderá depositar o desconto na conta remunerada.
Com base nessa situação, desconsiderando possíveis taxas e impostos, julgue os itens seguintes.
I - Se adotar a opção II, o cliente pagará R$
199.500,00.
II - As duas opções permitem que o cliente obtenha o
mesmo retorno financeiro.
III - Uma quantia depositada na conta remunerada da
instituição financeira em questão resultaria, ao final do segundo mês, em um montante igual ao que seria obtido se essa mesma quantia fosse aplicada à taxa de juros simples de 5,5% ao mês, durante dois meses.
12. (CESGRANRIO – CEF/2012)
O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros compostos, é R$ 5.000,00, em 10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa de juros é constante, o valor aplicado é, em reais, de, aproximadamente,
(A) 1.950 (B) 3.100 (C) 3.400 (D) 3.950 (E) 4.100 13. (CESPE – BRB/2011)
Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.
I - Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado por 3 anos,
à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização trimestral, o juro auferido por essa aplicação, em reais, ao final do período, será igual a 5.000 × (1,0412 - 1).
II - O montante produzido pela aplicação de R$
1.000,00 em uma instituição financeira, em 2 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, será de R$ 1.210,00 na data do resgate.
14. (CESGRANRIO - BASA/2013)
Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda parcela. Qual foi o valor da segunda parcela? (A) R$750,00 (B) R$765,00 (C) R$780,00 (D) R$795,60 (E) R$810,00 GABARITO
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112
1-D 2-B 3-B 4- E 5-E
6-A 7-E 8-C 9-E,C 10-C,E
11-C,E,E 12-E 13-E,C 14-D
ESTUDO DAS TAXAS
Introdução
Quando realizamos uma análise financeira, é importante a homogeneização entre as unidades da taxa e do prazo de capitalização, quando do uso de uma variável a partir de outra variável, na aplicação de fórmulas matemáticas. Logo concluímos que a taxa deverá estar explicitada na mesma unidade de tempo apresentado pelo prazo de capitalização.
Taxas proporcionais
Somente existe nos juros simples. Duas taxas são proporcionais quando seus valores são diretamente proporcionais aos respectivos tempos, que devem estar na mesma unidade.
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a) 72% a.a. e 6% a.m., são taxas proporcionais, 72% / 12 meses = 6% / 1mës
b) 1% a.d. e 90%¨a.t., são taxas proporcionais, pois: 90% / 90 dias = 1% / 1dia
Taxa nominal e efetiva ● Taxa nominal
É aquela em que o período de capitalização difere do período da taxa. Usada nos juros compostos conclui-se que a taxa nominal funciona como uma “taxa falsa”, normalmente dada em anos. Não podemos utilizar esse tipo de taxa diretamente nos cálculos financeiros, sob pena de desvio aos resultados corretos. Em seu lugar usaremos a taxa efetiva.
Exemplos:
a) Taxa de juros de 60% a.a. com capitalização trimestral. ( ao ano ≠ trimestral)
b) Taxa de juros de 36% a.a. com capitalização mensal. ( ao ano ≠ mensal)
c) Taxa de juros de 40% a.s. com capitalização bimestral. ( ao semestre ≠ bimestral)
● Taxa efetiva
É aquela cujo o período de capitalização corresponde ao próprio período da taxa. Também usada em juros compostos, é uma taxa verdadeira, utilizada nos cálculos financeiros. É importante observar que é comum nos problemas de juros compostos, onde se dá a taxa efetiva, omitir o período, de capitalização, ficando subentendido que este é o mesmo indicado pela taxa.
Exemplos:
a) Taxa de juros de 10% a.m, com capitalização mensal. ( ao mês = mensal)
b) Taxa de juros de 42% a.a., com capitalização anual. ( ao ano = anual)
c) Taxa de juros de 20% a.t., (entende-se que a capitalização já é trimestral)
d) Taxa de juros de 0,5% a.d, (entende-se que a capitalização já é diária).
● Conversão de taxa nominal em efetiva
A taxa nominal pode ser fracionada proporcionalmente no sub períodos de capitalização (como nos juros simples), encontrando-se ai a taxa efetiva correspondente.
Exemplos:
a) Taxa de juros de 24% a.a., com capitalização mensal (nominal).
24% a.a / 12meses = 2% a.m. (taxa efetiva)
b) Taxa de juros de 18% a.s. com capitalização bimestral (nominal)
18% / 3 bimestres = 6% a.b. (efetiva)
Também podemos passar de efetiva para nominal. Exemplo:
Taxa de juros de 2% a.m. com capitalização mensal (efetiva)
2% x 12 meses = 24% a.a. com capitalização mensal (nominal)
Taxas equivalentes
Taxas equivalentes são definidas como sendo taxas de juros que, mesmo pertencendo a diferentes períodos
de capitalização, quando incidirem sobre o mesmo capital, resultam em rendimentos ou valores acumulados idênticos, ao fim de um mesmo período financeiro.
● Taxas Equivalentes em Juros Simples
As taxas equivalentes serão sempre proporcionais, ou seja, possui o mesmo tratamento de taxas proporcionais.
● Taxas Equivalentes em Juros Compostos.
Chamaremos de i, a taxa efetiva do período maior, e
iK, a taxa efetiva do período menor.
Para uma quantidade K de sub períodos, temos:
(1 + i) = (1 + i
K)
KObs.: Equivalência, só de taxa efetiva para efetiva.
Exemplos:
a) Um taxa de juros de 10% a.m., composta, é equivalente a que taxa composta trimestral?
iK = 10% a.m = 0,1 a.m K = 3 meses i = ? (1 + i) = (1 + iK)K (1 + i) = (1 + 0,1)3 1 + i = 1,13 1 + i = 1,331 i = 0,331 → i = 33,1% a.t.
b) Qual a taxa de juros anual equivalente a uma taxa de juros nominal de 8% a.a., com capitalização semestral?
Como a equivalência só pode ser feita de efetiva para efetiva, devemos passar a taxa nominal de 8% a.a. para uma efetiva semestral:
8% /2 semestres = 4% a.s. (Capitalização semestral) Temos: i = ? iK = 4% a.s. K = 2 Semestre (1 + i) = (1 + iK)K 1 + i = (1 + 0,04)2 1 + i = 1,042 1 + i = 1,0816 i = 0,0816 → i = 8,16% a.a.
c) Qual a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa de juros efetiva semestral de 4%?
Observe que foi dado a taxa de maior valor e pede-se a de menor valor: Temos: i = 4% a.s à 0,04 a.s. iK = ? K = 6 meses (1 + i) = (1 + iK)K 1 + 0,04 = (1 + iK)6 1,04 = (1 + iK)6 6√1,04 = 1 + iK → 1,006558 = 1 + iK iK = 0,6558% a.m.
Taxa real, aparente e inflacionária
Vamos considerar uma aplicação, negociada a uma taxa efetiva de juros i. Essa taxa de juros será uma
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taxa real, quando expurgamos do período deaplicação, o efeito inflacionário, ou seja, a taxa de
inflação.
Por outro lado, essa taxa de juros será uma taxa
aparente quando a taxa de inflação do período
estiver nela contida. Chamando ir de taxa real, ii de
taxa inflacionária e ia de taxa aparente, temos:
(1 + i
r) . (1 + i
i) = (1 + i
a)
Exemplos:
a) Em uma aplicação a uma taxa de juros 10%, a inflação do período foi de 3%. Qual a taxa real de ganho? ia = 10% = 0,1 ii = 3% = 0,03 ir = ? (1 + ir) . (1 + ii) = (1 + ia) (1 + ir) . (1 + 0,03) = (1 + 0,1) (1 + ir) = 1,1 / 1,03 1 + ir = 1,06796 ir = 0,06796 → ir = 6,796%
b) Se um capital aplicado a uma taxa de 8%, registrou um ganho real de 5%, a inflação do período foi de? ir = 5% = 0,05 ia = 8% = 0,08 ii = ? (1 + ir) . (1 + ii) = (1 + ia) (1 + 0,05) . (1 + ii) = (1 + 0,08) 1,05 . (1 + ii) = 1,08 1 + ii = 1,08 / 1,05 → ii = 2,857% EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. (CESGRANRIO – CEF/2008)
Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?
(A) 75,0% (B) 72,8% (C) 67,5% (D) 64,4% (E) 60,0% SOLUÇÃO:
Primeiramente devemos transformar a taxa nominal dada em uma taxa efetiva. Temos então:
Taxa nominal → i1 = 40% ao quadrimestre com
capitalização bimestral. Sua efetiva será:
Taxa efetiva → i1 = 40/2% ao bimestre com
capitalização bimestral → i1 = 20% ao bimestre.
Como desejamos uma taxa i2 equivalente semestral,
teremos: (1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i1 = 20% e n = 3 bim. (1 + i2) = (1 + 0,2)3 (1 + i2) = (1,2)3 1 + i2 = 1,728 → i2 = 0,728 → i2 = 72,8% RESPOSTA: ALTERNATIVA B. 2. (CESGRANRIO – CEF/2008)
A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i% ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de
divisores inteiros positivos de i é: Dado: (1,07)6 = 1,5 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 SOLUÇÃO:
Inicialmente, devemos lembrar que a equivalência entre duas taxas, só deverá ser feita se elas forem efetivas.
Taxa nominal → i% ao semestre capitalizada bimestralmente.
Taxa efetiva → i1 = i/3% ao bimestre com capitalização
bimestral → i1 = i/3% ao bimestre.
Como foi fornecida a taxa i2 = 50% ao ano equivalente
a i1 = i/3% ao bimestre, teremos:
(1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i2 = 50% e n = 6 bim. (1 + 0,5) = (1 + i/3)6 (1,5) = (1 + i/3)6 Sabendo que (1,07)6 = 1,5, 1 + i/3 = 1.07 i/3 = 0.07 → i = 0,21 → i = 21%
Como a pergunta se refere a quantidade de divisores positivos e inteiros da taxa encontrada, teremos: D(21) = { 1, 3, 7, 21}, portanto, 4 divisores.
RESPOSTA: ALTERNATIVA A.
3. Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de
24% ao ano com capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos?
(A) 26,82% (B) 26,53% (C) 26,25% (D) 25,97% (E) 25,44% SOLUÇÃO:
Primeiramente devemos transformar a taxa nominal dada em uma taxa efetiva. Temos então:
Taxa nominal → i1 = 24% ao ano com capitalização
semestral. Sua efetiva será:
Taxa efetiva → i1 = 24/2% ao semestre com
capitalização semestral → i1 = 12% ao semestre.
Como desejamos uma taxa i2 equivalente anual,
teremos: (1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i1 = 12% e n = 2 sem. (1 + i2) = (1 + 0,12)2 (1 + i2) = (1,12)2 1 + i2 = 1,2544 → i2 = 0,2544→ i2 = 25,44% RESPOSTA: ALTERNATIVA E. 4. (FCC – MPE – RS/2008)
Se uma dívida, contraída a juros compostos e a uma taxa fixa, aumentou 125% em 2 anos, a taxa anual de juros cobrada foi de
(A) 25% (B) 27,5% (C) 45% (D) 47,5% (E) 50%
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SOLUÇÃO:A pergunta é: que taxa i1 ao ano é equivalente a uma
taxa i2 = 125% em dois anos?
(1 + i2) = (1 + i1)n, sendo i2 = 125% e n = 2 anos.
(1 + 1,25) = (1 + i1)2
(1 + i1) = (2,25)1/2
Lembre-se que (2,25)1/2 = √2,25 = 1,5, então:
1 + i1 = 1,5 → i1 = 0,5 → i1 = 50% RESPOSTA: ALTERNATIVA E.
5. Considere que uma aplicação financeira foi feita a
uma taxa de juros anual de 20%, em que no mesmo período, a inflação medida foi de 7%. Em termos porcentuais, qual foi o valor aproximado do rendimento real dessa aplicação?
(A) 11,8% (B) 12,15% (C) 12,75% (D) 13% (E) 13,5% SOLUÇÃO:
A taxa de 20% da aplicação é a taxa aparente. Como a taxa de inflação é de 7%, a taxa real da aplicação será calculada pela fórmula do RIA.
(1 + iR)(1 + iI) = (1 + ia) (1 + iR)(1 + 0,07) = (1 + 0,2) (1 + iR)(1,07) = (1,2) (1 + iR) = 1,2/1,07 (1 + iR) = 1,1215 iR = 1,1215 – 1 → iR = 0,1215 → iR = 12,15% RESPOSTA: ALTERNATIVA B. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. (FCC – BANESE – TEC. I/2012)
Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações:
−Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. − Período de aplicação: um ano.
−Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. −Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%.
Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é
(A) R$ 53.550,00. (B) R$ 53.500,00. (C) R$ 53.000,00. (D) R$ 52.500,00. (E) R$ 51.500,00.
2. (FCC – FAZENDA SP – AG. FISCAL/2010)
Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de
(A) R$ 27.060,00 (B) R$ 27.000,00 (C) R$ 26.460,00 (D) R$ 26.400,00 (E) R$ 25.800,00 3. (FCC – INFRAERO – AUDITOR/2011)
Considere os dados de uma determinada aplicação em uma instituição financeira:
-Valor do principal: R$ 20.000,00 -Período de aplicação: um ano
-Valor do montante no final do período de aplicação: R$ 21.924,00
-Taxa real de juros da aplicação no período de aplicação: 5%
A taxa de inflação no período da aplicação foi igual a (A) 5,22% (B) 4,62% (C) 4,40% (D) 4,00% (E) 3,96% 4. (CESGRANRIO – BB/2010)
Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de juros real anual para esse investimento foi (A) 0,5%. (B) 5,0%. (C) 5,5%. (D) 10,0%. (E) 10,5%. 5. (CESGRANRIO – BB/2012)
Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, (A) 12%
(B) 12,49% (C) 12,55% (D) 13% (E) 13,43%
6. (ESAF – ANAL. TÉCNICO DA SUSEP/2010)
No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80% ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a:
(A) 320% ao ano e 160% ao semestre. (B) 120% ao ano e 60% ao semestre. (C) 72,80% ao ano e 145,60 % ao semestre. (D) 240% ao ano e 88% ao ano. (E) 107,36% ao ano e 44% ao semestre.
7. (CESPE – MPU – A. ORÇAMENTO/2010)
Com relação a juros compostos e taxas equivalentes, julgue os itens a seguir.
I - A taxa de juros de 2,7% ao trimestre é equivalente
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II - Considere que o diretor financeiro da empresaZigma consultou os gerentes de dois bancos com relação à aplicação do excedente do fluxo de caixa da empresa. O gerente do primeiro banco ofereceu ao referido diretor a taxa nominal de juros de 16% ao ano, capitalizada trimestralmente, e o do segundo banco propôs a taxa efetiva de 16% ao ano, com capitalização semestral. Nessa situação, a melhor opção de aplicação para a referida empresa é a oferecida pelo gerente do segundo banco.
III - Considere duas opções de empréstimo para
determinado capital, a taxas nominais anuais idênticas e mesmo prazo de um ano: a primeira, capitalizada trimestralmente, e a segunda, capitalizadas semestralmente. Nessas condições, do ponto de vista do tomador do empréstimo, a segunda opção é mais vantajosa.
8. (CESPE – BRB/10).
Julgue o item a seguir acerca de custo efetivo.
I - Se o custo real efetivo de uma operação financeira
for de 15% e se a taxa de inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o custo total efetivo dessa operação financeira será inferior a 24%.
9. (CESPE – BANCO DA AMAZÕNIA/2009). Acerca
de matemática financeira, julgue os itens subsequentes.
I - Se um cliente aplicou seu dinheiro em uma
instituição financeira à taxa de juros (aparente) de 7,52% ao ano, durante determinado ano em que a inflação oficial apurada foi de 5%, então o valor aplicado por esse cliente, nesse ano, rendeu juros reais acima de 2,5%.
II - Caso uma loja de roupas ofereça o desconto de
5% sobre o preço de cada peça para pagamento à vista, ou o pagamento em duas parcelas, mensais e iguais, sem acréscimo, com a primeira devendo ser paga no ato da compra, então a taxa mensal de juros que a loja embute nos preços para vendas a prazo é superior a 10%.
III - Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado durante
determinado período, obtendo-se ao final da aplicação um montante total de R$ 2.236,00. Nessa situação, se a inflação no período mencionado foi de 4%, então a taxa real de rendimentos da referida aplicação nesse período foi inferior a 7%.
IV - Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado pelo
prazo de um ano no regime de capitalização composta, obtendo-se R$ 2.100,00 de juros. Nessa situação, caso a capitalização tenha sido semestral, a taxa nominal anual de rendimentos da aplicação foi inferior a 18%.
10. (CESPE – BASA/2010)
Considerando 1,1 e 1,0489 como valores aproximados de 1,0128 e 1,0124, respectivamente, é correto afirmar
que a taxa anual de juros equivalente à taxa de juros compostos de 1,2% ao mês é aproximadamente (A) 14% (B) 14,5% (C) 15% (D) 15,4% (E) 16%
11. (CESPE – MPU/2010) Acerca de taxas
equivalentes no regime de juros compostos, julgue os itens subsequentes.
I - Se uma operação de crédito custou 44% no período
de dois anos, então, em termos efetivos, a taxa de juros anual equivalente foi de 20% ao ano.
II - A taxa de juros de 5% ao semestre é equivalente
à taxa de juros de 10% ao ano.
12. (CESGRANRIO – CEF/2012)
Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de (A) 5% (B) 5,51% (C) 10% (D) 10,25% (E) 10,51% 13. (CESPE – BRB/2011)
Acerca de taxas de juros, julgue o item a seguir.
I - Se uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo período de
um ano produzir juros no valor de R$ 3.200,00, e se a inflação nesse período for de 20%, então a taxa de juros real da aplicação nesse período será inferior a 11%.
14. (AUTOR/2014)
Um capital é aplicado à taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização semestral. Qual a taxa anual efetiva de aplicação desse capital, em porcentagem, aproximada até centésimos?
(A) 26,82% (B) 26,53% (C) 26,25% (D) 25,97% (E) 25,44% GABARITO 1-A 2-A 3-C 4- D 5-C
6-E 7-E,E,C 8-E 9-E,C,E,E 10-D 11-C,E 12-C 13-C 14-E
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DESCONTO COMPOSTO
Introdução
Como já vimos, desconto é um abatimento concedido pelo pagamento antecipado de um título de crédito. Em juros compostos o prazo de antecipação do pagamento é dividido em períodos de acordo com regime de capitalização. Os termos já estudados no desconto simples, valem da mesma forma no desconto composto. São eles: N → Valor nominal A → Valor atual DC → Desconto Comercial DR → Desconto racional
i → Taxa de juros compostos (DR) ou taxa de
desconto (DC)
n → Quantidade de períodos de antecipação Desconto racional composto
Sabemos que a base de cálculo do desconto racional é o valor atual. Portanto se capitalizarmos esse valor
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atual durante n períodos de antecipação, a uma taxa i de juros compostos, encontraremos o valor nominal N do título. Logo a diferença entre o valor nominal e o valor racional será o desconto racional composto. Pela fórmula de montante composto temos:
M = C (1 + i)n,
Fazendo M = N (nominal) e C = AR (atual racional):
N = AR (1 + i)n
A
R= N / ( 1 + i )
nou
A
R= N . ( 1 + i )
-nA fórmula dada calcula o valor atual racional composto e (1 + i)−n é chamado fator de atualização de um capital. Não é difícil deduzir a partir daí que o
desconto racional composto será de forma geral:
D
R= N - A
RDesconto comercial composto
Já aprendemos que a base de cálculo para o desconto comercial é o valor nominal do título. Portanto, se para um título de valor N, dermos n descontos sucessivos, todos calculados a uma taxa i de desconto composto, encontraremos o valor atual comercial composto, e o somatório dos descontos sucessivos, o desconto comercial composto. O valor atual comercial composto será calculado:
A
C= N (1 – i )
nO desconto comercial composto será de forma geral:
D
C= N - A
CObs.: Em todas as fórmulas apresentadas no desconto composto, valem as regras já anunciadas nos juros compostos.
Relação entre as taxas de desconto comercial e racional composto
A relação abaixo nos permite obter a taxa de desconto (comercial) ou a taxa de juros (racional), dada uma, na condição do desconto comercial ser igual ao desconto racional, e mesma quantidade de períodos de antecipação.
Dados:
iC → Taxa composta de desconto (comercial)
iR → Taxa composta de juros (racional)
Temos:
(1 – i
C) . (1 + i
R) = 1
Fluxo de caixa
Fluxo de caixa é um diagrama, largamente, empregado na resolução de problemas da Matemática Financeira. Horizontalmente; marcam-se os períodos e as épocas, verticalmente; as entradas e saídas de capitais. Assim:
Como vimos, as saídas de capital são consideradas para baixo e negativas e as entradas, para cima e positivas. A distância entre duas épocas forma um período. Os fluxos de caixa são muito usados na resolução de problemas envolvendo equivalências de capitais.
Equivalência de capitais
Os problemas de equivalência de capitais a juros compostos são facilmente resolvidos com a utilização do esquema de fluxo de caixa, como já dissemos anteriormente. Para resolver um problema, escolhe-se uma data focal (a juros compostos, pode ser qualquer data, preferencialmente aquela que tiver maior número de setas encimadas) e convergem-se todos os pagamentos ou recebimentos para aquela data, mediante os fatores de capitalização (1 + i)n ou
descapitalização (1 + i)- n, conforme o caso, numa
mesma data, os capitais têm que ser equivalentes. Os pagamentos ou recebimentos referentes à 1ª, modalidade devem ficar juntos, num membro da equação. Os outros, referentes à 2ª, modalidade, devem ficar juntos, no outro membro da equação. Exemplo
Uma empresa recebe como empréstimo a importância de R$ 230.000,00 para ser paga 6 meses após, a juros compostos, à taxa de 5% a.m. Um mês depois de efetivada a operação, a empresa propõe, liquidar a divida, mediante 3 pagamentos: o primeiro, imediatamente, no valor de R$ 80.000,00 e mais dois iguais: um 2 meses após o 1º, e o outro 3 meses após o 2º. Calcular o valor dos pagamentos iguais.
Construindo o fluxo de caixa:
Todos os valores deverão ser capitalizados ate a data focal 6. Primeiramente devemos capitalizar o valor de R$ 230.000,00(M1) e igualar com o somatório das prestações capitalizadas(M2).
Capitalização da entrada de R$ 230.000(M1): M1 = 230.000 (1 + 0,05) 6
M1 = 308222
Capitalização das prestações(M2):
M2 = 80.000 (1 + 0,05) 5 + P . (1 + 0,05)3 + P
M2 = 102102,53 + 1,158P + P M2 = 102102,53 + 2,158P
